Parametras \(a\) yra skaičius, kuris gali gauti bet kokią reikšmę iš \(\mathbb(R)\) .

Ištirti lygtį/nelygybę visoms parametro reikšmėms reiškia nurodyti, kokiomis parametro reikšmėmis turi konkrečią sprendinį tam tikra lygtis/nelygybė.

Pavyzdžiai:

1) lygtis \(ax=2\) visiems \(a\ne 0\) turi unikalų sprendimą \(x=\dfrac 2a\), o \(a=0\) ji neturi sprendinių (nes tada lygtis įgauna formą \(0=2\) ).

2) lygtis \(ax=0\) visiems \(a\ne 0\) turi unikalų sprendinį \(x=0\), o \(a=0\) turi be galo daug sprendinių, t.y. \(x\in \mathbb(R)\) (nuo tada lygtis įgauna formą \(0=0\) ).

pastebėti, kad

I) abiejų lygties pusių negalima padalyti iš išraiškos, kurioje yra parametras (\(f(a)\) ), jei ši išraiška gali būti lygi nuliui. Tačiau galima apsvarstyti du atvejus:
pirmasis, kai \(f(a)\ne0\) , tokiu atveju galime padalyti abi lygybės puses iš \(f(a)\) ;
antrasis atvejis, kai \(f(a)=0\) , ir šiuo atveju galime patikrinti kiekvieną \(a\) reikšmę atskirai (žr. 1, 2 pavyzdžius).

II) abiejų nelygybės pusių negalima padalyti iš išraiškos, kurioje yra parametras, jei šios išraiškos ženklas nežinomas. Tačiau galima apsvarstyti tris atvejus:
pirmasis, kai \(f(a)>0\) , ir šiuo atveju galime padalyti abi nelygybės puses iš \(f(a)\) ;
antra, kai \(f(a)<0\) , и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
trečiasis yra kai \(f(a)=0\) , tokiu atveju galime patikrinti kiekvieną \(a\) reikšmę atskirai.

Pavyzdys:

3) \(a>0\) nelygybė \(ax>3\) turi sprendimą \(x>\dfrac3a\), \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .

1 užduotis #1220

Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Išspręskite lygtį \(ax+3=0\)

Lygtį galima perrašyti kaip \(ax=-3\) . Panagrinėkime du atvejus:

1) \(a=0\) . Šiuo atveju kairioji pusė lygi \(0\) , o dešinioji ne, todėl lygtis neturi šaknų.

2) \(a\ne 0\) . Tada \(x=-\dfrac(3)(a)\) .

Atsakymas:

\(a=0 \Rightarrow x\in \varnothing; \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-\dfrac(3)(a)\).

2 užduotis #1221

Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Išspręskite lygtį \(ax+a^2=0\) visoms parametro \(a\) reikšmėms.

Lygtį galima perrašyti kaip \(ax=-a^2\) . Panagrinėkime du atvejus:

1) \(a=0\) . Šiuo atveju kairė ir dešinė pusės yra lygios \(0\), todėl lygtis yra teisinga bet kurioms kintamojo \(x\) reikšmėms.

2) \(a\ne 0\) . Tada \(x=-a\) .

Atsakymas:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a\ne 0 \Rightarrow x=-a\).

3 užduotis #1222

Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Išspręskite nelygybę \(2ax+5\cos\dfrac(\pi)(3)\geqslant 0\) visoms parametro \(a\) reikšmėms.

Nelygybę galima perrašyti į \(ax\geqslant -\dfrac(5)(4)\) . Panagrinėkime tris atvejus:

1) \(a=0\) . Tada nelygybė įgauna formą \(0\geqslant -\dfrac(5)(4)\) , kuri yra teisinga bet kurioms kintamojo \(x\) reikšmėms.

2) \(a>0\) . Tada, padalijus abi nelygybės puses iš \(a\), nelygybės ženklas nepasikeis, todėl \(x\geqslant -\dfrac(5)(4a)\) .

3)\(a<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Atsakymas:

\(a=0 \Rightarrow x\in \mathbb(R); \\ a>0 \Rightarrow x\geqslant -\dfrac(5)(4a); \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

4 užduotis #1223

Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Išspręskite nelygybę \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) visoms parametro \(a\) reikšmėms.

Transformuokime nelygybę į formą: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Panagrinėkime du atvejus:

1) \(a=0\) . Šiuo atveju nelygybė tampa tiesinė ir įgauna tokią formą: \(-2x \geqslant 0 \Rightarrow x\leqslant 0\).

2) \(a\ne 0\) . Tada nelygybė yra kvadratinė. Raskime diskriminantą:

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

Nes \(a^2 \geqslant 0 \Rightarrow D>0\) bet kurioms parametrų reikšmėms.

Todėl lygtis \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) visada turi dvi šaknis \(x_1=-3a, x_2=\dfrac(2)(a)\) . Taigi nelygybė bus tokia:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Jei \(a>0\) , tada \(x_1 \(x\in (-\infty; -3a]\puodelis \big[\dfrac(2)(a); +\infty)\).

Jeigu<0\) , то \(x_1>x_2\) ir parabolės \(y=(ax-2)(x+3a)\) šakos nukreiptos žemyn, o tai reiškia, kad sprendimas yra \(x\in \big[\dfrac(2)(a); -3a]\).

Atsakymas:

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\puodelis \big[\dfrac(2)(a); +\infty); \ \a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .

5 užduotis #1851

Užduoties lygis: lengvesnis nei vieningas valstybinis egzaminas

Kam \(a\) yra nelygybės sprendinių rinkinys \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) yra pusės intervalas \(\).

Atsakymas:

\(a\in (-\infty;\dfrac(4)(3)\big]\puodelis

Panagrinėkime du atvejus:

1) \(a+1=0 \Rodyklė dešinėn a=-1\) . Šiuo atveju lygtis \((*)\) yra lygiavertė \(3=0\) , tai yra, ji neturi sprendinių.

Tada visa sistema yra lygiavertė \(\begin(cases) x\geqslant 2\\ x=2 \end(cases) \Leftright rodrow x=2\)

2) \(a+1\ne 0 \rodyklė dešinėn a\ne -1\). Šiuo atveju sistema yra lygiavertė: ' susirinko) \teisingai. \pabaiga(atvejai)\]

Ši sistema turės vieną sprendimą, jei \(x_2\leqslant -2a\) , ir du sprendimus, jei \(x_2>-2a\) :

2.1) \(\dfrac3(a+1)\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) turime vieną šaknį \(x=-2a\) .

2.2) \(\dfrac3(a+1)>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) turime dvi šaknis \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3(a+1)\) .

Atsakymas:

\(a\in(-\infty;-1) \Rightarrow x=-2a\\ a=-1 \Rightarrow x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Rightarrow x\in\( -2a;\frac3(a+1)\)\)

Kaip rodo statistika, daugelis abiturientų, ruošdamiesi 2019 m. vieningam matematikos valstybiniam egzaminui, laiko problemų sprendimus su parametru sunkiausiu dalyku. Su kuo tai susiję? Faktas yra tas, kad dažnai problemos, susijusios su parametru, reikalauja naudoti tyrimo metodus, tai yra, apskaičiuojant teisingą atsakymą, reikės ne tik taikyti formules, bet ir rasti tas parametrų reikšmes, kurioms esant tam tikra sąlyga. nes šaknys patenkintos. Tuo pačiu metu kartais nereikia ieškoti pačių šaknų.

Nepaisant to, visi studentai, besiruošiantys laikyti vieningą valstybinį egzaminą, turi susidoroti su parametrų uždavinių sprendimu. Su panašiomis užduotimis reguliariai susiduriama atliekant sertifikavimo testus. Švietimo portalas „Shkolkovo“ padės užpildyti žinių spragas ir išmokti greitai rasti užduočių sprendimus su vieningo valstybinio matematikos egzamino parametru. Mūsų ekspertai paruošė ir prieinama forma pateikė visą pagrindinę teorinę ir praktinę medžiagą šia tema. Shkolkovo portale jums bus lengva išspręsti parametro pasirinkimo problemas ir nesukels jokių sunkumų.

Pagrindinės akimirkos

Svarbu suprasti, kad vieno algoritmo parametrų pasirinkimo problemoms spręsti tiesiog nėra. Teisingo atsakymo paieškos būdai gali skirtis. Matematinės problemos sprendimas su parametru Unified State Examination reiškia rasti, kam yra lygus kintamasis esant tam tikrai parametro vertei. Jei pradinę lygtį ir nelygybę galima supaprastinti, tai reikia padaryti pirmiausia. Kai kuriose problemose galite naudoti standartinius sprendimo būdus, tarsi parametras būtų įprastas skaičius.

Ar jau skaitėte teorinę medžiagą šia tema? Norint visapusiškai įsisavinti informaciją ruošiantis vieningam valstybiniam matematikos egzaminui, rekomenduojame pasipraktikuoti užduočių atlikimą su parametru; Kiekvienam pratimui pateikėme išsamią sprendimo analizę ir teisingą atsakymą. Atitinkamame skyriuje rasite ir paprastas, ir sudėtingesnes užduotis. Studentai gali internetu, būdami Maskvoje ar bet kuriame kitame Rusijos mieste, praktikuoti spręsti pratimus su parametrais, modeliuojamais pagal Vieningo valstybinio egzamino užduotis.

Žmogus, kuris moka spręsti uždavinius su parametrais, puikiai išmano teoriją ir moka ją pritaikyti ne mechaniškai, o logika. Jis funkciją „supranta“, „jaučia“, laiko savo draugu ar bent jau geru pažįstamu, o ne tik žino apie jos egzistavimą.

Kas yra lygtis su parametru? Tegu yra lygtis f (x; a) = 0. Jei užduotis yra rasti visas tokias poras (x; a), kurios tenkina šią lygtį, tai ji laikoma lygtimi su dviem vienodais kintamaisiais x ir a. Tačiau galime kelti kitą problemą, darydami prielaidą, kad kintamieji yra nelygūs. Faktas yra tas, kad jei kintamajam suteikiate bet kokią fiksuotą reikšmę, tada f (x; a) = 0 virsta lygtimi su vienu kintamuoju x, o šios lygties sprendiniai natūraliai priklauso nuo pasirinktos a reikšmės.

Pagrindinis sunkumas, susijęs su lygčių (ir ypač nelygybių) sprendimu su parametru, yra toks: - kai kurioms parametro reikšmėms lygtis neturi sprendinių; -su kitais – turi be galo daug sprendimų; - trečiuoju atveju jis sprendžiamas naudojant tas pačias formules; - su ketvirta – sprendžiama naudojant kitas formules. - Jei lygtį f (x; a) = 0 reikia išspręsti kintamojo X atžvilgiu, o a suprantama kaip savavališkas realusis skaičius, tai lygtis vadinama lygtimi su parametru a.

Išspręsti lygtį su parametru f (x; a) = 0 reiškia, kad reikia išspręsti lygčių šeimą, gautą iš lygties f (x; a) = 0 bet kurioms tikrosioms parametro reikšmėms. Lygtis su parametru iš tikrųjų yra trumpas begalinės lygčių šeimos vaizdas. Kiekviena iš šeimos lygčių gaunama iš tam tikros lygties su konkrečia parametro verte. Todėl lygties su parametru sprendimo problemą galima suformuluoti taip:

Neįmanoma užrašyti kiekvienos lygties iš begalinės lygčių šeimos, bet nepaisant to, kiekviena lygtis iš begalinės šeimos turi būti išspręsta. Tai galima padaryti, pavyzdžiui, padalijus visų parametrų reikšmių rinkinį į poaibius pagal tam tikrą atitinkamą kriterijų, o tada išsprendžiant pateiktą lygtį kiekviename iš šių pogrupių. Tiesinių lygčių sprendimas

Norint padalyti parametrų reikšmių rinkinį į poaibius, naudinga naudoti tas parametrų reikšmes, kuriose arba kai praeina, įvyksta kokybinis lygties pokytis. Tokios parametrų reikšmės gali būti vadinamos valdymo arba specialiomis. Lygties su parametrais sprendimo menas yra būtent tas, kad būtų galima rasti parametro kontrolines reikšmes.

1 tipas. Lygtys, nelygybės, jų sistemos, kurios turi būti išspręstos bet kuriai parametro reikšmei arba parametrų reikšmėms, priklausančioms iš anksto nustatytam rinkiniui. Šio tipo problemos yra pagrindinės įsisavinant temą „Problemos su parametrais“, nes įdėtas darbas nulemia sėkmę sprendžiant visų kitų pagrindinių tipų problemas.

Tipas 2. Lygtys, nelygybės, jų sistemos, kurioms būtina nustatyti sprendinių skaičių priklausomai nuo parametro (parametrų) reikšmės. Sprendžiant tokio tipo uždavinius, nereikia nei spręsti duotų lygčių, nelygybių ar jų sistemų, nei pateikti šių sprendinių; Dažniausiai toks bereikalingas darbas yra taktinė klaida, dėl kurios be reikalo švaistomas laikas. Tačiau kartais tiesioginis sprendimas yra vienintelis pagrįstas būdas gauti atsakymą sprendžiant 2 tipo problemą.

3 tipas. Lygtys, nelygybės, jų sistemos, kurioms reikia rasti visas tas parametrų reikšmes, kurioms nurodytos lygtys, nelygybės ir jų sistemos turi tam tikrą skaičių sprendinių (ypač jos neturi arba turi begalinis sprendimų skaičius). 3 tipo problemos tam tikra prasme yra atvirkštinės 2 tipo problemoms.

4 tipas. Lygtys, nelygybės, jų sistemos ir aibės, kurių reikalaujamoms parametro reikšmėms sprendinių rinkinys tenkina nurodytas apibrėžimo srities sąlygas. Pavyzdžiui, suraskite parametrų reikšmes, kuriose: 1) lygtis yra įvykdyta bet kuriai kintamojo vertei iš tam tikro intervalo; 2) pirmosios lygties sprendinių aibė yra antrosios lygties sprendinių aibės poaibis ir kt.

Pagrindiniai uždavinių, susijusių su parametru, sprendimo metodai (metodai). I metodas (analitinis). Analitinis problemų sprendimo metodas su parametru yra pats sunkiausias metodas, reikalaujantis didelio raštingumo ir didžiausių pastangų jį įvaldyti. II metodas (grafinis). Priklausomai nuo problemos (su kintamuoju x ir parametru a), grafikai nagrinėjami arba Oxy koordinačių plokštumoje, arba Oxy koordinačių plokštumoje. III metodas (sprendimas dėl parametro). Sprendžiant tokiu būdu, kintamieji x ir a laikomi lygūs ir pasirenkamas kintamasis, kurio atžvilgiu analitinis sprendimas laikomas paprastesniu. Po natūralių supaprastinimų grįžtame prie pradinės kintamųjų x ir a reikšmės ir užbaigiame sprendimą.

1 pavyzdys. Raskite parametro a reikšmes, kurių lygtis a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a turi vieną neigiamą šaknį. Sprendimas. Ši lygtis yra lygiavertė:. Jei a(a + 3) 0, tai yra a 0, a –3, tai lygtis turi vieną šaknį x =. X

2 pavyzdys: Išspręskite lygtį. Sprendimas. Kadangi trupmenos vardiklis negali būti lygus nuliui, turime (b – 1)(x + 3) 0, tai yra, b 1, x –3. Abi lygties puses padauginus iš (b – 1)(x + 3) 0, gauname lygtį: Ši lygtis yra tiesinė kintamojo x atžvilgiu. Jei 4b – 9 = 0, tai yra b = 2,25, lygtis įgauna tokią formą: 4b – 9 0, tai yra b 2,25, lygties šaknis yra x =. Dabar turime patikrinti, ar yra b reikšmių, kurioms rasta x reikšmė yra lygi –3. Taigi b 1, b 2,25, b –0,4 lygtis turi vieną šaknį x =. Atsakymas: b 1, b 2,25, b –0,4 šaknis x = b = 2,25, b = –0,4 sprendinių nėra; kai b = 1, lygtis neturi prasmės.

2 ir 3 uždavinių tipai išsiskiria tuo, kad jas sprendžiant nereikia gauti aiškaus sprendimo, o tik rasti tas parametrų reikšmes, kurioms esant šis sprendimas tenkina tam tikras sąlygas. Tokių sprendimo sąlygų pavyzdžiai yra šie: yra sprendimas; sprendimo nėra; yra tik vienas sprendimas; yra teigiamas sprendimas; yra lygiai k sprendimų; yra nurodytam intervalui priklausantis sprendimas. Tokiais atvejais labai praverčia grafinis problemų, susijusių su parametrais, sprendimo būdas.

Sprendžiant lygtį f (x) = f (a) galime išskirti du grafinio metodo taikymo tipus: Oxy plokštumoje grafikas y = f (x) ir grafų šeima y = f (a) yra laikomas. Tai taip pat apima problemas, išspręstas naudojant „eilių pluoštą“. Šis metodas yra patogus sprendžiant problemas su dviem nežinomaisiais ir vienu parametru. Ox plokštumoje (kuri dar vadinama fazine plokštuma) nagrinėjami grafikai, kuriuose x yra argumentas, o a yra funkcijos reikšmė. Šis metodas dažniausiai naudojamas problemose, kuriose yra tik vienas nežinomas ir vienas parametras (arba gali būti sumažintas iki tokio).

1 pavyzdys. Kokioms parametro a reikšmėms lygtis 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a turi bent tris šaknis? Sprendimas. Sukurkime funkcijų f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 ir f (x) = a grafikus vienoje koordinačių sistemoje. Turime: f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2) (x - 1), f "(x) = 0, kai x = –2 (minimalus taškas), kai x = 0 (maksimalus taškas ) ir esant x = 1 (maksimalus taškas). Raskime funkcijos reikšmes ekstremaliuose taškuose: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Atsižvelgdami į ekstremumo taškus sudarome funkcijos scheminį grafiką. Grafinis modelis leidžia atsakyti į pateiktą klausimą: lygtis 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a turi bent tris šaknis, jei –5

2 pavyzdys. Kiek šaknų turi lygtis skirtingoms parametro a reikšmėms? Sprendimas. Atsakymas į pateiktą klausimą yra susijęs su puslankio y = ir tiesės y = x + a grafiko susikirtimo taškų skaičiumi. Tiesi linija, kuri yra liestinė, turi formulę y = x +. Duota lygtis neturi šaknų taške a; turi vieną šaknį ties –2

3 pavyzdys. Kiek sprendinių turi lygtis |x + 2| = ax + 1 priklausomai nuo parametro a? Sprendimas. Galite nubraižyti grafikus y = |x + 2| ir y = ax + 1. Bet darysime kitaip. Esant x = 0 (21), sprendinių nėra. Padalinkite lygtį iš x: ir apsvarstykite du atvejus: 1) x > –2 arba x = 2 2) 2) x –2 arba x = 2 2) 2) x

„Eilijų pluošto“ naudojimo plokštumoje pavyzdys. Raskite parametro a reikšmes, kurioms taikoma lygtis |3x + 3| = ax + 5 turi unikalų sprendimą. Sprendimas. Lygtis |3x + 3| = ax + 5 atitinka šią sistemą: Lygtis y – 5 = a(x – 0) apibrėžia plokštumoje linijų pieštuką, kurio centras yra A (0; 5). Nubrėžkime tiesias linijas iš kelių tiesių, kurios bus lygiagrečios kampo kraštinėms, tai yra y = |3x + 3| grafikas. Šios tiesės l ir l 1 kerta grafiką y = |3x + 3|. Šių linijų lygtys yra y = 3x + 5 ir y = –3x + 5. Be to, bet kuri pieštuko linija, esanti tarp šių eilučių, taip pat kirs grafiką y = |3x + 3| vienu metu. Tai reiškia, kad reikiamos parametro reikšmės [–3; 3].

Lygčių sprendimo naudojant fazinę plokštumą algoritmas: 1. Raskite lygties apibrėžimo sritį. 2. Išreikškite parametrą a kaip x funkciją. 3. xOa koordinačių sistemoje sudarome funkcijos a = f(x) grafiką toms x reikšmėms, kurios yra įtrauktos į šios lygties apibrėžimo sritį. 4. Raskite tiesės a = c, kur c є (-; +) susikirtimo taškus su funkcijos a = f (x) grafiku. Jei tiesė a = c kerta grafiką a = f(x), tai nustatome susikirtimo taškų abscises. Norėdami tai padaryti, pakanka išspręsti x lygtį a = f(x). 5.Užrašykite atsakymą.

Pavyzdys, kaip išspręsti nelygybę naudojant „fazės plokštumą“. Išspręskite nelygybę x. Sprendimas: Ekvivalentišku perėjimu Dabar Ox plokštumoje sudarysime funkcijų grafikus Parabolės ir tiesės susikirtimo taškai x 2 – 2x = –2x x = 0. Sąlyga a –2x automatiškai įvykdoma ties x 2 – 2x Taigi, kairėje pusiau plokštumoje (x

Diplomas

Tyrimo įgūdžius galima suskirstyti į bendruosius ir specifinius. Bendrieji tyrimo įgūdžiai, kurie formuojasi ir vystosi sprendžiant problemas su parametrais, apima: gebėjimą pamatyti už tam tikros lygties su parametru įvairių klasių lygčių, kurioms būdingas bendras skaičius ir tipas. šaknys; gebėjimas naudotis analitiniais ir grafiniais-analitiniais metodais....

Lygtys ir nelygybės su parametru kaip priemonė ugdyti 7-9 klasių mokinių tiriamuosius įgūdžius (esė, kursinis darbas, diplomas, testas)

Baigiamasis darbas

Papie temą: Lygtys ir nelygybės su parametru kaip tyrimo formavimo priemonė 7 - 9 klasių mokinių įgūdžius

Kūrybinio mąstymo gebėjimų ugdymas neįmanomas už probleminių situacijų ribų, todėl nestandartinės užduotys mokantis ypač svarbios. Tai taip pat apima užduotis, kuriose yra parametras. Šių uždavinių matematinis turinys neperžengia programos ribų, tačiau jų sprendimas studentams paprastai sukelia sunkumų.

Iki septintojo dešimtmečio mokyklinio matematikos ugdymo reformos mokyklinėje programoje ir vadovėliuose buvo specialūs skyriai: tiesinių ir kvadratinių lygčių tyrimas, tiesinių lygčių sistemų tyrimas. Kur užduotis buvo ištirti lygtis, nelygybes ir sistemas, priklausomai nuo bet kokių sąlygų ar parametrų.

Programoje šiuo metu nėra konkrečių nuorodų į tyrimus ar parametrus lygtyse ar nelygybėse. Bet būtent jie yra viena iš efektyvių matematikos priemonių, padedančių išspręsti programos keliamą intelektualios asmenybės formavimo problemą. Norint pašalinti šį prieštaravimą, reikėjo sukurti pasirenkamąjį kursą tema „Lygtys ir nelygybės su parametrais“. Būtent tai lemia šio darbo aktualumą.

Lygtys ir nelygybės su parametrais yra puiki medžiaga realiam tiriamajam darbui, tačiau mokyklos programoje parametrų problemos nėra įtrauktos kaip atskira tema.

Sprendžiant daugumą mokyklinio matematikos kurso uždavinių, siekiama ugdyti tokias moksleivių savybes kaip taisyklių ir veiksmų algoritmų įvaldymas pagal dabartines programas, gebėjimas atlikti pagrindinius tyrimus.

Moksliniai tyrimai – objekto tyrimas, siekiant nustatyti jo atsiradimo, vystymosi ir transformacijos dėsningumus. Tyrimo procese naudojama sukaupta patirtis, turimos žinios, taip pat objektų tyrimo metodai ir metodai. Tyrimo rezultatas turėtų būti naujų žinių įgijimas. Edukacinio tyrimo procese sintezuojamos studento sukauptos žinios ir patirtis tiriant matematinius objektus.

Taikant parametrines lygtis ir nelygybes, galima išskirti šiuos tyrimo įgūdžius:

1) Galimybė per parametrą išreikšti sąlygas tam tikrai parametrinei lygčiai priklausyti tam tikrai lygčių klasei;

2) Gebėjimas nustatyti lygties tipą ir nurodyti koeficientų tipą priklausomai nuo parametrų;

3) Gebėjimas išreikšti per parametrus, parametrinės lygties sprendinių buvimo sąlygas;

4) Esant šaknų (tirpų) buvimui, gebėti išreikšti tam tikro skaičiaus šaknų (tirpų) buvimo sąlygas;

5) Gebėjimas išreikšti parametrinių lygčių šaknis (nelygybių sprendimus) per parametrus.

Lygčių ir nelygybių su parametrais raidos pobūdį lemia jų gebėjimas įgyvendinti daugybę studentų protinės veiklos rūšių:

Tam tikrų mąstymo algoritmų kūrimas, Gebėjimas nustatyti šaknų buvimą ir skaičių (lygtyje, sistemoje);

Lygčių šeimų, kurios yra to pasekmė, sprendimas;

Vieno kintamojo išreiškimas kitu;

Lygties apibrėžimo srities radimas;

Didelės apimties formulių kartojimas sprendžiant;

Tinkamų sprendimo būdų išmanymas;

Platus žodinės ir grafinės argumentacijos naudojimas;

Studentų grafinės kultūros ugdymas;

Visa tai, kas išdėstyta aukščiau, leidžia kalbėti apie būtinybę studijuoti lygtis ir nelygybes su parametrais mokykliniame matematikos kurse.

Šiuo metu problemų, susijusių su parametrais, klasė dar nėra aiškiai metodiškai parengta. Pasirenkamojo kurso temos „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“ pasirinkimo aktualumą lemia temos „Kvadratinis trinaris ir jo savybės“ svarba mokykliniame matematikos kurse, o tuo pačiu – nebuvimas. laikas apsvarstyti problemas, susijusias su kvadratinio trinalio, kuriame yra parametras, tyrimu.

Savo darbu norime parodyti, kad parametrų problemos neturėtų būti sudėtingas pagrindinės studijuojamos medžiagos papildymas, kurį gali įsisavinti tik gabūs vaikai, bet gali ir turi būti panaudoti bendrojo lavinimo mokykloje, kuri praturtins mokymąsi naujais metodais. ir idėjas bei padėti mokiniams lavinti savo mąstymą.

Darbo tikslas – ištirti lygčių ir nelygybių su parametrais vietą algebros kurse 7–9 klasėms, parengti pasirenkamąjį kursą „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“ ir jo įgyvendinimo metodines rekomendacijas.

Tyrimo objektas – matematikos mokymo procesas vidurinės mokyklos 7–9 klasėse.

Tyrimo objektas – lygčių ir nelygybių su parametrais sprendimo vidurinėje mokykloje turinys, formos, metodai ir priemonės, užtikrinančios pasirenkamojo kurso „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“ rengimą.

Tyrimo hipotezė, kad šis pasirenkamasis kursas padės nuodugniau įsigilinti į matematikos skyriaus „Lygtys ir nelygybės su parametrais“ turinį, pašalins matematikos reikalavimų neatitikimus, keliamus abiturientų ir stojančiųjų į universitetus rengimui, bei išplėsti studentų protinės veiklos ugdymo galimybes, jei ją studijuojant bus panaudota:

· Kvadratinių lygčių ir nelygybių su parametru sprendimo grafinių technikų svarstymas, naudojant moksleivių darbą su mokomąją literatūra;

· kvadratinio trinalio, turinčio parametrą, tyrimo uždavinių sprendimas, naudojant moksleivių savikontrolę ir tarpusavio kontrolę;

· lentelės, skirtos medžiagai apibendrinti temomis „Kvadratinio trinalio šaknų ženklas“, „Parabolės vieta abscisių ašies atžvilgiu“;

· įvairių studijų rezultatų vertinimo metodų ir kaupiamosios balų sistemos naudojimas;

· išstudijuoti visas kurso temas, suteikiant studentui galimybę savarankiškai rasti problemos sprendimo būdą.

Atsižvelgiant į tyrimo tikslą, objektą, dalyką ir hipotezę, keliami šie tyrimo tikslai:

· apsvarstyti bendrąsias lygčių ir nelygybių su parametrais tyrimo 7–9 klasėse nuostatas;

· parengti pasirenkamąjį algebros kursą „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“ ir jo įgyvendinimo metodiką.

Tyrimo metu buvo naudojami šie metodai:

· literatūros analizė;

· pasirenkamųjų dalykų rengimo patirties analizė.

1 skyrius. Psichologiniai ir pedagoginiai ypatumai studijuojant Temos « Lygtys ir nelygybės su parametrais" 7−9 algebros eigoje klasė

§ 1. Su amžiumi susijusios, fiziologinės ir psichologinės savybėsišmokos 7–9 klasių moksleiviams

Vidurinis mokyklinis amžius (paauglystė) pasižymi sparčiu viso organizmo augimu ir vystymusi. Intensyviai auga kūno ilgis (berniukams per metus padidėja 6–10 centimetrų, o mergaitėms iki 6–8 centimetrų). Skeleto kaulėjimas tęsiasi, kaulai įgauna elastingumo ir kietumo, didėja raumenų jėga. Tačiau vidaus organų vystymasis vyksta netolygiai, kraujagyslių augimas atsilieka nuo širdies augimo, todėl gali sutrikti jos veiklos ritmas, padažnėti pulsas. Vystosi plaučių aparatas, tokiame amžiuje paspartėja kvėpavimas. Smegenų tūris priartėja prie suaugusio žmogaus smegenų. Pagerėja smegenų žievės kontrolė instinktų ir emocijų atžvilgiu. Tačiau sužadinimo procesai vis dar vyrauja prieš slopinimo procesus. Prasideda padidėjęs asociatyvinių skaidulų aktyvumas.

Šiame amžiuje atsiranda brendimas. Padidėja endokrininių liaukų, ypač lytinių liaukų, veikla. Atsiranda antrinės seksualinės savybės. Paauglio kūnas jaučia didesnį nuovargį dėl dramatiškų jo pokyčių. Paauglio suvokimas yra labiau koncentruotas, organizuotas ir suplanuotas nei jaunesnio moksleivio. Lemiamą reikšmę turi paauglio požiūris į stebimą objektą. Dėmesys yra savanoriškas, atrankinis. Paauglys ilgą laiką gali sutelkti dėmesį į įdomią medžiagą. Išryškėja sąvokų, tiesiogiai susijusių su informacijos suvokimu, analize ir sisteminimu, įsiminimas. Paauglystėje būdingas kritinis mąstymas. Šio amžiaus mokiniams būdingi didesni reikalavimai teikiamai informacijai. Pagerėja gebėjimas mąstyti abstrakčiai. Emocijų raiška paaugliams dažnai būna gana audringa. Pyktis ypač stiprus. Šiam amžiui gana būdingas užsispyrimas, savanaudiškumas, užsitraukimas į save, emocijų aštrumas, konfliktai su aplinkiniais. Šios apraiškos leido mokytojams ir psichologams kalbėti apie paauglystės krizę. Tapatybės formavimas reikalauja, kad žmogus permąstytų savo ryšius su kitais, savo vietą tarp kitų žmonių. Paauglystėje vyksta intensyvus moralinis ir socialinis asmenybės formavimasis. Vyksta moralinių idealų ir moralinių įsitikinimų formavimosi procesas. Jie dažnai turi nestabilų, prieštaringą charakterį.

Paauglių bendravimas su suaugusiaisiais gerokai skiriasi nuo jaunesnių moksleivių bendravimo. Paaugliai suaugusiųjų dažnai nelaiko galimais laisvo bendravimo partneriais, suaugusiuosius suvokia kaip savo gyvenimo organizavimo ir paramos šaltinį, o suaugusiųjų organizacinę funkciją paaugliai dažniausiai suvokia kaip tik varžančią ir reguliuojančią.

Mokytojams skirtų klausimų skaičius sumažinamas. Užduoti klausimai pirmiausia yra susiję su paauglių gyvenimo organizavimu ir turiniu tais atvejais, kai jie negali išsiversti be atitinkamos suaugusiųjų informacijos ir nurodymų. Sumažėja etinių problemų skaičius. Palyginti su ankstesniu amžiumi, mokytojo, kaip socialinių normų nešėjo ir galimo padėjėjo sprendžiant sudėtingas gyvenimo problemas, autoritetas gerokai sumažėja.

§ 2. Ugdomosios veiklos amžiaus ypatumai

Mokymas yra pagrindinė paauglio veikla. Paauglio ugdomoji veikla turi savų sunkumų ir prieštaravimų, tačiau yra ir privalumų, kuriais mokytojas gali ir turi pasikliauti. Didelis paauglio privalumas – jo pasirengimas visokeriopai edukacinei veiklai, dėl kurios jis savo akimis tampa suaugusiu. Jį traukia savarankiškos pamokų organizavimo klasėje formos, sudėtinga mokomoji medžiaga ir galimybė savarankiškai plėtoti savo pažintinę veiklą už mokyklos ribų. Tačiau paauglys nežino, kaip realizuoti šį pasirengimą, nes nežino, kaip vykdyti naujas ugdomosios veiklos formas.

Paauglys emocingai reaguoja į naują akademinį dalyką, o kai kuriems ši reakcija gana greitai dingsta. Dažnai sumažėja ir jų bendras susidomėjimas mokymusi ir mokykla. Kaip rodo psichologiniai tyrimai, pagrindinė priežastis slypi mokinių mokymosi įgūdžių stokos išsiugdytoje, o tai neleidžia patenkinti esamo amžiaus poreikio – savęs patvirtinimo poreikio.

Vienas iš mokymosi efektyvumo didinimo būdų – kryptingas mokymosi motyvų formavimas. Tai tiesiogiai susiję su vyraujančių amžiaus poreikių tenkinimu. Vienas iš šių poreikių yra pažintinis. Jį patenkinus, atsiranda stabilūs pažintiniai interesai, nulemiantys jo teigiamą požiūrį į akademinius dalykus. Paauglius labai traukia galimybė plėstis, praturtinti savo žinias, įsiskverbti į tiriamų reiškinių esmę, užmegzti priežasties-pasekmės ryšius. Jie patiria didelį emocinį pasitenkinimą iš tiriamosios veiklos. Kognityvinių poreikių ir pažintinių interesų nepatenkinimas sukelia ne tik nuobodulio ir abejingumo būseną, bet kartais ir aštrų neigiamą požiūrį į „neįdomius dalykus“. Šiuo atveju vienodai svarbus ir turinys, ir žinių įgijimo procesas, metodai, technikos.

Paauglių interesai skiriasi jų pažintinės veiklos kryptimi. Vieni studentai teikia pirmenybę aprašomajai medžiagai, juos traukia pavieniai faktai, kiti siekia suprasti tiriamų reiškinių esmę, paaiškinti juos teorijos požiūriu, treti aktyviau naudoja žinias praktinėje veikloje, treti – kūrybiškai. , mokslinė veikla. 15]

Kartu su kognityviniais interesais, siekiant teigiamo paauglių požiūrio į mokymąsi, būtinas žinių reikšmės supratimas. Jiems labai svarbu suvokti ir suvokti gyvybiškai svarbią žinių reikšmę ir, svarbiausia, jų reikšmę asmeniniam tobulėjimui. Paaugliui patinka daug lavinamųjų dalykų, nes jie atitinka jo, kaip visapusiškai išsivysčiusio žmogaus, poreikius. Įsitikinimai ir interesai, susiliejantys, sukuria paauglių emocinį tonusą ir aktyvų požiūrį į mokymąsi.

Jei paauglys nemato gyvybiškai svarbių žinių, jam gali išsivystyti neigiami įsitikinimai ir neigiamas požiūris į esamus akademinius dalykus. Didelę reikšmę paauglių neigiamai požiūriui į mokymąsi turi suvokimas ir nesėkmės įsisavinant tam tikrus akademinius dalykus patirtis. Nesėkmės baimė, pralaimėjimo baimė kartais verčia paauglius ieškoti pagrįstų priežasčių neiti į mokyklą ar išeiti iš pamokų. Paauglio emocinė savijauta labai priklauso nuo suaugusiųjų jo ugdomosios veiklos įvertinimo. Dažnai paauglio vertinimo reikšmė yra noras pasiekti sėkmės ugdymo procese ir taip pasitikėti savo jėgomis ir galimybėmis. Taip yra dėl tokio vyraujančio amžiaus poreikio, kaip poreikis suvokti ir įvertinti save kaip asmenybę, savo stipriąsias ir silpnąsias puses. Tyrimai rodo, kad būtent paauglystėje savigarba vaidina dominuojantį vaidmenį. Emocinei paauglio savijautai labai svarbu, kad vertinimas ir savęs vertinimas sutaptų. Priešingu atveju kyla vidinis, o kartais ir išorinis konfliktas.

Vidurinėse klasėse mokiniai pradeda mokytis ir įsisavinti gamtos mokslų pagrindus. Studentai turės įgyti daug žinių. Medžiaga, kurią norima įsisavinti, viena vertus, reikalauja aukštesnio lygio ugdomosios, pažintinės ir protinės veiklos nei anksčiau, kita vertus, yra nukreipta į jų ugdymą. Studentai turi įsisavinti mokslinių sąvokų ir terminų sistemą, todėl nauji akademiniai dalykai kelia naujus reikalavimus žinių įgijimo būdams ir yra skirti ugdyti aukštesnio lygio intelektą – teorinį, formalųjį, reflektyvųjį mąstymą. Toks mąstymas būdingas paauglystėje, tačiau jis pradeda formuotis jaunesniems paaugliams.

Kas naujo paauglio mąstymo raidoje slypi jo požiūryje į intelektualias užduotis, kaip į tas, kurios reikalauja išankstinio protinio sprendimo. Gebėjimas operuoti su hipotezėmis sprendžiant intelektines problemas yra svarbiausias paauglio įgijimas analizuojant realybę. Spėjamas mąstymas yra savitas mokslinio samprotavimo įrankis, todėl jis vadinamas reflektyviuoju mąstymu. Nors mokslo sampratų įsisavinimas mokykloje savaime sukuria nemažai objektyvių sąlygų moksleivių teoriniam mąstymui formuotis, tačiau jis formuojasi ne kiekviename: skirtingi mokiniai gali turėti skirtingą faktinio formavimosi lygį ir kokybę.

Teorinis mąstymas gali formuotis ne tik įsisavinant mokyklines žinias. Kalba tampa kontroliuojama ir valdoma, o kai kuriose asmeniškai reikšmingose ​​situacijose paaugliai ypač stengiasi kalbėti gražiai ir taisyklingai. Mokslinių sampratų įsisavinimo procese ir rezultate sukuriamas naujas mąstymo turinys, naujos intelektualinės veiklos formos. Reikšmingas neadekvačios teorinių žinių įsisavinimo rodiklis yra paauglio negebėjimas spręsti problemas, kurioms reikalingas šių žinių panaudojimas.

Centrinę vietą pradeda užimti medžiagos turinio, originalumo ir vidinės logikos analizė. Vieniems paaugliams būdingas lankstumas renkantis mokymosi būdus, kiti renkasi vieną metodą, o kai kurie stengiasi tvarkyti ir logiškai apdoroti bet kokią medžiagą. Gebėjimas logiškai apdoroti medžiagą paaugliams dažnai išsivysto spontaniškai. Nuo to priklauso ne tik akademiniai rezultatai, žinių gilumas ir stiprumas, bet ir galimybė toliau tobulėti paauglio intelektui ir gebėjimams.

§ 3. Edukacinės veiklos organizavimas7–9 klasių moksleivių charakteristikos

Paauglių edukacinės veiklos organizavimas yra pati svarbiausia ir sudėtingiausia užduotis. Vidurinės mokyklos mokinys puikiai supranta mokytojo ar tėvų argumentus ir sutinka su pagrįstais argumentais. Tačiau dėl šiam amžiui būdingų mąstymo ypatumų paauglio nebetenkins informacijos perdavimo paruošta, pilna forma procesas. Jis norės patikrinti jų patikimumą, įsitikinti, kad jo sprendimai yra teisingi. Ginčai su mokytojais, tėvais, draugais – būdingas šio amžiaus bruožas. Svarbus jų vaidmuo yra tai, kad jie leidžia keistis nuomonėmis tam tikra tema, patikrinti savo pažiūrų ir visuotinai priimtų pažiūrų teisingumą ir išreikšti save. Ypač mokant didelį poveikį turi probleminių užduočių įvedimas. Šio požiūrio į mokymą pagrindus XX amžiaus 60-70-aisiais sukūrė namų mokytojai. Visų veiksmų, susijusių su problemomis, pagrindas yra žinių trūkumas konkrečioms problemoms spręsti ir prieštaravimų sprendimas. Šiuolaikinėmis sąlygomis šis požiūris turėtų būti įgyvendinamas atsižvelgiant į šiuolaikinio mokslo pasiekimų lygį ir mokinių socializacijos uždavinius.

Svarbu skatinti savarankišką mąstymą, mokinį reikšti savo požiūrį, gebėjimą lyginti, rasti bendrų ir skiriamųjų bruožų, išryškinti pagrindinį dalyką, nustatyti priežasties-pasekmės ryšius, daryti išvadas.

Paaugliui bus labai svarbi įdomi ir žavi informacija, kuri žadina jo vaizduotę ir verčia susimąstyti. Geras efektas pasiekiamas periodiškai keičiant veiklos rūšis – ne tik pamokoje, bet ir ruošiant namų darbus. Įvairios darbo rūšys gali tapti labai efektyvia dėmesio didinimo priemone ir svarbiu būdu išvengti bendro fizinio nuovargio, susijusio tiek su lavinamu krūviu, tiek su bendru radikalių organizmo pertvarkymų procesu brendimo metu. 20]

Prieš studijuodami atitinkamas mokyklos programos dalis, studentai dažnai jau turi tam tikrų kasdienių idėjų ir sampratų, leidžiančių jiems gana gerai orientuotis kasdienėje praktikoje. Ši aplinkybė tais atvejais, kai jų dėmesys nėra specialiai atkreipiamas į įgytų žinių ryšį su praktiniu gyvenimu, iš daugelio studentų atima poreikį įgyti ir įsisavinti naujas žinias, nes pastarosios jiems neturi jokios praktinės reikšmės.

Paauglių moraliniai idealai ir moraliniai įsitikinimai formuojasi veikiant daugeliui veiksnių, ypač stiprinant mokymosi ugdomąjį potencialą. Sprendžiant sudėtingas gyvenimo problemas, daugiau dėmesio reikėtų skirti netiesioginiams poveikio paauglių sąmonei metodams: ne pateikti jau paruoštą moralinę tiesą, o jos link nuvesti ir nereikšti kategoriškų sprendimų, kuriuos paaugliai gali suvokti priešiškai.

§ 4. Edukaciniai tyrimai pagrindinių matematinio ugdymo turinio ir mokinių pasirengimo lygio reikalavimų sistemoje

Lygtys ir nelygybės su parametrais yra puiki medžiaga realiam tiriamajam darbui. Tačiau mokyklos mokymo programoje parametrų problemos nėra įtrauktos kaip atskira tema.

Panagrinėkime įvairias rusų mokyklų švietimo standarto dalis, nustatydami problemas, susijusias su mokymusi spręsti problemas su parametrais.

Studijuodami programos medžiagą, pradinių klasių mokiniai gali „iš pradžių suprasti problemą, susijusią su parametrais, kuriuos galima redukuoti iki tiesinių ir kvadratinių“ ir išmokti sudaryti funkcijų grafikus bei ištirti šių grafikų vietą koordinačių plokštumoje, atsižvelgiant į į formulę įtrauktų parametrų reikšmės.

Eilutėje „funkcija“ neminimas žodis „parametras“, bet sakoma, kad mokiniai turi galimybę „sisteminti ir plėtoti žinias apie funkciją; ugdyti grafinę kultūrą, išmokti sklandžiai „skaityti“ grafikus, atspindėti funkcijos ypatybes grafe.

Išanalizavę mokyklinius algebros vadovėlius tokių autorių grupių kaip: Alimov Sh. A. ir kt., Makarychev Yu et al., Mordkovich A. G. ir kt., padarėme išvadą, kad šiuose vadovėliuose yra problemų su parametrais. skyrė mažai dėmesio. 7 klasės vadovėliuose yra keletas pavyzdžių, kaip tirti tiesinės lygties šaknų skaičių, tirti tiesinės funkcijos y = kh ir y = kh + b grafiko vietos priklausomybę nuo reikšmių. iš k. 8–9 klasių vadovėliuose, skyreliuose „Uždėmės dirbant užklasinį darbą“ ar „Kartomosios pratybos“ pateikiamos 2–3 užduotys, skirtos kvadratinių ir bikvadratinių lygčių šaknims su parametrais tirti, grafiko vieta. kvadratinė funkcija, priklausomai nuo parametrų verčių.

Matematikos programoje, skirtoje mokykloms ir klasėms, kuriose vyksta gilinimasis, aiškinamajame rašte rašoma, kad „skiltyje „Mokinių matematinio pasirengimo reikalavimai“ nustatytas apytikslis žinių, įgūdžių ir gebėjimų kiekis, kurį turi įsisavinti moksleiviai. Ši apimtis, be abejo, apima tas žinias, gebėjimus ir įgūdžius, kurių privalomą įgijimą visiems mokiniams numato bendrojo lavinimo mokyklos programos reikalavimai; tačiau siūloma kitokia, aukštesnė jų formavimo kokybė. Studentai turi įgyti gebėjimą spręsti aukštesnio sudėtingumo nei reikalaujamas sudėtingumo problemas, tiksliai ir kompetentingai suformuluoti išstudijuotus teorinius principus ir pateikti savo samprotavimus spręsdami problemas...“

Išanalizuokime keletą vadovėlių, skirtų mokiniams, studijuojantiems matematiką.

Tokių problemų formulavimas ir jų sprendimai neperžengia mokyklos mokymo programos ribų, tačiau sunkumai, su kuriais susiduria mokiniai, paaiškinami, pirma, parametro buvimu, antra, sprendimo ir atsakymų išsišakojimu. Tačiau uždavinių sprendimo su parametrais praktika naudinga ugdant ir stiprinant savarankiško loginio mąstymo gebėjimus bei turtinant matematinę kultūrą.

Mokyklos bendrojo lavinimo pamokose tokioms užduotims paprastai skiriama nežymiai dėmesio. Kadangi lygčių ir nelygybių sprendimas parametrais yra bene sunkiausia pradinės matematikos kurso dalis, vargu ar patartina tokias problemas spręsti parametrais mokyti masę moksleivių, bet stiprius studentus, kurie rodo susidomėjimą, polinkį ir gebėjimą. matematikos, kurie stengiasi veikti savarankiškai, moko. Tikrai būtina spręsti tokias problemas. Todėl kartu su tokiomis tradicinėmis mokyklinės matematikos kurso turinio-metodinėmis eilėmis kaip funkcinė, skaitinė, geometrinė, lygčių eilutė ir identiškų transformacijų eilutė, parametrų eilutė taip pat turi užimti tam tikrą poziciją. Medžiagos turinį ir reikalavimus studentams tema „parametrų problemos“, be abejo, turėtų lemti visos klasės ir kiekvieno individo matematinio pasirengimo lygis.

Mokytojas turi padėti patenkinti besidominčių, gabumų ir gebėjimų dalyku besidominčių moksleivių poreikius ir pageidavimus. Mokinius dominančiais klausimais gali būti organizuojamos konsultacijos, būreliai, papildomi užsiėmimai, pasirenkamieji dalykai. Tai visiškai taikoma sprendžiant problemas, susijusias su parametrais.

§ 5. Edukaciniai mokinių pažintinės veiklos struktūros tyrimai

Šiuo metu aktualus mokinio, kuris siekia veikti savarankiškai, viršijant mokytojo reikalavimus, neribojančio savo interesų ir aktyvaus tyrinėjimo jam siūloma mokomąją medžiagą, mokančio ir argumentuotai pateikti mokinio paruošimo klausimas. apginti savo konkrečios problemos sprendimą, kuris moka patikslinti ar, atvirkščiai, apibendrinti nagrinėjamą rezultatą, nustatyti priežasties ir pasekmės ryšius ir pan. Šiuo atžvilgiu studijos, analizuojančios matematinio kūrybiškumo mokykloje pagrindus. - amžiaus vaikai, nagrinėja mokinių protinės veiklos proceso valdymo, gebėjimų savarankiškai įgyti žinias formavimo ir ugdymo, žinių pritaikymo, papildymo ir sisteminimo problemą, moksleivių pažintinės veiklos didinimo problemą (L.S. Vygotsky, P. Ya.

Mokymo tyrimo metodas apima du tyrimo metodus: edukacinį ir mokslinį.

Nemažos dalies mokyklinio matematikos kurso uždavinių sprendimas suponuoja, kad mokiniai išsiugdytų tokias savybes kaip taisyklių ir veiksmų algoritmų įvaldymas pagal galiojančias programas, gebėjimas atlikti fundamentinius tyrimus. Moksliniai tyrimai – objekto tyrimas, siekiant nustatyti jo atsiradimo ir transformacijos raidos dėsningumus. Tyrimo procese naudojama sukaupta ankstesnė patirtis, turimos žinios, taip pat objektų tyrimo metodai ir metodai (technikos). Tyrimo rezultatas turėtų būti naujų mokslo žinių įgijimas.

Taikant matematikos mokymo procesą vidurinėje mokykloje, svarbu atkreipti dėmesį į tai: pagrindiniai edukacinio tyrimo komponentai yra tyrimo problemos formulavimas, jos tikslų suvokimas, preliminari turimos informacijos nagrinėjamu klausimu analizė, tyrimo problemai artimų problemų sprendimo sąlygos ir metodai, pirminių hipotezių siūlymas ir formulavimas, tyrimo metu gautų rezultatų analizė ir apibendrinimas, pradinės hipotezės patikrinimas remiantis gautais faktais, galutinis naujų rezultatų, dėsningumų, savybių formulavimas. , nustatytos problemos sprendimo vietos esamų žinių sistemoje nustatymas. Pagrindinę vietą tarp edukacinių tyrimų objektų užima tos mokyklinės matematikos kurso sąvokos ir ryšiai, kurių tyrimo procese atsiskleidžia jų kaitos ir transformacijos dėsningumai, įgyvendinimo sąlygos, unikalumas ir kt.

Rimtas potencialas formuojant tokius tyrimo įgūdžius kaip gebėjimas tikslingai stebėti, lyginti, iškelti, įrodyti ar paneigti hipotezę, gebėjimas apibendrinti ir pan., turi uždavinių konstruoti geometrijos kurse, lygtis ir nelygybes su parametrais. algebros kursas, vadinamosios dinaminės problemos, kurias spręsdami mokiniai įvaldo pagrindines protinės veiklos technikas: analizę, sintezę (analizė per sintezę, sintezę per analizę), apibendrinimą, patikslinimą ir kt., tikslingai stebi besikeičiančius objektus. , iškelia ir suformuluoja hipotezę dėl nagrinėjamų objektų savybių, patikrina iškeltą hipotezę, nustato išmokto rezultato vietą anksčiau įgytų žinių sistemoje, jo praktinę reikšmę. Lemiamos reikšmės turi mokytojo vykdomo edukacinio tyrimo organizavimas. Psichinės veiklos mokymo metodai, gebėjimas atlikti tyrimo elementus – šie tikslai nuolat patraukia mokytojo dėmesį, skatina jį rasti atsakymus į daugelį metodinių klausimų, susijusių su nagrinėjamos problemos sprendimu.

Daugelio programos klausimų studijavimas suteikia puikių galimybių sukurti visapusiškesnį ir išsamesnį vaizdą, susijusį su konkrečios problemos svarstymu.

Edukacinio tyrimo procese sintezuojamos studento sukauptos žinios ir patirtis tiriant matematinius objektus. Organizuojant mokinio edukacinį tyrimą lemiamą reikšmę turi jo dėmesio patraukimas (pirmiausia nevalingas, o vėliau savanoriškas), stebėjimo sąlygų sudarymas: gilaus sąmoningumo užtikrinimas, būtinas studento požiūris į darbą, studijų objektą ("https:/ /svetainė“, 9).

Mokyklos matematikos mokyme yra du glaudžiai susiję ugdymo tyrimų lygmenys: empirinis ir teorinis. Pirmajam būdingas atskirų faktų stebėjimas, jų klasifikavimas ir loginio ryšio tarp jų nustatymas, patikrinamas patirtimi. Edukacinio tyrimo teorinis lygis skiriasi tuo, kad dėl to studentas formuluoja bendruosius matematinius dėsnius, kuriais remiantis giliau interpretuojami ne tik nauji, bet ir empiriniu lygmeniu gauti faktai.

Vykdydamas edukacinį tyrimą, studentas turi naudoti tiek specifinius, tik matematikai būdingus metodus, tiek bendruosius; analizė, sintezė, indukcija, dedukcija ir kt., naudojama tiriant įvairių mokyklinių disciplinų objektus ir reiškinius.

Lemiamos reikšmės turi mokytojo vykdomo edukacinio tyrimo organizavimas. Taikant matematikos mokymo procesą vidurinėje mokykloje, svarbu atkreipti dėmesį į tai: pagrindiniai edukacinio tyrimo komponentai yra tyrimo problemos formulavimas, jos tikslų suvokimas, preliminari turimos informacijos nagrinėjamu klausimu analizė, tyrimo problemai artimų problemų sprendimo sąlygos ir metodai, pirminės hipotezės siūlymas ir formulavimas, tyrimo metu gautų rezultatų analizė ir apibendrinimas, pradinės hipotezės patikrinimas remiantis gautais faktais, galutinis naujų rezultatų, dėsningumų formulavimas, t. savybės, nustatytos problemos sprendimo vietos esamų žinių sistemoje nustatymas. Pagrindinę vietą tarp edukacinių tyrimų objektų užima tos mokyklinės matematikos kurso sąvokos ir ryšiai, kurių tyrimo procese atsiskleidžia jų kaitos ir transformacijos dėsningumai, įgyvendinimo sąlygos, unikalumas ir kt.

Edukaciniams tyrimams tinkama medžiaga yra medžiaga, susijusi su algebros kurse tiriamų funkcijų tyrimu. Kaip pavyzdį apsvarstykite tiesinę funkciją.

Užduotis: Ištirkite lyginę ir nelyginę tiesinę funkciją. Patarimas: apsvarstykite šiuos atvejus:

2) a = 0 ir b? 0;

3) a? 0 ir b = 0;

4) a? 0 ir b? 0.

Atlikę tyrimą užpildykite lentelę, nurodydami gautą rezultatą atitinkamos eilutės ir stulpelio sankirtoje.

Dėl sprendimo studentai turėtų gauti tokią lentelę:

	lyginis ir nelyginis
	nelyginis	nei lyginis, nei nelyginis

Jo simetrija sukelia pasitenkinimo jausmą ir pasitikėjimą užpildymo teisingumu.

Psichinės veiklos metodų formavimas vaidina svarbų vaidmenį tiek bendram moksleivių vystymuisi, tiek ugdant jiems edukacinio tyrimo (bendrai ar fragmentais) įgūdžius.

Edukacinio tyrimo rezultatas – subjektyviai naujos žinios apie nagrinėjamo objekto (santykio) savybes ir jų praktinį pritaikymą. Šios savybės gali būti įtrauktos arba neįtrauktos į vidurinės mokyklos matematikos programą. Svarbu pažymėti, kad mokinio veiklos rezultato naujumą lemia tiek veiklos atlikimo būdo paieškos pobūdis, tiek pats veiklos būdas, tiek gauto rezultato vieta žinių sistemoje. to studento.

Matematikos mokymo metodas taikant edukacinius tyrimus vadinamas tyrimu, nepriklausomai nuo to, ar edukacinio tyrimo schema įgyvendinama pilnai, ar fragmentiškai.

Įgyvendinant kiekvieną edukacinio tyrimo etapą būtinai yra tiek atliekamosios, tiek kūrybinės veiklos elementų. Aiškiausiai tai pastebima, kai studentas savarankiškai atlieka tam tikrą tyrimą. Taip pat edukacinio tyrimo metu vienus etapus gali įgyvendinti mokytojas, kitus – pats mokinys. Savarankiškumo lygis priklauso nuo daugelio veiksnių, visų pirma nuo formavimosi lygio, gebėjimo stebėti konkretų objektą (procesą), gebėjimo sutelkti dėmesį į tą patį dalyką, kartais gana ilgą laiką, gebėjimo įžvelgti problemą, aiškiai ir nedviprasmiškai suformuluoti, gebėjimas rasti ir panaudoti tinkamas (kartais netikėtas) asociacijas, gebėjimas koncentruotai analizuoti turimas žinias, siekiant atrinkti reikiamą informaciją ir kt.

Taip pat neįmanoma pervertinti studento vaizduotės, intuicijos, įkvėpimo, gebėjimų (o galbūt talento ar genialumo) įtakos jo tiriamosios veiklos sėkmei.

§ 6 . Mokymo metodų sistemos tyrimas

Mokymo metodams skirta daugiau nei tuzinas fundamentinių studijų, nuo kurių priklauso nemaža mokytojo ir visos mokyklos darbo sėkmė. Ir, nepaisant to, mokymo metodų problema tiek mokymo teorijoje, tiek pedagoginėje praktikoje išlieka labai aktuali. Mokymo metodo samprata yra gana sudėtinga. Taip yra dėl išskirtinio proceso, kurį ši kategorija turi atspindėti, sudėtingumo. Daugelis autorių mokymo metodą laiko mokinių edukacinės ir pažintinės veiklos organizavimo būdu.

Žodis „metodas“ yra graikų kilmės ir išvertus į rusų kalbą reiškia tyrimą, metodą. „Metodas – bendriausia prasme – yra būdas pasiekti tikslą, tam tikras veiklos užsakymo būdas“. Akivaizdu, kad mokymosi procese metodas veikia kaip jungtis tarp mokytojo ir mokinių veiklos tam tikriems ugdymo tikslams pasiekti. Šiuo požiūriu kiekvienas mokymo metodas organiškai apima mokytojo mokomąjį darbą (studijamos medžiagos pristatymą, paaiškinimą) ir aktyvios mokinių ugdomosios bei pažintinės veiklos organizavimą. Taigi mokymo metodo samprata atspindi:

1. Mokytojo mokymo darbo metodai ir mokinių ugdomojo darbo metodai jų tarpusavio santykiuose.

2. Jų darbo specifika siekiant įvairių mokymosi tikslų. Taigi mokymo metodai yra bendros mokytojo ir mokinių veiklos būdai, kuriais siekiama spręsti mokymosi problemas, tai yra didaktinės užduotys.

Tai yra, mokymo metodai turėtų būti suprantami kaip mokytojo mokymo darbo metodai ir mokinių edukacinės bei pažintinės veiklos organizavimas, siekiant išspręsti įvairias didaktines užduotis, kuriomis siekiama įsisavinti studijuojamą medžiagą. Viena iš opiausių šiuolaikinės didaktikos problemų yra mokymo metodų klasifikavimo problema. Šiuo metu nėra vieno požiūrio šiuo klausimu. Atsižvelgiant į tai, kad skirtingi autoriai mokymo metodų skirstymą į grupes ir pogrupius grindžia skirtingais kriterijais, yra nemažai klasifikacijų. Tačiau 20-aisiais sovietinėje pedagogikoje buvo kovojama su senojoje mokykloje klestėjusiais scholastinio mokymo ir mechaninio mokymosi metodais bei buvo ieškoma metodų, kurie leistų užtikrinti sąmoningą, aktyvų ir kūrybišką mokinių žinių įgijimą. Būtent tais metais mokytojas B. V. Vieviatskis išsiugdė poziciją, kad mokyme gali būti tik du metodai: tyrimo metodas ir paruoštų žinių metodas. Natūralu, kad paruoštų žinių metodas buvo kritikuojamas. Svarbiausiu mokymo metodu buvo pripažintas tyrimo metodas, kurio esmė susivedė į tai, kad studentai turėtų visko išmokti stebėdami ir analizuodami tiriamus reiškinius, savarankiškai priartėdami prie reikiamų išvadų. Tas pats tyrimo metodas klasėje gali būti taikomas ne visoms temoms.

Taip pat šio metodo esmė ta, kad dėstytojas probleminę problemą skaido į subproblemas, o mokiniai atlieka individualius žingsnius, kad surastų jos sprendimą. Kiekvienas žingsnis apima kūrybinę veiklą, tačiau holistinio problemos sprendimo dar nėra. Mokslinių tyrimų metu studentai įsisavina mokslo žinių metodus ir kaupia tiriamosios veiklos patirtį. Šiuo metodu apmokytų mokinių veikla – įsisavinti savarankiško problemų kėlimo, jų sprendimo būdų ieškojimo, užduočių tyrimo, dėstytojų pateikiamų problemų kėlimo ir plėtojimo techniką.

Taip pat galima pastebėti, kad psichologija nustato tam tikrus vystymosi psichologijos modelius. Prieš pradėdami dirbti su studentais naudodami metodus, turite nuodugniai išstudijuoti jų raidos psichologijos tyrimo metodus. Susipažinimas su šiais metodais gali būti praktiškai naudingas tiesiogiai šio proceso organizatoriams, nes šie metodai tinka ne tik savo moksliniams tyrimams, bet ir organizuojant giluminį vaikų tyrimą praktinio ugdymo tikslais. Individualus požiūris į mokymą ir ugdymą reikalauja gerai išmanyti ir suprasti individualias studentų psichologines ypatybes bei jų asmenybės unikalumą. Vadinasi, dėstytojas turi įvaldyti gebėjimą studijuoti studentus, matyti ne pilką, vienalytę mokinių masę, o kolektyvą, kuriame kiekvienas atstovauja kažką ypatingo, individualaus, savito. Tokios studijos yra kiekvieno mokytojo užduotis, tačiau jas dar reikia tinkamai organizuoti.

Vienas iš pagrindinių organizavimo metodų yra stebėjimo metodas. Žinoma, psichika negali būti stebima tiesiogiai. Šis metodas apima netiesiogines žinias apie individualias žmogaus psichikos savybes, tiriant jo elgesį. Tai yra, čia reikia spręsti apie mokinį pagal individualias savybes (veiksmus, poelgius, kalbą, išvaizdą ir kt.), mokinio psichinę būklę (suvokimo, atminties, mąstymo, vaizduotės procesus ir kt.) jo asmenybės bruožai, temperamentas, charakteris. Visa tai reikalinga mokiniui, su kuriuo dėstytojas dirba tiriamuoju mokymo metodu, kai atlieka kai kurias užduotis.

Nemažos dalies mokyklinio matematikos kurso uždavinių sprendimas suponuoja, kad mokiniai išsiugdytų tokias savybes kaip taisyklių ir veiksmų algoritmų įvaldymas pagal galiojančias programas, gebėjimas atlikti fundamentinius tyrimus. Moksliniai tyrimai reiškia objekto tyrimą, siekiant nustatyti jo atsiradimo, vystymosi ir transformacijos modelius. Tyrimo procese naudojama sukaupta ankstesnė patirtis, turimos žinios, taip pat objektų tyrimo metodai ir metodai (technikos). Tyrimo rezultatas turėtų būti naujų mokslo žinių įgijimas. Psichinės veiklos mokymo metodai, gebėjimas atlikti tyrimo elementus – šie tikslai nuolat patraukia mokytojo dėmesį, skatina jį rasti atsakymus į daugelį metodinių klausimų, susijusių su nagrinėjamos problemos sprendimu. Daugelio programos klausimų studijavimas suteikia puikių galimybių sukurti visapusiškesnį ir išsamesnį vaizdą, susijusį su konkrečios užduoties svarstymu. Matematikos mokymo tyrimo metodas natūraliai įsilieja į mokymo metodų klasifikaciją, priklausomai nuo mokinių veiklos pobūdžio ir pažinimo savarankiškumo laipsnio. Siekdamas sėkmingai organizuoti studento tiriamąją veiklą, dėstytojas turi suprasti ir atsižvelgti tiek į jo asmenines savybes, tiek į procedūrinius šios veiklos požymius, tiek į studento studijuojamos kurso medžiagos išmanymo lygį. Neįmanoma pervertinti studento vaizduotės, intuicijos, įkvėpimo ir gebėjimų įtakos jo tiriamosios veiklos sėkmei.

Tyrimo metodo užduočių formos gali būti įvairios. Tai gali būti užduotys, kurias galima greitai išspręsti klasėje ir namuose, arba užduotys, kurioms reikia visos pamokos. Dauguma tyrimų užduočių turėtų būti nedidelės paieškos užduotys, kurioms reikia atlikti visus arba daugumą tyrimo proceso etapų. Jų pilnas sprendimas užtikrins, kad tyrimo metodas atliks savo funkcijas. Tyrimo proceso etapai yra tokie:

1 Tikslingas faktų ir reiškinių stebėjimas ir palyginimas.

Neaiškių tiriamų reiškinių nustatymas.

Preliminari turimos informacijos nagrinėjamu klausimu analizė.

4. Teigimas ir hipotezės formulavimas.

5. Tyrimo plano sudarymas.

Plano įgyvendinimas, išaiškinant tiriamo reiškinio sąsajas su kitais.

Naujų rezultatų, šablonų, savybių formulavimas, paskirto tyrimo rasto sprendimo vietos nustatymas esamų žinių sistemoje.

Tikrinamas rastas sprendimas.

Praktinės išvados apie galimą naujų žinių pritaikymą.

§ 7 . Gebėjimas tyrinėti sistemasturime specialių žinių

Įgūdis – tai sąmoningas mokinio žinių ir įgūdžių pritaikymas sudėtingiems veiksmams atlikti įvairiomis sąlygomis, t.y. spręsti aktualias problemas, nes kiekvieno kompleksinio veiksmo atlikimas mokiniui veikia kaip problemos sprendimas.

Tyrimo įgūdžius galima suskirstyti į bendruosius ir specifinius. Bendrieji tyrimo įgūdžiai, kurie formuojasi ir vystosi sprendžiant problemas su parametrais, apima: gebėjimą pamatyti už tam tikros lygties su parametru įvairių klasių lygčių, kurioms būdingas bendras skaičius ir tipas. šaknys; gebėjimas naudoti analitinius ir grafinius-analitinius metodus.

Specialūs tyrimo įgūdžiai apima įgūdžius, kurie susiformuoja ir ugdomi sprendžiant konkrečios klasės problemas.

Sprendžiant tiesines lygtis, kuriose yra parametras, susidaro šie specialūs įgūdžiai:

§ Galimybė nustatyti specialias parametrų reikšmes, kurioms esant nurodyta tiesinė lygtis:

Viena šaknis;

Begalinis šaknų skaičius;

3) Neturi šaknų;

Gebėjimas interpretuoti atsakymą originalios užduoties kalba. Specialūs tyrimo įgūdžiai, kurie formuojasi ir vystosi sprendžiant tiesines nelygybes, turinčias parametrą, apima:

§ Gebėjimas matyti nežinomojo ir laisvojo termino koeficientą kaip parametro funkciją;

§ Galimybė nustatyti specialias parametrų reikšmes, kurioms esant tam tikra tiesinė nelygybė yra sprendimas:

1) Intervalas;

2) Neturi sprendimų;

§ Gebėjimas interpretuoti atsakymą originalios užduoties kalba. Specialūs tyrimo įgūdžiai, kurie formuojami ir tobulinami sprendžiant kvadratines lygtis, kuriose yra parametras, apima:

§ Gebėjimas nustatyti specialią parametro reikšmę, kuriai esant pirmaujantis koeficientas tampa nuliu, t.y. lygtis tampa tiesinė, ir rasti gautos lygties sprendimą nustatytoms specialiosioms parametro reikšmėms;

§ Gebėjimas išspręsti duotosios kvadratinės lygties šaknų buvimo ir skaičiaus klausimą priklausomai nuo diskriminanto ženklo;

§ Gebėjimas išreikšti kvadratinės lygties šaknis (jei yra) per parametrą;

Tarp specialių tyrimų įgūdžių, kurie formuojami ir tobulinami sprendžiant trupmenines racionalias lygtis, kuriose yra parametras, kurį galima sumažinti iki kvadratinių, yra:

§ Gebėjimas sumažinti trupmeninę racionaliąją lygtį, kurioje yra parametras, į kvadratinę lygtį, kurioje yra parametras.

Specialūs tyrimo įgūdžiai, kurie formuojasi ir vystosi sprendžiant kvadratines nelygybes, kuriose yra parametras, apima:

§ Gebėjimas identifikuoti specialią parametro reikšmę, kuriai esant pirmaujantis koeficientas tampa nuliu, tai yra, nelygybė tampa tiesinė, ir rasti daug sprendimų dėl susidariusios nelygybės specialioms parametro reikšmėms;

§ Gebėjimas išreikšti kvadratinės nelygybės sprendinių aibę per parametrą.

Žemiau pateikiami mokomieji įgūdžiai, kurie virsta mokymu ir moksliniais tyrimais, taip pat mokslinių tyrimų įgūdžiai.

6–7 klasė:

- greitai panaudoti senas žinias įgyjant naujas;

- laisvai perkelti psichinių veiksmų kompleksą iš vienos medžiagos į kitą, iš vieno subjekto į kitą;

paskirstyti įgytas žinias dideliam objektų rinkiniui;

sujungti žinių „žlugimo“ ir „atskleidimo“ procesą;

kryptingai apibendrinti teksto mintis, išryškinant pagrindines mintis jo segmentuose ir dalyse;

sisteminti ir klasifikuoti informaciją;

— palyginti informaciją apie charakteristikų sistemas, išryškinant panašumus ir skirtumus;

- mokėti sieti simbolinę kalbą su rašytine ir žodine kalba;

— analizuoti ir planuoti būsimos veiklos metodus;

Greitai ir laisvai „sujungti“ naujų žinių komponentus;

gebėti glaustai išdėstyti pagrindines teksto mintis ir faktus;

- gauti naujų žinių pereinant nuo sistemą formuojančių žinių prie konkrečių, pasitelkiant diagramas, lenteles, pastabas ir pan.;

naudoti įvairias įrašymo formas ilgo klausymosi metu;

pasirinkti optimalius sprendimus;

įrodyti arba paneigti naudojant tarpusavyje susijusius metodus;

- naudoti įvairius analizės ir sintezės būdus;

- apsvarstyti problemą iš skirtingų požiūrių;

- išreikšti sprendimą minčių algoritmo forma.

Matematinis ugdymas mokinių mąstymo formavimosi ar protinės raidos procesuose turėtų būti ir yra skiriamas ypatinga vieta, nes matematikos mokymo priemonės efektyviausiai veikia daugelį pagrindinių holistinės asmenybės ir, visų pirma, mąstymo komponentų.

Taigi ypatingas dėmesys skiriamas mokinio mąstymo ugdymui, nes būtent tai susiję su visomis kitomis psichinėmis funkcijomis: vaizduote, proto lankstumu, minties platumu ir gyliu ir kt. mąstymo ugdymas į studentą orientuoto mokymosi kontekste, reikia atminti, kad būtina sąlyga tokiam vystymuisi įgyvendinti yra mokymosi individualizavimas. Būtent tai užtikrina, kad būtų atsižvelgta į įvairių kategorijų mokinių protinės veiklos ypatybes.

Kelias į kūrybiškumą yra individualus. Tuo pačiu visi mokiniai, besimokantys matematikos, turėtų pajusti jos kūrybingumą, matematikos mokymosi procese susipažinti su kai kuriais kūrybinės veiklos įgūdžiais, kurių jiems prireiks tolimesniame gyvenime ir veikloje. Norint išspręsti šią sudėtingą problemą, matematikos mokymas turi būti struktūrizuotas taip, kad studentas dažnai ieškotų naujų derinių, transformuotų daiktus, reiškinius, tikrovės procesus, ieškotų nežinomų objektų sąsajų.

Puikus būdas supažindinti mokinius su kūrybine veikla mokant matematikos – savarankiškas darbas visomis jo formomis ir apraiškomis. Labai esminis šiuo atžvilgiu yra akademiko P. L. Kapitsos teiginys, kad savarankiškumas yra viena iš pagrindinių kūrybingos asmenybės savybių, nes kūrybinių gebėjimų ugdymas žmoguje yra pagrįstas savarankiško mąstymo ugdymu.

Studentų ir studijų grupių pasirengimo savarankiškai kūrybinei veiklai lygį galima nustatyti atsakius į šiuos klausimus:

Kaip efektyviai mokiniai gali naudotis užrašais, nuorodomis, skaityti diagramas ir įvairių tipų lenteles?

Ar mokiniai, spręsdami mokytojo probleminę problemą, moka objektyviai įvertinti siūlomas idėjas ir atsižvelgti į jų taikymo galimybę? 3) Kaip greitai moksleiviai pereina nuo vieno problemos sprendimo būdo prie kito? 4) Išanalizuoti mokinių orientavimo per pamoką į savarankiško darbo organizavimą efektyvumą; 5) Ištirti mokinių gebėjimą modeliuoti ir lanksčiai spręsti problemas.

2 skyrius. Temos „Lygtys ir nelygybės su parametrais“ metodinė analizė ir pasirenkamojo kurso „Kvadratinės lygtys ir nelygybės su parametru“ parengimas

§ 1. Vaidmuo Ir vieta parametrinis lygtys Ir nelygybės formacijoje tyrimai įgūdžiųmokiniai

Nepaisant to, kad vidurinės mokyklos matematikos programoje aiškiai nepaminėti uždaviniai su parametrais, būtų klaidinga teigti, kad mokykliniame matematikos kurse niekaip nesprendžiamas uždavinių su parametrais sprendimas. Užtenka prisiminti mokyklos lygtis: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, kuriose a, b, c, k yra ne kas kita, kaip parametrai. Bet mokyklinio kurso rėmuose dėmesys nekreipiamas į tokią sąvoką, parametrą, kuo jis skiriasi nuo nežinomybės.

Patirtis rodo, kad parametrų uždaviniai yra sudėtingiausia elementariosios matematikos dalis loginiu ir techniniu požiūriu, nors formaliuoju požiūriu tokių uždavinių matematinis turinys neperžengia programų ribų. Tai lemia skirtingi požiūriai į parametrą. Viena vertus, parametras gali būti laikomas kintamuoju, kuris laikomas pastovia reikšme sprendžiant lygtis ir nelygybes, kita vertus, parametras yra dydis, kurio skaitinė reikšmė nėra pateikta, bet turi būti laikoma žinoma, ir parametras gali turėti savavališkas reikšmes, ty parametras, būdamas fiksuotas, bet nežinomas skaičius, turi dvejopą pobūdį. Pirma, tariamas žinomumas leidžia parametrą traktuoti kaip skaičių, antra, laisvės laipsnį riboja jo nežinomybė.

Kiekviename iš parametrų pobūdžio aprašymų yra neapibrėžtumas – kuriuose sprendimo etapuose parametras gali būti laikomas konstanta ir kada jis atlieka kintamojo vaidmenį. Visos šios prieštaringos parametro savybės gali sukelti tam tikrą psichologinį barjerą studentams pačioje pažinties pradžioje.

Šiuo atžvilgiu pradiniame parametro pažinimo etape labai naudinga kuo dažniau griebtis vaizdinės ir grafinės gautų rezultatų interpretacijos. Tai ne tik leidžia studentams įveikti natūralų parametro neapibrėžtumą, bet ir suteikia dėstytojui galimybę lygiagrečiai, kaip propedeutika, mokyti studentus naudoti grafinius įrodinėjimo metodus sprendžiant uždavinius. Taip pat nereikėtų pamiršti, kad bent jau schematinių grafinių iliustracijų naudojimas kai kuriais atvejais padeda nustatyti tyrimo kryptį, o kartais leidžia iš karto pasirinkti problemos sprendimo raktą. Iš tiesų, esant tam tikroms problemoms, net primityvus brėžinys, toli gražu ne tikras grafikas, leidžia išvengti įvairių tipų klaidų ir paprastesniu būdu gauti atsakymą į lygtį ar nelygybę.

Matematinių uždavinių sprendimas apskritai yra sunkiausia mokinių veiklos dalis studijuojant matematiką ir tai paaiškinama tuo, kad uždaviniams spręsti reikalingas gana aukštas aukščiausio lygio intelekto išsivystymo lygis, tai yra teorinis, formalusis ir reflektyvus mąstymas ir kt. mąstymas, kaip jau minėta, vis dar vystosi paauglystėje.

Kursinis darbas

Atlikėjas: Bugrov S K.

Daugelio fizinių procesų ir geometrinių modelių tyrimas dažnai leidžia išspręsti parametrų problemas. Kai kurie universitetai į egzaminų darbus taip pat įtraukia lygtis, nelygybes ir jų sistemas, kurios dažnai yra labai sudėtingos ir reikalauja nestandartinio sprendimo būdo. Mokykloje ši viena sunkiausių mokyklinio matematikos kurso dalių svarstoma tik keliose pasirenkamosiose klasėse.

Rengdama šį darbą išsikėliau tikslą giliau išnagrinėti šią temą, identifikuojant racionaliausią sprendimą, kuris greitai atveda prie atsakymo. Mano nuomone, grafinis metodas yra patogus ir greitas būdas spręsti lygtis ir nelygybes su parametrais.

Mano rašinyje aptariami dažnai sutinkami lygčių tipai, nelygybės ir jų sistemos, tikiuosi, kad darbo metu įgytos žinios man padės išlaikant mokyklinius egzaminus ir stojant į universitetą.

Nelygybė

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

kur a, b, c, …, k yra parametrai, o x yra tikrasis kintamasis, vadinama nelygybe su vienu nežinomu, kuriame yra parametrai.

Bet kuriai funkcijai parametrų reikšmių sistema a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0

¦(a, b, c, …, k, x) ir

j(a, b, c, …, k, x

turi prasmę realiųjų skaičių srityje, vadinamoje leistinų parametrų reikšmių sistema.

vadinama galiojančia x reikšme if

¦(a, b, c, …, k, x) ir

j(a, b, c, …, k, x

paimkite galiojančias reikšmes bet kuriai leistinai parametrų verčių sistemai.

Visų leistinų x reikšmių rinkinys vadinamas nelygybės apibrėžimo sritimi (1).

Realusis skaičius x0 vadinamas daliniu nelygybės (1) sprendiniu, jei nelygybė

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

galioja bet kuriai leistinų parametrų verčių sistemai.

Visų konkrečių nelygybės (1) sprendinių aibė vadinama bendruoju šios nelygybės sprendiniu.

Nelygybės sprendimas (1) reiškia nurodyti, kokiomis parametrų reikšmėmis egzistuoja bendras sprendimas ir koks jis yra.

Dvi nelygybės

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) ir (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

vadinami lygiaverčiai, jei jie turi tuos pačius bendruosius sprendimus toms pačioms leistinų parametrų reikšmių sistemoms.

Randame šios nelygybės apibrėžimo sritį.

Nelygybę sumažiname į lygtį.

Išreiškiame a kaip x funkciją.

XOa koordinačių sistemoje sudarome funkcijų a =¦ (x) grafikus toms x reikšmėms, kurios yra įtrauktos į šios nelygybės apibrėžimo sritį.

Randame taškų rinkinius, kurie tenkina šią nelygybę.

Panagrinėkime parametro įtaką rezultatui.

Raskime grafikų susikirtimo taškų abscises.

nustatykime tiesę a=const ir perkelkime ją iš -¥ į +¥

Užrašome atsakymą.

Tai tik vienas iš nelygybių su parametrais sprendimo naudojant xOa koordinačių sistemą algoritmų. Galimi ir kiti sprendimo būdai, naudojant standartinę xOy koordinačių sistemą.

§3. Pavyzdžiai

I. Visoms leistinoms parametro a reikšmėms išspręskite nelygybę

Nelygybių sistema apibrėžiamo parametro a apibrėžimo srityje

ši nelygybė yra lygiavertė nelygybių sistemai

Jei , tada pradinės nelygybės sprendiniai užpildo intervalą.

II. Esant kokioms parametro a reikšmėms, sistema turi sprendimą?

Raskime trinalio šaknis kairėje nelygybės pusėje -

(*)

Tiesės, apibrėžtos lygybėmis (*), padalija koordinačių plokštumą aOx į keturias sritis, kurių kiekvienoje yra kvadratinis trinaris

išlaiko pastovų ženklą. (2) lygtis apibrėžia 2 spindulio apskritimą, kurio centras yra taške. Tada pradinės sistemos sprendimas bus šešėlių sankirta

regionas su apskritimu, kur , ir reikšmės bei yra iš sistemos

ir reikšmės ir yra randamos iš sistemos

Išspręsdami šias sistemas, mes tai gauname

III. Išspręskite nelygybę priklausomai nuo parametro a reikšmių.

Priimtinų verčių diapazono radimas –

Sukurkime funkcijos grafiką xOy koordinačių sistemoje.

kai nelygybė neturi sprendimų.

už sprendimas x tenkina santykį , Kur

Atsakymas: Nelygybės sprendimai egzistuoja tada, kai

Kur , o sprendžiant ; sprendžiant .

IV. Išspręskite nelygybę

ODZ arba pertrūkių linijų (asimptotų) radimas

Raskime lygtis funkcijų, kurių grafikus reikia sudaryti UCS; kodėl pereikime prie lygybės:

Suskaičiuokime skaitiklį faktoriais.

nes Tai

Padalinkime abi lygybės puses iš . Bet tai yra sprendimas: kairioji lygties pusė yra lygi dešiniajai ir lygi nuliui ties .

3. Sukuriame UCS xOa funkcijų grafikus

ir sunumeruokite gautas sritis (ašys nevaidina jokio vaidmens). Taip susidarė devyni regionai.

4. Ieškome, kuri iš sričių tinka šiai nelygybei, kuriai iš ploto paimame tašką ir pakeičiame jį į nelygybę.

Aiškumo dėlei padarykime lentelę.

		nelygybė:

5. Raskite grafikų susikirtimo taškus

6. Nustatykime tiesę a=const ir perkelkime iš -¥ į +¥.

adresu

sprendimų nėra

adresu

Bibliografija

Dalingeris V. A. „Geometrija padeda algebrai“. Leidykla „Mokykla – Spauda“. Maskva 1996 m

Dalingeris V. A. „Viskas, kad būtų užtikrinta sėkminga matematikos baigiamųjų ir stojamųjų egzaminų sėkmė“. Omsko pedagoginio universiteto leidykla. Omskas 1995 m

Okunev A. A. „Grafinis lygčių sprendimas su parametrais“. Leidykla „Mokykla – Spauda“. Maskva 1986 m

Pismensky D. T. „Matematika aukštųjų mokyklų studentams“. Leidykla „Iris“. Maskva 1996 m

Yastribinetsky G. A. „Lygtys ir nelygybės su parametrais“. Leidykla „Prosveshcheniye“. Maskva 1972 m

G. Korn ir T. Korn „Matematikos vadovas“. Fizinės ir matematinės literatūros leidykla „Mokslas“. Maskva 1977 m

Amelkinas V.V. ir Rabtsevichas V.L. „Problemos su parametrais“. Leidykla „Asar“. Maskva 1996 m

Savivaldybės autonominė Novtroicko švietimo įstaiga „Licėjus Nr. 1“.

Tyrimas

Lygčių ir nelygybių su parametru sprendimo būdai

Matematinis modeliavimas

Užbaigta:

MOAU 11 A klasės mokinys

„Licėjus Nr. 1“

Prižiūrėtojas:

aukštojo mokslo mokytojas

Novotroickas

Įvadas. 3

Parametras. 5

Trigonometrinių lygčių su parametru sprendimo būdai. 9

Eksponentinių ir logaritminių lygčių ir nelygybių su parametru sprendimo metodai. 17

Lygčių ir nelygybių sistemų sprendimo metodai. 22

Išvada. 31

Naudotos literatūros sąrašas... 32

Įvadas

Lygtys su parametru kelia didelių sunkumų 9-11 klasių mokiniams. Taip yra dėl to, kad sprendžiant tokias lygtis reikia ne tik funkcijų ir lygčių savybių išmanymo, gebėjimo atlikti algebrines transformacijas, bet ir aukštos loginės kultūros bei tyrimo metodų.

Sunkumai Tiriant šio tipo lygtis, jos yra susijusios su šiomis savybėmis:

· formulių ir metodų, naudojamų sprendžiant tokio tipo lygtis, gausa;

· gebėjimas skirtingais būdais išspręsti tą pačią lygtį, kurioje yra parametras.

Aktualumas temas lemia nepakankamas šios temos uždavinių turinys vadovėlyje „Algebra 11 klasė“.

Šios temos svarbą lemia būtinybė tokias lygtis spręsti parametrais tiek laikant Vieningą valstybinį egzaminą, tiek stojant į aukštąsias mokyklas.

Tyrimo objektas: užduotys su parametrais.

Šio darbo tikslas:

Identifikuoti, pagrįsti ir aiškiai parodyti visų tipų lygčių su parametrais sprendimo būdus;

Spręsti lygtis su parametrais;

Gilinti teorines žinias sprendžiant lygtis su parametrais;

Norint pasiekti šį tikslą, būtina išspręsti šiuos dalykus užduotys:

1. Apibrėžkite lygties su parametrais sąvokas;

2. Parodykite lygčių sprendimo būdus su parametrais.

Mano darbo orumas yra tokia: nurodyti lygčių su parametrais sprendimo algoritmai; problemų dažnai randama įvairiuose egzaminuose ir olimpiadose. Darbas padės studentams išlaikyti vieningą valstybinį egzaminą.

Mano veiksmai:

1. Pasirinkti ir studijuoti literatūrą;

2. Spręsti pasirinktas problemas;

Parametras

Yra keletas apibrėžimų parametras:

- Parametras - tai į formules ir išraiškas įtrauktas dydis, kurio reikšmė nagrinėjamos problemos ribose yra pastovi, tačiau kitoje užduotyje jos reikšmės keičiamos (- „Aiškinamasis matematinių terminų žodynas“).

- Kintamieji a, b, c, …, k, kurios laikomos pastoviomis sprendžiant lygtį arba nelygybę, vadinamos parametrai, o pati lygtis (nelygybė) vadinama lygtimi (nelygybe), kurioje yra parametrų (- „Matematikos mokytojas“, Rostovas prie Dono „Feniksas“, 1997).

Daugumos lygčių, kuriose yra parametras, sprendimas yra toks kvadratinės lygtys su parametru. Todėl norint išmokti spręsti eksponentines, logaritmines, trigonometrines lygtis ir lygčių sistemas su parametru, pirmiausia reikia įgyti sprendimo įgūdžių kvadratinės lygtys su parametru.

Formos lygtis kirvis2 + bx+ c=0 , kur x yra nežinomas, a, b, c yra išraiškos, kurios priklauso tik nuo parametrų, a¹0 vadinama kvadratinė lygtis palyginti su x. Atsižvelgsime tik į tas parametrų reikšmes, kurioms galioja a, b, c.

Parametrų valdymo reikšmės

Norint išspręsti kvadratines lygtis su parametru, reikia rasti parametrų valdymo vertės.

Parametrų valdymo reikšmės– tos reikšmės, kurioms esant jis virsta 0:

Pagrindinis lygties arba nelygybės koeficientas;

Vardikliai trupmenomis;

Kvadratinio dvejetainio diskriminantas.

Bendra lygčių, redukuojamų į kvadratines lygtis su parametru, sprendimo schema.

Bendra lygčių, redukuojamų į kvadratines lygtis su parametru, sprendimo schema:

1. Nurodykite ir neįtraukite visas parametro ir kintamojo reikšmes, kurioms esant lygtis netenka prasmės.

2. Padauginkite abi lygties puses iš bendro vardiklio, kuris nėra lygus nuliui.

3. Konvertuokite išvestinę lygtį į formą https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - realieji skaičiai arba parametro funkcijos.

4. Išspręskite gautą lygtį, atsižvelgdami į šiuos atvejus:

A) ; b) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" aukštis="75">х=2b+1

Kadangi x turi būti intervale nuo 1 iki 6, tada:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0

y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0

xвО(1; 6) 1<-<6

bО(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2,5 bÎ(0,5; 3)

bÎ(-∞;2,5)È(3,5;+∞)
bО(1; 2,5)

Atsakymas: x2-4bх+4b2-1=0 lygties šaknys yra intervale nuo