Ուսուցիչները կարծում են, որ յուրաքանչյուր աշակերտ պետք է կարողանա կատարել հաշվարկներ, իմանալ եռանկյունաչափական բանաձևերը, բայց ոչ ամեն ուսուցիչ է բացատրում, թե ինչ է սինուսը և կոսինուսը: Ո՞րն է դրանց նշանակությունը, որտեղ են օգտագործվում։ Ինչո՞ւ ենք խոսում եռանկյունների մասին, բայց դասագրքում շրջան է գծված։ Փորձենք իրար կապել բոլոր փաստերը։
Դպրոցական առարկա
Եռանկյունաչափության ուսումնասիրությունը սովորաբար սկսվում է 7-8-րդ դասարանից ավագ դպրոց... Այս պահին ուսանողներին բացատրվում է, թե ինչ է սինուսը և կոսինուսը, նրանց առաջարկվում է լուծել երկրաչափական խնդիրներ՝ օգտագործելով այս ֆունկցիաները: Հետագայում հայտնվում են ավելի բարդ բանաձևեր և արտահայտություններ, որոնք պետք է փոխակերպվեն հանրահաշվական եղանակով (կրկնակի և կիսանկյան բանաձևեր, հզորության գործառույթներ), աշխատանքն իրականացվում է եռանկյունաչափական շրջանով։
Այնուամենայնիվ, ուսուցիչները հեռու են միշտ այն բանից, որ կարող են հստակ բացատրել օգտագործված հասկացությունների իմաստը և բանաձևերի կիրառելիությունը: Ուստի աշակերտը հաճախ այս առարկայի իմաստը չի տեսնում, և անգիր արված տեղեկատվությունը արագ մոռացվում է: Այնուամենայնիվ, արժի մի անգամ ավագ դպրոցի աշակերտին բացատրել, օրինակ, ֆունկցիայի և տատանողական շարժման կապը, և տրամաբանական կապը երկար տարիներ կհիշվի, իսկ թեմայի անպետքության մասին կատակները կմնան անցյալում: .
Օգտագործումը
Հետաքրքրության համար եկեք նայենք ֆիզիկայի տարբեր ճյուղերին: Ցանկանու՞մ եք որոշել արկի հեռահարությունը: Թե՞ դուք հաշվում եք շփման ուժը օբյեկտի և որոշակի մակերեսի միջև: Ճոճե՞լ ճոճանակը, դիտե՞լ ապակու միջով անցնող ճառագայթները, հաշվե՞լ ինդուկցիան։ Եռանկյունաչափական հասկացությունները հայտնվում են գրեթե ցանկացած բանաձևում: Այսպիսով, որո՞նք են սինուսը և կոսինուսը:
Սահմանումներ
Անկյան սինուսը հակառակ ոտքի հարաբերությունն է հիպոթենուսին, կոսինուսը հարակից ոտքի հարաբերությունն է նույն հիպոթենուսին: Այստեղ բացարձակապես ոչ մի բարդ բան չկա։ Միգուցե ուսանողները սովորաբար շփոթված են եռանկյունաչափական աղյուսակում տեսած արժեքներից, քանի որ այնտեղ հայտնվում են քառակուսի արմատներ: Այո, դրանցից տասնորդական կոտորակներ ստանալն այնքան էլ հարմար չէ, բայց ո՞վ ասաց, որ մաթեմատիկայի բոլոր թվերը պետք է հավասար լինեն։
Փաստորեն, եռանկյունաչափության խնդիրների գրքերում դուք կարող եք գտնել մի զվարճալի հուշում. այստեղ պատասխանների մեծ մասը հավասար է և վատագույն դեպքում պարունակում է երկու կամ երեքի արմատ: Եզրակացությունը պարզ է. եթե ձեր պատասխանում ստանում եք «բազմաստիճան» կոտորակ, կրկնակի ստուգեք լուծումը հաշվարկների կամ հիմնավորման սխալների համար: Եվ դուք, ամենայն հավանականությամբ, կգտնեք դրանք:
Հիշելու բաներ
Ինչպես ցանկացած գիտություն, եռանկյունաչափությունն ունի տվյալներ, որոնք պետք է սովորել:
Նախ, հիշեք թվային արժեքներսինուսների համար՝ 0 և 90 ուղղանկյուն եռանկյան կոսինուսներ, ինչպես նաև 30, 45 և 60 աստիճաններ։ Այս ցուցանիշները հանդիպում են դպրոցական տասը խնդիրներից ինը: Այս արժեքները դիտելով դասագրքում՝ դուք շատ ժամանակ կկորցնեք, և ընդհանրապես թեստը կամ քննությունը նայելու տեղ չի լինի։
Պետք է հիշել, որ երկու գործառույթների արժեքը չի կարող գերազանցել մեկը: Եթե հաշվարկում ինչ-որ տեղ 0-1 միջակայքից դուրս արժեք եք ստանում, դադարեցրեք և նորից լուծեք խնդիրը:
Սինուսի և կոսինուսի քառակուսիների գումարը հավասար է մեկի։ Եթե դուք արդեն գտել եք արժեքներից մեկը, օգտագործեք այս բանաձեւը՝ մնացածը գտնելու համար։
Թեորեմներ
Հիմնական եռանկյունաչափության մեջ կա երկու հիմնական թեորեմ՝ սինուսներ և կոսինուսներ:
Առաջինն ասում է, որ եռանկյան յուրաքանչյուր կողմի և հակառակ անկյան սինուսի հարաբերությունը նույնն է։ Երկրորդն այն է, որ ցանկացած կողմի քառակուսին կարելի է ստանալ՝ գումարելով մնացած երկու կողմերի քառակուսիները և հանելով դրանց կրկնակի արտադրյալը՝ բազմապատկված նրանց միջև ընկած անկյան կոսինուսով։
Այսպիսով, եթե 90 աստիճանի անկյան արժեքը փոխարինենք կոսինուսի թեորեմով, կստանանք ... Պյութագորասի թեորեմը: Այժմ, եթե ձեզ անհրաժեշտ է հաշվարկել այն գործչի մակերեսը, որը ուղղանկյուն եռանկյունի չէ, այլևս պետք չէ անհանգստանալ. դիտարկված երկու թեորեմները մեծապես կհեշտացնեն խնդրի լուծումը:
Նպատակներ և նպատակներ
Եռանկյունաչափություն սովորելը մեծապես կպարզեցվի, երբ գիտակցեք մեկ պարզ փաստ. ձեր կատարած բոլոր գործողությունները ուղղված են միայն մեկ նպատակի իրականացմանը: Եռանկյան ցանկացած պարամետր կարելի է գտնել, եթե դուք գիտեք դրա մասին ամենաքիչը՝ դա կարող է լինել մեկ անկյան արժեքը և երկու կողմերի երկարությունը, կամ, օրինակ, երեք կողմերը:
Ցանկացած անկյան սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը որոշելու համար այս տվյալները բավարար են, որոնց օգնությամբ դուք հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել նկարի տարածքը: Գրեթե միշտ որպես պատասխան պահանջվում է նշված արժեքներից մեկը, և դրանք կարող եք գտնել նույն բանաձևերով:
Եռանկյունաչափություն սովորելու անհամապատասխանությունները
Անհասկանալի հարցերից մեկը, որից ուսանողները նախընտրում են խուսափել, եռանկյունաչափության տարբեր հասկացությունների միջև կապ գտնելն է: Թվում է, թե եռանկյունները օգտագործվում են անկյունների սինուսներն ու կոսինուսները ուսումնասիրելու համար, բայց ինչ-ինչ պատճառներով նշումները հաճախ հանդիպում են շրջանով նկարում: Բացի այդ, կա միանգամայն անհասկանալի ալիքանման գրաֆիկ, որը կոչվում է սինուսոիդ, որը արտաքին նմանություն չունի ո՛չ շրջանագծի, ո՛չ եռանկյունների հետ։
Ավելին, անկյունները չափվում են աստիճաններով, այնուհետև ռադիաններով, և Pi թիվը, որը գրված է պարզապես 3,14 (առանց չափման միավորների), ինչ-ինչ պատճառներով հայտնվում է 180 աստիճանի համապատասխանող բանաձևերում։ Ինչպե՞ս է այս ամենը կապված միմյանց հետ:
Միավորներ
Ինչու՞ Pi-ն հենց 3.14 է: Հիշո՞ւմ եք, թե որն է այս իմաստը: Սա այն շառավիղների թիվն է, որոնք տեղավորվում են աղեղի մեջ կես շրջանագծի վրա: Եթե շրջանագծի տրամագիծը 2 սանտիմետր է, ապա շրջագիծը 3,14 * 2 կամ 6,28 է։
Երկրորդ կետ՝ դուք հավանաբար նկատել եք «ռադիան» և «շառավիղ» բառերի նմանությունը։ Բանն այն է, որ մեկ ռադիանը թվայինորեն հավասար է շրջանագծի կենտրոնից մեկ շառավղով աղեղի վրա գծված անկյան արժեքին:
Հիմա եկեք համատեղենք ձեռք բերված գիտելիքները և հասկանանք, թե ինչու եռանկյունաչափության կոորդինատային առանցքի վրա վերևում գրված է «Pi-ն կիսով չափ», իսկ ձախում՝ «Pi»: Սա անկյունային արժեք է, որը չափվում է ռադիաններով, քանի որ կիսաշրջանը 180 աստիճան է կամ 3,14 ռադիան: Իսկ որտեղ աստիճաններ կան, այնտեղ կան սինուսներ և կոսինուսներ: Եռանկյունը հեշտ է նկարել ցանկալի կետ, գծերի հատվածները դնելով կենտրոնում և կոորդինատային առանցքի վրա։
Եկեք նայենք ապագային
Դպրոցում ուսումնասիրված եռանկյունաչափությունը վերաբերում է ուղղագիծ կոորդինատային համակարգին, որտեղ, որքան էլ տարօրինակ հնչի, ուղիղը ուղիղ է:
Բայց կան նաև տարածության հետ աշխատելու ավելի բարդ ձևեր. եռանկյան անկյունների գումարն այստեղ կլինի ավելի քան 180 աստիճան, իսկ ուղիղ գիծը մեր կարծիքով իրական աղեղի տեսք կունենա:
Խոսքից անցնենք գործի։ Վերցրեք խնձոր: Դանակով երեք կտրվածք արեք՝ վերևից նայելիս եռանկյունի ձևավորելու համար: Ստացված խնձորի կտորը հանեք և նայեք «կողերին», որտեղ վերջանում է կեղևը։ Նրանք ամենևին էլ ուղիղ չեն։ Ձեր ձեռքի պտուղը պայմանականորեն կարելի է անվանել կլոր, և այժմ պատկերացրեք, թե որքան բարդ բանաձևերը պետք է լինեն, որոնց օգնությամբ դուք կարող եք գտնել կտրված կտորի տարածքը: Բայց որոշ մասնագետներ ամեն օր լուծում են նման խնդիրներ։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կյանքում
Նկատե՞լ եք, որ մեր մոլորակի մակերևույթի A կետից մինչև B կետ ամենակարճ հարթության երթուղին ունի ընդգծված աղեղի ձև: Պատճառը պարզ է՝ Երկիրը գնդակի տեսք ունի, ինչը նշանակում է, որ եռանկյունների օգնությամբ շատ բան չես կարող հաշվարկել, այստեղ պետք է ավելի բարդ բանաձևեր օգտագործել։
Սուր անկյան սինուսը / կոսինուսը չի կարող բացառվել տարածության հետ կապված որևէ հարցում: Հետաքրքիր է, որ այստեղ մի ամբողջ շարք գործոններ համընկնում են. եռանկյունաչափական ֆունկցիաներպահանջվում է շրջանների, էլիպսների և տարբեր հետագծերի երկայնքով մոլորակների շարժումը հաշվարկելիս բարդ ձևեր; հրթիռների, արբանյակների, մաքոքային մեքենաների արձակման, հետազոտական մեքենաների արձակման գործընթացը. մոնիտորինգ հեռավոր աստղերև այն գալակտիկաների ուսումնասիրությունը, որոնց մարդիկ տեսանելի ապագայում չեն կարողանա հասնել:
Ընդհանրապես, եռանկյունաչափության տեր մարդու գործունեության դաշտը շատ լայն է և, ըստ երևույթին, ժամանակի ընթացքում միայն կընդլայնվի։
Եզրակացություն
Այսօր մենք իմացանք, կամ գոնե կրկնեցինք, թե ինչ է սինուսը և կոսինուսը։ Սրանք հասկացություններ են, որոնք վախենալու կարիք չունեն, դուք պարզապես ցանկանում եք, և դուք կհասկանաք դրանց իմաստը: Հիշեք, որ եռանկյունաչափությունը նպատակ չէ, այլ միայն գործիք, որը կարող է օգտագործվել մարդկային իրական կարիքները բավարարելու համար. կառուցել տներ, ապահովել երթևեկության անվտանգությունը, նույնիսկ ուսումնասիրել տիեզերքի հսկայականությունը:
Իրոք, գիտությունն ինքնին կարող է ձանձրալի թվալ, բայց հենց որ դրա մեջ գտնեք ձեր սեփական նպատակներին հասնելու միջոց, ինքնաիրացում, ուսուցման գործընթացը կդառնա հետաքրքիր, և ձեր անձնական մոտիվացիան կաճի։
Ինչպես Տնային աշխատանքփորձեք ուղիներ գտնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կիրառելու այն գործունեության ոլորտում, որը ձեզ հետաքրքրում է անձամբ: Պատկերացրեք, միացրեք ձեր երևակայությունը, և այդ ժամանակ անպայման կպարզվի, որ նոր գիտելիքները ձեզ օգտակար կլինեն ապագայում։ Եվ բացի այդ, մաթեմատիկան օգտակար է ընդհանուր զարգացումմտածելով.
Հակառակ ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է sinus սուր անկյունուղղանկյուն եռանկյուն.
\ sin \ ալֆա = \ ֆրակ (ա) (գ)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոսինուս
Մոտակա ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունը կոչվում է սուր անկյան կոսինուսուղղանկյուն եռանկյուն.
\ cos \ ալֆա = \ ֆրակ (բ) (գ)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր շոշափող
Հակառակ ոտքի հարակից ոտքի հարաբերակցությունը կոչվում է սուր անկյան շոշափողուղղանկյուն եռանկյուն.
tg \ ալֆա = \ ֆրակ (ա) (բ)
Ուղղանկյուն եռանկյան սուր անկյան կոտանգենս
Հարակից ոտքի և հակառակ ոտքի հարաբերակցությունը կոչվում է սուր անկյան կոտանգենսուղղանկյուն եռանկյուն.
ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (բ) (ա)
Կամային անկյան սինուս
Կոչվում է միավոր շրջանագծի այն կետի օրդինատը, որին համապատասխանում է \ ալֆա անկյունը կամայական անկյան սինուսռոտացիա \ ալֆա.
\ sin \ ալֆա = y
Կամայական անկյան կոսինուս
Կոչվում է միավոր շրջանագծի այն կետի աբսցիսա, որին համապատասխանում է \ ալֆա անկյունը կամայական անկյան կոսինուսռոտացիա \ ալֆա.
\ cos \ ալֆա = x
Անկյունի կամայական շոշափող
Պտտման կամայական \ ալֆա անկյան սինուսի և նրա կոսինուսի հարաբերությունը կոչվում է կամայական անկյան շոշափողռոտացիա \ ալֆա.
tg \ ալֆա = y_ (A)
tg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ sin \ ալֆա) (\ cos \ ալֆա)
Կամայական անկյան կոտանգենս
Պտտման կամայական \ ալֆայի անկյան կոսինուսի և նրա սինուսի հարաբերությունը կոչվում է կամայական անկյան կոտանգենսռոտացիա \ ալֆա.
ctg \ ալֆա = x_ (A)
ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (\ cos \ ալֆա) (\ sin \ ալֆա)
Կամայական անկյուն գտնելու օրինակ
Եթե \ ալֆան AOM-ի որոշ անկյուն է, որտեղ M-ը միավոր շրջանագծի կետն է, ապա
\ sin \ ալֆա = y_ (M), \ cos \ ալֆա = x_ (M), tg \ ալֆա = \ ֆրակ (y_ (M)) (x_ (M)), ctg \ ալֆա = \ ֆրակ (x_ (M)) (y_ (M)).
Օրինակ, եթե \ անկյուն AOM = - \ ֆրակ (\ pi) (4), ապա՝ M կետի օրդինատը հավասար է - \ frac (\ sqrt (2)) (2), աբսցիսն է \ frac (\ sqrt (2)) (2)և դրա համար
\ sin \ ձախ (- \ frac (\ pi) (4) \ աջ) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);
\ cos \ ձախ (\ frac (\ pi) (4) \ աջ) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);
tg;
ctg \ ձախ (- \ ֆրակ (\ pi) (4) \ աջ) = - 1.
Կոտանգենտների տանգենսների կոսինուսների սինուսների արժեքների աղյուսակ
Հիմնական ընդհանուր անկյունների արժեքները տրված են աղյուսակում.
| 0 ^ (\ շրջան) (0) | 30 ^ (\ circ) \ ձախ (\ frac (\ pi) (6) \ աջ) | 45 ^ (\ circ) \ ձախ (\ frac (\ pi) (4) \ աջ) | 60 ^ (\ circ) \ ձախ (\ frac (\ pi) (3) \ աջ) | 90 ^ (\ circ) \ ձախ (\ frac (\ pi) (2) \ աջ) | 180 ^ (\ circ) \ ձախ (\ pi \ աջ) | 270 ^ (\ circ) \ ձախ (\ frac (3 \ pi) (2) \ աջ) | 360 ^ (\ circ) \ ձախ (2 \ pi \ աջ) | |
| \ մեղք \ ալֆա | 0 | \ frac12 | \ frac (\ sqrt 2) (2) | \ frac (\ sqrt 3) (2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \ cos \ ալֆա | 1 | \ frac (\ sqrt 3) (2) | \ frac (\ sqrt 2) (2) | \ frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg \ ալֆա | 0 | \ frac (\ sqrt 3) (3) | 1 | \ sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg \ ալֆա | — | \ sqrt3 | 1 | \ frac (\ sqrt 3) (3) | 0 | — | 0 | — |
Հիմնական եռանկյունաչափական ֆունկցիաների՝ սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի միջև հարաբերությունները սահմանված են. եռանկյունաչափական բանաձևեր... Եվ քանի որ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների միջև շատ կապեր կան, սա բացատրում է եռանկյունաչափական բանաձևերի առատությունը։ Որոշ բանաձևեր միացնում են նույն անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաները, մյուսները՝ բազմակի անկյան ֆունկցիաներ, մյուսները՝ թույլ են տալիս իջեցնել աստիճանը, չորրորդը՝ արտահայտել բոլոր ֆունկցիաները կիսանկյան շոշափողով և այլն։
Այս հոդվածում մենք հերթականությամբ կթվարկենք բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական բանաձևերը, որոնք բավարար են եռանկյունաչափության խնդիրների ճնշող մեծամասնությունը լուծելու համար։ Անգիրացնելու և օգտագործելու հեշտության համար մենք դրանք կխմբավորենք ըստ նպատակի և մուտքագրենք աղյուսակների մեջ:
Էջի նավարկություն.
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններ
Հիմնական եռանկյունաչափական ինքնություններսահմանել մեկ անկյան սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հարաբերությունները: Դրանք բխում են սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի սահմանումներից, ինչպես նաև միավոր շրջանագծի հասկացությունից։ Նրանք թույլ են տալիս արտահայտել մեկ եռանկյունաչափական ֆունկցիա ցանկացած մյուսի առումով:
Այս եռանկյունաչափության բանաձևերի մանրամասն նկարագրությունը, դրանց ածանցումը և կիրառման օրինակները տե՛ս հոդվածը:
Ձուլման բանաձևեր
Ձուլման բանաձևերհետևում են սինուսի, կոսինուսի, տանգենսի և կոտանգենսի հատկություններին, այսինքն՝ արտացոլում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաների պարբերականության հատկությունը, համաչափության հատկությունը, ինչպես նաև տվյալ անկյան տակ տեղաշարժվելու հատկությունը։ Այս եռանկյունաչափական բանաձևերը թույլ են տալիս կամայական անկյուններով աշխատելուց անցնել զրոյից մինչև 90 աստիճան անկյունների հետ աշխատելու:
Այս բանաձևերի հիմնավորումը, դրանք անգիր անելու մնեմոնիկ կանոնը և դրանց կիրառման օրինակները կարելի է ուսումնասիրել հոդվածում։
Հավելման բանաձևեր
Եռանկյունաչափական գումարման բանաձևերցույց տվեք, թե ինչպես են երկու անկյունների գումարի կամ տարբերության եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտվում այս անկյունների եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով։ Այս բանաձևերը հիմք են հանդիսանում հետևյալ եռանկյունաչափական բանաձևերի ստացման համար.
Կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևեր: անկյուն
Կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևեր: անկյունը (նաև կոչվում է բազմակի անկյան բանաձևեր) ցույց է տալիս, թե ինչպես են կրկնակի, եռակի և այլնի եռանկյունաչափական ֆունկցիաները: անկյունները () արտահայտվում են մեկ անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով: Նրանց ածանցումը հիմնված է գումարման բանաձևերի վրա:
Ավելի մանրամասն տեղեկատվություն է հավաքված հոդվածում կրկնակի, եռակի և այլնի բանաձևի վերաբերյալ: անկյուն.
Կես անկյունային բանաձևեր
Կես անկյունային բանաձևերցույց տվեք, թե ինչպես են կիսանկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաներն արտահայտվում ամբողջ թվի անկյան կոսինուսով: Այս եռանկյունաչափական բանաձևերը հետևում են կրկնակի անկյունային բանաձևերին:
Նրանց եզրակացությունը և կիրառման օրինակները կարելի է գտնել հոդվածում:
Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր
Եռանկյունաչափական աստիճանի նվազեցման բանաձևերնախագծված է հեշտացնելու անցումը բնական աստիճաններեռանկյունաչափական ֆունկցիաներ սինուսների և կոսինուսների նկատմամբ առաջին աստիճանի, բայց անկյունների բազմապատիկ: Այսինքն՝ թույլ են տալիս իջեցնել եռանկյունաչափական ֆունկցիաների աստիճանները առաջինին։
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևեր
հիմնական նպատակակետը եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարի և տարբերության բանաձևերֆունկցիաների արտադրյալին անցնելն է, ինչը շատ օգտակար է եռանկյունաչափական արտահայտությունները պարզեցնելիս։ Այս բանաձևերը լայնորեն օգտագործվում են նաև եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելու համար, քանի որ դրանք թույլ են տալիս հաշվի առնել սինուսների և կոսինուսների գումարը և տարբերությունը:
Սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուսների արտադրյալի բանաձևեր
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արտադրյալից անցումը գումարին կամ տարբերությանը կատարվում է սինուսների, կոսինուսների և սինուս առ կոսինուս արտադրյալի բանաձևերի միջոցով։
Հեղինակային իրավունք խելացի ուսանողների կողմից
Բոլոր իրավունքները պաշտպանված են.
Պաշտպանված է հեղինակային իրավունքի մասին օրենքով: www.site-ի ոչ մի մաս, ներառյալ ներքին նյութերը և արտաքին դիզայնը, չի կարող վերարտադրվել որևէ ձևով կամ օգտագործվել առանց հեղինակային իրավունքի սեփականատիրոջ նախնական գրավոր թույլտվության:
Սինուս, կոսինուս, տանգենս և կոտանգենս հասկացությունները եռանկյունաչափության հիմնական կատեգորիաներն են՝ մաթեմատիկայի ճյուղ, և անքակտելիորեն կապված են անկյան սահմանման հետ։ Այս մաթեմատիկական գիտությանը տիրապետելը պահանջում է բանաձևերի և թեորեմների անգիր և ընկալում, ինչպես նաև զարգացած տարածական մտածողություն: Այդ իսկ պատճառով եռանկյունաչափական հաշվարկները հաճախ դժվարություններ են առաջացնում դպրոցականների և ուսանողների համար։ Դրանք հաղթահարելու համար պետք է ավելին իմանալ եռանկյունաչափական ֆունկցիաների և բանաձևերի մասին:
Հայեցակարգեր եռանկյունաչափության մեջ
Եռանկյունաչափության հիմնական հասկացությունները հասկանալու համար նախ պետք է որոշել, թե ինչ են ուղղանկյուն եռանկյունը և անկյունը շրջանագծի մեջ, և ինչու են բոլոր հիմնական եռանկյունաչափական հաշվարկները կապված դրանց հետ: Եռանկյունը, որի անկյուններից մեկը 90 աստիճան է, ուղղանկյուն է: Պատմականորեն այս ցուցանիշը հաճախ օգտագործվում էր ճարտարապետության, նավիգացիայի, արվեստի, աստղագիտության մեջ: Ըստ այդմ, ուսումնասիրելով և վերլուծելով այս գործչի հատկությունները, մարդիկ եկան դրա պարամետրերի համապատասխան հարաբերակցությունների հաշվարկին:
Ուղղանկյուն եռանկյունների հետ կապված հիմնական կատեգորիաներն են հիպոթենուսը և ոտքերը: Հիպոթենուզ - եռանկյան կողմը, որը գտնվում է հակառակ կողմում Աջ անկյունը... Ոտքերը, համապատասխանաբար, մյուս երկու կողմերն են։ Ցանկացած եռանկյան անկյունների գումարը միշտ 180 աստիճան է:
Գնդաձև եռանկյունաչափությունը եռանկյունաչափության բաժին է, որը չի ուսումնասիրվում դպրոցում, բայց կիրառական գիտություններում, ինչպիսիք են աստղագիտությունը և գեոդեզիան, գիտնականներն այն օգտագործում են: Գնդաձև եռանկյունաչափության մեջ եռանկյան առանձնահատկությունն այն է, որ այն միշտ ունի 180 աստիճանից ավելի անկյունների գումար։
Եռանկյան անկյուններ
Ուղղանկյուն եռանկյան մեջ անկյան սինուսը ցանկալի անկյան հակառակ ոտքի հարաբերությունն է եռանկյան հիպոթենուսի հետ: Համապատասխանաբար, կոսինուսը հարակից ոտքի և հիպոթենուսի հարաբերակցությունն է: Այս երկու արժեքներն էլ միշտ մեկից պակաս են, քանի որ հիպոթենուսը միշտ ավելի երկար է, քան ոտքը:
Անկյունի շոշափողը մի արժեք է, որը հավասար է հակառակ ոտքի և ցանկալի անկյան հարակից ոտքի կամ սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը: Կոտանգենսն իր հերթին ցանկալի անկյան հարակից ոտքի հարաբերակցությունն է հակառակ ոտքի: Անկյունի կոտանգենսը կարելի է ստանալ նաև մեկը շոշափողի արժեքի վրա բաժանելով։
Միավոր շրջանակ
Միավոր շրջանագիծը երկրաչափության մեջ այն շրջանագիծն է, որի շառավիղը հավասար է մեկի: Նման շրջանագիծը կառուցված է դեկարտյան կոորդինատային համակարգում, մինչդեռ շրջանագծի կենտրոնը համընկնում է սկզբնակետի հետ, և շառավղային վեկտորի սկզբնական դիրքը որոշվում է X առանցքի դրական ուղղության երկայնքով (աբսցիսա): Շրջանակի յուրաքանչյուր կետ ունի երկու կոորդինատ՝ XX և YY, այսինքն՝ աբսցիսների և օրդինատների կոորդինատները։ Ընտրելով XX հարթության շրջանագծի ցանկացած կետ և ուղղահայացը գցելով դեպի աբսցիսայի առանցքը, մենք ստանում ենք ուղղանկյուն եռանկյուն, որը ձևավորվում է ընտրված կետի շառավղով (նշեք այն C տառով), գծված ուղղահայացով: դեպի X առանցքի (հատման կետը նշվում է G տառով), և աբսցիսայի առանցքի մի հատված սկզբնակետի (կետը նշանակված է A տառով) և հատման կետի G կետի միջև: Ստացված ACG եռանկյունը աջ է. շրջանագծի մեջ ներգծված անկյունային եռանկյուն, որտեղ AG-ն հիպոթենուսն է, իսկ AC և GC ոտքերը: AC շրջանագծի շառավղի և AG նշմամբ աբսցիսային առանցքի հատվածի միջև անկյունը մենք սահմանում ենք α (ալֆա): Այսպիսով, cos α = AG / AC: Հաշվի առնելով, որ AC-ը միավոր շրջանագծի շառավիղն է, և այն հավասար է մեկի, ստացվում է, որ cos α = AG: Նմանապես, sin α = CG:
Բացի այդ, իմանալով այս տվյալները, դուք կարող եք որոշել C կետի կոորդինատը շրջանագծի վրա, քանի որ cos α = AG, և sin α = CG, ինչը նշանակում է, որ C կետն ունի տրված կոորդինատները(cos α; sin α): Իմանալով, որ շոշափողը հավասար է սինուսի և կոսինուսի հարաբերությանը, մենք կարող ենք որոշել, որ tg α = y / x, և ctg α = x / y: Հաշվի առնելով անկյունները բացասական համակարգկոորդինատները, կարող եք հաշվարկել, որ որոշ անկյունների սինուսի և կոսինուսի արժեքները կարող են բացասական լինել:
Հաշվարկներ և հիմնական բանաձևեր
Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների արժեքներ
Հաշվի առնելով եռանկյունաչափական ֆունկցիաների էությունը միավորի շրջանակի միջոցով, դուք կարող եք դուրս բերել այդ գործառույթների արժեքները որոշ անկյունների համար: Արժեքները թվարկված են ստորև բերված աղյուսակում:
Ամենապարզ եռանկյունաչափական ինքնությունները
Այն հավասարումները, որոնցում առկա է անհայտ արժեք եռանկյունաչափական ֆունկցիայի նշանի տակ, կոչվում են եռանկյունաչափական: Sin х = α արժեքով նույնականություններ, k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- sin x = 0, x = πk.
- 2.sin x = 1, x = π / 2 + 2πk.
- մեղք x = -1, x = -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, | a | > 1, լուծումներ չկան:
- sin x = a, | a | ≦ 1, x = (-1) ^ k * arcsin α + πk.
Cos x = a արժեքով նույնականություններ, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- cos x = 0, x = π / 2 + πk:
- cos x = 1, x = 2πk:
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a | > 1, լուծումներ չկան:
- cos x = a, |a | ≦ 1, x = ± arccos α + 2πk:
Նույնականություններ tg x = a արժեքով, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- tg x = 0, x = π / 2 + πk:
- tg x = a, x = arctan α + πk.
Նույնականություններ ctg x = a արժեքով, որտեղ k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է.
- ctg x = 0, x = π / 2 + πk:
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Ձուլման բանաձևեր
Այս կատեգորիան հաստատուն բանաձևերնշանակում է այն մեթոդները, որոնցով կարելի է ձևի եռանկյունաչափական ֆունկցիաներից անցնել փաստարկի ֆունկցիաների, այսինքն՝ ցանկացած արժեքի անկյան սինուսը, կոսինուսը, տանգենսը և կոտանգենսը բերել 0-ից միջակայքի անկյան համապատասխան ցուցիչներին։ մինչև 90 աստիճան՝ հաշվարկների ավելի հարմարավետության համար:
Անկյունի սինուսի համար ֆունկցիաների փոխակերպման բանաձևերը հետևյալն են.
- մեղք (900 - α) = α;
- sin (900 + α) = cos α;
- sin (1800 - α) = մեղք α;
- sin (1800 + α) = -sin α;
- sin (2700 - α) = -cos α;
- sin (2700 + α) = -cos α;
- sin (3600 - α) = -sin α;
- sin (3600 + α) = մեղք α.
Անկյան կոսինուսի համար.
- cos (900 - α) = մեղք α;
- cos (900 + α) = -sin α;
- cos (1800 - α) = -cos α;
- cos (1800 + α) = -cos α;
- cos (2700 - α) = -sin α;
- cos (2700 + α) = մեղք α;
- cos (3600 - α) = cos α;
- cos (3600 + α) = cos α.
Վերոնշյալ բանաձևերի օգտագործումը հնարավոր է երկու կանոնների համաձայն. Նախ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես արժեք (π / 2 ± a) կամ (3π / 2 ± a), ֆունկցիայի արժեքը փոխվում է.
- մեղքից մինչև կոս;
- cos-ից մինչև մեղք;
- tg-ից մինչև ctg;
- ctg-ից tg.
Ֆունկցիայի արժեքը մնում է անփոփոխ, եթե անկյունը կարող է ներկայացվել որպես (π ± a) կամ (2π ± a):
Երկրորդ, կրճատված ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում. եթե ի սկզբանե դրական է եղել, այդպես էլ մնում է։ Նմանապես բացասական գործառույթների դեպքում:
Հավելման բանաձևեր
Այս բանաձևերը արտահայտում են սինուսի, կոսինուսի, շոշափողի և կոտանգենսի արժեքները պտտման երկու անկյունների գումարի և տարբերության՝ իրենց եռանկյունաչափական ֆունկցիաներով։ Անկյունները սովորաբար կոչվում են α և β:
Բանաձևերն այսպիսի տեսք ունեն.
- sin (α ± β) = մեղք α * cos β ± cos α * մեղք.
- cos (α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan (α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β):
- ctg (α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β):
Այս բանաձևերը վավեր են α և β անկյունների ցանկացած արժեքի համար:
Կրկնակի և եռակի անկյունային բանաձևեր
Կրկնակի և եռակի անկյան եռանկյունաչափական բանաձևերը բանաձևեր են, որոնք համապատասխանաբար կապում են 2α և 3α անկյունների ֆունկցիաները α անկյան եռանկյունաչափական ֆունկցիաների հետ։ Ավելացման բանաձևերից ստացված.
- sin2α = 2sinα * cosα.
- cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α):
- sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α.
- cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tan ^ 3 α) / (1-tan ^ 2 α):
Գումարից ապրանքի անցում
Հաշվի առնելով, որ 2sinx * cozy = sin (x + y) + sin (x-y), պարզեցնելով այս բանաձևը, մենք ստանում ենք նույնականությունը sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2: Նմանապես, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = մեղք (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = մեղք (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 ∓ α) = √2cos (π / 4 ± α):
Աշխատանքից դեպի գումարի անցում
Այս բանաձևերը բխում են գումարի արտադրանքին անցնելու նույնություններից.
- sinα * sinβ = 1/2 *;
- cosα * cosβ = 1/2 *;
- sinα * cosβ = 1/2 *.
Աստիճանների նվազեցման բանաձևեր
Այս նույնություններում սինուսի և կոսինուսի քառակուսի և խորանարդ հզորությունները կարող են արտահայտվել բազմակի անկյան առաջին ուժի սինուսի և կոսինուսի տեսքով.
- մեղք ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
- cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
- sin ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
- cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
- մեղք ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
- cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.
Ունիվերսալ փոխարինում
Համընդհանուր եռանկյունաչափական փոխարինման բանաձևերը արտահայտում են եռանկյունաչափական ֆունկցիաները կես անկյան շոշափողով:
- sin x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), մինչդեռ x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), որտեղ x = π + 2πn;
- tan x = (2tgx / 2) / (1 - tan ^ 2 x / 2), որտեղ x = π + 2πn;
- ctg x = (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), մինչդեռ x = π + 2πn:
Հատուկ դեպքեր
Ամենապարզ եռանկյունաչափական հավասարումների առանձին դեպքեր տրված են ստորև (k-ն ցանկացած ամբողջ թիվ է):
Անձնական սինուսի համար.
| Sin x արժեքը | X արժեք |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 2 + 2 πk |
| -1 | -π / 2 + 2πk |
| 1/2 | π / 6 + 2πk կամ 5π / 6 + 2πk |
| -1/2 | -π / 6 + 2πk կամ -5π / 6 + 2πk |
| √2/2 | π / 4 + 2πk կամ 3π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | -π / 4 + 2πk կամ -3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | π / 3 + 2πk կամ 2π / 3 + 2πk |
| -√3/2 | -π / 3 + 2πk կամ -2π / 3 + 2πk |
Կոսինուսի գործակիցներն են.
| Cos x արժեքը | X արժեք |
|---|---|
| 0 | π / 2 + 2 πk |
| 1 | 2 πk |
| -1 | 2 + 2 πk |
| 1/2 | ± π / 3 + 2πk |
| -1/2 | ± 2π / 3 + 2πk |
| √2/2 | ± π / 4 + 2πk |
| -√2/2 | ± 3π / 4 + 2πk |
| √3/2 | ± π / 6 + 2πk |
| -√3/2 | ± 5π / 6 + 2πk |
Մասնավոր շոշափողի համար.
| Tg x արժեքը | X արժեք |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3/3 | π / 6 + πk |
| -√3/3 | -π / 6 + πk |
| √3 | π / 3 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
Մասնավոր կոտանգենտի համար.
| Ctg x արժեքը | X արժեք |
|---|---|
| 0 | π / 2 + πk |
| 1 | π / 4 + πk |
| -1 | -π / 4 + πk |
| √3 | π / 6 + πk |
| -√3 | -π / 3 + πk |
| √3/3 | π / 3 + πk |
| -√3/3 | -π / 3 + πk |
Թեորեմներ
Սինուսի թեորեմ
Թեորեմի երկու տարբերակ կա՝ պարզ և ընդլայնված։ Սինուսների պարզ թեորեմ՝ a / sin α = b / sin β = c / sin γ: Այս դեպքում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α, β, γ՝ համապատասխանաբար հակառակ անկյունները։
Ընդլայնված սինուսի թեորեմ կամայական եռանկյունու համար՝ a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R: Այս նույնությամբ R-ը նշանակում է շրջանագծի շառավիղը, որում մակագրված է տվյալ եռանկյունը։
Կոսինուսների թեորեմ
Ինքնությունը ցուցադրվում է հետևյալ կերպ՝ a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α: Բանաձևում a, b, c-ն եռանկյան կողմերն են, իսկ α-ն՝ a կողմին հակառակ անկյունը:
Շոշափող թեորեմ
Բանաձևն արտահայտում է երկու անկյունների շոշափողների և դրանց հակառակ կողմերի երկարության հարաբերությունները: Կողմերը նշանակվում են a, b, c, իսկ համապատասխան հակադիր անկյուններն են α, β, γ։ Շոշափող թեորեմի բանաձևը հետևյալն է. (a - b) / (a + b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2):
Կոտանգենտի թեորեմ
Եռանկյան մեջ ներգծված շրջանագծի շառավիղը միացնում է նրա կողմերի երկարությանը: Եթե a, b, c եռանկյան կողմերն են, իսկ A, B, C, համապատասխանաբար, հակառակ անկյուններն են, r-ը ներգծված շրջանագծի շառավիղն է, իսկ p-ն եռանկյան կիսաշրջագիծն է, ապա հետևյալ նույնականությունները. վավեր են՝
- ctg A / 2 = (p-a) / r;
- ctg B / 2 = (p-b) / r;
- ctg C / 2 = (p-c) / r.
Կիրառական դիմում
Եռանկյունաչափությունը միայն մաթեմատիկական բանաձևերի հետ կապված տեսական գիտություն չէ։ Դրա հատկությունները, թեորեմները և կանոնները գործնականում օգտագործվում են տարբեր ոլորտների կողմից: մարդկային գործունեություն- աստղագիտություն, օդային և ծովային նավարկություն, երաժշտության տեսություն, գեոդեզիա, քիմիա, ակուստիկա, օպտիկա, էլեկտրոնիկա, ճարտարապետություն, տնտեսագիտություն, մեքենաշինություն, չափման աշխատանքներ, համակարգչային գրաֆիկա, քարտեզագրություն, օվկիանոսագրություն և շատ ուրիշներ։
Սինուսը, կոսինուսը, շոշափողը և կոտանգենսը եռանկյունաչափության հիմնական հասկացություններն են, որոնց օգնությամբ դուք կարող եք մաթեմատիկորեն արտահայտել եռանկյան անկյունների և կողմերի երկարությունների միջև կապը և գտնել պահանջվող մեծությունները նույնականությունների, թեորեմների և կանոնների միջոցով:
Եռանկյունաչափական հավասարումները քննության անբաժանելի մասն են:
Ցավոք, չկա ընդհանուր միասնական մեթոդ, որից հետո հնարավոր կլինի լուծել ցանկացած հավասարում, որում ներգրավված են եռանկյունաչափական ֆունկցիաներ: Այստեղ հաջողությունը կարող է ապահովվել միայն բանաձևերի լավ իմացությամբ և որոշակի օգտակար համակցություններ տեսնելու ունակությամբ, որը մշակվում է միայն պրակտիկայի միջոցով:
Ընդհանուր նպատակը սովորաբար հավասարման մեջ ներառված եռանկյունաչափական արտահայտությունն այնպիսի ձևի վերածելն է, որ արմատները գտնվեն այսպես կոչված ամենապարզ հավասարումներից.
| cos px = a; | sin gx = b; | tg kx = c; | ctg tx = դ. |
Դա անելու համար դուք պետք է կարողանաք կիրառել եռանկյունաչափական բանաձեւեր: Օգտակար է իմանալ և անվանել դրանք «անուններ».
1. Կրկնակի փաստարկի, եռակի փաստարկի բանաձևեր.
cos 2x = cos 2 x - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x = 2 cos 2 x - 1;
մեղք 2x = 2 մեղք x cos x;
tg 2x = 2 tg x / 1 - tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x - 1) / 2 ctg x;
մեղք 3x = 3 մեղք x - 4 մեղք 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x - tg 3 x) / (1 - 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x - 3ctg x) / (3ctg 2 x - 1);
2. Կես փաստարկի կամ աստիճանի կրճատման բանաձևեր.
մեղք 2 x / 2 = (1 - cos x) / 2; cos 2 x / 2 = (1 + cos x) / 2;
tg 2 x = (1 - cos x) / (1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x) / (1 - cos x);
3. Ներկայացնելով օժանդակ փաստարկ.
դիտարկենք a sin x + b cos x = c հավասարման օրինակը, մասնավորապես, որոշելով x անկյունը sin y = b / v (a 2 + b 2), cos y = a / v (a 2 + b) պայմաններից. 2), մենք կարող ենք դիտարկվող հավասարումը նվազեցնել մինչև ամենապարզ մեղքը (x + y) = c / v (a 2 + b 2), որի լուծումները կարող են դուրս գրել առանց դժվարության. այսպիսով որոշվում են նաև սկզբնական հավասարման լուծումները։
4. Գումարման և հանման բանաձևեր.
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a - b) = sin a cos b - cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b;
cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b) / (1 - tg a tg b);
tg (a - b) = (tg a - tg b) / (1 + tg a tg b);
5. Ունիվերսալ եռանկյունաչափական փոխարինում.
sin a = 2 tg (a / 2) / (1 + ( tg 2 (a / 2));
cos a = (1 - tg 2 (a / 2)) / (1 + ( tg 2 (a / 2));
tg a = 2 tg a / 2 / (1 - tg 2 (a / 2));
6. Որոշ կարևոր հարաբերություններ.
sin x + sin 2x + sin 3x +… + sin mx = (cos (x / 2) -cos (2m + 1) x) / (2 sin (x / 2));
cos x + cos 2x + cos 3x +… + cos mx = (մեղք (2m + 1) x / 2 - մեղք (x / 2)) / (2 մեղք (x / 2));
7. Եռանկյունաչափական ֆունկցիաների գումարը արտադրյալի վերածելու բանաձևեր.
sin a + sin b = 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
cos a - cos b = -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2;
tg a + tg b = մեղք (a + b) / (cos a cos b);
tg a - tg b = մեղք (a - b) / (cos a cos b):
Եվ նաև կրճատման բանաձևերը.
Լուծման գործընթացում անհրաժեշտ է հատկապես ուշադիր հետևել հավասարումների համարժեքությանը, որպեսզի կանխվի արմատների կորուստը (օրինակ, հավասարման ձախ և աջ կողմերը ընդհանուր գործոնով կրճատելիս) կամ լրացուցիչ արմատներ ձեռք բերել: (օրինակ, երբ հավասարման երկու կողմերը քառակուսի են): Բացի այդ, անհրաժեշտ է վերահսկել, թե արդյոք ընդունող արմատները պատկանում են դիտարկվող հավասարման ODZ-ին։
Բոլոր անհրաժեշտ դեպքերում (այսինքն, երբ թույլատրվել են ոչ համարժեք փոխակերպումներ), պարտադիր է ստուգում կատարել: Հավասարումը լուծելիս անհրաժեշտ է սովորեցնել ուսանողներին կրճատել դրանք որոշակի տեսակների, սովորաբար սկսելով հեշտ հավասարումից:
Եկեք ծանոթանանք հավասարումների լուծման մեթոդներին.
1.Նվազեցում ax 2 + bx + c = 0 ձևով
2. Հավասարումների միատարրություն.
3. Ֆակտորիզացիա.
4. Կրճատում a 2 + b 2 + c 2 = 0 ձևին
5. Փոփոխականների փոփոխություն.
6. Հավասարման կրճատում մեկ փոփոխականով հավասարման:
7. Ձախ և աջ կողմերի գնահատում.
8. Հայացքի մեթոդը.
9. Օժանդակ անկյան ներմուծում.
10. Բաժանիր և տիրիր մեթոդ.
Դիտարկենք մի քանի օրինակ.
1. Լուծե՛ք հավասարումը` sin x + cos 2 x = 1/4:
Լուծումլուծենք քառակուսային հավասարման կրճատման մեթոդով։ Արտահայտեք cos 2 x մեղքով 2 x
մեղք x + 1 - մեղք 2 x = 1/4
4 մեղք 2 x - 4 մեղք x - 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2 (չի բավարարում х € [-1; 1] պայմանը),
դրանք. x = (-1) k + 1 arcsin 1/2 + k, k € z,
Պատասխանել՝ (-1) k + 1/6 + k, k € z.
2. Լուծե՛ք հավասարումը. 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
լուծել ֆակտորինգով
2 tg x cos x - 2 cos x + 1 - tg x = 0, որտեղ х / 2 + k, k € z,
2 cos x (tg x - 1) - (tg x - 1) = 0
(2 cos x - 1) (tg x - 1) = 0
2 cos x - 1 = 0 կամ tg x - 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
այսինքն, x = ± / 3 + 2k, k € z, x = / 4 + m, m € z.
Պատասխանել± / 3 + 2k, k € z, / 4 + m, m € z.
3. Լուծե՛ք հավասարումը` sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0:
Լուծումմեղք 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 2 աստիճանի միատարր հավասարում: Քանի որ cos x = 0 այս հավասարման արմատը չէ, ձախ և աջ կողմերը բաժանեք cos 2 x-ի: Արդյունքում մենք հասնում ենք tan x-ի քառակուսային հավասարմանը
tg 2 x - 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 և tg x = 2,
որտեղից x = / 4 + m, m € z,
x = arctan 2 + k, k € z.
Պատասխանել/ 4 + m, m € z, arctan 2 + k, k € z.
4. Լուծե՛ք հավասարումը cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4։
ԼուծումՆոր փոփոխականի ներդրման մեթոդ
Թող 5x + 6 = y, ապա cos 2y + 4 2 մեղք y = 4
1 - 2 մեղք 2 y + 4 2 sin y - 4 = 0
sin y = t, որտեղ t € [-1; 1]
2տ 2 - 4 2տ + 3 = 0
t = 2/2 և t = 3 2/2 (չի բավարարում t € [-1; 1] պայմանը)
մեղք (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) k / 4 + k, k € z,
x = (-1) k / 20 - 6/5 + k / 5, k € z.
Պատասխանել(-1) դեպի? / 20 - 6/5 +? K / 5, k € z.
5. Լուծե՛ք հավասարումը. (sin x - cos y) 2 + 40x 2 = 0.
Լուծում. Մենք օգտագործում ենք a 2 + b 2 + c 2 = 0, ճիշտ է, եթե a = 0, b = 0, c = 0: Հավասարությունը հնարավոր է, եթե sin x - cos y = 0, և 40x = 0 այստեղից.
x = 0, և sin 0 - cos y = 0, հետևաբար, x = 0 և cos y = 0, հետևաբար՝ x = 0, և y = / 2 + k, k € z, հնարավոր է նաև գրել ( 0; / 2 + կ) k € z.
Պատասխանել(0; / 2 + k) k € z.
6. Լուծե՛ք հավասարումը sin 2 x + cos 4 x - 2 sin x + 1 = 0.
Լուծում. Փոխակերպի՛ր հավասարումը և կիրառի՛ր բաժանիր և տիրի՛ր մեթոդը
(sin 2 x - 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;
(sin x - 1) 2 + cos 4 x = 0; դա հնարավոր է, եթե
(sin x - 1) 2 = 0, և cos 4 x = 0, հետևաբար.
sin x - 1 = 0, և cos x = 0,
sin x \ u003d 1, և cos x \ u003d 0, հետևաբար
x = / 2 + k, k € z
Պատասխանել/ 2 + k, k € z.
7. Լուծե՛ք հավասարումը` sin 5x + sinx = 2 + cos 2x:
Լուծում. մենք կիրառում ենք ձախ և աջ կողմերի և cos և sin ֆունկցիաների սահմանափակությունը գնահատելու մեթոդը:
- 1 մեղք 5x 1, և -1 մեղք x 1
0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2
2 2 + cos 2 x 3
մեղք 5x + մեղք x 2 և 2 + cos 2 x 2
2 մեղք 5x + մեղք x 2, այսինքն.
մեղք 5x + մեղք x 2,
մենք ունենք ձախ մասը 2, իսկ աջ մասը 2,
հավասարությունը հնարավոր է, եթե երկուսն էլ հավասար են 2-ի:
cos 2 x = 0, և sin 5x + sin x = 2, հետևաբար
x = / 2 + k, k € z (անպայման ստուգեք):
Պատասխանել/ 2 + k, k € z.
8. Լուծե՛ք հավասարումը cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0:
ԼուծումԼուծել ֆակտորինգով: Ձախ կողմի տերմինները խմբավորում ենք զույգերի։
(Վ այս դեպքըԽմբավորման ցանկացած մեթոդ տանում է դեպի նպատակ:) Օգտագործեք cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 cos (a - b) / 2 բանաձևը:
2 cos 3 / 2x cos x / 2 + 2 cos 7 / 2x cos x / 2 = 0,
cos x / 2 (cos 3 / 2x + cos 7 / 2x) = 0,
2 cos 5 / 2x cos x / 2 cos x = 0,
Երեք դեպք է առաջանում.
Պատասխանել+ 2k, / 5 + 2 / 5k, / 2 + k, k € z.
Նշենք, որ երկրորդ դեպքը ներառում է առաջինը. (Եթե երկրորդ դեպքում վերցնում ենք k = 4 + 5, ապա ստանում ենք + 2n): Հետևաբար, չի կարելի ասել, թե որն է ավելի ճիշտ, բայց, ամեն դեպքում, պատասխանը կթվա «ավելի կուլտուրական և ավելի գեղեցիկ»՝ x 1 = / 5 + 2 / 5k, x 2 = / 2 + k, k € z: (Կրկին տիպիկ իրավիճակ, որը տանում է պատասխանի ձայնագրման տարբեր ձևերի): Առաջին պատասխանը նույնպես ճիշտ է.
Դիտարկված հավասարումը ցույց է տալիս լուծման շատ բնորոշ սխեմա՝ հավասարումը գործակցելով զույգ խմբավորման միջոցով և օգտագործելով բանաձևերը.
sin a + sin b = 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
sin a - sin b = 2 cos (a + b) / 2 sin (a - b) / 2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
cos a - cos b = -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2.
Արմատներ ընտրելու, եռանկյունաչափական հավասարումներ լուծելիս ավելորդ արմատները վերացնելու խնդիրը շատ կոնկրետ է և սովորաբար ավելի բարդ է ստացվում, քան հանրահաշվական հավասարումների դեպքում։ Ներկայացնենք հավասարումների լուծումներ՝ նկարազարդելով բնորոշ դեպքերանհարկի (օտար) արմատների ի հայտ գալը և դրանցով «վարվելու» մեթոդները։
Ավելորդ արմատներ կարող են հայտնվել այն պատճառով, որ լուծման ընթացքում տեղի է ունեցել հավասարումների սահմանման տիրույթի ընդլայնում։ Ահա մի քանի օրինակներ.
9. Լուծե՛ք հավասարումը` (sin 4x - sin 2x - cos 3x + 2sin x -1) / (2sin 2x - 3) = 0:
Լուծում. Եկեք համարիչը հավասարեցնենք զրոյի (այս դեպքում հավասարման տիրույթը ընդլայնվում է. գումարվում են x-ի արժեքները, որոնք հայտարարը դարձնում են զրո) և փորձենք այն գործոնավորել։ Մենք ունենք:
2 cos 3x sin x - cos 3x + 2sin x - 1 = 0,
(cos 3x + 1) (2 sinx - 1) = 0:
Մենք ստանում ենք երկու հավասարումներ.
cos 3x + 1 = 0, x = / 3 + 2 / 3k.
Տեսնենք, թե որն է մեզ սազում։ Նախ, նկատի ունեցեք, որ մեր հավասարման ձախ կողմը 2 պարբերությամբ պարբերական ֆունկցիա է: Հետևաբար, բավական է գտնել 0 x պայմանը բավարարող հավասարման լուծումը:< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Անհավասարություն 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Առաջինը չի տեղավորվում, քանի որ մեղք 2/3 = 3/2, հայտարարը անհետանում է:
Առաջին դեպքի պատասխանը՝ x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (կարող եք x 2 = - / 3 + 2k), k € z:
Եկեք գտնենք այս հավասարման լուծումը, որը բավարարում է 0 x պայմանը< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Պատասխանել+ 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k € z.
10. Գտի՛ր հավասարումների արմատները՝ v (cos 2x + sin 3x) = v2 cos x:
Այս հավասարման լուծումը բաժանվում է երկու փուլի.
1) տրվածից ստացված հավասարման լուծումը՝ նրա երկու մասերը քառակուսի դնելով.
2) cos x 0 պայմանը բավարարող արմատների ընտրություն։ Այս դեպքում (ինչպես հանրահաշվական հավասարումների դեպքում) կարիք չկա հոգալ cos 2x + sin 3x 0 պայմանը։ Բոլոր k արժեքները, որոնք բավարարում են քառակուսի հավասարումը, բավարարում են այս պայմանը:
Առաջին քայլը մեզ տանում է դեպի sin 3x = 1 հավասարումը, որտեղից x 1 = / 6 + 2 / 3k:
Այժմ անհրաժեշտ է որոշել, թե որ k-ի համար տեղի կունենա cos (/ 6 + 2 / 3k) 0: Դրա համար բավական է, որ k-ն հաշվի առնի 0, 1, 2 արժեքները, այսինքն. ինչպես միշտ, «մեկ անգամ շրջանցիր շրջանը», քանի որ հետագայում կոսինուսի արժեքները կտարբերվեն 2-ի բազմապատիկով արդեն դիտարկվածներից:
Պատասխանել/ 6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k € z.
11. Լուծե՛ք հավասարումը` sin 8 x - cos 5 x = 1:
Այս հավասարման լուծումը հիմնված է հետևյալ պարզ հաշվի վրա՝ եթե 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.
Հետևաբար, sin 8 x sin 2 x, - cos 5 x cos 2 x;
Այս անհավասարությունները տերմին առ տերմին գումարելով՝ կունենանք.
sin 8 x - cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1:
Հետևաբար, այս հավասարման ձախ կողմը հավասար է մեկին, եթե և միայն այն դեպքում, եթե երկու հավասարություն կա.
մեղք 8 x = մեղք 2 x, cos 5 x = cos 2 x,
դրանք. sin x-ը կարող է ընդունել -1, 0 արժեքներ
Պատասխանել/ 2 + k, + 2k, k € z.
Լրիվ լինելու համար դիտարկենք մեկ այլ օրինակ։
12. Լուծե՛ք հավասարումը 4 cos 2 x - 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0։
ԼուծումԱյս հավասարման ձախ կողմը մենք կդիտարկենք որպես քառակուսի եռանկյուն cos x-ի նկատմամբ:
Թող D լինի այս եռանդամի տարբերակիչը.
1/4 D = 4 (cos 4 3x - cos 2 3x):
D 0 անհավասարությունից հետևում է cos 2 3x 0 կամ cos 2 3x 1:
Սա նշանակում է, որ առաջանում է երկու հնարավորություն՝ cos 3x = 0 և cos 3x = ± 1:
Եթե cos 3x = 0, ապա հավասարումից բխում է, որ cos x = 0, որտեղից x = / 2 + k:
Այս x արժեքները բավարարում են հավասարումը:
Եթե cos 3x = 1, ապա cos x = 1/2 հավասարումից մենք գտնում ենք x = ± / 3 + 2k: Այս արժեքները նույնպես բավարարում են հավասարումը:
Պատասխանել/ 2 + k, / 3 + 2k, k € z.
13. Լուծե՛ք հավասարումը` sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x:
ԼուծումՎերագրիր sin 4 x + cos 4 x արտահայտությունը՝ լրացնելով քառակուսին՝ sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x - 2 sin 2 x cos 2 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x, որտեղից sin 4 x + cos 4 x = 1 - 1/2 sin 2 2x: Օգտագործելով ստացված բանաձևը, մենք հավասարումը գրում ենք ձևով
1-1 / 2 մեղք 2 2x = 7/4 մեղք 2x.
նշանակում է մեղք 2x = t, -1 t 1,
ստանալ քառակուսի հավասարում 2տ 2 + 7տ - 4 = 0,
լուծելով, որ մենք գտնում ենք t 1 = 1/2, t 2 = - 4
մեղքի հավասարումը 2x = 1/2
2x = (- 1) k / 6 + k, k € z, x = (- 1) k // 12 + k / 2, k € z.
