Jei D ilgio atkarpa yra statmena stebėjimo linijai (be to, tai jos vidurinis statmuo) ir yra nutolęs L atstumu nuo stebėtojo, tai tiksli šios atkarpos kampinio dydžio formulė yra: . Jei kūno D dydis yra mažas, palyginti su atstumu nuo stebėtojo L, tai kampinis dydis (radianais) nustatomas pagal santykį D/L, nes esant mažiems kampams. Kūnui tolstant nuo stebėtojo (L didėja), kūno kampinis dydis mažėja.
Kampinio dydžio sąvoka labai svarbi geometrinėje optikoje, o ypač regėjimo organo – akies atžvilgiu. Akis gali tiksliai užregistruoti objekto kampinį dydį. Jo tikrąjį linijinį dydį nustato smegenys, įvertindamos atstumą iki objekto ir palygindamos su kitais jau žinomais kūnais.
Astronomijoje
Astronominio objekto kampinis dydis, žiūrint iš Žemės, paprastai vadinamas kampinis skersmuo arba matomas skersmuo. Dėl visų objektų nutolimo planetų ir žvaigždžių kampiniai skersmenys yra labai maži ir matuojami lanko minutėmis (′) ir sekundėmis (″). Pavyzdžiui, vidutinis tariamas Mėnulio skersmuo yra 31′05″ (dėl Mėnulio orbitos elipsės kampinis dydis svyruoja nuo 29′24″ iki 33′40″). Vidutinis Saulės skersmuo yra 31′59″ (kinta nuo 31′27″ iki 32′31″). Tariamasis žvaigždžių skersmuo yra labai mažas, tik keletui šviesulių siekia kelias šimtąsias sekundės dalis.
taip pat žr
Wikimedia fondas. 2010 m.
Pažiūrėkite, kas yra „kampinis skersmuo“ kituose žodynuose:
KAMPINIS SKERSMENS, astronomijoje, regimasis dangaus kūno skersmuo, išreiškiamas kampiniais matais (dažniausiai lanko laipsniais ir minutėmis). Tai kampas, kurio viršus yra stebėtojo akis, o pagrindas yra matomas stebimo kūno skersmuo. Jei žinai... ... Mokslinis ir techninis enciklopedinis žodynas
kampinis skersmuo- - [A.S. Goldbergas. Anglų rusų energetikos žodynas. 2006] Temos energija apskritai EN kampinis skersmuo …
Tariamasis daikto skersmuo, matuojamas kampiniais vienetais, t.y. radianais, laipsniais, lanko minutėmis arba sekundėmis. Kampinis skersmuo priklauso ir nuo tikrojo skersmens, ir nuo atstumo iki objekto... Astronomijos žodynas
kampinis skersmuo- kampinis skersmuo statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. kampinis skersmuo; tariamas skersmuo vok. scheinbare Durchmesser, m; Winkeldurchmesser, m rus. tariamasis skersmuo, m; kampinis skersmuo, m pranc. kampinis skersmuo, m; skersmuo akivaizdus, m … Fizikos terminų žodynas
imtuvo kampinis skersmuo- (η2) Kampas, kuriame stebimas didžiausias imtuvo matomos srities dydis nuo pradinio centro (β1 = β2 = 0°). [GOST R 41.104 2002] Variklinių transporto priemonių temos ... Techninis vertėjo vadovas
atspindinčio pavyzdžio kampinis skersmuo- (η1) Kampas, kuriame stebimas didžiausias atspindinčio pavyzdžio matomos srities dydis arba iš šviesos šaltinio centro, arba nuo imtuvo centro (β1 = β2 = 0°). [GOST R 41.104 2002] Variklinių transporto priemonių temos ... Techninis vertėjo vadovas
imtuvo kampinis skersmuo (η 2)- 2.4.3 imtuvo kampinis skersmuo (η2): kampas, kuriame stebimas didžiausias imtuvo matomo ploto matmuo nuo atskaitos centro (b1 = b2 = 0°). Šaltinis …
atspindinčio pavyzdžio kampinis skersmuo (η 1)- 2.4.2 kampinis šviesą atspindinčio bandinio skersmuo (η1): kampas, kuriuo didžiausias matomas šviesą atspindinčio bandinio plotas stebimas arba iš šviesos šaltinio centro, arba iš imtuvo centro (b1 = b2 = 0°). Šaltinis … Norminės ir techninės dokumentacijos terminų žodynas-žinynas
Pradine prasme tai yra atkarpa, jungianti du apskritimo taškus ir einanti per apskritimo centrą, taip pat šios atkarpos ilgis. Skersmuo lygus dviem spinduliams. Turinys 1 Geometrinių figūrų skersmuo ... Vikipedija
Šių šviestuvų matomo disko skersmuo, išreikštas kampu. Žinant matomą skersmenį ir atstumą nuo Žemės, nesunku apskaičiuoti tikrąjį žvaigždžių dydį. Kampinis skersmuo kinta priklausomai nuo atstumo, o kadangi visi šviestuvų judesiai yra santykiniai ... Enciklopedinis žodynas F.A. Brockhausas ir I.A. Efronas
Mėnulis yra didžiausias objektas naktiniame danguje. Senovės graikai sugebėjo apytiksliai apskaičiuoti mėnulio skersmenį.
- penktas pagal dydį natūralus Saulės sistemos palydovas, savo dydžiu nusileidžiantis tik trims Jupiterio ir vienam Saturno palydovams. Mėnulis yra tik šiek tiek mažesnis už Merkurijų, mažiausią iš planetų, ir perpus mažesnis už Marsą. Pagal savo planetos dydį Mėnulis užima pirmąją vietą tarp palydovų.
Matmenys
Dėl sukimosi aplink ašį jis ties ašigaliais yra šiek tiek „suplotas“, jo skersmuo ties ašigaliais siekia 3471,94 km, o ties pusiauju – 3476,28 km, tai yra maždaug ketvirtadalis žemės skersmens. Kadangi mūsų palydovas yra sferinės formos, galima skaičiuoti ir kitus geometrinius matmenis: Mėnulio pusiaujo ilgis 10920 km, mūsų palydovo tūris – 1/50 žemės, o paviršiaus plotas 13 kartų mažesnis už Žemės. .
Kampinis skersmuo
Kadangi Mėnulio orbita yra elipsė, Mėnulio kampinis skersmuo svyruoja nuo 33'40" artimiausiame taške, apogėjuje, iki 29'24" tolimiausiame taške, perigėjuje. Kai yra žemai horizonte, jis atrodo didesnis nei zenite dėl optinės iliuzijos, kuri dar turi būti paaiškinta. Palydovo kampiniai matmenys beveik sutampa su kampiniais matmenimis, todėl galimi visiški saulės užtemimai, kai mėnulio diskas visiškai uždengia saulę.
Kaip išmatuota
Pirmasis mėnulio skersmenį bandė nustatyti Aristarchas iš Samos III amžiuje prieš Kristų. e. remiantis matavimais, atliktais saulės užtemimo metu, ir vėlesniais skaičiavimais, pagrįstais euklido geometrija. Dėl matavimo paklaidos skaičiavimai pasirodė netikslūs. Po šimto metų
Dangus virš galvos yra seniausias geometrijos vadovėlis. Iš ten kyla pirmosios sąvokos, tokios kaip taškas ir apskritimas. Greičiau net ne vadovėlis, o probleminė knyga. Kuriame nėra puslapio su atsakymais. Du vienodo dydžio apskritimai – Saulė ir Mėnulis – juda dangumi, kiekvienas savo greičiu. Likę objektai – šviečiantys taškai – juda visi kartu, tarsi būtų pritvirtinti prie sferos, besisukančios 1 apsisukimo per 24 valandas greičiu. Tiesa, tarp jų yra išimčių – 5 taškai juda kaip nori. Jie pasirinko jiems ypatingą žodį – „planeta“, graikiškai – „valkata“. Kol žmonija egzistavo, ji bandė išnarplioti šio amžino judėjimo dėsnius. Pirmasis lūžis įvyko III amžiuje prieš Kristų, kai graikų mokslininkai, perėmę jauną mokslą – geometriją, sugebėjo gauti pirmuosius rezultatus apie Visatos sandarą. Tai bus aptarta.
Norėdami suprasti užduoties sudėtingumą, apsvarstykite šį pavyzdį. Įsivaizduokite šviečiantį 10 cm skersmens rutulį, nejudantį erdvėje. Pavadinkime S. Aplink jį, kiek daugiau nei 10 metrų atstumu, sukasi mažas kamuoliukas Z 1 mm skersmens ir aplink Z 6 cm atstumu cirkuliuoja labai mažytis rutuliukas L jo skersmuo yra ketvirtis milimetro. Vidurinio rutulio paviršiuje Z gyvena mikroskopiniai padarai. Jie turi tam tikrą protą, bet negali palikti savo kamuolio ribų. Viskas, ką jie gali padaryti, tai pažvelgti į kitus du kamuoliukus - S Ir L. Kyla klausimas, ar jie gali žinoti šių kamuoliukų skersmenis ir išmatuoti atstumus iki jų? Kad ir kiek galvotum, atrodytų, kad byla beviltiška. Mes nubraižėme labai sumažintą saulės sistemos modelį ( S- Saulė, Z-Žemė, L- Mėnulis).
Tai yra iššūkis, su kuriuo susidūrė senovės astronomai. Ir jie tai išsprendė! Daugiau nei prieš 22 šimtmečius, naudojant tik elementariausią geometriją - 8 klasės lygiu (tiesės ir apskritimo savybės, panašūs trikampiai ir Pitagoro teorema). Ir, žinoma, stebėti Mėnulį ir Saulę.
Keli mokslininkai dirbo ties sprendimu. Išskirsime du. Tai matematikas Eratostenas, išmatavęs Žemės rutulio spindulį, ir astronomas Aristarchas, apskaičiavęs Mėnulio, Saulės dydį ir atstumus iki jų. Kaip jiems tai pavyko?
Kaip buvo išmatuotas Žemės rutulys
Tai, kad Žemė nėra plokščia, žmonės žinojo seniai. Senovės navigatoriai stebėjo, kaip žvaigždėto dangaus vaizdas pamažu keičiasi: matomi nauji žvaigždynai, o kiti, priešingai, išeina už horizonto. Į tolį plaukiantys laivai „panyra po vandeniu“, paskutiniai iš akių dingsta jų stiebų viršūnės. Kas pirmasis pasiūlė Žemės sferiškumo idėją, nežinoma. Greičiausiai – pitagoriečiai, kurie kamuolį laikė tobuliausia iš figūrų. Po pusantro šimtmečio Aristotelis pateikia keletą įrodymų, kad Žemė yra sfera. Pagrindinis: Mėnulio užtemimo metu Mėnulio paviršiuje aiškiai matomas šešėlis nuo Žemės, o šis šešėlis yra apvalus! Nuo tada nuolat buvo bandoma išmatuoti Žemės rutulio spindulį. 1 ir 2 pratybose aprašyti du paprasti metodai. Tačiau matavimai buvo netikslūs. Pavyzdžiui, Aristotelis klydo daugiau nei pusantro karto. Manoma, kad pirmasis žmogus, labai tiksliai tai padaręs, buvo graikų matematikas Eratostenas Kirėnietis (276–194 m. pr. Kr.). Jo vardas dabar visiems žinomas dėka Eratosteno sietas pirminių skaičių paieškos būdas (1 pav.).
Jei išbraukiate vieną iš natūraliosios serijos, tada išbraukite visus lyginius skaičius, išskyrus pirmąjį (pats skaičius 2), tada visus skaičius, kurie yra trijų kartotiniai, išskyrus pirmąjį iš jų (skaičius 3) ir pan. dėl to liks tik pirminiai skaičiai . Eratostenas tarp savo amžininkų garsėjo kaip didžiausias mokslininkas ir enciklopedistas, užsiėmęs ne tik matematika, bet ir geografija, kartografija, astronomija. Ilgą laiką jis vadovavo to meto pasaulio mokslo centrui – Aleksandrijos bibliotekai. Kurdamas pirmąjį Žemės atlasą (žinoma, tai buvo apie tą dalį, kuri buvo žinoma iki tol), jis nusprendė tiksliai išmatuoti Žemės rutulį. Idėja buvo tokia. Aleksandrijoje visi žinojo, kad pietuose, Sienos mieste (dabartinis Asuanas), vieną dieną per metus, vidurdienį, Saulė pasiekia savo zenitą. Šešėlis nuo vertikalaus stulpo išnyksta, šulinio dugnas apšviečiamas keletą minučių. Tai vyksta vasaros saulėgrįžos dieną, birželio 22-ąją – aukščiausios Saulės padėties danguje dieną. Eratostenas išsiunčia savo padėjėjus į Sieną, ir jie nustato, kad lygiai vidurdienį (pagal saulės laikrodį) Saulė yra tiksliai savo zenite. Tuo pačiu metu (kaip rašoma pirminiame šaltinyje: „tą pačią valandą“), t.y., vidurdienį pagal saulės laikrodį, Eratostenas matuoja šešėlio ilgį nuo vertikalaus ašigalio Aleksandrijoje. Pasirodė trikampis ABC (AC- šeši, AB- šešėlis, pav. 2).
Taigi, saulės spindulys Sienoje ( N) yra statmenas Žemės paviršiui, vadinasi, eina per savo centrą – tašką Z. Jam lygiagreti spindulys Aleksandrijoje ( BET) sudaro kampą γ = ACB su vertikalia. Naudodami kryžminių lygiagrečių kampų lygybę, darome išvadą AZN= γ. Jei žymima l perimetras, ir per X jo lanko ilgis AN, tada gauname proporciją . Kampas γ trikampyje ABC Eratostenas išmatavo, pasirodė 7,2 °. Vertė X - nieko daugiau, tik kelio nuo Aleksandrijos iki Sienos ilgis, apie 800 km. Eratostenas jį tiksliai apskaičiuoja, remdamasis vidutiniu kupranugarių karavanų, kurie reguliariai keliavo tarp dviejų miestų, kelionės laiku, taip pat naudodamasis duomenimis. Bematistai - specialios profesijos žmonių, atstumus matavusių žingsniais. Dabar belieka išspręsti proporciją, gauti apskritimą (t. y. žemės dienovidinio ilgį) l= 40000 km. Tada žemės spindulys R lygus l/(2π), tai yra maždaug 6400 km. Tai, kad žemės dienovidinio ilgis išreiškiamas tokiu apvaliu 40 000 km skaičiumi, nenuostabu, jei prisiminsime, kad 1 metro ilgio vienetas buvo įvestas (Prancūzijoje XVIII a. pabaigoje) kaip vienas keturiasdešimt. milijonoji Žemės apskritimo dalis (pagal apibrėžimą!). Eratostenas, žinoma, naudojo kitą matavimo vienetą - etapai(apie 200 m). Buvo keli etapai: egiptiečių, graikų, babiloniečių, o kurį iš jų naudojo Eratostenas, nežinoma. Todėl sunku tiksliai spręsti apie jo matavimo tikslumą. Be to, neišvengiama klaida įvyko dėl dviejų miestų geografinės padėties. Eratostenas samprotavo taip: jei miestai yra tame pačiame dienovidiniame (t. y. Aleksandrija yra tiksliai į šiaurę nuo Sjenės), tai vidurdienis juose būna tuo pačiu metu. Todėl kiekviename mieste atlikę matavimus aukščiausios Saulės padėties metu, turėtume gauti teisingą rezultatą. Tačiau iš tikrųjų Aleksandrija ir Siena toli gražu nėra viename dienovidiniame. Dabar tuo nesunku įsitikinti žiūrint į žemėlapį, tačiau Eratostenas tokios galimybės neturėjo, jis tiesiog dirbo kurdamas pirmuosius žemėlapius. Todėl jo metodas (visiškai teisingas!) lėmė klaidą nustatant Žemės spindulį. Tačiau daugelis tyrinėtojų yra įsitikinę, kad Eratosteno matavimo tikslumas buvo didelis ir kad jis klydo mažiau nei 2%. Šį rezultatą žmonija sugebėjo pagerinti tik po 2 tūkstančių metų, XIX amžiaus viduryje. Prie to dirbo grupė mokslininkų Prancūzijoje ir V. Ya. Struvės ekspedicija Rusijoje. Net ir didelių geografinių atradimų eroje, XVI amžiuje, žmonės negalėjo pasiekti Eratosteno rezultato ir naudojo neteisingą 37 000 km žemės apskritimo vertę. Nei Kolumbas, nei Magelanas nežinojo, kokie yra tikrieji Žemės matmenys ir kokius atstumus jiems teks įveikti. Jie manė, kad pusiaujo ilgis buvo 3000 km mažesnis nei buvo iš tikrųjų. Jei būtų žinoję, gal nebūtų plaukę.
Kokia yra tokio didelio Eratosteno metodo tikslumo priežastis (žinoma, jei jis teisingai naudojo etapas)? Prieš jį išmatavimai buvo vietinis, ant žmogaus akimi matomi atstumai, t.y. ne didesni kaip 100 km. Tokie, pavyzdžiui, yra 1 ir 2 pratimų metodai. Tokiu atveju neišvengiamos klaidos dėl reljefo, atmosferos reiškinių ir kt. Norint pasiekti didesnį tikslumą, reikia atlikti matavimus. visame pasaulyje, atstumais, panašiais į Žemės spindulį. 800 km atstumas tarp Aleksandrijos ir Sienos pasirodė visiškai pakankamas.
Pratimai
1. Kaip apskaičiuoti Žemės spindulį pagal šiuos duomenis: nuo 500 m aukščio kalno kaimynystė matoma 80 km atstumu?
2. Kaip apskaičiuoti Žemės spindulį iš šių duomenų: 20 m aukščio laivas, nuplaukęs 16 km nuo kranto, visiškai dingsta iš akių?
3. Du draugai – vienas Maskvoje, kitas – Tuloje, paima metro ilgio stulpą ir pastato vertikaliai. Šiuo metu, dieną, kai stulpo šešėlis pasiekia mažiausią ilgį, kiekvienas iš jų matuoja šešėlio ilgį. Tai atsitiko Maskvoje bet cm, o Tuloje - bžr. Išreikškite Žemės spindulį bet Ir b. Miestai išsidėstę tame pačiame dienovidiniame 185 km atstumu.
Kaip matyti iš 3 pratimo, Eratosteno eksperimentą galima atlikti ir mūsų platumose, kur Saulė niekada nėra savo zenite. Tiesa, tam reikia dviejų taškų būtinai tame pačiame dienovidiniame. Jei pakartosime Eratosteno patirtį Aleksandrijai ir Sienai ir tuo pačiu metu šiuose miestuose atliksime matavimus (dabar tam yra techninės galimybės), tada gausime teisingą atsakymą ir tai nebus svarbu. kuris dienovidinis yra Siena (kodėl?).
Kaip buvo išmatuotas Mėnulis ir Saulė. Trys Aristarcho žingsniai
Graikijos Samos sala Egėjo jūroje dabar yra atoki provincija. Keturiasdešimties kilometrų ilgio, aštuonių kilometrų pločio. Šioje mažutėje saloje skirtingu laiku gimė trys didžiausi genijai – matematikas Pitagoras, filosofas Epikūras ir astronomas Aristarchas. Mažai žinoma apie Aristarcho iš Samos gyvenimą. Gyvenimo datos apytikslės: gimė apie 310 m. pr. Kr., mirė apie 230 m. Nežinome, kaip jis atrodė, neišliko nei vieno atvaizdo (modernus paminklas Aristarchui Graikijos mieste Salonikuose tėra skulptoriaus fantazija). Daug metų praleido Aleksandrijoje, kur dirbo bibliotekoje ir observatorijoje. Pagrindinis jo pasiekimas – knyga „Apie Saulės ir Mėnulio dydžius ir atstumus“, – vieninga istorikų nuomone, tikras mokslinis žygdarbis. Jame jis apskaičiuoja Saulės spindulį, Mėnulio spindulį ir atstumus nuo Žemės iki Mėnulio ir iki Saulės. Jis tai padarė vienas, naudodamas labai paprastą geometriją ir gerai žinomus Saulės ir Mėnulio stebėjimų rezultatus. Aristarchas tuo nesustoja, jis daro keletą svarbių išvadų apie Visatos sandarą, kurios gerokai lenkia savo laiką. Neatsitiktinai jis vėliau buvo vadinamas „senovės Koperniku“.
Aristarcho skaičiavimą galima sąlygiškai suskirstyti į tris etapus. Kiekvienas žingsnis sumažinamas iki paprastos geometrinės problemos. Pirmieji du žingsniai yra gana elementarūs, trečiasis yra šiek tiek sudėtingesnis. Geometrinėse konstrukcijose žymėsime Z, S Ir L atitinkamai Žemės, Saulės ir Mėnulio centrai ir per R, Rs Ir Rl yra jų spinduliai. Visus dangaus kūnus laikysime rutuliais, o jų orbitas – apskritimais, kaip manė pats Aristarchas (nors, kaip dabar žinome, tai nėra visiškai tiesa). Pradedame nuo pirmojo žingsnio ir tam šiek tiek stebėsime mėnulį.
1 veiksmas. Kiek kartų toliau Saulė nei Mėnulis?
Kaip žinote, mėnulis šviečia atsispindėjusia saulės šviesa. Jei paimsite kamuolį ir apšviesite jį iš šono dideliu prožektoriumi, tada bet kurioje padėtyje bus apšviesta lygiai pusė rutulio paviršiaus. Apšviesto pusrutulio riba yra apskritimas, esantis plokštumoje, statmenoje šviesos spinduliams. Taigi Saulė visada apšviečia lygiai pusę Mėnulio paviršiaus. Mėnulio forma, kurią matome, priklauso nuo to, kaip yra ši apšviesta pusė. At jaunatis Kai Mėnulio danguje visai nesimato, Saulė apšviečia tolimąją jo pusę. Tada apšviestas pusrutulis pamažu pasisuka į Žemę. Mes pradedame matyti ploną pjautuvą, tada mėnesį („augantis mėnulis“), tada puslankiu (ši mėnulio fazė vadinama „kvadratu“). Tada diena iš dienos (tiksliau, naktis iš nakties) puslankis auga iki pilnaties. Tada prasideda atvirkštinis procesas: apšviestas pusrutulis nusisuka nuo mūsų. Mėnulis „sensta“, pamažu virsdamas mėnesiu, atsisuko į mus savo kairiuoju šonu, kaip raidė „C“, ir galiausiai dingsta jaunaties naktį. Laikotarpis nuo vieno jaunaties iki kito trunka maždaug keturias savaites. Per tą laiką Mėnulis atlieka visišką revoliuciją aplink Žemę. Nuo jaunaties iki pusės mėnulio praeina ketvirtadalis laikotarpio, iš čia ir kilęs pavadinimas „kvadratavimas“.
Nuostabus Aristarcho spėjimas buvo tas, kad kvadratūros metu saulės spinduliai, apšviečiantys pusę Mėnulio, yra statmeni tiesei, jungiančiai Mėnulį su Žeme. Taigi trikampyje ZLS viršūnės kampas L- tiesus (3 pav.). Jei dabar išmatuosime kampą LZS, pažymime jį α, tada gauname, kad = cos α. Paprastumo dėlei darome prielaidą, kad stebėtojas yra Žemės centre. Tai neturės didelės įtakos rezultatui, nes atstumai nuo Žemės iki Mėnulio ir Saulės yra daug didesni už Žemės spindulį. Taigi, išmatavus kampą α tarp spindulių ZL Ir ZS kvadratūros metu Aristarchas apskaičiuoja atstumų santykį iki Mėnulio ir Saulės. Kaip vienu metu danguje pagauti Saulę ir Mėnulį? Tai galima padaryti anksti ryte. Sunkumai kyla dėl kitos, netikėtos priežasties. Aristarcho laikais kosinusų nebuvo. Pirmosios trigonometrijos sąvokos pasirodys vėliau, Apolonijaus ir Archimedo darbuose. Tačiau Aristarchas žinojo, kas yra panašūs trikampiai, ir to pakako. Mažo stačiojo trikampio piešimas Z"L"S su tuo pačiu smailiuoju kampu α = L"Z"S" ir matuojant jo puses, mes nustatome, kad , Ir šis santykis yra maždaug lygus 1/400.
2 žingsnis. Kiek kartų Saulė yra didesnė už Mėnulį?
Norėdamas rasti Saulės ir Mėnulio spindulių santykį, Aristarchas naudoja saulės užtemimus (4 pav.). Jie atsiranda, kai mėnulis užstoja saulę. Su daliniu arba, kaip sako astronomai, privatus, užtemimo metu Mėnulis tik prasilenkia per Saulės diską, jo visiškai neuždengdamas. Kartais tokio užtemimo net negalima pamatyti plika akimi, Saulė šviečia kaip įprastą dieną. Tik per stipriai patamsėjusį, pavyzdžiui, rūkytą stiklą, matyti, kaip dalį saulės disko dengia juodas apskritimas. Daug rečiau visiškas užtemimas įvyksta, kai Mėnulis kelioms minutėms visiškai uždengia Saulės diską.
Šiuo metu tamsu, danguje pasirodo žvaigždės. Užtemimai gąsdino senovės žmones, buvo laikomi tragedijų pranašais. Saulės užtemimas įvairiose Žemės vietose stebimas įvairiais būdais. Visiško užtemimo metu Žemės paviršiuje atsiranda šešėlis iš Mėnulio – apskritimas, kurio skersmuo neviršija 270 km. Tik tuose Žemės rutulio regionuose, per kuriuos praeina šis šešėlis, galima stebėti visišką užtemimą. Todėl toje pačioje vietoje visiškas užtemimas įvyksta itin retai – vidutiniškai kartą per 200–300 metų. Aristarchui pasisekė – jis sugebėjo savo akimis stebėti visišką Saulės užtemimą. Be debesų danguje Saulė pamažu ėmė blėsti ir mažėti, atėjo prieblanda. Keletą akimirkų saulė dingo. Tada pasirodė pirmasis šviesos spindulys, pradėjo augti saulės diskas ir netrukus Saulė nušvito visa jėga. Kodėl užtemimas trunka taip trumpai? Aristarchas atsako: priežastis ta, kad Mėnulis turi tokius pačius matomus matmenis danguje kaip ir Saulė. Ką tai reiškia? Nubrėžkime plokštumą per Žemės, Saulės ir Mėnulio centrus. Gautas skyrius parodytas 5 paveiksle a. Kampas tarp liestinių, nubrėžtų iš taško Zį mėnulio perimetrą vadinamas kampinis dydis mėnulis arba ji kampinis skersmuo. Taip pat nustatomas kampinis Saulės dydis. Jei Saulės ir Mėnulio kampiniai skersmenys yra vienodi, tai jų matomas dydis danguje yra vienodas, o užtemimo metu Mėnulis tikrai visiškai užstoja Saulę (5 pav. b), bet tik akimirką, kai spinduliai sutampa ZL Ir ZS. Visiško saulės užtemimo nuotraukoje (žr. 4 pav.) aiškiai matyti dydžių lygybė.
Aristarcho išvada pasirodė nuostabiai tiksli! Iš tikrųjų vidutiniai Saulės ir Mėnulio kampiniai skersmenys skiriasi tik 1,5%. Esame priversti kalbėti apie vidutinius skersmenis, nes per metus jie keičiasi, nes planetos juda ne apskritimais, o elipsėmis.
Žemės centro sujungimas Z su saulės centrais S ir mėnulis L, taip pat su prisilietimo taškais R Ir K, gauname du stačiuosius trikampius ZSP Ir ZLQ(žr. 5 pav a). Jie yra panašūs, nes turi porą lygių smailių kampų β/2. Vadinasi, 
. Šiuo būdu, Saulės ir Mėnulio spindulių santykis yra lygus atstumų nuo jų centrų iki Žemės centro santykiui. Taigi, Rs/Rl= κ = 400. Nepaisant to, kad jų tariami dydžiai yra vienodi, Saulė pasirodė esanti 400 kartų didesnė už Mėnulį!
Mėnulio ir Saulės kampinių dydžių lygybė yra laimingas sutapimas. Tai neišplaukia iš mechanikos dėsnių. Daugelis Saulės sistemos planetų turi palydovus: Marsas – du, Jupiteris – keturis (ir kelios dešimtys mažesnių), ir visos jos turi skirtingus kampinius dydžius, kurie nesutampa su Saulės.
Dabar pereiname prie lemiamo ir sunkiausio žingsnio.
3 žingsnis. Saulės ir Mėnulio dydžių ir atstumų apskaičiavimas
Taigi, mes žinome Saulės ir Mėnulio dydžių santykį bei atstumų nuo Žemės santykį. Ši informacija giminaitis: atkuria supančio pasaulio vaizdą tik iki panašumo. Galite pašalinti Mėnulį ir Saulę nuo Žemės 10 kartų, padidindami jų dydį tuo pačiu koeficientu, ir vaizdas, matomas iš Žemės, išliks toks pat. Norint sužinoti tikruosius dangaus kūnų dydžius, būtina juos susieti su kokiu nors žinomu dydžiu. Tačiau iš visų astronominių dydžių Aristarchas vis dar žino tik Žemės rutulio spindulį R= 6400 km. Ar tai padės? Ar Žemės spindulys atsiranda kokiame nors iš matomų danguje vykstančių reiškinių? Neatsitiktinai sakoma „dangus ir žemė“, o tai reiškia du nesuderinamus dalykus. Ir vis dėlto toks reiškinys egzistuoja. Tai Mėnulio užtemimas. Jos pagalba, naudodamas gana išradingą geometrinę konstrukciją, Aristarchas apskaičiuoja Saulės spindulio ir Žemės spindulio santykį, ir grandinė užsidaro: dabar vienu metu randame Mėnulio spindulį, Saulės spindulį ir Saulės spindulį. tuo pačiu metu atstumai nuo Mėnulio ir nuo Saulės iki Žemės.
Mėnulio užtemimo metu Mėnulis patenka į Žemės šešėlį. Pasislėpęs už Žemės, Mėnulis netenka saulės šviesos, todėl nustoja šviesti. Jis visiškai neišnyksta iš akių, nes nedidelė saulės šviesos dalis yra išsklaidyta Žemės atmosferoje ir pasiekia Mėnulį, aplenkdama Žemę. Mėnulis tamsėja, įgauna rausvą atspalvį (per atmosferą geriausiai prasiskverbia raudoni ir oranžiniai spinduliai). Tuo pačiu metu Mėnulio diske aiškiai matomas šešėlis iš Žemės (6 pav.). Apvali šešėlio forma dar kartą patvirtina Žemės sferiškumą. Aristarchas domėjosi šio šešėlio dydžiu. Norint nustatyti žemės šešėlio apskritimo spindulį (tai padarysime iš nuotraukos 6 pav.), pakanka išspręsti paprastą pratimą.
4 pratimas Plokštumoje pateiktas apskritimo lankas. Naudodami kompasą ir tiesiąją briauną, sukurkite linijos atkarpą, lygią jos spinduliui.
Baigę statybas matome, kad žemės šešėlio spindulys yra maždaug du kartus didesnis už mėnulio spindulį. Dabar pereikime prie 7 paveikslo. Žemės šešėlio sritis, į kurią Mėnulis patenka užtemimo metu, yra pilka. Tarkime, kad apskritimų centrai S, Z Ir L guli ant tos pačios linijos. Nubrėžkime mėnulio skersmenį M 1 M 2, statmena linijai LS.Šio skersmens tęsinys taškuose kerta bendruosius Saulės ir Žemės liestinės apskritimus D 1 ir D 2. Tada segmentas D 1 D 2 yra maždaug lygus Žemės šešėlio skersmeniui. Priėjome kitą problemą.
1 užduotis. Duoti trys apskritimai su centrais S, Z Ir L guli ant tos pačios tiesios linijos. Skyrius D 1 D 2 praeina L, statmena linijai SL, o jo galai guli ant bendrųjų išorinių pirmojo ir antrojo apskritimų liestinių. Yra žinoma, kad segmento santykis D 1 D 2 iki trečiojo apskritimo skersmens yra lygus t, o pirmojo ir trečiojo apskritimų skersmenų santykis yra ZS/ZL= κ. Raskite pirmojo ir antrojo apskritimų skersmenų santykį.
Jei išspręsite šią problemą, bus rastas Saulės ir Žemės spindulių santykis. Tai reiškia, kad bus rastas Saulės spindulys, o kartu ir Mėnulio spindulys. Tačiau to neįmanoma išspręsti. Galite pabandyti – užduočiai trūksta vienos duotos. Pavyzdžiui, kampas tarp bendrųjų išorinių pirmųjų dviejų apskritimų liestinių. Bet net jei šis kampas būtų žinomas, sprendime būtų naudojama trigonometrija, kurios Aristarchas nežinojo (atitinkamą uždavinį formuluojame 6 užduotyje). Jis randa lengvesnį būdą. Nubrėžkime skersmenį A 1 A 2 pirmasis apskritimas ir skersmuo B 1 B 2 antrasis – abu lygiagrečiai segmentui D 1 D 2 . Leisti būti C 1 ir NUO 2 - atkarpos susikirtimo taškai D 1 D 2 su tiesiais A 1 B 1 Ir BET 2 IN 2 atitinkamai (8 pav.). Tada kaip žemės šešėlio skersmenį imame segmentą C 1 C 2 vietoj segmento D 1 D 2. Sustok, sustok! Ką reiškia „paimti vieną segmentą vietoj kito“? Jie nėra lygūs! Skyrius C 1 C 2 yra segmento viduje D 1 D 2 reiškia C 1 C 2 <D 1 D 2. Taip, segmentai yra skirtingi, bet jie beveik lygus. Faktas yra tas, kad atstumas nuo Žemės iki Saulės yra daug kartų didesnis už Saulės skersmenį (apie 215 kartų). Todėl atstumas ZS tarp pirmojo ir antrojo apskritimų centrų gerokai viršija jų skersmenis. Tai reiškia, kad kampas tarp bendrų išorinių šių apskritimų liestinių yra artimas nuliui (realiai yra apie 0,5°), t.y. liestinės yra „beveik lygiagrečios“. Jei jie buvo lygiagrečiai, tada taškai A 1 ir B 1 sutaptų su sąlyčio taškais, todėl taškas C 1 atitiktų D 1 ir C 2 s D 2, o tai reiškia C 1 C 2 =D 1 D 2. Taigi pjūviai C 1 C 2 ir D 1 D 2 yra beveik vienodi. Intuicija Aristarchui neapsiriko ir čia: iš tiesų skirtumas tarp atkarpų ilgių nesiekia nė šimtosios procento! Tai niekis, palyginti su galimomis matavimo paklaidomis. Pašalinę papildomas eilutes, įskaitant apskritimus ir jų bendras liestines, pasiekiame tokią problemą.
1 užduotis". Trapecijos šonuose BET 1 BET 2 NUO 2 NUO Paimtas 1 taškas B 1 ir IN 2 taip, kad supjaustyti IN 1 IN 2 yra lygiagreti pagrindams. Leisti būti S, Z u L- atkarpų vidurio taškai BET 1 BET 2 , B 1 B 2 ir C 1 C 2 atitinkamai. Pagrįstas C 1 C 2 yra segmentas M 1 M 2 su viduriu L. Yra žinoma, kad
Ir . Rasti BET 1 BET 2 /B 1 B 2 .
Sprendimas. Nuo tada , taigi ir trikampiai A 2 SZ Ir M 1 LZ panašus su koeficientu SZ/LZ= κ. Vadinasi, A 2 SZ= M 1 LZ, taigi esmė Z guli ant linijos M 1 A 2 .
Taip pat, Z guli ant linijos M 2 BET 1
(9 pav.). Nes C 1 C 2 = t M 1 M 2
Ir 
, tada.
Vadinasi,
Iš kitos pusės,
Reiškia, 
. Iš šios lygybės iš karto gauname, kad .
Taigi, Saulės ir Žemės skersmenų santykis yra lygus, o Mėnulio ir Žemės – lygūs.
Pakeičiant žinomus dydžius κ = 400 ir t= 8/3, gauname, kad Mėnulis yra maždaug 3,66 karto mažesnis už Žemę, o Saulė yra 109 kartus didesnis už Žemę. Kadangi žemės spindulys Ržinome, randame mėnulio spindulį Rl= R/3,66 ir Saulės spindulys Rs= 109R.
Dabar atstumai nuo Žemės iki Mėnulio ir iki Saulės skaičiuojami vienu žingsniu, tai galima padaryti naudojant kampinį skersmenį. Saulės ir Mėnulio kampinis skersmuo β yra maždaug pusė laipsnio (tiksliau 0,53°). Kaip tai išmatavo senovės astronomai, apie tai kalbėsime toliau. Tangento nuleidimas ZQ ant mėnulio apskritimo gauname stačią trikampį ZLQ su smailiu kampu β/2 (10 pav.).
Iš jo randame 
, kuris yra maždaug lygus 215 Rl arba 62 R. Panašiai atstumas iki Saulės yra 215 Rs = 23 455R.
Viskas. Surandami Saulės ir Mėnulio dydžiai bei atstumai iki jų.
Pratimai
5. Įrodykite, kad linijos A 1 B 1 , A 2 B 2 ir dvi bendros išorinės pirmojo ir antrojo apskritimų liestinės (žr. 8 pav.) susikerta viename taške.
6. Išspręskite 1 uždavinį, jei papildomai žinote kampą tarp liestinių tarp pirmojo ir antrojo apskritimų.
7. Saulės užtemimas gali būti stebimas kai kuriose Žemės rutulio dalyse, o kitose - ne. O Mėnulio užtemimas?
8. Įrodykite, kad saulės užtemimą galima stebėti tik per jaunatį, o Mėnulio užtemimą galima stebėti tik per pilnatį.
9. Kas nutinka Mėnulyje, kai Žemėje įvyksta Mėnulio užtemimas?
Apie klaidų naudą
Tiesą sakant, viskas buvo šiek tiek sudėtingiau. Geometrija dar tik formavosi, o daugelis dalykų, mums pažįstamų nuo aštuntos klasės, tuo metu nebuvo visiškai akivaizdūs. Aristarchui prireikė parašyti visą knygą, kad pateiktume tai, ką pateikėme trijuose puslapiuose. Ir atliekant eksperimentinius matavimus, viskas nebuvo lengva. Pirma, Aristarchas padarė klaidą matuodamas žemės šešėlio skersmenį Mėnulio užtemimo metu, gaudamas santykį t= 2 vietoj . Be to, atrodė, kad jis remiasi neteisinga kampo β – Saulės kampinio skersmens – verte, darant prielaidą, kad ji yra 2°. Tačiau ši versija yra prieštaringa: Archimedas savo traktate „Psammit“ rašo, kad, priešingai, Aristarchas naudojo beveik teisingą 0,5 ° vertę. Tačiau baisiausia klaida įvyko pirmame žingsnyje, skaičiuojant parametrą κ – atstumų nuo Žemės iki Saulės ir Mėnulio santykį. Vietoj κ = 400 Aristarchas gavo κ = 19. Kaip tai gali būti daugiau nei 20 kartų neteisinga? Dar kartą pereikime prie 1 žingsnio, 3 pav. Norėdami rasti santykį κ = ZS/ZL, Aristarchas išmatavo kampą α = SZL, o tada κ = 1/cos α. Pavyzdžiui, jei kampas α būtų lygus 60°, tai gautume κ = 2, o Saulė būtų dvigubai toliau nuo Žemės nei Mėnulis. Tačiau matavimo rezultatas pasirodė netikėtas: kampas α pasirodė beveik teisingas. Tai reiškė, kad koja ZS daug kartų pranašesnis ZL. Aristarchas gavo α = 87°, o tada cos α = 1/19 (prisiminkite, kad visi mūsų skaičiavimai yra apytiksliai). Tikroji kampo vertė , o cos α =1/400. Taigi matavimo paklaida, mažesnė nei 3°, lėmė 20 kartų paklaidą! Atlikęs skaičiavimus, Aristarchas daro išvadą, kad Saulės spindulys yra 6,5 Žemės spindulio (vietoj 109).
Atsižvelgiant į netobulus to meto matavimo prietaisus, klaidų buvo neišvengiama. Dar svarbiau, kad metodas pasirodė teisingas. Netrukus (istoriniais standartais, tai yra maždaug po 100 metų) iškilus antikos astronomas Hiparchas (190 – apie 120 m. pr. Kr.) pašalins visus netikslumus ir, vadovaudamasis Aristarcho metodu, apskaičiuos teisingus Saulės ir Mėnulio dydžius. . Galbūt Aristarcho klaida galiausiai pasirodė net naudinga. Prieš jį vyravo nuomonė, kad Saulė ir Mėnulis arba yra vienodo dydžio (kaip atrodo žemiškam stebėtojui), arba šiek tiek skiriasi. Net 19 kartų skirtumas nustebino amžininkus. Todėl gali būti, kad jei Aristarchas būtų radęs teisingą santykį κ = 400, niekas tuo nebūtų patikėjęs, o galbūt ir pats mokslininkas būtų apleidęs savo metodą, laikydamas rezultatą absurdišku. Gerai žinomas principas sako, kad geometrija yra menas gerai išmąstyti iš prastai atliktų brėžinių. Perfrazuojant, galime pasakyti, kad mokslas apskritai yra menas daryti teisingas išvadas iš netikslių ar net klaidingų stebėjimų. Ir Aristarchas padarė tokią išvadą. 17 amžių prieš Koperniką jis suprato, kad pasaulio centras yra ne Žemė, o Saulė. Taip pirmą kartą pasirodė heliocentrinis modelis ir Saulės sistemos koncepcija.
Kas yra centre?
Senovės pasaulyje vyravo mintis apie Visatos sandarą, mums pažįstama iš istorijos pamokų, kad pasaulio centras yra nejudanti Žemė, aplink ją žiedinėmis orbitomis sukasi 7 planetos, įskaitant Mėnulį ir Saulę. (kuri taip pat buvo laikoma planeta). Jis baigiasi dangaus sfera, prie kurios pritvirtintos žvaigždės. Sfera sukasi aplink Žemę, padarydama visą apsisukimą per 24 valandas. Bėgant metams šis modelis buvo daug kartų taisomas. Taigi jie pradėjo tikėti, kad dangaus sfera nejuda, o Žemė sukasi aplink savo ašį. Tada jie pradėjo taisyti planetų trajektorijas: apskritimus pakeitė cikloidai, tai yra linijos, apibūdinančios apskritimo taškus, kai jis juda kitu apskritimu (apie šias nuostabias linijas galite perskaityti GN Bermano knygose " Cikloidas“, AI Markuševičius „Įsidėmėtinos kreivės“, taip pat „Kvante“: S. Verovo straipsnis „Cikloido paslaptys“ Nr. 8, 1975, ir SG Gindikin straipsnis „Cikloido žvaigždžių amžius“, Nr. 6, 1985). Cikloidai geriau sutiko su stebėjimų rezultatais, ypač jie paaiškino planetų judėjimą „atgal“. tai - geocentrinis pasaulio sistema, kurios centre yra Žemė („gėjus“). II amžiuje jis įgavo galutinę formą Klaudijaus Ptolemėjaus (87–165), žymaus graikų astronomo, Egipto karalių bendravardio, knygoje „Almagestas“. Laikui bėgant kai kurie cikloidai tapo sudėtingesni, buvo pridėta vis daugiau naujų tarpinių apskritimų. Tačiau apskritai Ptolemėjo sistema dominavo maždaug pusantro tūkstantmečio, iki XVI a., iki Koperniko ir Keplerio atradimų. Iš pradžių Aristarchas taip pat laikėsi geocentrinio modelio. Tačiau paskaičiavęs, kad Saulės spindulys yra 6,5 karto didesnis už Žemės, jis uždavė paprastą klausimą: kodėl tokia didelė Saulė turėtų suktis aplink tokią mažą Žemę? Juk jei Saulės spindulys yra 6,5 karto didesnis, tai jos tūris yra beveik 275 kartus didesnis! Tai reiškia, kad Saulė turi būti pasaulio centre. Aplink jį sukasi 6 planetos, įskaitant Žemę. O septintoji planeta – Mėnulis – sukasi aplink Žemę. Taigi buvo heliocentrinis pasaulio sistema („helios“ – Saulė). Jau pats Aristarchas pastebėjo, kad toks modelis geriau paaiškina tariamą planetų judėjimą žiedinėmis orbitomis ir geriau sutampa su stebėjimų rezultatais. Tačiau nei mokslininkai, nei oficiali valdžia to nepriėmė. Aristarchas buvo apkaltintas bedieviškumu ir buvo persekiojamas. Iš visų antikos astronomų tik Seleukas tapo naujojo modelio šalininku. Niekas kitas to nepriėmė, bent jau istorikai šiuo klausimu neturi tvirtos informacijos. Net Archimedas ir Hiparchas, kurie gerbė Aristarchą ir plėtojo daugelį jo idėjų, nedrįso Saulės pastatyti į pasaulio centrą. Kodėl?
Kodėl pasaulis nepriėmė heliocentrinės sistemos?
Kaip atsitiko, kad 17 amžių mokslininkai nepriėmė paprastos ir logiškos Aristarcho pasiūlytos pasaulio sistemos? Ir tai nepaisant to, kad oficialiai pripažinta Ptolemėjaus geocentrinė sistema dažnai žlugo, neatitikdama planetų ir žvaigždžių stebėjimų rezultatų. Turėjau pridėti vis daugiau naujų draugų ratų (vadinamųjų įdėtos kilpos) už „teisingą“ planetų judėjimo aprašymą. Pats Ptolemėjus nebijojo sunkumų, rašė: „Kam stebėtis sudėtingu dangaus kūnų judėjimu, jei jų esmė mums nežinoma? Tačiau iki XIII amžiaus šie būreliai buvo sukaupę 75! Modelis tapo toks gremėzdiškas, kad pasigirdo atsargūs prieštaravimai: ar tikrai pasaulis toks sudėtingas? Plačiai žinomas Kastilijos ir Leono karaliaus Alfonso X (1226–1284) atvejis – valstija, užėmusi dalį šiuolaikinės Ispanijos. Jis, mokslo ir meno mecenatas, į savo kiemą susirinkęs penkiasdešimt geriausių pasaulio astronomų, viename iš mokslinių pokalbių pasakė, kad „jeigu Viešpats būtų mane pagerbęs ir klausęs patarimo kuriant pasaulį, būtų sutvarkyta paprasčiau“. Toks įžūlumas nebuvo atleistas net karaliams: Alfonsas buvo nuverstas ir išsiųstas į vienuolyną. Tačiau abejonių liko. Kai kuriuos iš jų būtų galima išspręsti pastatant Saulę į Visatos centrą ir pritaikant Aristarcho sistemą. Jo darbai buvo gerai žinomi. Tačiau daugelį amžių nė vienas mokslininkas nedrįso žengti tokio žingsnio. Priežastys buvo ne tik valdžios ir oficialiosios bažnyčios baimė, kuri Ptolemėjo teoriją laikė vienintele teisinga. Ir ne tik žmogaus mąstymo inercija: pripažinti, kad mūsų Žemė – ne pasaulio centras, o tiesiog eilinė planeta, nėra taip paprasta. Visgi tikram mokslininkui nei baimė, nei stereotipai nėra kliūtis kelyje į tiesą. Heliocentrinė sistema buvo atmesta dėl gana mokslinių, netgi galima sakyti, geometrinių priežasčių. Jei darysime prielaidą, kad Žemė sukasi aplink Saulę, tai jos trajektorija yra apskritimas, kurio spindulys lygus atstumui nuo Žemės iki Saulės. Kaip žinome, šis atstumas lygus 23 455 Žemės spinduliams, ty daugiau nei 150 milijonų kilometrų. Tai reiškia, kad Žemė per pusę metų nukeliauja 300 milijonų kilometrų. Milžiniškas dydis! Tačiau žvaigždėto dangaus vaizdas žemiškajam stebėtojui išlieka toks pat. Žemė arba artėja, arba tolsta nuo žvaigždžių 300 milijonų kilometrų, tačiau nesikeičia nei matomi atstumai tarp žvaigždžių (pavyzdžiui, žvaigždynų forma), nei jų ryškumas. Tai reiškia, kad atstumai iki žvaigždžių turi būti kelis tūkstančius kartų didesni, t.y. dangaus sfera turi turėti visiškai neįsivaizduojamus matmenis! Tai, beje, suprato ir pats Aristarchas, savo knygoje rašęs: „Nejudančių žvaigždžių sferos tūris yra tiek kartų didesnis už sferos, kurios spindulys yra Žemės-Saulė, tūrį, kiek kartų didesnis tūris. pastarųjų yra didesnis už Žemės rutulio tūrį“, ty pagal Aristarchą paaiškėjo, kad atstumas iki žvaigždžių yra (23 455) 2 R, tai daugiau nei 3,5 trilijono kilometrų. Iš tikrųjų atstumas nuo Saulės iki artimiausios žvaigždės vis dar yra apie 11 kartų didesnis. (Modelyje, kurį pristatėme pačioje pradžioje, kai atstumas nuo Žemės iki Saulės yra 10 m, atstumas iki artimiausios žvaigždės yra... 2700 kilometrų!) Vietoje kompaktiško ir jaukaus pasaulio centre iš kurios yra Žemė ir kuri yra santykinai mažoje dangaus sferoje, Aristarchas nubrėžė bedugnę. Ir ši bedugnė visus išgąsdino.
Venera, Merkurijus ir geocentrinės sistemos neįmanoma
Tuo tarpu geocentrinės pasaulio sistemos, kurioje visos Žemę supančios planetos sukamaisiais judesiais, neįmanoma nustatyti naudojant paprastą geometrinę problemą.
2 užduotis. Plokštumai suteikiami du apskritimai su bendru centru APIE, išilgai jų tolygiai juda du taškai: taškas M vienas apskritimas ir vienas taškas V ant kito. Įrodykite, kad arba jie juda ta pačia kryptimi tuo pačiu kampiniu greičiu, arba tam tikru momentu kampu MOV kvailas.
Sprendimas. Jei taškai juda ta pačia kryptimi skirtingais greičiais, tai po kurio laiko spinduliai OM Ir O.V. bus suderintas. Kitas kampas MOV pradeda monotoniškai didėti iki kito sutapimo, t.y., iki 360 °. Todėl tam tikru momentu jis yra lygus 180°. Atvejis, kai taškai juda skirtingomis kryptimis, vertinamas vienodai.
Teorema. Situacija, kai visos Saulės sistemos planetos tolygiai sukasi aplink Žemę žiedinėmis orbitomis, yra neįmanoma.
Įrodymas. Leisti būti APIE- žemės centras M yra Merkurijaus centras ir V- Veneros centras. Remiantis ilgalaikiais stebėjimais, Merkurijus ir Venera turi skirtingus apsisukimų periodus ir kampą MOV niekada neviršija 76°. Remiantis 2 uždavinio rezultatu, teorema įrodyta.
Žinoma, senovės graikai ne kartą susidūrė su panašiais paradoksais. Būtent todėl, siekdami išsaugoti geocentrinį pasaulio modelį, jie privertė planetas judėti ne ratu, o cikloidais.
Teoremos įrodymas nėra visiškai teisingas, nes Merkurijus ir Venera sukasi ne toje pačioje plokštumoje, kaip 2 uždavinyje, o skirtingose. Nors jų orbitų plokštumos beveik sutampa: kampas tarp jų – vos keli laipsniai. 10 užduotyje siūlome pašalinti šį trūkumą ir išspręsti skirtingose plokštumose besisukančių taškų 2 uždavinio analogą. Kitas prieštaravimas: galbūt kampas MOV kartais kvaila, bet mes to nematome, nes šiuo metu Žemėje diena? Mes irgi tai priimame. Atlikdami 11 pratimą, turite tai įrodyti trys Sukimosi spinduliais, visada ateis momentas, kai jie vienas su kitu sudarys bukus kampus. Jei Merkurijus, Venera ir Saulė yra spindulių galuose, tai šiuo metu Merkurijus ir Venera bus matomi danguje, bet Saulė – ne, t.y., žemėje bus naktis. Tačiau perspėkite: 10 ir 11 pratimai yra daug sunkesni nei 2 užduotis. Galiausiai 12 pratime kviečiame apskaičiuoti atstumus nuo Veneros iki Saulės ir nuo Merkurijaus iki Saulės (jie, žinoma, sukasi aplink Saulę, ne aplink Žemę). Pažiūrėkite, kaip tai lengva, kai išmokome Aristarcho metodą.
Pratimai
10. Duoti du apskritimai erdvėje su bendru centru APIE, du taškai tolygiai juda išilgai jų skirtingais kampiniais greičiais: taškas M vienas apskritimas ir vienas taškas V ant kito. Įrodykite, kad tam tikru momentu kampas MOV kvailas.
11. Plokštumoje su bendru centru pateikiami trys apskritimai APIE, trys taškai tolygiai juda išilgai jų skirtingais kampiniais greičiais. Įrodykite, kad tam tikru momentu visi trys kampai tarp spindulių su viršūne APIE nukreiptos į šiuos taškus, yra bukos.
12. Yra žinoma, kad didžiausias kampinis atstumas tarp Veneros ir Saulės, ty didžiausias kampas tarp spindulių, nukreiptų iš Žemės į Veneros ir Saulės centrus, yra 48°. Raskite Veneros orbitos spindulį. Tas pats ir Merkurijui, jei žinoma, kad didžiausias kampinis atstumas tarp Merkurijaus ir Saulės yra 28°.
Apdaila: Saulės ir Mėnulio kampinių dydžių matavimas
Žingsnis po žingsnio sekdami Aristarcho samprotavimus, praleidome tik vieną aspektą: kaip buvo išmatuotas kampinis Saulės skersmuo? Pats Aristarchas to nepadarė, naudodamasis kitų astronomų matavimais (matyt, ne visai teisingais). Prisiminkite, kad jis sugebėjo apskaičiuoti Saulės ir Mėnulio spindulius neįtraukdamas jų kampinio skersmens. Dar kartą peržiūrėkite 1, 2 ir 3 veiksmus: kampinio skersmens reikšmė niekur nenaudojama! Tai reikalinga tik atstumams iki Saulės ir Mėnulio apskaičiuoti. Bandymas nustatyti kampinį dydį „iš akies“ neatneša sėkmės. Jei paprašysite kelių žmonių įvertinti kampinį Mėnulio skersmenį, dauguma parodys 3–5 laipsnių kampą, kuris daug kartų viršija tikrąją vertę. Optinė apgaulė paveikia: šviesiai baltas Mėnulis tamsaus dangaus fone atrodo masyvus. Pirmasis matematiškai griežtą Saulės ir Mėnulio kampinio skersmens matavimą atliko Archimedas (287–212 m. pr. Kr.), savo metodą išdėstęs knygoje „Psammit“ („Smėlio grūdelių skaičiavimas“). Jis suvokė užduoties sudėtingumą: „Išgauti tikslią šio kampo reikšmę nėra lengva, nes nei akys, nei rankos, nei instrumentai, kuriais skaitomas, neužtikrina pakankamo tikslumo“. Todėl Archimedas nesiima skaičiuoti tikslios Saulės kampinio skersmens reikšmės, tik įvertina iš viršaus ir apačios. Jis įdeda apvalų cilindrą ilgos liniuotės gale, priešais stebėtojo akį. Liniuotė nukreipta į Saulę, o cilindras juda link akies, kol visiškai užstoja Saulę. Tada stebėtojas išeina, o liniuotės gale pažymimas atkarpa MN, lygus žmogaus vyzdžio dydžiui (11 pav.).
Tada kampas α 1 tarp linijų PONAS Ir NQ mažesnis už kampinį Saulės skersmenį, o kampas α 2 = POQ- daugiau. Mes paskyrėme PQ cilindro pagrindo skersmuo, o per O - segmento vidurį MN. Taigi α 1< β < α 2 (докажите это в упражнении 13). Так Архимед находит, что угловой диаметр Солнца заключен в пределах от 0,45° до 0,55°.
Lieka neaišku, kodėl Archimedas matuoja Saulę, o ne Mėnulį. Jis buvo gerai susipažinęs su Aristarcho knyga ir žinojo, kad Saulės ir Mėnulio kampiniai skersmenys yra vienodi. Mėnulį matuoti kur kas patogiau: jis neakina akių ir aiškiau matomos jo ribos.
Kai kurie senovės astronomai matavo Saulės kampinį skersmenį pagal Saulės arba Mėnulio užtemimo trukmę. (Pabandykite atkurti šį metodą 14 pratime.) Arba tą patį galite padaryti nelaukdami užtemimų, o tiesiog stebėdami saulėlydį. Šiai dienai parinkkime pavasario lygiadienį kovo 22 d., kai Saulė teka tiksliai rytuose ir leidžiasi tiksliai vakaruose. Tai reiškia, kad kylančių taškų E ir saulėlydis W diametraliai priešingi. Antžeminiam stebėtojui Saulė juda apskritimu, kurio skersmuo va. Šio apskritimo plokštuma sudaro 90 ° - γ kampą su horizonto plokštuma, kur γ yra taško geografinė platuma M kur yra stebėtojas (pavyzdžiui, Maskvos γ = 55,5°, Aleksandrijos γ = 31°). Įrodymas parodytas 12 paveiksle. Tiesi linija ZP- Žemės sukimosi ašis, statmena pusiaujo plokštumai. Taško platuma M- kampas tarp segmentų ZP ir pusiaujo plokštuma. Nubrėžkite per saulės centrą S plokštuma α, statmena ašiai ZP.
Horizonto plokštuma paliečia Žemės rutulį taške M. Stebėtojui taške M, Saulė dieną juda ratu α plokštumoje su centru R ir spindulys PS. Kampas tarp α plokštumos ir horizonto plokštumos lygus kampui MZP, kuri yra lygi 90° - γ, nes plokštuma α yra statmena ZP, o horizontalioji plokštuma yra statmena ZM. Taigi, lygiadienio dieną Saulė nusileidžia žemiau horizonto 90 ° - γ kampu. Todėl saulėlydžio metu jis kerta apskritimo lanką, lygų β/cos γ, kur β – kampinis Saulės skersmuo (13 pav.). Kita vertus, per 24 valandas per šį ratą jis praeina pilną apsisukimą, ty 360 °.
Mes gauname proporciją, kur tiksliai šeši, o ne devyni, nes Uranas, Neptūnas ir Plutonas buvo atrasti daug vėliau. Visai neseniai, 2006 m. rugsėjo 13 d., Tarptautinės astronomijos sąjungos (IAU) sprendimu, Plutonas prarado planetos statusą. Taigi dabar Saulės sistemoje yra aštuonios planetos.
Tikroji karaliaus Alfonso gėdos priežastis, matyt, buvo įprasta kova dėl valdžios, tačiau jo ironiška pastaba apie pasaulio sandarą buvo gera priežastis jo priešams.
Mūsų natūralus palydovas Mėnulis žmonių dėmesį traukia jau ne vieną tūkstantmetį. Tai antras ryškiausias objektas danguje po Saulės ir daugeliu atžvilgių įtakoja gyvybę žemėje, pavyzdžiui, Mėnulio dėka vyksta atoslūgiai ir atoslūgiai. Atstumą iki Mėnulio pirmasis išmatavo senovės graikų astronomas ir matematikas Hiparchas antrajame amžiuje prieš Kristų.
Mėnulio kampinis dydis
Pirmiausia apibrėžkime įvesties duomenis, kurių mums reikia skaičiavimams. Visiško Saulės užtemimo metu matome, kad Mėnulio diskas beveik tobulai persidengia su Saulės paviršiumi. Astronomams šis stebėjimas rodo, kad Mėnulio ir Saulės kampiniai matmenys yra beveik vienodi. Kampinis skersmuo yra kampas tarp dviejų spindulių, skleidžiamų iš stebėtojo akių, kurie praeina per kraštutinius priešingus matuojamo objekto taškus (žr. paveikslėlį žemiau).
Pagrindinis Saulės kampinio skersmens matavimo principas (spustelėti).
Norint atlikti matavimus, nereikia jokių specialių įrankių. Per pilnatį sulenkite nedidelį popieriaus lapą taip, kad jis visiškai uždengtų mėnulio diską. Padalinę lapo plotį iš atstumo nuo jo iki akių, gausite kampinį dydį, išreikštą radianais. Šiuo atveju nereikia taikyti matematiškai tikslios formulės, nes mažiems kampams tgα ≈ α. Nedarykite tokių Saulės matavimų! Galite rimtai pažeisti akis.
Nutolusių objektų kampinių dydžių ir kampinių atstumų tarp objektų nustatymas yra svarbi astronominių stebėjimų dalis ir bus ne kartą minima būsimose medžiagose. Paprastai joms žymėti naudojamos minutės ir lanko sekundės. Norėdami konvertuoti lanko minutes į laipsnius, tiesiog padalykite reikšmę iš 60, pavyzdžiui, matomas Mėnulio skersmuo yra maždaug 30′ arba 0,5 laipsnio. Antrasis, dažnai naudojamas matavimo vienetas yra radianai, tai leidžia supaprastinti preliminarius skaičiavimus ir atsikratyti trigonometrijos. Vienas radianas yra kampas, atitinkantis lanką, kurio ilgis yra apskritimo spindulys (žr. pav.). Norėdami konvertuoti lanko minutes į radianus, padauginkite iš p / 10800, todėl gauname Mėnulio reikšmę ~0,0087.
Apytikslį jau žinome iš ankstesnio straipsnio, taip pat žinome apie Mėnulio užtemimų, kurių metu mūsų planeta meta šešėlį Mėnulio paviršiuje, egzistavimą. Norėdami atlikti tolesnius skaičiavimus, mums taip pat reikia kampinio žemės šešėlio dydžio visiško Mėnulio užtemimo metu. Jis yra daugiau nei du su puse karto didesnis už Mėnulio skersmenį, todėl šešėlį išmatuoti tiesiogiai yra šiek tiek problematiška. Tačiau stebėjimų metu galima aptikti laiką, per kurį pirmą kartą Mėnulį visiškai uždengs šešėlis nuo vieno Žemės krašto, o tada išmatuoti laiką, kol prasidės šešėlis iš priešingo krašto. palikti mėnulio diską. Išsprendę proporciją, gauname apytikslę 80′ arba 0,023 radiano reikšmę. Dabar turime visus reikiamus įvesties duomenis, galime pradėti skaičiavimus.
Atstumas iki mėnulio
Visi skaičiavimai pagrįsti paprasta Euklido geometrija, parodyta paveikslėlyje žemiau, kuri schematiškai rodo Mėnulio užtemimą. Remsimės prielaida, kad atstumas tarp Žemės ir Saulės yra daug didesnis nei atstumas iki Mėnulio. Taigi galime apsvarstyti kampą α lygus kampiniam Saulės skersmeniui, kuris, savo ruožtu, yra maždaug lygus mėnulio skersmeniui.
Atstumo iki mėnulio nustatymo schema pagal Aristarcho metodą. Skaičiavimus pirmasis atliko Giparchas.
Žurnalas „Gamta“, 2008 Nr.7
Žemės skersmuo yra trikampio pagrindas ABC, tačiau kol kas pagrindas yra mums nežinomo šešėlio ilgis per mėnulio užtemimą A'BC'. Šie lygiašoniai trikampiai yra panašūs, nes turi vienodus kampus, todėl jų aukščių santykis yra lygus panašumo koeficientui. Mes sudarome proporcijas:
Jei atstumą iki mėnulio žymėsime kaip L, tada žemės šešėlio skersmuo bus lygus D ST = L * β. Taip pat trikampio aukštis A'BC' yra lygus H L \u003d H Z – L, ir aukštis ABC yra lygus H З = D З / α. Atlikime keletą pakeitimų:
Padauginus atstumą iki mėnulio iš jo kampinio dydžio, gauname apytikslį 3497 km skersmenį, o tai labai artima realybei. Palyginimui pateikiame tikslius šiuolaikinius duomenis: pusiau pagrindinė ašis yra 384 399 km, vidutinis skersmuo - 3 474 km. Tai pasirodė gana gerai, atsižvelgiant į mažą kampinių matavimų tikslumą. Žemės šešėlio skersmenį galite paskaičiuoti patys, jau gavome visus tam reikalingus duomenis.
Šiuo metu žinome, kad Mėnulio orbita yra elipsės formos, kurios ekscentricitetas yra 0,0549. Artimiausiame taške (perigėjas) palydovas priartėja prie mūsų 356 400 km, o didžiausias atstumas (apogėjus) yra 406 700 km. Atstumas iki Mėnulio mūsų laikais fantastiškai tiksliai nustatomas naudojant lazerinį nuotolio nustatymą. 1969 m. liepos 21 d. Apollo 11 programos astronautai Mėnulio paviršiuje paliko pirmąjį kampinį atšvaitą, skirtą tokiam matavimui. Metodo esmė – fokusuotas lazerio spindulys siunčiamas iš Žemės į reflektorių (mėnulio paviršiuje spindulio plotas apie 25 km 2), dalis šviesos grąžinama atgal į detektorių. Žinant tikslų laiką, per kurį šviesa keliauja pirmyn ir atgal, taip pat šviesos greitį, galima nesunkiai nustatyti atstumą.
Beveik visi žinome, kad Mėnulis visada yra pasuktas į Žemę ta pačia puse. Iš mokyklos fizikos kursų taip pat žinome, kad to priežastis – Žemės potvyniai, amžinai slėpę nuo mūsų galinę, „tamsiąją“ Mėnulio pusę. Potvynių gaudymo principas teigia, kad planeta šeimininkė beveik visada yra viename savo palydovo dangaus taške. Tačiau aš tai pasakiau pernelyg aiškiai, nes iš tikrųjų tai įmanoma tik idealiomis sąlygomis. Pasaulis, mūsų laimei, toli gražu nėra idealus, o tai leidžia Mėnulyje stebėti pilnaverčius Žemės saulėtekius ir saulėlydžius ...
Astronomai jau seniai pastebėjo, kad Mėnulis Mėnulio mėnesį „siūbuoja“ savotiškai, atidengdamas mus 10% „tamsiosios“ pusės ploto. Dėl to dar prieš Luna 3 stoties skrydį astronomai turėjo 60% Mėnulio paviršiaus žemėlapius.
Šis reiškinys buvo vadinamas libracija. Šiuo metu yra 4 libracijų tipai, tačiau mes sutelksime dėmesį į du pagrindinius – platumos ir ilgumos libracijas.
1. Libracijas platumoje sukelia kasdienio Mėnulio sukimosi ašies polinkis į jo orbitos plokštumą (amplitudė 6 ° 50 min.), dėl ko Mėnulis mus „pakeičia“ arba į šiaurę, arba į pietų ašigalį.
2. Libracijas ilgumose sukelia nulinis Mėnulio orbitos ekscentriškumas.
Orbitos ekscentriškumas supaprastintoje versijoje atspindi palydovo ar planetos orbitos nuokrypio nuo tobulo apskritimo laipsnį. 0 reiškia visiškai apvalią orbitą. Daugiau nei 0, bet mažiau nei 1, daugiau ar mažiau pailgos orbita (elipsės formos), kai e=1 parabolė ir e>1 hiperbolinė. Kaip pastebėjote, orbita palaipsniui išsitempia, kai ekscentriškumas didėja nuo 0 iki 1, suskaidydama ties e=1 (pasiekiant antrąją erdvės orbitą šioje orbitoje).
Mėnulio libracijos, žiūrint iš Žemės. 
Mėnulio ekscentricitetas yra vidutiniškai 0,05, to visiškai pakanka, kad atsirastų nedideli Mėnulio sukimosi aplink Žemę greičio ir paties Mėnulio sukimosi aplink savo ašį nuokrypiai. Tai išprovokuoja libraciją ilgumoje, kurios amplitudė yra 7° ir 54 min.
Akivaizdu, kad abiejų tipų libracija sukelia Žemės judėjimą Mėnulio skliaute, kur mėlynoji planeta apibūdina didžiulę elipsę, kurios maksimalus skersmuo yra 18 ° per mėnesį. Atsižvelgiant į tai, kad Žemės kampiniai matmenys nuo Mėnulio yra „tik“ apie 2 ° (keturis kartus didesni už Mėnulio matmenis žiūrint iš Žemės), tai leis būsimiems Mėnulio kolonistams stebėti, nors ir lėtus, bet įspūdingus saulėtekius ir savo gimtosios planetos saulėlydžius tam tikrose Mėnulio vietose.
Žemės kilimas „libracijos zonose“, Mėnulio ašigalyje, vidutinėse platumose ir pusiaujuje (programa „Stellarium“).
Tačiau mažiausiai kantrūs kolonistai gali tai stebėti „greitai į priekį“ iš Mėnulio orbitos (Kaguya / JAXA zondas).
Ir nedidelė premija. Nors Japetas, Saturno mėnulis, greičiausiai neturi žvaigždžių vartų, kur pavyko įtikti Arthuro Clarke'o knygos „Kosminė odisėja 2001“ herojui, tačiau vis dėlto dėl šio palydovo orbitos nelygumų galima pastebėti. gana epiniai „Žiedų valdovo“ saulėtekiai.
