Ինչի՞ են հավասար բոլոր հարակից անկյունները: Ինչպե՞ս գտնել հարակից անկյուն: Մաթեմատիկայի և երաժշտության փոխհարաբերությունները

Երկրաչափությունը շատ բազմակողմանի գիտություն է։ Այն զարգացնում է տրամաբանությունը, երևակայությունը և խելքը: Իհարկե, իր բարդության և թեորեմների ու աքսիոմների ահռելի քանակի պատճառով այն միշտ չէ, որ դուր է գալիս դպրոցականներին։ Բացի այդ, անհրաժեշտություն կա մշտապես ապացուցել իրենց եզրակացությունները՝ օգտագործելով ընդհանուր ընդունված չափանիշներն ու կանոնները:

Հարակից և ուղղահայաց անկյունները երկրաչափության անբաժանելի մասն են: Իհարկե, շատ դպրոցականներ պարզապես պաշտում են նրանց այն պատճառով, որ դրանց հատկությունները պարզ են և հեշտ ապացուցելի։

Անկյունների ձևավորում

Ցանկացած անկյուն ձևավորվում է երկու ուղիղների հատման արդյունքում կամ մեկ կետից երկու ճառագայթ քաշելով։ Դրանք կարելի է անվանել կամ մեկ տառ կամ երեք, որոնք հաջորդաբար նշանակում են անկյունի կառուցման կետերը:

Անկյունները չափվում են աստիճաններով և կարող են (կախված դրանց արժեքից) այլ կերպ անվանվել։ Այսպիսով, կա ուղիղ անկյուն՝ սուր, բութ և տեղակայված: Անուններից յուրաքանչյուրը համապատասխանում է որոշակի աստիճանի չափման կամ դրա միջակայքին:

Սուր անկյունը այն անկյունն է, որի չափը չի գերազանցում 90 աստիճանը:

Բութ անկյունը 90 աստիճանից մեծ անկյուն է:

Անկյունը կոչվում է ուղիղ, երբ դրա չափը 90 է:

Այն դեպքում, երբ այն կազմված է մեկ շարունակական ուղիղ գծով, իսկ աստիճանի չափը 180 է, այն կոչվում է տեղակայված։

Այն անկյունները, որոնք ունեն ընդհանուր կողմ, որի երկրորդ կողմը շարունակում է միմյանց, կոչվում են հարակից: Նրանք կարող են լինել կամ սուր կամ բութ: Գծի հատումը կազմում է հարակից անկյուններ։ Նրանց հատկությունները հետևյալն են.

1. Նման անկյունների գումարը հավասար կլինի 180 աստիճանի (կա դա ապացուցող թեորեմ)։ Հետեւաբար, նրանցից մեկը հեշտությամբ կարելի է հաշվարկել, եթե մյուսը հայտնի է:
2. Առաջին կետից հետևում է, որ հարակից անկյունները չեն կարող ձևավորվել երկու բութ կամ երկու սուր անկյուններով։

Այս հատկությունների շնորհիվ միշտ կարելի է հաշվարկել անկյան աստիճանի չափը՝ հաշվի առնելով մեկ այլ անկյան արժեքը, կամ գոնե նրանց միջև հարաբերակցությունը։

Ուղղահայաց անկյուններ

Անկյունները, որոնց կողմերը միմյանց շարունակությունն են, կոչվում են ուղղահայաց: Նրանց սորտերից ցանկացածը կարող է հանդես գալ որպես այդպիսի զույգ: Ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց:

Նրանք ձևավորվում են, երբ գծերը հատվում են: Նրանց հետ միասին հարակից անկյունները միշտ առկա են: Մեկի համար անկյունը կարող է լինել և՛ հարակից, և՛ մյուսի համար ուղղահայաց:

Կամայական գիծը հատելիս դիտարկվում են նաև անկյունների ևս մի քանի տեսակներ։ Նման գիծը կոչվում է սեկանտ, և այն կազմում է համապատասխան, միակողմանի և խաչաձեւ անկյունները։ Նրանք հավասար են միմյանց: Դրանք կարելի է դիտարկել՝ հաշվի առնելով այն հատկությունները, որոնք ունեն ուղղահայաց և հարակից անկյունները:

Այսպիսով, անկյունների թեման բավականին պարզ և հասկանալի է թվում: Նրանց բոլոր հատկությունները հեշտ է հիշել և ապացուցել: Խնդիրների լուծումը դժվար չէ, քանի դեռ անկյունները համապատասխանում են թվային արժեքին: Արդեն ավելի ուշ, երբ սկսվի մեղքի և cos-ի ուսումնասիրությունը, դուք ստիպված կլինեք անգիր սովորել շատ բարդ բանաձևեր, դրանց եզրակացություններն ու հետևանքները: Մինչ այդ, դուք կարող եք պարզապես վայելել հեշտ հանելուկներ, որոնցում պետք է գտնել հարակից անկյունները:

Անկյուններ, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը ընկած են նույն ուղիղ գծի վրա (նկարում 1-ին և 2-րդ անկյունները կից են): Բրինձ. դեպի Արվեստ. Հարակից անկյունները... Սովետական ​​մեծ հանրագիտարան

ԿԻՑ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ- անկյունները, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ և մեկ ընդհանուր կողմ, և դրանց երկու այլ կողմերը գտնվում են նույն ուղիղ գծի վրա ... Մեծ պոլիտեխնիկական հանրագիտարան

Տես Անկյուն... Մեծ Հանրագիտարանային բառարան

ԿԻՑ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ, երկու անկյուններ, որոնց գումարը 180° է։ Այս անկյուններից յուրաքանչյուրը լրացնում է մյուսին ամբողջական անկյան տակ... Գիտատեխնիկական հանրագիտարանային բառարան

Տես Անկյուն։ * * * ԿԻՑ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ ԿԻՑ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ, տես Անկյուն (տես ԱՆԿՅՈՒՆ)… Հանրագիտարանային բառարան

- (Անկյունները կից) նրանք, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ և ընդհանուր կողմ: Հիմնականում այս անունը նշանակում է այնպիսի S անկյուններ, որոնց մյուս երկու կողմերը գտնվում են գագաթով գծված մեկ ուղիղ գծի հակառակ ուղղություններով ... Հանրագիտարանային բառարան Ֆ.Ա. Բրոքհաուսը և Ի.Ա. Էֆրոն

Տես Անկյուն... Բնական գիտություն. Հանրագիտարանային բառարան

Երկու ուղիղները հատվում են՝ ստեղծելով զույգ ուղղահայաց անկյուններ։ Մի զույգը բաղկացած է A և B անկյուններից, մյուսը՝ C և D անկյուններից: Երկրաչափության մեջ երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե դրանք ստեղծվել են երկու... Վիքիպեդիա

Զույգ լրացնող անկյուններ, որոնք լրացնում են միմյանց մինչև 90 աստիճան Լրացուցիչ անկյունը զույգ անկյուն է, որը լրացնում է միմյանց մինչև 90 աստիճան: Եթե ​​երկու փոխլրացնող անկյունները հարևան են (այսինքն ունեն ընդհանուր գագաթ և առանձնացված են միայն ... ... Վիքիպեդիա

Զույգ լրացնող անկյուններ, որոնք լրացնում են միմյանց մինչև 90 աստիճան Լրացուցիչ անկյունները զույգ անկյուններ են, որոնք լրացնում են միմյանց մինչև 90 աստիճան: Եթե ​​երկու լրացուցիչ անկյուններ են c ... Վիքիպեդիա

Գրքեր

• Երկրաչափության ապացույցի վրա Ֆետիսով Ա.Ի.: Մի անգամ, ուսումնական տարվա հենց սկզբին, պատահաբար լսեցի երկու աղջիկների խոսակցություն: Նրանցից մեծը տեղափոխվել է վեցերորդ դասարան, ամենափոքրը՝ հինգերորդ։ Աղջիկները կիսվեցին դասերի մասին իրենց տպավորություններով, ...
• Երկրաչափություն. 7-րդ դասարան. Գիտելիքների վերահսկման համալիր նոթատետր, I. S. Markova, S. P. Babenko: Ձեռնարկը ներկայացնում է երկրաչափության մեջ հսկիչ և չափիչ նյութեր (KMI)՝ 7-րդ դասարանի աշակերտների գիտելիքների ընթացիկ, թեմատիկ և վերջնական որակի հսկողություն իրականացնելու համար: Ուղեցույցի բովանդակությունը…

Յուրաքանչյուր անկյուն, կախված իր չափից, ունի իր անունը.

Անկյունային տեսք	Չափը աստիճաններով	Օրինակ
Կծու	90°-ից պակաս
Ուղիղ	Հավասար է 90°. Գծագրում ուղիղ անկյունը սովորաբար նշվում է անկյան մի կողմից մյուսը գծված նշանով։
Հիմար	90°-ից մեծ, բայց 180°-ից պակաս
տեղակայվել է	Հավասար է 180° Ուղիղ անկյունը հավասար է երկու ուղիղ անկյունների գումարին, իսկ ուղիղ անկյունը ուղիղ անկյան կեսն է։
Ուռուցիկ	180°-ից ավելի, բայց 360°-ից պակաս
Լի	Հավասար է 360°

Երկու անկյունները կոչվում են կապված, եթե նրանց մի կողմն ընդհանուր է, իսկ մյուս երկու կողմերը ուղիղ գիծ են կազմում.

անկյունները ՄՈՊև պոնհարակից, քանի որ ճառագայթ OP- ընդհանուր կողմը, իսկ մյուս երկու կողմերը. Օ.Մև ՎՐԱկազմել ուղիղ գիծ.

Հարակից անկյունների ընդհանուր կողմը կոչվում է շեղից ուղիղ, որի վրա ընկած են մյուս երկու կողմերը, միայն այն դեպքում, եթե հարակից անկյունները միմյանց հավասար չեն։ Եթե ​​հարակից անկյունները հավասար են, ապա նրանց ընդհանուր կողմը կլինի ուղղահայաց.

Հարակից անկյունների գումարը 180° է։

Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյան կողմերը լրացնում են ուղիղ գծերի մյուս անկյան կողմերը.

1-ին և 3-րդ անկյունները, ինչպես նաև 2-րդ և 4-րդ անկյունները ուղղահայաց են:

Ուղղահայաց անկյունները հավասար են:

Եկեք ապացուցենք, որ ուղղահայաց անկյունները հավասար են.

∠1-ի և ∠2-ի գումարը ուղիղ անկյուն է: Իսկ ∠3-ի և ∠2-ի գումարը ուղիղ անկյուն է: Այսպիսով, այս երկու գումարները հավասար են.

∠1 + ∠2 = ∠3 + ∠2.

Այս հավասարության մեջ ձախ և աջ կողմում կա նույն տերմինը՝ ∠2: Հավասարությունը չի խախտվում, եթե ձախ և աջ կողմում նշված տերմինը բաց թողնված է: Հետո մենք ստանում ենք.

Ինչ է հարակից անկյունը

Անկյուն- սա երկրաչափական պատկեր է (նկ. 1), որը ձևավորվել է երկու OA և OB ճառագայթներից (անկյունային կողմեր), որոնք բխում են մեկ O կետից (անկյան գագաթ):

ԿԻՑ ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐերկու անկյուններ են, որոնց գումարը 180° է։ Այս անկյուններից յուրաքանչյուրը լրացնում է մյուսին ամբողջական անկյունով:

Հարակից անկյունները- (Agles adjacets) նրանք, որոնք ունեն ընդհանուր վերև և ընդհանուր կողմ: Հիմնականում այս անվանումը վերաբերում է այնպիսի անկյուններին, որոնց մյուս երկու կողմերը գտնվում են մեկ ուղիղ գծի հակառակ ուղղություններով։

Երկու անկյունները կոչվում են հարևան, եթե դրանց մի կողմն ընդհանուր է, իսկ այս անկյունների մյուս կողմերը փոխլրացնող կիսագծեր են:

բրինձ. 2

Նկար 2-ում a1b և a2b անկյունները կից են: Նրանք ունեն ընդհանուր b կողմ, իսկ a1, a2 կողմերը լրացուցիչ կիսագծեր են։

բրինձ. 3

Նկար 3-ը ցույց է տալիս AB տողը, C կետը գտնվում է A և B կետերի միջև: D կետը կետ է, որը չի գտնվում AB գծի վրա: Ստացվում է, որ BCD և ACD անկյունները հարակից են: Նրանք ունեն ընդհանուր կողային CD, իսկ CA և CB կողմերը AB ուղիղի լրացուցիչ կիսագծեր են, քանի որ A, B կետերը բաժանված են սկզբնական C կետով:

Հարակից անկյան թեորեմ

Թեորեմ.հարակից անկյունների գումարը 180° է

Ապացույց:
a1b և a2b անկյունները կից են (տես նկ. 2) Ճառագայթը b անցնում է ուղղված անկյան a1 և a2 կողմերի միջև: Հետևաբար, a1b և a2b անկյունների գումարը հավասար է ուղիղ անկյան, այսինքն՝ 180°: Թեորեմն ապացուցված է.

90°-ի հավասար անկյունը կոչվում է ուղիղ անկյուն։ Հարակից անկյունների գումարի թեորեմից հետևում է, որ ուղղանկյունին հարող անկյունը նույնպես ուղիղ անկյուն է։ 90°-ից փոքր անկյունը կոչվում է սուր, իսկ 90°-ից մեծ անկյունը՝ բութ: Քանի որ հարակից անկյունների գումարը 180° է, ուրեմն սուր անկյան հարակից անկյունը բութ անկյուն է։ Բութ անկյան հարեւանությամբ գտնվող անկյունը սուր անկյուն է:

Հարակից անկյունները- ընդհանուր գագաթով երկու անկյուն, որոնց կողմերից մեկը ընդհանուր է, իսկ մնացած կողմերը ընկած են նույն ուղիղ գծի վրա (չի համընկնում): Հարակից անկյունների գումարը 180° է։

Սահմանում 1.Անկյունը հարթության մի մասն է, որը սահմանափակված է ընդհանուր ծագում ունեցող երկու ճառագայթներով։

Սահմանում 1.1.Անկյունը պատկեր է, որը բաղկացած է կետից՝ անկյան գագաթից և այս կետից բխող երկու տարբեր կիսագծերից՝ անկյան կողմերից:
Օրինակ, BOS անկյունը Նկար 1-ում Դիտարկենք առաջին երկու հատվող ուղիղները: Երբ դրանք հատվում են, գծերը կազմում են անկյուններ: Կան հատուկ դեպքեր.

Սահմանում 2.Եթե ​​անկյան կողմերը լրացնում են մեկ ուղիղ գծի կիսագծերը, ապա անկյունը կոչվում է ուղիղ անկյուն։

Սահմանում 3.Ուղիղ անկյունը 90 աստիճանի անկյուն է:

Սահմանում 4. 90 աստիճանից փոքր անկյունը կոչվում է սուր անկյուն:

Սահմանում 5. 90 աստիճանից մեծ և 180 աստիճանից փոքր անկյունը կոչվում է բութ անկյուն։
հատվող գծեր.

Սահմանում 6.Երկու անկյունները, որոնց մի կողմը ընդհանուր է, իսկ մյուս կողմերը ընկած են նույն ուղիղ գծի վրա, կոչվում են հարակից:

Սահմանում 7.Այն անկյունները, որոնց կողմերը տարածվում են միմյանց, կոչվում են ուղղահայաց անկյուններ:
Նկար 1:
հարակից՝ 1 և 2; 2 և 3; 3 և 4; 4 և 1
ուղղահայաց `1 և 3; 2 և 4
Թեորեմ 1.Հարակից անկյունների գումարը 180 աստիճան է։
Ապացույցի համար հաշվի առեք Նկ. 4 հարակից անկյուններ AOB և BOS. Դրանց գումարը AOC զարգացած անկյունն է։ Հետեւաբար, այս հարակից անկյունների գումարը 180 աստիճան է:

բրինձ. չորս

Մաթեմատիկայի և երաժշտության փոխհարաբերությունները

«Մտածելով արվեստի և գիտության, նրանց փոխադարձ կապերի և հակասությունների մասին՝ ես հանգեցի այն եզրակացության, որ մաթեմատիկան և երաժշտությունը գտնվում են մարդկային ոգու ծայրահեղ բևեռներում, որ այս երկու հակապոդները սահմանափակում և որոշում են մարդու ողջ ստեղծագործական հոգևոր գործունեությունը, և որ ամեն ինչ դրված է նրանց միջև, այն, ինչ ստեղծել է մարդկությունը գիտության և արվեստի ոլորտում»։
Գ.Նոյհաուս
Թվում է, թե արվեստը մաթեմատիկայից շատ վերացական ոլորտ է։ Սակայն մաթեմատիկայի և երաժշտության կապը պայմանավորված է ինչպես պատմական, այնպես էլ ներքին, չնայած այն հանգամանքին, որ մաթեմատիկան գիտություններից ամենավերացականն է, իսկ երաժշտությունը՝ արվեստի ամենավերացական ձևը։
Համաձայնությունը որոշում է ականջին հաճելի լարային ձայնը:
Այս երաժշտական ​​համակարգը հիմնված էր երկու օրենքների վրա, որոնք կրում են երկու մեծ գիտնականների՝ Պյութագորասի և Արխիտասի անունները։ Սրանք օրենքներն են.
1. Երկու հնչող տողերը որոշում են համահունչությունը, եթե դրանց երկարությունները կապված են որպես 10=1+2+3+4 եռանկյուն թիվ կազմող ամբողջ թվեր, այսինքն. ինչպես 1։2, 2։3, 3։4։ Ընդ որում, որքան փոքր է n թիվը n-ի նկատմամբ:(n+1) (n=1,2,3), այնքան ավելի համահունչ է ստացված միջակայքը։
2. Հնչող լարային տատանումների w հաճախականությունը հակադարձ համեմատական ​​է նրա l երկարությանը:
w = a:l,
որտեղ a-ն տողի ֆիզիկական հատկությունները բնութագրող գործակից է:

Ձեր ուշադրությանը կառաջարկեմ նաև մի զվարճալի ծաղրերգություն երկու մաթեմատիկոսների միջև վեճի մասին =)

Երկրաչափություն մեր շուրջը

Երկրաչափությունը կարևոր դեր է խաղում մեր կյանքում։ Շնորհիվ այն բանի, որ երբ նայեք շուրջը, դժվար չի լինի նկատել, որ մենք շրջապատված ենք տարբեր երկրաչափական ձևերով։ Նրանց հանդիպում ենք ամենուր՝ փողոցում, դասարանում, տանը, այգում, մարզասրահում, դպրոցի ճաշարանում, սկզբունքորեն, որտեղ էլ որ լինենք։ Բայց այսօրվա դասի թեման հարակից ածուխներն են։ Այսպիսով, եկեք նայենք շուրջը և փորձենք գտնել անկյուններ այս միջավայրում: Եթե ​​ուշադիր նայեք պատուհանից դուրս, ապա կարող եք տեսնել, որ ծառի որոշ ճյուղեր կազմում են հարակից անկյուններ, և դարպասի միջնորմներում կարող եք տեսնել բազմաթիվ ուղղահայաց անկյուններ: Բերե՛ք հարակից անկյունների ձեր օրինակները, որոնք տեսնում եք շրջակա միջավայրում:

Վարժություն 1.

1. Գրքերի կրպակի վրա սեղանին գիրք կա: Ի՞նչ անկյուն է այն կազմում:
2. Բայց ուսանողը աշխատում է նոութբուքի վրա: Ի՞նչ անկյուն եք տեսնում այստեղ:
3. Որքա՞ն է ստենդի վրա գտնվող լուսանկարի շրջանակի անկյունը:
4. Ի՞նչ եք կարծում, հնարավո՞ր է, որ երկու կից անկյունները հավասար լինեն:

Առաջադրանք 2.

Ձեր առջև երկրաչափական պատկեր է: Ինչ է այս ցուցանիշը, անվանեք այն: Այժմ անվանեք բոլոր հարակից անկյունները, որոնք կարող եք տեսնել այս երկրաչափական պատկերի վրա:

Առաջադրանք 3.

Ահա գծագրի և նկարի պատկեր: Ուշադիր նայեք դրանց և ասեք, թե ինչ տեսակի որս եք տեսնում նկարում և ինչ անկյուններ եք պատկերում:

Խնդրի լուծում

1) Տրված է երկու անկյուն՝ միմյանց հետ կապված 1:2, իսկ կից՝ 7:5: Պետք է գտնել այս անկյունները:
2) Հայտնի է, որ կից անկյուններից մեկը 4 անգամ մեծ է մյուսից։ Որոնք են հարակից անկյունները:
3) Անհրաժեշտ է գտնել հարակից անկյուններ, պայմանով, որ դրանցից մեկը 10 աստիճանով մեծ լինի երկրորդից:

Մաթեմատիկական թելադրություն՝ նախկինում սովորած նյութի կրկնության համար

1) Նկար գծե՛ք. a I b ուղիղները հատվում են A կետում: Կազմված անկյուններից ամենափոքրը նշե՛ք 1 թվով, իսկ մնացած անկյունները՝ հաջորդաբար 2,3,4 թվերով; a ուղղի փոխլրացնող ճառագայթները՝ a1-ի և a2-ի միջով, իսկ b-ը՝ b1-ի և b2-ի միջով:
2) Օգտագործելով ավարտված գծագիրը, մուտքագրեք անհրաժեշտ արժեքներն ու բացատրությունները տեքստի բացերում.
ա) անկյուն 1 և անկյուն .... կապված, քանի որ...
բ) անկյուն 1 և անկյուն .... ուղղահայաց, քանի որ...
գ) եթե անկյուն 1 = 60°, ապա անկյուն 2 = ..., քանի որ ...
դ) եթե անկյուն 1 = 60°, ապա անկյուն 3 = ..., քանի որ ...

Լուծել խնդիրները:

1. Կարո՞ղ է արդյոք 2 ուղիղների հատման վրա գոյացած 3 անկյունների գումարը հավասար լինել 100°: 370°
2. Նկարում գտե՛ք հարակից բոլոր զույգ անկյունները: Եվ հիմա ուղղահայաց անկյունները: Անվանեք այս անկյունները:

3. Պետք է գտնել մի անկյուն, երբ այն երեք անգամ մեծ է, քան կից:
4. Երկու ուղիղ հատվում են իրար: Այս խաչմերուկի արդյունքում ձևավորվել են չորս անկյուններ. Որոշեք դրանցից որևէ մեկի արժեքը, պայմանով, որ.

ա) 84 ° չորսից 2 անկյունների գումարը.
բ) դրանց 2 անկյունների տարբերությունը 45° է.
գ) մեկ անկյունը 4 անգամ փոքր է երկրորդից.
դ) այս անկյուններից երեքի գումարը 290° է:

Դասի ամփոփում

1. անվանե՛ք այն անկյունները, որոնք գոյանում են 2 ուղիղների հատման վայրում:
2. Անվանե՛ք նկարի բոլոր հնարավոր զույգ անկյունները և որոշե՛ք դրանց տեսակը:

Տնային աշխատանք:

1. Գտե՛ք հարակից անկյունների աստիճանի չափումների հարաբերակցությունը, երբ դրանցից մեկը 54 °-ով ավելի է երկրորդից:
2. Գտե՛ք այն անկյունները, որոնք գոյանում են 2 ուղիղների հատման ժամանակ, պայմանով, որ անկյուններից մեկը հավասար լինի իրեն կից 2 այլ անկյունների գումարին:
3. Անհրաժեշտ է գտնել հարակից անկյուններ, երբ դրանցից մեկի կիսադիրը անկյուն է կազմում երկրորդի կողմի հետ, որը 60 ° մեծ է երկրորդ անկյունից։
4. Կից 2 անկյունների տարբերությունը հավասար է այս երկու անկյունների գումարի մեկ երրորդին: Որոշեք 2 հարակից անկյունների արժեքները:
5. 2 հարակից անկյունների տարբերությունը և գումարը համապատասխանաբար կապված են 1:5: Գտեք հարակից անկյունները:
6. Երկու կիցների տարբերությունը նրանց գումարի 25%-ն է։ Ինչպե՞ս են կապված 2 հարակից անկյունների արժեքները: Որոշեք 2 հարակից անկյունների արժեքները:

Հարցեր.

1. Ի՞նչ է անկյունը:
2. Որո՞նք են անկյունների տեսակները:
3. Ո՞րն է հարակից անկյունների առանձնահատկությունը:

Առարկաներ > Մաթեմատիկա > Մաթեմատիկա 7-րդ դասարան

ԳԼՈՒԽ I.

ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՀԱՍԿԱՑՈՒԹՅՈՒՆՆԵՐ.

§ տասնմեկ. Կից և ուղղահայաց ԱՆԿՅՈՒՆՆԵՐ.

1. Հարակից անկյունները.

Եթե ​​ինչ-որ անկյունի կողմը շարունակենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք երկու անկյուն (նկ. 72). / Մի արև և / SVD, որի մի կողմը BC ընդհանուր է, իսկ մյուս երկու AB-ն և BD-ն ուղիղ գիծ են կազմում:

Երկու անկյունները, որոնց մի կողմն ընդհանուր է, իսկ մյուս երկուսը ուղիղ գիծ են կազմում, կոչվում են հարակից անկյուններ:

Հարակից անկյունները կարելի է ստանալ նաև այսպես՝ եթե ուղիղ գծի վրա ինչ-որ կետից ճառագայթ գծենք (ոչ թե ընկած է տրված ուղիղ գծի վրա), ապա ստանում ենք հարակից անկյուններ։
Օրինակ, / ADF և / FDВ - հարակից անկյուններ (նկ. 73):

Հարակից անկյունները կարող են ունենալ դիրքերի լայն տեսականի (նկ. 74):

Հարակից անկյունները գումարվում են ուղիղ անկյան, ուստի երկու հարակից անկյունների ումման է 2դ.

Այսպիսով, ուղիղ անկյունը կարող է սահմանվել որպես իր հարակից անկյան հավասար անկյուն:

Իմանալով հարակից անկյուններից մեկի արժեքը՝ կարող ենք գտնել հարակից մյուս անկյան արժեքը։

Օրինակ, եթե հարակից անկյուններից մեկը 3/5 է դ, ապա երկրորդ անկյունը հավասար կլինի.

2դ- 3 / 5 դ= լ 2/5 դ.

2. Ուղղահայաց անկյուններ.

Եթե ​​անկյան կողմերը երկարացնենք նրա գագաթից այն կողմ, ապա կստանանք ուղղահայաց անկյուններ: Նկար 75-ում EOF և AOC անկյունները ուղղահայաց են. AOE և COF անկյունները նույնպես ուղղահայաց են:

Երկու անկյունները կոչվում են ուղղահայաց, եթե մի անկյան կողմերը մյուս անկյան կողմերի երկարացումներն են:

Թող / 1 = 7 / 8 դ(նկ. 76): Դրան կից / 2-ը հավասար կլինի 2-ի դ- 7 / 8 դ, այսինքն՝ 1 1/8 դ.

Նույն կերպ կարող եք հաշվարկել, թե ինչի են հավասար / 3 և / 4.
/ 3 = 2դ - 1 1 / 8 դ = 7 / 8 դ; / 4 = 2դ - 7 / 8 դ = 1 1 / 8 դ(նկ. 77):

Մենք դա տեսնում ենք / 1 = / 3 և / 2 = / 4.

Դուք կարող եք լուծել ևս մի քանի նույն խնդիրներ, և ամեն անգամ ստանում եք նույն արդյունքը. ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց:

Այնուամենայնիվ, համոզվելու համար, որ ուղղահայաց անկյունները միշտ հավասար են միմյանց, բավարար չէ առանձին թվային օրինակներ դիտարկելը, քանի որ որոշակի օրինակներից արված եզրակացությունները երբեմն կարող են սխալ լինել:

Ուղղահայաց անկյունների հատկության վավերականությունը անհրաժեշտ է ստուգել պատճառաբանությամբ, ապացուցմամբ։

Ապացույցը կարող է իրականացվել հետևյալ կերպ (նկ. 78).

/ ա +/ գ = 2դ;
/ բ+/ գ = 2դ;

(քանի որ հարակից անկյունների գումարը 2 է դ).

/ ա +/ գ = / բ+/ գ

(քանի որ այս հավասարության ձախ կողմը հավասար է 2-ի դ, և նրա աջ կողմը նույնպես հավասար է 2-ի դ).

Այս հավասարությունը ներառում է նույն անկյունը Հետ.

Եթե ​​հավասար արժեքներից հավասարապես հանենք, ապա այն կմնա հավասար։ Արդյունքը կլինի. / ա = / բ, այսինքն, ուղղահայաց անկյունները հավասար են միմյանց:

Ուղղահայաց անկյունների հարցը քննարկելիս նախ բացատրեցինք, թե որ անկյուններն են կոչվում ուղղահայաց, այսինքն. սահմանումուղղահայաց անկյուններ.

Այնուհետև մենք դատողություն (հայտարարություն) արեցինք ուղղահայաց անկյունների հավասարության մասին և ապացույցներով համոզվեցինք այս դատողության վավերականության մեջ։ Այնպիսի դատողություններ, որոնց վավերականությունը պետք է ապացուցվի, կոչվում են թեորեմներ. Այսպիսով, այս բաժնում մենք տվել ենք ուղղահայաց անկյունների սահմանումը, ինչպես նաև արձանագրել և ապացուցել ենք դրանց հատկության մասին թեորեմա։

Հետագայում, երկրաչափություն ուսումնասիրելիս, մենք անընդհատ ստիպված կլինենք հանդիպել թեորեմների սահմանումների և ապացույցների:

3. Անկյունների գումարը, որոնք ունեն ընդհանուր գագաթ:

79-րդ նկարի վրա / 1, / 2, / 3 և / 4-ը գտնվում են ուղիղ գծի նույն կողմում և ունեն ընդհանուր գագաթ այս ուղիղ գծի վրա: Ընդհանուր առմամբ, այս անկյունները կազմում են ուղիղ անկյուն, այսինքն.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2դ.

80-րդ նկարի վրա / 1, / 2, / 3, / 4 և / 5-ն ունեն ընդհանուր վերնաշապիկ: Ընդհանուր առմամբ, այս անկյունները կազմում են ամբողջական անկյուն, այսինքն. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4դ.

Զորավարժություններ.

1. Կից անկյուններից մեկը 0,72 է դ.Հաշվե՛ք այս հարակից անկյունների կիսադիրներով կազմված անկյունը:

2. Ապացուցեք, որ երկու կից անկյունների կիսադիրները կազմում են ուղիղ անկյուն:

3. Ապացուցեք, որ եթե երկու անկյունները հավասար են, ապա նրանց հարակից անկյունները նույնպես հավասար են:

4. Քանի՞ զույգ կից անկյուն կա 81-ի գծագրում:

5. Կարո՞ղ է հարակից զույգ անկյունները բաղկացած լինել երկու սուր անկյուններից: երկու բութ անկյուններից? ուղիղ և բութ անկյուններից. ճիշտ և սուր անկյունից.

6. Եթե հարակից անկյուններից մեկն ուղիղ է, ապա ի՞նչ կարելի է ասել դրան կից անկյան արժեքի մասին։

7. Եթե երկու ուղիղների հատման կետում կա մեկ ուղիղ անկյուն, ապա ի՞նչ կարելի է ասել մնացած երեք անկյունների չափի մասին։