Днес ще научим как бързо да повдигаме на квадрат големи изрази без калкулатор. Като цяло имам предвид числа между десет и сто. Големите изрази са изключително редки в реални проблеми и вече знаете как да броите стойности, по-малки от десет, защото това е обикновена таблица за умножение. Материалът от днешния урок ще бъде полезен за доста опитни ученици, защото начинаещите просто няма да оценят скоростта и ефективността на тази техника.
Като начало, нека разберем най-общо за какво говорим. Например, предлагам да направим конструирането на произволен числов израз, както обикновено правим. Да кажем 34. Повишаваме го, като умножаваме по себе си с колона:
\[((34)^(2))=\пъти \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 е квадрат 34.
Проблемът на този метод може да бъде описан в две точки:
1) изисква писмена регистрация;
2) много е лесно да се направи грешка в процеса на изчисление.
Днес ще научим как бързо да умножаваме без калкулатор, устно и практически без грешки.
Така че да започваме. За да работим, имаме нужда от формулата за квадрат на сбора и разликата. Нека ги запишем:
\[(((a+b))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))\]
\[(((a-b))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))\]
Какво ни дава това? Факт е, че всяка стойност между 10 и 100 може да бъде представена като число $a$, което се дели на 10, и число $b$, което е остатък от деление на 10.
Например 28 може да бъде представено по следния начин:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
По подобен начин представяме останалите примери:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
Какво ни дава такава идея? Факт е, че със сумата или разликата можем да приложим горните изчисления. Разбира се, за да се съкратят изчисленията, за всеки от елементите трябва да се избере израз с най-малък втори член. Например от опциите $20+8$ и $30-2$ трябва да изберете опцията $30-2$.
По същия начин избираме опции за други примери:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
Защо трябва да се стремим да намалим втория член при бързо умножение? Всичко е свързано с първоначалните изчисления на квадрата на сбора и разликата. Факт е, че членът плюс или минус $2ab$ е най-труден за изчисляване при решаване на реални проблеми. И ако множителят $a$, кратно на 10, винаги се умножава лесно, то с множителя $b$, който е число между едно и десет, много ученици редовно срещат затруднения.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
Така че за три минути направихме умножението на осем примера. Това е по-малко от 25 секунди на израз. В действителност след малко практика ще броите още по-бързо. Ще ви отнеме не повече от пет или шест секунди, за да изчислите всеки двуцифрен израз.
Но това не е всичко. За тези, на които показаната техника изглежда недостатъчно бърза и не достатъчно готина, предлагам още по-бърз метод за умножение, който обаче не работи за всички задачи, а само за тези, които се различават с единица от кратни на 10. Там са четири такива стойности в нашия урок: 51, 21, 81 и 39.
Изглежда много по-бързо, вече ги броим буквално в няколко реда. Но всъщност е възможно да се ускори и това се прави по следния начин. Записваме стойността, кратна на десет, която е най-близка до желаната. Например, нека вземем 51. Следователно, за начало ще съберем петдесет:
\[{{50}^{2}}=2500\]
Стойностите, които са кратни на десет, са много по-лесни за квадрат. И сега просто добавяме петдесет и 51 към оригиналния израз.Отговорът ще бъде същият:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
И така с всички числа, които се различават с единица.
Ако стойността, която търсим, е по-голяма от тази, която смятаме, тогава добавяме числа към получения квадрат. Ако желаното число е по-малко, както в случая с 39, тогава при извършване на действието стойността трябва да се извади от квадрата. Нека практикуваме, без да използваме калкулатор:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
Както можете да видите, във всички случаи отговорите са едни и същи. Освен това тази техника е приложима за всякакви съседни стойности. Например:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
В същото време изобщо не е необходимо да помним изчисленията на квадратите на сумата и разликата и да използваме калкулатор. Скоростта на работа е извън всяка похвала. Затова помнете, практикувайте и използвайте на практика.
Ключови точки
Използвайки тази техника, можете лесно да умножите всякакви естествени числа от 10 до 100. Освен това всички изчисления се извършват устно, без калкулатор и дори без хартия!
Първо, запомнете квадратите на стойностите, които са кратни на 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\край (подравняване)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\край (подравняване)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\край (подравняване)\]
Как да броим още по-бързо
Но това не е всичко! Използвайки тези изрази, можете незабавно да направите квадратура на числа, които са „съседни“ на референтните. Например знаем 152 (референтната стойност), но трябва да намерим 142 (съседно число, което е с едно по-малко от референтната). нека напишем:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\край (подравняване)\]
Моля, обърнете внимание: без мистика! Квадратите на числа, които се различават с 1, наистина се получават чрез умножаване на референтните числа по самите тях чрез изваждане или добавяне на две стойности:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\край (подравняване)\]
Защо се случва? Нека запишем формулата за квадрат на сбора (и разликата). Нека $n$ е нашата референтна стойност. Тогава те се броят така:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1 )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- това е формулата.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- подобна формула за числа, по-големи от 1.
Надявам се, че тази техника ще ви спести време за всички важни тестове и изпити по математика. И това е всичко за мен. Ще се видим!
Квадратът на число е резултат от математическа операция, която повишава това число на втора степен, тоест умножава това число по себе си веднъж. Обичайно е да се обозначава такава операция, както следва: Z2, където Z е нашето число, 2 е степента на "квадрат". Нашата статия ще ви каже как да изчислите квадрата на число.
Изчислете квадрата
Ако числото е просто и малко, тогава е лесно да го направите или наум, или с помощта на таблицата за умножение, която е добре позната на всички нас. Например:
42 = 4x4 = 16; 72 = 7x7 = 49; 92 = 9x9 = 81.
Ако числото е голямо или „огромно“, тогава можете да използвате или таблицата с квадрати, която всички са научили в училище, или калкулатор. Например:
122 = 12x12 = 144; 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
Освен това, за да получите желания резултат за двата примера по-горе, можете да умножите тези числа в колона.
За да получите квадрата на всяка фракция, трябва:
- Преобразувайте дроб (ако дробта има цяла част или ако е десетична) в неправилна дроб. Ако фракцията е правилна, тогава нищо не трябва да се превежда.
- Умножете знаменателя по знаменателя и числителя по числителя на дробта.
Например:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4; (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49; (14/17) 2 \u003d (14x14) / (17x17) \u003d 196/289.
Във всяка от тези опции най-лесният начин е да използвате калкулатор. За целта са ви необходими:
- Въведете номер на клавиатурата
- Кликнете върху бутона със знака за умножение
- Натиснете бутона със знака "равно".
Винаги можете да използвате и търсачки в Интернет, като например Google. За да направите това, просто трябва да въведете съответната заявка в полето на търсачката и да получите готов резултат.
Например: за да изчислите квадрата на числото 9,17, трябва да въведете в търсачката 9,17 * 9,17, или 9,17 ^ 2, или "9,17 на квадрат." Във всяка от тези опции търсачката ще ви даде правилния резултат - 84.0889.
Вече знаете как да изчислите квадрата на всяко число, което ви интересува, било то цяло число или дроб, голямо или малко!
Формули за съкратено умножение.
Разучаване на формулите за съкратено умножение: квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза; разлика на квадратите на два израза; кубът на сбора и кубът на разликата на два израза; сбор и разлика на кубове на два израза.
Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.
За опростяване на изрази, разлагане на полиноми и намаляване на полиномите до стандартна форма се използват съкратени формули за умножение. Формулите за съкратено умножение трябва да знаете наизуст.
Нека a, b R. Тогава:
1. Квадратът на сумата от два израза еквадратът на първия израз плюс два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
2. Квадратът на разликата на два израза еквадратът на първия израз минус два пъти произведението на първия израз и втория плюс квадратът на втория израз.
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
3. Разлика на квадратитедва израза е равно на произведението от разликата на тези изрази и тяхната сума.
a 2 - b 2 \u003d (a - b) (a + b)
4. сборен кубот два израза е равно на куба на първия израз плюс три по квадрата на първия израз по втория плюс три по произведението на първия израз по квадрата на втория плюс куба на втория израз.
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
5. куб на разликатаот два израза е равно на куба на първия израз минус три пъти произведението на квадрата на първия израз и втория плюс три пъти произведението на първия израз и квадрата на втория минус куба на втория израз.
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
6. Сбор от кубоведва израза е равно на произведението на сбора от първия и втория израз по непълния квадрат на разликата на тези изрази.
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
7. Разлика на кубчетана два израза е равно на произведението на разликата на първия и втория израз по непълния квадрат на сумата от тези изрази.
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
Приложение на формули за съкратено умножение при решаване на примери.
Пример 1
Изчисли
а) Използвайки формулата за квадрат на сумата от два израза, имаме
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
б) Използвайки формулата за квадратна разлика на два израза, получаваме
98 2 \u003d (100 - 2) 2 \u003d 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 \u003d 9604
Пример 2
Изчисли
Използвайки формулата за разликата на квадратите на два израза, получаваме
Пример 3
Опростяване на израза
(x - y) 2 + (x + y) 2
Използваме формулите за квадрат на сбора и квадрат на разликата на два израза
(x - y) 2 + (x + y) 2 \u003d x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 \u003d 2x 2 + 2y 2
Формули за съкратено умножение в една таблица:
(a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2
(a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2
a 2 - b 2 = (a - b) (a+b)
(a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3
(a - b) 3 = a 3 - 3a 2 b + 3ab 2 - b 3
a 3 + b 3 \u003d (a + b) (a 2 - ab + b 2)
a 3 - b 3 \u003d (a - b) (a 2 + ab + b 2)
