Mësuesit besojnë se çdo nxënës duhet të jetë në gjendje të kryejë llogaritjet, të njohë formulat trigonometrike, por jo çdo mësues shpjegon se çfarë janë sinusi dhe kosinusi. Cili është kuptimi i tyre, ku përdoren? Pse flasim për trekëndësha, por në tekst është vizatuar një rreth? Le të përpiqemi të lidhim të gjitha faktet së bashku.
Lënda shkollore
Studimi i trigonometrisë zakonisht fillon në klasat 7-8 gjimnaz. Në këtë kohë nxënësve u shpjegohet se çfarë është sinusi dhe kosinusi, u ofrohet të zgjidhin problema gjeometrike duke përdorur këto funksione. Më vonë shfaqen formula dhe shprehje më komplekse që duhet të konvertohen në mënyrë algjebrike (formula me kënd të dyfishtë dhe gjysmë, funksionet e fuqisë), po punohet me rreth trigonometrik.
Megjithatë, mësuesit nuk janë gjithmonë në gjendje të shpjegojnë qartë kuptimin e koncepteve të përdorura dhe zbatueshmërinë e formulave. Prandaj, studenti shpesh nuk e sheh pikën në këtë temë, dhe informacioni i memorizuar harrohet shpejt. Sidoqoftë, ia vlen t'i shpjegohet një gjimnazisti, për shembull, marrëdhënia midis funksionit dhe lëvizjes lëkundëse, dhe lidhja logjike do të mbahet mend për shumë vite, dhe shakatë për padobishmërinë e temës do të bëhen një gjë e së kaluarës. .
Përdorimi
Për hir të kuriozitetit, le të shohim degë të ndryshme të fizikës. Dëshironi të përcaktoni rrezen e një predheje? Apo po llogaritni forcën e fërkimit midis një objekti dhe një sipërfaqe të caktuar? Lëkundje një lavjerrës, shikimi i rrezeve që kalojnë nëpër xhami, llogaritja e induksionit? Konceptet trigonometrike shfaqen pothuajse në çdo formulë. Pra, çfarë janë sinusi dhe kosinusi?
Përkufizimet
Sinusi i një këndi është raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën, kosinusi i këmbës ngjitur me të njëjtën hipotenuzë. Nuk ka absolutisht asgjë të komplikuar këtu. Ndoshta studentët zakonisht ngatërrohen nga vlerat që shohin në tabelën trigonometrike, sepse rrënjët katrore shfaqen atje. Po, marrja e thyesave dhjetore prej tyre nuk është shumë e përshtatshme, por kush tha që të gjithë numrat në matematikë duhet të jenë çift?
Në fakt, mund të gjeni një sugjerim qesharak në librat e problemeve të trigonometrisë: shumica e përgjigjeve këtu janë të njëtrajtshme dhe, në rastin më të keq, përmbajnë rrënjën e dy ose tre. Përfundimi është i thjeshtë: nëse keni një fraksion "shumëkatëshe" në përgjigjen tuaj, kontrolloni dy herë zgjidhjen për gabime në llogaritjet ose arsyetimin. Dhe me shumë mundësi do t'i gjeni.
Çfarë duhet mbajtur mend
Si në çdo shkencë, edhe në trigonometri ka të dhëna që duhen mësuar.
Së pari, duhet të mbani mend vlerat numerike për sinuset, kosinuset e një trekëndëshi kënddrejtë 0 dhe 90, si dhe 30, 45 dhe 60 gradë. Këta tregues gjenden në nëntë nga dhjetë detyra shkollore. Duke parë këto vlera në librin shkollor, do të humbni shumë kohë dhe nuk do të keni ku të shikoni kontrollin ose provimin.
Duhet mbajtur mend se vlera e të dy funksioneve nuk mund të kalojë një. Nëse diku në llogaritje ju merrni një vlerë jashtë intervalit 0-1, ndaloni dhe zgjidhni problemin përsëri.
Shuma e katrorëve të sinusit dhe kosinusit është e barabartë me një. Nëse e keni gjetur tashmë një nga vlerat, përdorni këtë formulë për të gjetur pjesën tjetër.
Teorema
Ekzistojnë dy teorema kryesore në trigonometrinë bazë: sinuset dhe kosinuset.
E para thotë se raporti i secilës anë të trekëndëshit me sinusin e këndit të kundërt është i njëjtë. E dyta është se katrori i cilësdo anë mund të merret duke shtuar katrorët e dy brinjëve të mbetura dhe duke zbritur dy herë produktin e tyre, shumëzuar me kosinusin e këndit që shtrihet midis tyre.
Kështu, nëse e zëvendësojmë vlerën e këndit prej 90 gradë në teoremën e kosinusit, marrim ... teoremën e Pitagorës. Tani, nëse duhet të llogarisni sipërfaqen e një figure që nuk është një trekëndësh kënddrejtë, nuk mund të shqetësoheni më - dy teoremat e konsideruara do ta thjeshtojnë shumë zgjidhjen e problemit.
Synimet dhe synimet
Mësimi i trigonometrisë do të jetë shumë më i lehtë kur të kuptoni një fakt të thjeshtë: të gjitha veprimet që kryeni synojnë arritjen e një qëllimi. Çdo parametër i një trekëndëshi mund të gjendet nëse dini informacionin minimal për të - mund të jetë vlera e një këndi dhe gjatësia e dy anëve ose, për shembull, tre anëve.
Për të përcaktuar sinusin, kosinusin, tangjentën e çdo këndi, këto të dhëna janë të mjaftueshme; me ndihmën e tyre, ju lehtë mund të llogarisni sipërfaqen e figurës. Pothuajse gjithmonë, një nga vlerat e përmendura kërkohet si përgjigje dhe mund t'i gjeni duke përdorur të njëjtat formula.
Mospërputhjet në studimin e trigonometrisë
Një nga pyetjet e paqarta që studentët preferojnë të shmangin është zbulimi i lidhjes midis koncepteve të ndryshme në trigonometri. Duket se trekëndëshat përdoren për të studiuar sinuset dhe kosinuset e këndeve, por për disa arsye simbolet shpesh gjenden në figurën me një rreth. Përveç kësaj, ekziston një grafik krejtësisht i pakuptueshëm i ngjashëm me valën, i quajtur sinusoid, i cili nuk ka ngjashmëri të jashtme as me një rreth apo me trekëndësha.
Për më tepër, këndet maten ose në gradë ose në radianë, dhe numri Pi, i shkruar thjesht si 3.14 (pa njësi), për disa arsye shfaqet në formula, që korrespondon me 180 gradë. Si është e lidhur e gjitha?
Njësitë
Pse pi është saktësisht 3.14? A ju kujtohet se çfarë është kjo vlerë? Ky është numri i rrezeve që përshtaten në hark në gjysmën e rrethit. Nëse diametri i rrethit është 2 centimetra, perimetri do të jetë 3.14 * 2 ose 6.28.
Pika e dytë: ju mund të keni vënë re ngjashmërinë e fjalëve "radian" dhe "radius". Fakti është se një radian është numerikisht i barabartë me vlerën e këndit të vendosur nga qendra e rrethit në një hark me një gjatësi prej një rrezeje.
Tani kombinojmë njohuritë e marra dhe kuptojmë pse "Pi në gjysmë" është shkruar në krye të boshtit koordinativ në trigonometri, dhe "Pi" është shkruar në të majtë. Kjo është një vlerë këndore e matur në radianë, sepse një gjysmërreth është 180 gradë, ose 3,14 radianë. Dhe ku ka shkallë, ka sinus dhe kosinus. Trekëndëshi është i lehtë për t'u nxjerrë nga pikë e dëshiruar, duke i shtyrë segmentet në qendër dhe në boshtin koordinativ.
Le të shohim në të ardhmen
Trigonometria, e studiuar në shkollë, merret me një sistem koordinativ drejtvizor, ku, sado e çuditshme që mund të tingëllojë, një vijë është një vijë.
Por ka mënyra më komplekse për të punuar me hapësirën: shuma e këndeve të trekëndëshit këtu do të jetë më shumë se 180 gradë, dhe vija e drejtë në këndvështrimin tonë do të duket si një hark i vërtetë.
Le të kalojmë nga fjalët në vepra! Merrni një mollë. Bëni tre prerje me thikë në mënyrë që kur të shikoni nga lart të merrni një trekëndësh. Nxirreni copën e mollës që rezulton dhe shikoni “brinjët” ku mbaron lëvozhga. Ata nuk janë aspak të drejtë. Fruti në duart tuaja mund të quhet me kusht i rrumbullakët, dhe tani imagjinoni sa komplekse duhet të jenë formulat, me ndihmën e të cilave mund të gjeni zonën e pjesës së prerë. Por disa ekspertë zgjidhin probleme të tilla çdo ditë.
Funksionet trigonometrike në jetën reale
A keni vënë re se rruga më e shkurtër për një aeroplan nga pika A në pikën B në sipërfaqen e planetit tonë ka një formë harku të theksuar? Arsyeja është e thjeshtë: Toka është sferike, që do të thotë se nuk mund të llogarisni shumë duke përdorur trekëndëshat - këtu duhet të përdorni formula më komplekse.
Ju nuk mund të bëni pa sinusin / kosinusin e një këndi akut në asnjë çështje që lidhet me hapësirën. Është interesante se një numër faktorësh konvergojnë këtu: funksionet trigonometrike kërkohen kur llogaritet lëvizja e planetëve në rrathë, elipsa dhe trajektore të ndryshme për më shumë se forma komplekse; procesi i lëshimit të raketave, satelitëve, anijeve, shkyçjes së mjeteve kërkimore; monitorimi yjet e largët dhe studimi i galaktikave që njerëzit nuk do të jenë në gjendje t'i arrijnë në të ardhmen e parashikueshme.
Në përgjithësi, fusha për veprimtarinë e një personi që zotëron trigonometrinë është shumë e gjerë dhe, me sa duket, do të zgjerohet vetëm me kalimin e kohës.
konkluzioni
Sot mësuam ose, në çdo rast, përsëritëm se çfarë është sinusi dhe kosinusi. Këto janë koncepte nga të cilat nuk keni nevojë të keni frikë - thjesht dëshironi dhe do ta kuptoni kuptimin e tyre. Mos harroni se trigonometria nuk është një qëllim, por vetëm një mjet që mund të përdoret për të përmbushur nevojat reale të njeriut: të ndërtoni shtëpi, të siguroni sigurinë e trafikut, madje të zotëroni hapësirat e universit.
Në të vërtetë, vetë shkenca mund të duket e mërzitshme, por sapo të gjeni në të një mënyrë për të arritur qëllimet tuaja, vetë-realizimin, procesi i të mësuarit do të bëhet interesant dhe motivimi juaj personal do të rritet.
Si detyre shtepie përpiquni të gjeni mënyra për të aplikuar funksionet trigonometrike në një fushë aktiviteti që është me interes për ju personalisht. Ëndërroni, ndizni imagjinatën tuaj dhe atëherë me siguri do të rezultojë se njohuritë e reja do t'ju jenë të dobishme në të ardhmen. Dhe përveç kësaj, matematika është e dobishme për zhvillimin e përgjithshëm duke menduar.
Raporti i këmbës së kundërt me hipotenuzën quhet sinus i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.
\sin \alfa = \frac(a)(c)
Kosinusi i një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë
Raporti i këmbës më të afërt me hipotenuzën quhet kosinus i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.
\cos \alfa = \frac(b)(c)
Tangjentja e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë
Raporti i këmbës së kundërt me këmbën ngjitur quhet tangjente e këndit akut trekëndësh kënddrejtë.
tg \alfa = \frac(a)(b)
Kotangjentja e një këndi akut të një trekëndëshi kënddrejtë
Raporti i këmbës ngjitur me këmbën e kundërt quhet kotangjent i një këndi akut trekëndësh kënddrejtë.
ctg \alfa = \frac(b)(a)
Sinus i një këndi arbitrar
Ordinata e pikës në rrethin njësi të cilës i përgjigjet këndi \alfa quhet sinus i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
\sin \alfa=y
Kosinusi i një këndi arbitrar
Quhet abshisa e një pike në rrethin njësi të cilit i përgjigjet këndi \alfa kosinus i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
\cos \alfa=x
Tangjenta e një këndi arbitrar
Raporti i sinusit të një këndi të rrotullimit arbitrar \alfa me kosinusin e tij quhet tangjente e një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
tg \alfa = y_(A)
tg \alfa = \frac(\sin \alfa)(\cos \alfa)
Kotangjent i një këndi arbitrar
Raporti i kosinusit të një këndi të rrotullimit arbitrar \alfa me sinusin e tij quhet kotangjent i një këndi arbitrar rrotullim \alfa .
ctg \alfa =x_(A)
ctg \alfa = \frac(\cos \alfa)(\sin \alpha)
Një shembull i gjetjes së një këndi arbitrar
Nëse \alfa është një kënd AOM , ku M është një pikë në rrethin e njësisë, atëherë
\sin \alfa=y_(M) , \cos \alfa=x_(M) , tg \alfa=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alfa=\frac(x_(M))(y_(M)).
Për shembull, nëse \kënd AOM = -\frac(\pi)(4), atëherë: ordinata e pikës M është -\frac(\sqrt(2))(2), abshisa është \frac(\sqrt(2))(2) dhe kjo është arsyeja pse
\sin \majtas (-\frac(\pi)(4) \djathtas)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \majtas (\frac(\pi)(4) \djathtas)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \majtas (-\frac(\pi)(4) \djathtas)=-1.
Tabela e vlerave të sinuseve të kosinuseve të tangjentëve të kotangjenteve
Vlerat e këndeve kryesore që hasen shpesh janë dhënë në tabelë:
| 0^(\rreth) (0) | 30^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(6)\djathtas) | 45^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(4)\djathtas) | 60^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(3)\djathtas) | 90^(\circ)\majtas(\frac(\pi)(2)\djathtas) | 180^(\circ)\majtas(\pi\djathtas) | 270^(\circ)\majtas(\frac(3\pi)(2)\djathtas) | 360^(\circ)\majtas(2\pi\djathtas) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alfa | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Janë dhënë raportet ndërmjet funksioneve kryesore trigonometrike - sinus, kosinus, tangjent dhe kotangjent. formulat trigonometrike. Dhe meqenëse ka mjaft lidhje midis funksioneve trigonometrike, kjo shpjegon edhe bollëkun e formulave trigonometrike. Disa formula lidhin funksionet trigonometrike të të njëjtit kënd, të tjera - funksionet e një këndi të shumëfishtë, të tjera - ju lejojnë të ulni shkallën, e katërta - të shprehni të gjitha funksionet përmes tangjentës së një gjysmë këndi, etj.
Në këtë artikull, ne rendisim të gjitha formulat bazë trigonometrike, të cilat janë të mjaftueshme për të zgjidhur shumicën dërrmuese të problemeve të trigonometrisë. Për lehtësinë e memorizimit dhe përdorimit, ne do t'i grupojmë ato sipas qëllimit të tyre dhe do t'i vendosim në tabela.
Navigimi i faqes.
Identitetet bazë trigonometrike
Identitetet bazë trigonometrike caktoni marrëdhënien midis sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së një këndi. Ato rrjedhin nga përkufizimi i sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, si dhe konceptit të rrethit njësi. Ato ju lejojnë të shprehni një funksion trigonometrik përmes ndonjë tjetër.
Për një përshkrim të hollësishëm të këtyre formulave të trigonometrisë, shembujt e derivimit dhe aplikimit të tyre, shihni artikullin.
Formulat e hedhura
Formulat e hedhura vijojnë nga vetitë e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës, domethënë ato pasqyrojnë vetinë e periodicitetit të funksioneve trigonometrike, vetinë e simetrisë dhe gjithashtu vetinë e zhvendosjes sipas një këndi të caktuar. Këto formula trigonometrike ju lejojnë të kaloni nga puna me kënde arbitrare në punën me kënde që variojnë nga zero në 90 gradë.
Arsyeja për këto formula, një rregull kujtues për memorizimin e tyre dhe shembuj të zbatimit të tyre mund të studiohen në artikull.
Formulat e shtimit
Formulat e mbledhjes trigonometrike të tregojë se si shprehen funksionet trigonometrike të shumës ose ndryshimit të dy këndeve në funksion të funksioneve trigonometrike të këtyre këndeve. Këto formula shërbejnë si bazë për nxjerrjen e formulave trigonometrike të mëposhtme.
Formulat për dyshe, treshe etj. qoshe
Formulat për dyshe, treshe etj. këndi (quhen edhe formulat e këndit të shumëfishtë) tregojnë se si funksionojnë trigonometrikë të dyfishtë, trefishtë etj. këndet () shprehen me funksione trigonometrike të një këndi të vetëm. Derivimi i tyre bazohet në formulat e mbledhjes.
Informacion më të detajuar është mbledhur në formulat e artikullit për dyfishin, trefishin, etj. kënd .
Formulat me gjysmë kënd
Formulat me gjysmë kënd të tregojë se si shprehen funksionet trigonometrike të një gjysmëkëndi me kosinusin e një këndi të plotë. Këto formula trigonometrike rrjedhin nga formulat e këndit të dyfishtë.
Përfundimi i tyre dhe shembujt e aplikimit mund të gjenden në artikull.
Formulat e reduktimit
Formulat trigonometrike për zvogëlimin e shkallëve projektuar për të lehtësuar kalimin nga shkallë natyrore funksionet trigonometrike në sinus dhe kosinus në shkallën e parë, por kënde të shumta. Me fjalë të tjera, ato lejojnë që njeriu të reduktojë fuqitë e funksioneve trigonometrike në të parën.
Formulat për shumën dhe ndryshimin e funksioneve trigonometrike
destinacioni kryesor formulat e shumës dhe diferencës për funksionet trigonometrike konsiston në kalimin në produktin e funksioneve, gjë që është shumë e dobishme kur thjeshtohen shprehjet trigonometrike. Këto formula përdoren gjithashtu gjerësisht në zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike, pasi ato lejojnë faktorizimin e shumës dhe diferencës së sinuseve dhe kosinuseve.
Formulat për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus
Kalimi nga prodhimi i funksioneve trigonometrike në shumën ose ndryshimin kryhet nëpërmjet formulave për prodhimin e sinuseve, kosinuseve dhe sinusit për kosinus.
E drejta e autorit nga studentë të zgjuar
Të gjitha të drejtat e rezervuara.
Mbrojtur nga ligji për të drejtën e autorit. Asnjë pjesë e faqes së internetit, duke përfshirë materialet e brendshme dhe dizajnin e jashtëm, nuk mund të riprodhohet në asnjë formë ose të përdoret pa lejen paraprake me shkrim të mbajtësit të së drejtës së autorit.
Konceptet e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës janë kategoritë kryesore të trigonometrisë - një degë e matematikës dhe janë të lidhura në mënyrë të pandashme me përcaktimin e një këndi. Zotërimi i kësaj shkence matematikore kërkon memorizimin dhe kuptimin e formulave dhe teoremave, si dhe të menduarit e zhvilluar hapësinor. Kjo është arsyeja pse llogaritjet trigonometrike shpesh shkaktojnë vështirësi për nxënësit dhe studentët. Për t'i kapërcyer ato, duhet të njiheni më shumë me funksionet dhe formulat trigonometrike.
Konceptet në trigonometri
Për të kuptuar konceptet bazë të trigonometrisë, së pari duhet të vendosni se çfarë janë një trekëndësh kënddrejtë dhe një kënd në një rreth dhe pse të gjitha llogaritjet bazë trigonometrike lidhen me to. Një trekëndësh në të cilin njëri prej këndeve është 90 gradë është një trekëndësh kënddrejtë. Historikisht, kjo figurë është përdorur shpesh nga njerëzit në arkitekturë, lundrim, art, astronomi. Prandaj, duke studiuar dhe analizuar vetitë e kësaj figure, njerëzit erdhën në llogaritjen e raporteve përkatëse të parametrave të saj.
Kategoritë kryesore që lidhen me trekëndëshat kënddrejtë janë hipotenuza dhe këmbët. Hipotenuza është ana e një trekëndëshi që është e kundërt kënd i drejtë. Këmbët, përkatësisht, janë dy anët e tjera. Shuma e këndeve të çdo trekëndëshi është gjithmonë 180 gradë.
Trigonometria sferike është një pjesë e trigonometrisë që nuk studiohet në shkollë, por në shkencat e aplikuara si astronomia dhe gjeodezia, shkencëtarët e përdorin atë. Një tipar i një trekëndëshi në trigonometrinë sferike është se ai gjithmonë ka një shumë këndesh më të mëdha se 180 gradë.
Këndet e një trekëndëshi
Në një trekëndësh kënddrejtë, sinusi i një këndi është raporti i këmbës përballë këndit të dëshiruar me hipotenuzën e trekëndëshit. Prandaj, kosinusi është raporti i këmbës ngjitur dhe hipotenuzës. Të dyja këto vlera kanë gjithmonë një vlerë më të vogël se një, pasi hipotenuza është gjithmonë më e gjatë se këmba.
Tangjenti i një këndi është një vlerë e barabartë me raportin e këmbës së kundërt me këmbën ngjitur të këndit të dëshiruar, ose sinusit me kosinusin. Kotangjenti, nga ana tjetër, është raporti i këmbës ngjitur të këndit të dëshiruar me kaktetin e kundërt. Kotangjentja e një këndi mund të merret edhe duke e pjesëtuar njësinë me vlerën e tangjentes.
rrethi njësi
Një rreth njësi në gjeometri është një rreth rrezja e të cilit është e barabartë me një. Një rreth i tillë ndërtohet në sistemin koordinativ kartezian, me qendrën e rrethit që përkon me pikën e origjinës, dhe pozicioni fillestar i vektorit të rrezes përcaktohet nga drejtimi pozitiv i boshtit X (boshti i abshisës). Çdo pikë e rrethit ka dy koordinata: XX dhe YY, domethënë koordinatat e abshisës dhe ordinatës. Duke zgjedhur çdo pikë të rrethit në rrafshin XX dhe duke hedhur pingulen prej tij në boshtin e abshisës, marrim një trekëndësh kënddrejtë të formuar nga një rreze në pikën e zgjedhur (le ta shënojmë me shkronjën C), një pingul i tërhequr në boshti X (pika e kryqëzimit shënohet me shkronjën G) dhe një segment i boshtit të abshisës ndërmjet origjinës (pika shënohet me shkronjën A) dhe pikës së kryqëzimit G. Trekëndëshi që rezulton ACG është një trekëndësh kënddrejtë i gdhendur në një rreth, ku AG është hipotenuza, dhe AC dhe GC janë këmbët. Këndin ndërmjet rrezes së rrethit AC dhe segmentit të boshtit të abshisës me emërtimin AG, e përcaktojmë si α (alfa). Pra, cos α = AG/AC. Duke qenë se AC është rrezja e rrethit të njësisë dhe është e barabartë me një, rezulton se cos α=AG. Në mënyrë të ngjashme, sin α=CG.
Përveç kësaj, duke ditur këto të dhëna, mund të përcaktoni koordinatat e pikës C në rreth, pasi cos α \u003d AG, dhe sin α \u003d CG, që do të thotë se pika C ka koordinatat e dhëna(cos α;sin α). Duke ditur që tangjentja është e barabartë me raportin e sinusit me kosinusin, mund të përcaktojmë se tg α \u003d y / x, dhe ctg α \u003d x / y. Duke marrë parasysh këndet në sistemi negativ koordinatat, mund të llogaritet se vlerat e sinusit dhe kosinusit të disa këndeve mund të jenë negative.
Llogaritjet dhe formulat bazë
Vlerat e funksioneve trigonometrike
Duke marrë parasysh thelbin e funksioneve trigonometrike përmes rrethit të njësisë, mund të nxjerrim vlerat e këtyre funksioneve për disa kënde. Vlerat janë renditur në tabelën e mëposhtme.
Identitetet më të thjeshta trigonometrike
Ekuacionet në të cilat ka një vlerë të panjohur nën shenjën e funksionit trigonometrik quhen trigonometrike. Identitetet me vlerën sin x = α, k është çdo numër i plotë:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, nuk ka zgjidhje.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * harksin α + πk.
Identitete me vlerën cos x = a, ku k është çdo numër i plotë:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, nuk ka zgjidhje.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identitete me vlerën tg x = a, ku k është çdo numër i plotë:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identitete me vlerë ctg x = a, ku k është çdo numër i plotë:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Formulat e hedhura
Kjo kategori formula konstante tregon metodat me të cilat mund të kaloni nga funksionet trigonometrike të formës në funksionet e argumentit, d.m.th., të shndërroni sinusin, kosinusin, tangjenten dhe kotangjentën e një këndi të çdo vlere në treguesit përkatës të këndit të intervalit nga 0 në 90 gradë për lehtësi më të madhe të llogaritjeve.
Formulat për reduktimin e funksioneve për sinusin e një këndi duken kështu:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = mëkat α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = mëkat α.
Për kosinusin e një këndi:
- cos(900 - α) = mëkat α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Përdorimi i formulave të mësipërme është i mundur në varësi të dy rregullave. Së pari, nëse këndi mund të përfaqësohet si një vlerë (π/2 ± a) ose (3π/2 ± a), vlera e funksionit ndryshon:
- nga mëkati në cos;
- nga cos në mëkat;
- nga tg në ctg;
- nga ctg në tg.
Vlera e funksionit mbetet e pandryshuar nëse këndi mund të paraqitet si (π ± a) ose (2π ± a).
Së dyti, shenja e funksionit të reduktuar nuk ndryshon: nëse fillimisht ishte pozitive, ajo mbetet e tillë. E njëjta gjë vlen edhe për funksionet negative.
Formulat e shtimit
Këto formula shprehin vlerat e sinusit, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës së shumës dhe diferencës së dy këndeve të rrotullimit për sa i përket funksioneve të tyre trigonometrike. Këndet zakonisht shënohen si α dhe β.
Formulat duken kështu:
- sin(α ± β) = mëkat α * cos β ± cos α * mëkat.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Këto formula janë të vlefshme për çdo kënd α dhe β.
Formulat e këndit të dyfishtë dhe të trefishtë
Formulat trigonometrike të një këndi të dyfishtë dhe të trefishtë janë formula që lidhin funksionet e këndeve 2α dhe 3α, përkatësisht, me funksionet trigonometrike të këndit α. Rrjedh nga formulat e shtimit:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Kalimi nga shuma në produkt
Duke marrë parasysh se 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), duke thjeshtuar këtë formulë, marrim identitetin sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Në mënyrë të ngjashme, sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α - β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Kalimi nga produkti në shumë
Këto formula rrjedhin nga identitetet për kalimin e shumës në produkt:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Formulat e reduktimit
Në këto identitete, fuqitë katrore dhe kubike të sinusit dhe kosinusit mund të shprehen në terma të sinusit dhe kosinusit të fuqisë së parë të një këndi të shumëfishtë:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Zëvendësimi universal
Formulat universale të zëvendësimit trigonometrik shprehin funksionet trigonometrike në termat e tangjentës së një gjysmë këndi.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), ndërsa x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), ku x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), ku x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), ndërsa x \u003d π + 2πn.
Raste të veçanta
Rastet e veçanta të ekuacioneve më të thjeshta trigonometrike janë dhënë më poshtë (k është çdo numër i plotë).
Privat për sine:
| sin x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk ose 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk ose -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk ose 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk ose -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk ose 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk ose -2π/3 + 2πk |
Koeficientët e kosinusit:
| cos x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2 πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privat për tangjentë:
| tg x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Koeficientët kotangjentë:
| ctg x vlera | x vlera |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teorema
Teorema e sinusit
Ekzistojnë dy versione të teoremës - të thjeshta dhe të zgjeruara. Teorema e thjeshtë e sinusit: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Në këtë rast, a, b, c janë brinjët e trekëndëshit, dhe α, β, γ janë përkatësisht kënde të kundërta.
Teorema e sinusit të zgjeruar për një trekëndësh arbitrar: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Në këtë identitet, R tregon rrezen e rrethit në të cilin është brendashkruar trekëndëshi i dhënë.
Teorema e kosinusit
Identiteti shfaqet në këtë mënyrë: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Në formulë, a, b, c janë brinjët e trekëndëshit, dhe α është këndi përballë brinjës a.
Teorema tangjente
Formula shpreh marrëdhënien ndërmjet tangjentave të dy këndeve dhe gjatësisë së brinjëve përballë tyre. Brinjët emërtohen a, b, c dhe këndet përkatëse të kundërta janë α, β, γ. Formula e teoremës tangjente: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Teorema kotangjente
Lidh rrezen e një rrethi të gdhendur në një trekëndësh me gjatësinë e brinjëve të tij. Nëse a, b, c janë brinjët e një trekëndëshi, dhe A, B, C, përkatësisht, janë këndet e tyre të kundërta, r është rrezja e rrethit të brendashkruar dhe p është gjysma e perimetrit të trekëndëshit, identitetet e mëposhtme mbaj:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Aplikacionet
Trigonometria nuk është vetëm një shkencë teorike e lidhur me formula matematikore. Vetitë, teoremat dhe rregullat e tij përdoren në praktikë nga industri të ndryshme veprimtaria njerëzore- astronomia, lundrimi ajror dhe detar, teoria e muzikës, gjeodezia, kimia, akustika, optika, elektronika, arkitektura, ekonomia, inxhinieria mekanike, punët matëse, grafika kompjuterike, hartografia, oqeanografia dhe shumë të tjera.
Sinusi, kosinusi, tangjentja dhe kotangjentja janë konceptet bazë të trigonometrisë, me të cilat mund të shprehni matematikisht marrëdhëniet midis këndeve dhe gjatësive të brinjëve në një trekëndësh dhe të gjeni sasitë e dëshiruara përmes identiteteve, teoremave dhe rregullave.
Pjesë përbërëse e provimit janë ekuacionet trigonometrike.
Fatkeqësisht, nuk ka një metodë të përgjithshme, të unifikuar me të cilën mund të zgjidhet çdo ekuacion në të cilin përfshihen funksionet trigonometrike. Suksesi këtu mund të sigurohet vetëm nga njohja e mirë e formulave dhe aftësia për të parë disa kombinime të dobishme, e cila zhvillohet vetëm nga praktika.
Qëllimi i përgjithshëm është zakonisht të transformohet shprehja trigonometrike e përfshirë në ekuacion në një formë të tillë që rrënjët të gjenden nga të ashtuquajturat ekuacione më të thjeshta:
| cos px = a; | sin gx = b; | tan kx = c; | ctg tx = d. |
Për ta bërë këtë, duhet të jeni në gjendje të aplikoni formula trigonometrike. Është e dobishme t'i njihni dhe t'i quani ato "emra":
1. Formulat e argumentit të dyfishtë, argumentit të trefishtë:
cos 2x \u003d cos 2 x - sin 2 x \u003d 1 - 2 sin 2 x \u003d 2 cos 2 x - 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg2x = 2tgx/1 – tgx;
ctg 2x = (ctg 2 x - 1)/2 ctg x;
mëkat 3x \u003d 3 mëkat x - 4 mëkat 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x - tg 3 x)/(1 - 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x - 3ctg x)/(3ctg 2 x - 1);
2. Formulat e gjysmëargumentit ose zvogëlimit të shkallës:
sin 2 x/2 = (1 - cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tan 2 x = (1 - cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 - cos x);
3. Prezantimi i një argumenti ndihmës:
konsideroni si shembull ekuacionin a sin x + b cos x \u003d c, domethënë, duke përcaktuar këndin x nga kushtet sin y \u003d b / v (a 2 + b 2), cos y \u003d a / v (a 2 + b 2), ne mund ta sjellim ekuacionin në shqyrtim në mëkatin më të thjeshtë (x + y) \u003d c / v (a 2 + b 2) zgjidhjet e të cilit shkruhen pa vështirësi; kështu përcaktohen edhe zgjidhjet e ekuacionit origjinal.
4. Formulat për mbledhje dhe zbritje:
sin (a + b) = mëkat a cos b + cos një mëkat b;
mëkat (a - b) \u003d mëkat a cos b - cos një mëkat b;
cos (a + b) \u003d cos a cos b - mëkat një mëkat b;
cos (a - b) \u003d cos a cos b + sin a mëkat b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b);
tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Zëvendësimi universal trigonometrik:
sin a = 2tan (a/2)/(1 + ( tg2(a/2));
cos a \u003d (1 - tg 2 (a / 2)) / (1 + ( tg2(a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Disa raporte të rëndësishme:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Formulat për shndërrimin e shumës së funksioneve trigonometrike në produkt:
mëkat a + mëkat b \u003d 2 mëkat (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
cos a - cos b \u003d -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2;
tg a + tg b = mëkat (a + b)/(cos a cos b);
tg a - tg b \u003d mëkat (a - b) / (cos a cos b).
Si dhe formulat e derdhjes.
Në procesin e zgjidhjes, duhet të monitorohet veçanërisht me kujdes ekuivalenca e ekuacioneve për të parandaluar humbjen e rrënjëve (për shembull, kur zvogëloni anën e majtë dhe të djathtë të ekuacionit me një faktor të përbashkët), ose përvetësimi i rrënjëve shtesë. (për shembull, kur kuadroni të dy pjesët e ekuacionit). Përveç kësaj, është e nevojshme të kontrollohet nëse rrënjët marrëse i përkasin ODZ të ekuacionit të konsideruar.
Në të gjitha rastet e nevojshme (d.m.th., kur u lejuan transformime jo ekuivalente), është e nevojshme të bëhet një kontroll. Gjatë zgjidhjes së një ekuacioni, është e nevojshme t'u mësoni studentëve se si t'i reduktojnë ato në disa lloje, zakonisht duke filluar me ekuacione të lehta.
Le të njihemi me metodat për zgjidhjen e ekuacioneve:
1. Reduktimi në formën ax 2 + bx + c = 0
2. Homogjeniteti i ekuacioneve.
3. Faktorizimi.
4. Reduktimi në formën a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Ndryshimi i variablave.
6. Reduktimi i ekuacionit në një ekuacion me një ndryshore.
7. Vlerësimi i pjesës së majtë dhe të djathtë.
8. Metoda e shikimit.
9. Paraqitja e një këndi ndihmës.
10. Metoda përça dhe sundo.
Konsideroni shembuj:
1. Zgjidhe ekuacionin: sin x + cos 2 x = 1/4.
Zgjidhje: Të zgjidhim metodën e reduktimit në një ekuacion kuadratik. Shprehni cos 2 x për sa i përket mëkatit 2 x
sin x + 1 - mëkat 2 x \u003d 1/4
4 mëkat 2 x - 4 mëkat x - 3 = 0
sin x \u003d -1/2, sin x \u003d 3/2 (nuk e plotëson kushtin x € [-1; 1]),
ato. x \u003d (-1) k + 1 hark 1/2 + k, k€z,
Përgjigju: (-1) k+1 /6 + k, k€z.
2. Zgjidheni ekuacionin: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
zgjidhin duke faktorizuar
2 tg x cos x - 2 cos x + 1 - tg x \u003d 0, ku x / 2 + k, k€z,
2 cos x (tg x - 1) - (tg x - 1) = 0
(2 cos x - 1) (tg x - 1) = 0
2 cos x - 1 = 0 ose tg x - 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
dmth x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.
Përgjigju: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Zgjidheni ekuacionin: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x \u003d 0.
Zgjidhje: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x \u003d 0 ekuacion homogjen i shkallës së 2-të. Meqenëse cos x = 0 nuk është rrënja e këtij ekuacioni, ne ndajmë anën e majtë dhe të djathtë me cos 2 x. Si rezultat, arrijmë në një ekuacion kuadratik për tg x
tg 2 x - 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 dhe tg x = 2,
prej nga x = /4 + m, m€z,
x \u003d arctg 2 + k, k € z.
Përgjigju: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.
4. Zgjidhe ekuacionin: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Zgjidhje: Metoda e re e prezantimit të variablave
Le të jetë 5x + 6 = y, pastaj cos 2y + 4 2 mëkat y \u003d 4
1 - 2 mëkat 2 y + 4 2 mëkat y - 4 \u003d 0
sin y \u003d t, ku t € [-1; 1]
2t 2-4 2t + 3 = 0
t = 2/2 dhe t = 3 2/2 (nuk e plotëson kushtin t€[-1;1])
sin(5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,
x \u003d (-1) k / 20 - 6/5 + k / 5, k € z.
Përgjigju: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Zgjidhe ekuacionin: (sin x - cos y) 2 + 40x 2 = 0
Zgjidhja: Ne përdorim një 2 + në 2 + c 2 \u003d 0, është e vërtetë nëse a \u003d 0, b \u003d 0, c \u003d 0. Barazia është e mundur nëse sin x - cos y \u003d 0, dhe 40x \u003d 0 nga këtu:
x \u003d 0, dhe sin 0 - cos y \u003d 0, pra, x \u003d 0, dhe cos y \u003d 0, pra: x \u003d 0, dhe y \u003d / 2 + k, k € z, ajo është gjithashtu e mundur të shkruhet (0; / 2 + k) k€z.
Përgjigju: (0; /2 + k) k€z.
6. Zgjidhe ekuacionin: sin 2 x + cos 4 x - 2 sin x + 1 = 0
Zgjidhja: Transformoni ekuacionin dhe zbatoni metodën Përçaj dhe Pusho
(sin 2 x - 2 sin x +1) + cos 4 x \u003d 0;
(sin x - 1) 2 + cos 4 x \u003d 0; është e mundur nëse
(sin x - 1) 2 = 0, dhe cos 4 x = 0, pra:
sin x - 1 = 0, dhe cos x = 0,
sin x \u003d 1, dhe cos x \u003d 0, pra
x = /2 + k, k€z
Përgjigju: /2 + k, k€z.
7. Zgjidhe ekuacionin: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.
Zgjidhja: ne aplikojmë metodën e vlerësimit të pjesëve të majta dhe të djathta dhe kufirit të funksioneve cos dhe sin.
- 1 mëkat 5x 1 dhe -1 mëkat x 1
0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2
2 2 + cos 2 x 3
sin 5x + sin x 2 dhe 2 + cos 2 x 2
2 mëkat 5x + mëkat x 2, d.m.th.
mëkat 5x + mëkat x 2,
kemi anën e majtë 2 dhe anën e djathtë 2,
barazia është e mundur nëse të dyja janë të barabarta me 2.
cos 2 x \u003d 0, dhe sin 5x + sin x \u003d 2, prandaj
x = /2 + k, k€z (sigurohuni që të kontrolloni).
Përgjigju: /2 + k, k€z.
8. Zgjidheni ekuacionin: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
Zgjidhje: Zgjidh me metodën e faktorizimit. I grupojmë termat e vendosur në anën e majtë në çifte.
(AT këtë rastçdo mënyrë grupimi të çon te qëllimi.) Përdor formulën cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2.
2 cos 3/2x cos x/2 + 2 cos 7/2x cos x/2 = 0,
cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,
2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,
Shfaqen tre raste:
Përgjigju: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Vini re se rasti i dytë përfshin të parën. (Nëse në rastin e dytë marrim k = 4 + 5, atëherë marrim + 2n). Prandaj, nuk mund të thuhet se cila është më e saktë, por gjithsesi, përgjigja do të duket “më e kulturuar dhe e bukur”: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Përsëri, një situatë tipike që çon në forma të ndryshme të shkrimit të një përgjigjeje). Përgjigja e parë është gjithashtu e saktë.
Ekuacioni i konsideruar ilustron një skemë shumë tipike zgjidhjeje - zbërthimi i ekuacionit në faktorë për shkak të grupimit në çift dhe përdorimit të formulave:
mëkat a + mëkat b \u003d 2 mëkat (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
sin a - mëkat b \u003d 2 cos (a + b) / 2 mëkat (a - b) / 2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2;
cos a - cos b \u003d -2 mëkat (a + b) / 2 mëkat (b - a) / 2.
Problemi i zgjedhjes së rrënjëve, shoshitjes së rrënjëve të panevojshme gjatë zgjidhjes së ekuacioneve trigonometrike është shumë specifik dhe zakonisht rezulton të jetë më i ndërlikuar se sa ishte për ekuacionet algjebrike. Le të paraqesim zgjidhjet e ekuacioneve duke ilustruar raste tipike shfaqja e rrënjëve të tepërta (të huaja) dhe metodat e "luftimit" me to.
Rrënjët shtesë mund të shfaqen për faktin se në procesin e zgjidhjes ka pasur një zgjerim të fushës së përcaktimit të ekuacioneve. Le të japim shembuj.
9. Zgjidhe ekuacionin: (sin 4x - sin 2x - cos 3x + 2sin x -1) / (2sin 2x - 3) = 0.
Zgjidhja: Ne e barazojmë numëruesin me zero (në këtë rast, domeni i përkufizimit të ekuacionit zgjerohet - shtohen vlerat x, duke e kthyer emëruesin në zero) dhe do të përpiqemi ta zbërthejmë atë në faktorë. Ne kemi:
2 cos 3x sin x - cos 3x + 2sin x - 1 = 0,
(cos 3x + 1) (2 mëkat x - 1) = 0.
Marrim dy ekuacione:
cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.
Le të shohim se cila k na përshtatet. Para së gjithash, vërejmë se ana e majtë e ekuacionit tonë është një funksion periodik me një periudhë 2. Prandaj, mjafton të gjejmë një zgjidhje për ekuacionin që plotëson kushtin 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Pabarazi 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
E para nuk funksionon sepse sin 2/3 = 3/2, emëruesi shkon në zero.
Përgjigja për rastin e parë: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (mund të x 2 = - / 3 + 2k), k € z.
Gjeni një zgjidhje për këtë ekuacion që plotëson kushtin 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Përgjigju: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Gjeni rrënjët e ekuacioneve: v (cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.
Zgjidhja e këtij ekuacioni ndahet në dy faza:
1) zgjidhja e një ekuacioni të përftuar nga një e dhënë duke kuadruar të dyja pjesët e tij;
2) përzgjedhja e atyre rrënjëve që plotësojnë kushtin cos x 0. Në këtë rast (si në rastin e ekuacioneve algjebrike), nuk ka nevojë të shqetësoheni për kushtin cos 2x + sin 3x 0. Të gjitha vlerat e k që plotësojnë ekuacionin në katror e plotësojnë këtë kusht.
Hapi i parë na sjell në ekuacionin sin 3x = 1, nga ku x 1 = /6 + 2/3k.
Tani duhet të përcaktojmë se për cilin k cos (/6 + 2/3k) do të ndodhë 0. Për ta bërë këtë, mjafton të merren parasysh vlerat 0, 1, 2 për k, d.m.th. si zakonisht, "shkoni rreth rrethit një herë", sepse më tej vlerat e kosinusit do të ndryshojnë nga ato të konsideruara tashmë nga një shumëfish i 2.
Përgjigju: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Zgjidheni ekuacionin: sin 8 x - cos 5 x \u003d 1.
Zgjidhja e këtij ekuacioni bazohet në konsideratën e mëposhtme të thjeshtë: nëse 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.
Pra, sin 8 x sin 2 x, - cos 5 x cos 2 x;
Duke i shtuar këto pabarazi term pas termi, kemi:
sin 8 x - cos 5 x sin 2 x + cos 2 x \u003d 1.
Prandaj, ana e majtë e këtij ekuacioni është e barabartë me një nëse dhe vetëm nëse mbahen dy barazitë:
sin 8 x \u003d sin 2 x, cos 5 x \u003d cos 2 x,
ato. sin x mund të marrë vlerat -1, 0
Përgjigju: /2 + k, + 2k, k€z.
Për të plotësuar figurën, merrni parasysh një shembull tjetër.
12. Zgjidheni ekuacionin: 4 cos 2 x - 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x \u003d 0.
Zgjidhje: Ne do ta konsiderojmë anën e majtë të këtij ekuacioni si një trinom katror në lidhje me cos x.
Le të jetë D diskriminuesi i këtij trinomi:
1/4 D \u003d 4 (cos 4 3x - cos 2 3x).
Nga pabarazia D 0 pason cos 2 3x 0 ose cos 2 3x 1.
Kjo do të thotë se lindin dy mundësi: cos 3x = 0 dhe cos 3x = ± 1.
Nëse cos 3x \u003d 0, atëherë nga ekuacioni rrjedh se cos x \u003d 0, prej nga x \u003d / 2 + k.
Këto vlera x plotësojnë ekuacionin.
Nëse cos 3x \u003d 1, atëherë nga ekuacioni cos x \u003d 1/2 gjejmë x \u003d ± / 3 + 2k. Këto vlera gjithashtu plotësojnë ekuacionin.
Përgjigju: /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Zgjidheni ekuacionin: sin 4 x + cos 4 x \u003d 7/2 sin x cos x.
Zgjidhje: Ne e transformojmë shprehjen sin 4 x + cos 4 x duke theksuar katrorin e plotë: sin 4 x + cos 4 x \u003d sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x - 2 sin 2 x cos 2 x \u003d (sin 2 x + cos 2 x) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x, prej nga sin 4 x + cos 4 x \u003d 1 - 1/2 sin 2 2x. Duke përdorur formulën e fituar, e shkruajmë ekuacionin në formë
1-1/2 mëkat 2 2x = 7/4 mëkat 2x.
që tregon mëkatin 2x \u003d t, -1 t 1,
marrim ekuacioni kuadratik 2t 2 + 7t - 4 = 0,
duke zgjidhur të cilat, gjejmë t 1 \u003d 1/2, t 2 \u003d - 4
ekuacioni sin 2x \u003d 1/2
2x \u003d (- 1) k / 6 + k, k € z, x \u003d (- 1) k // 12 + k / 2, k € z.
