Funktion y = och dess graf.
MÅL:
1) introducera definitionen av funktionen y = ;
2) lära ut hur man ritar funktionen y = med hjälp av programmet Agrapher;
3) att bilda förmågan att bygga skisser av grafer för funktionen y \u003d med hjälp av egenskaperna för transformationen av grafer av funktioner;
I. Nytt material - utökat samtal.
Y: Betrakta funktionerna som ges av formlerna y = ; y = ; y = .
Vilka är uttrycken skrivna på höger sida av dessa formler?
D: De högra delarna av dessa formler har formen av ett rationellt bråk, där täljaren är ett binomial av första graden eller ett annat tal än noll, och nämnaren är ett binomial av första graden.
U: Det är vanligt att specificera sådana funktioner med en formel av formen
Tänk på de fall då a) c = 0 eller c) = .
(Om i det andra fallet eleverna kommer att uppleva svårigheter, måste du be dem att uttrycka sig med från en given proportion och ersätt sedan det resulterande uttrycket med formel (1)).
D1: Om c \u003d 0 är y \u003d x + b en linjär funktion.
D2: Om = , då c = . Ersätter värdet med i formel (1) får vi:
Det vill säga y = är en linjär funktion.
Y: En funktion som kan specificeras med en formel av formen y \u003d, där bokstaven x betecknar en oberoende
denna variabel, och bokstäverna a, b, c och d är godtyckliga tal, och c0 och ad är alla 0, kallas en linjär-fraktionell funktion.
Låt oss visa att grafen för en linjär-fraktionell funktion är en hyperbel.
Exempel 1 Låt oss plotta funktionen y = . Låt oss extrahera heltalsdelen från bråket.
Vi har: = = = 1 + .
Grafen för funktionen y \u003d +1 kan erhållas från grafen för funktionen y \u003d med två parallella översättningar: en förskjutning av 2 enheter till höger längs X-axeln och en förskjutning av 1 enhet uppåt i riktning mot Y-axeln. Med dessa förskjutningar kommer asymptoterna för hyperbeln y \u003d att röra sig: rät linje x \u003d 0 (dvs. y-axeln) är 2 enheter till höger, och den räta linjen y = 0 (dvs. x-axeln) är en enhet upp. Innan vi ritar, låt oss rita asymptoter på koordinatplanet med en prickad linje: raka linjer x = 2 och y = 1 (Fig. 1a). Med tanke på att hyperbeln består av två grenar, för att konstruera var och en av dem, kommer vi, med hjälp av Agrapher-programmet, två tabeller: en för x>2 och den andra för x<2.
| X | 1 | 0 | -1 | -2 | -4 | -10 |
| på | -5 | -2 | -1 | -0,5 | 0 | 0,5 |
| X | 3 | 4 | 5 | 6 | 8 | 12 |
| på | 7 | 4 | 3 | 2,5 | 2 | 1,6 |
Markera (med hjälp av Agrapher-programmet) i koordinatplanet de punkter vars koordinater är registrerade i den första tabellen och koppla ihop dem med en jämn kontinuerlig linje. Vi får en gren av hyperbeln. På liknande sätt, med hjälp av den andra tabellen, får vi den andra grenen av hyperbeln (Fig. 1b).
Exempel 2. Låt oss rita funktionen y \u003d -. Vi väljer heltalsdelen från bråket genom att dividera binomialen 2x + 10 med binomialen x + 3. Vi får = 2 +. Därför är y = -2.
Grafen för funktionen y = -2 kan erhållas från grafen för funktionen y = - med två parallella översättningar: en förskjutning av 3 enheter till vänster och en förskjutning av 2 enheter nedåt. Hyperbelns asymptoter är de raka linjerna x = -3 och y = -2. Kompilera (med hjälp av Agrapher-programmet) tabeller för x<-3 и для х>-3.
| X | -2 | -1 | 1 | 2 | 7 |
| på | -6 | -4 | -3 | -2,8 | -2,4 |
| X | -4 | -5 | -7 | -8 | -11 |
| på | 2 | 0 | -1 | -1,2 | -1,5 |
Efter att ha byggt (med hjälp av Agrapher-programmet) punkter i koordinatplanet och ritat grenar av hyperbeln genom dem, får vi en graf av funktionen y = - (Fig. 2).
W: Vad är grafen för en linjär bråkfunktion?
D: Grafen för en linjär-fraktionell funktion är en hyperbel.
F: Hur plottar man en linjär bråkfunktion?
D: Grafen för en linjär-fraktionell funktion erhålls från grafen för funktionen y \u003d med hjälp av parallella översättningar längs koordinataxlarna, grenarna av hyperbeln för den linjär-fraktionella funktionen är symmetriska kring punkten (-. Den raka linje x \u003d - kallas hyperbelns vertikala asymptot. Den räta linjen y \u003d kallas horisontell asymptot.
F: Vad är domänen för en linjär-fraktionell funktion?
F: Vad är intervallet för en linjär bråkfunktion?
D: E(y) = .
T: Har funktionen nollor?
D: Om x \u003d 0, då f (0) \u003d, d. Det vill säga, funktionen har nollor - punkt A.
F: Har grafen för en linjär bråkfunktion skärningspunkter med x-axeln?
D: Om y = 0, då är x = -. Så, om a, så har skärningspunkten med X-axeln koordinater. Om en \u003d 0, in, så har grafen för en linjär bråkfunktion inte skärningspunkter med abskissaxeln.
Y: Funktionen minskar med intervaller för hela definitionsdomänen om bc-ad > 0 och ökar med intervall för hela definitionsdomänen om bc-ad< 0. Но это немонотонная функция.
T: Är det möjligt att ange de största och minsta värdena för funktionen?
D: Funktionen har inga max- och minvärden.
T: Vilka linjer är asymptoterna i grafen för en linjär-fraktionell funktion?
D: Den vertikala asymptoten är den räta linjen x = -; och den horisontella asymptoten är den räta linjen y = .
(Eleverna skriver ner alla generaliserande slutsatser-definitioner och egenskaper hos en linjär-fraktionell funktion i en anteckningsbok)
II. Konsolidering.
När man konstruerar och "läser" grafer för linjära bråkfunktioner används egenskaperna för Agrapher-programmet
III. Undervisar självständigt arbete.
- Hitta hyperbelcentrum, asymptoter och rita funktionen:
a) y = b) y = c) y =; d) y =; e) y =; f) y =;
g) y = h) y = -
Varje elev arbetar i sin egen takt. Vid behov ger läraren hjälp genom att ställa frågor, vars svar hjälper eleven att utföra uppgiften korrekt.
Laboratoriearbete och praktiskt arbete med studier av egenskaperna hos funktionerna y = och y = och egenskaperna hos dessa funktioners grafer.
MÅL: 1) att fortsätta utveckla färdigheter för att bygga grafer för funktionerna y = och y = med hjälp av Agrapher-programmet;
2) att konsolidera färdigheterna att "läsa grafer" av funktioner och förmågan att "förutsäga" förändringar i grafer under olika transformationer av linjära bråkfunktioner.
I. Differentierad upprepning av egenskaperna hos en linjär-fraktionell funktion.
Varje elev får ett kort – en utskrift med uppgifter. Alla konstruktioner utförs med hjälp av programmet Agrapher. Resultaten av varje uppgift diskuteras omedelbart.
Varje elev kan med hjälp av egenkontroll korrigera de resultat som erhållits under uppdraget och be om hjälp av en lärare eller en elevkonsulent.
Hitta värdet på argumentet X för vilket f(x) =6 ; f(x)=-2,5.
3. Bygg en graf av funktionen y \u003d Bestäm om punkten tillhör grafen för denna funktion: a) A (20; 0,5); b) B(-30;-); c) C(-4;2,5); d) D(25;0,4)?
4. Rita funktionen y \u003d Hitta intervallen i vilka y\u003e 0 och i vilka y<0.
5. Rita funktionen y = . Hitta funktionens domän och räckvidd.
6. Ange hyperbelns asymptoter - grafen för funktionen y \u003d -. Utför plottning.
7. Rita funktionen y = . Hitta nollorna för funktionen.
II.Laboratoriearbete och praktiskt arbete.
Varje elev får 2 kort: kort nummer 1 "Instruktion" med en plan som arbete pågår, och texten med uppgiften och kort nummer 2 " Resultat av funktionsstudier ”.
- Rita den angivna funktionen.
- Hitta funktionens omfattning.
- Hitta räckvidden för funktionen.
- Ge hyperbelns asymptoter.
- Hitta nollorna för funktionen (f(x) = 0).
- Hitta hyperbelns skärningspunkt med x-axeln (y = 0).
7. Hitta mellanrummen där: a) y<0; б) y>0.
8. Ange intervall för ökning (minskning) av funktionen.
Jag alternativ.
Bygg, med hjälp av Agrapher-programmet, en funktionsgraf och utforska dess egenskaper:
a) y = b) y = - c) y = d) y = e) y = e) y = . -fem-
I den här lektionen kommer vi att överväga en linjär-fraktionell funktion, lösa problem med hjälp av en linjär-fraktionell funktion, modul, parameter.
Tema: Upprepning
Lektion: Linjär bråkdelfunktion
Definition:
En linjär-fraktionell funktion kallas en funktion av formen:
Till exempel:
Låt oss bevisa att grafen för denna linjär-fraktionella funktion är en hyperbel.
Låt oss ta ut tvåan i täljaren, vi får:
Vi har x i både täljaren och nämnaren. Nu transformerar vi så att uttrycket visas i täljaren:
Låt oss nu reducera bråkdelen term för term:
Uppenbarligen är grafen för denna funktion en hyperbel.
Vi kan erbjuda ett andra sätt att bevisa, nämligen att dela täljaren med nämnaren i en kolumn:
Mottagen:
Det är viktigt att enkelt kunna bygga en graf av en linjär-fraktionell funktion, i synnerhet för att hitta symmetricentrum för en hyperbel. Låt oss lösa problemet.
Exempel 1 - skissa en funktionsgraf:
Vi har redan konverterat den här funktionen och fått:
För att bygga denna graf kommer vi inte att förskjuta axlarna eller själva hyperbeln. Vi använder standardmetoden för att konstruera funktionsgrafer, med hjälp av närvaron av konstansintervall.
Vi agerar enligt algoritmen. Först undersöker vi den givna funktionen.
Vi har alltså tre konstansintervall: längst till höger () har funktionen ett plustecken, sedan växlar tecknen, eftersom alla rötter har den första graden. Så på intervallet är funktionen negativ, på intervallet är funktionen positiv.
Vi bygger en skiss av grafen i närheten av ODZ:s rötter och brytpunkter. Vi har: eftersom funktionens tecken vid punkten ändras från plus till minus, då är kurvan först ovanför axeln, passerar sedan genom noll och ligger sedan under x-axeln. När nämnaren för ett bråk är praktiskt taget noll, när värdet på argumentet tenderar till tre, tenderar värdet på bråket till oändlighet. I det här fallet, när argumentet närmar sig trippeln till vänster, är funktionen negativ och tenderar till minus oändlighet, till höger är funktionen positiv och går ut från plus oändlighet.
Nu bygger vi en skiss av grafen för funktionen i närheten av oändligt avlägsna punkter, d.v.s. när argumentet tenderar till plus eller minus oändlighet. I det här fallet kan de konstanta villkoren försummas. Vi har:
Vi har alltså en horisontell asymptot och en vertikal, hyperbelns centrum är punkten (3;2). Låt oss illustrera:
Ris. 1. Diagram över en hyperbel till exempel 1
Problem med en linjär-fraktionell funktion kan kompliceras av närvaron av en modul eller parameter. För att bygga till exempel en funktionsgraf måste du följa följande algoritm:
Ris. 2. Illustration för algoritmen
Den resulterande grafen har grenar som är ovanför x-axeln och under x-axeln.
1. Använd den angivna modulen. I det här fallet förblir de delar av grafen som är ovanför x-axeln oförändrade, och de som är under axeln speglas i förhållande till x-axeln. Vi får:
Ris. 3. Illustration för algoritmen
Exempel 2 - rita en funktionsgraf:
Ris. 4. Funktionsdiagram till exempel 2
Låt oss överväga följande uppgift - att rita en funktionsgraf. För att göra detta måste du följa följande algoritm:
1. Rita en graf av den submodulära funktionen
Anta att vi har följande graf:
Ris. 5. Illustration för algoritmen
1. Använd den angivna modulen. För att förstå hur man gör detta, låt oss utöka modulen.
Således, för funktionsvärden med icke-negativa värden för argumentet, kommer det inte att ske några förändringar. Beträffande den andra ekvationen vet vi att den erhålls genom en symmetrisk avbildning kring y-axeln. vi har en graf över funktionen:
Ris. 6. Illustration för algoritmen
Exempel 3 - rita en funktionsgraf:
Enligt algoritmen måste du först rita en submodulär funktionsgraf, vi har redan byggt den (se figur 1)
Ris. 7. Funktionsdiagram till exempel 3
Exempel 4 - hitta antalet rötter i en ekvation med en parameter:
Kom ihåg att att lösa en ekvation med en parameter innebär att iterera över parameterns alla värden och ange svaret för var och en av dem. Vi agerar enligt metodiken. Först bygger vi en graf över funktionen, det har vi redan gjort i föregående exempel (se figur 7). Därefter måste du klippa grafen med en familj av linjer för olika a, hitta skärningspunkterna och skriva ut svaret.
När vi tittar på grafen skriver vi ut svaret: för och ekvationen har två lösningar; för , ekvationen har en lösning; för , ekvationen har inga lösningar.
1. Linjär bråkfunktion och dess graf
En funktion av formen y = P(x) / Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom, kallas en rationell bråkfunktion.
Du är förmodligen redan bekant med begreppet rationella tal. Liknande rationella funktionerär funktioner som kan representeras som en kvot av två polynom.
Om en bråkrationell funktion är en kvot av två linjära funktioner - polynom av första graden, d.v.s. visningsfunktion
y = (ax + b) / (cx + d), då kallas det fraktionell linjär.
Observera att i funktionen y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (annars blir funktionen linjär y = ax/d + b/d) och att a/c ≠ b/d (annars funktion är en konstant). Den linjära fraktionella funktionen är definierad för alla reella tal, utom för x = -d/c. Grafer för linjära bråkfunktioner skiljer sig inte i form från den graf du vet y = 1/x. Kurvan som är grafen för funktionen y = 1/x kallas överdrift. Med en obegränsad ökning av x i absolut värde, minskar funktionen y = 1/x obegränsat i absolut värde och båda grenarna av grafen närmar sig abskissaxeln: den högra närmar sig ovanifrån och den vänstra närmar sig underifrån. Linjerna som närmar sig en hyperbels grenar kallas dess asymptoter.
Exempel 1
y = (2x + 1) / (x - 3).
Beslut.
Låt oss välja heltalsdelen: (2x + 1) / (x - 3) = 2 + 7 / (x - 3).
Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1/x genom följande transformationer: skift med 3 enhetssegment till höger, sträck längs Oy-axeln 7 gånger och skift med 2 enhetssegment upp.
Varje bråkdel y = (ax + b) / (cx + d) kan skrivas på samma sätt och markerar "hela delen". Följaktligen är graferna för alla linjär-fraktionella funktioner hyperboler förskjutna längs koordinataxlarna på olika sätt och sträckta längs Oy-axeln.
För att rita en graf av någon godtycklig linjär-fraktionell funktion är det inte alls nödvändigt att transformera bråket som definierar denna funktion. Eftersom vi vet att grafen är en hyperbel räcker det med att hitta de linjer som dess grenar närmar sig - hyperbelasymptoterna x = -d/c och y = a/c.
Exempel 2
Hitta asymptoterna i grafen för funktionen y = (3x + 5)/(2x + 2).
Beslut.
Funktionen är inte definierad när x = -1. Följaktligen fungerar linjen x = -1 som en vertikal asymptot. För att hitta den horisontella asymptoten, låt oss ta reda på vad värdena för funktionen y(x) närmar sig när argumentet x ökar i absolut värde.
För att göra detta delar vi täljaren och nämnaren för bråket med x:
y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).
Som x → ∞ tenderar bråket till 3/2. Därför är den horisontella asymptoten den räta linjen y = 3/2.
Exempel 3
Rita funktionen y = (2x + 1)/(x + 1).
Beslut.
Vi väljer "hela delen" av fraktionen:
(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =
2 – 1/(x + 1).
Nu är det lätt att se att grafen för denna funktion erhålls från grafen för funktionen y = 1/x genom följande transformationer: en förskjutning av 1 enhet åt vänster, en symmetrisk visning med avseende på Ox, och en förskjutning med 2 enhetsintervall upp längs Oy-axeln.
Definitionsdomän D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
Värdeintervall E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
Skärningspunkter med axlar: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Funktionen ökar på vart och ett av intervallen i definitionsdomänen.
Svar: figur 1.
2. Bråk-rationell funktion
Betrakta en bråk-rationell funktion av formen y = P(x) / Q(x), där P(x) och Q(x) är polynom med högre grad än den första.
Exempel på sådana rationella funktioner:
y \u003d (x 3 - 5x + 6) / (x 7 - 6) eller y \u003d (x - 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).
Om funktionen y = P(x) / Q(x) är en kvot av två polynom av grad högre än den första, så kommer dess graf som regel att vara mer komplicerad, och det kan ibland vara svårt att bygga den exakt , med alla detaljer. Det räcker dock ofta med att tillämpa tekniker som liknar dem som vi redan har träffat ovan.
Låt bråket vara korrekt (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:
P(x) / Q(x) \u003d A 1 / (x - K 1) m1 + A 2 / (x - K 1) m1-1 + ... + A m1 / (x - K 1) + . .. +
L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+
+ (B 1 x + C 1) / (x 2 + p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 + p 1 x + q 1) + …+
+ (M1 x + N1) / (x 2 + p t x + q t) ml + ... + (M ml x + N ml) / (x 2 + p t x + q t).
Uppenbarligen kan grafen för en rationell bråkfunktion erhållas som summan av grafer för elementära bråk.
Plotta rationella bråkfunktioner
Överväg flera sätt att plotta en bråk-rationell funktion.
Exempel 4
Rita funktionen y = 1/x 2 .
Beslut.
Vi använder grafen för funktionen y \u003d x 2 för att rita grafen y \u003d 1 / x 2 och använder metoden för att "dela" graferna.
Domän D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
Värdeintervall E(y) = (0; +∞).
Det finns inga skärningspunkter med axlarna. Funktionen är jämn. Ökar för alla x från intervallet (-∞; 0), minskar för x från 0 till +∞.
Svar: figur 2.
Exempel 5
Rita funktionen y = (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x).
Beslut.
Domän D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
y \u003d (x 2 - 4x + 3) / (9 - 3x) \u003d (x - 3) (x - 1) / (-3 (x - 3)) \u003d - (x - 1) / 3 \ u003d -x / 3 + 1/3.
Här använde vi tekniken att faktorisera, reducera och reducera till en linjär funktion.
Svar: figur 3.
Exempel 6
Rita funktionen y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1).
Beslut.
Definitionsdomänen är D(y) = R. Eftersom funktionen är jämn är grafen symmetrisk kring y-axeln. Innan vi ritar omvandlar vi uttrycket igen genom att markera heltalsdelen:
y \u003d (x 2 - 1) / (x 2 + 1) \u003d 1 - 2 / (x 2 + 1).
Observera att valet av heltalsdelen i formeln för en bråk-rationell funktion är en av de viktigaste när man ritar grafer.
Om x → ±∞, då y → 1, dvs. linjen y = 1 är en horisontell asymptot.
Svar: figur 4.
Exempel 7
Betrakta funktionen y = x/(x 2 + 1) och försök hitta exakt dess största värde, d.v.s. den högsta punkten på högra halvan av grafen. För att korrekt bygga denna graf räcker inte dagens kunskap. Det är uppenbart att vår kurva inte kan "klättra" särskilt högt, eftersom nämnaren börjar snabbt "överta" täljaren. Låt oss se om värdet på funktionen kan vara lika med 1. För att göra detta måste du lösa ekvationen x 2 + 1 \u003d x, x 2 - x + 1 \u003d 0. Denna ekvation har inga riktiga rötter. Så vårt antagande är fel. För att hitta det största värdet på funktionen måste du ta reda på vilken största A ekvationen A \u003d x / (x 2 + 1) kommer att ha en lösning för. Låt oss ersätta den ursprungliga ekvationen med en kvadratisk: Ax 2 - x + A \u003d 0. Denna ekvation har en lösning när 1 - 4A 2 ≥ 0. Härifrån hittar vi det största värdet A \u003d 1/2. 
Svar: Figur 5, max y(x) = ½.
Har du några frågor? Vet du inte hur man bygger funktionsdiagram?
För att få hjälp av en handledare -.
Första lektionen är gratis!
blog.site, med hel eller partiell kopiering av materialet, krävs en länk till källan.
yxa +b
En linjär bråkfunktion är en funktion av formen y = --- ,
cx +d
var x- variabel, a,b,c,där några siffror, och c ≠ 0, annons-före Kristus ≠ 0.
Egenskaper för en linjär-fraktionell funktion:
Grafen för en linjär-fraktionell funktion är en hyperbel, som kan erhållas från hyperbeln y = k/x med hjälp av parallella translationer längs koordinataxlarna. För att göra detta måste formeln för en linjär-fraktionell funktion representeras i följande form:
k
y = n + ---
x-m
var n- antalet enheter med vilka hyperbeln förskjuts åt höger eller vänster, m- antalet enheter med vilka hyperbeln rör sig uppåt eller nedåt. I detta fall skiftas hyperbelns asymptoter till linjerna x = m, y = n.
En asymptot är en rät linje som närmar sig kurvans punkter när de rör sig bort till oändligheten (se figuren nedan).
Vad gäller parallella överföringar, se föregående avsnitt.
Exempel 1 Hitta hyperbelns asymptoter och rita grafen för funktionen:
x + 8
y = ---
x – 2
Beslut:
k
Låt oss representera bråket som n + ---
x-m
För detta x+ 8 skriver vi i följande form: x - 2 + 10 (dvs 8 presenterades som -2 + 10).
x+ 8 x – 2 + 10 1(x – 2) + 10 10
--- = ----- = ------ = 1 + ---
x – 2 x – 2 x – 2 x – 2
Varför fick uttrycket denna form? Svaret är enkelt: gör tillägget (för båda termerna till en gemensam nämnare), så kommer du tillbaka till föregående uttryck. Det vill säga, det är resultatet av transformationen av det givna uttrycket.
Så vi har alla nödvändiga värden:
k = 10, m = 2, n = 1.
Således har vi hittat asymptoterna för vår hyperbel (baserat på det faktum att x = m, y = n):
Det vill säga, en asymptot av hyperbeln löper parallellt med axeln y på ett avstånd av 2 enheter till höger om den, och den andra asymptoten löper parallellt med axeln x 1 enhet ovanför den.
Låt oss rita denna funktion. För att göra detta kommer vi att göra följande:
1) vi ritar i koordinatplanet med en prickad linje asymptoterna - linjen x = 2 och linjen y = 1.
2) eftersom hyperbeln består av två grenar, för att konstruera dessa grenar kommer vi att kompilera två tabeller: en för x<2, другую для x>2.
Först väljer vi x-värdena för det första alternativet (x<2). Если x = –3, то:
10
y = 1 + --- = 1 - 2 = -1
–3
– 2
Vi väljer godtyckligt andra värden x(till exempel -2, -1, 0 och 1). Beräkna motsvarande värden y. Resultaten av alla erhållna beräkningar anges i tabellen:
Låt oss nu göra en tabell för alternativet x>2:
Här koefficienterna vid X och fria termer i täljaren och nämnaren ges reella tal. Grafen för en linjär-fraktionell funktion i det allmänna fallet är hyperbel.
Den enklaste linjära bråkfunktionen y = - du-
strejker omvänd proportionalitet; hyperbolen som representerar den är välkänd från en gymnasiekurs (fig. 5.5).
Ris. 5.5
Exempel. 5.3
Rita en linjär-fraktionell funktionsgraf:
- 1. Eftersom denna bråkdel inte är vettigt när x = 3, då domän för funktion X består av två oändliga intervall:
- 3) och (3; +°°).
2. För att studera beteendet hos en funktion på gränsen för definitionsdomänen (det vill säga när X-»3 och kl X-> ±°°), är det användbart att konvertera detta uttryck till en summa av två termer enligt följande:
Eftersom den första termen är konstant, bestäms faktiskt beteendet för funktionen på gränsen av den andra, variabla termen. Genom att undersöka förändringsprocessen X->3 och X->±°°, gör följande slutsatser angående den givna funktionen:
- a) vid x->3 till höger(dvs för *>3) värdet på funktionen ökar oändligt: på-> +°°: vid x->3 vänster(dvs. för x y-Den önskade hyperbeln närmar sig den räta linjen på obestämd tid med ekvationen x \u003d 3 (nedre vänstra och överst till höger) och därmed är denna linje vertikal asymptotöverdrift;
- b) när x ->±°° den andra termen minskar på obestämd tid, därför närmar sig värdet på funktionen den första, konstanta termen på obestämd tid, d.v.s. att värdesätta y= 2. I detta fall närmar sig grafen för funktionen på obestämd tid (nedre till vänster och uppe till höger) till den räta linjen som ges av ekvationen y= 2; så den här raden är horisontell asymptotöverdrift.
Kommentar. Informationen som erhålls i detta stycke är den viktigaste för att karakterisera beteendet hos grafen för en funktion i en avlägsen del av planet (bildligt talat, i oändligheten).
- 3. Om vi antar att n = 0, finner vi y = ~. Därför är den önskade hy-
perbola korsar axeln OU vid punkten M x = (0;-^).
- 4. Funktion noll ( på= 0) kommer att vara kl X= -2; därför skär denna hyperbel axeln Åh vid punkt M2 (-2; 0).
- 5. Ett bråk är positivt om täljaren och nämnaren har samma tecken, och negativt om de har olika tecken. När vi löser motsvarande system av ojämlikheter finner vi att funktionen har två positiva intervall: (-°°; -2) och (3; +°°) och ett negativt intervall: (-2; 3).
- 6. Att representera en funktion som summan av två termer (se nr 2) gör det ganska enkelt att hitta två minskningsintervall: (-°°; 3) och (3; +°°).
- 7. Uppenbarligen har denna funktion inga extremum.
- 8. Uppsättningen Y för värdena för denna funktion: (-°°; 2) och (2; +°°).
- 9. Det finns inte heller någon paritet, konstighet, periodicitet. Informationen som samlas in är tillräcklig för att schematiskt
rita en hyperbol grafiskt som återspeglar egenskaperna hos denna funktion (Fig. 5.6).
Ris. 5.6
Funktionerna som diskuterats fram till denna punkt kallas algebraisk. Låt oss nu överväga transcendent funktioner.
