Метод на разстояние- това универсален начинрешения на почти всички неравенства, които възникват в училищен курсалгебра. Той се основава на следните свойства на функциите:

1. Непрекъснатата функция g(x) може да промени знака само в точката, в която е равна на 0. Графично това означава, че графиката на непрекъсната функция може да се движи от една полуравнина в друга само ако пресича x- ос (помним, че ординатата на всяка точка, лежаща на оста OX (ос на абсцисата), е равна на нула, тоест стойността на функцията в тази точка е 0):

Виждаме, че показаната на графиката функция y=g(x) пресича оста OX в точките x= -8, x=-2, x=4, x=8. Тези точки се наричат ​​нули на функцията. И в същите точки функцията g(x) сменя знака.

2. Функцията може също да промени знака в нулите на знаменателя - най-простият примердобре позната характеристика:

Виждаме, че функцията променя знака в корена на знаменателя, в точката , но не изчезва в нито една точка. По този начин, ако функцията съдържа дроб, тя може да промени знака в корените на знаменателя.

2. Въпреки това, функцията не винаги променя знака в корена на числителя или в корена на знаменателя. Например, функцията y=x 2 не променя знака в точката x=0:

Защото уравнението x 2 \u003d 0 има два равни корена x = 0, в точката x = 0 функцията като че ли се превръща два пъти в 0. Такъв корен се нарича корен на втората кратност.

Функция променя знака при нула на числителя, но не променя знака при нула на знаменателя: , тъй като коренът е корен на втората кратност, тоест на четната кратност:

Важно! При корени с четна кратност функцията не променя знака.

Забележка! Всякакви нелинейнинеравенството на училищния курс по алгебра, като правило, се решава с помощта на метода на интервалите.

Предлагам ви една подробна, следвайки която можете да избегнете грешки, когато решаване на нелинейни неравенства.

1. Първо трябва да донесете неравенството във формата

P(x)V0,

където V е знакът на неравенството:<,>,≤ или ≥. За това ви трябва:

а) преместете всички членове в лявата страна на неравенството,

б) намерете корените на получения израз,

в) разложете на множители лявата част на неравенството

г) запишете същите фактори като степен.

Внимание!Последното действие трябва да се направи, за да не се направи грешка с множеството на корените - ако резултатът е фактор в равномерна степен, така че съответният корен има дори кратност.

2. Поставете намерените корени на числовата права.

3. Ако неравенството е строго, тогава кръговете, обозначаващи корените на числовата ос, се оставят "празни", ако неравенството не е строго, тогава кръговете се боядисват.

4. Избираме корените на четно множество – в тях P(x)знакът не се променя.

5. Определете знака P(x)от дясната страна на пролуката. За да направите това, вземете произволна стойност x 0, която е по-голяма от най-големия корен и го заместете P(x).

Ако P(x 0)>0 (или ≥0), тогава в най-десния интервал поставяме знака "+".

Ако P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

При преминаване през точка, обозначаваща корен от четно множество, знакът НЕ СЕ ПРОМЕНИ.

7. Още веднъж разглеждаме знака на първоначалното неравенство и избираме интервалите на знака, от който се нуждаем.

8. Внимание! Ако нашето неравенство НЕ е СТРОГО, тогава проверяваме условието за равенство до нула отделно.

9. Запишете отговора.

Ако оригиналът неравенството съдържа неизвестно в знаменателя, тогава ние също прехвърляме всички членове наляво и намаляваме лявата страна на неравенството към формата

(където V е знакът на неравенството:< или >)

Строго неравенство от този вид е еквивалентно на неравенството

НЕ стриктнонеравенство на формата

е равносилно на система:

На практика, ако функцията има формата , тогава действаме по следния начин:

1. Намерете корените на числителя и знаменателя.
2. Поставяме ги на оста. Всички кръгове остават празни. След това, ако неравенството не е строго, тогава рисуваме върху корените на числителя и винаги оставяме корените на знаменателя празни.
3. След това следваме общия алгоритъм:
4. Избираме корените с четна кратност (ако числителят и знаменателят съдържат едни и същи корени, тогава броим колко пъти се срещат едни и същи корени). Няма промяна на знака в корените с четна кратност.
5. Откриваме знака на най-десния интервал.
6. Поставихме табели.
7. В случай на нестрого неравенство, условието за равенство, условието за равенство на нула, се проверява отделно.
8. Избираме необходимите интервали и отделно стоящи корени.
9. Записваме отговора.

За по-добро разбиране алгоритъм за решаване на неравенства по интервалния метод, гледайте ВИДЕО УРОКА, в който примерът е анализиран подробно решение на неравенството по метода на интервалите.

Метод на разстояние е специален алгоритъм, предназначен да решава комплексни неравенства от вида f(x) > 0. Алгоритъмът се състои от 5 стъпки:

1. Решете уравнението f(x) = 0. Така вместо неравенство получаваме уравнение, което е много по-лесно за решаване;
2. Маркирайте всички получени корени на координатната линия. Така правата линия ще бъде разделена на няколко интервала;
3. Намерете множеството на корените. Ако корените са равномерни, тогава начертаваме цикъл над корена. (Коренът се счита за кратен, ако има четен брой еднакви решения)
4. Намерете знака (плюс или минус) на функцията f(x) в най-десния интервал. За да направите това, достатъчно е да замените във f (x) всяко число, което ще бъде вдясно от всички маркирани корени;
5. Маркирайте знаците на останалите интервали, като ги редувате.

След това остава само да напишем интервалите, които ни интересуват. Те са маркирани със знак „+“, ако неравенството е във формата f(x) > 0, или със знак „−“, ако неравенството е от формата f(x)< 0.

При нестроги неравенства (≤ , ≥) е необходимо да се включат в интервалите точките, които са решение на уравнението f(x) = 0;

Пример 1:

Решете неравенството:

(x - 2)(x + 7)< 0

Работим по метода на интервалите.

Етап 1: заменете неравенството с уравнение и го решете:

(x - 2)(x + 7) = 0

Продуктът е равен на нула, ако и само ако поне един от факторите е равен на нула:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Има два корена.

Стъпка 2: маркирайте тези корени на координатната линия. Ние имаме:

Стъпка 3: намираме знака на функцията на най-десния интервал (вдясно от маркираната точка x = 2). За да направите това, вземете произволно число повече брой x = 2. Например, да вземем x = 3 (но никой не забранява да вземем x = 4, x = 10 и дори x = 10 000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Получаваме, че f(3) = 10 > 0 (10 е положително число), така че поставяме знак плюс в най-десния интервал.

Стъпка 4: трябва да маркирате знаците на останалите интервали. Не забравяйте, че когато преминавате през всеки корен, знакът трябва да се промени. Например, вдясно от корена x = 2 има плюс (уверихме се в това в предишната стъпка), така че трябва да има минус отляво. Този минус се простира до целия интервал (−7; 2), така че има минус вдясно от корена x = −7. Следователно има плюс вляво от корена x = −7. Остава да маркирате тези знаци върху координатната ос.

Нека се върнем към първоначалното неравенство, което изглеждаше така:

(x - 2)(x + 7)< 0

Така че функцията трябва да бъде по-малко от нула. Това означава, че ни интересува знакът минус, който се среща само на един интервал: (−7; 2). Това ще бъде отговорът.

Пример 2:

Решете неравенството:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Решение:

Първо трябва да намерите корените на уравнението

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Нека свием първата скоба, получаваме:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

х - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Чрез решаването на тези уравнения получаваме:

Нека начертаем точките на числовата права:

Защото x 2 и x 3 са множество корени, тогава ще има една точка на правата и над нея “ цикъл”.

Вземете произволно число, по-малко от най-лявата точка и го заменете в първоначалното неравенство. Да вземем числото -1.

Не забравяйте да включите решението на уравнението (намерено от X), т.к нашето неравенство не е строго.

Отговор: () U ∪(3)∪ (знакът не е дефиниран на интервала (−6, 4), тъй като не е част от областта на функцията). За да направите това, вземете една точка от всеки интервал, например 16 , 8 , 6 и −8 , и изчислете стойността на функцията f в тях:

Ако имате въпроси относно това как се установи какви са изчислените стойности на функцията, положителни или отрицателни, тогава проучете материала на статията сравнение на числата.

Поставяме знаците, които току-що дефинирахме, и прилагаме щриховане върху пролуките със знак минус:

В отговор ние записваме обединението на две празнини със знака −, имаме (−∞, −6]∪(7, 12) . Обърнете внимание, че −6 е включено в отговора (съответната точка е твърда, не е пробита) Въпросът е, че това не е нулата на функцията (която при решаване на строго неравенство не бихме включили в отговора), а граничната точка на областта на дефиниция (тя е оцветена, а не черна), докато се въвежда областта на дефиницията. Стойността на функцията в тази точка е отрицателна (както се вижда от знака минус над съответния интервал), тоест тя удовлетворява неравенството. Но 4 не е необходимо да се включва в отговора (също така като целия интервал ∪(7, 12) .

Библиография.

1. алгебра: 9 клас: учебник. за общо образование институции / [Ю. Н. Макаричев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; изд. С. А. Теляковски. - 16-то изд. - М. : Образование, 2009. - 271 с. : аз ще. - ISBN 978-5-09-021134-5.
2. Мордкович А.Г.алгебра. 9 клас В 14 ч. Част 1. Учебник за студенти от образователни институции / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. - 13-то изд., ст. - М.: Мнемозина, 2011. - 222 с.: ил. ISBN 978-5-346-01752-3.
3. алгебраи началото на анализа: Proc. за 10-11 клетки. общо образование институции / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницин и др.; Изд. А. Н. Колмогорова.- 14-то изд.- М.: Просвещение, 2004.- 384 с.: ил.- ISBN 5-09-013651-3.
4. Кудрявцев Л.Д.Курс по математически анализ (в два тома): Учебник за студенти от университети и технически колежи. - М .: По-високо. училище, 1981, т. 1. - 687 с., ил.

Първо ниво

интервален метод. Изчерпателно ръководство (2019)

Просто трябва да разберете този метод и да го познавате като пръстите си! Дори само защото се използва за решаване на рационални неравенства и защото, познавайки правилно този метод, решаването на тези неравенства е изненадващо просто. Малко по-късно ще ви разкрия няколко тайни как да спестите време за решаване на тези неравенства. Е, заинтригуван ли си? Тогава да тръгваме!

Същността на метода е да се факторизира неравенството (повторете темата) и да определите ODZ и знака на факторите, сега ще обясня всичко. Да вземем най-простия пример: .

Тук не е необходимо да се записва областта на допустимите стойности (), тъй като няма разделяне на променлива и тук не се наблюдават радикали (корени). Всичко тук вече е умножено за нас. Но не се отпускайте, това е всичко, за да напомните основите и да разберете същността!

Да предположим, че не знаете метода на интервалите, как бихте се справили с това неравенство? Бъдете логични и надградете това, което вече знаете. Първо, лявата страна ще бъде по-голяма от нула, ако и двата израза в скоби са или по-големи от нула, или по-малки от нула, тъй като "Плюс" на "плюс" прави "плюс", а "минус" на "минус" прави "плюс", нали? И ако знаците на изразите в скоби са различни, тогава в крайна сметка лявата страна ще бъде по-малка от нула. Но какво ни трябва, за да разберем онези стойности, за които изразите в скоби ще бъдат отрицателни или положителни?

Трябва да решим уравнението, то е точно същото като неравенството, само че вместо знака ще има знак, корените на това уравнение ще ни позволят да определим онези гранични стойности, отклонение от които факторите и ще бъдат по-големи или по-малко от нула.

А сега самите интервали. Какво е интервал? Това е определен интервал от числовата права, тоест всички възможни числа, затворени между някои две числа - краищата на интервала. Не е толкова лесно да си представите тези пропуски в главата си, така че е обичайно да чертаете интервали, сега ще ви науча.

Начертаваме ос, върху нея се намира цялата серия от числа от и до. По оста се нанасят точки, така наречените нули на функцията, стойности, при които изразът е равен на нула. Тези точки са "избодени", което означава, че не са сред онези стойности, за които неравенството е вярно. В този случай те се пробиват. знакът в неравенството и не, тоест строго по-голям от и не по-голям или равен на.

Искам да кажа, че не е необходимо да се отбелязва нула, тук е без кръгове, но така, за разбиране и ориентация по оста. Добре, оста беше начертана, точките (или по-скоро кръговете) бяха поставени, тогава какво, как ще ми помогне това при решаването? - ти питаш. Сега просто вземете стойността за x от интервалите в ред и ги заменете във вашето неравенство и вижте какъв ще бъде знакът в резултат на умножението.

Накратко, просто вземаме пример, заместваме го тук, ще се окаже, което означава, че на целия интервал (на целия интервал) от до, от който взехме, неравенството ще бъде вярно. С други думи, ако x е от до, тогава неравенството е вярно.

Правим същото с интервал от до, вземаме или, например, заместваме, определяме знака, знакът ще бъде „минус“. И правим същото с последния, трети интервал от до, където знакът ще се окаже „плюс“. Излезе такъв куп текст, но има малка видимост, нали?

Погледнете отново неравенството.

Сега на същата ос прилагаме и знаците, които ще бъдат резултатът. Прекъснатата линия в моя пример обозначава положителните и отрицателните участъци на оста.

Погледнете неравенството - картината, отново неравенството - и отново картинатанещо ясно ли е? Сега се опитайте да кажете на какви интервали от x, неравенството ще бъде вярно. Точно така, от до неравенството също ще е вярно от до, а на интервала от до неравенството на нула и този интервал не ни интересува малко, защото имаме знак в неравенството.

Е, след като го разбрахте, от вас зависи да запишете отговора! В отговор ние записваме онези интервали, при които лявата страна е по-голяма от нула, което се чете като X принадлежи на интервала от минус безкрайност до минус едно и от две до плюс безкрайност. Струва си да се уточни, че скобите означават, че стойностите, от които е ограничен интервалът, не са решения на неравенството, тоест не са включени в отговора, а само казват, че преди, например, но няма решение.

Сега пример, в който ще трябва да нарисувате не само интервала:

Какво според вас трябва да се направи, преди да се поставят точки върху оста? Да, вземете предвид:

Начертаваме интервали и поставяме знаци, забелязваме точките, които сме пробили, защото знакът е строго по-малък от нула:

Време е да ви разкрия една тайна, която обещах в началото на тази тема! Но какво ще стане, ако ви кажа, че не можете да замените стойностите от всеки интервал, за да определите знака, но можете да определите знака в един от интервалите, а в останалите просто да редувате знаците!

Така спестихме малко време за поставяне на знаци - мисля, че този спечелен път на изпита няма да навреди!

Пишем отговора:

Сега разгледайте пример за дробно рационално неравенство - неравенство, и двете части на което са рационални изрази (вижте).

Какво можете да кажете за това неравенство? И вие гледате на него като на дробно рационално уравнение, какво правим първо? Веднага виждаме, че няма корени, което означава, че определено е рационално, но тогава има дроб и дори с неизвестно в знаменателя!

Точно така, ОДЗ е необходимо!

И така, нека отидем по-нататък, тук всички фактори с изключение на един имат променлива от първа степен, но има фактор, при който x има втора степен. Обикновено нашият знак се променя след преминаване през една от точките, в които лявата страна на неравенството придобива нулева стойност, за което определяме какво трябва да бъде x във всеки фактор. И тук, така че винаги е положително, т.к. всяко квадратно число > нула и положителен член.

Как мислите, че ще се отрази на стойността на неравенството? Точно така - няма значение! Можем спокойно да разделим неравенството на двете части и по този начин да премахнем този фактор, така че да не нарани очите ни.

време е да начертаете интервали, за това трябва да определите онези гранични стойности, отклоняващи се от които множителите и ще бъдат по-големи и по-малки от нула. Но обърнете внимание, че тук знакът означава точката, в която лявата страна на неравенството придобива нулева стойност, няма да го пробием, защото е включен в броя на решенията, имаме една такава точка, това е точката където х е равно на единица. Можем ли да оцветим точката, където знаменателят е отрицателен? - Разбира се, че не!

Знаменателят не трябва да е нула, така че интервалът ще изглежда така:

По тази схема вече можете лесно да напишете отговор, мога само да кажа, че сега имате на разположение нов тип скоби - квадратни! Ето една скоба [ казва, че стойността е в интервала на решението, т.е. е част от отговора, тази скоба съответства на запълнена (не перфорирана) точка на оста.

И така, получихте ли същия отговор?

Разлагаме и прехвърляме всичко в една посока, защото трябва само да оставим нула вдясно, за да сравним с нея:

Обръщам внимание на факта, че при последното преобразуване, за да попадна както в числителя, така и в знаменателя, умножавам и двете части на неравенството по. Не забравяйте, че когато умножите двете страни на неравенството по, знакът на неравенството се обръща!!!

Пишем ODZ:

В противен случай знаменателят ще се превърне в нула и, както си спомняте, не можете да разделите на нула!

Съгласете се, в полученото неравенство е изкушаващо да се намали в числителя и знаменателя! Не можете да направите това, можете да загубите някои от решенията или ODZ!

Сега се опитайте сами да поставите точки върху оста. Ще отбележа само, че когато рисувате точки, трябва да обърнете внимание на факта, че точка със стойност, която въз основа на знака, изглежда, трябва да бъде начертана върху оста, както е попълнена, няма да бъде попълнена , ще бъде избита! защо те питам? И помниш ли ОДЗ, няма да делиш така на нула?

Запомнете, ODZ е над всичко! Ако всички знаци за неравенство и равенство казват едно, а ОДЗ казва друго, доверете се на ОДЗ, велик и могъщ! Е, изградихте интервалите, сигурен съм, че сте взели съвета ми за редуването и сте го получили така (вижте снимката по-долу) Сега го зачеркнете и не повтаряйте тази грешка отново! Каква грешка? - ти питаш.

Факт е, че в това неравенство факторът се повтори два пъти (помните ли как все пак се опитахте да го намалите?). Така че, ако някакъв фактор се повтори в неравенството четен брой пъти, тогава при преминаване през точка на оста, която превръща този фактор в нула (в този случай точка), знакът няма да се промени, ако е нечетен, тогава знакът се променя!

Следната ос с интервали и знаци ще бъде правилна:

И обърнете внимание, че знакът, който не ни интересува, е този, който беше в началото (когато току-що видяхме неравенството, знакът беше), след трансформациите знакът се промени на, което означава, че се интересуваме от интервали със знака.

Отговор:

Ще кажа също, че има ситуации, когато има корени на неравенството, които не са включени в никаква празнина, в отговор те се записват в къдрави скоби, като това, например:. Повече за подобни ситуации можете да прочетете в статията Средно ниво.

Нека да обобщим как да решим неравенствата с помощта на интервалния метод:

1. Прехвърляме всичко от лявата страна, отдясно оставяме само нула;
2. Намираме ODZ;
3. Поставяме върху оста всички корени на неравенството;
4. Взимаме произволен от един от интервалите и определяме знака в интервала, към който принадлежи коренът, редуваме знаците, като обръщаме внимание на корените, които се повтарят няколко пъти в неравенството, зависи от четния или нечетния брой на времена на тяхното повторение дали знакът се променя при преминаване през тях или не;
5. В отговор записваме интервалите, като спазваме перфорираните и неперфорирани точки (виж ODZ), като между тях поставяме необходимите видове скоби.

И накрая, нашият любим раздел, „направи си сам“!

Примери:

Отговори:

ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД. СРЕДНО НИВО

Линейна функция

Функция на формата се нарича линейна. Да вземем функция като пример. То е положително при и отрицателно при. Точката е нулата на функцията (). Нека покажем знаците на тази функция върху реалната ос:

Казваме, че "функцията променя знака при преминаване през точка".

Вижда се, че знаците на функцията съответстват на позицията на графиката на функцията: ако графиката е над оста, знакът е “ ”, ако е под - “ ”.

Ако обобщим полученото правило до произволна линейна функция, получаваме следния алгоритъм:

• Намираме нулата на функцията;
• Отбелязваме го върху числовата ос;
• Определяме знака на функцията от противоположните страни на нулата.

квадратична функция

Надявам се, че помните как се решават квадратни неравенства? Ако не, прочетете темата. Нека ви напомня общата форма на квадратична функция: .

Сега нека си припомним какви знаци има квадратична функция. Нейната графика е парабола и функцията приема знака “ ” за тези, в които параболата е над оста, и “ ” - ако параболата е под оста:

Ако функцията има нули (стойности, при които), параболата пресича оста в две точки - корените на съответното квадратно уравнение. Така оста е разделена на три интервала и знаците на функцията се сменят последователно при преминаване през всеки корен.

Възможно ли е по някакъв начин да се определят знаците, без да се чертае парабола всеки път?

Припомнете си, че квадратният трином може да бъде разложен на множители:

Например: .

Обърнете внимание на корените по оста:

Не забравяйте, че знакът на функция може да се промени само при преминаване през корена. Използваме този факт: за всеки от трите интервала, на които оста е разделена с корени, е достатъчно да определим знака на функцията само в една произволно избрана точка: в останалите точки от интервала знакът ще бъде един и същ.

В нашия пример: и за двата израза в скоби са положителни (заместваме, например:). Поставяме знака "" на оста:

Е, ако (заместете, например) и двете скоби са отрицателни, тогава продуктът е положителен:

Ето какво е то интервален метод: познавайки знаците на факторите на всеки интервал, ние определяме знака на цялото произведение.

Нека разгледаме и случаите, когато функцията няма нули или е само една.

Ако ги няма, значи няма и корени. Това означава, че няма да има „преминаване през корена“. Това означава, че функцията по цялата числова ос приема само един знак. Лесно е да се определи, като се замести във функция.

Ако има само един корен, параболата докосва оста, така че знакът на функцията не се променя при преминаване през корена. Какво е правилото за подобни ситуации?

Ако изчислим такава функция, получаваме два еднакви фактора:

И всеки израз на квадрат е неотрицателен! Следователно знакът на функцията не се променя. В такива случаи ще изберем корена, при преминаване през който знакът не се променя, заобикаляйки го с квадрат:

Такъв корен ще се нарича кратно.

Методът на интервалите в неравенствата

Сега всяко квадратно неравенство може да бъде решено без да се чертае парабола. Достатъчно е само да поставите знаците на квадратичната функция върху оста и да изберете интервалите в зависимост от знака на неравенството. Например:

Измерваме корените по оста и подреждаме знаците:

Нуждаем се от частта от оста със знака ""; тъй като неравенството не е строго, самите корени също са включени в решението:

Сега разгледайте рационално неравенство - неравенство, и двете части на което са рационални изрази (вижте).

пример:

Всички фактори с изключение на един - - тук са "линейни", тоест съдържат променлива само в първа степен. Такива линейни фактори са ни необходими, за да приложим интервалния метод - знакът се променя при преминаване през техните корени. Но множителят изобщо няма корени. Това означава, че винаги е положително (проверете го сами) и следователно не влияе на знака на цялото неравенство. Това означава, че можете да разделите лявата и дясната страна на неравенството на него и по този начин да се отървете от него:

Сега всичко е същото, както беше с квадратните неравенства: определяме в кои точки изчезва всеки от факторите, маркираме тези точки върху оста и подреждаме знаците. Обръщам внимание на един много важен факт:

Отговор: . Пример: .

За да приложите интервалния метод, е необходимо в една от частите на неравенството да е. Следователно преместваме дясната страна наляво:

Числителят и знаменателят имат един и същ фактор, но не бързаме да го намаляваме! В крайна сметка, тогава можем да забравим да извадим тази точка. По-добре е да отбележите този корен като множител, тоест при преминаване през него знакът няма да се промени:

Отговор: .

И още един много илюстративен пример:

Отново не намаляваме едни и същи множители на числителя и знаменателя, защото ако намалим, ще трябва специално да запомним, че трябва да поставим точка.

• : повтарящи се пъти;
• : пъти;
• : пъти (в числителя и едно в знаменателя).

В случай на четно число действаме по същия начин, както преди: обикаляме точката с квадрат и не променяме знака при преминаване през корена. Но в случай на нечетно число това правило не е изпълнено: знакът все пак ще се промени при преминаване през корена. Следователно не правим нищо допълнително с такъв корен, сякаш той не е кратен на нас. Горните правила важат за всички четни и нечетни степени.

Какво пишем в отговора?

Ако редуването на знаците е нарушено, трябва да бъдете много внимателни, тъй като при нестрого неравенство отговорът трябва да включва всички попълнени точки. Но някои от тях често стоят сами, тоест не влизат в сенчестата зона. В този случай ги добавяме към отговора като изолирани точки (в къдрави скоби):

Примери (решете сами):

Отговори:

1. Ако сред факторите е просто - това е коренът, защото може да се представи като.
   .

ИНТЕРВАЛЕН МЕТОД. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Интервалният метод се използва за решаване на рационални неравенства. Състои се в определяне на знака на произведението от знаците на факторите на различни интервали.

Алгоритъм за решаване на рационални неравенства по интервалния метод.

• Прехвърляме всичко от лявата страна, отдясно оставяме само нула;
• Намираме ODZ;
• Поставяме върху оста всички корени на неравенството;
• Взимаме произволен от един от интервалите и определяме знака в интервала, към който принадлежи коренът, редуваме знаците, като обръщаме внимание на корените, които се повтарят няколко пъти в неравенството, зависи от четния или нечетния брой на времена на тяхното повторение дали знакът се променя при преминаване през тях или не;
• В отговор записваме интервалите, като спазваме перфорираните и неперфорирани точки (виж ODZ), като между тях поставяме необходимите видове скоби.

Е, темата свърши. Ако четете тези редове, значи сте много готини.

Защото само 5% от хората са в състояние да овладеят нещо сами. И ако сте прочели до края, значи сте в 5%!

Сега най-важното.

Разбрахте теорията по тази тема. И, повтарям, това е... просто е супер! Вече сте по-добри от по-голямата част от връстниците си.

Проблемът е, че това може да не е достатъчно...

За какво?

За успешно полагане на изпита, за прием в института на бюджета и, НАЙ-ВАЖНОТО, за цял живот.

Няма да те убеждавам в нищо, само ще кажа едно...

Хората, които са получили добро образование, печелят много повече от тези, които не са го получили. Това е статистика.

Но това не е основното.

Основното е, че са ПО-ЩАСТЛИВИ (има и такива изследвания). Може би защото пред тях се отварят много повече възможности и животът става по-ярък? Не знам...

Но помислете сами...

Какво е необходимо, за да сте сигурни, че сте по-добри от другите на изпита и в крайна сметка... по-щастливи?

НАПЪЛНЕТЕ РЪКАТА СИ, РЕШАвайки ПРОБЛЕМИ ПО ТАЗИ ТЕМА.

На изпита няма да ви питат теория.

Ще имаш нужда решавайте проблемите навреме.

И ако не сте ги решили (МНОГО!), определено ще направите глупава грешка някъде или просто няма да я направите навреме.

Това е като в спорта – трябва да повториш много пъти, за да спечелиш със сигурност.

Намерете колекция, където искате задължително с решения, подробен анализи решавай, решавай, решавай!

Можете да използвате нашите задачи (не е необходимо) и ние със сигурност ги препоръчваме.

За да се намесите с помощта на нашите задачи, трябва да помогнете за удължаването на живота на учебника YouClever, който четете в момента.

Как? Има две възможности:

1. Отключете достъпа до всички скрити задачи в тази статия - 299 рубли.
2. Отключете достъпа до всички скрити задачи във всички 99 статии на урока - 999 рубли.

Да, имаме 99 такива статии в учебника и достъпът до всички задачи и всички скрити текстове в тях може да се отвори веднага.

Във втория случай ние ще ви дадемсимулатор "6000 задачи с решения и отговори, за всяка тема, за всички нива на сложност." Определено е достатъчно да се хванете за решаване на проблеми по всяка тема.

Всъщност това е много повече от просто симулатор - цяла тренировъчна програма. Ако е необходимо, можете да го използвате и БЕЗПЛАТНО.

Достъпът до всички текстове и програми е осигурен за целия живот на сайта.

В заключение...

Ако не ви харесват нашите задачи, намерете други. Просто не спирайте с теорията.

„Разбрах“ и „Знам как да реша“ са напълно различни умения. Трябват ти и двете.

Намерете проблеми и ги решавайте!