ne do të vendosim detyrë e thjeshtë duke gjetur brinjën e një katrori sipërfaqja e të cilit është 9 cm 2. Nëse supozojmë se ana e katrorit A cm, pastaj e përpilojmë ekuacionin sipas kushteve të problemës:
A X A = 9
A 2 = 9
A 2 -9 =0
(A-3)(A+3)=0
A=3 ose A=-3
Gjatësia e një brinjë të një katrori nuk mund të jetë një numër negativ, kështu që ana e kërkuar e katrorit është 3 cm.
Gjatë zgjidhjes së ekuacionit, gjetëm numrat 3 dhe -3, katrorët e të cilëve janë 9. Secili nga këta numra quhet rrënja katrore e numrit 9. Jonegativi i këtyre rrënjëve, pra numri 3, quhet rrënja aritmetike e numrit.
Është mjaft logjike të pranohet fakti që rrënja mund të gjendet nga numrat në fuqinë e tretë (rrënja kubike), fuqinë e katërt, etj. Dhe në parim, rrënja është operacioni i kundërt i fuqisë.
Rrënjan shkalla e th nga numri α është një numër i tillë b, Ku b n = α .
Këtu n- zakonisht quhet një numër natyror indeksi rrënjë(ose shkalla e rrënjës); si rregull është më i madh ose i barabartë me 2, sepse rasti n = 1 i brirë.
I caktuar në shkronjë si simbol (shenjë rrënjë) në anën e djathtë quhet radikale. Numri α
- shprehje radikale. Për shembullin tonë me një parti, zgjidhja mund të duket si kjo: 
sepse (±
3) 2 = 9
.
Ne morëm pozitive dhe kuptim negativ rrënjë Kjo veçori i ndërlikon llogaritjet. Për të arritur paqartësi, koncepti u prezantua rrënjë aritmetike, vlera e së cilës është gjithmonë me shenjë plus, pra vetëm pozitive.
Rrënja thirrur aritmetike, nëse nxirret nga një numër pozitiv dhe është në vetvete një numër pozitiv.
Për shembull,
Ekziston vetëm një rrënjë aritmetike e një shkalle të caktuar nga një numër i caktuar.
Operacioni i llogaritjes zakonisht quhet " nxjerrja e rrënjës n shkalla e th” nga mesi α . Në thelb, ne kryejmë operacionin në të kundërt me ngritjen në fuqi, përkatësisht gjetjen e bazës së fuqisë b sipas një treguesi të njohur n dhe rezultati i ngritjes në një pushtet
α = bn.
Rrënjët e shkallës së dytë dhe të tretë përdoren në praktikë më shpesh se të tjerët dhe për këtë arsye u dhanë emra të veçantë.
Rrënja katrore: Në këtë rast, është zakon të mos shkruhet eksponenti 2, dhe termi "rrënjë" pa treguar eksponentin më së shpeshti nënkupton rrënjën katrore. Interpretuar gjeometrikisht, është gjatësia e brinjës së një katrori sipërfaqja e të cilit është e barabartë me α .
Rrënja e kubit: Interpretuar gjeometrikisht, gjatësia e një skaji të një kubi vëllimi i të cilit është i barabartë me α .
Vetitë e rrënjëve aritmetike.
1) Gjatë llogaritjes rrënja aritmetike e produktit, është e nevojshme të nxirret nga secili faktor veç e veç
Për shembull,
2) Për llogaritjen rrënja e një thyese, është e nevojshme të nxirret nga numëruesi dhe emëruesi i kësaj thyese
Për shembull,
3) Gjatë llogaritjes rrënja e shkallës, duhet të ndani eksponentin me eksponentin rrënjë
Për shembull,
Llogaritjet e para në lidhje me nxjerrjen e rrënjës katrore u gjetën në veprat e matematikanëve të Babilonisë së lashtë dhe Kinës, Indisë, Greqisë (për arritjet Egjipti i lashte nuk ka asnjë informacion në burime në lidhje me këtë).
Matematikanët e Babilonisë së lashtë (mijëvjeçari II para Krishtit) përdorën një metodë të veçantë për të nxjerrë rrënjën katrore metodë numerike. Përafrimi fillestar për rrënjën katrore u gjet bazuar në numrin natyror më të afërt me rrënjën (në drejtimin më të vogël) n. Paraqitja e shprehjes radikale në formën: α=n 2 +r, marrim: x 0 =n+r/2n, më pas u aplikua një proces i përsosjes përsëritës:
Përsëritjet në këtë metodë konvergojnë shumë shpejt. per ,
Për shembull, α=5; n=2; r=1; x 0 =9/4=2,25 dhe marrim një sekuencë të përafrimeve:
Në vlerën përfundimtare, të gjitha shifrat janë të sakta, përveç atij të fundit.
Grekët formuluan problemin e dyfishimit të kubit, i cili përfundoi në ndërtimin rrënjë kubike duke përdorur një busull dhe vizore. Rregullat për llogaritjen e çdo shkalle të një numri të plotë janë studiuar nga matematikanët në Indi dhe shtetet arabe. Më pas ato u zhvilluan gjerësisht në Evropën mesjetare.
Sot, për lehtësinë e llogaritjes së rrënjëve katrore dhe kubike, kalkulatorët përdoren gjerësisht.
Një rrënjë aritmetike e shkallës së n-të të një numri jonegativ është një numër jo negativ shkalla e nëntë e cila është e barabartë me:
Shkalla e rrënjës është numri natyror, më i madh se 1.
3. 
4. 
Raste të veçanta:
1. Nëse eksponenti i rrënjës është një numër i plotë tek(), atëherë shprehja radikale mund të jetë negative.
Në rastin e një eksponenti tek, ekuacioni për çdo vlerë reale dhe numër të plotë GJITHMONË ka një rrënjë të vetme:
Për një rrënjë të shkallës teke vlen identiteti i mëposhtëm:
,
2. Nëse eksponenti i rrënjës është numër i plotë çift (), atëherë shprehja radikale nuk mund të jetë negative.
Në rastin e një eksponenti çift, barazimi. Ajo ka
në rrënjë e vetme
dhe, nëse dhe
Për një rrënjë të shkallës çift vlen identiteti i mëposhtëm:
Për një rrënjë të shkallës çift, barazitë e mëposhtme janë të vlefshme::
Funksioni i fuqisë, vetitë dhe grafiku i tij.
Funksioni i fuqisë dhe vetitë e tij.
Funksioni i fuqisë me eksponent natyror. Funksioni y = x n, ku n është një numër natyror, quhet funksion fuqie me një eksponent natyror. Për n = 1 marrim funksionin y = x, vetitë e tij:
Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë. Proporcionaliteti i drejtpërdrejtë është një funksion i përcaktuar me formulën y = kx n, ku numri k quhet koeficienti i proporcionalitetit.
Le të rendisim vetitë e funksionit y = kx.
Fusha e një funksioni është bashkësia e të gjithë numrave realë.
y = kx - jo madje funksion(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).
3) Për k > 0 funksioni rritet, dhe për k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Grafiku (vija e drejtë) është paraqitur në figurën II.1.
Oriz. II.1.
Kur n=2 marrim funksionin y = x 2, vetitë e tij:
Funksioni y -x 2. Le të rendisim vetitë e funksionit y = x 2.
y = x 2 - funksion çift (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).
Funksioni zvogëlohet gjatë intervalit.
Në fakt, nëse , atëherë - x 1 > - x 2 > 0, dhe për këtë arsye
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, d.m.th., dhe kjo do të thotë se funksioni është në rënie.
Grafiku i funksionit y=x2 është një parabolë. Ky grafik është paraqitur në figurën II.2.
Oriz. II.2.
Kur n = 3 marrim funksionin y = x 3, vetitë e tij:
Fusha e përkufizimit të një funksioni është e gjithë vija numerike.
y = x 3 - funksion tek(f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).
3) Funksioni y = x 3 rritet përgjatë gjithë vijës numerike. Grafiku i funksionit y = x 3 është paraqitur në figurë. Ajo quhet parabolë kubike.
Grafiku (parabola kubike) është paraqitur në figurën II.3.
Oriz. II.3.
Le të jetë n një numër natyror arbitrar çift më i madh se dy:
n = 4, 6, 8,... . Në këtë rast, funksioni y = x n ka të njëjtat veti si funksioni y = x 2. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole y = x 2, vetëm degët e grafikut në |n| >1 sa më pjerrët të shkojnë lart, aq më i madh është n dhe sa më i “shtypur” në boshtin x, aq më i madh është n.
Le të jetë n një numër tek arbitrar më i madh se tre: n = = 5, 7, 9, ... . Në këtë rast, funksioni y = x n ka të njëjtat veti si funksioni y = x 3. Grafiku i një funksioni të tillë i ngjan një parabole kubike (vetëm degët e grafikut shkojnë lart e poshtë sa më pjerrët, aq më i madh është n. Vini re gjithashtu se në intervalin (0; 1) lëviz grafiku i funksionit të fuqisë y = x n larg nga boshti x më ngadalë kur x rritet, aq më shumë se n.
Funksioni i fuqisë me eksponent negativ të numrit të plotë. Konsideroni funksionin y = x - n, ku n është një numër natyror. Kur n = 1 marrim y = x - n ose y = Vetitë e këtij funksioni:
Grafiku (hiperbola) është paraqitur në figurën II.4.
Shkalla e rrënjës n nga një numër real a, Ku n- numër natyror, quhet një numër i tillë real x, n shkalla e së cilës është e barabartë me a.
Shkalla e rrënjës n nga numri a tregohet me simbolin. Sipas këtij përkufizimi.
Gjetja e rrënjës n-shkalla e nga mesi a i quajtur nxjerrja e rrënjës. Numri A quhet numër radikal (shprehje), n- tregues rrënjë. Për të çuditshme n ka një rrënjë n-fuqia për çdo numër real a. Kur edhe n ka një rrënjë n-fuqia vetëm për numrat jonegativë a. Për të zbardhur rrënjën n-shkalla e nga mesi a, prezantohet koncepti i rrënjës aritmetike n-shkalla e nga mesi a.
Koncepti i një rrënjë aritmetike të shkallës N
Nëse n- numri natyror, më i madh 1 , atëherë ka dhe vetëm një numër jo negativ X, në mënyrë që barazia të plotësohet. Ky numër X quhet rrënjë aritmetike n fuqia e një numri jo negativ A dhe është caktuar. Numri A quhet një numër radikal, n- tregues rrënjë.
Pra, sipas përkufizimit, shënimi , ku , do të thotë, së pari, atë dhe, së dyti, se, d.m.th. .
Koncepti i një shkalle me një eksponent racional
Shkalla me eksponent natyror: le Aështë një numër real, dhe n- një numër natyror më i madh se një, n-fuqia e numrit A thirrni punën n faktorë, secili prej të cilëve është i barabartë A, d.m.th. . Numri A- bazën e diplomës, n- eksponent. Një fuqi me një eksponent zero: sipas përkufizimit, nëse , atëherë . Fuqia zero e një numri 0 nuk ka kuptim. Një shkallë me një eksponent negativ të numrit të plotë: supozohet nga përkufizimi nëse dhe nështë një numër natyror, atëherë . Një shkallë me një eksponent thyesor: supozohet me përkufizim nëse dhe n- numri natyror, mështë një numër i plotë, atëherë .
Operacionet me rrënjë.
Në të gjitha formulat e mëposhtme, simboli nënkupton një rrënjë aritmetike (shprehja radikale është pozitive).
1. Rrënja e prodhimit të disa faktorëve është e barabartë me produktin e rrënjëve të këtyre faktorëve:
2. Rrënja e qëndrimit e barabartë me raportin rrënjët e dividendit dhe pjesëtuesit:
3. Kur ngrihet një rrënjë në një fuqi, mjafton të ngrihet numri radikal në këtë fuqi: 
4. Nëse e rritni shkallën e rrënjës n herë dhe në të njëjtën kohë e rritni numrin radikal në fuqinë e n-të, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë: 
5. Nëse ulni shkallën e rrënjës me n herë dhe njëkohësisht nxirrni rrënjën e n-të të numrit radikal, atëherë vlera e rrënjës nuk do të ndryshojë:
Zgjerimi i konceptit të gradës. Deri tani ne kemi konsideruar shkallë vetëm me eksponentë natyrorë; por veprimet me fuqi dhe rrënjë mund të çojnë gjithashtu në eksponentë negativë, zero dhe thyesorë. Të gjithë këta eksponentë kërkojnë përkufizim shtesë.
Një shkallë me një eksponent negativ. Fuqia e një numri të caktuar me një eksponent negativ (numër i plotë) përcaktohet si një pjesëtuar me fuqinë e të njëjtit numër me një eksponent të barabartë me vlere absolute tregues negativ:
Tani formula a m: a n = a m - n mund të përdoret jo vetëm për m më të madhe se n, por edhe për m më të vogël se n.
SHEMBULL a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Nëse duam që formula a m: a n = a m - n të jetë e vlefshme për m = n, na duhet një përkufizim i shkallës zero.
Një shkallë me një indeks zero. Fuqia e çdo numri jozero me eksponent zero është 1.
SHEMBUJ. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3/5) 0 = 1.
Shkallë me një eksponent thyesor. Për të ngritur një numër real a në fuqinë m / n, duhet të nxirrni rrënjën e n-të të fuqisë mth të këtij numri a:
Rreth shprehjeve që nuk kanë kuptim. Ka disa shprehje të tilla.
Rasti 1.
Aty ku a ≠ 0 nuk ekziston.
Në fakt, nëse supozojmë se x është një numër i caktuar, atëherë në përputhje me përkufizimin e veprimit të pjesëtimit kemi: a = 0 x, d.m.th. a = 0, që bie ndesh me kushtin: a ≠ 0
Rasti 2.
Çdo numër.
Në fakt, nëse supozojmë se kjo shprehje është e barabartë me një numër të caktuar x, atëherë sipas përkufizimit të veprimit të pjesëtimit kemi: 0 = 0 · x. Por kjo barazi vlen për çdo numër x, që është ajo që duhej vërtetuar.
Vërtet,
Zgjidhja. Le të shqyrtojmë tre raste kryesore:
1) x = 0 - kjo vlerë nuk e plotëson këtë ekuacion
2) për x > 0 marrim: x / x = 1, d.m.th. 1 = 1, që do të thotë se x është çdo numër; por duke marrë parasysh se në rastin tonë x > 0, përgjigja është x > 0;
3) në x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
në këtë rast nuk ka zgjidhje. Kështu x > 0.
Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.
Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal
Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.
Mund t'ju kërkohet të jepni informacionin tuaj personal në çdo kohë kur na kontaktoni.
Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.
Çfarë informacioni personal mbledhim:
- Kur paraqisni një aplikim në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.
Si i përdorim të dhënat tuaja personale:
- Mbledhur nga ne informata personale na lejon t'ju kontaktojmë dhe t'ju informojmë për oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
- Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
- Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
- Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.
Zbulimi i informacionit palëve të treta
Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.
Përjashtimet:
- Nëse është e nevojshme, në përputhje me ligjin, procedurë gjyqësore, V gjyq, dhe/ose në bazë të kërkesave apo kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
- Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim te pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.
Mbrojtja e informacionit personal
Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.
Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie
Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.
Në këtë artikull do të prezantojmë koncepti i rrënjës së një numri. Ne do të vazhdojmë në mënyrë sekuenciale: do të fillojmë me rrënjën katrore, prej andej do të kalojmë në përshkrimin e rrënjës kubike, pas së cilës do të përgjithësojmë konceptin e një rrënjë, duke përcaktuar rrënjën e n-të. Në të njëjtën kohë do të prezantojmë përkufizime, shënime, do të japim shembuj të rrënjëve dhe do të japim shpjegimet dhe komentet e nevojshme.
Rrënja katrore, rrënja katrore aritmetike
Për të kuptuar përkufizimin e rrënjës së një numri, dhe rrënjës katrore në veçanti, duhet të keni . Në këtë pikë shpesh do të hasim fuqinë e dytë të një numri - katrorin e një numri.
Le të fillojmë me përkufizimet e rrënjës katrore.
Përkufizimi
Rrënja katrore e aështë një numër katrori i të cilit është i barabartë me a.
Për të sjellë shembuj të rrënjëve katrore, marrim disa numra, për shembull, 5, −0.3, 0.3, 0 dhe i vendosim në katror, marrim përkatësisht numrat 25, 0.09, 0.09 dhe 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 dhe 0 2 =0·0=0 ). Pastaj, sipas përkufizimit të dhënë më sipër, numri 5 është rrënja katrore e numrit 25, numrat -0.3 dhe 0.3 janë rrënjët katrore të 0.09 dhe 0 është rrënja katrore e zeros.
Duhet të theksohet se për asnjë numër a nuk ekziston a katrori i të cilit është i barabartë me a. Domethënë, për çdo numër negativ a nuk ka numër real b katrori i të cilit është i barabartë me a. Në fakt, barazia a=b 2 është e pamundur për çdo negativ a, pasi b 2 është një numër jo negativ për çdo b. Kështu, nuk ka rrënjë katrore të një numri negativ në bashkësinë e numrave realë. Me fjalë të tjera, në bashkësinë e numrave realë rrënja katrore e një numri negativ nuk është e përcaktuar dhe nuk ka kuptim.
Kjo çon në një pyetje logjike: "A ka një rrënjë katrore të a-së për ndonjë jo-negativ a"? Përgjigja është po. Ky fakt mund të justifikohet me metodën konstruktive të përdorur për të gjetur vlerën e rrënjës katrore.
Atëherë lind pyetja tjetër logjike: "Sa është numri i të gjitha rrënjëve katrore të një numri të caktuar jo negativ a - një, dy, tre, apo edhe më shumë"? Këtu është përgjigja: nëse a është zero, atëherë e vetmja rrënjë katrore e zeros është zero; nëse a është një numër pozitiv, atëherë numri i rrënjëve katrore të numrit a është dy, dhe rrënjët janë . Le ta justifikojmë këtë.
Le të fillojmë me rastin a=0. Së pari, le të tregojmë se zero është me të vërtetë rrënja katrore e zeros. Kjo rrjedh nga barazia e dukshme 0 2 =0·0=0 dhe përkufizimi i rrënjës katrore.
Tani le të vërtetojmë se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros. Le të përdorim metodën e kundërt. Supozoni se ka një numër b jozero që është rrënja katrore e zeros. Atëherë duhet të plotësohet kushti b 2 =0, i cili është i pamundur, pasi për çdo b jozero vlera e shprehjes b 2 është pozitive. Kemi arritur në një kontradiktë. Kjo vërteton se 0 është e vetmja rrënjë katrore e zeros.
Le të kalojmë në rastet kur a është një numër pozitiv. Thamë më lart se çdo numër jo negativ ka gjithmonë një rrënjë katrore, le të jetë rrënja katrore e a numri b. Le të themi se ekziston një numër c, i cili është edhe rrënja katrore e a. Atëherë, me përcaktimin e rrënjës katrore, barazitë b 2 =a dhe c 2 =a janë të vërteta, nga ku del se b 2 −c 2 =a−a=0, por meqë b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , pastaj (b−c)·(b+c)=0 . Barazia që rezulton është e vlefshme vetitë e veprimeve me numra realë e mundur vetëm kur b−c=0 ose b+c=0 . Kështu, numrat b dhe c janë të barabartë ose të kundërt.
Nëse supozojmë se ekziston një numër d, i cili është një rrënjë tjetër katrore e numrit a, atëherë me arsyetim të ngjashëm me ato të dhëna tashmë, vërtetohet se d është i barabartë me numrin b ose me numrin c. Pra, numri i rrënjëve katrore të një numri pozitiv është dy, dhe rrënjët katrorë janë numra të kundërt.
Për lehtësinë e punës me rrënjë katrore, rrënja negative "ndahet" nga ajo pozitive. Për këtë qëllim është prezantuar përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike.
Përkufizimi
Rrënja katrore aritmetike e një numri jo negativ aështë një numër jo negativ katrori i të cilit është i barabartë me a.
Shënimi për rrënjën katrore aritmetike të a është . Shenja quhet shenja aritmetike e rrënjës katrore. Quhet edhe shenja radikale. Prandaj, ndonjëherë mund të dëgjoni si "rrënjë" dhe "radikale", që do të thotë i njëjti objekt.
Numri nën shenjën aritmetike të rrënjës katrore quhet numër radikal, dhe shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale, ndërsa termi "numër radikal" shpesh zëvendësohet me "shprehje radikale". Për shembull, në shënim numri 151 është një numër radikal, dhe në shënim shprehja a është një shprehje radikale.
Gjatë leximit, fjala "aritmetikë" shpesh hiqet, për shembull, hyrja lexohet si "rrënja katrore e shtatë pikës njëzet e nëntë". Fjala "aritmetikë" përdoret vetëm kur duan ta theksojnë këtë ne po flasim për konkretisht për rrënjën katrore pozitive të një numri.
Në dritën e shënimit të paraqitur, nga përkufizimi i rrënjës katrore aritmetike rrjedh se për çdo numër jo negativ a .
Rrënjët katrore të një numri pozitiv a shkruhen duke përdorur shenjën aritmetike të rrënjës katrore si dhe . Për shembull, rrënjët katrore të 13 janë dhe . Rrënja katrore aritmetike e zeros është zero, domethënë . Për numrat negativ a, ne nuk do t'i bashkojmë kuptimin shënimit derisa të studiojmë numra komplekse. Për shembull, shprehjet dhe janë të pakuptimta.
Në bazë të përkufizimit të rrënjës katrore, vërtetohen vetitë e rrënjëve katrore, të cilat përdoren shpesh në praktikë.
Në përfundim të kësaj pike, vërejmë se rrënjët katrore të numrit a janë zgjidhje të formës x 2 =a në lidhje me ndryshoren x.
Rrënja kubike e një numri
Përkufizimi i rrënjës së kubit i numrit a jepet në mënyrë të ngjashme me përkufizimin e rrënjës katrore. Vetëm ai bazohet në konceptin e një kubi të një numri, jo një katror.
Përkufizimi
Rrënja kubike e aështë një numër kubi i të cilit është i barabartë me a.
Le të japim shembuj të rrënjëve kubike. Për ta bërë këtë, merrni disa numra, për shembull, 7, 0, −2/3 dhe vendosini në kubike: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Pastaj, bazuar në përkufizimin e rrënjës kubike, mund të themi se numri 7 është rrënja kubike e 343, 0 është rrënja kubike e zeros dhe −2/3 është rrënja e kubit e −8/27.
Mund të tregohet se rrënja kubike e një numri, ndryshe nga rrënja katrore, ekziston gjithmonë, jo vetëm për jonegativin a, por edhe për çdo numër real a. Për ta bërë këtë, mund të përdorni të njëjtën metodë që përmendëm kur studiojmë rrënjët katrore.
Për më tepër, ekziston vetëm një rrënjë e vetme kubike e një numri të caktuar a. Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh tre raste veç e veç: a është një numër pozitiv, a=0 dhe a është një numër negativ.
Është e lehtë të tregohet se nëse a është pozitive, rrënja kubike e a nuk mund të jetë as numër negativ dhe as zero. Në të vërtetë, le të jetë b rrënja kubike e a-së, atëherë sipas përkufizimit mund të shkruajmë barazinë b 3 =a. Është e qartë se kjo barazi nuk mund të jetë e vërtetë për negativin b dhe për b=0, pasi në këto raste b 3 =b·b·b do të jetë përkatësisht një numër negativ ose zero. Pra, rrënja kubike e një numri pozitiv a është një numër pozitiv.
Tani supozojmë se përveç numrit b ka një rrënjë tjetër kubike të numrit a, le ta shënojmë atë c. Pastaj c 3 =a. Prandaj, b 3 −c 3 =a−a=0, por b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(kjo është formula e shkurtuar e shumëzimit dallimi i kubeve), prej nga (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Barazia që rezulton është e mundur vetëm kur b−c=0 ose b 2 +b·c+c 2 =0. Nga barazia e parë kemi b=c, dhe barazia e dytë nuk ka zgjidhje, pasi ana e majtë e saj është një numër pozitiv për çdo numër pozitiv b dhe c si shuma e tre termave pozitivë b 2, b·c dhe c 2. Kjo vërteton veçantinë e rrënjës kubike të një numri pozitiv a.
Kur a=0, rrënja kubike e numrit a është vetëm numri zero. Në të vërtetë, nëse supozojmë se ekziston një numër b, i cili është një rrënjë kubike jo zero e zeros, atëherë duhet të jetë barazia b 3 =0, e cila është e mundur vetëm kur b=0.
Për negative a, mund të jepen argumente të ngjashme me rastin për pozitiv a. Së pari, ne tregojmë se rrënja kubike e një numri negativ nuk mund të jetë e barabartë me një numër pozitiv ose zero. Së dyti, supozojmë se ekziston një rrënjë e dytë kubike e një numri negativ dhe tregojmë se do të përkojë domosdoshmërisht me të parën.
Pra, ekziston gjithmonë një rrënjë kubike e çdo numri real të dhënë a, dhe një unik.
Le të japim përkufizimi i rrënjës së kubit aritmetik.
Përkufizimi
Rrënja kubike aritmetike e një numri jonegativ aështë një numër jo negativ kubi i të cilit është i barabartë me a.
Rrënja e kubit aritmetik e një numri jonegativ a shënohet si , shenja quhet shenja e rrënjës së kubit aritmetik, numri 3 në këtë shënim quhet indeksi rrënjë. Numri nën shenjën e rrënjës është numër radikal, shprehja nën shenjën e rrënjës është shprehje radikale.
Megjithëse rrënja e kubit aritmetik përcaktohet vetëm për numrat jonegativë a, është gjithashtu i përshtatshëm të përdoren shënime në të cilat nën shenjën e rrënjës së kubit aritmetik janë numrat negativë. Do t'i kuptojmë si më poshtë: , ku a është një numër pozitiv. Për shembull, 
.
Ne do të flasim për vetitë e rrënjëve të kubit në artikullin e përgjithshëm vetitë e rrënjëve.
Llogaritja e vlerës së rrënjës së kubit quhet nxjerrja e rrënjës së kubit; ky veprim diskutohet në artikullin për nxjerrjen e rrënjëve: metoda, shembuj, zgjidhje.
Për të përfunduar këtë pikë, le të themi se rrënja kubike e numrit a është zgjidhje e formës x 3 =a.
rrënja e n-të, rrënja aritmetike e shkallës n
Le të përgjithësojmë konceptin e rrënjës së një numri - ne prezantojmë përkufizimi i rrënjës së n-të për n.
Përkufizimi
rrënja e n-të e aështë një numër, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.
Nga këtë përkufizimështë e qartë se rrënja e shkallës së parë të numrit a është vetë numri a, pasi gjatë studimit të shkallës me një eksponent natyror kemi marrë një 1 =a.
Më sipër shikuam raste të veçanta të rrënjës së n-të për n=2 dhe n=3 - rrënjë katrore dhe rrënjë kubike. Kjo do të thotë, një rrënjë katrore është një rrënjë e shkallës së dytë, dhe një rrënjë kubike është një rrënjë e shkallës së tretë. Për të studiuar rrënjët e shkallës së n-të për n=4, 5, 6, ..., është e përshtatshme t'i ndani ato në dy grupe: grupi i parë - rrënjët me gradë çift (d.m.th., për n = 4, 6, 8 , ...), grupi i dytë - rrënjët shkallë tek (pra me n=5, 7, 9, ...). Kjo për faktin se rrënjët e madje pushteteve janë të ngjashme rrenja katrore, dhe rrënjët e fuqive tek - kub. Le të merremi me ta një nga një.
Le të fillojmë me rrënjët, fuqitë e të cilave janë numra çift 4, 6, 8, ... Siç thamë, ato janë të ngjashme me rrënjën katrore të numrit a. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle çift të numrit a ekziston vetëm për jonegativin a. Për më tepër, nëse a=0, atëherë rrënja e a është unike dhe e barabartë me zero, dhe nëse a>0, atëherë ka dy rrënjë të shkallës çift të numrit a, dhe ata janë numra të kundërt.
Le të vërtetojmë deklaratën e fundit. Le të jetë b një rrënjë çift (e shënojmë si 2·m, ku m është një numër natyror) i numrit a. Supozoni se ka një numër c - një rrënjë tjetër e shkallës 2·m nga numri a. Atëherë b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Por ne e dimë formën b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), atëherë (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Nga kjo barazi rrjedh se b−c=0, ose b+c=0, ose b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Dy barazitë e para nënkuptojnë se numrat b dhe c janë të barabartë ose b dhe c janë të kundërt. Dhe barazia e fundit vlen vetëm për b=c=0, pasi në anën e majtë të saj ka një shprehje që është jonegative për çdo b dhe c si shuma e numrave jonegativë.
Për sa i përket rrënjëve të shkallës së n-të për n tek, ato janë të ngjashme me rrënjën kubike. Kjo do të thotë, rrënja e çdo shkalle tek e numrit a ekziston për çdo numër real a, dhe për një numër të caktuar a është unik.
Veçantia e rrënjës me shkallë tek 2·m+1 e numrit a vërtetohet me analogji me vërtetimin e veçantisë së rrënjës kubike të a. Vetëm këtu në vend të barazisë a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) përdoret një barazi e formës b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). Shprehja në kllapa e fundit mund të rishkruhet si b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Për shembull, me m=2 kemi b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Kur a dhe b janë të dyja pozitive ose të dyja negative, prodhimi i tyre është një numër pozitiv, atëherë shprehja b 2 +c 2 +b·c në kllapa vetë shkallë të lartë foleja, është pozitive si shuma e numrave pozitivë. Tani, duke kaluar në mënyrë sekuenciale te shprehjet në kllapa të shkallëve të mëparshme të foleve, ne jemi të bindur se ato janë gjithashtu pozitive si shuma e numrave pozitivë. Si rezultat, marrim se barazia b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 e mundur vetëm kur b−c=0, pra kur numri b është i barabartë me numrin c.
Është koha për të kuptuar shënimin e rrënjëve të n-të. Për këtë qëllim jepet përkufizimi i rrënjës aritmetike të shkallës së n-të.
Përkufizimi
Rrënja aritmetike e shkallës së n-të të një numri jonegativ aështë një numër jo negativ, fuqia e n-të e të cilit është e barabartë me a.
