Multiplicación, división y reducción de fracciones algebraicas. Lección "Multiplicación y división de fracciones algebraicas. Elevación de una fracción algebraica a una potencia"

Clase: 8a Tema:Álgebra

Tema de la lección: Multiplicación y división fracciones algebraicas. Elevar una fracción algebraica a una potencia.

Objetivo: recordar las reglas para multiplicar y dividir fracciones; explicar las reglas para la multiplicación y división de fracciones algebraicas; aprender a realizar multiplicaciones y divisiones de fracciones algebraicas; para formar la capacidad de realizar acciones con fracciones algebraicas.

Formulario de lección: lección aprendiendo material nuevo.

Método de enseñanza: problemático, con una búsqueda independiente de una solución.

Equipo: Computadora, proyector.

durante las clases

La lección se lleva a cabo mediante una presentación por computadora.

yo Organización de lecciones.

yo Actualizar conocimiento básico para prepararse para el estudio de un nuevo tema.

Oralmente:

(Las respuestas se muestran usando una computadora.)

1. Multiplicar:

2. Reducir fracción:

3. Multiplicar fracciones:

¿Cómo se llaman estos números? (Números recíprocos)

Hallar el recíproco de un número

¿Qué dos números se llaman recíprocos? (Dos números se llaman recíprocos si su producto es 1.)

Encuentra el recíproco:

Dividir fracciones:

Pronunciamos las reglas para multiplicar y dividir fracciones ordinarias.

ΙΙΙ. Nuevo tema

Refiriéndose al cartel, la maestra dice: a B C D- en este caso números. Y si estas son expresiones algebraicas, ¿cómo se llaman esas fracciones? (Fracciones algebraicas)

Las reglas para su multiplicación y división siguen siendo las mismas.

Ejecutar acciones:

El primer y segundo ejemplo solos, seguidos de que los estudiantes escriban la solución en la pizarra. El profesor muestra la solución del tercer ejemplo en la pizarra.

ΙV. Anclaje

1) Trabajar en el libro de problemas: No. 5.4 (a, c), No. 5.7 (a, c), No. 5.12 (a, c)

2) Trabajar en parejas en tarjetas:

(Las decisiones y las respuestas se reflejan a través del proyector).

V. Resumen de la lección

No. 5.16 (a, c) y 5.19 (a, c) - si queda tiempo

VI. Tareas para el hogar

nº 5.8; nº 5.10; 5.13(a, b).

En este artículo, continuamos nuestro estudio de las operaciones básicas que se pueden realizar con fracciones algebraicas. Aquí consideraremos la multiplicación y la división: primero derivamos las reglas correctas, y luego ilustrarlos con soluciones de problemas.

Cómo dividir y multiplicar fracciones algebraicas correctamente

Para realizar la multiplicación de fracciones algebraicas, o para dividir una fracción por otra, necesitamos usar las mismas reglas que para las fracciones ordinarias. Echemos un vistazo a su redacción.

Cuando necesitamos multiplicar uno fracción común por otro, realizamos por separado la multiplicación de numeradores y denominadores separados, tras lo cual anotamos la fracción final, poniendo en su lugar los productos correspondientes. Un ejemplo de tal cálculo:

2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21

Y cuando necesitamos dividir fracciones ordinarias, lo hacemos multiplicando por el recíproco del divisor, por ejemplo:

2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21

La multiplicación y división de fracciones algebraicas sigue los mismos principios. Formulemos la regla:

Definición 1

Para multiplicar dos o más fracciones algebraicas, necesitas multiplicar los numeradores y los denominadores por separado. El resultado será una fracción, cuyo numerador será el producto de los numeradores y el denominador será el producto de los denominadores.

En forma literal, la regla se puede escribir como a b · c d = a · c b · d. Aquí a, b, c y d serán ciertos polinomios, y b y d no puede ser nulo.

Definición 2

Para dividir una fracción algebraica por otra, debes multiplicar la primera fracción por el recíproco de la segunda.

Esta regla también se puede escribir como a b: c d = a b d c = a d b c . Letras a, b, c y d aquí denota polinomios, de los cuales a , b , c y d no puede ser nulo.

Detengámonos por separado en qué es una fracción algebraica inversa. Es una fracción que al ser multiplicada por la original da como resultado una unidad. Es decir, tales fracciones serán similares a números mutuamente recíprocos. De lo contrario, podemos decir que la fracción algebraica inversa consta de los mismos valores que la original, pero el numerador y el denominador están invertidos. Entonces, en relación a la fracción a b + 1 a 3, la fracción a 3 a b + 1 será inversa.

Resolución de problemas de multiplicación y división de fracciones algebraicas

En este párrafo, veremos cómo aplicar correctamente las reglas anteriores en la práctica. Comencemos con un ejemplo simple e ilustrativo.

Ejemplo 1

Condición: multiplica la fracción 1 x + y por 3 x y x 2 + 5, y luego divide una fracción por otra.

Solución

Hagamos primero la multiplicación. De acuerdo con la regla, debe multiplicar por separado los numeradores y los denominadores:

1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)

Hemos recibido un nuevo polinomio, que debe llevarse a la forma estándar. Terminamos los cálculos:

1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y

Ahora veamos cómo dividir correctamente una fracción entre otra. De acuerdo con la regla, necesitamos reemplazar esta acción multiplicando por el recíproco x 2 + 5 3 x y:

1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y

Traemos la fracción resultante a la forma estándar:

1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2

Responder: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y ; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2 .

Muy a menudo, en el proceso de dividir y multiplicar fracciones ordinarias, se obtienen resultados que pueden reducirse, por ejemplo, 2 9 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12. Cuando realizamos estas operaciones en fracciones algebraicas, también podemos obtener resultados reducibles. Para hacer esto, es útil descomponer primero el numerador y el denominador del polinomio original en factores separados. Si es necesario, vuelve a leer el artículo sobre cómo hacerlo correctamente. Veamos un ejemplo de un problema en el que será necesario realizar la reducción de fracciones.

Ejemplo 2

Condición: multiplica las fracciones x 2 + 2 x + 1 18 x 3 y 6 x x 2 - 1.

Solución

Antes de calcular el producto, descomponemos el numerador de la primera fracción inicial y el denominador de la segunda en factores separados. Para hacer esto, necesitamos fórmulas para la multiplicación abreviada. Calculamos:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1

Tenemos una fracción que se puede reducir:

x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)

Escribimos sobre cómo se hace esto en un artículo sobre la reducción de fracciones algebraicas.

Multiplicando el monomio y el polinomio en el denominador, obtenemos el resultado que necesitamos:

x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Aquí hay una transcripción de la solución completa sin explicación:

x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2

Responder: X 2 + 2 X + 1 18 X 3 6 X X 2 - 1 = X + 1 3 X 3 - 3 X 2 .

En algunos casos, es conveniente transformar las fracciones originales antes de multiplicar o dividir para que los cálculos posteriores sean más rápidos y sencillos.

Ejemplo 3

Condición: divide 2 1 7 x - 1 entre 12 x 7 - x .

Solución: Empecemos por simplificar la fracción algebraica 2 1 7 · x - 1 para deshacernos del coeficiente fraccionario. Para hacer esto, multiplicamos ambas partes de la fracción por siete (esta acción es posible debido a la propiedad principal de la fracción algebraica). Como resultado obtendremos lo siguiente:

2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7

Vemos que el denominador de la fracción 12 x 7 - x, por la que debemos dividir la primera fracción, y el denominador de la fracción resultante son expresiones opuestas entre sí. Al cambiar los signos del numerador y el denominador 12 x 7 - x, obtenemos 12 x 7 - x \u003d - 12 x x - 7.

Después de todas las transformaciones, finalmente podemos pasar directamente a la división de fracciones algebraicas:

2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x

Responder: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .

Cómo multiplicar o dividir una fracción algebraica por un polinomio

Para realizar tal acción, podemos usar las mismas reglas que dimos anteriormente. Primero necesitas representar el polinomio como una fracción algebraica con una unidad en el denominador. Esta acción es similar a la transformación número natural en una fracción ordinaria. Por ejemplo, uno puede reemplazar el polinomio x 2 + x - 4 sobre el x 2 + x - 4 1. Las expresiones resultantes serán idénticamente iguales.

Ejemplo 4

Condición: dividir la fracción algebraica por el polinomio x + 4 5 x x y: x 2 - 16 .

Solución

x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y

Responder: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y .

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Tema: Multiplicación y división de fracciones algebraicas

La educación es lo que queda cuando ya se ha olvidado todo lo aprendido.

Laue

Metas:

Educativo:

arreglar ZUN en el tema

llevar a cabo el control actual primario del conocimiento

trabajar en los huecos

Desarrollando:

contribuir al desarrollo de la competencia comunicativa, es decir, la capacidad de trabajar eficazmente con otros.

promover el desarrollo de la competencia cooperativa, es decir, capacidad para trabajar en pareja.

contribuir al desarrollo de la competencia para resolver problemas, es decir, la capacidad de comprender la inevitabilidad de las dificultades en el curso de cualquier actividad.

Educativo:

inculcar la capacidad de evaluar adecuadamente el trabajo realizado por un amigo;

cuando se trabaja en parejas, para cultivar las cualidades de asistencia mutua, apoyo.

Metódico:

creación de condiciones para la manifestación de la individualidad, actividad cognitiva de los estudiantes;

mostrar la metodología de la lección con el diseño de los resultados Actividades de aprendizaje y métodos de su investigación sobre la base del enfoque basado en competencias.

Equipo: pizarra, tizas de colores. Tabla "Multiplicación y división de fracciones algebraicas"; tarjetas para trabajo individual, tarjetas de memoria. Asignación de minutos gratis.

durante las clases

organizando el tiempo

El plan de la lección está escrito en la pizarra:

entrenamiento oral.

Trabajo individual.

Resolución de problemas.

Trabajo en pareja.

Resumen de la lección.

Tareas para el hogar.

Maestro: En los viejos tiempos en Rusia se creía que si una persona estaba versada en matemáticas, esto significaba el grado más alto aprendizaje. Y la capacidad de ver y oír correctamente es el primer paso hacia la sabiduría. Quiero que todos los estudiantes de su clase de hoy demuestren lo sabios que son y lo bien versados ​​que son las personas en álgebra de séptimo grado.

Entonces, el tema de la lección es "Multiplicación y división de fracciones algebraicas". En la última lección, comenzó a estudiar este tema y discutimos por qué lo estamos estudiando. Recordemos dónde será útil en algunas lecciones.

Estudiantes: Para acciones conjuntas con fracciones algebraicas, para la resolución de ecuaciones y, por tanto, de problemas.

Maestro: Incluso en los viejos tiempos en Rusia decían que la multiplicación es un tormento y la división es un problema. Cualquiera que pudiera multiplicar y dividir con rapidez y precisión era considerado un gran matemático.

¿Qué objetivos te propondrás?

Estudiantes: Continúe estudiando el tema, aprenda a multiplicar y dividir de forma rápida y precisa.

Maestro: Para lograr nuestros objetivos, nosotros (abre el plan escrito en la pizarra, lo pronuncia)

1. Calentamiento oral: (durante este tiempo 3 - 4 personas resuelven el simulador de reducción de fracciones en parejas) factorizar rellenando los huecos

1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...

reducir la fracción

Fracciones, fracciones, fracciones vencen, córtenlas, no perdonen.

encontrar el error cometido al multiplicar y dividir fracciones algebraicas

Maestro: ¿Dónde está el error? ¿Por qué se comete el error? ¿Qué regla no conocía el estudiante? ¿Qué sabías? ¿Cómo hacerlo bien?

2. Trabajar en un cuaderno, № del libro de texto 488 (1) Análisis, solución, verificación.

Maestro: Y ahora tendrás la oportunidad de demostrar tus conocimientos al realizar el examen, y para inspirarte a trabajar, leeré la rima "Para que el maestro escriba" 5 "en tu diario, logra multiplicar el numerador por el numerador en un instante, y para que el profesor quede complacido contigo, multiplicarás el primer denominador por el segundo"

Autocontrol, control mutuo. Según los criterios (fijados en la pizarra) B-1 (321), B-2 (132) según los códigos correctos, evaluación por parejas. resultado inicial Estimados.

Trabajo de errores en parejas "alumno-profesor"

Si no hay errores por parejas, realizan la tarea en un minuto libre.

Simplifica la expresión y encuentra su valor cuando

5. Resumen de la lección

Como conclusión de la lección, me gustaría preguntarle qué tipos de trabajo le causaron dificultades. ¿Por qué crees? ¿Qué aprendiste nuevo? ¿Quién de ustedes está satisfecho con su trabajo en el aula? ¿Crees que se han logrado los objetivos establecidos al comienzo de la lección?

Docente: Me gustaría terminar la lección con las palabras del ingeniero-físico francés Laue: “La educación es lo que queda cuando todo lo aprendido ya se ha olvidado”

Espero que no olvides este material, para que esto no suceda, debes completar el d/z N° 486.487.488 par.

Ejemplo.

Encuentra el producto de fracciones algebraicas y.

Solución.

Antes de realizar la multiplicación de fracciones, factorizamos el polinomio en el numerador de la primera fracción y el denominador de la segunda. Las fórmulas de multiplicación abreviadas correspondientes nos ayudarán con esto: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 y x 2 −1=(x−1) (x+1) . De este modo, .

Obviamente, la fracción resultante se puede reducir (Discutimos este proceso en el artículo sobre la reducción de fracciones algebraicas).

Solo queda escribir el resultado en forma de fracción algebraica, para lo cual debe multiplicar el monomio por el polinomio en el denominador: .

Por lo general, la solución se escribe sin explicación como una secuencia de igualdades:

Responder:

.

A veces, con fracciones algebraicas que deben multiplicarse o dividirse, se deben realizar algunas transformaciones para que la implementación de estas operaciones sea más fácil y rápida.

Ejemplo.

Dividir una fracción algebraica por una fracción.

Solución.

Simplifiquemos la forma de una fracción algebraica deshaciéndonos del coeficiente fraccionario. Para ello, multiplicamos su numerador y denominador por 7, lo que nos permite realizar la principal propiedad de una fracción algebraica, tenemos .

Ahora ha quedado claro que el denominador de la fracción resultante y el denominador de la fracción por la que debemos dividir son expresiones opuestas. Cambiamos los signos del numerador y denominador de la fracción, tenemos .

En este artículo, veremos operaciones basicas con fracciones algebraicas:

• reducción de fracciones
• multiplicacion de fracciones
• división de fracciones

Empecemos con abreviaturas de fracciones algebraicas.

Parecería que, algoritmo obvio.

A reducir fracciones algebraicas, necesitar

1. Factoriza el numerador y el denominador de una fracción.

2. Reducir los mismos multiplicadores.

Sin embargo, los escolares suelen cometer el error de "reducir" no los factores, sino los plazos. Por ejemplo, hay aficionados que "reducen" por fracciones y obtienen como resultado, lo que, por supuesto, no es cierto.

Considere ejemplos:

1. Reducir fracción:

1. Factorizamos el numerador según la fórmula del cuadrado de la suma, y ​​el denominador según la fórmula de la diferencia de cuadrados

2. Divide el numerador y el denominador por

2. Reducir fracción:

1. Factoriza el numerador. Como el numerador contiene cuatro términos, aplicamos la agrupación.

2. Factoriza el denominador. Lo mismo se aplica a la agrupación.

3. Escribamos la fracción que obtuvimos y reduzcamos los mismos factores:

Multiplicación de fracciones algebraicas.

Al multiplicar fracciones algebraicas, multiplicamos el numerador por el numerador y multiplicamos el denominador por el denominador.

¡Importante! No hay necesidad de apresurarse a realizar la multiplicación en el numerador y el denominador de una fracción. Después de haber escrito el producto de los numeradores de fracciones en el numerador y el producto de los denominadores en el denominador, debemos factorizar cada factor y reducir la fracción.

Considere ejemplos:

3. Simplifica la expresión:

1. Escribamos el producto de fracciones: en el numerador el producto de los numeradores, y en el denominador el producto de los denominadores:

2. Factorizamos cada paréntesis:

Ahora necesitamos reducir los mismos multiplicadores. Tenga en cuenta que las expresiones y difieren solo en el signo: y como resultado de dividir la primera expresión por la segunda, obtenemos -1.

Asi que,

Realizamos la división de fracciones algebraicas según la siguiente regla:

Eso es Para dividir por una fracción, necesitas multiplicar por el "invertido".

Vemos que la división de fracciones se reduce a la multiplicación, y la multiplicación finalmente se reduce a la reducción de fracciones.

Considere un ejemplo:

4. Simplifica la expresión: