Известно е, че безкраен брой числаи само няколко имат собствени имена, тъй като на повечето числа са дадени имена, състоящи се от малки числа. Най-големите числа трябва да бъдат обозначени по някакъв начин.
"Къса" и "дълга" скала
Използваните днес имена на номера започнаха да се получават през петнадесети век, тогава италианците за първи път използват думата милион, което означава "голяма хиляда", бимилион (милион на квадрат) и тримилион (милион на куб).
Тази система е описана в неговата монография от французина Никълъс Шукет,той препоръча използването на латински цифри, добавяйки към тях флексията "-милион", така бимилионът стана милиард, а три милиона станаха трилион и т.н.
Но според предложената система от числа между милион и милиард той нарече „хиляда милиони“. Не беше удобно да се работи с такава градация и през 1549 г. французинът Жак Пелетиепрепоръчваме да се обадите на числата, които са в посочения интервал, като отново използвате латински префикси, като същевременно въвеждате друго окончание - „-милиард“.
Така че 109 се нарича милиард, 1015 - билярд, 1021 - трилион.
Постепенно тази система започва да се използва в Европа. Но някои учени объркаха имената на числата, това създаде парадокс, когато думите милиард и милиард станаха синоними. Впоследствие Съединените щати създадоха своя собствена конвенция за именуване на големи числа. Според него изграждането на имената се извършва по подобен начин, но се различават само числата.
Старата система продължи да се използва в Обединеното кралство и затова беше наречена британски, въпреки че първоначално е създаден от французите. Но от седемдесетте години на миналия век Великобритания също започна да прилага системата.
Ето защо, за да се избегне объркване, концепцията, създадена от американски учени, обикновено се нарича къса скала, докато оригиналът Френско-британски - дълъг мащаб.
Късата скала намери активно приложение в САЩ, Канада, Великобритания, Гърция, Румъния и Бразилия. В Русия също се използва, само с една разлика - числото 109 традиционно се нарича милиард. Но френско-британската версия беше предпочитана в много други страни.
За да обозначат числа, по-големи от децилион, учените решиха да комбинират няколко латински префикса, така че ундецилион, кватордецилион и други бяха наречени. Ако използвате система Schuecke,тогава според него гигантските числа ще придобият имената "вигинтилион", "центилион" и "милиониллион" (103003), съответно според дългата скала такова число ще получи името "милионилион" (106003).
Числа с уникални имена
Много числа бяха наименувани без позоваване на различни системи и части от думи. Има много от тези числа, например това Пи", дузина, както и числа над милион.
AT Древна Русотдавна използва своя собствена цифрова система. Стотици хиляди бяха наречени легиони, един милион бяха наречени леодроми, десетки милиони бяха гарвани, стотици милиони бяха наречени колоди. Това беше „малък акаунт“, но „великият акаунт“ използваше същите думи, само различно значение беше вложено в тях, например leodr можеше да означава легион от легиони (1024), а колодата вече можеше да означава десет гарвана (1096).
Случвало се е децата да измислят имена на числа, например на математика Едуард Каснер е дадена идеята младият Милтън Сирота, който предложи просто да се даде име на число със сто нули (10100). googol. Този номер получава най-голяма публичност през 90-те години на ХХ век, когато търсачката Google е кръстена на него. Момчето предложи и името „Googleplex“, число, което има гугол от нули.
Но Клод Шанън в средата на двадесети век, оценявайки ходовете в една шахматна партия, изчисли, че има 10118 от тях, сега е "Числото на Шанън".
В една стара будистка творба "Джейна сутри", написана преди почти двадесет и два века, е отбелязано числото "асанкхея" (10140), което е точно колко космически цикъла, според будистите, са необходими за постигане на нирвана.
Стенли Скус описа големи количества, така че "първото число на Скуес",равно на 10108.85.1033, а "второто число на Скуес" е още по-впечатляващо и е равно на 1010101000.
Нотации
Разбира се, в зависимост от броя на степените, съдържащи се в дадено число, става проблематично да се поправи върху бази за грешки при писане и дори при четене. някои числа не могат да се поберат на няколко страници, така че математиците са измислили нотации за улавяне на големи числа.
Струва си да се има предвид, че всички те са различни, всеки има свой собствен принцип на фиксиране. Сред тях си струва да се спомене нотации от Steinghaus, Knuth.
Използвано е обаче най-голямото число, числото на Греъм Роналд Греъм през 1977 гкогато правите математически изчисления и това число е G64.
Веднъж прочетох трагична история за чукча, който бил научен да брои и пише числа от полярни изследователи. Магията на числата толкова го впечатлила, че той решил да запише в дарената от полярниците тетрадка абсолютно всички числа на света подред, започвайки от едно. Чукчи изоставя всичките си дела, спира да общува дори със собствената си жена, вече не ловува тюлени и тюлени, а пише и пише числа в тетрадка .... Така минава една година. В крайна сметка тетрадката свършва и чукчата разбира, че е успял да запише само малка част от всички числа. Той плаче горчиво и в отчаяние изгаря надрасканата си тетрадка, за да започне отново простия живот на рибар, без да мисли повече за тайнствената безкрайност на числата...
Няма да повтаряме постижението на този чукчи и да се опитваме да намерим най-голямото число, тъй като е достатъчно към всяко число просто да добавите единица, за да получите още по-голямо число. Нека си зададем подобен, но различен въпрос: кое от числата, които имат собствено име, е най-голямото?
Очевидно, въпреки че самите числа са безкрайни, те нямат много собствени имена, тъй като повечето от тях се задоволяват с имена, съставени от по-малки числа. Така например числата 1 и 100 имат свои имена "едно" и "сто", а името на числото 101 вече е съставно ("сто и едно"). Ясно е, че в крайния набор от числа, които човечеството е наградило със собственото си име, трябва да има някакво най-голямо число. Но как се нарича и на какво е равно? Нека се опитаме да го разберем и да открием, че в крайна сметка това е най-голямото число!
|
"Къса" и "дълга" скала
Историята на съвременната система за именуване на големи числа датира от средата на 15 век, когато в Италия започват да използват думите "милион" (буквално - голяма хиляда) за хиляда на квадрат, "бимилион" за милион на квадрат и "тримилион" за милион на куб. Ние знаем за тази система благодарение на френския математик Никола Чуке (Nicolas Chuquet, ок. 1450 - ок. 1500): в своя трактат "Науката за числата" (Triparty en la science des nombres, 1484) той развива тази идея, предлагайки по-нататъшно използване на латинските кардинални числа (вижте таблицата), като ги добавите към края "-милион". И така, „бимилионът“ на Шуке се превърна в милиард, „тримилион“ в трилион, а милион на четвърта степен стана „квадрилион“.
В системата на Шюке числото 10 9 , което беше между милион и милиард, нямаше собствено име и се наричаше просто "хиляда милиона", по същия начин 10 15 се наричаше "хиляда милиарда", 10 21 - " хиляда трилиона“ и т.н. Не беше много удобно и през 1549 г. френският писател и учен Жак Пелетие дю Ман (1517-1582) предложи да се назоват такива "междинни" числа, като се използват същите латински префикси, но окончанието "-милиард". И така, 10 9 стана известен като "милиард", 10 15 - "билярд", 10 21 - "трилион" и т.н.
Системата Shuquet-Peletier постепенно става популярна и се използва в цяла Европа. През 17 век обаче възниква неочакван проблем. Оказа се, че по някаква причина някои учени започнаха да се объркват и наричат числото 10 9 не „милиард“ или „хиляда милиона“, а „милиард“. Скоро тази грешка бързо се разпространи и възникна парадоксална ситуация - "милиард" стана едновременно синоним на "милиард" (10 9) и "милион милиона" (10 18).
Това объркване продължи дълго време и доведе до факта, че в САЩ създадоха своя собствена система за именуване на големи числа. Според американската система имената на числата се изграждат по същия начин, както в системата Шюке - латинският префикс и окончанието "милион". Тези цифри обаче са различни. Ако в системата на Schuecke имена с окончание "милион" получиха числа, които бяха степени на милион, то в американската система окончанието "-милион" получи правомощията на хиляда. Тоест хиляда милиона (1000 3 \u003d 10 9) започнаха да се наричат "милиард", 1000 4 (10 12) - "трилион", 1000 5 (10 15) - "квадрилион" и т.н.
Старата система за именуване на големи числа продължава да се използва в консервативна Великобритания и започва да се нарича "британска" по целия свят, въпреки факта, че е изобретена от французите Шуке и Пелетие. Въпреки това, през 70-те години Обединеното кралство официално премина към „американската система“, което доведе до факта, че стана някак странно една система да се нарича американска, а друга британска. В резултат на това американската система сега обикновено се нарича "къса скала", а британската или системата на Чуке-Пелетие като "дълга скала".
За да не се объркаме, нека обобщим междинния резултат:
|
Сега кратката скала за именуване се използва в Съединените щати, Обединеното кралство, Канада, Ирландия, Австралия, Бразилия и Пуерто Рико. Русия, Дания, Турция и България също използват кратката скала, само че числото 109 не се нарича "милиард", а "милиард". Дългата скала продължава да се използва днес в повечето други страни.
Любопитно е, че у нас окончателният преход към късия мащаб става едва през втората половина на 20 век. Така например, дори Яков Исидорович Перелман (1882-1942) в своята "Занимателна аритметика" споменава паралелното съществуване на две скали в СССР. Късата скала, според Перелман, се използва в ежедневието и финансовите изчисления, а дългата се използва в научни книги по астрономия и физика. Сега обаче е погрешно да се използва дълъг мащаб в Русия, въпреки че числата там са големи.
Но да се върнем към намирането на най-голямото число. След децилион имената на числата се получават чрез комбиниране на префикси. Така се получават числа като ундецилион, дуодецилион, тредецилион, кватордецилион, квиндецилион, сексдецилион, септемдецилион, октодецилион, новемдецилион и др. Тези имена обаче вече не представляват интерес за нас, тъй като се съгласихме да намерим най-голямото число със собствено несъставно име.
Ако се обърнем към латинската граматика, ще открием, че римляните са имали само три несъставни наименования на числата, по-големи от десет: viginti - "двадесет", centum - "сто" и mille - "хиляда". За числа, по-големи от "хиляда", римляните не са имали собствени имена. Например римляните са наричали милион (1 000 000) „decies centena milia“, тоест „десет пъти по сто хиляди“. Според правилото на Schuecke, тези три останали латински цифри ни дават имена на числа като "vigintillion", "centillion" и "milleillion".
И така, открихме, че в "късата скала" максималното число, което има собствено име и не е съставно от по-малки числа, е "милион" (10 3003). Ако в Русия беше приета „дълга скала“ на именуване на числата, тогава най-голямото число със собствено име би било „милион“ (10 6003).
Въпреки това има имена за дори по-големи числа.
Числа извън системата
Някои номера имат собствено име, без никаква връзка със системата за именуване с латински префикси. И има много такива числа. Можете например да запомните номера д, числото "пи", дузина, числото на звяра и т.н. Но тъй като сега се интересуваме от големи числа, ще разгледаме само онези числа със собствено несъставно име, които са повече от милион.
До 17-ти век Русия използва своя собствена система за именуване на числата. Десетки хиляди бяха наречени „тъмни“, стотици хиляди бяха наречени „легиони“, милиони бяха наречени „леодри“, десетки милиони бяха наречени „гарвани“, а стотици милиони бяха наречени „колоди“. Тази сметка до стотици милиони се нарича „малка сметка“, а в някои ръкописи авторите разглеждат и „голямата сметка“, в която се използват същите имена за големи числа, но с различно значение. И така, "тъмнина" означаваше не десет хиляди, а хиляда хиляди (10 6), "легион" - тъмнината на тези (10 12); "leodr" - легион от легиони (10 24), "raven" - leodr от leodres (10 48). По някаква причина „колодата“ в голямото славянско броене не се нарича „гарван на гарваните“ (10 96), а само десет „гарвана“, тоест 10 49 (виж таблицата).
|
Числото 10100 също има свое име и е измислено от деветгодишно момче. И беше така. През 1938 г. американският математик Едуард Каснър (Edward Kasner, 1878-1955) се разхождал в парка с двамата си племенници и обсъждал с тях големи числа. По време на разговора говорихме за число със сто нули, което няма собствено име. Един от неговите племенници, деветгодишният Милтън Сирот, предложи този номер да се нарече "googol". През 1940 г. Едуард Каснър, заедно с Джеймс Нюман, написва нехудожествената книга „Математиката и въображението“, където учи любителите на математиката за числото гугол. Google стана още по-широко известен в края на 90-те години, благодарение на търсачката Google, кръстена на него.
Името за още по-голямо число от googol възниква през 1950 г. благодарение на бащата на компютърните науки, Клод Шанън (Claude Elwood Shannon, 1916-2001). В статията си "Програмиране на компютър за игра на шах" той се опита да оцени броя на възможните варианти на шахматна игра. Според него всяка игра продължава средно 40 хода, като на всеки ход играчът избира средно 30 опции, което съответства на 900 40 (приблизително равно на 10 118) опции за игра. Тази работа стана широко известна и това число стана известно като "числото на Шанън".
В известния будистки трактат Джайна сутра, датиращ от 100 г. пр.н.е., числото "асанкхея" се намира равно на 10 140. Смята се, че това число е равно на броя на космическите цикли, необходими за получаване на нирвана.
Деветгодишният Милтън Сирота влезе в историята на математиката не само с изобретяването на числото гугол, но и с предлагането на друго число по същото време - „гуголплекс“, което е равно на 10 на степен „гугол“, т.е. , едно с гугол нули.
Още две числа, по-големи от гуголплекса, бяха предложени от южноафриканския математик Стенли Скуес (1899-1988) при доказване на хипотезата на Риман. Първото число, което по-късно започва да се нарича "първото число на Skeuse", е равно на ддо степента ддо степента дна степен 79, т.е д д д 79 = 10 10 8,85,10 33 . „Второто число на Скуес“ обаче е още по-голямо и е 10 10 10 1000 .
Очевидно е, че колкото повече са градусите в броя на градусите, толкова по-трудно е да записвате числа и да разбирате тяхното значение при четене. Освен това е възможно да се измислят такива числа (и те, между другото, вече са измислени), когато степените на градусите просто не се побират на страницата. Да, каква страница! Те дори няма да се поберат в книга с размерите на цялата вселена! В този случай възниква въпросът как да се запишат такива числа. Проблемът, за щастие, е разрешим и математиците са разработили няколко принципа за записване на такива числа. Вярно е, че всеки математик, който зададе този проблем, измисли свой собствен начин на писане, което доведе до съществуването на няколко несвързани начина за писане на големи числа - това са обозначенията на Кнут, Конуей, Щайнхаус и т.н. Сега ще трябва да се справим с някои от тях.
Други означения
През 1938 г., същата година, в която деветгодишният Милтън Сирота измисля числата гугол и гуголплекс, Хуго Дионизи Щайнхаус, 1887-1972, в Полша е публикувана книга за забавната математика, Математическият калейдоскоп. Тази книга стана много популярна, премина през много издания и беше преведена на много езици, включително английски и руски. В него Щайнхаус, обсъждайки големите числа, предлага лесен начин за записването им с помощта на три геометрични фигури - триъгълник, квадрат и кръг:
"нв триъгълник" означава " n n»,
« нквадрат означава " нв нтриъгълници",
« нв кръг" означава " нв нквадрати."
Обяснявайки този начин на писане, Щайнхаус извежда числото „мега“, равно на 2 в кръг и показва, че то е равно на 256 в „квадрат“ или 256 в 256 триъгълника. За да го изчислите, трябва да повдигнете 256 на степен 256, да повдигнете полученото число 3.2.10 616 на степен 3.2.10 616, след това да повдигнете полученото число на степен на полученото число и така нататък, за да повдигнете на степен 256 пъти. Например, калкулаторът в MS Windows не може да изчисли поради препълване 256 дори в два триъгълника. Приблизително това огромно число е 10 10 2,10 619 .
След като определи числото "мега", Щайнхаус кани читателите самостоятелно да оценят друго число - "медзон", равно на 3 в кръг. В друго издание на книгата Щайнхаус вместо медзоната предлага да се оцени още по-голямо число - „мегистон“, равно на 10 в кръг. Следвайки Щайнхаус, аз също ще препоръчам на читателите да се откъснат от този текст за известно време и да се опитат сами да напишат тези числа, използвайки обикновени степени, за да усетят гигантската им величина.
Все пак има имена за относнопо-високи числа. И така, канадският математик Лео Мозер (Leo Moser, 1921-1970) финализира нотацията на Steinhaus, която беше ограничена от факта, че ако е необходимо да се запишат числа, много по-големи от мегистон, тогава биха възникнали трудности и неудобства, тъй като един ще трябва да нарисува много кръгове един в друг. Мозер предложи да се рисуват не кръгове след квадрати, а петоъгълници, след това шестоъгълници и т.н. Той също така предложи формална нотация за тези многоъгълници, така че числата да могат да бъдат записвани без да се рисуват сложни модели. Нотацията на Мозер изглежда така:
« нтриъгълник" = n n = н;
« нв квадрат" = н = « нв нтриъгълници" = нн;
« нв петоъгълник" = н = « нв нквадратчета" = нн;
« нв k+ 1-гон" = н[к+1] = " нв н к-gons" = н[к]н.
По този начин, според нотацията на Мозер, щайнхаусовският „мега“ се записва като 2, „медзон“ като 3 и „мегистон“ като 10. В допълнение, Лео Мозер предложи да се нарече многоъгълник с брой страни, равен на мега - „мегагон ". И той предложи числото "2 в мегагон", тоест 2. Това число стана известно като числото на Мозер или просто като "мозер".
Но дори "moser" не е най-големият брой. И така, най-голямото число, използвано някога в математическо доказателство, е "числото на Греъм". Това число е използвано за първи път от американския математик Роналд Греъм през 1977 г. при доказване на една оценка в теорията на Рамзи, а именно при изчисляване на размерите на определени н-дименсионални бихроматични хиперкубове. Числото на Греъм придоби известност едва след историята за него в книгата на Мартин Гарднър от 1989 г. „От мозайките на Пенроуз до сигурните шифри“.
За да се обясни колко голямо е числото на Греъм, трябва да се обясни друг начин за писане на големи числа, въведен от Доналд Кнут през 1976 г. Американският професор Доналд Кнут излезе с концепцията за суперстепен, която предложи да се напише със стрелки, сочещи нагоре:
Мисля, че всичко е ясно, така че да се върнем към номера на Греъм. Роналд Греъм предложи така наречените G-числа:
Тук е числото G 64 и се нарича числото на Греъм (често се означава просто като G). Това число е най-голямото известно число в света, използвано в математическо доказателство и дори е вписано в Книгата на рекордите на Гинес.
И накрая
След като написах тази статия, не мога да устоя на изкушението и да измисля собствен номер. Нека се обади този номер телбод» и ще бъде равно на числото G 100 . Запомнете го и когато децата ви попитат кое е най-голямото число в света, кажете им, че се нарича това число телбод.
Партньорски новини
Като дете бях измъчван от въпроса кое е най-голямото число и измъчвах почти всички с този глупав въпрос. След като научих числото един милион, попитах дали има число, по-голямо от милион. Милиард? И повече от милиард? Трилион? И повече от един трилион? Най-после се намери някой умен, който ми обясни, че въпросът е глупав, тъй като е достатъчно само да добавиш едно към най-голямото число и се оказва, че никога не е било най-голямото, тъй като има и по-големи числа.
И сега, след много години, реших да задам друг въпрос, а именно: Кое е най-голямото число, което има собствено име?За щастие, сега има интернет и можете да ги озадачите с търпеливи търсачки, които няма да нарекат въпросите ми идиотски ;-). Всъщност това е, което направих и ето какво разбрах в резултат.
| Номер | латинско име | руски префикс |
| 1 | unus | en- |
| 2 | дует | дуо- |
| 3 | tres | три- |
| 4 | quattuor | квадри- |
| 5 | куинке | квинти- |
| 6 | секс | секси |
| 7 | Септември | септи- |
| 8 | окто | окти- |
| 9 | novem | нони- |
| 10 | декември | реши- |
Има две системи за именуване на числата – американска и английска.
Американската система е изградена доста просто. Всички имена на големи числа са изградени по следния начин: в началото има латински пореден номер, а в края се добавя наставката -милион. Изключение прави името "милион", което е името на числото хиляда (лат. mille) и увеличителната наставка -милион (виж таблицата). Така се получават числата - трилион, квадрилион, квинтилион, секстилион, септилион, октилион, нонилион и децилион. Американската система се използва в САЩ, Канада, Франция и Русия. Можете да разберете броя на нулите в число, написано в американската система, като използвате простата формула 3 x + 3 (където x е латинска цифра).
Английската система за именуване е най-разпространената в света. Използва се например във Великобритания и Испания, както и в повечето бивши английски и испански колонии. Имената на числата в тази система се изграждат по следния начин: така: към латинската цифра се добавя наставка -милион, следващото число (1000 пъти по-голямо) се изгражда на принципа - същата латинска цифра, но наставката е -милиард. Тоест след трилион в английската система идва трилион и едва след това квадрилион, следван от квадрилион и т.н. Така квадрилион според английската и американската система са напълно различни числа! Можете да разберете броя на нулите в число, написано в английската система и завършващо с наставката -million, като използвате формулата 6 x + 3 (където x е латинско число) и като използвате формулата 6 x + 6 за числа, завършващи на -милиард.
Само числото милиард (10 9) премина от английската система в руския език, което обаче би било по-правилно да го наречем така, както го наричат американците - милиард, тъй като ние приехме американската система. Но кой у нас прави нещо по правилата! ;-) Между другото, понякога думата трилиард се използва и на руски (можете да се убедите сами, като потърсите в Googleили Yandex) и това означава, очевидно, 1000 трилиона, т.е. квадрилион.
В допълнение към числата, изписани с латински префикси в американската или английската система, са известни и така наречените извънсистемни числа, т.е. номера, които имат собствени имена без латински префикси. Има няколко такива номера, но ще говоря за тях по-подробно малко по-късно.
Да се върнем към писането с латински цифри. Изглежда, че могат да пишат числа до безкрайност, но това не е съвсем вярно. Сега ще обясня защо. Първо, нека видим как се наричат числата от 1 до 10 33:
| Име | Номер |
| Мерна единица | 10 0 |
| десет | 10 1 |
| Сто | 10 2 |
| Хиляда | 10 3 |
| Милион | 10 6 |
| Милиард | 10 9 |
| Трилион | 10 12 |
| квадрилион | 10 15 |
| Квинтилион | 10 18 |
| Sextillion | 10 21 |
| Септилион | 10 24 |
| Октилион | 10 27 |
| Квинтилион | 10 30 |
| Децилион | 10 33 |
И така, сега възниква въпросът какво следва. Какво е децилион? По принцип е възможно, разбира се, чрез комбиниране на префикси да се генерират такива чудовища като: andecillion, duodecillion, tredecillion, quattordecillion, quindecillion, sexdecillion, septemdecillion, octodecillion и novemdecillion, но това вече ще бъдат съставни имена и ние се интересувахме от нашите собствени имена номера. Следователно, според тази система, в допълнение към горното, все още можете да получите само три собствени имена - vigintillion (от лат. вигинти- двадесет), центилион (от лат. процента- сто) и милион (от лат. mille- хиляда). Римляните не са имали повече от хиляда собствени имена за числа (всички числа над хиляда са били съставни). Например един милион (1 000 000) римляни се обадиха centena miliaт.е. десетстотин хиляди. И сега, всъщност, таблицата:
Така, според подобна система, не могат да се получат числа, по-големи от 10 3003, които биха имали собствено, несъставно име! Но въпреки това са известни числа, по-големи от милион - това са същите извънсистемни числа. И накрая, нека поговорим за тях.
| Име | Номер |
| безброй | 10 4 |
| googol | 10 100 |
| Асанхейя | 10 140 |
| Гуголплекс | 10 10 100 |
| Вторият номер на Skuse | 10 10 10 1000 |
| мега | 2 (в нотация на Мозер) |
| Мегистон | 10 (в нотация на Мозер) |
| Мозер | 2 (в нотация на Мозер) |
| Числото на Греъм | G 63 (в нотацията на Греъм) |
| Stasplex | G 100 (в нотацията на Греъм) |
Най-малкото такова число е безброй(има го дори в речника на Дал), което означава сто стотици, т.е. брой изобщо, но безброй, безброй много неща. Смята се, че думата безброй (на английски myriad) е дошла в европейските езици от древен Египет.
googol(от англ. googol) е числото десет на стотна степен, тоест едно със сто нули. За "googol" се пише за първи път през 1938 г. в статията "Нови имена в математиката" в януарския брой на списанието Scripta Mathematica от американския математик Едуард Каснер. Според него деветгодишният му племенник Милтън Сирота е предложил да наричаме голямо число "googol". Този номер стана известен благодарение на търсачката, кръстена на него. Google. Обърнете внимание, че „Google“ е търговска марка, а googol е число.
В известния будистки трактат Джайна сутра, датиращ от 100 г. пр.н.е., има число асанхия(от китайски asentzi- неизчислимо), равно на 10 140. Смята се, че това число е равно на броя на космическите цикли, необходими за получаване на нирвана.
Гуголплекс(Английски) googolplex) - число, също измислено от Каснер с неговия племенник и означаващо единица с гугол от нули, тоест 10 10 100. Ето как самият Каснер описва това „откритие“:
Мъдрите думи се изричат от децата поне толкова често, колкото и от учените. Името "googol" е измислено от дете (деветгодишния племенник на д-р Каснер), което е помолено да измисли име за много голямо число, а именно 1 със сто нули след него. Той беше много Сигурно е, че това число не е безкрайно и следователно е също толкова сигурно, че трябва да има име гугол, но все още е ограничено, както бързо отбеляза изобретателят на името.
Математика и въображение(1940) от Каснър и Джеймс Р. Нюман.
Дори повече от число на googolplex, числото на Skewes е предложено от Skewes през 1933 г. (Skewes. J. London Math. соц. 8 , 277-283, 1933.) при доказване на хипотезата на Риман относно простите числа. Това означава ддо степента ддо степента дна степен 79, тоест e e e 79. По-късно Рийле (te Riele, H.J.J. „За знака на разликата П(x)-Li(x)." математика Изчисл. 48 , 323-328, 1987) редуцира числото на Skewes до e e 27/4, което е приблизително равно на 8,185 10 370. Ясно е, че тъй като стойността на числото на Skewes зависи от числото д, то не е цяло число, така че няма да го разглеждаме, иначе ще трябва да си припомним други неестествени числа - числото pi, числото e, числото на Авогадро и т.н.
Но трябва да се отбележи, че има второ число на Скуес, което в математиката се означава като Sk 2 , което е дори по-голямо от първото число на Скуес (Sk 1). Вторият номер на Skuse, е въведено от J. Skuse в същата статия, за да обозначи числото, до което е валидна хипотезата на Риман. Sk 2 е равно на 10 10 10 10 3, което е 10 10 10 1000.
Както разбирате, колкото повече степени има, толкова по-трудно е да разберете кое от числата е по-голямо. Например, гледайки числата на Skewes, без специални изчисления е почти невъзможно да се разбере кое от тези две числа е по-голямо. По този начин за свръхголеми числа става неудобно да се използват степени. Освен това можете да измислите такива числа (и те вече са измислени), когато степените на градусите просто не се побират на страницата. Да, каква страница! Те дори няма да се поберат в книга с размерите на цялата вселена! В този случай възниква въпросът как да ги запишем. Проблемът, както разбирате, е разрешим и математиците са разработили няколко принципа за писане на такива числа. Вярно е, че всеки математик, който зададе този проблем, измисли свой собствен начин на писане, което доведе до съществуването на няколко, несвързани, начина за записване на числа - това са нотациите на Кнут, Конуей, Стайнхаус и др.
Помислете за нотацията на Хуго Стенхаус (H. Steinhaus. Математически моментни снимки, 3-то изд. 1983), което е доста просто. Стайнхаус предложи да се напишат големи числа в геометрични фигури - триъгълник, квадрат и кръг:
Стайнхаус излезе с две нови супер големи числа. Той назова номер мега, а числото е Мегистон.
Математикът Лео Мозер усъвършенства нотацията на Стенхаус, която беше ограничена от факта, че ако е необходимо да се напишат числа, много по-големи от мегистон, възникват трудности и неудобства, тъй като много кръгове трябва да бъдат начертани един в друг. Мозер предложи да се рисуват не кръгове след квадрати, а петоъгълници, след това шестоъгълници и т.н. Той също така предложи формална нотация за тези многоъгълници, така че числата да могат да бъдат записвани без да се рисуват сложни модели. Нотацията на Мозер изглежда така:
По този начин, според нотацията на Мозер, мега на Щайнхаус се записва като 2, а мегистон като 10. Освен това Лео Мозер предложи да се нарече многоъгълник с броя на страните, равен на мега - мегагон. И той предложи числото "2 в Мегагон", тоест 2. Това число стана известно като числото на Мозер или просто като Мозер.
Но мозерът не е най-големият брой. Най-голямото число, използвано някога в математическо доказателство, е граничната стойност, известна като Числото на Греъм(числото на Греъм), използвано за първи път през 1977 г. в доказателството на една оценка в теорията на Рамзи. То е свързано с бихроматични хиперкубове и не може да бъде изразено без специална 64-степенна система от специални математически символи, въведена от Кнут през 1976 г.
За съжаление числото, записано в нотацията на Кнут, не може да бъде преведено в нотацията на Мозер. Следователно тази система също ще трябва да бъде обяснена. По принцип в него също няма нищо сложно. Доналд Кнут (да, да, това е същият Кнут, който написа Изкуството на програмирането и създаде редактора на TeX) излезе с концепцията за суперсила, която предложи да се напише със стрелки, сочещи нагоре:
В общи линии изглежда така:
Мисля, че всичко е ясно, така че да се върнем към номера на Греъм. Греъм предложи така наречените G-числа:
Номерът G 63 започва да се нарича Числото на Греъм(често се обозначава просто като G). Това число е най-голямото известно число в света и дори е вписано в Книгата на рекордите на Гинес. И ето, че числото на Греъм е по-голямо от числото на Мозер.
P.S.За да донеса голяма полза на цялото човечество и да стана известен от векове, реших сам да измисля и назова най-голямото число. Този номер ще бъде извикан телбоди е равно на числото G 100 . Запомнете го и когато децата ви попитат кое е най-голямото число в света, кажете им, че се нарича това число телбод.
Актуализация (4.09.2003):Благодаря на всички за коментарите. Оказа се, че при писането на текста съм допуснал няколко грешки. Сега ще се опитам да го оправя.
- Направих няколко грешки наведнъж, само като споменах номера на Авогадро. Първо, няколко души ми посочиха, че 6,022 10 23 всъщност е най-естественото число. И второ, има мнение и ми се струва вярно, че числото на Авогадро изобщо не е число в истинския, математически смисъл на думата, тъй като зависи от системата от единици. Сега се изразява в "mol -1", но ако се изрази например в молове или нещо друго, тогава ще бъде изразено в съвсем различна цифра, но изобщо няма да престане да бъде числото на Авогадро.
- 10 000 - тъмнина
100 000 - легион
1 000 000 - леодър
10 000 000 - Гарван или Гарван
100 000 000 - колода
Интересното е, че древните славяни също обичаха големите числа, знаеха как да броят до милиард. Освен това те нарекоха такава сметка „малка сметка“. В някои ръкописи авторите разглеждат и „голямото броене“, което достига числото 10 50 . За числата, по-големи от 10 50, беше казано: "И повече от това да понесе човешкият ум да разбере." Имената, използвани в "малката сметка", бяха пренесени в "голямата сметка", но с друго значение. И така, тъмнината означава вече не 10 000, а милион, легион - тъмнината на тези (милиони милиони); leodrus - легион от легиони (10 до 24 градуса), тогава се казваше - десет леодри, сто леодри, ..., и, накрая, сто хиляди легиони леодри (10 до 47); leodr leodr (10 до 48) се наричаше гарван и накрая колода (10 до 49). - Темата за националните имена на числа може да бъде разширена, ако си припомним японската система за именуване на числа, която забравих, която е много различна от английската и американската система (няма да рисувам йероглифи, ако някой се интересува, тогава те са):
100-ичи
10 1 - джюу
10 2 - хяку
103-сен
104 - мъж
108-оку
10 12 - чоу
10 16 - кей
10 20 - гай
10 24 - джйо
10 28 - jyou
10 32 - коу
10 36-кан
10 40 - сей
1044 - сай
1048 - гоку
10 52 - гугася
10 56 - асуги
10 60 - наюта
1064 - фукашиги
10 68 - murioutaisuu - Относно числата на Хуго Щайнхаус (в Русия по някаква причина името му се превежда като Хуго Щайнхаус). ботев уверява, че идеята за писане на супер големи числа под формата на числа в кръгове не принадлежи на Steinhouse, а на Daniil Kharms, който много преди него публикува тази идея в статията „Повишаване на числото“. Искам също да благодаря на Евгений Скляревски, автора на най-интересния сайт за забавна математика в рускоезичния интернет - Arbuz, за информацията, че Стайнхаус е измислил не само числата мега и мегистон, но е предложил и друго число мецанин, което е (в неговото обозначение) "оградено с кръг 3".
- Сега за броя безбройили myrioi. Има различни мнения за произхода на това число. Някои смятат, че произхожда от Египет, докато други смятат, че се е родил едва в Древна Гърция. Както и да е, всъщност безбройните са придобили слава именно благодарение на гърците. Мириада беше името за 10 000 и нямаше имена за числа над десет хиляди. Въпреки това, в бележката "Psammit" (т.е. пясъчното смятане), Архимед показа как човек може систематично да изгражда и назовава произволно големи числа. По-специално, поставяйки 10 000 (безброй) пясъчни зърна в маково семе, той открива, че във Вселената (сфера с диаметър от безброй земни диаметри) не повече от 10 63 пясъчни зърна биха се побрали (в нашата нотация) . Любопитно е, че съвременните изчисления на броя на атомите във видимата вселена водят до числото 10 67 (само безброй пъти повече). Имената на числата, предложени от Архимед, са както следва:
1 безброй = 10 4 .
1 ди-мириад = безброй безброй = 10 8 .
1 тримириада = димириада димириада = 10 16 .
1 тетра-мириад = три-мириад три-мириад = 10 32 .
и т.н.
Ако има коментари -
Мнозина се интересуват от въпроси за това как се наричат големи числа и кое число е най-голямото в света. Тези интересни въпроси ще бъдат разгледани в тази статия.
История
Южните и източните славянски народи са използвали азбучна номерация за записване на числа и само тези букви, които са в гръцката азбука. Над буквата, която обозначава числото, поставят специална икона „titlo“. Числените стойности на буквите се увеличават в същия ред, в който буквите следват в гръцката азбука (в славянската азбука редът на буквите е малко по-различен). В Русия славянската номерация се запазва до края на 17 век, а при Петър I преминават към „арабска номерация“, която използваме и днес.
Имената на номерата също се промениха. И така, до 15-ти век числото „двадесет“ е означавано като „две десет“ (две десетки), след което е намалено за по-бързо произношение. Числото 40 до 15 век се е наричало „четиридесет“, след което е заменено с думата „четиридесет“, която първоначално е означавала торба, съдържаща 40 кожи от катерица или самур. Името "милион" се появява в Италия през 1500 г. Образува се чрез добавяне на усилваща наставка към числото "mille" (хиляда). По-късно това име дойде на руски.
В старата (XVIII век) "Аритметика" на Магнитски има таблица с имена на числа, доведени до "квадрилиона" (10 ^ 24, според системата чрез 6 цифри). Перелман Я.И. в книгата "Занимателна аритметика" са дадени имената на големи числа от онова време, малко по-различни от днешните: септилон (10 ^ 42), окталион (10 ^ 48), ноналион (10 ^ 54), декалион (10 ^ 60) , ендекалион (10 ^ 66), додекалион (10 ^ 72) и е написано, че "няма повече имена."
Начини за изграждане на имена на големи числа
Има 2 основни начина за именуване на големи числа:
- американска система, който се използва в САЩ, Русия, Франция, Канада, Италия, Турция, Гърция, Бразилия. Имената на големи числа са изградени доста просто: в началото има латински пореден номер, а в края му се добавя суфиксът „-милион“. Изключение прави числото "милион", което е името на числото хиляда (mille) и увеличителната наставка "-милион". Броят на нулите в числото, което се записва в американската система, може да се намери по формулата: 3x + 3, където x е латинско поредно число
- английска системанай-разпространена в света, използва се в Германия, Испания, Унгария, Полша, Чехия, Дания, Швеция, Финландия, Португалия. Имената на числата според тази система се изграждат по следния начин: към латинското число се добавя наставката „-милион“, следващото число (1000 пъти по-голямо) е същата латинска цифра, но се добавя наставката „-милиард“. Броят на нулите в число, което се изписва в английската система и завършва с наставката „-милион“, може да се намери по формулата: 6x + 3, където x е латинско поредно число. Броят на нулите в числата, завършващи на наставката „-милиард“, може да се намери по формулата: 6x + 6, където x е латинско поредно число.
От английската система само думата милиард премина в руския език, което все пак е по-правилно да се нарича така, както го наричат американците - милиард (тъй като на руски се използва американската система за именуване на числа).
В допълнение към числата, които са написани в американската или английската система с латински префикси, са известни несистемни числа, които имат собствени имена без латински префикси.
Собствени имена за големи числа
| Номер | латинска цифра | Име | Практическа стойност | |
| 10 1 | 10 | десет | Брой пръсти на 2 ръце | |
| 10 2 | 100 | сто | Приблизително половината от броя на всички държави на Земята | |
| 10 3 | 1000 | хиляда | Приблизителен брой дни за 3 години | |
| 10 6 | 1000 000 | unus (аз) | милиона | 5 пъти повече от броя на капките в 10-литров. кофа с вода |
| 10 9 | 1000 000 000 | дуо (II) | милиард (милиард) | Приблизително население на Индия |
| 10 12 | 1000 000 000 000 | tres(III) | трилиона | |
| 10 15 | 1000 000 000 000 000 | кватор (IV) | квадрилион | 1/30 от дължината на парсек в метри |
| 10 18 | куинке (V) | квинтилион | 1/18 от броя на зърната от легендарната награда за изобретателя на шаха | |
| 10 21 | секс (VI) | секстилион | 1/6 от масата на планетата Земя в тонове | |
| 10 24 | септември (VII) | септилион | Брой молекули в 37,2 литра въздух | |
| 10 27 | октомври (VIII) | октилион | Половината от масата на Юпитер в килограми | |
| 10 30 | ноември (IX) | квинтилион | 1/5 от всички микроорганизми на планетата | |
| 10 33 | декември(X) | децилиони | Половината от масата на Слънцето в грамове | |
- Вигинтилион (от лат. viginti - двадесет) - 10 63
- Центилион (от лат. centum - сто) - 10 303
- Milleillion (от латински mille - хиляда) - 10 3003
За числата, по-големи от хиляда, римляните не са имали собствени имена (всички имена на числата по-долу са били съставни).
Съставни имена за големи числа
В допълнение към техните собствени имена, за числа, по-големи от 10 33, можете да получите съставни имена чрез комбиниране на префикси.
Съставни имена за големи числа
| Номер | латинска цифра | Име | Практическа стойност |
| 10 36 | ундецим (XI) | andecillion | |
| 10 39 | дуодецим (XII) | дуодецилион | |
| 10 42 | тредецим (XIII) | тредецилион | 1/100 от броя на въздушните молекули на Земята |
| 10 45 | quattuordecim (XIV) | кватордецилион | |
| 10 48 | куиндецим (XV) | квиндецилион | |
| 10 51 | седецим (XVI) | сексдецилион | |
| 10 54 | септендецим (XVII) | септемдецилион | |
| 10 57 | октодецилион | Толкова много елементарни частици в слънцето | |
| 10 60 | novemdecillion | ||
| 10 63 | вигинти (XX) | вигинтилион | |
| 10 66 | unus et viginti (XXI) | анвигинтилион | |
| 10 69 | duo et viginti (XXII) | дуовигинтилион | |
| 10 72 | tres et viginti (XXIII) | тревигинтилион | |
| 10 75 | кваторвигинтилион | ||
| 10 78 | квинвигинтилион | ||
| 10 81 | sexvigintillion | Толкова много елементарни частици във Вселената | |
| 10 84 | септември вигинтилион | ||
| 10 87 | октовигинтилион | ||
| 10 90 | novemvigintillion | ||
| 10 93 | тригинта (XXX) | тригинтилион | |
| 10 96 | антиригинтилион |
- 10 123 - квадрагинтилион
- 10 153 - квинквагинтилион
- 10 183 - sexagintillion
- 10 213 - септуагинтилион
- 10 243 - октогинтилион
- 10 273 - нонагинтилион
- 10 303 - центилион
Допълнителни имена могат да бъдат получени чрез директен или обратен ред на латински цифри (не се знае как правилно):
- 10 306 - анцентилион или центунилион
- 10 309 - дуоцентилион или сентдуолион
- 10 312 - трецентилион или сенттрилион
- 10 315 - кваторцентилион или сентквадрилион
- 10 402 - тритригинтацентилион или центртретигинтилион
Второто изписване е по-съобразено с конструкцията на цифрите на латиница и избягва неясноти (например в числото трецентилион, което в първия изпис е едновременно 10903 и 10312).
- 10 603 - децентилион
- 10 903 - трицентилион
- 10 1203 - квадрингентилион
- 10 1503 - квингентилион
- 10 1803 - сесенцилион
- 10 2103 - септингентилион
- 10 2403 - октингентилион
- 10 2703 - nongentillion
- 10 3003 - милион
- 10 6003 - дуомилион
- 10 9003 - тримилион
- 10 15003 - пет милиона
- 10 308760 -ion
- 10 3000003 - miamimiliaillion
- 10 6000003 - duomyamimiliaillion
безброй– 10 000. Името е остаряло и практически не се използва. Думата „безброй” обаче е широко използвана, което означава не определен брой, а безброй, неизброим набор от нещо.
гугол (Английски . googol) — 10 100 . Американският математик Едуард Каснър за първи път пише за това число през 1938 г. в списание Scripta Mathematica в статията „Нови имена в математиката“. Според него 9-годишният му племенник Милтън Сирота е предложил да се обади по този начин. Този номер става обществено достояние благодарение на търсачката Google, кръстена на него.
Асанхейя(от китайски asentzi - безброй) - 10 1 4 0. Това число се намира в известния будистки трактат Джайна сутра (100 г. пр.н.е.). Смята се, че това число е равно на броя на космическите цикли, необходими за получаване на нирвана.
Гуголплекс (Английски . Гуголплекс) — 10^10^100. Това число също е измислено от Едуард Каснър и неговия племенник, означава единица с гугол от нули.
Skuse номер (Номерът на Скуес Sk 1) означава e на степен e на степен e на степен 79, т.е. e^e^e^79. Това число е предложено от Скуес през 1933 г. (Skewes. J. London Math. Soc. 8, 277-283, 1933 г.) при доказване на хипотезата на Риман относно простите числа. По-късно Riele (te Riele, H.J.J. "On the Sign of the Difference P(x)-Li(x"). Math. Comput. 48, 323-328, 1987) редуцира числото на Skuse до e^e^27/4, което е приблизително равно на 8,185 10^370. Това число обаче не е цяло число, така че не е включено в таблицата с големи числа.
Второ число на изкривяване (Sk2)е равно на 10^10^10^10^3, което е 10^10^10^1000. Това число е въведено от J. Skuse в същата статия, за да обозначи числото, до което хипотезата на Риман е валидна.
За супер големи числа е неудобно да се използват степени, така че има няколко начина за записване на числа - нотациите на Кнут, Конуей, Стайнхаус и др.
Хуго Щайнхаус предлага записването на големи числа в геометрични фигури (триъгълник, квадрат и кръг).
Математикът Лео Мозер финализира нотацията на Щайнхаус, предлагайки след квадратите да не се рисуват кръгове, а петоъгълници, след това шестоъгълници и т.н. Мозер също предложи формална нотация за тези многоъгълници, така че числата да могат да бъдат записани без да се рисуват сложни модели.
Steinhouse излезе с две нови супер големи числа: Mega и Megiston. В нотацията на Мозер те се записват, както следва: мега – 2, Мегистон– 10. Лео Мозер предложи също да се нарече многоъгълник с брой страни, равен на мега – мегагон, а също така предложи числото "2 в Megagon" - 2. Последното число е известно като Номерът на Мозерили просто като Мозер.
Има числа, по-големи от Мозер. Най-голямото число, което е използвано в математическо доказателство, е номер Греъм(числото на Греъм). За първи път е използван през 1977 г. в доказателството на една оценка в теорията на Рамзи. Това число е свързано с бихроматични хиперкубове и не може да бъде изразено без специална 64-степенна система от специални математически символи, въведена от Кнут през 1976 г. Доналд Кнут (който написа Изкуството на програмирането и създаде редактора на TeX) излезе с концепцията за суперсила, която предложи да се напише със стрелки, сочещи нагоре:
Общо взето
Греъм предложи G-числа:
Числото G 63 се нарича числото на Греъм, често наричано просто G. Това число е най-голямото известно число в света и е вписано в Книгата на рекордите на Гинес.
Някога в детството се научихме да броим до десет, после до сто, после до хиляда. Кое е най-голямото число, което знаете? Хиляда, милион, милиард, трилион ... И тогава? Петалион, ще каже някой, ще греши, защото бърка префикса SI с напълно различна концепция.
Всъщност въпросът не е толкова прост, колкото изглежда на пръв поглед. Първо, говорим за назоваване на имената на правомощията на хиляда. И тук първият нюанс, който много хора знаят от американските филми, е, че те наричат нашия милиард милиард.
Освен това има два вида везни - дълги и къси. У нас се използва къса гама. В тази скала на всяка стъпка богомолката се увеличава с три порядъка, т.е. умножете по хиляда - хиляда 10 3, милион 10 6, милиард / милиард 10 9, трилион (10 12). В дългосрочен мащаб след милиард 10 9 идва милиард 10 12, а в бъдеще мантисата вече се увеличава с шест порядъка, а следващото число, което се нарича трилион, вече означава 10 18.
Но обратно към родния ни мащаб. Искате ли да знаете какво идва след един трилион? Моля те:
10 3 хиляди
106 милиона
10 9 милиарда
10 12 трилиона
10 15 квадрилиона
10 18 квинтилиона
10 21 секстилион
10 24 септилиона
10 27 октилиона
10 30 нонилиона
10 33 децилиона
10 36 ундецилион
10 39 додецилиона
10 42 тредецилион
10 45 кватурдецилиона
10 48 квиндецилиона
10 51 седецилион
10 54 септември децилиона
10 57 дуодевигинтилион
10 60 недевигинтилиона
10 63 вигинтилион
10 66 анвигинтилион
10 69 дуовигинтилион
10 72 тревигинтилиона
10 75 кваторвигинтилиона
10 78 квинвинтилиона
10 81 sexwigintillion
10 84 септември vigintillion
10 87 октовигинтилион
10 90 ноември vigintillion
10 93 тригинтилиона
10 96 антиригинтилион
На това число нашата къса скала не издържа и в бъдеще мантисата нараства прогресивно.
10 100 гугол
10 123 квадрагинтилиона
10 153 квинквагинтилиона
10 183 сексагинтилиона
10 213 септуагинтилиона
10 243 октогинтилиона
10 273 нонагинтилиона
10 303 центилиона
10 306 центунилиона
10 309 центдуолиона
10 312 центртрилиона
10 315 центаквадрилиона
10 402 centtretrigintillion
10 603 децентилиона
10 903 трецентилиона
10 1203 квадрингентилиона
10 1503 квингентилиона
10 1803 сесентилион
10 2103 септингентилиона
10 2403 октингентилиона
10 2703 нонгентилиона
10 3003 милиона
10 6003 дуомилиона
10 9003 тримилиона
10 3000003 miamimiliaillion
10 6000003 duomyamimiliaillion
10 10 100 googolplex
10 3×n+3 милиона
googol(от англ. googol) - число, в десетичната бройна система, представено от единица със 100 нули:
10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000
През 1938 г. американският математик Едуард Каснър (Edward Kasner, 1878-1955) се разхождал в парка с двамата си племенници и обсъждал с тях големи числа. По време на разговора говорихме за число със сто нули, което няма собствено име. Един от неговите племенници, деветгодишният Милтън Сирота, предложи да наречем този номер „googol“. През 1940 г. Едуард Каснер, заедно с Джеймс Нюман, написва научно-популярната книга „Математика и въображение“ („Нови имена в математиката“), където учи любителите на математиката за числото гугол.
Терминът "googol" няма сериозно теоретично и практическо значение. Каснер го предлага, за да илюстрира разликата между невъобразимо голямо число и безкрайност и за тази цел терминът понякога се използва в преподаването на математика.
Гуголплекс(от англ. googolplex) - число, представено от единица с гугол от нули. Подобно на googol, терминът googolplex е измислен от американския математик Едуард Каснер и неговия племенник Милтън Сирота.
Броят на гуголите е по-голям от броя на всички частици в известната ни част от Вселената, който варира от 1079 до 1081. превръщат части от Вселената в хартия и мастило или в компютърно дисково пространство.
Зилион(англ. zillion) е общо наименование за много големи числа.
Този термин няма строго математическо определение. През 1996 г. Конуей (на английски J. H. Conway) и Гай (на английски R. K. Guy) в книгата си англ. Книгата на числата дефинира милион на n-та степен като 10 3×n+3 за системата за именуване на числа в къса скала.
