Видео урок 2: Теорема за три перпендикуляра. Теория
Видео урок 3: Теорема за три перпендикуляра. Задача
Лекция: Перпендикулярност на права и равнина, признаци и свойства; перпендикулярни и наклонени; теорема за трите перпендикуляра
Перпендикулярност на права и равнинаНека си припомним какво е най-общо перпендикулярността на правите. Перпендикулярни линии са тези, които се пресичат под ъгъл от 90 градуса. В този случай ъгълът между тях може да бъде както в случай на пресичане в определена точка, така и в случай на пресичане. Ако някои линии се пресичат под прав ъгъл, тогава те също могат да се нарекат перпендикулярни линии, ако поради паралелна транслация линията се прехвърля в точка от втората линия.
определение:Ако правата е перпендикулярна на която и да е права, която принадлежи на равнина, тогава тя може да се счита за перпендикулярна на тази равнина.
Особеност:Ако има две перпендикулярни прави на някаква равнина и някоя трета права е перпендикулярна на всяка от тях, тогава тази трета права е перпендикулярна на равнината.
Имоти:
- Ако някои прави са перпендикулярни на една равнина, тогава те са взаимно успоредни една на друга.
- Ако има две успоредни равнини, както и някаква права, която е перпендикулярна на една от равнините, то тя е перпендикулярна и на втората.
- Може да се направи и обратното твърдение: ако дадена права е перпендикулярна на две различни равнини, тогава тези равнини задължително са успоредни.
косо
Ако някаква права свързва произволна точка, която не лежи на равнината, с която и да е точка от равнината, тогава такава права ще се нарича косо.
Моля, имайте предвид, че той е наклонен само ако ъгълът между него и равнината не е 90 градуса.
На фигурата AB е α, наклонена към равнината. В този случай точка B се нарича основа на наклона.
Ако начертаете сегмент от точка А към равнината, който ще образува ъгъл от 90 градуса с равнината, тогава този сегмент ще се нарича перпендикуляр. Перпендикуляр се нарича още най-малкото разстояние до равнината.
AC е перпендикуляр, прекаран от точка A към равнина α. Точката C се нарича основа на перпендикуляра.
Ако в този чертеж е начертан сегмент, който ще свързва основата на перпендикуляра (C) с основата на наклонената (B), тогава полученият сегмент ще се нарече проекция.
В резултат на прости конструкции получихме правоъгълен триъгълник. В този триъгълник ъгъл ABC се нарича ъгъл между наклонената и проекцията.
Теорема за три перпендикуляра
Конспект на урок по геометрия в 10 клас на тема "Перпендикулярност на права и равнина"
Цели на урока:
образователен
въвеждане на знак за перпендикулярност на права и равнина;
да се формират представи на учениците за перпендикулярността на права линия и равнина, техните свойства;
да формират способността на учениците да решават типични проблеми по темата, способността да доказват твърдения;
развиващи се
развиват независимост, когнитивна активност;
развиват способността да анализират, да правят изводи, да систематизират получената информация,
развиват логическо мислене;
развиват пространственото въображение.
образователен
възпитание на културата на речта на учениците, постоянство;
възпитайте у учениците интерес към предмета.
Тип урок:Урок за изучаване и първично консолидиране на знанията.
Форми на работа на студентите:предна анкета.
Оборудване:компютър, проектор, екран.
Литература:"Геометрия 10-11", Учебник. Атанасян Л.С. и т.н.
(2009 г., 255 стр.)
План на урока:
Организационен момент (1 минута);
Актуализиране на знанията (5 минути);
Учене на нов материал (15 минути);
Първично затвърдяване на изучения материал (20 минути);
Обобщаване (2 минути);
Домашна работа (2 минути).
По време на часовете.
Организационен момент (1 минута)
Поздрав към учениците. Проверка на готовността на учениците за урока: проверка на наличието на тетрадки, учебници. Проверка на отсъствията.
Актуализация на знанията (5 минути)
Учител. Коя права се нарича перпендикулярна на равнината?
Студент. Права, перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина, се нарича права, перпендикулярна на тази равнина.
Учител. Как звучи лемата за две успоредни прави, перпендикулярни на трета?
Студент. Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на трета права, то другата права също е перпендикулярна на тази права.
Учител. Теорема за перпендикулярността на две успоредни прави спрямо равнина.
Студент. Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на равнина, то другата права също е перпендикулярна на тази равнина.
Учител. Какво е обратното на тази теорема?
Студент. Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, тогава те са успоредни.
Проверка на домашните
Домашните се проверяват, ако учениците се затрудняват при решаването им.
Изучаване на нов материал (15 минути)
Учител. Вие и аз знаем, че ако една права е перпендикулярна на равнина, тогава тя ще бъде перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина, но в дефиницията перпендикулярността на правата към равнината е дадена като факт. На практика често се налага да се определи дали правата ще бъде перпендикулярна на равнината или не. Такива примери могат да бъдат дадени от живота: по време на строителството на сгради пилотите се забиват перпендикулярно на повърхността на земята, в противен случай конструкцията може да се срути. Определението за права линия, перпендикулярна на равнината, не може да се използва в този случай. Защо? Колко прави могат да бъдат начертани в една равнина?
Студент. Има безкрайно много прави линии, които могат да бъдат начертани в една равнина.
Учител. Правилно. И е невъзможно да се провери перпендикулярността на права линия към всяка отделна равнина, тъй като това ще отнеме безкрайно дълго време. За да разберем дали правата е перпендикулярна на равнина, въвеждаме знака за перпендикулярност на права и равнина. Запишете в бележника си. Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.
Вписване в тетрадка. Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тя е перпендикулярна на тази равнина.
Учител. По този начин не е необходимо да проверяваме перпендикулярността на една права за всяка права равнина, достатъчно е да проверим перпендикулярността само на две прави от тази равнина.
Учител. Нека докажем този знак.
дадени: стри р- прав, стр ∩ р = О, а⊥ стр, а⊥ р, стр ϵ α, р ϵ α.
Докажи: а⊥ α.
Учител. И все пак, за доказателство използваме определението за права линия, перпендикулярна на равнината, как звучи?
Студент. Ако една права е перпендикулярна на равнина, тогава тя е перпендикулярна на всяка права, лежаща в тази равнина.
Учител. Правилно. Начертайте произволна права m в равнината α. Начертайте права l ║ m през точка O. На правата a отбележете точки A и B така, че точката O да е средата на отсечката AB. Нека начертаем правата z по такъв начин, че да пресича линиите p, q, l, точките на пресичане на тези линии ще бъдат означени съответно с P, Q, L. Свържете краищата на отсечката AB с точките P, Q и L.
Учител. Какво можем да кажем за триъгълниците ∆APQ и ∆BPQ?
Студент. Тези триъгълници ще бъдат равни (по 3-ти критерий за равенство на триъгълниците).
Учител. Защо?
Студент. защото правите p и q са перпендикулярни ъглополовящи, тогава AP = BP, AQ = BQ и страната PQ е обща.
Учител. Правилно. Какво можем да кажем за триъгълниците ∆APL и ∆BPL ?
Студент. Тези триъгълници също ще бъдат равни (според 1 знак за равенство на триъгълниците).
Учител. Защо?
Студент. AP = BP, PL- обща страна APL = BPL(от равенството ∆ APQи ∆ BPQ)
Учител. Правилно. Така че AL = BL. И така, какво ще бъде ∆ALB?
Студент. Така че ∆ALB ще бъде равнобедрен.
Учител. LO е медианата в ∆ALB, така че какво ще бъде в този триъгълник?
Студент. Така че LO също ще бъде височината.
Учител. Оттук и правата линиялще бъде перпендикулярна на праватаа. И тъй като правата линияле всяка права, принадлежаща на равнината α, тогава по дефиниция праватаа⊥ а. Q.E.D.
Доказано с презентация
Учител. Но какво ще стане, ако правата a не пресича точката O, а остане перпендикулярна на правите p и q? Ако правата a пресича всяка друга точка от дадената равнина?
Студент. Има възможност за изграждане на линия 1 , която ще бъде успоредна на правата a, ще пресича точката O и чрез лемата за две успоредни прави, перпендикулярни на третата, можем да докажем, чеа 1 ⊥ стр, а 1 ⊥ р.
Учител. Правилно.
Първично консолидиране на изучения материал (20 минути)
Учител. За да затвърдим изучения материал, ще решим числото 126. Прочетете задачата.
Студент. Правата MB е перпендикулярна на страните AB и BC на триъгълника ABC. Определете вида на триъгълника MBD, където D е произволна точка от правата AC.
Снимка.
Дадено е: ∆ ABC, MB⊥ BA, MB⊥ пр.н.е, д ϵ AC.
Намерете: ∆ MBD.
Решение.
Учител. Можете ли да начертаете равнина през върховете на триъгълник?
Студент. Да, можеш. Равнината може да бъде начертана в три точки.
Учител. Как ще бъдат разположени правите BA и CB спрямо тази равнина?
Студент. Тези прави ще лежат в тази равнина.
Учител. Оказва се, че имаме равнина и в нея има две пресичащи се прави. Как се отнася линията MW към тези линии?
Студент. Директен MV⊥ VA, MV ⊥ BC.
Писане на дъската и в тетрадките. защото MV⊥ VA, MV ⊥ VS
Учител. Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава правата ще принадлежи на тази равнина?
Студент. Правата MB ще бъде перпендикулярна на равнината ABC.
⊥ ABC.
Учител. Точка D е произволна точка от отсечката AC, така че как ще се отнася правата BD към равнината ABC?
Студент. Така че BD принадлежи на равнината ABC.
Писане на дъската и в тетрадките. защото BD ϵ ABC
Учител. Какви ще бъдат правите MB и BD една спрямо друга?
Студент. Тези линии ще бъдат перпендикулярни по дефиницията на линия, перпендикулярна на равнината.
Писане на дъската и в тетрадките. ↔ MV⊥ BD
Учител. Ако MB е перпендикулярен на BD, тогава какъв ще бъде триъгълникът MBD?
Студент. Триъгълникът MBD ще бъде под прав ъгъл.
Писане на дъската и в тетрадките. ↔ ∆MBD – правоъгълен.
Учител. Правилно. Да решим номер 127. Прочетете задачата.
Студент. В триъгълникABCсбор от ъгли Аи бе равен на 90°. НаправоBDперпендикулярна на равнинатаABC. Докажи това CD⊥ AC.
Ученикът отива до черната дъска. Рисува рисунка.
Пишете на дъската и в тетрадка.
Дадено е: ∆ ABC, А + б= 90°, BD⊥ ABC.
Докажи: CD⊥ AC.
Доказателство:
Учител. Каква е сумата от ъглите на триъгълник?
Студент. Сборът от ъглите в триъгълника е 180°.
Учител. Колко е ъгъл C в триъгълник ABC?
Студент. Ъгъл C в триъгълник ABC ще бъде 90°.
Писане на дъската и в тетрадките. C = 180° - а- б= 90°
Учител. Ако ъгъл C е 90°, как лежат една спрямо друга правите AC и BC?
Студент. Означава AC⊥ Слънце.
Писане на дъската и в тетрадките. ↔ AC⊥ Слънце
Учител. Правата BD е перпендикулярна на равнината ABC. Какво следва от това?
Студент. Така че BD е перпендикулярна на всяка права от ABC.
BD⊥ ABC ↔ BDперпендикулярно на всяка праваABC(по дефиниция)
Учител. В съответствие с това, как ще бъдат свързани директните BD и AC?
Студент. Така че тези прави са перпендикулярни.
BD⊥ AC
Учител. AC е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнината DBC, но AC не минава през пресечната точка. Как да го оправя?
Студент. Начертайте права през точка B и успоредник AC. Тъй като AC е перпендикулярна на BC и BD, тогава a също ще бъде перпендикулярна на BC и BD според лемата.
Писане на дъската и в тетрадките. Начертайте права през точка B a ║AC ↔ a⊥ пр.н.е, и ⊥ BD
Учител. Ако правата a е перпендикулярна на BC и BD, тогава какво може да се каже за взаимното разположение на правата a и равнината BDC?
Студент. Това означава, че правата a ще бъде перпендикулярна на равнината BDC, а оттам правата AC ще бъде перпендикулярна на BDC.
Писане на дъската и в тетрадките. ↔ а⊥ bdc↔ AC ⊥ bdc.
Учител. Ако AC е перпендикулярна на BDC, тогава как ще бъдат разположени правите AC и DC една спрямо друга?
Студент. AC и DC ще бъдат перпендикулярни по дефиницията на права, перпендикулярна на равнината.
Писане на дъската и в тетрадките. защото AC⊥ bdc↔ AC ⊥ DC
Учител. Много добре. Нека решим номер 129. Прочетете заданието.
Студент. Направосутринтаперпендикулярна на равнината на квадратаABCD, чиито диагонали се пресичат в точка O. Докажете, че: а) праватаBDперпендикулярна на равнинатаAMO; б)МО⊥ BD.
Ученик идва до дъската. Рисува рисунка.
Пишете на дъската и в тетрадка.
дадени:ABCD- квадрат,сутринта⊥ ABCD, AC ∩ BD = О
Докажи:BD⊥ АМО, МО⊥ BD
Доказателство:
Учител. Трябва да докажем, чеBD⊥ AMO. Какви условия трябва да бъдат изпълнени, за да се случи това?
Студент. Необходимо е прекият BD е перпендикулярна на поне две пресичащи се прави от равнината AMO.
Учител. Условието казва това BD перпендикулярно на две пресичащи се прави AMO?
Студент. Не.
Учител. Но ние знаем товасутринта перпендикулярен ABCD . Какъв извод може да се направи от това?
Студент. Означава каквосутринта перпендикулярна на всяка права от тази равнина, т.е.сутринта перпендикуляренБ.Д.
сутринта⊥ ABCD ↔ сутринта⊥ BD(по дефиниция).
Учител. Една линия е перпендикулярна BD има. Обърнете внимание на квадрата, как ще бъдат разположени линиите една спрямо друга AC и BD?
Студент. AC ще бъде перпендикулярно BD по свойството на диагоналите на квадрат.
Пишете на дъската и в тетрадка. защотоABCD- тогава квадратAC⊥ BD(по свойството на диагоналите на квадрат)
Учител. Намерихме две пресичащи се прави, лежащи в една равнина AMO перпендикулярна на правата BD . Какво следва от това?
Студент. Означава какво BD перпендикулярна на равнината AMO.
Писане на дъската и в тетрадките. защотоAC⊥ BDисутринта⊥ BD ↔ BD⊥ AMO(по знак)
Учител. Коя права се нарича права, перпендикулярна на равнината?
Студент. Правата се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права в тази равнина.
Учител. Как са свързани линиите една с друга? BD и OM?
Студент. Означава BD перпендикуляренОМ . Q.E.D.
Писане на дъската и в тетрадките. ↔BD⊥ МО(по дефиниция). Q.E.D.
Дебрифинг (2 минути)
Учител. Днес изучавахме знака за перпендикулярност на права и равнина. как звучи
Студент. Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави, лежащи в равнина, тогава тази права е перпендикулярна на тази равнина.
Учител. Правилно. Научихме се да прилагаме тази функция при решаване на проблеми. Който отговаряше на дъската и помагаше от място, браво.
Домашна работа (2 минути)
Учител. Параграф 1, параграфи 15-17, научете: лема, определение и всички теореми. № 130, 131.
Две прави в пространството се наричат перпендикулярни, ако ъгълът между тях е 90 o .
ориз. 37 |
Перпендикулярните линии могат да се пресичат и да са изкривени. Лема.Ако една от двете успоредни прави е перпендикулярна на трета права, то другата права също е перпендикулярна на тази права. Определение.Една права се нарича перпендикулярна на равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права, лежаща в равнината. Казваме също, че равнината е перпендикулярна на правата a. |
ориз. 38 |
Ако правата a е перпендикулярна на равнината, тогава тя очевидно пресича тази равнина. Наистина, ако правата a не пресича равнината, тогава тя ще лежи в тази равнина или ще бъде успоредна на нея. Но и в двата случая ще има прави в равнината, които не са перпендикулярни на правата a, например прави, успоредни на нея, което е невъзможно. Така че правата a пресича равнината. |
Връзка между успоредни прави и тяхната перпендикулярност към равнината.
Знак за перпендикулярност на права и равнина.
Забележки.
- През всяка точка от пространството минава равнина, перпендикулярна на дадена права, и освен това единствена.
- През всяка точка от пространството минава права линия, перпендикулярна на дадена равнина, при това само една.
- Ако две равнини са перпендикулярни на права, тогава те са успоредни.
Задачи и тестове по темата „Тема 5. „Перпендикулярност на права и равнина“.
- Перпендикулярност на права и равнина
- Двустенен ъгъл. Перпендикулярност на равнината - Перпендикулярност на прави и равнини 10 клас
Уроци: 1 Задачи: 10 Теста: 1
- Перпендикулярни и наклонени. Ъгъл между права и равнина - Перпендикулярност на прави и равнини 10 клас
Уроци: 2 Задачи: 10 Тестове: 1
- Успоредност на прави, права и равнина - Успоредност на прави и равнини 10 клас
Уроци: 1 Задачи: 9 Тестове: 1
- Перпендикулярни линии - Основни геометрични сведения 7 клас
Уроци: 1 Задачи: 17 Тестове: 1
Материалът на темата обобщава и систематизира известната ви от планиметрията информация за перпендикулярността на правите. Изучаването на теореми за връзката между успоредността и перпендикулярността на прави и равнини в пространството, както и на материала за перпендикуляра и наклона, трябва да се съчетава със системно повтаряне на съответния материал от планиметрията.
Решенията на почти всички изчислителни задачи се свеждат до прилагането на Питагоровата теорема и нейните последствия. В много задачи възможността за прилагане на Питагоровата теорема или нейните следствия е оправдана от теоремата за трите перпендикуляра или от свойствата на успоредността и перпендикулярността на равнините.
ГЕОМЕТРИЯ
Урочни планове за 10 клас
Тема. Свойства на права и равнина, перпендикулярни една на друга
Целта на урока: формиране на знания на учениците за свойствата на перпендикулярни прави и равнини.
Оборудване: стереометричен набор, диаграма „Свойства на права линия и равнина, перпендикулярни една на друга“ (с. 116).
По време на часовете
I. Проверка на домашните
1. Колективно обсъждане на решението на задача № 10.
2. Математическа диктовка.
Дадено е изображение на куб: вариант 1 - фиг. 151, вариант 2 - фиг. 152.
Използвайки изображението, запишете:
1) равнина, която минава през точката M на правата AM и е перпендикулярна на нея; (2 точки)
2) права, която е перпендикулярна на равнината ABC и минава през точка D; (2 точки)
3) права, която е перпендикулярна на равнината ABC и минава през точка N; (2 точки)
4) равнина, която е перпендикулярна на правата BD; (2 точки)
5) прави линии, перпендикулярни на равнината на AMC; (2 точки)
6) равнини, които са перпендикулярни на правата DC. (2 точки)
Вариант 1. 1) (MNK); 2) КД; 3) BN; 4) (ASM); 5) BD и KN; 6) (ADK) и (BCL).
Вариант 2. 1) (MNK); 2) DL; 3) CN; 4) (ASM); 5) BD и KL; 6) (BCN) и (ADM).
II. Възприемане и осъзнаване на нов материал
Свойства на права и равнина, перпендикулярни една на друга
Теорема 1.
Ако една равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата.
Привеждане
Нека a1 || a2 и a1α. Нека докажем, че αa2 (фиг. 153). Точките A1 и A2 са пресечните точки на a1 и a2 с равнината α.
Начертайте произволна права x2 през точката A2 в равнината α и начертайте права x1 през точката A1 така, че x1 || x2. Тъй като a1 || a2, x1 || x2 и a1x1, тогава по теорема 3.1 a2x2. Тъй като x2 е избрано произволно в равнината α, то a2α.
Теорема 2.
Ако две прави са перпендикулярни на една и съща равнина, то линиите са успоредни.
Привеждане
Нека aα, bα . Нека докажем, че a || b (фиг. 154). Да приемем, че ab. След това през точката C на правата b прекарваме b 1 успоредно на a. И тъй като α , то b1α по доказаната теорема и по условие bα . Ако точките A и B са точките на пресичане на линиите b 1 и b с равнината α, тогава следва от предположението, че в триъгълника A \u003d B \u003d 90 °, което не може да бъде. Следователно и || b.
Разрешаване на проблем
1. Определете вида на четириъгълника AA 1B 1B, ако:
а) AA1α; AA1 || BB1; Аа, Ва; AA 1 ≠ BB1 (фиг. 155);
b) AA1α; BB1α; α, Вα (фиг. 156);
в) α; α; AA1α; BB1α; AA1 = BB1 (фиг. 156).
2. Задача номер 12 от учебника (с. 35).
3. Задача номер 13 от учебника (с. 35).
4. Задача номер 16 от учебника (с. 35).
Теорема 3.
Ако правата е перпендикулярна на една от двете успоредни равнини, тогава тя е перпендикулярна и на другата.
Привеждане
Нека α || β, aα. Нека докажем, че α β . (фиг. 157). Нека точките A и B са точките на пресичане на правата a с равнините α и β. В равнината β начертаваме произволна права b през точката B. През правата b и точката A прекарваме равнината γ , която пресича α по правата c и с || b. И тъй като α, тогава ac (по дефиниция, права линия, перпендикулярна на равнината). Така че ac, b || c и a, b, c лежат в γ, тогава ab. Като се има предвид, че b е произволна права от равнината β, имаме aβ.
Теорема 4.
Ако две равнини са перпендикулярни на една и съща права, тогава те са успоредни.
Привеждане
Нека α a β a, доказваме, че α || β (фиг. 158). Нека точките A и B са точките на пресичане на правата a с равнините α и β. Да предположим, че α β . Вземете точка C на пресечната линия на равнините α и β. Ca, защото в противен случай две различни равнини α и β биха минавали през точката C, перпендикулярна на правата a, което е невъзможно. Нека начертаем равнината γ през точката C и правата a, която пресича α и β съответно по правите AC и BC. И тъй като α , тогава aAC, подобно на aBC. Следователно две различни прави AC и BC минават през точката C в равнината α и са перпендикулярни на правата a, което е невъзможно. Следователно, α || β.
Разрешаване на проблем
1. Нека ABCD е правоъгълник, BSAB, AMAB (фиг. 159). Как се намират самолетите AMD и BSC?
2. B1β; AA1α, AA1β; B B1 || AA1; AA1 = 12 cm, A1B = 13 cm (фиг. 160). Намерете AB.
Определение. Права, пресичаща равнина, се нарича перпендикулярна на тази равнина, ако е перпендикулярна на която и да е права, която лежи в дадената равнина и минава през точката на пресичане.знакперпендикулярност на права и равнина.Ако една права е перпендикулярна на две пресичащи се прави на една равнина, то тя е перпендикулярна на дадената равнина.
Доказателство. Позволявам а- права линия, перпендикулярна на прави линии bи спринадлежащ на самолета а. А е пресечната точка на линиите. В самолета аНачертайте линия през точка А д, което не съвпада с правите bи с. Сега плоско анека начертаем права линия к, която пресича линиите ди си не минава през точка А. Пресечни точки, съответно D, B и C. Поставете на права линия ав различни посоки от точка А равни сегменти AA 1 и AA 2. Триъгълник A 1 CA 2 равнобедрен, т.к височината на AC също е медианата (функция 1), т.е. A 1 C \u003d CA 2. По същия начин в триъгълник A 1 BA 2 страните A 1 B и BA 2 са равни. Следователно триъгълниците A 1 BC и A 2 BC са равни по трети критерий, следователно ъглите A 1 BD и A 2 BD са равни. Това означава, че триъгълниците A 1 BD и A 2 BD също са равни по първия критерий. Следователно A 1 D и A 2 D. Следователно триъгълникът A 1 DA 2 е равнобедрен по дефиниция. В равнобедрен триъгълник A 1 D A 2 д A е медианата (по конструкция), а оттам и височината, тоест ъгълът A 1 AD е права линия, което означава права линия аперпендикулярна на правата д.По този начин може да се докаже, че линията аперпендикулярна на всяка права, минаваща през точка А и принадлежаща на равнината а. От определението следва, че линията аперпендикулярна на равнината а.
Сградаправа, перпендикулярна на дадена равнина от точка, взета извън тази равнина.
Позволявам а- равнина, A - точка, от която трябва да се спусне перпендикулярът. Начертайте права линия в равнината а. През точка А и права аначертайте равнина b(права и точка определят равнина и то само една). В самолета bпуснете от точка А до права линия аперпендикуляр AB. От точка Б в равнината авъзстановете перпендикуляра и означете линията, върху която този перпендикуляр лежи отвъд с. През отсечка AB и права линия сначертайте равнина ж(две пресичащи се прави определят равнина и само една). В самолета жпуснете от точка А до права линия сперпендикуляр AC. Нека докажем, че отсечката AC е перпендикулярна на равнината b. Доказателство. Направо аперпендикулярни на прави линии си AB (по конструкция), което означава, че е перпендикулярна на самата равнина ж, в която лежат тези две пресичащи се прави (по критерия за перпендикулярност на правата и равнината). И тъй като е перпендикулярна на тази равнина, тогава тя също е перпендикулярна на всяка права в тази равнина, което означава права аперпендикулярна на AC. Правата AC е перпендикулярна на две прави, лежащи в равнината α: с(по конструкция) и а(според доказаното), това означава, че е перпендикулярна на равнината α (по критерия за перпендикулярност на правата и равнината)
Теорема 1
. Ако две пресичащи се прави са успоредни съответно на две перпендикулярни прави, тогава те също са перпендикулярни. 
Доказателство. Позволявам аи b- перпендикулярни линии а 1 и b 1 - пресичащи се прави, успоредни на тях. Нека докажем, че линиите а 1 и b 1 са перпендикулярни.
Ако прав а, b, а 1 и b 1 лежат в една равнина, то те притежават посоченото в теоремата свойство, както е известно от планиметрията.
Нека сега приемем, че нашите прави не лежат в една и съща равнина. След това линиите аи bлежат в някаква равнина α , а правите а 1 и b 1 - в някаква равнина β . Въз основа на успоредността на равнините равнините α и β са успоредни. Нека C е пресечната точка на правите аи b, а С 1 - пресечни точки на прави а 1 и bедин . Начертайте в равнината на успоредни прави аи а аи а 1 в точки А и А 1 . В равнината на успоредните прави bи b 1 права линия, успоредна на права линия SS 1 . Тя ще премине линиите bи b 1 в точки B и B 1 .
Четириъгълниците CAA 1 C 1 и CBB 1 C 1 са успоредници, тъй като срещуположните им страни са успоредни. Четириъгълникът ABB 1 A 1 също е успоредник. Страните му AA 1 и BB 1 са успоредни, тъй като всяка от тях е успоредна на правата CC 1. Така че четириъгълникът лежи в равнина, минаваща през успоредните прави AA 1 и BB 1. И пресича успоредни равнини α и β по успоредни прави AB и A 1 B 1.
Тъй като срещуположните страни на успоредник са равни, тогава AB=A 1 B 1 , AC=A 1 C 1 , BC=B 1 C 1 . По третия знак за равенство триъгълниците ABC и A 1 B 1 C 1 са равни. И така, ъгълът A 1 C 1 B 1, равен на ъгъла DIA, е прав, т.е. прав а 1 и b 1 са перпендикулярни. ч.т.д.
Имотиперпендикулярна на правата и равнината.
Теорема 2
. Ако една равнина е перпендикулярна на една от двете успоредни прави, тогава тя е перпендикулярна и на другата. 
Доказателство. Позволявам а 1 и а 2 - две успоредни прави и α - равнина, перпендикулярна на правата аедин . Нека докажем, че тази равнина е перпендикулярна на правата а 2 .
Начертайте през точка А 2 пресечни точки на линията а 2 с равнината α произволна права с 2 в равнината α. Нека начертаем в равнината α през точката A 1 пресечната точка на правата а 1 с равнина α права линия с 1 успоредна на правата с 2. Тъй като правата линия а 1 е перпендикулярна на равнината α, след това правите а 1 и с 1 са перпендикулярни. И по теорема 1, пресичащите се прави, успоредни на тях а 2 и с 2 също са перпендикулярни. По този начин директният а 2 е перпендикулярна на всяка права с 2 в равнината α. А това означава, че директният а 2 е перпендикулярна на равнината α . Теоремата е доказана.
Теорема 3
. Две прави, перпендикулярни на една и съща равнина, са успоредни една на друга. 
Имаме равнина α и две прави, перпендикулярни на нея аи b. Нека докажем това а || b.
Начертайте права линия през точките на пресичане на линиите на равнината с. Според знака, който получаваме а ^
° Си b ^
° С. Чрез прави линии аи bнека начертаем равнина (две успоредни прави определят равнина и освен това само една). В тази равнина имаме две успоредни прави аи bи секанс с. Ако сборът на едностранните вътрешни ъгли е 180°, тогава правите са успоредни. Имаме точно такъв случай - два прави ъгъла. Ето защо а || b.
