Parametri \(a\) është një numër që mund të marrë çdo vlerë nga \(\mathbb(R)\) .

Të studiosh një ekuacion/pabarazi për të gjitha vlerat e një parametri do të thotë të tregosh në cilat vlera të parametrit se cilën zgjidhje të veçantë ka një ekuacion/pabarazi e caktuar.

Shembuj:

1) ekuacioni \(ax=2\) për të gjithë \(a\ne 0\) ka një zgjidhje unike \(x=\dfrac 2a\), dhe për \(a=0\) nuk ka zgjidhje (pasi atëherë ekuacioni merr formën \(0=2\) ).

2) ekuacioni \(ax=0\) për të gjithë \(a\ne 0\) ka një zgjidhje unike \(x=0\), dhe për \(a=0\) ka pafundësisht shumë zgjidhje, d.m.th. \(x\in \mathbb(R)\) (që atëherë ekuacioni merr formën \(0=0\) ).

vini re, se

I) të dyja anët e ekuacionit nuk mund të ndahen me një shprehje që përmban një parametër (\(f(a)\) ) nëse kjo shprehje mund të jetë e barabartë me zero. Por mund të merren parasysh dy raste:
e para kur \(f(a)\ne0\) , me ç'rast mund t'i ndajmë të dyja anët e barazisë me \(f(a)\) ;
rasti i dytë është kur \(f(a)=0\) , dhe në këtë rast mund të kontrollojmë secilën vlerë të \(a\) veçmas (shih shembullin 1, 2).

II) të dyja anët e pabarazisë nuk mund të ndahen me një shprehje që përmban një parametër nëse shenja e kësaj shprehjeje është e panjohur. Por mund të merren parasysh tre raste:
e para, kur \(f(a)>0\) , dhe në këtë rast mund t'i ndajmë të dyja anët e pabarazisë me \(f(a)\) ;
e dyta, kur \(f(a)<0\) , и в этом случае при делении обеих частей неравенства на \(f(a)\) мы обязаны поменять знак неравенства на противоположный;
e treta është kur \(f(a)=0\) , në të cilin rast mund të kontrollojmë çdo vlerë të \(a\) individualisht.

Shembull:

3) pabarazia \(ax>3\) për \(a>0\) ka një zgjidhje \(x>\dfrac3a\), për \(a<0\) имеет решение \(x<\dfrac3a\) , а при \(a=0\) не имеет решений, т.к. принимает вид \(0>3\) .

Detyra 1 #1220

Niveli i detyrës: Më i lehtë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Zgjidheni ekuacionin \(ax+3=0\)

Ekuacioni mund të rishkruhet si \(ax=-3\) . Le të shqyrtojmë dy raste:

1) \(a=0\) . Në këtë rast, ana e majtë është e barabartë me \(0\) , por ana e djathtë nuk është, prandaj ekuacioni nuk ka rrënjë.

2) \(a\ne 0\) . Pastaj \(x=-\dfrac(3)(a)\) .

Përgjigje:

\(a=0 \Djathtas shigjetë x\në \varnothing; \\ a\ne 0 \Djathtas x=-\dfrac(3)(a)\).

Detyra 2 #1221

Niveli i detyrës: Më i lehtë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Zgjidheni ekuacionin \(ax+a^2=0\) për të gjitha vlerat e parametrit \(a\).

Ekuacioni mund të rishkruhet si \(ax=-a^2\) . Le të shqyrtojmë dy raste:

1) \(a=0\) . Në këtë rast, anët e majta dhe të djathta janë të barabarta me \(0\), prandaj, ekuacioni është i vërtetë për çdo vlerë të ndryshores \(x\).

2) \(a\ne 0\) . Pastaj \(x=-a\) .

Përgjigje:

\(a=0 \Shigjeta djathtas x\në \mathbb(R); \\ a\ne 0 \Shigjeta djathtas x=-a\).

Detyra 3 #1222

Niveli i detyrës: Më i lehtë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Zgjidh pabarazinë \(2ax+5\cos\dfrac(\pi)(3)\geqslant 0\) për të gjitha vlerat e parametrit \(a\).

Pabarazia mund të rishkruhet si \(ax\geqslant -\dfrac(5)(4)\) . Le të shqyrtojmë tre raste:

1) \(a=0\) . Pastaj pabarazia merr formën \(0\geqslant -\dfrac(5)(4)\) , e cila është e vërtetë për çdo vlerë të ndryshores \(x\).

2) \(a>0\) . Pastaj, kur pjesëtohen të dyja anët e pabarazisë me \(a\), shenja e pabarazisë nuk do të ndryshojë, prandaj, \(x\geqslant -\dfrac(5)(4a)\) .

3)\(a<0\) . Тогда при делении на \(a\) обеих частей неравенства знак неравенства изменится, следовательно, \(x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Përgjigje:

\(a=0 \Rightshigjeta x\in \mathbb(R); \\ a>0 \Rightshigjeta x\geqslant -\dfrac(5)(4a); \\ a<0 \Rightarrow x\leqslant -\dfrac{5}{4a}\) .

Detyra 4 #1223

Niveli i detyrës: Më i lehtë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Zgjidh pabarazinë \(a(x^2-6) \geqslant (2-3a^2)x\) për të gjitha vlerat e parametrit \(a\).

Le ta shndërrojmë pabarazinë në formën: \(ax^2+(3a^2-2)x-6a \geqslant 0\). Le të shqyrtojmë dy raste:

1) \(a=0\) . Në këtë rast, pabarazia bëhet lineare dhe merr formën: \(-2x \geqslant 0 \Djathtas x\leqslant 0\).

2) \(a\ne 0\) . Atëherë pabarazia është kuadratike. Le të gjejmë diskriminuesin:

\(D=9a^4-12a^2+4+24a^2=(3a^2+2)^2\).

Sepse \(a^2 \geqslant 0 \Djathtas D>0\) për çdo vlerë parametri.

Prandaj, ekuacioni \(ax^2+(3a^2-2)x-6a = 0\) ka gjithmonë dy rrënjë \(x_1=-3a, x_2=\dfrac(2)(a)\) . Kështu, pabarazia do të marrë formën:

\[(ax-2)(x+3a) \geqslant 0\]

Nëse \(a>0\) , atëherë \(x_1 \(x\in (-\infty; -3a]\ filxhan \big[\dfrac(2)(a); +\infty)\).

Nese nje<0\) , то \(x_1>x_2\) dhe degët e parabolës \(y=(ax-2)(x+3a)\) janë të drejtuara poshtë, që do të thotë se zgjidhja është \(x\in \big[\dfrac(2)(a); -3a]\).

Përgjigje:

\(a=0 \Rightarrow x\leqslant 0; \\ a>0 \Rightarrow x\in (-\infty; -3a]\ cup \big[\dfrac(2)(a); +\infty); \ \a<0 \Rightarrow x\in \big[\dfrac{2}{a}; -3a\big]\) .

Detyra 5 #1851

Niveli i detyrës: Më i lehtë se Provimi i Unifikuar i Shtetit

Për çfarë \(a\) është bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë \((a^2-3a+2)x -a+2\geqslant 0\) përmban gjysmë-interval \(\).

Përgjigje:

\(a\in (-\infty;\dfrac(4)(3)\big]\kup

Le të shqyrtojmë dy raste:

1) \(a+1=0 \Djathtas shigjeta a=-1\) . Në këtë rast, ekuacioni \((*)\) është ekuivalent me \(3=0\) , domethënë nuk ka zgjidhje.

Atëherë i gjithë sistemi është ekuivalent \(\fillimi(rastet) x\geqslant 2\\ x=2 \fund (rastet) \Shigjeta djathtas x=2\)

2) \(a+1\ne 0 \Djathtas a\ne -1\). Në këtë rast, sistemi është i barabartë me: \[\fillimi(rastet) x\geqslant -2a\\ \majtas[ \fillimi(i mbledhur) \fillimi(i rreshtuar) &x_1=-2a \\ &x_2=\dfrac3(a+1) \end(i rreshtuar) \end( mbledhur) \drejtë. \fund (rastet)\]

Ky sistem do të ketë një zgjidhje nëse \(x_2\leqslant -2a\) , dhe dy zgjidhje nëse \(x_2>-2a\):

2.1) \(\dfrac3(a+1)\leqslant -2a \Rightarrow a<-1 \Rightarrow \) kemi një rrënjë \(x=-2a\) .

2.2) \(\dfrac3(a+1)>-2a \Rightarrow a>-1 \Rightarrow \) kemi dy rrënjë \(x_1=-2a, x_2=\dfrac3(a+1)\) .

Përgjigje:

\(a\in(-\infty;-1) \Shigjeta djathtas x=-2a\\ a=-1 \Shigjeta djathtas x=2\\ a\in(-1;+\infty) \Shigjeta djathtas x\in\( -2a;\frac3(a+1)\)\)

Siç tregojnë statistikat, shumë maturantë e konsiderojnë gjetjen e zgjidhjeve të problemeve me një parametër gjëja më e vështirë kur përgatiten për Provimin e Bashkuar të Shtetit 2019 në matematikë. Me çfarë lidhet kjo? Fakti është se shpesh problemet me një parametër kërkojnë përdorimin e metodave kërkimore të zgjidhjes, domethënë, kur llogaritni përgjigjen e saktë, do t'ju duhet jo vetëm të aplikoni formula, por edhe të gjeni ato vlera parametrike në të cilat një kusht i caktuar sepse rrënjët janë të kënaqura. Në të njëjtën kohë, ndonjëherë nuk ka nevojë të kërkoni vetë rrënjët.

Sidoqoftë, të gjithë studentët që përgatiten për të marrë Provimin e Unifikuar të Shtetit duhet të përballen me zgjidhjen e detyrave me parametra. Detyra të ngjashme hasen rregullisht në testet e certifikimit. Portali arsimor Shkolkovo do t'ju ndihmojë të plotësoni boshllëqet në njohuri dhe të mësoni se si të gjeni shpejt zgjidhje për detyrat me një parametër në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë. Ekspertët tanë kanë përgatitur dhe prezantuar në një formë të arritshme të gjithë materialin bazë teorik dhe praktik mbi këtë temë. Me portalin Shkolkovo, zgjidhja e problemeve për zgjedhjen e një parametri do të jetë e lehtë për ju dhe nuk do të sjellë ndonjë vështirësi.

Momentet themelore

Është e rëndësishme të kuptohet se thjesht nuk ka asnjë algoritëm të vetëm për zgjidhjen e problemeve të përzgjedhjes së parametrave. Metodat për të gjetur përgjigjen e saktë mund të ndryshojnë. Zgjidhja e një problemi matematikor me një parametër në Provimin e Unifikuar të Shtetit do të thotë të gjesh se me çfarë është e barabartë ndryshorja në një vlerë të caktuar të parametrit. Nëse ekuacioni dhe pabarazia origjinale mund të thjeshtohen, kjo duhet të bëhet së pari. Në disa probleme, ju mund të përdorni metoda standarde të zgjidhjes për këtë, sikur parametri të ishte një numër i zakonshëm.

A e keni lexuar tashmë materialin teorik për këtë temë? Për të asimiluar plotësisht informacionin kur përgatiteni për Provimin e Bashkuar të Shtetit në matematikë, ju rekomandojmë të praktikoni përfundimin e detyrave me një parametër; Për çdo ushtrim kemi dhënë një analizë të plotë të zgjidhjes dhe përgjigjen e saktë. Në seksionin përkatës do të gjeni detyra të thjeshta dhe më komplekse. Studentët mund të praktikojnë zgjidhjen e ushtrimeve me parametra, të modeluara sipas detyrave në Provimin e Unifikuar të Shtetit, online, ndërsa janë në Moskë apo në çdo qytet tjetër të Rusisë.

Një person që di të zgjidhë probleme me parametra e njeh teorinë në mënyrë të përsosur dhe di ta zbatojë atë jo mekanikisht, por me logjikë. Ai “e kupton” funksionin, e “ndjen”, e konsideron si mik të tij ose të paktën një njohës të mirë dhe nuk di vetëm për ekzistencën e tij.

Çfarë është një ekuacion me një parametër? Le të jepet ekuacioni f (x; a) = 0 Nëse detyra është të gjenden të gjitha çiftet e tilla (x; a) që plotësojnë këtë ekuacion, atëherë ai konsiderohet si një ekuacion me dy ndryshore të barabarta x dhe a. Por ne mund të paraqesim një problem tjetër, duke supozuar se variablat janë të pabarabartë. Fakti është se nëse i jepni ndryshores a ndonjë vlerë fikse, atëherë f (x; a) = 0 kthehet në një ekuacion me një ndryshore x, dhe zgjidhjet e këtij ekuacioni varen natyrshëm nga vlera e zgjedhur e a.

Vështirësia kryesore që lidhet me zgjidhjen e ekuacioneve (dhe veçanërisht të pabarazive) me një parametër është si vijon: - për disa vlera të parametrit, ekuacioni nuk ka zgjidhje; -me të tjerët – ka pafundësisht shumë zgjidhje; - në rastin e tretë, zgjidhet duke përdorur të njëjtat formula; - me të katërtën – zgjidhet duke përdorur formula të tjera. - Nëse ekuacioni f (x; a) = 0 duhet të zgjidhet në lidhje me ndryshoren X, dhe a kuptohet si një numër real arbitrar, atëherë ekuacioni quhet ekuacion me parametrin a.

Zgjidhja e një ekuacioni me një parametër f (x; a) = 0 nënkupton zgjidhjen e një familje ekuacionesh që rezultojnë nga ekuacioni f (x; a) = 0 për çdo vlerë reale të parametrit. Një ekuacion me një parametër është, në fakt, një paraqitje e shkurtër e një familje të pafundme ekuacionesh. Secili prej ekuacioneve të familjes është marrë nga një ekuacion i caktuar me një parametër për një vlerë specifike të parametrit. Prandaj, problemi i zgjidhjes së një ekuacioni me një parametër mund të formulohet si më poshtë:

Është e pamundur të shkruhet çdo ekuacion nga një familje e pafundme ekuacionesh, por megjithatë, çdo ekuacion nga një familje e pafundme duhet të zgjidhet. Kjo mund të bëhet, për shembull, duke e ndarë grupin e të gjitha vlerave të parametrave në nënbashkësi sipas disa kritereve të duhura, dhe më pas duke zgjidhur ekuacionin e dhënë në secilën prej këtyre nëngrupeve. Zgjidhja e ekuacioneve lineare

Për të ndarë grupin e vlerave të parametrave në nënbashkësi, është e dobishme të përdoren ato vlera të parametrave në të cilat ose kur kalojnë nëpër të cilat ndodh një ndryshim cilësor në ekuacion. Vlerat e tilla të parametrave mund të quhen kontroll ose special. Arti i zgjidhjes së një ekuacioni me parametra është pikërisht të jesh në gjendje të gjesh vlerat e kontrollit të parametrit.

Lloji 1. Ekuacionet, pabarazitë, sistemet e tyre që duhet të zgjidhen ose për çdo vlerë parametri ose për vlerat e parametrave që i përkasin një grupi të paracaktuar. Ky lloj problemi është themelor kur zotëroni temën "Problemet me parametrat", pasi puna e investuar paracakton suksesin në zgjidhjen e problemeve të të gjitha llojeve të tjera themelore.

Lloji 2. Ekuacionet, pabarazitë, sistemet e tyre, për të cilat është e nevojshme të përcaktohet numri i zgjidhjeve në varësi të vlerës së parametrit (parametrave). Kur zgjidhen probleme të këtij lloji, nuk ka nevojë as të zgjidhen ekuacionet e dhëna, pabarazitë ose sistemet e tyre, as të jepen këto zgjidhje; Në shumicën e rasteve, një punë e tillë e panevojshme është një gabim taktik që çon në humbje të panevojshme të kohës. Por ndonjëherë një zgjidhje e drejtpërdrejtë është e vetmja mënyrë e arsyeshme për të marrë përgjigjen kur zgjidhni një problem të tipit 2.

Lloji 3. Ekuacionet, pabarazitë, sistemet e tyre, për të cilat kërkohet të gjenden të gjitha ato vlera të parametrave për të cilat ekuacionet, pabarazitë dhe sistemet e tyre të specifikuara kanë një numër të caktuar zgjidhjesh (në veçanti, ato nuk kanë ose kanë një numër i pafund zgjidhjesh). Problemet e tipit 3 janë në një farë kuptimi anasjellta e problemeve të tipit 2.

Lloji 4. Ekuacionet, pabarazitë, sistemet dhe grupet e tyre, për të cilat, për vlerat e kërkuara të parametrit, grupi i zgjidhjeve plotëson kushtet e specifikuara në fushën e përkufizimit. Për shembull, gjeni vlerat e parametrave në të cilat: 1) plotësohet ekuacioni për çdo vlerë të ndryshores nga një interval i caktuar; 2) bashkësia e zgjidhjeve për ekuacionin e parë është një nëngrup i grupit të zgjidhjeve të ekuacionit të dytë, etj.

Metodat (metodat) bazë për zgjidhjen e problemeve me një parametër. Metoda I (analitike). Metoda analitike e zgjidhjes së problemeve me një parametër është metoda më e vështirë, që kërkon arsim të lartë dhe përpjekjen më të madhe për ta zotëruar atë. Metoda II (grafike). Në varësi të problemit (me ndryshoren x dhe parametrin a), grafikët konsiderohen ose në planin koordinativ Oxy ose në planin koordinativ Oxy. Metoda III (vendimi në lidhje me parametrin). Gjatë zgjidhjes në këtë mënyrë, variablat x dhe a supozohen të jenë të barabartë dhe zgjidhet ndryshorja në lidhje me të cilën zgjidhja analitike konsiderohet më e thjeshtë. Pas thjeshtimeve natyrore, kthehemi në kuptimin origjinal të ndryshoreve x dhe a dhe plotësojmë zgjidhjen.

Shembulli 1. Gjeni vlerat e parametrit a për të cilin ekuacioni a(2a + 3)x + a 2 = a 2 x + 3a ka një rrënjë të vetme negative. Zgjidhje. Ky ekuacion është i barabartë me sa vijon:. Nëse a(a + 3) 0, pra a 0, a –3, atëherë ekuacioni ka një rrënjë të vetme x =. X

Shembulli 2: Zgjidheni ekuacionin. Zgjidhje. Meqenëse emëruesi i thyesës nuk mund të jetë i barabartë me zero, kemi (b – 1)(x + 3) 0, pra b 1, x –3. Duke shumëzuar të dyja anët e ekuacionit me (b – 1)(x + 3) 0, marrim ekuacionin: Ky ekuacion është linear në lidhje me ndryshoren x. Për 4b – 9 = 0, pra b = 2,25, ekuacioni merr formën: Për 4b – 9 0, pra b 2,25, rrënja e ekuacionit është x =. Tani duhet të kontrollojmë nëse ka ndonjë vlerë të b për të cilën vlera e gjetur e x është e barabartë me –3. Kështu, për b 1, b 2.25, b –0.4, ekuacioni ka një rrënjë të vetme x =. Përgjigje: për b 1, b 2,25, b –0,4 rrënjë x = për b = 2,25, b = –0,4 nuk ka zgjidhje; kur b = 1 ekuacioni nuk ka kuptim.

Llojet e problemeve 2 dhe 3 dallohen nga fakti se gjatë zgjidhjes së tyre, nuk është e nevojshme të merret një zgjidhje e qartë, por vetëm të gjenden ato vlera të parametrave në të cilat kjo zgjidhje plotëson disa kushte. Shembuj të kushteve të tilla për një zgjidhje janë si më poshtë: ekziston një zgjidhje; nuk ka zgjidhje; ka vetëm një zgjidhje; ka një zgjidhje pozitive; ekzistojnë saktësisht k zgjidhje; ekziston një zgjidhje që i përket intervalit të specifikuar. Në këto raste, metoda grafike e zgjidhjes së problemeve me parametra rezulton të jetë shumë e dobishme.

Mund të dallojmë dy lloje të aplikimit të metodës grafike gjatë zgjidhjes së ekuacionit f (x) = f (a): Në rrafshin Oxy, grafiku y = f (x) dhe familja e grafikëve y = f (a) janë. konsiderohen. Kjo përfshin gjithashtu problemet e zgjidhura duke përdorur një "paketë rreshtash". Kjo metodë rezulton të jetë e përshtatshme në problemet me dy të panjohura dhe një parametër. Në rrafshin Ox (i cili quhet edhe rrafshi i fazës), konsiderohen grafikë në të cilët x është argumenti dhe a është vlera e funksionit. Kjo metodë zakonisht përdoret në problemet që përfshijnë vetëm një të panjohur dhe një parametër (ose mund të reduktohet në të tilla).

Shembulli 1. Për cilat vlera të parametrit a ka të paktën tre rrënjë ekuacioni 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a? Zgjidhje. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve f (x) = 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 dhe f (x) = a në një sistem koordinativ. Kemi: f "(x) = 12x x 2 – 24x = 12x(x + 2)(x – 1), f "(x) = 0 në x = –2 (pika minimale), në x = 0 (maksimumi pikë ) dhe në x = 1 (pika maksimale). Le të gjejmë vlerat e funksionit në pikat ekstreme: f (–2) = –32, f (0) = 0, f (1) = –5. Ne ndërtojmë një grafik skematik të funksionit duke marrë parasysh pikat ekstreme. Modeli grafik na lejon t'i përgjigjemi pyetjes së parashtruar: ekuacioni 3x 4 + 4x 3 – 12x 2 = a ka të paktën tre rrënjë nëse -5

Shembulli 2. Sa rrënjë ka ekuacioni për vlera të ndryshme të parametrit a? Zgjidhje. Përgjigja e pyetjes së parashtruar lidhet me numrin e pikave të kryqëzimit të grafikut të gjysmërrethit y = dhe drejtëzës y = x + a. Një drejtëz që është tangjente ka formulën y = x +. Ekuacioni i dhënë nuk ka rrënjë në a; ka një rrënjë në –2

Shembulli 3. Sa zgjidhje ka ekuacioni |x + 2| = sëpatë + 1 në varësi të parametrit a? Zgjidhje. Ju mund të vizatoni grafikët y = |x + 2| dhe y = sëpatë + 1. Por ne do ta bëjmë ndryshe. Në x = 0 (21) nuk ka zgjidhje. Pjestojeni ekuacionin me x: dhe merrni parasysh dy raste: 1) x > –2 ose x = 2 2) 2) x –2 ose x = 2 2) 2) x

Një shembull i përdorimit të një "paketë linjash" në një aeroplan. Gjeni vlerat e parametrit a për të cilin barazimi |3x + 3| = sëpatë + 5 ka një zgjidhje unike. Zgjidhje. Ekuacioni |3x + 3| = sëpatë + 5 është ekuivalente me sistemin e mëposhtëm: Ekuacioni y – 5 = a(x – 0) përcakton në rrafsh një laps me vija me qendër A (0; 5). Le të vizatojmë vija të drejta nga një tufë vijash të drejta që do të jenë paralele me anët e këndit, që është grafiku i y = |3x + 3|. Këto drejtëza l dhe l 1 e prenë grafikun y = |3x + 3|. Ekuacionet e këtyre drejtëzave janë y = 3x + 5 dhe y = –3x + 5. Përveç kësaj, çdo vijë nga lapsi që ndodhet ndërmjet këtyre vijave do të presë edhe grafikun y = |3x + 3| në një moment. Kjo do të thotë se vlerat e kërkuara të parametrit [–3; 3].

Algoritmi për zgjidhjen e ekuacioneve duke përdorur rrafshin fazor: 1. Gjeni domenin e përcaktimit të ekuacionit. 2. Shprehni parametrin a në funksion të x. 3. Në sistemin e koordinatave xOa ndërtojmë një grafik të funksionit a = f(x) për ato vlera të x që përfshihen në domenin e përkufizimit të këtij ekuacioni. 4. Gjeni pikat e prerjes së drejtëzës a = c, ku c є (-; +) me grafikun e funksionit a = f (x). Nëse drejtëza a = c pret grafikun a = f(x), atëherë përcaktojmë abshisat e pikave të kryqëzimit. Për ta bërë këtë, mjafton të zgjidhet ekuacioni a = f(x) për x. 5. Shkruani përgjigjen.

Një shembull i zgjidhjes së një pabarazie duke përdorur "avionin e fazës". Zgjidhja e pabarazisë x. Zgjidhje: Me kalim ekuivalent Tani në rrafshin Ox do të ndërtojmë grafikë të funksioneve Pikat e kryqëzimit të parabolës dhe drejtëzës x 2 – 2x = –2x x = 0. Kushti a –2x plotësohet automatikisht në një x 2 – 2x Kështu, në gjysmë rrafshin e majtë (x

Diploma

Aftësitë kërkimore mund të ndahen në të përgjithshme dhe specifike. Aftësitë e përgjithshme kërkimore, formimi dhe zhvillimi i të cilave ndodh në procesin e zgjidhjes së problemeve me parametra, përfshijnë: aftësinë për të parë prapa një ekuacioni të caktuar me një parametër klasa të ndryshme ekuacionesh, të karakterizuara nga prania e përbashkët e numrit dhe llojit të rrënjët; aftësia për të përdorur metoda analitike dhe grafiko-analitike....

Ekuacionet dhe pabarazitë me një parametër si mjet për zhvillimin e aftësive kërkimore të nxënësve të klasave 7-9 (ese, lëndë, diplomë, test)

Puna e diplomuar

Pnë lidhje me temën: Ekuacionet dhe pabarazitë me një parametër si mjet për formimin e kërkimit aftësitë e nxënësve të klasave 7-9

Zhvillimi i aftësive të të menduarit krijues është i pamundur jashtë situatave problematike, prandaj detyrat jo standarde kanë një rëndësi të veçantë në mësim. Këto përfshijnë gjithashtu detyra që përmbajnë një parametër. Përmbajtja matematikore e këtyre problemeve nuk shkon përtej qëllimit të programit, megjithatë, zgjidhja e tyre, si rregull, shkakton vështirësi për studentët.

Para reformës së arsimit të matematikës shkollore në vitet '60, kurrikula dhe tekstet shkollore kishin seksione të veçanta: studimi i ekuacioneve lineare dhe kuadratike, studimi i sistemeve të ekuacioneve lineare. Ku detyra ishte të studioheshin ekuacionet, pabarazitë dhe sistemet në varësi të çdo kushti ose parametri.

Programi aktualisht nuk përmban referenca specifike për studime ose parametra në ekuacione ose pabarazi. Por ato janë pikërisht një nga mjetet efektive të matematikës që ndihmojnë në zgjidhjen e problemit të formimit të një personaliteti intelektual të vendosur nga programi. Për të eliminuar këtë kontradiktë, u bë e nevojshme të krijohej një lëndë zgjedhore me temën "Ekuacionet dhe pabarazitë me parametra". Kjo është pikërisht ajo që përcakton rëndësinë e kësaj pune.

Ekuacionet dhe pabarazitë me parametra janë material i shkëlqyer për punë reale kërkimore, por kurrikula shkollore nuk përfshin probleme me parametrat si temë më vete.

Zgjidhja e shumicës së problemeve në një kurs të matematikës shkollore synon të zhvillojë tek nxënësit e shkollës cilësi të tilla si zotërimi i rregullave dhe algoritmeve të veprimit në përputhje me programet aktuale dhe aftësia për të kryer kërkime themelore.

Kërkimi në shkencë nënkupton studimin e një objekti për të identifikuar modelet e shfaqjes, zhvillimit dhe transformimit të tij. Në procesin e kërkimit, përdoren përvoja e grumbulluar, njohuritë ekzistuese, si dhe metodat dhe metodat e studimit të objekteve. Rezultati i hulumtimit duhet të jetë përvetësimi i njohurive të reja. Në procesin e kërkimit arsimor sintetizohen njohuritë dhe përvoja e grumbulluar nga studenti në studimin e objekteve matematikore.

Kur zbatohet për ekuacionet parametrike dhe pabarazitë, mund të dallohen aftësitë e mëposhtme kërkimore:

1) Aftësia për të shprehur nëpërmjet një parametri kushtet që një ekuacion parametrik i caktuar t'i përkasë një klase të caktuar ekuacionesh;

2) Aftësia për të përcaktuar llojin e ekuacionit dhe për të treguar llojin e koeficientëve në varësi të parametrave;

3) Aftësia për të shprehur përmes parametrave, kushtet për praninë e zgjidhjeve të një ekuacioni parametrik;

4) Në rastin e pranisë së rrënjëve (tretësirave), të jetë në gjendje të shprehë kushtet për praninë e një numri të caktuar rrënjësh (tretësira);

5) Aftësia për të shprehur rrënjët e ekuacioneve parametrike (zgjidhje të pabarazive) përmes parametrave.

Natyra zhvillimore e ekuacioneve dhe pabarazive me parametra përcaktohet nga aftësia e tyre për të zbatuar shumë lloje të veprimtarisë mendore të studentëve:

Zhvillimi i disa algoritmeve të të menduarit, Aftësia për të përcaktuar praninë dhe numrin e rrënjëve (në një ekuacion, sistem);

Zgjidhja e familjeve të ekuacioneve që janë pasojë e kësaj;

Shprehja e një ndryshoreje me një tjetër;

Gjetja e fushës së përkufizimit të një ekuacioni;

Përsëritja e një vëllimi të madh formulash gjatë zgjidhjes;

Njohuri për metodat e duhura të zgjidhjes;

Përdorimi i gjerë i argumentimit verbal dhe grafik;

Zhvillimi i kulturës grafike të nxënësve;

E gjithë sa më sipër na lejon të flasim për nevojën e studimit të ekuacioneve dhe pabarazive me parametra në kursin e matematikës shkollore.

Aktualisht, klasa e problemeve me parametrat ende nuk është përpunuar qartë në mënyrë metodike. Rëndësia e zgjedhjes së temës së lëndës zgjedhore "Ekuacionet kuadratike dhe pabarazitë me një parametër" përcaktohet nga rëndësia e temës "Trinomi kuadratik dhe vetitë e tij" në lëndën e matematikës shkollore dhe, në të njëjtën kohë, nga mungesa e koha për të shqyrtuar problemet që lidhen me studimin e një trinomi kuadratik që përmban një parametër.

Në punën tonë duam të tregojmë se problemet e parametrave nuk duhet të jenë një shtesë e vështirë e materialit kryesor që studiohet, të cilin vetëm fëmijët e aftë mund ta zotërojnë, por mund dhe duhet të përdoren në një shkollë të arsimit të përgjithshëm, e cila do ta pasurojë mësimin me metoda të reja. dhe ide dhe ndihmo nxënësit të zhvillojnë të menduarit e tyre.

Qëllimi i punës është studimi i vendit të ekuacioneve dhe pabarazive me parametra në lëndën e algjebrës për klasat 7-9, zhvillimi i lëndës me zgjedhje “Ekuacionet kuadratike dhe pabarazitë me një parametër” dhe rekomandimet metodologjike për zbatimin e tij.

Objekti i studimit është procesi i mësimdhënies së matematikës në klasat 7-9 të një shkolle të mesme.

Lënda e hulumtimit është përmbajtja, format, metodat dhe mjetet e zgjidhjes së ekuacioneve dhe pabarazive me parametra në një shkollë të mesme, duke siguruar zhvillimin e lëndës me zgjedhje “Ekuacionet kuadratike dhe pabarazitë me një parametër”.

Hipoteza e kërkimit është se ky lëndë zgjedhore do të ndihmojë në ofrimin e një studimi më të thelluar të përmbajtjes së seksionit të matematikës “Ekuacionet dhe pabarazitë me parametrat”, eliminimin e mospërputhjeve në kërkesat në matematikë për përgatitjen e maturantëve dhe aplikantëve në universitet, dhe zgjeroni mundësitë për zhvillimin e aktivitetit mendor të studentëve, nëse në procesin e studimit të tij do të përdoren sa vijon:

· shqyrtimi i teknikave grafike për zgjidhjen e ekuacioneve kuadratike dhe pabarazive me një parametër duke përdorur punën e nxënësve të shkollës me literaturën edukative;

· zgjidhjen e problemeve për studimin e një trinomi kuadratik që përmban një parametër, duke përdorur vetëkontrollin e nxënësve të shkollës dhe kontrollin e ndërsjellë;

· tabela për përmbledhjen e materialit me temat “Shenja e rrënjëve të një trinomi katror”, “Vendndodhja e një parabole në lidhje me boshtin e abshisave”;

· përdorimi i metodave të ndryshme për vlerësimin e rezultateve të të nxënit dhe një sistem pikësh kumulative;

· studimi i të gjitha temave të lëndës, duke i dhënë studentit mundësinë që në mënyrë të pavarur të gjejë një mënyrë për të zgjidhur problemin.

Në përputhje me qëllimin, objektin, subjektin dhe hipotezën e studimit, parashtrohen objektivat e mëposhtëm kërkimor:

· të shqyrtojë dispozitat e përgjithshme për studimin e ekuacioneve dhe pabarazive me parametra në klasat 7–9;

· të zhvillojë një lëndë me zgjedhje në algjebër “Ekuacionet kuadratike dhe inekuacionet me një parametër” dhe një metodologji për zbatimin e saj.

Gjatë studimit janë përdorur metodat e mëposhtme:

· analiza e literaturës;

· analiza e përvojës në zhvillimin e lëndëve me zgjedhje.

Kapitulli 1. Veçoritë psikologjike dhe pedagogjike duke studiuar Temat « Ekuacionet dhe pabarazitë me parametra” në kursin e algjebrës 7−9 klasës

§ 1. Karakteristikat e lidhura me moshën, fiziologjike dhe psikologjikepërfitimet e nxënësve të klasave 7-9

Mosha e shkollës së mesme (adoleshenca) karakterizohet nga rritja dhe zhvillimi i shpejtë i të gjithë organizmit. Ka një rritje intensive të trupit në gjatësi (tek djemtë ka një rritje prej 6-10 centimetra në vit, dhe tek vajzat deri në 6-8 centimetra). Kockëzimi i skeletit vazhdon, kockat fitojnë elasticitet dhe ngurtësi, dhe forca e muskujve rritet. Sidoqoftë, zhvillimi i organeve të brendshme ndodh në mënyrë të pabarabartë, rritja e enëve të gjakut mbetet prapa rritjes së zemrës, gjë që mund të shkaktojë prishje të ritmit të aktivitetit të saj dhe rritje të rrahjeve të zemrës. Aparati pulmonar zhvillohet, frymëmarrja bëhet e shpejtë në këtë moshë. Vëllimi i trurit i afrohet atij të një truri të një njeriu të rritur. Kontrolli i korteksit cerebral mbi instinktet dhe emocionet përmirësohet. Megjithatë, proceset e ngacmimit ende mbizotërojnë mbi proceset e frenimit. Fillon aktiviteti i shtuar i fibrave shoqëruese.

Në këtë moshë ndodh puberteti. Aktiviteti i gjëndrave endokrine, në veçanti i gjëndrave seksuale, rritet. Shfaqen karakteristika dytësore seksuale. Trupi i adoleshentit shfaq lodhje më të madhe për shkak të ndryshimeve dramatike në të. Perceptimi i një adoleshenti është më i përqendruar, i organizuar dhe i planifikuar sesa ai i një nxënësi më të ri shkollor. Qëndrimi i adoleshentit ndaj objektit të vëzhguar është i një rëndësie vendimtare. Vëmendja është vullnetare, selektive. Një adoleshent mund të përqendrohet në materiale interesante për një kohë të gjatë. Memorizimi i koncepteve, të lidhura drejtpërdrejt me të kuptuarit, analizën dhe sistemimin e informacionit, del në pah. Adoleshenca karakterizohet nga të menduarit kritik. Nxënësit e kësaj moshe karakterizohen nga kërkesa më të mëdha për informacionin e dhënë. Aftësia për të menduar abstrakt përmirësohet. Shprehja e emocioneve tek adoleshentët shpesh është mjaft e dhunshme. Zemërimi është veçanërisht i fortë. Kjo moshë karakterizohet mjaft nga kokëfortësia, egoizmi, tërheqja në vetvete, ashpërsia e emocioneve dhe konfliktet me të tjerët. Këto manifestime i lejuan mësuesit dhe psikologët të flisnin për krizën e adoleshencës. Formimi i identitetit kërkon që një person të rimendojë lidhjet e tij me të tjerët, vendin e tij midis njerëzve të tjerë. Gjatë adoleshencës, ndodh formimi intensiv moral dhe social i personalitetit. Procesi i formimit të idealeve morale dhe besimeve morale është duke u zhvilluar. Ata shpesh kanë një karakter të paqëndrueshëm, kontradiktor.

Komunikimi i adoleshentëve me të rriturit ndryshon dukshëm nga komunikimi i nxënësve të rinj. Adoleshentët shpesh nuk i konsiderojnë të rriturit si partnerë të mundshëm për komunikim të lirë, ata i perceptojnë të rriturit si një burim organizimi dhe mbështetjeje për jetën e tyre, dhe funksioni organizativ i të rriturve më së shpeshti perceptohet nga adoleshentët si vetëm kufizues dhe rregullues.

Është zvogëluar numri i pyetjeve që u drejtohen mësuesve. Pyetjet e bëra kanë të bëjnë, para së gjithash, me organizimin dhe përmbajtjen e aktiviteteve jetësore të adoleshentëve në rastet kur ata nuk mund të bëjnë pa informacionin dhe udhëzimet përkatëse nga të rriturit. Numri i çështjeve etike është zvogëluar. Krahasuar me moshën e mëparshme, autoriteti i mësuesit si bartës i normave shoqërore dhe ndihmës i mundshëm në zgjidhjen e problemeve komplekse jetësore është ulur ndjeshëm.

§ 2. Karakteristikat e moshës së veprimtarive edukative

Mësimdhënia është aktiviteti kryesor për një adoleshent. Veprimtaria edukative e një adoleshenti ka vështirësitë dhe kontradiktat e veta, por ka edhe avantazhe në të cilat një mësues mund dhe duhet të mbështetet. Avantazhi i madh i një adoleshenti është gatishmëria e tij për të gjitha llojet e aktiviteteve edukative, të cilat e bëjnë atë të rritur në sytë e tij. Ai tërhiqet nga forma të pavarura të organizimit të mësimeve në klasë, materiale komplekse arsimore dhe mundësia për të ndërtuar në mënyrë të pavarur veprimtarinë e tij njohëse jashtë shkollës. Megjithatë, adoleshenti nuk di ta realizojë këtë gatishmëri, pasi nuk di të realizojë forma të reja të veprimtarisë edukative.

Një adoleshent reagon emocionalisht ndaj një lënde të re akademike dhe për disa ky reagim zhduket mjaft shpejt. Shpesh ulet edhe interesi i tyre i përgjithshëm për mësimin dhe shkollën. Siç tregojnë hulumtimet psikologjike, arsyeja kryesore qëndron në mungesën e zhvillimit të aftësive të të mësuarit tek studentët, gjë që nuk bën të mundur plotësimin e nevojës aktuale të moshës - nevojës për vetë-afirmim.

Një nga mënyrat për të rritur efektivitetin e të mësuarit është formimi i qëllimshëm i motiveve të të mësuarit. Kjo lidhet drejtpërdrejt me plotësimin e nevojave mbizotëruese të moshës. Një nga këto nevoja është njohja. Kur është i kënaqur, ai zhvillon interesa të qëndrueshme njohëse, të cilat përcaktojnë qëndrimin e tij pozitiv ndaj lëndëve akademike. Adoleshentët tërhiqen shumë nga mundësia për të zgjeruar, pasuruar njohuritë e tyre, për të depërtuar në thelbin e dukurive që studiohen dhe për të vendosur marrëdhënie shkak-pasojë. Ata përjetojnë kënaqësi të madhe emocionale nga aktivitetet kërkimore. Dështimi për të kënaqur nevojat njohëse dhe interesat njohëse shkakton jo vetëm një gjendje mërzie dhe indiferencë, por ndonjëherë edhe një qëndrim të mprehtë negativ ndaj "subjekteve jo interesante". Në këtë rast, si përmbajtja ashtu edhe procesi, metodat dhe teknikat e përvetësimit të njohurive janë po aq të rëndësishme.

Interesat e adoleshentëve ndryshojnë në drejtimin e veprimtarisë së tyre njohëse. Disa studentë preferojnë materialin përshkrues, ata tërhiqen nga fakte individuale, të tjerët përpiqen të kuptojnë thelbin e fenomeneve që studiohen, t'i shpjegojnë ato nga këndvështrimi i teorisë, të tjerët janë më aktivë në përdorimin e njohurive në aktivitete praktike, të tjerët - në krijues , veprimtari kërkimore. 15]

Së bashku me interesat njohëse, kuptimi i rëndësisë së njohurive është thelbësor për një qëndrim pozitiv të adoleshentëve ndaj të mësuarit. Është shumë e rëndësishme që ata të kuptojnë dhe kuptojnë rëndësinë jetike të dijes dhe mbi të gjitha rëndësinë e saj për zhvillimin personal. Një adoleshenti i pëlqen shumë lëndë edukative, sepse ato plotësojnë nevojat e tij si një person i zhvilluar plotësisht. Besimet dhe interesat, duke u bashkuar së bashku, krijojnë një ton emocional të rritur tek adoleshentët dhe përcaktojnë qëndrimin e tyre aktiv ndaj të mësuarit.

Nëse një adoleshent nuk e sheh rëndësinë jetike të njohurive, atëherë ai mund të zhvillojë besime negative dhe një qëndrim negativ ndaj lëndëve ekzistuese akademike. Me rëndësi të madhe kur adoleshentët kanë një qëndrim negativ ndaj të mësuarit është vetëdija dhe përvoja e tyre për dështimin në zotërimin e lëndëve të caktuara akademike. Frika nga dështimi, frika nga humbja ndonjëherë i shtyn adoleshentët të kërkojnë arsye të besueshme për të mos shkuar në shkollë ose për të lënë klasën. Mirëqenia emocionale e një adoleshenti varet kryesisht nga vlerësimi i aktiviteteve të tij edukative nga të rriturit. Shpesh kuptimi i vlerësimit për një adoleshent është dëshira për të arritur sukses në procesin arsimor dhe në këtë mënyrë të fitojë besim në aftësitë dhe aftësitë e tij. Kjo është për shkak të një nevoje të tillë mbizotëruese të moshës si nevoja për të kuptuar dhe vlerësuar veten si person, pikat e forta dhe të dobëta të dikujt. Hulumtimet tregojnë se është gjatë adoleshencës që vetëvlerësimi luan një rol dominues. Është shumë e rëndësishme për mirëqenien emocionale të një adoleshenti që vlerësimi dhe vetëvlerësimi të përkojnë. Përndryshe, lindin konflikt të brendshëm dhe ndonjëherë të jashtëm.

Në klasat e mesme, studentët fillojnë të studiojnë dhe zotërojnë bazat e shkencës. Studentët do të duhet të zotërojnë një sasi të madhe njohurish. Materiali për t'u përvetësuar, nga njëra anë, kërkon një nivel më të lartë të veprimtarisë edukative, njohëse dhe mendore se më parë, dhe nga ana tjetër synon zhvillimin e tyre. Studentët duhet të zotërojnë sistemin e koncepteve dhe termave shkencorë, prandaj lëndët e reja akademike bëjnë kërkesa të reja për metodat e përvetësimit të njohurive dhe synojnë zhvillimin e inteligjencës së nivelit më të lartë - të menduarit teorik, formal, reflektues. Ky lloj të menduari është tipik për adoleshencën, por fillon të zhvillohet tek adoleshentët më të rinj.

Ajo që është e re në zhvillimin e të menduarit të një adoleshenti qëndron në qëndrimin e tij ndaj detyrave intelektuale si ato që kërkojnë zgjidhjen e tyre paraprake mendore. Aftësia për të vepruar me hipoteza në zgjidhjen e problemeve intelektuale është fitimi më i rëndësishëm i një adoleshenti në analizimin e realitetit. Mendimi hamendësues është një mjet dallues i arsyetimit shkencor, prandaj quhet të menduarit reflektues. Megjithëse asimilimi i koncepteve shkencore në shkollë në vetvete krijon një sërë kushtesh objektive për formimin e të menduarit teorik te nxënësit e shkollës, megjithatë, ai nuk formohet tek të gjithë: studentë të ndryshëm mund të kenë nivele dhe cilësi të ndryshme të formimit të tij aktual.

Mendimi teorik mund të formohet jo vetëm duke zotëruar njohuritë shkollore. Fjalimi bëhet i kontrolluar dhe i menaxhueshëm, dhe në disa situata të rëndësishme personale, adoleshentët përpiqen veçanërisht të flasin bukur dhe saktë. Në procesin dhe si rezultat i asimilimit të koncepteve shkencore, krijohen përmbajtje të reja të të menduarit, forma të reja të veprimtarisë intelektuale. Një tregues domethënës i asimilimit joadekuat të njohurive teorike është paaftësia e një adoleshenti për të zgjidhur problemet që kërkojnë përdorimin e kësaj njohurie.

Vendin qendror fillon ta zërë analiza e përmbajtjes së materialit, origjinaliteti dhe logjika e brendshme e tij. Disa adoleshentë karakterizohen nga fleksibiliteti në zgjedhjen e mënyrave për të mësuar, të tjerë preferojnë një metodë dhe disa përpiqen të organizojnë dhe përpunojnë logjikisht çdo material. Aftësia për të përpunuar materialin në mënyrë logjike shpesh zhvillohet në mënyrë spontane tek adoleshentët. Nga kjo varet jo vetëm performanca akademike, thellësia dhe forca e njohurive, por edhe mundësia e zhvillimit të mëtejshëm të inteligjencës dhe aftësive të adoleshentit.

§ 3. Organizimi i veprimtarive edukativekarakteristikat e nxënësve të klasave 7-9

Organizimi i aktiviteteve edukative të adoleshentëve është detyra më e rëndësishme dhe më komplekse. Një nxënës i shkollës së mesme është mjaft i aftë të kuptojë argumentet e një mësuesi ose prindi dhe të pajtohet me argumente të arsyeshme. Sidoqoftë, për shkak të veçorive të të menduarit karakteristikë të kësaj moshe, një adoleshent nuk do të jetë më i kënaqur me procesin e komunikimit të informacionit në një formë të gatshme dhe të plotë. Ai do të dëshirojë të kontrollojë besueshmërinë e tyre, për t'u siguruar që gjykimet e tij janë të sakta. Mosmarrëveshjet me mësuesit, prindërit dhe miqtë janë një tipar karakteristik i kësaj moshe. Roli i tyre i rëndësishëm është që t'ju lejojnë të shkëmbeni mendime për një temë, të kontrolloni vërtetësinë e pikëpamjeve tuaja dhe pikëpamjeve të pranuara përgjithësisht dhe të shprehni veten. Në mënyrë të veçantë, në mësimdhënie, futja e detyrave të bazuara në problem ka një efekt të madh. Themelet e kësaj qasjeje ndaj mësimdhënies u zhvilluan në vitet '60 dhe '70 të shekullit të 20-të nga mësues vendas. Baza e të gjitha veprimeve në qasjen e bazuar në problem është ndërgjegjësimi për mungesën e njohurive për zgjidhjen e problemeve specifike dhe zgjidhjen e kontradiktave. Në kushtet moderne, kjo qasje duhet të zbatohet në kontekstin e nivelit të arritjeve të shkencës moderne dhe detyrave të socializimit të studentëve.

Është e rëndësishme të inkurajohet të menduarit e pavarur, studenti të shprehë këndvështrimin e tij, aftësinë për të krahasuar, për të gjetur tipare të përbashkëta dhe dalluese, për të nxjerrë në pah gjënë kryesore, për të vendosur marrëdhënie shkak-pasojë dhe për të nxjerrë përfundime.

Për një adoleshent, një informacion interesant dhe magjepsës që nxit imagjinatën e tij dhe e bën të mendojë do të ketë një rëndësi të madhe. Një efekt i mirë arrihet duke ndryshuar periodikisht llojet e aktiviteteve - jo vetëm në klasë, por edhe kur përgatitni detyrat e shtëpisë. Një shumëllojshmëri e llojeve të punës mund të bëhet një mjet shumë efektiv për rritjen e vëmendjes dhe një mënyrë e rëndësishme për të parandaluar lodhjen e përgjithshme fizike, e lidhur si me ngarkesën arsimore ashtu edhe me procesin e përgjithshëm të ristrukturimit radikal të trupit gjatë pubertetit. 20]

Përpara se të studiojnë pjesët përkatëse të kurrikulës shkollore, studentët shpesh kanë tashmë disa ide dhe koncepte të përditshme që i lejojnë ata të lundrojnë mjaft mirë në praktikën e përditshme. Kjo rrethanë, në rastet kur vëmendja e tyre nuk tërhiqet në mënyrë specifike nga lidhja e njohurive që marrin me jetën praktike, i privon shumë studentë nevojën për të përvetësuar dhe asimiluar njohuri të reja, pasi kjo e fundit nuk ka asnjë kuptim praktik për ta.

Idealet morale dhe besimet morale të adoleshentëve formohen nën ndikimin e faktorëve të shumtë, në veçanti, duke forcuar potencialin edukativ të të mësuarit. Në zgjidhjen e problemeve komplekse të jetës, duhet t'i kushtohet më shumë vëmendje metodave indirekte të ndikimit në ndërgjegjen e adoleshentëve: të mos paraqesin një të vërtetë morale të gatshme, por të çojnë drejt saj dhe të mos shprehin gjykime kategorike që adoleshentët mund t'i perceptojnë me armiqësi.

§ 4. Hulumtimi arsimor në sistemin e kërkesave themelore për përmbajtjen e arsimit matematikor dhe nivelin e përgatitjes së studentëve

Ekuacionet dhe pabarazitë me parametra janë material i shkëlqyer për punë reale kërkimore. Por kurrikula shkollore nuk përfshin si temë më vete problemet me parametrat.

Le të analizojmë seksione të ndryshme të standardit arsimor të shkollave ruse nga pikëpamja e identifikimit të çështjeve që lidhen me mësimin për të zgjidhur problemet me parametra.

Studimi i materialit të programit u lejon nxënësve të shkollave fillore të "kuptojnë një problem fillestar me parametra që mund të reduktohen në lineare dhe kuadratike" dhe të mësojnë se si të ndërtojnë grafikët e funksioneve dhe të eksplorojnë vendndodhjen e këtyre grafikëve në planin koordinativ në varësi të vlerat e parametrave të përfshirë në formulë.

Rreshti "funksion" nuk e përmend fjalën "parametër" por thotë se nxënësit kanë mundësi të "sistematizojnë dhe zhvillojnë njohuri për funksionin; zhvilloni një kulturë grafike, mësoni të "lexoni" rrjedhshëm grafikët, pasqyroni vetitë e një funksioni në një grafik."

Pasi kemi analizuar tekstet shkollore mbi algjebrën nga grupe të tilla autorësh si: Alimov Sh. et al., Makarychev Yu N. et al., Mordkovich A. G. et al., ne arrijmë në përfundimin se problemet me parametrat në këto tekste janë. i kushtohet pak vëmendje. Në tekstet shkollore për klasën e 7-të ka disa shembuj për studimin e çështjes së numrit të rrënjëve të një ekuacioni linear, për studimin e varësisë së vendndodhjes së grafikut të një funksioni linear y = kh dhe y = kh + b në varësi të vlerave prej k. Në tekstet shkollore për klasat 8-9, në seksione të tilla si "Probleme për punë jashtëshkollore" ose "Ushtrime përsëritje", jepen 2-3 detyra për studimin e rrënjëve në ekuacionet kuadratike dhe bikuadratike me parametra, vendndodhjen e grafikut të një funksion kuadratik në varësi të vlerave të parametrave.

Në programin e matematikës për shkollat ​​dhe klasat me studim të thelluar, shënimi shpjegues thotë se “seksioni “Kërkesat për përgatitjen matematikore të nxënësve” përcakton sasinë e përafërt të njohurive, aftësive dhe aftësive që duhet të zotërojnë nxënësit e shkollës. Në këtë fushë, natyrisht, përfshihen ato njohuri, aftësi dhe shkathtësi, përvetësimi i detyrueshëm i të cilave nga të gjithë nxënësit parashikohet nga kërkesat e programit shkollor të arsimit të përgjithshëm; megjithatë, propozohet një cilësi e ndryshme, më e lartë e formimit të tyre. Nxënësit duhet të fitojnë aftësinë për të zgjidhur probleme të një niveli kompleksiteti më të lartë se niveli i kërkuar i kompleksitetit, të formulojnë saktë dhe me kompetencë parimet teorike që kanë studiuar dhe të paraqesin arsyetimin e tyre gjatë zgjidhjes së problemeve...”

Le të analizojmë disa tekste shkollore për nxënësit me studim të avancuar të matematikës.

Formulimi i problemeve të tilla dhe zgjidhja e tyre nuk i kalon qëllimet e kurrikulës shkollore, por vështirësitë që hasin nxënësit shpjegohen, së pari, nga prania e një parametri dhe së dyti, nga degëzimi i zgjidhjes dhe i përgjigjeve. Megjithatë, praktika e zgjidhjes së problemeve me parametra është e dobishme për zhvillimin dhe forcimin e aftësisë për të menduar të pavarur logjik dhe për pasurimin e kulturës matematikore.

Në klasat e arsimit të përgjithshëm në shkollë, si rregull, një vëmendje e papërfillshme i kushtohet detyrave të tilla. Meqenëse zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive me parametra është, ndoshta, pjesa më e vështirë e një kursi në matematikën fillore, vështirë se është e këshillueshme që t'i mësohet zgjidhjes së problemeve të tilla me parametra masës së nxënësve, por studentë të fortë që tregojnë interes, prirje dhe aftësi për matematika, të cilët përpiqen të veprojnë në mënyrë të pavarur, mësojnë Është sigurisht e nevojshme të zgjidhen probleme të tilla. Prandaj, krahas linjave të tilla tradicionale përmbajtësore-metodologjike të lëndës së matematikës shkollore si funksionale, numerike, gjeometrike, linja e ekuacioneve dhe linja e transformimeve identike, edhe linja e parametrave duhet të marrë një pozicion të caktuar. Përmbajtja e materialit dhe kërkesat për studentët në temën "probleme me parametrat" ​​duhet, natyrisht, të përcaktohen nga niveli i përgatitjes matematikore të të gjithë klasës në tërësi dhe çdo individi.

Mësuesi duhet të ndihmojë në plotësimin e nevojave dhe kërkesave të nxënësve të shkollës që tregojnë interes, aftësi dhe aftësi për lëndën. Për çështjet me interes për studentët, mund të organizohen konsultime, klube, orë shtesë dhe lëndë zgjedhore. Kjo vlen plotësisht për çështjen e problemeve me parametrat.

§ 5. Hulumtimi edukativ në strukturën e veprimtarisë njohëse të nxënësve të shkollës

Për momentin, çështja e përgatitjes së një studenti që përpiqet të veprojë në mënyrë të pavarur, përtej kërkesave të mësuesit, i cili nuk e kufizon hapësirën e interesave dhe kërkimit aktiv në materialin edukativ që i ofrohet, i cili di të paraqesë dhe argumentohet. të mbrojë zgjidhjen e tij për një problem të caktuar, i cili di të specifikojë ose, anasjelltas, të përgjithësojë rezultatin në shqyrtim, të identifikojë marrëdhëniet shkak-pasojë, etj. Në këtë drejtim, studime që analizojnë bazat e psikologjisë së krijimtarisë matematikore në shkollë -fëmijët e moshës, shqyrtojnë problemin e menaxhimit të procesit të aktivitetit mendor të studentëve, formimit dhe zhvillimit të aftësive të tyre për të përvetësuar në mënyrë të pavarur njohuri, aplikimin e njohurive, rimbushjen dhe sistematizimin e tyre, problemin e rritjes së aktivitetit të veprimtarisë njohëse të nxënësve të shkollës (L.S. Vygotsky, P. Ya Krutetsky, N.A. Menchinskaya, S.L. Friedman, etj.).

Metoda e kërkimit të mësimdhënies përfshin dy metoda kërkimore: edukative dhe shkencore.

Zgjidhja e një pjese të konsiderueshme të problemeve të një kursi të matematikës shkollore presupozon që studentët të kenë zhvilluar cilësi të tilla si zotërimi i rregullave dhe algoritmeve të veprimeve në përputhje me programet aktuale dhe aftësia për të kryer kërkime bazë. Kërkimi në shkencë nënkupton studimin e një objekti për të identifikuar modelet e shfaqjes së tij dhe zhvillimit të transformimit. Në procesin e kërkimit, përdoren përvoja e mëparshme e akumuluar, njohuritë ekzistuese, si dhe metodat dhe metodat (teknikat) e studimit të objekteve. Rezultati i hulumtimit duhet të jetë përvetësimi i njohurive të reja shkencore.

Kur aplikohet në procesin e mësimdhënies së matematikës në shkollën e mesme, është e rëndësishme të theksohen sa vijon: përbërësit kryesorë të kërkimit arsimor përfshijnë formulimin e një problemi kërkimor, ndërgjegjësimin për qëllimet e tij, analizën paraprake të informacionit të disponueshëm për çështjen në shqyrtim; kushtet dhe metodat për zgjidhjen e problemeve afër problemit kërkimor, propozimi dhe formulimi i hipotezave fillestare, analiza dhe përgjithësimi i rezultateve të marra gjatë studimit, verifikimi i hipotezës fillestare bazuar në faktet e marra, formulimi përfundimtar i rezultateve, modeleve, vetive të reja. , përcaktimi i vendit të zgjidhjes së gjetur të problemit të paraqitur në sistemin e njohurive ekzistuese. Vendin kryesor midis objekteve të kërkimit arsimor e zënë ato koncepte dhe marrëdhënie të kursit të matematikës shkollore, në procesin e studimit të të cilave zbulohen modelet e ndryshimit dhe transformimit të tyre, kushtet për zbatimin e tyre, unike, etj.

Potenciali serioz në formimin e aftësive të tilla kërkimore si aftësia për të vëzhguar me qëllim, krahasuar, paraqitur, vërtetuar ose hedhur poshtë një hipotezë, aftësia për të përgjithësuar, etj., Ka detyra për të ndërtuar në një kurs gjeometrie, ekuacione dhe pabarazi me parametra në një kurs algjebër, të ashtuquajturat probleme dinamike, në procesin e zgjidhjes së të cilave studentët zotërojnë teknikat themelore të veprimtarisë mendore: analiza, sinteza (analiza përmes sintezës, sinteza përmes analizës), përgjithësimi, specifikimi, etj., vëzhgon me qëllim ndryshimin e objekteve. , parashtron dhe formulon një hipotezë në lidhje me vetitë e objekteve në shqyrtim, teston hipotezën e paraqitur, përcakton vendin e rezultatit të mësuar në sistemin e njohurive të fituara më parë, rëndësinë e tij praktike. Organizimi i hulumtimit edukativ nga mësuesi është i një rëndësie vendimtare. Metodat e mësimdhënies së veprimtarisë mendore, aftësia për të kryer elemente kërkimore - këto qëllime tërheqin vazhdimisht vëmendjen e mësuesit, duke e inkurajuar atë të gjejë përgjigje për shumë pyetje metodologjike që lidhen me zgjidhjen e problemit në shqyrtim.

Studimi i shumë çështjeve të programit ofron mundësi të shkëlqyera për të krijuar një pamje më tërësore dhe më të plotë lidhur me shqyrtimin e një problemi të caktuar.

Në procesin e kërkimit arsimor sintetizohen njohuritë dhe përvoja e grumbulluar nga studenti në studimin e objekteve matematikore. Me rëndësi vendimtare në organizimin e kërkimit arsimor të një studenti është tërheqja e vëmendjes së tij (së pari e pavullnetshme, dhe më pas vullnetare), krijimi i kushteve për vëzhgim: sigurimi i vetëdijes së thellë, qëndrimi i nevojshëm i studentit ndaj punës, objektit të studimit ("https:/ /site", 9).

Në mësimdhënien e matematikës në shkollë, ekzistojnë dy nivele të lidhura ngushtë të kërkimit arsimor: empirik dhe teorik. E para karakterizohet nga vëzhgimi i fakteve individuale, klasifikimi i tyre dhe vendosja e një lidhjeje logjike ndërmjet tyre, e verifikueshme nga përvoja. Niveli teorik i kërkimit arsimor është i ndryshëm në atë që si rezultat studenti formulon ligje të përgjithshme matematikore, mbi bazën e të cilave interpretohen më thellë jo vetëm faktet e reja, por edhe ato të marra në nivelin empirik.

Kryerja e kërkimit arsimor kërkon që studenti të përdorë të dyja metodat specifike, karakteristike vetëm për matematikën, dhe ato të përgjithshme; analiza, sinteza, induksioni, deduksioni etj., të përdorura në studimin e objekteve dhe dukurive të disiplinave të ndryshme shkollore.

Organizimi i hulumtimit edukativ nga mësuesi është i një rëndësie vendimtare. Në zbatimin e procesit të mësimdhënies së matematikës në shkollën e mesme, është e rëndësishme të theksohen sa vijon: komponentët kryesorë të kërkimit arsimor përfshijnë formulimin e një problemi kërkimor, ndërgjegjësimin për qëllimet e tij, analizën paraprake të informacionit të disponueshëm për çështjen në shqyrtim; kushtet dhe metodat për zgjidhjen e problemeve afër problemit kërkimor, propozimi dhe formulimi i hipotezës fillestare, analiza dhe përgjithësimi i rezultateve të marra gjatë studimit, verifikimi i hipotezës fillestare bazuar në faktet e marra, formulimi përfundimtar i rezultateve të reja, modeleve, vetitë, përcaktimi i vendit të zgjidhjes së gjetur të problemit të paraqitur në sistemin e njohurive ekzistuese. Vendin kryesor midis objekteve të kërkimit arsimor e zënë ato koncepte dhe marrëdhënie të kursit të matematikës shkollore, në procesin e studimit të të cilave zbulohen modelet e ndryshimit dhe transformimit të tyre, kushtet për zbatimin e tyre, unike, etj.

Materiali i përshtatshëm për kërkimin arsimor është materiali që lidhet me studimin e funksioneve të studiuara në kursin e algjebrës. Si shembull, merrni parasysh një funksion linear.

Detyrë: Shqyrtoni një funksion linear për çift dhe tek. Këshillë: Merrni parasysh rastet e mëposhtme:

2) a = 0 dhe b? 0;

3) a? 0 dhe b = 0;

4) a? 0 dhe b? 0.

Si rezultat i hulumtimit, plotësoni tabelën, duke treguar rezultatin e marrë në kryqëzimin e rreshtit dhe kolonës përkatëse.

Si rezultat i zgjidhjes, studentët duhet të marrin tabelën e mëposhtme:

	çift ​​dhe tek
	i çuditshëm	as çift e as tek

Simetria e saj ngjall një ndjenjë kënaqësie dhe besimi në korrektësinë e mbushjes.

Formimi i metodave të veprimtarisë mendore luan një rol të rëndësishëm si në zhvillimin e përgjithshëm të nxënësve të shkollës, ashtu edhe për të rrënjosur në to aftësitë e kryerjes së kërkimit edukativ (në përgjithësi ose në fragmente).

Rezultati i hulumtimit edukativ është njohuri subjektive e re për vetitë e objektit (marrëdhënies) në shqyrtim dhe aplikimet e tyre praktike. Këto prona mund ose nuk mund të përfshihen në një kurrikulë të matematikës së shkollës së mesme. Është e rëndësishme të theksohet se risia e rezultatit të veprimtarisë së një studenti përcaktohet si nga natyra e kërkimit të një mënyre për të kryer aktivitetin, nga vetë metoda e veprimtarisë dhe nga vendi i rezultatit të marrë në sistemin e njohurive. të atij studenti.

Metoda e mësimdhënies së matematikës duke përdorur kërkimin edukativ quhet hulumtim, pavarësisht nëse skema e kërkimit arsimor zbatohet e plotë apo në fragmente.

Gjatë zbatimit të secilës fazë të kërkimit arsimor, elemente të veprimtarisë performuese dhe krijuese janë domosdoshmërisht të pranishme. Kjo vërehet më qartë në rastin e një studenti që kryen në mënyrë të pavarur një studim të caktuar. Gjithashtu, gjatë kërkimit edukativ, disa faza mund të zbatohen nga mësuesi, të tjera nga vetë nxënësi. Niveli i pavarësisë varet nga shumë faktorë, në veçanti, nga niveli i formimit, aftësia për të vëzhguar një objekt (proces) të caktuar, aftësia për të përqendruar vëmendjen në të njëjtën temë, ndonjëherë për një kohë mjaft të gjatë, aftësinë për të shikoni një problem, formuloni qartë dhe pa mëdyshje, aftësinë për të gjetur dhe përdorur shoqata të përshtatshme (ndonjëherë të papritura), aftësinë për të analizuar në mënyrë të përqendruar njohuritë ekzistuese për të zgjedhur informacionin e nevojshëm, etj.

Është gjithashtu e pamundur të mbivlerësohet ndikimi i imagjinatës, intuitës, frymëzimit, aftësisë (dhe ndoshta talentit apo gjeniut) të një studenti në suksesin e aktiviteteve të tij kërkimore.

§ 6 . Kërkime në sistemin e metodave të mësimdhënies

Më shumë se një duzinë studime themelore i janë kushtuar metodave të mësimdhënies, nga të cilat varet suksesi i konsiderueshëm i punës së mësuesit dhe shkollës në tërësi. Dhe, pavarësisht kësaj, problemi i metodave të mësimdhënies, si në teorinë e mësimdhënies, ashtu edhe në praktikën pedagogjike, mbetet shumë i rëndësishëm. Koncepti i metodës së mësimdhënies është mjaft kompleks. Kjo është për shkak të kompleksitetit të jashtëzakonshëm të procesit që kjo kategori synon të pasqyrojë. Shumë autorë e konsiderojnë metodën e mësimdhënies si një mënyrë për të organizuar veprimtaritë edukative dhe njohëse të studentëve.

Fjala "metodë" është me origjinë greke dhe e përkthyer në rusisht do të thotë kërkim, metodë. "Metoda - në kuptimin më të përgjithshëm - është një mënyrë për të arritur një qëllim, një mënyrë e caktuar për të renditur aktivitetin." Është e qartë se në procesin e të mësuarit metoda vepron si një lidhje midis aktiviteteve të mësuesit dhe nxënësve për të arritur qëllime të caktuara arsimore. Nga ky këndvështrim, çdo metodë mësimore përfshin organikisht punën mësimore të mësuesit (prezantimi, shpjegimi i materialit që studiohet) dhe organizimi i veprimtarisë aktive edukative dhe njohëse të nxënësve. Kështu, koncepti i metodës së mësimdhënies pasqyron:

1. Metodat e punës mësimore të mësuesit dhe metodat e punës edukative të nxënësve në ndërlidhjen e tyre.

2. Specifikat e punës së tyre për të arritur qëllime të ndryshme mësimore. Pra, metodat e mësimdhënies janë mënyra të veprimtarisë së përbashkët midis mësuesit dhe nxënësve që synojnë zgjidhjen e problemeve të të nxënit, domethënë detyrat didaktike.

Kjo do të thotë, metodat e mësimdhënies duhet të kuptohen si metodat e punës mësimore të mësuesit dhe organizimi i veprimtarive edukative dhe njohëse të studentëve për të zgjidhur detyra të ndryshme didaktike që synojnë zotërimin e materialit që studiohet. Një nga problemet akute të didaktikës moderne është problemi i klasifikimit të metodave të mësimdhënies. Aktualisht nuk ka asnjë këndvështrim të vetëm për këtë çështje. Për shkak të faktit se autorë të ndryshëm e bazojnë ndarjen e metodave të mësimdhënies në grupe dhe nëngrupe në kritere të ndryshme, ekzistojnë një sërë klasifikimesh. Por në vitet 20 në pedagogjinë sovjetike pati një luftë kundër metodave të mësimdhënies skolastike dhe mësimit mekanik përmendësh që lulëzuan në shkollën e vjetër dhe u bë një kërkim për metoda që do të siguronin përvetësim të vetëdijshëm, aktiv dhe krijues të njohurive nga studentët. Ishte në ato vite që mësuesi B.V. Vieviatsky zhvilloi qëndrimin se mund të ketë vetëm dy metoda në mësimdhënie: metoda e kërkimit dhe metoda e njohurive të gatshme. Metoda e njohurive të gatshme, natyrisht, u kritikua. Metoda e kërkimit, thelbi i së cilës zbriste në faktin se studentët gjoja duhet të mësojnë gjithçka në bazë të vëzhgimit dhe analizës së fenomeneve që studiohen, duke iu afruar në mënyrë të pavarur përfundimeve të nevojshme, u njoh si metoda më e rëndësishme e mësimdhënies. E njëjta metodë kërkimore në klasë mund të mos zbatohet për të gjitha temat.

Gjithashtu, thelbi i kësaj metode është se mësuesi zbërthen një problem problematik në nënprobleme dhe nxënësit kryejnë hapa individualë për të gjetur zgjidhjen e tij. Çdo hap përfshin aktivitet krijues, por ende nuk ka një zgjidhje tërësore për problemin. Gjatë kërkimit, studentët zotërojnë metodat e njohurive shkencore dhe zhvillojnë përvojë në veprimtaritë kërkimore. Veprimtaria e nxënësve të trajnuar duke përdorur këtë metodë është përvetësimi i teknikave të parashtrimit të pavarur të problemeve, gjetja e mënyrave për zgjidhjen e tyre, detyrat kërkimore, shtrimi dhe zhvillimi i problemeve që mësuesit u paraqesin.

Mund të vërehet gjithashtu se psikologjia vendos disa modele me psikologjinë e zhvillimit. Para se të filloni të punoni me studentët duke përdorur metoda, duhet të studioni plotësisht metodat e studimit të psikologjisë së tyre të zhvillimit. Njohja me këto metoda mund të sjellë dobi praktike drejtpërdrejt për organizatorët e këtij procesi, pasi këto metoda janë të përshtatshme jo vetëm për kërkimin shkencor të dikujt, por edhe për organizimin e një studimi të thelluar të fëmijëve për qëllime praktike edukative. Një qasje individuale ndaj trajnimit dhe edukimit supozon njohuri dhe kuptim të mirë të karakteristikave individuale psikologjike të studentëve dhe veçantinë e personalitetit të tyre. Për rrjedhojë, mësuesi duhet të zotërojë aftësinë për të studiuar studentët, për të parë jo një masë studentore gri, homogjene, por një kolektiv në të cilin secili përfaqëson diçka të veçantë, individuale dhe unike. Një studim i tillë është detyrë e çdo mësuesi, por ende duhet të organizohet siç duhet.

Një nga metodat kryesore të organizimit është metoda e vëzhgimit. Sigurisht, psikika nuk mund të vëzhgohet drejtpërdrejt. Kjo metodë përfshin njohuri indirekte të karakteristikave individuale të psikikës njerëzore përmes studimit të sjelljes së tij. Kjo do të thotë, këtu është e nevojshme të gjykohet studenti nga karakteristikat individuale (veprimet, veprat, të folurit, pamja, etj.), gjendja mendore e studentit (proceset e perceptimit, kujtesës, të menduarit, imagjinatës, etj.), dhe nga tiparet e tij të personalitetit, temperamentin, karakterin. E gjithë kjo është e nevojshme për nxënësin me të cilin mësuesi punon duke përdorur metodën kërkimore të mësimdhënies gjatë kryerjes së disa detyrave.

Zgjidhja e një pjese të konsiderueshme të problemeve të një kursi të matematikës shkollore presupozon që studentët të kenë zhvilluar cilësi të tilla si zotërimi i rregullave dhe algoritmeve të veprimit në përputhje me programet aktuale dhe aftësia për të kryer kërkime bazë. Kërkimi në shkencë nënkupton studimin e një objekti për të identifikuar modelet e shfaqjes, zhvillimit dhe transformimit të tij. Në procesin e kërkimit, përdoren përvoja e mëparshme e akumuluar, njohuritë ekzistuese, si dhe metodat dhe metodat (teknikat) e studimit të objekteve. Rezultati i hulumtimit duhet të jetë përvetësimi i njohurive të reja shkencore. Metodat e mësimdhënies së veprimtarisë mendore, aftësia për të kryer elemente kërkimore - këto qëllime tërheqin vazhdimisht vëmendjen e mësuesit, duke e inkurajuar atë të gjejë përgjigje për shumë pyetje metodologjike që lidhen me zgjidhjen e problemit në shqyrtim. Studimi i shumë çështjeve të programit ofron mundësi të shkëlqyera për të krijuar një pamje më holistike dhe më të plotë lidhur me shqyrtimin e një detyre të caktuar. Metoda e kërkimit të mësimdhënies së matematikës përshtatet natyrshëm në klasifikimin e metodave të mësimdhënies në varësi të natyrës së aktiviteteve të nxënësve dhe shkallës së pavarësisë së tyre njohëse. Për të organizuar me sukses veprimtarinë kërkimore të studentit, mësuesi duhet të kuptojë dhe të marrë parasysh cilësitë e tij personale dhe veçoritë procedurale të këtij lloji të veprimtarisë, si dhe nivelin e aftësisë së studentit në materialin e studiuar të kursit. Është e pamundur të mbivlerësohet ndikimi i imagjinatës, intuitës, frymëzimit dhe aftësisë së një studenti në suksesin e aktiviteteve të tij kërkimore.

Format e detyrave në metodën e kërkimit mund të jenë të ndryshme. Këto mund të jenë detyra që mund të zgjidhen shpejt në klasë dhe në shtëpi, ose detyra që kërkojnë një mësim të tërë. Shumica e detyrave kërkimore duhet të jenë detyra të vogla kërkimi që kërkojnë përfundimin e të gjithë ose shumicës së hapave të procesit të kërkimit. Zgjidhja e tyre e plotë do të sigurojë që metoda e kërkimit të përmbushë funksionet e saj. Fazat e procesit të kërkimit janë si më poshtë:

1 Vëzhgimi dhe krahasimi i qëllimshëm i fakteve dhe dukurive.

Identifikimi i dukurive të paqarta që duhen hetuar.

Analiza paraprake e informacionit të disponueshëm për çështjen në shqyrtim.

4. Propozimi dhe formulimi i një hipoteze.

5. Ndërtimi i një plani kërkimor.

Zbatimi i planit, sqarimi i lidhjeve të fenomenit që studiohet me të tjerët.

Formulimi i rezultateve, modeleve, vetive të reja, përcaktimi i vendit të zgjidhjes së gjetur për kërkimin e caktuar në sistemin e njohurive ekzistuese.

Kontrollimi i zgjidhjes së gjetur.

Përfundime praktike për zbatimin e mundshëm të njohurive të reja.

§ 7 . Aftësia për të kërkuar në sistemene kemi njohuri të veçanta

Aftësia është zbatimi i vetëdijshëm i njohurive dhe aftësive të studentit për të kryer veprime komplekse në kushte të ndryshme, d.m.th., për të zgjidhur problemet përkatëse, sepse ekzekutimi i çdo veprimi kompleks vepron për studentin si zgjidhje e problemit.

Aftësitë kërkimore mund të ndahen në të përgjithshme dhe specifike. Aftësitë e përgjithshme kërkimore, formimi dhe zhvillimi i të cilave ndodh në procesin e zgjidhjes së problemeve me parametra, përfshijnë: aftësinë për të parë prapa një ekuacioni të caktuar me një parametër klasa të ndryshme ekuacionesh, të karakterizuara nga prania e përbashkët e numrit dhe llojit të rrënjët; aftësia për të përdorur metoda analitike dhe grafiko-analitike.

Aftësitë e veçanta kërkimore përfshijnë aftësitë që formohen dhe zhvillohen në procesin e zgjidhjes së një klase të caktuar problemesh.

Kur zgjidhni ekuacione lineare që përmbajnë një parametër, formohen aftësitë e mëposhtme të veçanta:

§ Aftësia për të identifikuar vlerat e veçanta të parametrave në të cilat një ekuacion i caktuar linear ka:

Rrënja e vetme;

Një numër i pafund rrënjësh;

3) Nuk ka rrënjë;

Aftësia për të interpretuar përgjigjen në gjuhën e detyrës origjinale. Aftësitë e veçanta kërkimore, formimi dhe zhvillimi i të cilave ndodh në procesin e zgjidhjes së pabarazive lineare që përmbajnë një parametër, përfshijnë:

§ Aftësia për të parë koeficientin e së panjohurës dhe termit të lirë në funksion të parametrit;

§ Aftësia për të identifikuar vlerat e veçanta të parametrave në të cilat një pabarazi lineare e dhënë ka si zgjidhje:

1) Intervali;

2) Nuk ka zgjidhje;

§ Aftësia për të interpretuar përgjigjen në gjuhën e detyrës origjinale, aftësitë e veçanta kërkimore, formimi dhe zhvillimi i të cilave ndodh në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve kuadratike që përmbajnë një parametër.

§ Aftësia për të identifikuar një vlerë të veçantë të një parametri në të cilin koeficienti kryesor bëhet zero, d.m.th., ekuacioni bëhet linear dhe për të gjetur një zgjidhje për ekuacionin që rezulton për vlerat e veçanta të identifikuara të parametrit;

§ Aftësia për të zgjidhur çështjen e pranisë dhe të numrit të rrënjëve të një ekuacioni të caktuar kuadratik në varësi të shenjës së diskriminuesit;

§ Aftësia për të shprehur rrënjët e një ekuacioni kuadratik (nëse ka) nëpërmjet një parametri;

Ndër aftësitë e veçanta kërkimore, formimi dhe zhvillimi i të cilave ndodh në procesin e zgjidhjes së ekuacioneve fraksionale-racionale që përmbajnë një parametër që mund të reduktohet në ato kuadratike, përfshijnë:

§ Aftësia për të reduktuar një ekuacion racional thyesor që përmban një parametër në një ekuacion kuadratik që përmban një parametër.

Aftësitë e veçanta kërkimore, formimi dhe zhvillimi i të cilave ndodh në procesin e zgjidhjes së pabarazive kuadratike që përmbajnë një parametër, përfshijnë:

§ Aftësia për të identifikuar një vlerë të veçantë të një parametri në të cilin koeficienti kryesor bëhet zero, domethënë, pabarazia bëhet lineare dhe për të gjetur shumë zgjidhje për pabarazinë që rezulton për vlera të veçanta të parametrit;

§ Aftësia për të shprehur bashkësinë e zgjidhjeve të një pabarazie kuadratike nëpërmjet një parametri.

Më poshtë renditen aftësitë arsimore që përkthehen në mësimdhënie dhe kërkime, si dhe aftësi kërkimore.

Klasa 6−7:

- të përdorë shpejt njohuritë e vjetra në situatën e përvetësimit të të rejave;

- të transferojë lirisht një kompleks veprimesh mendore nga një material në tjetrin, nga një subjekt në tjetrin;

shpërndani njohuritë e fituara në një grup të madh objektesh;

kombinoni procesin e "kolapsit" dhe "shpalosjes" së njohurive;

të përmbledhë me qëllim idetë e tekstit duke nxjerrë në pah mendimet kryesore në segmentet dhe pjesët e tij;

sistematizojnë dhe klasifikojnë informacionin;

— krahasoni informacionin mbi sistemet e karakteristikave, duke theksuar ngjashmëritë dhe dallimet;

- të jetë në gjendje të lidhë gjuhën simbolike me të folurën e shkruar dhe me gojë;

— analizoni dhe planifikoni metodat për punën e ardhshme;

“Lidhni” shpejt dhe lirshëm përbërësit e njohurive të reja;

të jetë në gjendje të paraqesë në mënyrë të përmbledhur mendimet dhe faktet kryesore të tekstit;

- të marrë njohuri të reja duke kaluar nga njohuritë sistemformuese në ato specifike me ndihmën e diagrameve, tabelave, shënimeve etj.;

përdorni forma të ndryshme regjistrimi gjatë një procesi të gjatë dëgjimi;

zgjidhni zgjidhjet optimale;

vërtetojnë ose hedhin poshtë duke përdorur teknika të ndërlidhura;

- të përdorë lloje të ndryshme analizash dhe sintezesh;

- të shqyrtojë problemin nga këndvështrime të ndryshme;

- shprehni një gjykim në formën e një algoritmi mendimesh.

Edukimi matematikor në proceset e formimit të të menduarit ose të zhvillimit mendor të nxënësve duhet të zërë dhe i jepet një vend i veçantë, sepse mjetet e mësimdhënies së matematikës ndikojnë më efektivisht në shumë nga komponentët bazë të personalitetit holistik dhe, mbi të gjitha, të të menduarit.

Kështu, një vëmendje e veçantë i kushtohet zhvillimit të të menduarit të studentit, pasi është pikërisht kjo që lidhet me të gjitha funksionet e tjera mendore: imagjinatën, fleksibilitetin e mendjes, gjerësinë dhe thellësinë e mendimit, etj. zhvillimi i të menduarit në kontekstin e të nxënit me në qendër nxënësin, duhet mbajtur mend se një kusht i domosdoshëm për zbatimin e një zhvillimi të tillë është individualizimi i të nxënit. Është kjo që siguron që të merren parasysh karakteristikat e veprimtarisë mendore të studentëve të kategorive të ndryshme.

Rruga drejt krijimtarisë është individuale. Në të njëjtën kohë, të gjithë nxënësit në procesin e studimit të matematikës duhet të ndjejnë natyrën e saj krijuese, të njihen në procesin e mësimit të matematikës me disa aftësi të veprimtarisë krijuese që do t'u nevojiten në jetën dhe veprimtarinë e tyre të ardhshme. Për të zgjidhur këtë problem kompleks, mësimdhënia e matematikës duhet të strukturohet në mënyrë që nxënësi shpesh të kërkojë kombinime të reja, duke transformuar gjëra, fenomene, procese të realitetit dhe të kërkojë lidhje të panjohura midis objekteve.

Një mënyrë e shkëlqyeshme për t'i futur studentët në veprimtarinë krijuese gjatë mësimdhënies së matematikës është puna e pavarur në të gjitha format dhe manifestimet e saj. Shumë themelore në këtë drejtim është deklarata e akademikut P. L. Kapitsa se pavarësia është një nga cilësitë më themelore të një personaliteti krijues, pasi kultivimi i aftësive krijuese te një person bazohet në zhvillimin e të menduarit të pavarur.

Niveli i gatishmërisë së studentëve dhe grupeve të studimit për veprimtari të pavarur krijuese mund të përcaktohet duke iu përgjigjur pyetjeve të mëposhtme:

Sa efektivisht mund të përdorin nxënësit e shkollës shënimet, shënimet referuese dhe të lexojnë diagrame dhe lloje të ndryshme tabelash?

A dinë nxënësit të vlerësojnë objektivisht idetë e propozuara kur zgjidhin një problem problemor nga mësuesi dhe të marrin parasysh mundësinë e zbatimit të tyre? 3) Sa shpejt kalojnë nxënësit e shkollës nga një mënyrë e zgjidhjes së një problemi në tjetrën? 4) Analizoni efektivitetin e orientimit të nxënësve gjatë orës së mësimit në vetëorganizimin e punës së pavarur; 5) Eksploroni aftësinë e nxënësve për të modeluar dhe zgjidhur problemet në mënyrë fleksibël.

Kapitulli 2. Analiza metodologjike e temës “Ekuacionet dhe inekuacionet me parametra” dhe zhvillimi i lëndës me zgjedhje “Ekuacionet kuadratike dhe inekuacionet me një parametër”

§ 1. Roli Dhe vend parametrike ekuacionet Dhe pabarazitë në formacion kërkimore shkathtësith studentet

Pavarësisht se në planprogramin e matematikës së shkollës së mesme nuk përmenden në mënyrë eksplicite probleme me parametra, do të ishte gabim të thuhet se çështja e zgjidhjes së problemave me parametra nuk trajtohet në asnjë mënyrë në lëndën e matematikës shkollore. Mjafton të kujtojmë ekuacionet e shkollës: ax2+bx+c=0, y=khx, y=khx+b, ax=b, në të cilat a, b, c, k nuk janë gjë tjetër veçse parametra. Por në kuadër të kursit shkollor, vëmendja nuk përqendrohet në një koncept të tillë, parametri, si ndryshon nga e panjohura.

Përvoja tregon se problemet me parametrat janë pjesa më komplekse e matematikës elementare në aspektin logjik dhe teknik, megjithëse nga pikëpamja formale përmbajtja matematikore e problemeve të tilla nuk shkon përtej kufijve të programeve. Kjo është shkaktuar nga këndvështrime të ndryshme mbi parametrin. Nga njëra anë, një parametër mund të konsiderohet si një variabël, i cili konsiderohet një vlerë konstante kur zgjidhen ekuacionet dhe pabarazitë, nga ana tjetër, një parametër është një sasi vlera numerike e së cilës nuk është dhënë, por duhet të konsiderohet e njohur; parametri mund të marrë vlera arbitrare, d.m.th., parametri, duke qenë një numër fiks, por i panjohur, ka një natyrë të dyfishtë. Së pari, njohja e supozuar lejon që parametri të trajtohet si një numër, dhe së dyti, shkalla e lirisë kufizohet nga panjohura e tij.

Në secilin nga përshkrimet e natyrës së parametrave, ekziston pasiguri - në cilat faza të zgjidhjes parametri mund të konsiderohet si një konstante dhe kur luan rolin e një ndryshoreje. Të gjitha këto karakteristika kontradiktore të parametrit mund të shkaktojnë një pengesë të caktuar psikologjike tek studentët që në fillim të njohjes së tyre.

Në këtë drejtim, në fazën fillestare të njohjes me parametrin, është shumë e dobishme të drejtoheni në një interpretim vizual dhe grafik të rezultateve të marra sa më shpesh të jetë e mundur. Kjo jo vetëm që i lejon nxënësit të kapërcejnë pasigurinë natyrore të parametrit, por gjithashtu i jep mësuesit mundësinë, paralelisht, si propedeutikë, t'i mësojë studentët të përdorin metoda grafike të provës gjatë zgjidhjes së problemeve. Gjithashtu nuk duhet të harrojmë se përdorimi i të paktën ilustrimeve grafike skematike në disa raste ndihmon në përcaktimin e drejtimit të kërkimit, dhe ndonjëherë na lejon të zgjedhim menjëherë çelësin për zgjidhjen e një problemi. Në të vërtetë, për disa lloje problemesh, edhe një vizatim primitiv, larg nga një grafik real, bën të mundur shmangien e llojeve të ndryshme të gabimeve dhe marrjen e një përgjigjeje për një ekuacion ose pabarazi në një mënyrë më të thjeshtë.

Zgjidhja e problemeve matematikore në përgjithësi është pjesa më e vështirë e aktiviteteve të nxënësve të shkollës kur studiojnë matematikën dhe kjo shpjegohet me faktin se zgjidhja e problemeve kërkon një nivel mjaft të lartë të zhvillimit të inteligjencës së nivelit më të lartë, d.m.th të menduarit teorik, formal dhe reflektues, etj. të menduarit, siç është përmendur tashmë, ende në zhvillim gjatë adoleshencës.

Puna e kursit

Interpretues: Bugrov S K.

Studimi i shumë proceseve fizike dhe modeleve gjeometrike shpesh çon në zgjidhjen e problemeve me parametra. Disa universitete përfshijnë gjithashtu ekuacione, pabarazi dhe sistemet e tyre në fletët e provimit, të cilat shpesh janë shumë komplekse dhe kërkojnë një qasje jo standarde për zgjidhjen. Në shkollë, kjo një nga seksionet më të vështira të lëndës së matematikës shkollore konsiderohet vetëm në disa klasa me zgjedhje.

Në përgatitjen e kësaj pune, vendosa synimin për një studim më të thellë të kësaj teme, duke identifikuar zgjidhjen më racionale që të çon shpejt në një përgjigje. Sipas mendimit tim, metoda grafike është një mënyrë e përshtatshme dhe e shpejtë për të zgjidhur ekuacionet dhe pabarazitë me parametra.

Eseja ime diskuton llojet e ekuacioneve të hasura shpesh, pabarazitë dhe sistemet e tyre dhe shpresoj që njohuritë që kam marrë në procesin e punës do të më ndihmojnë gjatë dhënies së provimeve shkollore dhe kur hyj në universitet.

Pabarazia

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x), (1)

ku a, b, c, …, k janë parametra, dhe x është një ndryshore reale, quhet pabarazi me një të panjohur që përmban parametra.

Çdo sistem i vlerave të parametrave a = a0, b = b0, c = c0, ..., k = k0, për disa funksione

¦(a, b, c, …, k, x) dhe

j(a, b, c, …, k, x

ka kuptim në domenin e numrave realë, i quajtur një sistem i vlerave të lejueshme të parametrave.

quhet vlerë e vlefshme e x nëse

¦(a, b, c, …, k, x) dhe

j(a, b, c, …, k, x

merrni vlera të vlefshme për çdo sistem të pranueshëm të vlerave të parametrave.

Bashkësia e të gjitha vlerave të pranueshme të x quhet domeni i përkufizimit të pabarazisë (1).

Një numër real x0 quhet zgjidhje e pjesshme e pabarazisë (1) nëse jobarazimi

¦(a, b, c, …, k, x0)>j(a, b, c, …, k, x0)

e vërtetë për çdo sistem të vlerave të lejueshme të parametrave.

Bashkësia e të gjitha zgjidhjeve të veçanta të pabarazisë (1) quhet zgjidhja e përgjithshme e kësaj pabarazie.

Zgjidhja e pabarazisë (1) do të thotë të tregosh në cilat vlera të parametrave ekziston një zgjidhje e përgjithshme dhe çfarë është.

Dy pabarazi

¦(a, b, c, …, k, x)>j(a, b, c, …, k, x) dhe (1)

z(a, b, c, …, k, x)>y(a, b, c, …, k, x) (2)

quhen ekuivalente nëse kanë të njëjtat zgjidhje të përgjithshme për të njëjtin grup sistemesh të vlerave të pranueshme të parametrave.

Ne gjejmë domenin e përkufizimit të kësaj pabarazie.

Ne e zvogëlojmë pabarazinë në një ekuacion.

A-në e shprehim në funksion të x-së.

Në sistemin e koordinatave xOa, ne ndërtojmë grafikë të funksioneve a =¦ (x) për ato vlera të x që përfshihen në domenin e përkufizimit të kësaj pabarazie.

Gjejmë grupe pikash që plotësojnë këtë pabarazi.

Le të shqyrtojmë ndikimin e parametrit në rezultat.

Le të gjejmë abshisën e pikave të kryqëzimit të grafikëve.

le të vendosim një vijë të drejtë a=const dhe ta zhvendosim nga -¥ në +¥

Ne e shkruajmë përgjigjen.

Ky është vetëm një nga algoritmet për zgjidhjen e pabarazive me parametra duke përdorur sistemin e koordinatave xOa. Metoda të tjera zgjidhjeje janë gjithashtu të mundshme, duke përdorur sistemin standard të koordinatave xOy.

§3. Shembuj

I. Për të gjitha vlerat e pranueshme të parametrit a, zgjidhni pabarazinë

Në fushën e përcaktimit të parametrit a, të përcaktuar nga sistemi i pabarazive

kjo pabarazi është ekuivalente me sistemin e pabarazive

Nëse , atëherë zgjidhjet e pabarazisë fillestare plotësojnë intervalin.

II. Në cilat vlera të parametrit a ka një zgjidhje sistemi?

Le të gjejmë rrënjët e trinomit në anën e majtë të pabarazisë -

(*)

Vijat e drejta të përcaktuara nga barazitë (*) ndajnë planin koordinativ aOx në katër rajone, në secilën prej të cilave ka një trinom katror

mban një shenjë konstante. Ekuacioni (2) përcakton një rreth me rreze 2 me qendër në origjinë. Pastaj zgjidhja për sistemin origjinal do të jetë kryqëzimi i hijeve

rajoni me një rreth, ku dhe vlerat e dhe gjenden nga sistemi

dhe vlerat dhe gjenden nga sistemi

Duke zgjidhur këto sisteme, ne e marrim atë

III. Zgjidhja e pabarazisë në varësi të vlerave të parametrit a.

Gjetja e gamës së vlerave të pranueshme -

Le të ndërtojmë një grafik të funksionit në sistemin e koordinatave xOy.

kur pabarazia nuk ka zgjidhje.

në për zgjidhja x plotëson relacionin , Ku

Përgjigje: Zgjidhjet për pabarazinë ekzistojnë kur

Ku , dhe gjatë zgjidhjes ; kur vendoset.

IV. Zgjidhja e pabarazisë

Gjetja e linjave ODZ ose ndërprerjes (asimptota)

Le të gjejmë ekuacionet e funksioneve, grafikët e të cilëve duhet të ndërtohen në UCS; pse le të kalojmë te barazia:

Le të faktorizojmë numëruesin.

sepse Se

Le të ndajmë të dyja anët e barazisë me . Por është një zgjidhje: ana e majtë e ekuacionit është e barabartë me anën e djathtë dhe është e barabartë me zero në .

3. Ne ndërtojmë grafikët e funksioneve në UCS xOa

dhe numëroni zonat që rezultojnë (akset nuk luajnë një rol). Kjo rezultoi në nëntë rajone.

4. Kërkojmë se cila nga zonat është e përshtatshme për këtë pabarazi, për të cilën marrim një pikë nga zona dhe e zëvendësojmë në pabarazi.

Për qartësi, le të bëjmë një tabelë.

		pabarazia:

5. Gjeni pikat e kryqëzimit të grafikëve

6. Le të vendosim drejtëzën a=const dhe ta zhvendosim nga -¥ në +¥.

në

nuk ka zgjidhje

në

Bibliografi

Dalinger V. A. "Gjeometria ndihmon algjebrën". Shtëpia botuese “Shkolla – Shtyp”. Moskë 1996

Dalinger V. A. "Gjithçka për të siguruar sukses në provimet përfundimtare dhe pranuese në matematikë." Shtëpia botuese e Universitetit Pedagogjik Omsk. Omsk 1995

Okunev A. A. "Zgjidhja grafike e ekuacioneve me parametra". Shtëpia botuese “Shkolla – Shtyp”. Moskë 1986

Pismensky D. T. "Matematika për nxënësit e shkollave të mesme". Shtëpia botuese "Iris". Moskë 1996

Yastribinetsky G. A. "Ekuacionet dhe pabarazitë që përmbajnë parametra". Shtëpia botuese "Prosveshcheniye". Moskë 1972

G. Korn dhe T. Korn "Manual i Matematikës". Shtëpia botuese “Shkenca” literaturë fizike dhe matematikore. Moskë 1977

Amelkin V.V dhe Rabtsevich V.L. Shtëpia botuese “Asar”. Moskë 1996

Institucioni arsimor autonom komunal "Liceu nr. 1" i Novtroitsk

Hulumtimi

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve dhe inekuacioneve me një parametër

Modelimi i matematikës

E përfunduar:

nxënësi 11 Një klasë MOAU

"Liceu nr. 1"

Mbikëqyrësi:

mësues i arsimit të lartë

Novotroitsk

Prezantimi. 3

Parametri. 5

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve trigonometrike me një parametër. 9

Metodat për zgjidhjen e ekuacioneve dhe jobarazimeve eksponenciale dhe logaritmike me një parametër. 17

Metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve dhe pabarazive. 22

konkluzioni. 31

Lista e literaturës së përdorur... 32

Prezantimi

Ekuacionet me një parametër shkaktojnë vështirësi të mëdha për nxënësit e klasave 9-11. Kjo për faktin se zgjidhja e ekuacioneve të tilla kërkon jo vetëm njohuri për vetitë e funksioneve dhe ekuacioneve, aftësinë për të kryer transformime algjebrike, por edhe kulturë të lartë logjike dhe teknika kërkimore.

Vështirësitë gjatë studimit të këtij lloji ekuacionesh shoqërohen me veçoritë e tyre të mëposhtme:

· bollëk formulash dhe metodash të përdorura për zgjidhjen e ekuacioneve të këtij lloji;

· aftësia për të zgjidhur të njëjtin ekuacion që përmban një parametër në mënyra të ndryshme.

Rëndësia tema përcaktohet nga përmbajtja e pamjaftueshme e problemave për këtë temë në tekstin “Algjebra klasa e 11-të”.

Rëndësia e kësaj teme përcaktohet nga nevoja për të qenë në gjendje për të zgjidhur ekuacione të tilla me parametra si gjatë dhënies së Provimit të Unifikuar të Shtetit ashtu edhe gjatë provimeve pranuese në institucionet e arsimit të lartë.

Objekti i studimit: detyra me parametra.

Qëllimi i kësaj pune:

Të identifikojë, arsyetojë dhe demonstrojë qartë metodat për zgjidhjen e të gjitha llojeve të ekuacioneve me parametra;

Të zgjidhin ekuacionet me parametra;

Të thellojë njohuritë teorike për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra;

Për të arritur këtë qëllim, është e nevojshme të zgjidhet sa vijon detyrat:

1. Përcaktoni konceptet e një ekuacioni me parametra;

2. Tregoni mënyra për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra.

Dinjiteti i punës simeështë si më poshtë: tregohen algoritmet për zgjidhjen e ekuacioneve me parametra; problemet shpesh gjenden në provime dhe olimpiada të ndryshme. Puna do të ndihmojë studentët të kalojnë Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Veprimet e mia:

1. Zgjidhni dhe studioni literaturën;

2. Zgjidh problemet e zgjedhura;

Parametri

Ka disa përkufizime parametri:

- Parametri - kjo është një sasi e përfshirë në formula dhe shprehje, vlera e së cilës është konstante brenda kufijve të problemit në shqyrtim, por në një detyrë tjetër ndryshon vlerat e saj (- "Fjalori shpjegues i termave matematikorë").

- Variablat a, b, c, …, k, të cilat konsiderohen konstante gjatë zgjidhjes së një ekuacioni ose pabarazie quhen parametrat, dhe vetë ekuacioni (pabarazia) quhet ekuacion (pabarazi) që përmban parametra (- "Mësues matematike", Rostov-on-Don "Phoenix" 1997).

Zgjidhja e shumicës së ekuacioneve që përmbajnë një parametër vjen deri te ekuacionet kuadratike me parametër. Prandaj, për të mësuar se si të zgjidhni ekuacionet eksponenciale, logaritmike, trigonometrike dhe sistemet e ekuacioneve me një parametër, së pari duhet të fitoni aftësi zgjidhjeje ekuacionet kuadratike me parametër.

Ekuacioni i formës sëpatë2 + bx+ c=0 , ku x është një e panjohur, a, b, c janë shprehje që varen vetëm nga parametrat, a¹0 quhet ekuacioni kuadratik në lidhje me x. Ne do të shqyrtojmë vetëm ato vlera të parametrave për të cilat a, b, c janë të vlefshme.

Vlerat e kontrollit të parametrave

Për të zgjidhur ekuacionet kuadratike me një parametër, është e nevojshme të gjendet vlerat e kontrollit të parametrave.

Vlerat e kontrollit të parametrave- ato vlera në të cilat kthehet në 0:

Koeficienti kryesor në një ekuacion ose pabarazi;

Emëruesit në thyesa;

Diskriminues i një binomi kuadratik.

Skema e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të reduktueshme në ekuacione kuadratike me një parametër.

Skema e përgjithshme për zgjidhjen e ekuacioneve të reduktueshme në ekuacione kuadratike me një parametër:

1. Tregoni dhe përjashtoni të gjitha vlerat e parametrit dhe ndryshores në të cilën ekuacioni bëhet i pakuptimtë.

2. Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me një emërues të përbashkët që nuk është zero.

3. Shndërroni ekuacionin përfundues në formën https://pandia.ru/text/80/147/images/image002_13.png" width="128" height="24 src="> - numra realë ose funksione të një parametri.

4. Zgjidheni ekuacionin që rezulton, duke marrë parasysh rastet:

A) ; b) https://pandia.ru/text/80/147/images/image005_6.png" width="19" height="27">.png" width="21" height="27">.png" height="75">х=2b+1

Meqenëse x duhet të shtrihet në rangun nga 1 në 6, atëherë:
1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image009_4.png" width="47" height="41 src=">=2b+1

1) 1<2b+1<6

2) 1<2b – 1<6

https://pandia.ru/text/80/147/images/image010_2.png" width="18 height=98" height="98">

y(1)>0 y=1-4b+4b2– 1>0

y(6)> 0 y=36-24b+4b2– 1>0

xвО(1; 6) 1<-<6

bО(-∞; 0) È (1; +∞).

2) 4b2-24b+35>0

D=576 – 560=16=42>0

b1=https://pandia.ru/text/80/147/images/image016_2.png" width="47" height="41 src=">=2.5 bÎ(0.5; 3)

bÎ(-∞;2.5)È(3.5;+∞)
bО(1; 2.5)

Përgjigje: rrënjët e ekuacionit x2-4bх+4b2–1=0 qëndrojnë në intervalin nga