\(a\) պարամետրը թիվ է, որը կարող է վերցնել ցանկացած արժեք \(\mathbb(R)\)-ից:

Պարամետրի բոլոր արժեքների համար հավասարում/անհավասարություն ուսումնասիրել նշանակում է նշել, թե պարամետրի որ արժեքներով կոնկրետ որ լուծումն ունի տվյալ հավասարումը/անհավասարությունը:

Օրինակներ.

1) \(ax=2\) բոլոր \(a\ne 0\) հավասարումը ունի եզակի լուծում \(x=\dfrac 2a\), իսկ \(a=0\) համար չունի լուծումներ (քանի որ ապա հավասարումը ստանում է \(0=2\) ձևը):

2) \(ax=0\) բոլորի համար \(a\ne 0\) հավասարումն ունի եզակի լուծում \(x=0\), իսկ \(a=0\) համար ունի անսահման շատ լուծումներ, այսինքն. \(x\in \mathbb(R)\) (որից հետո հավասարումը ստանում է \(0=0\) ձևը):

նկատել, որ

I) հավասարման երկու կողմերը չեն կարող բաժանվել (\(f(a)\)) պարամետր պարունակող արտահայտությամբ, եթե այս արտահայտությունը կարող է հավասար լինել զրոյի: Բայց երկու դեպք կարելի է դիտարկել.
առաջինը, երբ \(f(a)\ne0\) , որի դեպքում հավասարության երկու կողմերը կարող ենք բաժանել \(f(a)\)-ով;
երկրորդ դեպքն այն է, երբ \(f(a)=0\) , և այս դեպքում մենք կարող ենք ստուգել \(a\)-ի յուրաքանչյուր արժեքը առանձին (տե՛ս օրինակ 1, 2):

II) անհավասարության երկու կողմերը չեն կարող բաժանվել պարամետր պարունակող արտահայտությամբ, եթե այս արտահայտության նշանն անհայտ է: Բայց կարելի է դիտարկել երեք դեպք.
առաջինը, երբ \(f(a)>0\) , և այս դեպքում անհավասարության երկու կողմերը կարող ենք բաժանել \(f(a)\)-ով;
երկրորդ, երբ \(f(a)<0\) , и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
երրորդն այն է, երբ \(f(a)=0\) , որի դեպքում մենք կարող ենք ստուգել \(a\)-ի յուրաքանչյուր արժեքը առանձին:

Օրինակ:

3) \(ax>3\) անհավասարությունը \(a>0\)-ի համար ունի լուծում \(x>\dfrac3a\), \(a-ի համար<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .

Առաջադրանք 1 #1220

Առաջադրանքի մակարդակը՝ ավելի հեշտ, քան միասնական պետական ​​քննությունը

Լուծե՛ք \(ax+3=0\) հավասարումը

Հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես \(ax=-3\) . Դիտարկենք երկու դեպք.

1) \(a=0\) . Այս դեպքում ձախ կողմը հավասար է \(0\) -ի, իսկ աջ կողմը՝ ոչ, հետևաբար հավասարումն արմատներ չունի։

2) \(a\ne 0\) . Այնուհետև \(x=-\dfrac(3)(a)\) .

Պատասխան.

\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac(3)(a)\).

Առաջադրանք 2 #1221

Առաջադրանքի մակարդակը՝ ավելի հեշտ, քան միասնական պետական ​​քննությունը

Լուծեք \(ax+a^2=0\) հավասարումը \(a\) պարամետրի բոլոր արժեքների համար:

Հավասարումը կարող է վերաշարադրվել որպես \(ax=-a^2\): Դիտարկենք երկու դեպք.

1) \(a=0\) . Այս դեպքում ձախ և աջ կողմերը հավասար են \(0\), հետևաբար, հավասարումը ճշմարիտ է \(x\) փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար:

2) \(a\ne 0\) . Այնուհետև \(x=-a\) .

Պատասխան.

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\).

Առաջադրանք 3 #1222

Առաջադրանքի մակարդակը՝ ավելի հեշտ, քան միասնական պետական ​​քննությունը

Լուծե՛ք անհավասարությունը \(2ax+5\cos\dfrac(\pi)(3)\geqslant 0\)\(a\) պարամետրի բոլոր արժեքների համար:

Անհավասարությունը կարող է վերաշարադրվել որպես \(ax\geqslant -\dfrac(5)(4)\): Դիտարկենք երեք դեպք.

1) \(a=0\) . Այնուհետև անհավասարությունը ստանում է \(0\geqslant -\dfrac(5)(4)\) ձևը, որը ճշմարիտ է \(x\) փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար:

2) \(ա>0\) . Հետո անհավասարության երկու կողմերը \(a\-ի) բաժանելիս անհավասարության նշանը չի փոխվի, հետևաբար \(x\geqslant -\dfrac(5)(4a)\) .

3) \ (ա<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Պատասխան.

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac(5)(4a); \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Առաջադրանք 4 #1223

Առաջադրանքի մակարդակը՝ ավելի հեշտ, քան միասնական պետական ​​քննությունը

Լուծե՛ք անհավասարությունը \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\)\(a\) պարամետրի բոլոր արժեքների համար:

Անհավասարությունը փոխակերպենք ձևի. \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Դիտարկենք երկու դեպք.

1) \(a=0\) . Այս դեպքում անհավասարությունը դառնում է գծային և ստանում է ձև. \(-2x \geqslant 0 \Աջ սլաք x\leqslant 0\).

2) \(a\ne 0\) . Ապա անհավասարությունը քառակուսի է։ Եկեք գտնենք տարբերակիչ.

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

Որովհետեւ \(a^2 \geqslant 0 \Աջ սլաք D>0\)ցանկացած պարամետրի արժեքի համար:

Հետևաբար, \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) հավասարումը միշտ ունի երկու արմատ \(x_1=-3a, x_2=\dfrac(2)(a)\) . Այսպիսով, անհավասարությունը կունենա հետևյալ ձևը.

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Եթե ​​\(a>0\) , ապա \(x_1 \(x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty)\).

Եթե<0\) , то \(x_1>x_2\) և պարաբոլայի \(y=(ax-2)(x+3a)\) ճյուղերն ուղղված են դեպի ներքև, ինչը նշանակում է, որ լուծումը. \(x\in \big[\dfrac(2)(a); -3a]\).

Պատասխան.

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty); \ \ա<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .

Առաջադրանք 5 #1851

Առաջադրանքի մակարդակը՝ ավելի հեշտ, քան միասնական պետական ​​քննությունը

Ինչի համար \(a\) է անհավասարության լուծումների բազմությունը \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\)պարունակում է կիսատ միջակայք \(\).

Պատասխան.

\(a\in (-\infty;\dfrac(4)(3)\big]\բաժակ

Դիտարկենք երկու դեպք.

1) \(a+1=0 \Աջ սլաք a=-1\) . Այս դեպքում \((*)\) հավասարումը համարժեք է \(3=0\) -ին, այսինքն՝ չունի լուծումներ։

Հետո ամբողջ համակարգը համարժեք է \(\սկիզբ (դեպքեր) x\geqslant 2\\ x=2 \վերջ (դեպքեր) \Ձախ աջ սլաք x=2\)

2) \(a+1\ne 0 \Աջ սլաք a\ne -1\). Այս դեպքում համակարգը համարժեք է. \[\սկիզբ (դեպքեր) x\geqslant -2a\\ \ձախ[ \սկիզբ (հավաքված) \սկիզբ (հավասարեցված) &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3(a+1) \վերջ (հավասարեցված) \end( հավաքված) \ճիշտ. \վերջ (դեպքեր)\]

Այս համակարգը կունենա մեկ լուծում, եթե \(x_2\leqslant -2a\) , և երկու լուծում, եթե \(x_2>-2a\):

2.1) \(\dfrac3(a+1)\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) մենք ունենք մեկ արմատ \(x=-2a\) .

2.2) \(\dfrac3(a+1)>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \)մենք ունենք երկու արմատ \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3(a+1)\) .

Պատասխան.

\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\( -2a;\frac3(a+1)\)\)

Ինչպես ցույց է տալիս վիճակագրությունը, շատ շրջանավարտներ մաթեմատիկայի 2019 թվականի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելիս ամենադժվարն են համարում պարամետրով խնդիրների լուծումներ գտնելը։ Սա ինչի՞ հետ է կապված։ Փաստն այն է, որ հաճախ պարամետրի հետ կապված խնդիրները պահանջում են լուծման հետազոտական ​​մեթոդների օգտագործում, այսինքն, ճիշտ պատասխանը հաշվարկելիս ձեզ հարկավոր կլինի ոչ միայն կիրառել բանաձևեր, այլև գտնել այն պարամետրային արժեքները, որոնց դեպքում որոշակի պայման քանի որ արմատները բավարարված են: Միևնույն ժամանակ, երբեմն կարիք չկա ինքնուրույն փնտրել արմատները։

Այնուամենայնիվ, բոլոր ուսանողները, ովքեր պատրաստվում են հանձնել միասնական պետական ​​քննությունը, պետք է գլուխ հանեն պարամետրերով առաջադրանքների լուծմանը։ Նմանատիպ առաջադրանքներ պարբերաբար հանդիպում են սերտիֆիկացման թեստերի ժամանակ: Shkolkovo կրթական պորտալը կօգնի ձեզ լրացնել գիտելիքների բացերը և սովորել, թե ինչպես արագ լուծումներ գտնել մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննության պարամետրով առաջադրանքների համար: Մեր փորձագետները պատրաստել և մատչելի ձևով ներկայացրել են այս թեմայի վերաբերյալ բոլոր հիմնական տեսական և գործնական նյութերը: Shkolkovo պորտալի միջոցով պարամետր ընտրելու խնդիրների լուծումը ձեզ համար հեշտ կլինի և որևէ դժվարություն չի առաջացնի:

Հիմնական պահեր

Կարևոր է հասկանալ, որ պարամետրերի ընտրության խնդիրները լուծելու համար պարզապես չկա մեկ ալգորիթմ: Ճիշտ պատասխանը գտնելու մեթոդները կարող են տարբեր լինել: Միասնական պետական ​​քննության ժամանակ պարամետրով մաթեմատիկական խնդիր լուծելը նշանակում է գտնել, թե ինչին է հավասար փոփոխականը պարամետրի որոշակի արժեքի դեպքում: Եթե ​​սկզբնական հավասարումը և անհավասարությունը կարելի է պարզեցնել, ապա դա պետք է արվի նախ: Որոշ խնդիրների դեպքում դուք կարող եք օգտագործել դրա լուծման ստանդարտ մեթոդները, կարծես պարամետրը սովորական թիվ է:

Դուք արդեն կարդացե՞լ եք այս թեմայի տեսական նյութը։ Մաթեմատիկայի միասնական պետական ​​քննությանը նախապատրաստվելիս տեղեկատվությունը ամբողջությամբ յուրացնելու համար խորհուրդ ենք տալիս պարամետրով առաջադրանքների կատարումը. Յուրաքանչյուր վարժության համար մենք տրամադրել ենք լուծման ամբողջական վերլուծություն և ճիշտ պատասխան: Համապատասխան բաժնում կգտնեք ինչպես պարզ, այնպես էլ ավելի բարդ առաջադրանքներ։ Ուսանողները կարող են պարամետրերով վարժություններ լուծել, որոնք մոդելավորվել են միասնական պետական ​​քննության առաջադրանքների հիման վրա, առցանց, Մոսկվայում կամ Ռուսաստանի ցանկացած այլ քաղաքում:

Մարդը, ով գիտի, թե ինչպես լուծել պարամետրերով խնդիրներ, հիանալի գիտի տեսությունը և գիտի այն կիրառել ոչ թե մեխանիկորեն, այլ տրամաբանությամբ։ Նա «հասկանում» է գործառույթը, «զգում» է այն, համարում է իր ընկերը կամ գոնե լավ ծանոթը և պարզապես չգիտի դրա գոյության մասին։

Ի՞նչ է պարամետրով հավասարումը: Թող տրվի f (x; a) = 0 հավասարումը, եթե խնդիր է դրված գտնել բոլոր այն զույգերը (x; a), որոնք բավարարում են այս հավասարումը, ապա այն դիտարկվում է որպես հավասարում x և a երկու հավասար փոփոխականներով: Բայց մենք կարող ենք մեկ այլ խնդիր դնել՝ ենթադրելով, որ փոփոխականները անհավասար են: Փաստն այն է, որ եթե փոփոխականին տալիս եք որևէ հաստատուն արժեք, ապա f (x; a) = 0-ը վերածվում է x մեկ փոփոխականով հավասարման, և այս հավասարման լուծումները, բնականաբար, կախված են a-ի ընտրված արժեքից:

Պարամետրով հավասարումների (և հատկապես անհավասարությունների) լուծման հետ կապված հիմնական դժվարությունը հետևյալն է. - պարամետրի որոշ արժեքների համար հավասարումը լուծումներ չունի. -մյուսների հետ – ունի անսահման շատ լուծումներ; - երրորդ դեպքում այն ​​լուծվում է նույն բանաձևերով. - չորրորդով - այն լուծվում է այլ բանաձևերի միջոցով: - Եթե f (x; a) = 0 հավասարումը պետք է լուծվի X փոփոխականի նկատմամբ, իսկ a-ն հասկացվում է որպես կամայական իրական թիվ, ապա հավասարումը կոչվում է a պարամետրով հավասարում:

f (x; a) = 0 պարամետրով հավասարման լուծումը նշանակում է f (x; a) = 0 հավասարման արդյունքում առաջացած հավասարումների ընտանիք լուծել պարամետրի ցանկացած իրական արժեքի համար: Պարամետրով հավասարումը իրականում հավասարումների անսահման ընտանիքի կարճ ներկայացում է։ Ընտանիքի հավասարումներից յուրաքանչյուրը ստացվում է տվյալ հավասարումից՝ պարամետրի որոշակի արժեքի պարամետրով։ Այսպիսով, պարամետրով հավասարման լուծման խնդիրը կարելի է ձևակերպել հետևյալ կերպ.

Անհնար է գրել յուրաքանչյուր հավասարում անվերջ ընտանիքից, բայց, այնուամենայնիվ, անսահման ընտանիքի յուրաքանչյուր հավասարում պետք է լուծվի։ Դա կարելի է անել, օրինակ՝ բոլոր պարամետրերի արժեքների բազմությունը բաժանելով ենթաբազմությունների՝ ըստ համապատասխան չափանիշի, այնուհետև այս ենթաբազմություններից յուրաքանչյուրի վրա լուծելով տրված հավասարումը: Գծային հավասարումների լուծում

Պարամետրերի արժեքների հավաքածուն ենթաբազմությունների բաժանելու համար օգտակար է օգտագործել այն պարամետրային արժեքները, որոնց միջով կամ անցնելիս տեղի է ունենում հավասարման որակական փոփոխություն: Նման պարամետրերի արժեքները կարելի է անվանել հսկիչ կամ հատուկ: Պարամետրերով հավասարումը լուծելու արվեստը հենց այն է, որ կարողանանք գտնել պարամետրի կառավարման արժեքները:

Տիպ 1. Հավասարումներ, անհավասարություններ, դրանց համակարգեր, որոնք պետք է լուծվեն կամ պարամետրի ցանկացած արժեքի կամ նախապես որոշված ​​բազմությանը պատկանող պարամետրերի արժեքների համար: Խնդիրների այս տեսակը հիմնական է «Պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ» թեմայի յուրացման ժամանակ, քանի որ ներդրված աշխատանքը կանխորոշում է հաջողություն բոլոր մյուս հիմնական տեսակների խնդիրների լուծման գործում:

Տիպ 2. Հավասարումներ, անհավասարություններ, դրանց համակարգեր, որոնց համար անհրաժեշտ է որոշել լուծումների քանակը՝ կախված պարամետրի (պարամետրերի) արժեքից։ Այս տիպի խնդիրներ լուծելիս կարիք չկա ո՛չ լուծել տրված հավասարումները, անհավասարությունները կամ դրանց համակարգերը, ո՛չ էլ այդ լուծումները տալ. Շատ դեպքերում նման անհարկի աշխատանքը մարտավարական սխալ է, որը հանգեցնում է ժամանակի անհարկի վատնման։ Բայց երբեմն ուղղակի լուծումը 2-րդ տիպի խնդիր լուծելիս պատասխանը ստանալու միակ ողջամիտ միջոցն է:

Տիպ 3. Հավասարումներ, անհավասարություններ, դրանց համակարգեր, որոնց համար պահանջվում է գտնել բոլոր այն պարամետրային արժեքները, որոնց համար նշված հավասարումները, անհավասարությունները և դրանց համակարգերը ունեն որոշակի թվով լուծումներ (մասնավորապես՝ չունեն կամ չունեն. անսահման թվով լուծումներ): 3-րդ տիպի խնդիրները ինչ-որ առումով հակադարձ են 2-րդ տիպի խնդիրներին:

Տեսակ 4. Հավասարումներ, անհավասարություններ, դրանց համակարգեր և բազմություններ, որոնց համար պարամետրի պահանջվող արժեքների համար լուծումների բազմությունը բավարարում է սահմանման տիրույթում նշված պայմանները: Օրինակ, գտե՛ք պարամետրերի արժեքները, որոնց դեպքում՝ 1) հավասարումը բավարարված է տվյալ ինտերվալից փոփոխականի ցանկացած արժեքի համար. 2) առաջին հավասարման լուծումների բազմությունը երկրորդ հավասարման լուծումների բազմության ենթաբազմություն է և այլն:

Պարամետրով խնդիրների լուծման հիմնական մեթոդները (մեթոդները): Մեթոդ I (վերլուծական): Պարամետրով խնդիրների լուծման վերլուծական մեթոդը ամենադժվար մեթոդն է, որը պահանջում է բարձր գրագիտություն և դրա յուրացման համար մեծ ջանքեր։ Մեթոդ II (գրաֆիկական): Կախված խնդրից (x փոփոխականով և a պարամետրով), գրաֆիկները դիտարկվում են կամ Oxy կոորդինատային հարթությունում կամ Oxy կոորդինատային հարթությունում։ Մեթոդ III (որոշում պարամետրի վերաբերյալ): Այս կերպ լուծելիս x և a փոփոխականները ենթադրվում են հավասար, և ընտրվում է այն փոփոխականը, որի նկատմամբ վերլուծական լուծումն ավելի պարզ է համարվում։ Բնական պարզեցումներից հետո վերադառնում ենք x և a փոփոխականների սկզբնական իմաստին և ավարտում լուծումը։

Օրինակ 1. Գտեք a պարամետրի արժեքները, որոնց համար a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a հավասարումը ունի մեկ բացասական արմատ: Լուծում. Այս հավասարումը համարժեք է հետևյալին. Եթե ​​a(a + 3) 0, այսինքն՝ a 0, a –3, ապա հավասարումն ունի մեկ արմատ x =: X

Օրինակ 2. Լուծե՛ք հավասարումը. Լուծում. Քանի որ կոտորակի հայտարարը չի կարող հավասար լինել զրոյի, ունենք (b – 1)(x + 3) 0, այսինքն՝ b 1, x –3։ Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկելով (b – 1)(x + 3) 0-ով, ստանում ենք հավասարումը. x փոփոխականի նկատմամբ այս հավասարումը գծային է: 4b – 9 = 0, այսինքն b = 2,25, հավասարումը ստանում է ձև. 4b – 9 0, այսինքն b 2,25, հավասարման արմատը x = է: Այժմ մենք պետք է ստուգենք, թե արդյոք կան b-ի արժեքներ, որոնց համար x-ի գտնված արժեքը հավասար է –3-ի: Այսպիսով, b 1, b 2.25, b –0.4 համար հավասարումն ունի մեկ արմատ x =: Պատասխան՝ b 1, b 2.25, b –0.4 արմատ x = b = 2.25, b = –0.4 համար լուծումներ չկան; երբ b = 1 հավասարումը իմաստ չունի:

2 և 3 խնդիրների տեսակներն առանձնանում են նրանով, որ դրանք լուծելիս անհրաժեշտ է ոչ թե հստակ լուծում ստանալ, այլ միայն գտնել այն պարամետրային արժեքները, որոնց դեպքում այս լուծումը բավարարում է որոշակի պայմաններին: Լուծման նման պայմանների օրինակները հետևյալն են. լուծում կա. լուծում չկա; կա միայն մեկ լուծում. կա դրական լուծում; կան հենց k լուծումներ; կա նշված միջակայքին պատկանող լուծում: Այս դեպքերում պարամետրերով խնդիրների լուծման գրաֆիկական մեթոդը շատ օգտակար է ստացվում։

f (x) = f (a) հավասարումը լուծելիս մենք կարող ենք տարբերակել գրաֆիկական մեթոդի կիրառման երկու տեսակ. համարվում է. Սա ներառում է նաև «տողերի փաթեթի» միջոցով լուծված խնդիրներ: Այս մեթոդը պարզվում է, որ հարմար է երկու անհայտ և մեկ պարամետր ունեցող խնդիրների դեպքում։ Ox հարթության վրա (որը նաև կոչվում է փուլային հարթություն) դիտարկվում են գրաֆիկներ, որոնցում x-ը արգումենտն է, իսկ a-ն՝ ֆունկցիայի արժեքը։ Այս մեթոդը սովորաբար օգտագործվում է այն խնդիրների դեպքում, որոնք ներառում են միայն մեկ անհայտ և մեկ պարամետր (կամ կարող են կրճատվել մինչև այդպիսին):

Օրինակ 1. a պարամետրի ո՞ր արժեքների համար է 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a հավասարումը առնվազն երեք արմատ: Լուծում. Կառուցենք f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 և f (x) = a ֆունկցիաների գրաֆիկները մեկ կոորդինատային համակարգում։ Մենք ունենք՝ f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2)(x – 1), f "(x) = 0 ժամը x = –2 (նվազագույն կետ), ժամը x = 0 (առավելագույնը կետ ) և x = 1 (առավելագույն կետ): Եկեք գտնենք ֆունկցիայի արժեքները ծայրահեղ կետերում՝ f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5: Մենք կառուցում ենք ֆունկցիայի սխեմատիկ գրաֆիկը՝ հաշվի առնելով ծայրահեղ կետերը։ Գրաֆիկական մոդելը թույլ է տալիս մեզ պատասխանել տրված հարցին. 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a ունի առնվազն երեք արմատ, եթե –5

Օրինակ 2. Քանի՞ արմատ ունի հավասարումը a պարամետրի տարբեր արժեքների համար: Լուծում. Տրված հարցի պատասխանը կապված է y = կիսաշրջանի գրաֆիկի և y = x + a ուղիղ գծի հատման կետերի քանակի հետ։ Ուղիղ գիծը, որը շոշափելի է, ունի y = x + բանաձևը: Տրված հավասարումը a-ում արմատներ չունի; ունի մեկ արմատ –2-ում

Օրինակ 3. Քանի՞ լուծում է լուծում |x + 2| = կացին + 1 կախված ա պարամետրից: Լուծում. Դուք կարող եք գծագրել գրաֆիկները y = |x + 2| և y = կացին + 1. Բայց մենք դա այլ կերպ կանենք: x = 0 (21) դեպքում լուծումներ չկան: Հավասարումը բաժանե՛ք x-ի և դիտարկե՛ք երկու դեպք՝ 1) x > –2 կամ x = 2 2) 2) x –2 կամ x = 2 2) 2) x

Ինքնաթիռում «գծերի փաթեթ» օգտագործելու օրինակ: Գտեք a պարամետրի արժեքները, որոնց համար հավասարվում է |3x + 3| = կացին + 5 ունի յուրահատուկ լուծում. Լուծում. Հավասարում |3x + 3| = ax + 5-ը համարժեք է հետևյալ համակարգին. y – 5 = a(x – 0) հավասարումը հարթության վրա սահմանում է A կենտրոնով գծերի մատիտ (0; 5): Եկեք ուղիղ գծեր գծենք մի փունջ ուղիղ գծերից, որոնք զուգահեռ կլինեն անկյունի կողմերին, որը y = |3x + 3|-ի գրաֆիկն է: Այս l և l 1 ուղիղները հատում են գրաֆիկը y = |3x + 3|: Այս ուղիղների հավասարումներն են y = 3x + 5 և y = –3x + 5: Բացի այդ, այս տողերի միջև գտնվող մատիտից ցանկացած տող հատելու է նաև y = |3x + 3 գրաֆիկը: մի կողմից. Սա նշանակում է, որ պարամետրի պահանջվող արժեքները [–3; 3]։

Ֆազային հարթության միջոցով հավասարումների լուծման ալգորիթմ. 1. Գտե՛ք հավասարման սահմանման տիրույթը: 2. a պարամետրը արտահայտի՛ր x-ի ֆունկցիայով: 3. xOa կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք a = f(x) ֆունկցիայի գրաֆիկը x-ի այն արժեքների համար, որոնք ներառված են այս հավասարման սահմանման տիրույթում: 4. Գտե՛ք a = c ուղիղ գծի հատման կետերը, որտեղ c є (-; +) a = f (x) ֆունկցիայի գրաֆիկի հետ: Եթե ​​a = c ուղիղը հատում է a = f(x) գրաֆիկը, ապա որոշում ենք հատման կետերի աբսցիսները։ Դա անելու համար բավական է x-ի համար լուծել a = f(x) հավասարումը: 5. Գրի՛ր պատասխանը:

Անհավասարության լուծման օրինակ՝ օգտագործելով «փուլային հարթությունը»: Լուծե՛ք x անհավասարությունը. Լուծում. Համարժեք անցումով Այժմ Ox հարթության վրա մենք կկառուցենք ֆունկցիաների գրաֆիկները Պարաբոլայի և ուղիղ գծի հատման կետերը x 2 – 2x = –2x x = 0: a –2x պայմանը ավտոմատ կերպով բավարարվում է x 2 – 2x-ում: Այսպիսով, ձախ կես հարթությունում (x

Դիպլոմ

Հետազոտական ​​հմտությունները կարելի է բաժանել ընդհանուր և հատուկ: Ընդհանուր հետազոտական ​​հմտությունները, որոնց ձևավորումն ու զարգացումը տեղի է ունենում պարամետրերով խնդիրների լուծման գործընթացում, ներառում են. արմատները; վերլուծական և գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդների կիրառման կարողություն....

Պարամետրով հավասարումները և անհավասարությունները՝ որպես 7-9-րդ դասարանների աշակերտների հետազոտական ​​հմտությունները զարգացնելու միջոց (շարադրություն, դասընթաց, դիպլոմ, թեստ)

Ավարտական ​​աշխատանք

Պթեմայի մասին: Պարամետրով հավասարումները և անհավասարությունները՝ որպես հետազոտության ձևավորման միջոց 7-9-րդ դասարանների սովորողների հմտությունները

Ստեղծագործական մտածողության կարողությունների զարգացումն անհնար է խնդրահարույց իրավիճակներից դուրս, հետևաբար ուսուցման մեջ առանձնահատուկ նշանակություն ունեն ոչ ստանդարտ առաջադրանքները։ Դրանք ներառում են նաև պարամետր պարունակող առաջադրանքներ: Այս խնդիրների մաթեմատիկական բովանդակությունը դուրս չի գալիս ծրագրի շրջանակներից, սակայն դրանց լուծումը, որպես կանոն, դժվարություններ է առաջացնում աշակերտների համար։

Մինչև 60-ական թվականների դպրոցական մաթեմատիկայի կրթության բարեփոխումը, դպրոցական ծրագիրը և դասագրքերը ունեին հատուկ բաժիններ՝ գծային և քառակուսի հավասարումների ուսումնասիրություն, գծային հավասարումների համակարգերի ուսումնասիրություն։ Որտեղ խնդիր էր դրված ուսումնասիրել հավասարումներ, անհավասարություններ և համակարգեր՝ կախված ցանկացած պայմաններից կամ պարամետրերից:

Ծրագիրը ներկայումս չի պարունակում կոնկրետ հղումներ ուսումնասիրություններին կամ պարամետրերին հավասարումներում կամ անհավասարություններում: Բայց դրանք հենց մաթեմատիկայի արդյունավետ միջոցներից են, որոնք օգնում են լուծել ծրագրով սահմանված ինտելեկտուալ անհատականության ձեւավորման խնդիրը։ Այս հակասությունը վերացնելու համար անհրաժեշտություն առաջացավ ստեղծել ընտրովի դասընթաց «Հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրերով» թեմայով։ Հենց սա է որոշում այս աշխատանքի արդիականությունը:

Պարամետրերով հավասարումները և անհավասարությունները հիանալի նյութ են իրական հետազոտական ​​աշխատանքի համար, սակայն դպրոցական ծրագիրը որպես առանձին թեմա չի ներառում պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ:

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի խնդիրների մեծ մասի լուծումը նպատակաուղղված է դպրոցականների մոտ զարգացնել այնպիսի որակներ, ինչպիսիք են գործող ծրագրերին համապատասխան կանոնների և գործողությունների ալգորիթմների տիրապետում և հիմնարար հետազոտություններ իրականացնելու կարողություն:

Գիտության մեջ հետազոտությունը նշանակում է օբյեկտի ուսումնասիրություն՝ նրա առաջացման, զարգացման և փոխակերպման օրինաչափությունները բացահայտելու նպատակով: Հետազոտության գործընթացում օգտագործվում են կուտակված փորձը, առկա գիտելիքները, ինչպես նաև օբյեկտների ուսումնասիրման մեթոդներն ու մեթոդները։ Հետազոտության արդյունքը պետք է լինի նոր գիտելիքների ձեռքբերումը։ Ուսումնական հետազոտության գործընթացում սինթեզվում են սովորողի կողմից մաթեմատիկական առարկաների ուսումնասիրության մեջ կուտակած գիտելիքներն ու փորձը։

Պարամետրային հավասարումների և անհավասարությունների նկատմամբ կիրառելիս կարելի է առանձնացնել հետևյալ հետազոտական ​​հմտությունները.

1) պարամետրի միջոցով տվյալ պարամետրային հավասարման համար որոշակի դասի հավասարումների պատկանելու պայմանները արտահայտելու ունակություն.

2) հավասարման տեսակը որոշելու և պարամետրերից կախված գործակիցների տեսակը որոշելու ունակություն.

3) պարամետրերի միջոցով արտահայտելու ունակությունը, պարամետրային հավասարման լուծումների առկայության պայմանները.

4) արմատների (լուծույթների) առկայության դեպքում կարողանալ արտահայտել որոշակի քանակությամբ արմատների (լուծույթների) առկայության պայմանները.

5) պարամետրերի միջոցով պարամետրային հավասարումների (անհավասարումների լուծումներ) արմատներն արտահայտելու ունակություն.

Պարամետրերով հավասարումների և անհավասարությունների զարգացման բնույթը որոշվում է ուսանողների մտավոր գործունեության բազմաթիվ տեսակների իրականացման ունակությամբ.

Որոշակի մտածողության ալգորիթմների մշակում, Արմատների առկայությունը և քանակը որոշելու ունակություն (հավասարման, համակարգում);

Դրա հետևանք հանդիսացող հավասարումների ընտանիքների լուծում.

Մեկ փոփոխականի արտահայտում մյուսի առումով.

Հավասարման սահմանման տիրույթի որոնում;

Բանաձևերի մեծ ծավալի կրկնություն լուծելիս;

լուծման համապատասխան մեթոդների իմացություն;

Բանավոր և գրաֆիկական փաստարկների լայն օգտագործում;

Ուսանողների գրաֆիկական մշակույթի զարգացում;

Վերը նշված բոլորը թույլ են տալիս խոսել դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում պարամետրերով հավասարումների և անհավասարությունների ուսումնասիրության անհրաժեշտության մասին։

Ներկայումս պարամետրերի հետ կապված խնդիրների դասը դեռ հստակ մեթոդաբար մշակված չէ։ «Քառակորդային հավասարումներ և պարամետրով անհավասարություններ» ընտրովի դասընթացի թեմայի ընտրության արդիականությունը պայմանավորված է դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում «Քառորդական եռանկյունը և նրա հատկությունները» թեմայի կարևորությամբ և, միևնույն ժամանակ, բացակայությամբ. ժամանակն է դիտարկել պարամետր պարունակող քառակուսի եռանդամի ուսումնասիրության հետ կապված խնդիրները:

Մեր աշխատանքում մենք ուզում ենք ցույց տալ, որ պարամետրային խնդիրները չպետք է բարդ հավելում լինեն ուսումնասիրվող հիմնական նյութին, որին կարող են տիրապետել միայն ընդունակ երեխաները, այլ կարող են և պետք է օգտագործվեն հանրակրթական դպրոցում, որը կհարստացնի ուսումը նոր մեթոդներով։ և գաղափարներ և օգնել ուսանողներին զարգացնել իրենց մտածողությունը:

Աշխատանքի նպատակն է ուսումնասիրել պարամետրերով հավասարումների և անհավասարությունների տեղը հանրահաշվի դասընթացում 7-9-րդ դասարանների համար, մշակել «Քառորդական հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրով» ընտրովի դասընթաց և դրա իրականացման մեթոդական առաջարկություններ:

Ուսումնասիրության առարկան հանրակրթական դպրոցի 7-9-րդ դասարաններում մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացն է:

Հետազոտության առարկան հանրակրթական դպրոցում պարամետրերով հավասարումների և անհավասարությունների լուծման բովանդակությունն է, ձևերը, մեթոդներն ու միջոցները՝ ապահովելով «Քառակուսի հավասարումներ և պարամետրով անհավասարություններ» ընտրովի դասընթացի մշակումը։

Հետազոտության վարկածն այն է, որ այս ընտրովի դասընթացը կօգնի ավելի խորը ուսումնասիրել մաթեմատիկայի «Հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրերով» բաժնի բովանդակությունը, վերացնել դպրոցների շրջանավարտների և բուհերի դիմորդների պատրաստման համար մաթեմատիկայի պահանջների անհամապատասխանությունը, և ընդլայնել ուսանողների մտավոր գործունեության զարգացման հնարավորությունները, եթե այն ուսումնասիրելու ընթացքում կօգտագործվեն հետևյալը.

· Դպրոցականների աշխատանքը ուսումնական գրականության հետ պարամետրով քառակուսի հավասարումների և անհավասարությունների լուծման գրաֆիկական տեխնիկայի դիտարկում.

· Պարամետր պարունակող քառակուսի եռանկյունի ուսումնասիրության խնդիրների լուծում՝ օգտագործելով դպրոցականների ինքնակառավարումը և փոխադարձ վերահսկողությունը.

· «Քառակուսի եռանկյունի արմատների նշանը», «աբսցիսային առանցքի նկատմամբ պարաբոլայի գտնվելու վայրը» թեմաներով նյութի ամփոփման աղյուսակներ.

· Ուսուցման արդյունքների գնահատման տարբեր մեթոդների և միավորների կուտակային համակարգի կիրառում;

· Դասընթացի բոլոր թեմաների ուսումնասիրումը՝ ուսանողին հնարավորություն տալով ինքնուրույն գտնել խնդրի լուծման ուղիները.

Հետազոտության նպատակի, օբյեկտի, առարկայի և վարկածի համաձայն առաջադրվում են հետազոտության հետևյալ նպատակները.

· դիտարկել ընդհանուր դրույթներ 7-9-րդ դասարանների պարամետրերով հավասարումների և անհավասարությունների ուսումնասիրության համար;

· մշակել հանրահաշվի ընտրովի դասընթաց «Քառակուսի հավասարումներ և անհավասարություններ պարամետրով» և դրա իրականացման մեթոդաբանություն.

Ուսումնասիրության ընթացքում օգտագործվել են հետևյալ մեթոդները.

· գրականության վերլուծություն;

· ընտրովի դասընթացներ մշակելու փորձի վերլուծություն.

Գլուխ 1. Հոգեբանական և մանկավարժական առանձնահատկությունները ուսումնասիրելով Թեմաներ « Պարամետրերով հավասարումներ և անհավասարումներ» հանրահաշվի ընթացքում 7−9 դաս

§ 1. Տարիքային, ֆիզիոլոգիական և հոգեբանական բնութագրերը7-9-րդ դասարանների դպրոցականների առավելությունները

Միջին դպրոցական տարիքը (պատանեկությունը) բնութագրվում է ամբողջ օրգանիզմի արագ աճով և զարգացումով։ Մարմնի երկարության ինտենսիվ աճ է նկատվում (տղաների մոտ՝ տարեկան 6–10 սանտիմետր, իսկ աղջիկների մոտ՝ մինչև 6–8 սանտիմետր)։ Կմախքի ոսկրացումը շարունակվում է, ոսկորները ձեռք են բերում առաձգականություն և կարծրություն, իսկ մկանների ուժը մեծանում է: Այնուամենայնիվ, ներքին օրգանների զարգացումը տեղի է ունենում անհավասարաչափ, արյան անոթների աճը հետ է մնում սրտի աճից, ինչը կարող է առաջացնել նրա գործունեության ռիթմի խախտում և սրտի հաճախության բարձրացում: Զարգանում է թոքային ապարատը, այս տարիքում շնչառությունը դառնում է արագ։ Ուղեղի ծավալը մոտենում է չափահաս մարդու ուղեղին: Բարելավվում է ուղեղի կեղևի կառավարումը բնազդների և զգացմունքների նկատմամբ։ Այնուամենայնիվ, գրգռման գործընթացները դեռ գերակշռում են արգելակման գործընթացներին: Սկսվում է ասոցիատիվ մանրաթելերի ավելացված ակտիվությունը:

Այս տարիքում առաջանում է սեռական հասունություն: Աճում է էնդոկրին գեղձերի, մասնավորապես սեռական գեղձերի ակտիվությունը։ Առաջանում են երկրորդական սեռական հատկանիշներ. Դեռահասի մարմինը ավելի մեծ հոգնածություն է ցուցաբերում դրա կտրուկ փոփոխությունների պատճառով: Դեռահասի ընկալումն ավելի կենտրոնացված է, կազմակերպված և պլանավորված, քան ավելի երիտասարդ դպրոցականի: Դեռահասի վերաբերմունքը դիտարկվող օբյեկտի նկատմամբ որոշիչ նշանակություն ունի: Ուշադրությունը կամավոր է, ընտրովի։ Դեռահասը կարող է երկար ժամանակ կենտրոնանալ հետաքրքիր նյութի վրա։ Առաջին պլան է մղվում հասկացությունների մտապահումը, որոնք անմիջականորեն կապված են տեղեկատվության ըմբռնման, վերլուծության և համակարգման հետ: Դեռահասությունը բնութագրվում է քննադատական ​​մտածողությամբ: Այս տարիքի ուսանողներին բնորոշ է տրամադրված տեղեկատվության նկատմամբ ավելի մեծ պահանջներ: Բարելավվում է վերացական մտածողության ունակությունը. Դեռահասների մոտ զգացմունքների արտահայտումը հաճախ բավականին բուռն է: Զայրույթը հատկապես ուժեղ է: Այս տարիքը բավականին բնութագրվում է համառությամբ, եսասիրությամբ, ինքնամփոփությամբ, զգացմունքների սրությամբ և ուրիշների հետ կոնֆլիկտներով: Այս դրսեւորումները ուսուցիչներին ու հոգեբաններին թույլ տվեցին խոսել դեռահասության ճգնաժամի մասին։ Ինքնության ձևավորումը մարդուց պահանջում է վերանայել իր կապերը ուրիշների հետ, իր տեղը այլ մարդկանց մեջ: Դեռահասության շրջանում տեղի է ունենում անհատականության ինտենսիվ բարոյական և սոցիալական ձևավորում: Ընթացքի մեջ է բարոյական իդեալների և բարոյական համոզմունքների ձևավորման գործընթացը։ Նրանք հաճախ ունենում են անկայուն, հակասական բնույթ։

Դեռահասների շփումը մեծահասակների հետ էապես տարբերվում է կրտսեր դպրոցականների շփումից։ Դեռահասները հաճախ մեծահասակներին չեն համարում ազատ հաղորդակցության հնարավոր գործընկերներ, նրանք մեծահասակներին ընկալում են որպես իրենց կյանքի կազմակերպման և աջակցության աղբյուր, իսկ մեծահասակների կազմակերպչական գործառույթը դեռահասների կողմից առավել հաճախ ընկալվում է որպես միայն սահմանափակող և կարգավորող:

Կրճատվում է ուսուցիչներին ուղղված հարցերի թիվը. Տրված հարցերն առաջին հերթին վերաբերում են դեռահասների կյանքի գործունեության կազմակերպմանը և բովանդակությանը այն դեպքերում, երբ նրանք չեն կարող անել առանց մեծահասակների համապատասխան տեղեկատվության և հրահանգների: Կրճատվել է էթիկական հարցերի թիվը. Նախորդ տարիքի համեմատ զգալիորեն նվազել է ուսուցչի հեղինակությունը՝ որպես սոցիալական նորմերի կրող և կյանքի բարդ խնդիրների լուծման հնարավոր օգնական։

§ 2. Ուսումնական գործունեության տարիքային բնութագրերը

Ուսուցումը դեռահասի հիմնական գործունեությունն է։ Դեռահասի կրթական գործունեությունն ունի իր դժվարություններն ու հակասությունները, սակայն կան նաև առավելություններ, որոնց վրա կարող է և պետք է ապավինել ուսուցիչը։ Դեռահասի մեծ առավելությունը նրա պատրաստակամությունն է բոլոր տեսակի կրթական գործունեությանը, որոնք նրան դարձնում են չափահաս իր աչքում։ Նրան գրավում են դասարանում դասերի կազմակերպման ինքնուրույն ձևերը, համալիր ուսումնական նյութը և դպրոցից դուրս իր ճանաչողական գործունեությունը ինքնուրույն կառուցելու հնարավորությունը։ Այնուամենայնիվ, դեռահասը չգիտի, թե ինչպես պետք է գիտակցել այդ պատրաստակամությունը, քանի որ չգիտի, թե ինչպես իրականացնել կրթական գործունեության նոր ձևեր։

Դեռահասը հուզականորեն արձագանքում է նոր ուսումնական առարկային, և ոմանց համար այդ արձագանքը բավական արագ անհետանում է: Հաճախ նրանց ընդհանուր հետաքրքրությունը ուսման և դպրոցի նկատմամբ նույնպես նվազում է։ Ինչպես ցույց է տալիս հոգեբանական հետազոտությունը, հիմնական պատճառը ուսանողների մոտ ուսուցման հմտությունների զարգացման բացակայությունն է, ինչը հնարավորություն չի տալիս բավարարել տարիքի ներկայիս կարիքը՝ ինքնահաստատման անհրաժեշտությունը:

Ուսուցման արդյունավետության բարձրացման ուղիներից է ուսումնական մոտիվների նպատակային ձեւավորումը։ Սա ուղղակիորեն կապված է տարիքի գերակշռող կարիքների բավարարման հետ։ Այդ կարիքներից մեկը ճանաչողականն է: Երբ այն բավարարվում է, նրա մոտ ձևավորվում են կայուն ճանաչողական հետաքրքրություններ, որոնք էլ պայմանավորում են նրա դրական վերաբերմունքը ակադեմիական առարկաների նկատմամբ։ Դեռահասներին շատ է գրավում ընդլայնվելու, գիտելիքները հարստացնելու, ուսումնասիրվող երեւույթների էության մեջ ներթափանցելու, պատճառահետևանքային կապեր հաստատելու հնարավորությունը։ Նրանք մեծ զգացմունքային բավարարվածություն են ապրում հետազոտական ​​գործունեությունից: Ճանաչողական կարիքները և ճանաչողական հետաքրքրությունները չբավարարելը ոչ միայն ձանձրույթի և անտարբերության վիճակ է առաջացնում, այլև երբեմն կտրուկ բացասական վերաբերմունք «անհետաքրքիր առարկաների» նկատմամբ։ Այս դեպքում հավասարապես կարևոր են և՛ բովանդակությունը, և՛ գիտելիքի ձեռքբերման գործընթացը, մեթոդներն ու տեխնիկան:

Դեռահասների հետաքրքրությունները տարբերվում են նրանց ճանաչողական գործունեության ուղղությամբ։ Որոշ ուսանողներ նախընտրում են նկարագրական նյութը, նրանց գրավում են անհատական ​​փաստերը, մյուսները ձգտում են հասկանալ ուսումնասիրվող երևույթների էությունը, բացատրել դրանք տեսության տեսանկյունից, մյուսներն ավելի ակտիվ են գիտելիքները գործնականում օգտագործելու մեջ, մյուսները՝ ստեղծագործական: , հետազոտական ​​գործունեություն։ 15]

Ճանաչողական հետաքրքրությունների հետ մեկտեղ գիտելիքի նշանակության ըմբռնումը էական է դեռահասների ուսման նկատմամբ դրական վերաբերմունքի համար: Նրանց համար շատ կարևոր է գիտակցել և ըմբռնել գիտելիքի կենսական նշանակությունը և, առաջին հերթին, դրա նշանակությունը անձնական զարգացման համար: Դեռահասը սիրում է բազմաթիվ ուսումնական առարկաներ, քանի որ դրանք բավարարում են նրա՝ որպես համակողմանի զարգացած մարդու կարիքները։ Հավատքներն ու հետաքրքրությունները, միաձուլվելով, ստեղծում են դեռահասների մոտ աճող հուզական երանգ և որոշում նրանց ակտիվ վերաբերմունքը ուսման նկատմամբ:

Եթե ​​դեռահասը չի տեսնում գիտելիքի կենսական նշանակությունը, ապա նրա մոտ կարող են ձևավորվել բացասական համոզմունքներ և բացասական վերաբերմունք գոյություն ունեցող ակադեմիական առարկաների նկատմամբ։ Դեռահասների կողմից ուսման նկատմամբ բացասական վերաբերմունքի դեպքում էական նշանակություն ունի նրանց գիտակցությունը և փորձը որոշակի ակադեմիական առարկաների յուրացման ձախողման մասին: Անհաջողության վախը, պարտությունից վախը երբեմն ստիպում են դեռահասներին դպրոց չգնալու կամ դասը լքելու արժանահավատ պատճառներ փնտրել: Դեռահասի հուզական բարեկեցությունը մեծապես կախված է մեծահասակների կողմից նրա կրթական գործունեության գնահատականից: Հաճախ դեռահասի համար գնահատման իմաստը կրթական գործընթացում հաջողության հասնելու ցանկությունն է և դրանով իսկ վստահություն ձեռք բերել իրենց կարողությունների և հնարավորությունների նկատմամբ: Դա պայմանավորված է տարիքի այնպիսի գերիշխող կարիքով, ինչպիսին է իրեն որպես մարդ գիտակցելու և գնահատելու անհրաժեշտությունը, ուժեղ և թույլ կողմերը: Հետազոտությունները ցույց են տալիս, որ դեռահասության շրջանում է, որ ինքնագնահատականը գերիշխող դեր է խաղում: Դեռահասի հուզական բարեկեցության համար շատ կարևոր է, որ գնահատականն ու ինքնագնահատականը համընկնեն։ Հակառակ դեպքում առաջանում է ներքին, երբեմն էլ արտաքին կոնֆլիկտ։

Միջին դասարաններում սովորողները սկսում են սովորել և տիրապետել գիտության հիմունքներին: Ուսանողները պետք է տիրապետեն մեծ քանակությամբ գիտելիքների: Վարպետացվող նյութը մի կողմից պահանջում է կրթական, ճանաչողական և մտավոր գործունեության ավելի բարձր մակարդակ, քան նախկինում, իսկ մյուս կողմից՝ ուղղված դրանց զարգացմանը։ Ուսանողները պետք է տիրապետեն գիտական ​​հասկացությունների և տերմինների համակարգին, հետևաբար նոր ակադեմիական առարկաները նոր պահանջներ են ներկայացնում գիտելիքների ձեռքբերման մեթոդների նկատմամբ և ուղղված են ավելի բարձր մակարդակի ինտելեկտի զարգացմանը՝ տեսական, ֆորմալ, ռեֆլեկտիվ մտածողության: Այսպիսի մտածողությունը բնորոշ է դեռահասներին, սակայն այն սկսում է զարգանալ ավելի երիտասարդ դեռահասների մոտ։

Դեռահասի մտածողության զարգացման մեջ նորությունը կայանում է նրանում, որ նա վերաբերվում է ինտելեկտուալ խնդիրներին՝ որպես դրանց նախնական մտավոր լուծում պահանջող: Ինտելեկտուալ խնդիրների լուծման վարկածներով աշխատելու կարողությունը դեռահասի ամենակարևոր ձեռքբերումն է իրականությունը վերլուծելու համար: Ենթադրական մտածողությունը գիտական ​​դատողության տարբերակիչ գործիք է, այդ իսկ պատճառով այն կոչվում է ռեֆլեկտիվ մտածողություն: Թեև դպրոցում գիտական ​​հասկացությունների յուրացումն ինքնին ստեղծում է մի շարք օբյեկտիվ պայմաններ դպրոցականների տեսական մտածողության ձևավորման համար, այնուամենայնիվ, այն ձևավորվում է ոչ բոլորի մոտ. տարբեր ուսանողներ կարող են ունենալ դրա իրական ձևավորման տարբեր մակարդակներ և որակ:

Տեսական մտածողությունը կարող է ձևավորվել ոչ միայն դպրոցական գիտելիքների յուրացումով. Խոսքը դառնում է վերահսկվող և կառավարելի, և որոշ անձնական կարևոր իրավիճակներում դեռահասները հատկապես ձգտում են գեղեցիկ և ճիշտ խոսել: Գիտական ​​հասկացությունների յուրացման գործընթացում և արդյունքում ստեղծվում են մտածողության նոր բովանդակություն, մտավոր գործունեության նոր ձևեր։ Տեսական գիտելիքների ոչ համարժեք յուրացման էական ցուցանիշ է դեռահասի անկարողությունը լուծելու այն խնդիրները, որոնք պահանջում են այդ գիտելիքների օգտագործումը:

Կենտրոնական տեղը սկսում է զբաղեցնել նյութի բովանդակության, նրա ինքնատիպության և ներքին տրամաբանության վերլուծությունը։ Որոշ դեռահասների բնորոշ է ճկունությունը սովորելու ուղիներ ընտրելու հարցում, մյուսները նախընտրում են մեկ մեթոդ, իսկ ոմանք փորձում են կազմակերպել և տրամաբանորեն մշակել ցանկացած նյութ: Նյութերը տրամաբանորեն մշակելու ունակությունը հաճախ դեռահասների մոտ զարգանում է ինքնաբերաբար: Դրանից է կախված ոչ միայն ակադեմիական կատարումը, գիտելիքների խորությունն ու ուժը, այլև դեռահասի խելքի և կարողությունների հետագա զարգացման հնարավորությունը։

§ 3. Ուսումնական գործունեության կազմակերպում7-9-րդ դասարանների դպրոցականների առանձնահատկությունները

Դեռահասների կրթական գործունեության կազմակերպումն ամենակարևոր և բարդ խնդիրն է։ Միջին դպրոցի աշակերտը բավականին ընդունակ է հասկանալ ուսուցչի կամ ծնողի փաստարկները և համաձայնվել ողջամիտ փաստարկների հետ: Սակայն այս տարիքին բնորոշ մտածողության առանձնահատկություններից ելնելով, դեռահասին այլեւս չի բավարարի տեղեկատվության պատրաստի, ամբողջական ձևով փոխանցելու գործընթացը։ Նա կցանկանա ստուգել դրանց հավաստիությունը, համոզվել, որ իր դատողությունները ճիշտ են։ Ուսուցիչների, ծնողների և ընկերների հետ վեճերը այս տարիքի բնորոշ հատկանիշն են։ Նրանց կարևոր դերն այն է, որ թույլ են տալիս կարծիքներ փոխանակել թեմայի շուրջ, ստուգել ձեր տեսակետների և ընդհանուր ընդունված տեսակետների ճշմարտացիությունը և արտահայտվել: Մասնավորապես, դասավանդման մեջ մեծ ազդեցություն է ունենում խնդրահարույց առաջադրանքների ներդրումը։ Դասավանդման այս մոտեցման հիմքերը մշակվել են դեռևս 20-րդ դարի 60-70-ական թվականներին հայրենի ուսուցիչների կողմից: Խնդրի վրա հիմնված մոտեցման բոլոր գործողությունների հիմքում ընկած է կոնկրետ խնդիրների լուծման գիտելիքների պակասի գիտակցումն ու հակասությունների լուծումը: Ժամանակակից պայմաններում այս մոտեցումը պետք է իրականացվի ժամանակակից գիտության նվաճումների մակարդակի և ուսանողների սոցիալականացման խնդիրների համատեքստում։

Կարևոր է խրախուսել ինքնուրույն մտածողությունը, սեփական տեսակետն արտահայտող ուսանողը, համեմատելու, ընդհանուր և տարբերակիչ գծեր գտնելու, գլխավորը կարևորելու, պատճառահետևանքային կապեր հաստատելու, եզրակացություններ անելու կարողությունը:

Դեռահասի համար մեծ նշանակություն կունենա հետաքրքիր և հետաքրքրաշարժ տեղեկատվությունը, որը խթանում է նրա երևակայությունը և ստիպում մտածել: Լավ էֆեկտ է ձեռք բերվում՝ պարբերաբար փոփոխելով գործունեության տեսակները՝ ոչ միայն դասարանում, այլ նաև տնային առաջադրանք պատրաստելիս: Աշխատանքի մի շարք տեսակներ կարող են դառնալ ուշադրության մեծացման շատ արդյունավետ միջոց և ընդհանուր ֆիզիկական հոգնածության կանխարգելման կարևոր միջոց, որը կապված է ինչպես կրթական բեռի, այնպես էլ սեռական հասունացման ընթացքում մարմնի արմատական ​​վերակազմավորման ընդհանուր գործընթացի հետ: 20]

Նախքան դպրոցական ուսումնական ծրագրի համապատասխան բաժինները ուսումնասիրելը, ուսանողները հաճախ արդեն ունենում են որոշակի առօրյա գաղափարներ և հասկացություններ, որոնք թույլ են տալիս նրանց բավականին լավ կողմնորոշվել առօրյա պրակտիկայում: Այս հանգամանքը, երբ նրանց ուշադրությունը հատուկ չի հրավիրվում ձեռք բերած գիտելիքների գործնական կյանքի հետ կապի վրա, շատ ուսանողների զրկում է նոր գիտելիքներ ձեռք բերելու և յուրացնելու անհրաժեշտությունից, քանի որ վերջիններս իրենց համար գործնական նշանակություն չունեն։

Դեռահասների բարոյական իդեալներն ու բարոյական համոզմունքները ձևավորվում են բազմաթիվ գործոնների ազդեցության տակ, մասնավորապես՝ ուսուցման կրթական ներուժի ամրապնդման: Կյանքի բարդ խնդիրներ լուծելիս պետք է ավելի շատ ուշադրություն դարձնել դեռահասների գիտակցության վրա ազդելու անուղղակի մեթոդներին. չներկայացնել պատրաստի բարոյական ճշմարտություն, այլ տանել դրան, և չարտաբերել կատեգորիկ դատողություններ, որոնք դեռահասները կարող են թշնամաբար ընկալել:

§ 4. Կրթական հետազոտություն մաթեմատիկական կրթության բովանդակության և ուսանողների պատրաստվածության մակարդակի հիմնական պահանջների համակարգում

Պարամետրերով հավասարումները և անհավասարությունները հիանալի նյութ են իրական հետազոտական ​​աշխատանքի համար: Բայց դպրոցական ծրագիրը որպես առանձին թեմա չի ներառում պարամետրերի հետ կապված խնդիրները։

Եկեք վերլուծենք ռուսական դպրոցների կրթական ստանդարտի տարբեր բաժիններ՝ ուսուցման հետ կապված խնդիրների բացահայտման տեսանկյունից՝ պարամետրերով խնդիրներ լուծելու համար:

Ծրագրի նյութի ուսումնասիրությունը թույլ է տալիս տարրական դասարանների աշակերտներին «նախնական պատկերացում կազմել պարամետրերի հետ կապված խնդրի մասին, որոնք կարող են կրճատվել գծային և քառակուսի» և սովորել, թե ինչպես կառուցել ֆունկցիաների գրաֆիկներ և ուսումնասիրել այդ գրաֆիկների գտնվելու վայրը կոորդինատային հարթությունում՝ կախված բանաձևում ներառված պարամետրերի արժեքները.

«Գործառույթ» տողում չի նշվում «պարամետր» բառը, այլ ասվում է, որ ուսանողները հնարավորություն ունեն «կազմակերպել և զարգացնել գործառույթի մասին գիտելիքները. զարգացնել գրաֆիկական մշակույթ, սովորել սահուն «կարդալ» գրաֆիկները, արտացոլել ֆունկցիայի հատկությունները գրաֆիկի վրա»:

Վերլուծելով հանրահաշվի վերաբերյալ դպրոցական դասագրքերը, ինչպիսիք են՝ Ալիմով Շ. Ա. և այլք, Մորդկովիչ Ա. քիչ ուշադրություն է դարձվել. 7-րդ դասարանի դասագրքերում կան մի քանի օրինակներ գծային հավասարման արմատների քանակի հարցն ուսումնասիրելու, գծային ֆունկցիայի գրաֆիկի գտնվելու վայրի կախվածությունը y = kh և y = kh + b կախված արժեքներից: կ–ի 8-9-րդ դասարանների դասագրքերում, այնպիսի բաժիններում, ինչպիսիք են «Հարցեր արտադասարանական աշխատանքի համար» կամ «Կրկնվող վարժություններ», տրված են 2-3 առաջադրանքներ՝ պարամետրերով քառակուսի և երկքառակուսի հավասարումների արմատների ուսումնասիրության, գրաֆիկի գտնվելու վայրը. քառակուսի ֆունկցիա՝ կախված պարամետրերի արժեքներից:

Դպրոցների և խորացված ուսումնասիրությամբ դասարանների մաթեմատիկայի ծրագրում բացատրական գրության մեջ ասվում է, որ «Աշակերտների մաթեմատիկական պատրաստվածության պահանջներ» բաժինը սահմանում է գիտելիքների, հմտությունների և կարողությունների մոտավոր քանակությունը, որոնք դպրոցականները պետք է տիրապետեն: Այս շրջանակը, իհարկե, ներառում է այն գիտելիքները, կարողություններն ու հմտությունները, որոնց պարտադիր ձեռքբերումը բոլոր սովորողների կողմից նախատեսված է հանրակրթական դպրոցական ծրագրի պահանջներով. սակայն առաջարկվում է դրանց ձևավորման այլ, ավելի բարձր որակ։ Ուսանողները պետք է ձեռք բերեն բարդության պահանջվող մակարդակից ավելի բարձր մակարդակի խնդիրներ լուծելու կարողություն, ճշգրիտ և գրագետ ձևակերպեն իրենց ուսումնասիրած տեսական սկզբունքները և խնդիրները լուծելիս ներկայացնեն սեփական պատճառաբանությունը...»:

Եկեք վերլուծենք որոշ դասագրքեր մաթեմատիկայի խորացված ուսումնասիրությամբ սովորողների համար:

Նման խնդիրների ձևակերպումը և դրանց լուծումները դուրս չեն գալիս դպրոցական ծրագրի շրջանակներից, սակայն աշակերտների հետ հանդիպող դժվարությունները բացատրվում են նախ պարամետրի առկայությամբ, երկրորդ՝ լուծման և պատասխանների ճյուղավորմամբ։ Այնուամենայնիվ, պարամետրերով խնդիրներ լուծելու պրակտիկան օգտակար է ինքնուրույն տրամաբանական մտածողության կարողության զարգացման և ամրապնդման և մաթեմատիկական մշակույթի հարստացման համար:

Դպրոցում հանրակրթական պարապմունքներին, որպես կանոն, աննշան ուշադրություն է դարձվում նման առաջադրանքներին։ Քանի որ պարամետրերով հավասարումներ և անհավասարություններ լուծելը տարրական մաթեմատիկայի դասընթացի, թերևս, ամենադժվար բաժինն է, դժվար թե նպատակահարմար լինի նման խնդիրներ լուծել պարամետրերով դպրոցականների զանգվածին, բայց ուժեղ ուսանողներին, ովքեր հետաքրքրություն, հակում և կարողություն են ցուցաբերում: մաթեմատիկա, ովքեր ձգտում են ինքնուրույն գործել, դասավանդում են Անշուշտ անհրաժեշտ է լուծել նման խնդիրներ: Հետևաբար, դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի այնպիսի ավանդական բովանդակային-մեթոդական գծերի հետ մեկտեղ, ինչպիսիք են ֆունկցիոնալ, թվային, երկրաչափական, հավասարումների գիծը և նույնական փոխակերպումների գիծը, պարամետրերի գիծը նույնպես պետք է որոշակի դիրք զբաղեցնի: Նյութի բովանդակությունը և «պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ» թեմայով ուսանողներին ներկայացվող պահանջները, իհարկե, պետք է որոշվեն ամբողջ դասարանի և յուրաքանչյուր անհատի մաթեմատիկական պատրաստվածության մակարդակով:

Ուսուցիչը պետք է օգնի բավարարել դպրոցականների կարիքներն ու պահանջները, ովքեր հետաքրքրություն, ընդունակություն և կարողություն են ցուցաբերում առարկայի նկատմամբ: Ուսանողներին հետաքրքրող հարցերի շուրջ կարող են կազմակերպվել խորհրդակցություններ, ակումբներ, լրացուցիչ պարապմունքներ և ընտրովի առարկաներ։ Սա լիովին վերաբերում է պարամետրերի հետ կապված խնդիրների հարցին:

§ 5. Կրթական հետազոտություն դպրոցականների ճանաչողական գործունեության կառուցվածքում

Այս պահին ուսուցչի պահանջներից դուրս, ինքնուրույն գործելու ձգտող աշակերտ պատրաստելու խնդիր, ով իր հետաքրքրությունների շրջանակը և ակտիվ հետազոտությունը չի սահմանափակում իրեն առաջարկվող ուսումնական նյութով, ով գիտի ներկայացնել և փաստարկել. պաշտպանում է որոշակի խնդրի իր լուծումը, ով գիտի, թե ինչպես հստակեցնել կամ, ընդհակառակը, ընդհանրացնել դիտարկվող արդյունքը, բացահայտել պատճառահետևանքային հարաբերությունները և այլն: - տարիքի երեխաներ, քննում են ուսանողների մտավոր գործունեության գործընթացը կառավարելու, գիտելիքների ինքնուրույն ձեռքբերման, գիտելիքների կիրառման, դրանք համալրելու և համակարգելու հմտություններ ձևավորելու և զարգացնելու, դպրոցականների ճանաչողական գործունեության ակտիվության բարձրացման խնդիրը (Լ.Ս. Վիգոտսկի, Պ.Յա.Կրուտեցկի, Ն.Ա.Մենչինսկայա, Ս.Լ.Ֆրիդման և այլն):

Ուսուցման հետազոտական ​​մեթոդը ներառում է երկու հետազոտական ​​մեթոդ՝ կրթական և գիտական։

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի խնդիրների զգալի մասի լուծումը ենթադրում է, որ ուսանողները զարգացնեն այնպիսի որակներ, ինչպիսիք են գործող ծրագրերին համապատասխան գործողությունների կանոնների և ալգորիթմների տիրապետում և հիմնարար հետազոտություններ կատարելու կարողություն: Գիտության մեջ հետազոտությունը նշանակում է օբյեկտի ուսումնասիրություն՝ նրա առաջացման և փոխակերպման զարգացման օրինաչափությունները բացահայտելու նպատակով։ Հետազոտության գործընթացում օգտագործվում են կուտակված նախկին փորձը, առկա գիտելիքները, ինչպես նաև օբյեկտների ուսումնասիրման մեթոդներն ու մեթոդները (տեխնիկա): Հետազոտության արդյունքը պետք է լինի նոր գիտական ​​գիտելիքների ձեռքբերումը։

Միջնակարգ դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացին դիմելիս կարևոր է նշել հետևյալը. կրթական հետազոտության հիմնական բաղադրիչներն են՝ հետազոտական ​​խնդրի ձևակերպումը, դրա նպատակների իրազեկումը, քննարկվող հարցի վերաբերյալ առկա տեղեկատվության նախնական վերլուծությունը, հետազոտական ​​խնդրին մոտ խնդիրների լուծման պայմաններն ու մեթոդները, նախնական վարկածների առաջադրումն ու ձևակերպումը, ուսումնասիրության ընթացքում ստացված արդյունքների վերլուծությունն ու ընդհանրացումը, ստացված փաստերի հիման վրա նախնական վարկածի ստուգումը, նոր արդյունքների, օրինաչափությունների, հատկությունների վերջնական ձևակերպումը. , առկա գիտելիքների համակարգում դրված խնդրի հայտնաբերված լուծման տեղի որոշում։ Ուսումնական հետազոտության օբյեկտների շարքում հիմնական տեղը զբաղեցնում են դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի այն հասկացությունները և հարաբերությունները, որոնց ուսումնասիրության ընթացքում բացահայտվում են դրանց փոփոխության և վերափոխման օրինաչափությունները, իրականացման պայմանները, եզակիությունը և այլն։

Լուրջ ներուժ այնպիսի հետազոտական ​​հմտությունների ձևավորման մեջ, ինչպիսիք են վարկածը նպատակաուղղված դիտարկելու, համեմատելու, առաջ քաշելու, ապացուցելու կամ հերքելու ունակությունը, ընդհանրացնելու ունակությունը և այլն, առաջադրանքներ ունի երկրաչափության դասընթացում, պարամետրերով հավասարումներ և անհավասարություններ կառուցելու համար: հանրահաշվի դասընթաց, այսպես կոչված, դինամիկ խնդիրներ, որոնց լուծման գործընթացում ուսանողները տիրապետում են մտավոր գործունեության հիմնական մեթոդներին. , առաջ է քաշում և ձևակերպում վարկած դիտարկվող առարկաների հատկությունների վերաբերյալ, ստուգում է առաջ քաշված վարկածը, որոշում սովորած արդյունքի տեղը նախկինում ձեռք բերված գիտելիքների համակարգում, դրա գործնական նշանակությունը։ Ուսուցչի կողմից ուսումնական հետազոտության կազմակերպումը որոշիչ նշանակություն ունի։ Մտավոր գործունեության ուսուցման մեթոդներ, հետազոտության տարրեր իրականացնելու ունակություն - այս նպատակները մշտապես գրավում են ուսուցչի ուշադրությունը ՝ խրախուսելով նրան գտնել պատասխաններ քննարկվող խնդրի լուծման հետ կապված բազմաթիվ մեթոդաբանական հարցերի:

Ծրագրի բազմաթիվ հարցերի ուսումնասիրությունը հիանալի հնարավորություններ է տալիս ստեղծելու ավելի ամբողջական և ամբողջական պատկեր՝ կապված կոնկրետ խնդրի քննարկման հետ:

Ուսումնական հետազոտության գործընթացում սինթեզվում են սովորողի կողմից մաթեմատիկական առարկաների ուսումնասիրության մեջ կուտակած գիտելիքներն ու փորձը։ Ուսանողի կրթական հետազոտությունը կազմակերպելու հարցում որոշիչ նշանակություն ունի նրա ուշադրությունը գրավելը (նախ՝ ակամա, իսկ հետո՝ կամավոր), դիտարկման համար պայմանների ստեղծումը. /կայք», 9):

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասավանդման մեջ կան կրթական հետազոտության երկու սերտորեն կապված մակարդակներ՝ էմպիրիկ և տեսական: Առաջինը բնութագրվում է առանձին փաստերի դիտարկմամբ, դրանց դասակարգմամբ և նրանց միջև տրամաբանական կապի հաստատմամբ՝ ստուգելի փորձով։ Կրթական հետազոտության տեսական մակարդակը տարբերվում է նրանով, որ արդյունքում ուսանողը ձևակերպում է ընդհանուր մաթեմատիկական օրենքներ, որոնց հիման վրա ավելի խորը մեկնաբանվում են ոչ միայն նոր փաստերը, այլև էմպիրիկ մակարդակում ստացված փաստերը։

Ուսումնական հետազոտությունների անցկացումը պահանջում է, որ ուսանողը օգտագործի ինչպես հատուկ մեթոդներ, որոնք բնորոշ են միայն մաթեմատիկայի համար, այնպես էլ ընդհանուր. վերլուծություն, սինթեզ, ինդուկցիա, դեդուկցիա և այլն, որոնք օգտագործվում են դպրոցական տարբեր առարկաների առարկաների և երևույթների ուսումնասիրության մեջ:

Ուսուցչի կողմից ուսումնական հետազոտության կազմակերպումը որոշիչ նշանակություն ունի։ Միջնակարգ դպրոցում մաթեմատիկայի դասավանդման գործընթացին դիմելիս կարևոր է նշել հետևյալը. կրթական հետազոտության հիմնական բաղադրիչներն են՝ հետազոտական ​​խնդրի ձևակերպումը, դրա նպատակների իրազեկումը, քննարկվող հարցի վերաբերյալ առկա տեղեկատվության նախնական վերլուծությունը, հետազոտական ​​խնդրին մոտ խնդիրների լուծման պայմաններն ու մեթոդները, նախնական վարկածի առաջադրումն ու ձևակերպումը, ուսումնասիրության ընթացքում ստացված արդյունքների վերլուծությունն ու ընդհանրացումը, ստացված փաստերի հիման վրա սկզբնական վարկածի ստուգումը, նոր արդյունքների, օրինաչափությունների վերջնական ձևակերպումը, հատկություններ, առկա գիտելիքների համակարգում դրված խնդրի հայտնաբերված լուծման տեղի որոշում։ Ուսումնական հետազոտության օբյեկտների շարքում հիմնական տեղը զբաղեցնում են դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի այն հասկացությունները և հարաբերությունները, որոնց ուսումնասիրության ընթացքում բացահայտվում են դրանց փոփոխության և վերափոխման օրինաչափությունները, իրականացման պայմանները, եզակիությունը և այլն։

Ուսումնական հետազոտության համար հարմար է հանրահաշվի դասընթացում ուսումնասիրվող ֆունկցիաների ուսումնասիրության հետ կապված նյութը։ Որպես օրինակ, դիտարկենք գծային ֆունկցիան:

Առաջադրանք. Քննեք գծային ֆունկցիա զույգի և կենտի համար: Հուշում. Հաշվի առեք հետևյալ դեպքերը.

2) a = 0 և բ. 0;

3) ա? 0 և b = 0;

4) ա? 0 և բ. 0.

Հետազոտության արդյունքում լրացրեք աղյուսակը՝ նշելով համապատասխան տողի և սյունակի հատման կետում ստացված արդյունքը։

Լուծման արդյունքում ուսանողները պետք է ստանան հետևյալ աղյուսակը.

	զույգ և կենտ
	տարօրինակ	ոչ զույգ, ոչ էլ կենտ

Նրա համաչափությունը առաջացնում է բավարարվածության զգացում և վստահություն լցոնման ճիշտության նկատմամբ:

Մտավոր գործունեության մեթոդների ձևավորումը էական դեր է խաղում ինչպես դպրոցականների ընդհանուր զարգացման, այնպես էլ նրանց մեջ կրթական հետազոտություններ անցկացնելու (ընդհանուր կամ բեկորային) հմտությունները սերմանելու համար:

Ուսումնական հետազոտության արդյունքը սուբյեկտիվորեն նոր գիտելիքներ են դիտարկվող օբյեկտի (հարաբերությունների) հատկությունների և դրանց գործնական կիրառությունների վերաբերյալ: Այս հատկությունները կարող են ներառվել կամ չներառվել ավագ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսումնական ծրագրում: Կարևոր է նշել, որ ուսանողի գործունեության արդյունքի նորությունը որոշվում է թե՛ գործունեության իրականացման եղանակի որոնման բնույթով, թե՛ բուն գործունեության մեթոդով, թե՛ գիտելիքի համակարգում ստացված արդյունքի տեղով։ այդ ուսանողի.

Մաթեմատիկայի դասավանդման մեթոդը կրթական հետազոտությունների կիրառմամբ կոչվում է հետազոտություն՝ անկախ նրանից կրթական հետազոտական ​​սխեման իրականացվում է ամբողջությամբ, թե հատվածաբար։

Կրթական հետազոտության յուրաքանչյուր փուլ իրականացնելիս պարտադիր կերպով առկա են ինչպես կատարողական, այնպես էլ ստեղծագործական գործունեության տարրեր։ Սա առավել հստակ նկատվում է այն դեպքում, երբ ուսանողն ինքնուրույն է իրականացնում որոշակի ուսումնասիրություն: Նաև ուսումնական հետազոտության ընթացքում որոշ փուլեր կարող է իրականացնել ուսուցիչը, մյուսները՝ ինքը՝ ուսանողը։ Անկախության մակարդակը կախված է բազմաթիվ գործոններից, մասնավորապես՝ ձևավորման մակարդակից, որոշակի օբյեկտ (գործընթացը) դիտարկելու կարողությունից, նույն առարկայի վրա ուշադրությունը կենտրոնացնելու կարողությունից, երբեմն բավականին երկար ժամանակ, կարողությունից։ խնդիր տեսնել, հստակ և միանշանակ ձևակերպել, հարմար (երբեմն անսպասելի) ասոցիացիաներ գտնելու և օգտագործելու ունակություն, առկա գիտելիքները կենտրոնացված վերլուծելու ունակություն՝ անհրաժեշտ տեղեկատվությունը ընտրելու համար և այլն:

Անհնար է նաև գերագնահատել ուսանողի երևակայության, ինտուիցիայի, ոգեշնչման, կարողության (և գուցե տաղանդի կամ հանճարի) ազդեցությունը նրա հետազոտական ​​գործունեության հաջողության վրա:

§ 6 . Ուսումնասիրություն ուսուցման մեթոդների համակարգում

Ավելի քան մեկ տասնյակ հիմնարար ուսումնասիրություններ են նվիրված դասավանդման մեթոդներին, որոնցից կախված է ուսուցչի և ընդհանուր առմամբ դպրոցի աշխատանքի զգալի հաջողությունը։ Եվ, չնայած սրան, ուսուցման մեթոդների խնդիրը, ինչպես դասավանդման տեսության, այնպես էլ մանկավարժական պրակտիկայում, մնում է խիստ արդիական։ Դասավանդման մեթոդի հայեցակարգը բավականին բարդ է. Սա պայմանավորված է գործընթացի բացառիկ բարդությամբ, որը նախատեսված է արտացոլելու այս կատեգորիան: Շատ հեղինակներ դասավանդման մեթոդը համարում են ուսանողների կրթական և ճանաչողական գործունեության կազմակերպման միջոց:

«Մեթոդ» բառը հունական ծագում ունի և ռուսերեն թարգմանված նշանակում է հետազոտություն, մեթոդ: «Մեթոդը, ամենաընդհանուր իմաստով, նպատակին հասնելու միջոց է, գործունեությունը պատվիրելու որոշակի ձև»: Ակնհայտ է, որ ուսուցման գործընթացում մեթոդը հանդես է գալիս որպես կապ ուսուցչի և ուսանողների գործունեության միջև որոշակի կրթական նպատակների հասնելու համար: Այս տեսանկյունից ուսուցման յուրաքանչյուր մեթոդ օրգանապես ներառում է ուսուցչի ուսուցման աշխատանքը (ներկայացում, ուսումնասիրվող նյութի բացատրություն) և ուսանողների ակտիվ կրթական և ճանաչողական գործունեության կազմակերպումը։ Այսպիսով, ուսուցման մեթոդի հայեցակարգը արտացոլում է.

1. Ուսուցչի ուսուցման աշխատանքի մեթոդները և ուսանողների կրթական աշխատանքի մեթոդները դրանց փոխհարաբերություններում:

2. Տարբեր ուսումնական նպատակների հասնելու իրենց աշխատանքի առանձնահատկությունները: Այսպիսով, ուսուցման մեթոդները ուսուցչի և ուսանողների համատեղ գործունեության ուղիներն են, որոնք ուղղված են ուսումնական խնդիրների լուծմանը, այսինքն՝ դիդակտիկ առաջադրանքներին:

Այսինքն, ուսուցման մեթոդները պետք է հասկանալ որպես ուսուցչի ուսումնական աշխատանքի մեթոդներ և ուսանողների կրթական և ճանաչողական գործունեության կազմակերպում `ուսումնասիրվող նյութը յուրացնելուն ուղղված տարբեր դիդակտիկ առաջադրանքներ լուծելու համար: Ժամանակակից դիդակտիկայի սուր խնդիրներից է դասավանդման մեթոդների դասակարգման խնդիրը։ Ներկայումս այս հարցում չկա մեկ տեսակետ։ Հաշվի առնելով այն հանգամանքը, որ տարբեր հեղինակներ դասավանդման մեթոդների բաժանումը խմբերի և ենթախմբերի հիմքում են տարբեր չափանիշների հիման վրա, կան մի շարք դասակարգումներ: Բայց 20-ականներին սովետական ​​մանկավարժության մեջ պայքար էր մղվում հին դպրոցում բարգավաճած դպրոցական ուսուցման և մեխանիկական ուսուցման մեթոդների դեմ, և որոնվում էին մեթոդներ, որոնք կապահովեին ուսանողների գիտակցված, ակտիվ և ստեղծագործական գիտելիքների ձեռքբերումը։ Հենց այդ տարիներին ուսուցիչ Բ.Վ.Վիևիացկին ձևավորեց այն դիրքորոշումը, որ դասավանդման մեջ կարող է լինել միայն երկու մեթոդ՝ հետազոտական ​​մեթոդ և պատրաստի գիտելիքի մեթոդ: Պատրաստի գիտելիքի մեթոդը, բնականաբար, քննադատության արժանացավ։ Ուսուցման կարևորագույն մեթոդ է ճանաչվել հետազոտության մեթոդը, որի էությունը հանգում էր նրան, որ ուսանողներն իբր պետք է ամեն ինչ սովորեն ուսումնասիրվող երևույթների դիտարկման և վերլուծության հիման վրա՝ ինքնուրույն մոտենալով անհրաժեշտ եզրակացություններին։ Դասարանում հետազոտության նույն մեթոդը չի կարող կիրառվել բոլոր թեմաների համար:

Նաև այս մեթոդի էությունն այն է, որ ուսուցիչը խնդրահարույց խնդիրը բաժանում է ենթախնդիրների, և ուսանողները կատարում են անհատական ​​քայլեր դրա լուծումը գտնելու համար: Յուրաքանչյուր քայլ ենթադրում է ստեղծագործական գործունեություն, սակայն խնդրի ամբողջական լուծում դեռ չկա։ Հետազոտության ընթացքում ուսանողները տիրապետում են գիտական ​​գիտելիքների մեթոդներին և զարգացնում փորձը հետազոտական ​​գործունեության մեջ: Այս մեթոդով վերապատրաստված ուսանողների գործունեությունն է տիրապետել խնդիրների ինքնուրույն առաջադրման, դրանց լուծման ուղիներ գտնելու, հետազոտական ​​առաջադրանքների, առաջադրանքների առաջադրման և մշակման մեթոդներին, որոնք ուսուցիչները ներկայացնում են նրանց:

Կարելի է նաև նշել, որ հոգեբանությունը որոշ օրինաչափություններ է սահմանում զարգացման հոգեբանության հետ: Նախքան մեթոդների կիրառմամբ ուսանողների հետ աշխատելը, դուք պետք է մանրակրկիտ ուսումնասիրեք նրանց զարգացման հոգեբանության ուսումնասիրության մեթոդները: Այս մեթոդների հետ ծանոթությունը կարող է ուղղակիորեն գործնական օգուտ բերել այս գործընթացի կազմակերպիչներին, քանի որ այդ մեթոդները հարմար են ոչ միայն սեփական գիտական ​​հետազոտությունների, այլև երեխաների խորը ուսումնասիրություն կազմակերպելու համար՝ գործնական կրթական նպատակներով: Ուսուցման և կրթության անհատական ​​մոտեցումը ենթադրում է ուսանողների անհատական ​​հոգեբանական առանձնահատկությունների և նրանց անհատականության յուրահատկության լավ իմացություն և ըմբռնում: Հետևաբար, ուսուցիչը պետք է տիրապետի ուսանողներին ուսումնասիրելու կարողությանը, տեսնելու ոչ թե գորշ, միատարր ուսանողական զանգված, այլ կոլեկտիվ, որտեղ յուրաքանչյուրը յուրահատուկ է, անհատական, եզակի: Նման ուսումնասիրությունը յուրաքանչյուր ուսուցչի խնդիրն է, սակայն այն դեռ պետք է ճիշտ կազմակերպել։

Կազմակերպման հիմնական մեթոդներից մեկը դիտարկման մեթոդն է։ Իհարկե, հոգեկանին ուղղակիորեն չի կարելի դիտարկել։ Այս մեթոդը ներառում է մարդու հոգեկանի անհատական ​​հատկանիշների անուղղակի իմացություն՝ նրա վարքի ուսումնասիրության միջոցով: Այսինքն՝ այստեղ անհրաժեշտ է աշակերտին դատել անհատական ​​հատկանիշներով (գործողություններ, արարքներ, խոսք, արտաքին տեսք և այլն), աշակերտի հոգեվիճակով (ընկալման գործընթացներ, հիշողություն, մտածողություն, երևակայություն և այլն) և. նրա բնավորության գծերը, խառնվածքը, բնավորությունը: Այս ամենը անհրաժեշտ է այն աշակերտին, ում հետ ուսուցիչը աշխատում է ուսուցման հետազոտական ​​մեթոդով որոշ առաջադրանքներ կատարելիս։

Դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի խնդիրների զգալի մասի լուծումը ենթադրում է, որ ուսանողները զարգացնեն այնպիսի որակներ, ինչպիսիք են գործող ծրագրերին համապատասխան կանոնների և գործողության ալգորիթմների տիրապետում և հիմնարար հետազոտություններ կատարելու կարողություն: Գիտության մեջ հետազոտություն նշանակում է օբյեկտի ուսումնասիրություն՝ բացահայտելու դրա առաջացման, զարգացման և փոխակերպման օրինաչափությունները: Հետազոտության գործընթացում օգտագործվում են կուտակված նախկին փորձը, առկա գիտելիքները, ինչպես նաև օբյեկտների ուսումնասիրման մեթոդներն ու մեթոդները (տեխնիկա): Հետազոտության արդյունքը պետք է լինի նոր գիտական ​​գիտելիքների ձեռքբերումը։ Մտավոր գործունեության ուսուցման մեթոդներ, հետազոտության տարրեր իրականացնելու ունակություն - այս նպատակները մշտապես գրավում են ուսուցչի ուշադրությունը ՝ խրախուսելով նրան գտնել պատասխաններ քննարկվող խնդրի լուծման հետ կապված բազմաթիվ մեթոդաբանական հարցերի: Ծրագրի բազմաթիվ հարցերի ուսումնասիրությունը հիանալի հնարավորություններ է տալիս ստեղծելու ավելի ամբողջական և ամբողջական պատկեր՝ կապված որոշակի առաջադրանքի քննարկման հետ: Մաթեմատիկայի դասավանդման հետազոտական ​​մեթոդը բնականաբար տեղավորվում է դասավանդման մեթոդների դասակարգման մեջ՝ կախված ուսանողների գործունեության բնույթից և նրանց ճանաչողական անկախության աստիճանից: Ուսանողի գիտահետազոտական ​​գործունեությունը հաջողությամբ կազմակերպելու համար ուսուցիչը պետք է հասկանա և հաշվի առնի ինչպես նրա անձնական որակները, այնպես էլ այս տեսակի գործունեության ընթացակարգային առանձնահատկությունները, ինչպես նաև ուսումնասիրված դասընթացի նյութին ուսանողի իմացության մակարդակը: Անհնար է գերագնահատել ուսանողի երևակայության, ինտուիցիայի, ոգեշնչման և կարողության ազդեցությունը նրա հետազոտական ​​գործունեության հաջողության վրա:

Հետազոտության մեթոդում առաջադրանքների ձևերը կարող են տարբեր լինել. Դրանք կարող են լինել առաջադրանքներ, որոնք կարող են արագ լուծվել դասարանում և տանը, կամ առաջադրանքներ, որոնք պահանջում են ամբողջ դաս: Հետազոտական ​​առաջադրանքների մեծ մասը պետք է լինեն փոքր որոնման առաջադրանքներ, որոնք պահանջում են հետազոտական ​​գործընթացի բոլոր կամ շատ քայլերի ավարտ: Դրանց ամբողջական լուծումը կապահովի, որ հետազոտության մեթոդը կատարի իր գործառույթները։ Հետազոտության գործընթացի փուլերը հետևյալն են.

1 Փաստերի և երևույթների նպատակային դիտարկում և համեմատություն.

Հետազոտման ենթակա անհասկանալի երևույթների բացահայտում:

Քննարկվող հարցի վերաբերյալ առկա տեղեկատվության նախնական վերլուծություն.

4. Հիպոթեզի առաջադրում և ձևակերպում.

5. Հետազոտական ​​պլանի կառուցում.

Պլանի իրականացում, ուսումնասիրվող երեւույթի կապերի պարզաբանում ուրիշների հետ։

Նոր արդյունքների, օրինաչափությունների, հատկությունների ձևակերպում, հանձնարարված հետազոտության հայտնաբերված լուծման տեղի որոշում առկա գիտելիքների համակարգում.

Ստուգելով գտնված լուծումը:

Գործնական եզրակացություններ նոր գիտելիքների հնարավոր կիրառման վերաբերյալ:

§ 7 . Համակարգերում հետազոտություններ կատարելու ունակությունմենք հատուկ գիտելիքներ ունենք

Հմտությունը ուսանողի գիտելիքների և հմտությունների գիտակցված կիրառումն է՝ տարբեր պայմաններում բարդ գործողություններ կատարելու, այսինքն՝ համապատասխան խնդիրներ լուծելու համար, քանի որ յուրաքանչյուր բարդ գործողության կատարումը ուսանողի համար գործում է որպես խնդրի լուծում:

Հետազոտական ​​հմտությունները կարելի է բաժանել ընդհանուր և հատուկ: Ընդհանուր հետազոտական ​​հմտությունները, որոնց ձևավորումն ու զարգացումը տեղի է ունենում պարամետրերով խնդիրների լուծման գործընթացում, ներառում են. արմատները; վերլուծական և գրաֆիկա-վերլուծական մեթոդներ օգտագործելու ունակություն.

Հատուկ հետազոտական ​​հմտությունները ներառում են հմտություններ, որոնք ձևավորվում և զարգանում են կոնկրետ դասի խնդիրների լուծման գործընթացում:

Պարամետր պարունակող գծային հավասարումներ լուծելիս ձևավորվում են հետևյալ հատուկ հմտությունները.

§  Հատուկ պարամետրային արժեքները բացահայտելու ունակություն, որոնց դեպքում տվյալ գծային հավասարումը ունի.

Մեկ արմատ;

Անսահման թվով արմատներ;

3) արմատներ չունի.

Պատասխանը սկզբնական առաջադրանքի լեզվով մեկնաբանելու ունակություն: Հատուկ հետազոտական ​​հմտությունները, որոնց ձևավորումն ու զարգացումը տեղի է ունենում պարամետր պարունակող գծային անհավասարությունների լուծման գործընթացում, ներառում են.

§ Անհայտի և ազատ անդամի գործակիցը որպես պարամետրի ֆունկցիա տեսնելու ունակություն.

§ Հատուկ պարամետրային արժեքները բացահայտելու ունակություն, որոնց դեպքում տվյալ գծային անհավասարությունը լուծում ունի.

1) ընդմիջում;

2) լուծումներ չունի.

§ Պատասխանը սկզբնական առաջադրանքի լեզվով մեկնաբանելու կարողություն. Հատուկ հետազոտական ​​հմտություններ, որոնց ձևավորումն ու զարգացումը տեղի է ունենում պարամետր պարունակող քառակուսի հավասարումների լուծման գործընթացում, ներառում են.

Պարամետրի հատուկ արժեքը նույնականացնելու ունակություն, որի դեպքում առաջատար գործակիցը դառնում է զրոյական, այսինքն՝ հավասարումը դառնում է գծային և պարամետրի բացահայտված հատուկ արժեքների համար ստացված հավասարման լուծում գտնելու ունակություն.

§ Տվյալ քառակուսի հավասարման արմատների առկայության և քանակի հարցը լուծելու ունակություն՝ կախված տարբերակիչի նշանից.

§  Քառակուսային հավասարման արմատները պարամետրի միջոցով արտահայտելու ունակություն (եթե առկա է);

Հատուկ հետազոտական ​​հմտությունների շարքում, որոնց ձևավորումն ու զարգացումը տեղի է ունենում կոտորակային-ռացիոնալ հավասարումների լուծման գործընթացում, որը պարունակում է պարամետր, որը կարող է կրճատվել քառակուսայինի, ներառում են.

§  Պարամետր պարունակող կոտորակային ռացիոնալ հավասարումը պարամետր պարունակող քառակուսային հավասարման կրճատելու ունակություն:

Հատուկ հետազոտական ​​հմտությունները, որոնց ձևավորումն ու զարգացումը տեղի է ունենում պարամետր պարունակող քառակուսի անհավասարությունների լուծման գործընթացում, ներառում են.

Պարամետրի հատուկ արժեքը նույնականացնելու ունակություն, որի դեպքում առաջատար գործակիցը դառնում է զրոյական, այսինքն՝ անհավասարությունը դառնում է գծային և պարամետրի հատուկ արժեքների համար ստացված անհավասարության բազմաթիվ լուծումներ գտնելու հնարավորություն.

§ Պամետրի միջոցով քառակուսային անհավասարության լուծումների բազմությունն արտահայտելու ունակություն:

Ստորև թվարկված են կրթական հմտությունները, որոնք վերածվում են ուսուցման և հետազոտության, ինչպես նաև հետազոտական ​​հմտությունների:

6−7 դասարան:

- արագ օգտագործել հին գիտելիքները նորերը ձեռք բերելու իրավիճակում.

- ազատորեն փոխանցել մտավոր գործողությունների համալիրը մի նյութից մյուսը, մի առարկայից մյուսը.

ձեռք բերված գիտելիքները տարածել ավելի մեծ օբյեկտների վրա.

համատեղել գիտելիքների «փլուզման» և «ընդլայնման» գործընթացը.

նպատակաուղղված ամփոփել տեքստի գաղափարները՝ առանձնացնելով հիմնական մտքերը դրա հատվածներում և մասերում.

համակարգել և դասակարգել տեղեկատվությունը;

- համեմատել բնութագրերի համակարգերի մասին տեղեկատվությունը, ընդգծելով նմանություններն ու տարբերությունները.

- կարողանա խորհրդանշական լեզուն կապել գրավոր և բանավոր խոսքի հետ.

— վերլուծել և պլանավորել հետագա աշխատանքի մեթոդները.

արագ և ազատորեն «միացնել» նոր գիտելիքների բաղադրիչները.

կարողանալ հակիրճ ներկայացնել տեքստի հիմնական մտքերն ու փաստերը.

- ձեռք բերել նոր գիտելիքներ՝ համակարգային գիտելիքներից անցնելով կոնկրետին դիագրամների, աղյուսակների, նշումների և այլնի օգնությամբ.

օգտագործել ձայնագրման տարբեր ձևեր երկարատև ունկնդրման գործընթացում.

ընտրել օպտիմալ լուծումներ;

ապացուցել կամ հերքել՝ օգտագործելով փոխկապակցված տեխնիկա.

- օգտագործել տարբեր տեսակի վերլուծություններ և սինթեզներ.

- խնդիրը դիտարկել տարբեր տեսանկյուններից.

— դատողություն արտահայտել մտքերի ալգորիթմի տեսքով։

Մաթեմատիկական կրթությունը ուսանողների մտածողության կամ մտավոր զարգացման գործընթացներում պետք է առանձնահատուկ տեղ գրավի և հատկացվի, քանի որ մաթեմատիկայի դասավանդման միջոցները առավել արդյունավետ կերպով ազդում են ամբողջ անձի և, առաջին հերթին, մտածողության հիմնական բաղադրիչներից շատերի վրա:

Այսպիսով, հատուկ ուշադրություն է դարձվում աշակերտի մտածողության զարգացմանը, քանի որ հենց դա է կապված մնացած բոլոր մտավոր գործառույթների հետ՝ երևակայություն, մտքի ճկունություն, մտքի լայնություն և խորություն և այլն: Նկատենք, որ դիտարկելիս. մտածողության զարգացում ուսանողակենտրոն ուսուցման համատեքստում, պետք է հիշել, որ նման զարգացման իրականացման համար անհրաժեշտ պայման է ուսուցման անհատականացումը։ Հենց դա է ապահովում, որ հաշվի առնվեն տարբեր կատեգորիաների ուսանողների մտավոր գործունեության առանձնահատկությունները։

Ստեղծագործության ուղին անհատական ​​է: Միևնույն ժամանակ, մաթեմատիկա սովորելու գործընթացում գտնվող բոլոր ուսանողները պետք է զգան դրա ստեղծագործական բնույթը, մաթեմատիկայի ուսուցման գործընթացում ծանոթանան ստեղծագործական գործունեության որոշ հմտությունների, որոնք իրենց պետք կգան իրենց հետագա կյանքում և գործունեության մեջ: Այս բարդ խնդիրը լուծելու համար մաթեմատիկայի դասավանդումը պետք է կառուցված լինի այնպես, որ աշակերտը հաճախ փնտրի նոր համակցություններ, փոխակերպող իրեր, երևույթներ, իրականության գործընթացներ և փնտրի առարկաների միջև անհայտ կապեր:

Մաթեմատիկա դասավանդելիս ուսանողներին ստեղծագործական գործունեությանը ծանոթացնելու հիանալի միջոց է ինքնուրույն աշխատանքն իր բոլոր ձևերով և դրսևորումներով: Այս առումով շատ հիմնարար է ակադեմիկոս Պ.

Ուսանողների և ուսումնական խմբերի պատրաստվածության մակարդակը ինքնուրույն ստեղծագործական գործունեությանը կարելի է որոշել՝ պատասխանելով հետևյալ հարցերին.

Որքանո՞վ արդյունավետ կարող են դպրոցականները օգտագործել նշումները, տեղեկանքները և կարդալ դիագրամներ և տարբեր տեսակի աղյուսակներ:

Ուսանողները գիտե՞ն, թե ինչպես օբյեկտիվորեն գնահատել առաջադրված գաղափարները ուսուցչի կողմից խնդրահարույց խնդիր լուծելիս և հաշվի առնել դրանց կիրառման հնարավորությունը: 3) Որքա՞ն արագ են դպրոցականները տեղափոխվում խնդրի լուծման մի եղանակից մյուսը: 4) վերլուծել դասի ընթացքում ուսանողներին ինքնուրույն աշխատանքի ինքնակազմակերպմանը կողմնորոշելու արդյունավետությունը. 5) Ուսումնասիրել ուսանողների կարողությունները մոդելավորելու և խնդիրները ճկուն կերպով լուծելու համար:

Գլուխ 2. «Հավասարումներ և անհավասարումներ պարամետրերով» թեմայի մեթոդական վերլուծություն և «Քառորդական հավասարումներ և անհավասարումներ պարամետրով» ընտրովի դասընթացի մշակում.

§ 1. Դեր Եվ տեղ պարամետրային հավասարումներ Եվ անհավասարություններ ձեւավորման մեջ հետազոտություն հմուտրդ ուսանողները

Չնայած այն հանգամանքին, որ միջնակարգ դպրոցի մաթեմատիկայի ուսումնական ծրագրում բացահայտորեն նշված չեն պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ, սխալ կլինի ասել, որ պարամետրերով խնդիրների լուծման հարցը դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացում ոչ մի կերպ չի արծարծվում: Բավական է հիշել դպրոցական հավասարումները՝ ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, որոնցում a, b, c, k-ն ոչ այլ ինչ են, քան պարամետրեր։ Բայց դպրոցական դասընթացի շրջանակներում ուշադրությունը կենտրոնացած չէ նման հայեցակարգի վրա՝ պարամետրի վրա, թե ինչով է այն տարբերվում անհայտից։

Փորձը ցույց է տալիս, որ պարամետրերի հետ կապված խնդիրները տրամաբանական և տեխնիկական առումներով տարրական մաթեմատիկայի ամենաբարդ բաժինն են, թեև ֆորմալ տեսանկյունից նման խնդիրների մաթեմատիկական բովանդակությունը չի անցնում ծրագրերի սահմաններից: Սա պայմանավորված է պարամետրի վերաբերյալ տարբեր տեսակետներով: Մի կողմից պարամետրը կարող է դիտարկվել որպես փոփոխական, որը համարվում է հաստատուն արժեք հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելիս, մյուս կողմից՝ պարամետրը մեծություն է, որի թվային արժեքը տրված չէ, բայց պետք է համարվի հայտնի, և պարամետրը կարող է ընդունել կամայական արժեքներ, այսինքն՝ պարամետրը, լինելով ֆիքսված, բայց անհայտ թիվ, ունի երկակի բնույթ: Նախ, ենթադրյալ հայտնիությունը թույլ է տալիս պարամետրը դիտարկել որպես թիվ, և երկրորդ՝ ազատության աստիճանը սահմանափակվում է նրա անհայտությամբ։

Պարամետրերի բնույթի նկարագրություններից յուրաքանչյուրում կա անորոշություն՝ լուծման որ փուլերում պարամետրը կարող է դիտարկվել որպես հաստատուն և երբ է այն խաղում փոփոխականի դեր։ Պարամետրի այս բոլոր հակասական բնութագրերը կարող են որոշակի հոգեբանական արգելք առաջացնել ուսանողների մոտ իրենց ծանոթության հենց սկզբում:

Այս առումով, պարամետրին ծանոթանալու սկզբնական փուլում շատ օգտակար է հնարավորինս հաճախ դիմել ստացված արդյունքների տեսողական և գրաֆիկական մեկնաբանությանը: Սա ոչ միայն թույլ է տալիս ուսանողներին հաղթահարել պարամետրի բնական անորոշությունը, այլև ուսուցչին հնարավորություն է տալիս, զուգահեռաբար, որպես պրոպադևտիկա, սովորեցնել ուսանողներին օգտագործել ապացուցման գրաֆիկական մեթոդներ խնդիրներ լուծելիս: Պետք չէ նաև մոռանալ, որ առնվազն սխեմատիկ գրաֆիկական նկարազարդումների օգտագործումը որոշ դեպքերում օգնում է որոշել հետազոտության ուղղությունը և երբեմն թույլ է տալիս անմիջապես ընտրել խնդրի լուծման բանալին: Իրոք, որոշակի տեսակի խնդիրների համար, նույնիսկ պարզունակ գծագրությունը, հեռու իրական գրաֆիկից, հնարավորություն է տալիս խուսափել տարբեր տեսակի սխալներից և ավելի պարզ ձևով ստանալ հավասարման կամ անհավասարության պատասխանը:

Ընդհանուր առմամբ մաթեմատիկական խնդիրների լուծումը դպրոցականների գործունեության ամենադժվար մասն է մաթեմատիկա սովորելիս, և դա բացատրվում է նրանով, որ խնդիրների լուծումը պահանջում է ամենաբարձր մակարդակի ինտելեկտի բավականին բարձր մակարդակ, այսինքն՝ տեսական, ֆորմալ և ռեֆլեկտիվ մտածողություն և այլն։ մտածողությունը, ինչպես արդեն նշվեց, դեռևս զարգանում է դեռահասության շրջանում:

Դասընթացի աշխատանք

Կատարող՝ Բուգրով Ս Կ.

Բազմաթիվ ֆիզիկական գործընթացների և երկրաչափական օրինաչափությունների ուսումնասիրությունը հաճախ հանգեցնում է պարամետրերի հետ կապված խնդիրների լուծմանը: Որոշ բուհեր քննական փաստաթղթերում ներառում են նաև հավասարումներ, անհավասարություններ և դրանց համակարգերը, որոնք հաճախ շատ բարդ են և պահանջում են լուծման ոչ ստանդարտ մոտեցում: Դպրոցում դպրոցական մաթեմատիկայի դասընթացի ամենադժվար բաժիններից մեկը դիտարկվում է միայն մի քանի ընտրովի դասարաններում։

Այս աշխատանքը պատրաստելիս ես նպատակ եմ դրել ավելի խորը ուսումնասիրել այս թեման՝ բացահայտելով առավել ռացիոնալ լուծումը, որն արագ տանում է դեպի պատասխան: Իմ կարծիքով գրաֆիկական մեթոդը հարմար և արագ միջոց է պարամետրերով հավասարումներ և անհավասարումներ լուծելու համար։

Իմ շարադրությունում քննարկվում են հավասարումների, անհավասարությունների և դրանց համակարգերի հաճախ հանդիպող տեսակները, և հուսով եմ, որ աշխատանքի ընթացքում ստացած գիտելիքները կօգնեն ինձ դպրոցական քննություններ հանձնելիս և համալսարան ընդունվելիս:

Անհավասարություն

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

որտեղ a, b, c, ..., k-ը պարամետրեր են, իսկ x-ը իրական փոփոխական է, կոչվում է անհավասարություն մեկ անհայտ պարունակող պարամետրերով:

Պարամետրերի արժեքների ցանկացած համակարգ a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0 որոշ ֆունկցիայի համար

¦(a, b, c, …, k, x) և

j(a, b, c, …, k, x

իմաստ ունենալ իրական թվերի տիրույթում, որը կոչվում է պարամետրերի թույլատրելի արժեքների համակարգ:

կոչվում է x-ի վավեր արժեք, եթե

¦(a, b, c, …, k, x) և

j(a, b, c, …, k, x

Վերցրեք վավեր արժեքներ պարամետրերի արժեքների ցանկացած թույլատրելի համակարգի համար:

X-ի բոլոր թույլատրելի արժեքների բազմությունը կոչվում է անհավասարության սահմանման տիրույթ (1):

Իրական x0 թիվը կոչվում է (1) անհավասարության մասնակի լուծում, եթե անհավասարությունը

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

ճիշտ է ցանկացած թույլատրելի պարամետրերի արժեքների համակարգի համար:

Անհավասարության բոլոր կոնկրետ լուծումների բազմությունը (1) կոչվում է այս անհավասարության ընդհանուր լուծում:

Անհավասարության լուծում (1) նշանակում է նշել, թե պարամետրերի որ արժեքներով կա ընդհանուր լուծում և որն է այն:

Երկու անհավասարություն

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) և (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

կոչվում են համարժեք, եթե ունեն նույն ընդհանուր լուծումները թույլատրելի պարամետրերի արժեքների համակարգերի միևնույն բազմության համար:

Մենք գտնում ենք այս անհավասարության սահմանման տիրույթը:

Անհավասարությունը նվազեցնում ենք հավասարման։

Ա-ն արտահայտում ենք x-ի ֆունկցիայով:

xOa կոորդինատային համակարգում մենք կառուցում ենք a =¦ (x) ֆունկցիաների գրաֆիկները x-ի այն արժեքների համար, որոնք ներառված են այս անհավասարության սահմանման տիրույթում:

Մենք գտնում ենք կետերի հավաքածուներ, որոնք բավարարում են այս անհավասարությունը:

Եկեք ուսումնասիրենք պարամետրի ազդեցությունը արդյունքի վրա:

Գտնենք գրաֆիկների հատման կետերի աբսցիսան։

եկեք սահմանենք a=const ուղիղ գիծ և տեղափոխենք այն -¥-ից +¥

Պատասխանը գրում ենք.

Սա xOa կոորդինատային համակարգի միջոցով պարամետրերով անհավասարությունների լուծման ալգորիթմներից մեկն է։ Հնարավոր են նաև լուծման այլ մեթոդներ՝ օգտագործելով ստանդարտ xOy կոորդինատային համակարգը:

§3. Օրինակներ

I. a պարամետրի բոլոր թույլատրելի արժեքների համար լուծեք անհավասարությունը

Անհավասարությունների համակարգով սահմանված a պարամետրի սահմանման տիրույթում

այս անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությունների համակարգին

Եթե ​​, ապա սկզբնական անհավասարության լուծումները լրացնում են միջակայքը:

II. Ա պարամետրի ո՞ր արժեքներով է համակարգը լուծում:

Գտնենք անհավասարության ձախ կողմի եռանդամի արմատները.

(*)

Հավասարություններով սահմանված ուղիղները (*) կոորդինատային հարթությունը aOx բաժանում են չորս շրջանների, որոնցից յուրաքանչյուրում կա քառակուսի եռանկյուն։

պահպանում է մշտական ​​նշան. Հավասարումը (2) սահմանում է 2 շառավղով շրջան՝ կենտրոնացած սկզբնակետում: Այնուհետեւ սկզբնական համակարգի լուծումը կլինի ստվերների խաչմերուկը

շրջանով շրջան, որտեղ և արժեքները և հայտնաբերված են համակարգից

և արժեքները և հայտնաբերվում են համակարգից

Այս համակարգերը լուծելով՝ մենք ստանում ենք դա

III. Լուծել անհավասարությունը կախված ա պարամետրի արժեքներից.

Գտնել ընդունելի արժեքների միջակայքը –

Կառուցենք ֆունկցիայի գրաֆիկ xOy կոորդինատային համակարգում։

երբ անհավասարությունը լուծումներ չունի։

համար x լուծումը բավարարում է կապը , Որտեղ

Պատասխան. Անհավասարության լուծումներ կան, երբ

Որտեղ , և լուծելիս ; որոշելիս.

IV. Լուծել անհավասարությունը

Գտնելով ODZ կամ անդադար գծեր (ասիմպտոտներ)

Եկեք գտնենք այն ֆունկցիաների հավասարումները, որոնց գրաֆիկները պետք է կառուցվեն UCS-ում; ինչու անցնենք հավասարությանը.

Եկեք ֆակտորիզացնենք համարիչը։

որովհետեւ Դա

Բաժանենք հավասարության երկու կողմերը: Բայց դա լուծում է. հավասարման ձախ կողմը հավասար է աջ կողմին և հավասար է զրոյի ժամը .

3. Մենք կառուցում ենք ֆունկցիաների գրաֆիկները UCS xOa-ում

և համարակալել ստացված տարածքները (առանցքները դեր չեն խաղում): Սա հանգեցրեց ինը շրջանների:

4. Մենք փնտրում ենք, թե տարածքներից որն է հարմար այս անհավասարության համար, որի համար տարածքից մի կետ ենք վերցնում և փոխարինում անհավասարության մեջ։

Պարզության համար եկեք աղյուսակ կազմենք։

		անհավասարություն:

5. Գտե՛ք գրաֆիկների հատման կետերը

6. Սահմանենք a=const ուղիղ գիծը և տեղափոխենք այն -¥-ից +¥:

ժամը

լուծումներ չկան

ժամը

Մատենագիտություն

Dalinger V. A. «Երկրաչափությունն օգնում է հանրահաշիվին»: «Դպրոց-մամուլ» հրատարակչություն. Մոսկվա 1996 թ

Dalinger V. A. «Ամեն ինչ մաթեմատիկայի ավարտական ​​և ընդունելության քննություններում հաջողություն ապահովելու համար»: Օմսկի մանկավարժական համալսարանի հրատարակչություն. Օմսկ 1995 թ

Okunev A. A. «Պարամետրերով հավասարումների գրաֆիկական լուծում»: «Դպրոց-մամուլ» հրատարակչություն. Մոսկվա 1986 թ

Պիսմենսկի Դ.Տ. «Մաթեմատիկա ավագ դպրոցի աշակերտների համար». «Իրիս» հրատարակչություն. Մոսկվա 1996 թ

Yastribinetsky G. A. «Պարամետրեր պարունակող հավասարումներ և անհավասարություններ»: «Պրոսվեշչենիե» հրատարակչություն. Մոսկվա 1972 թ

G. Korn և T. Korn «Մաթեմատիկական ձեռնարկ». «Գիտություն» ֆիզիկամաթեմատիկական գրականություն հրատարակչություն. Մոսկվա 1977 թ

Ամելկին Վ.Վ. և Ռաբցևիչ «Պարամետրերի հետ կապված խնդիրներ». «Ասար» հրատարակչություն. Մոսկվա 1996 թ

Նովտրոյիցկի «Թիվ 1 լիցեյ» մունիցիպալ ինքնավար ուսումնական հաստատություն

Հետազոտություն

Պարամետրով հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներ

Մաթեմատիկական մոդելավորում

Ավարտված:

ուսանող 11 A դասի MOAU

«Թիվ 1 ճեմարան».

Վերահսկիչ:

բարձրագույն կրթության ուսուցիչ

Նովոտրոիցկ

Ներածություն. 3

Պարամետր. 5

Եռանկյունաչափական հավասարումներ պարամետրով լուծելու մեթոդներ. 9

Էքսպոնենցիալ և լոգարիթմական հավասարումների և անհավասարությունների լուծման մեթոդներ պարամետրով։ 17

Հավասարումների և անհավասարությունների համակարգերի լուծման մեթոդներ. 22

Եզրակացություն. 31

Օգտագործված գրականության ցանկ... 32

Ներածություն

Պարամետրով հավասարումները մեծ դժվարություններ են առաջացնում 9-11-րդ դասարանների աշակերտների համար։ Դա պայմանավորված է նրանով, որ նման հավասարումների լուծումը պահանջում է ոչ միայն ֆունկցիաների և հավասարումների հատկությունների իմացություն, հանրահաշվական փոխակերպումներ կատարելու ունակություն, այլև բարձր տրամաբանական մշակույթ և հետազոտական ​​տեխնիկա:

ԴժվարություններԱյս տեսակի հավասարումներ ուսումնասիրելիս կապված են դրանց հետևյալ հատկանիշները.

· Այս տեսակի հավասարումների լուծման համար օգտագործվող բանաձևերի և մեթոդների առատություն.

· Պարամետր պարունակող նույն հավասարումը տարբեր ձևերով լուծելու ունակություն:

Համապատասխանությունթեմաները որոշվում են «Հանրահաշիվ 11-րդ դասարան» դասագրքում այս թեմայի վերաբերյալ խնդիրների անբավարար բովանդակությամբ:

Այս թեմայի կարևորությունը պայմանավորված է նման հավասարումները պարամետրերով լուծելու անհրաժեշտությամբ և՛ միասնական պետական ​​քննություն հանձնելիս, և՛ բարձրագույն ուսումնական հաստատությունների ընդունելության քննությունների ժամանակ:

Ուսումնասիրության օբյեկտ: առաջադրանքներ պարամետրերով:

Այս աշխատանքի նպատակը:

Բացահայտել, հիմնավորել և հստակ ցույց տալ բոլոր տեսակի հավասարումների պարամետրերով լուծելու մեթոդները.

Լուծել հավասարումներ պարամետրերով;

Պարամետրերով հավասարումների լուծման տեսական գիտելիքների խորացում;

Այս նպատակին հասնելու համար անհրաժեշտ է լուծել հետևյալը առաջադրանքներ:

1. Սահմանել պարամետրերով հավասարման հասկացությունները;

2. Ցույց տալ պարամետրերով հավասարումների լուծման ուղիներ:

Իմ աշխատանքի արժանապատվությունըհետևյալն է՝ նշված են պարամետրերով հավասարումների լուծման ալգորիթմներ. խնդիրներ հաճախ հանդիպում են տարբեր քննությունների և օլիմպիադաների ժամանակ: Աշխատանքը կօգնի ուսանողներին հանձնել միասնական պետական ​​քննությունը։

Իմ գործողությունները.

1. Ընտրել և ուսումնասիրել գրականություն;

2. Լուծել ընտրված խնդիրները;

Պարամետր

Կան մի քանի սահմանումներ պարամետր:

- Պարամետր - սա բանաձևերի և արտահայտությունների մեջ ներառված մեծություն է, որի արժեքը հաստատուն է դիտարկվող խնդրի սահմաններում, բայց մեկ այլ առաջադրանքում փոխում է իր արժեքները (- «Մաթեմատիկական տերմինների բացատրական բառարան»):

- Փոփոխականներ ա, բ, գ, …, կ, որոնք հաստատուն են համարվում հավասարում կամ անհավասարություն լուծելիս կոչվում են պարամետրեր, իսկ հավասարումը (անհավասարությունը) ինքնին կոչվում է պարամետրեր պարունակող հավասարում (անհավասարություն) (- «Մաթեմատիկայի դաստիարակ», Դոնի Ռոստով «Ֆենիքս» 1997 թ.):

Պարամետր պարունակող հավասարումների մեծ մասի լուծումը գալիս է քառակուսի հավասարումներ պարամետրով. Հետևաբար, որպեսզի սովորեք, թե ինչպես լուծել էքսպոնենցիալ, լոգարիթմական, եռանկյունաչափական հավասարումները և հավասարումների համակարգերը պարամետրով, նախ պետք է ձեռք բերել լուծելու հմտություններ. քառակուսի հավասարումներ պարամետրով.

Ձևի հավասարումը կացին2 + bx+ գ=0 , որտեղ x-ը անհայտ է, a, b, c արտահայտությունները, որոնք կախված են միայն պարամետրերից, կոչվում է a¹0. քառակուսի հավասարում x-ի համեմատ. Մենք կդիտարկենք միայն այն պարամետրերի արժեքները, որոնց համար վավեր են a, b, c:

Պարամետրերի վերահսկման արժեքները

Պարամետրով քառակուսի հավասարումներ լուծելու համար անհրաժեշտ է գտնել պարամետրերի վերահսկման արժեքները:

Պարամետրերի վերահսկման արժեքները- այն արժեքները, որոնց դեպքում այն ​​դառնում է 0:

Հավասարման կամ անհավասարության առաջատար գործակիցը.

Հայտարարները կոտորակներում;

Քառակուսային երկանդամի տարբերակիչ:

Պարամետրով քառակուսային հավասարումների վերականգնվող հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեմա։

Պարամետրով քառակուսային հավասարումների վերականգնվող հավասարումների լուծման ընդհանուր սխեման.

1. Նշեք և բացառեք պարամետրի և փոփոխականի բոլոր արժեքները, որոնց դեպքում հավասարումը դառնում է անիմաստ:

2. Հավասարման երկու կողմերը բազմապատկեք ընդհանուր հայտարարով, որը զրո չէ:

3. Եզրակացության հավասարումը փոխարկեք https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> ձևին - պարամետրի իրական թվեր կամ ֆունկցիաներ:

4. Ստացված հավասարումը լուծի՛ր՝ դիտարկելով դեպքերը.

Ա) ; բ) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Քանի որ x-ը պետք է լինի 1-ից 6-ի միջակայքում, ապա.
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0

y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0

xвО(1; 6) 1<-<6

bО(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2.5 bÎ(0.5; 3)

bÎ(-∞;2.5)È(3.5;+∞)
bՕ(1; 2.5)

Պատասխան՝ x2-4bх+4b2–1=0 հավասարման արմատները գտնվում են սկսած միջակայքում.