Gráfica de la función y sen senx. Lección "La función y=senx, sus propiedades y gráfica"

De vuelta atras

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El hierro se oxida, no encontrando un uso para sí mismo,
el agua estancada se pudre o se congela con el frío,
y la mente humana, al no encontrar un uso para sí misma, languidece.
leonardo da vinci

Tecnologías utilizadas: aprendizaje basado en problemas, pensamiento crítico, comunicación comunicativa.

Objetivos:

• Desarrollo interés cognitivo al aprendizaje
• Estudiando las propiedades de la función y \u003d sin x.
• Formación de habilidades prácticas para construir un gráfico de la función y \u003d sen x basado en el material teórico estudiado.

Tareas:

1. Utilice el potencial de conocimiento existente sobre las propiedades de la función y \u003d sen x en situaciones específicas.

2. Aplicar el establecimiento consciente de vínculos entre los modelos analítico y geométrico de la función y \u003d sen x.

Desarrollar iniciativa, cierta disposición e interés por encontrar una solución; la capacidad de tomar decisiones, de no quedarse ahí, de defender el punto de vista.

Educar a los estudiantes en la actividad cognitiva, el sentido de la responsabilidad, el respeto mutuo, la comprensión mutua, el apoyo mutuo, la confianza en sí mismos; cultura de la comunicación.

durante las clases

Nivel 1. Actualización de conocimientos básicos, motivación para aprender nuevo material.

"Entrada de lección"

Hay 3 afirmaciones escritas en la pizarra:

1. La ecuación trigonométrica sen t = a siempre tiene soluciones.
2. Una función impar se puede graficar usando una transformación de simetría sobre el eje y.
3. Una función trigonométrica se puede graficar usando una media onda principal.

Los estudiantes discuten en parejas: ¿Son verdaderas las afirmaciones? (1 minuto). Los resultados de la discusión inicial (sí, no) luego se ingresan en la tabla en la columna "Antes".

El maestro establece las metas y objetivos de la lección.

2. Actualización de conocimientos (frontalmente en el modelo del círculo trigonométrico).

Ya nos hemos encontrado con la función s = sen t.

1) Que valores puede tomar la variable t. ¿Cuál es el alcance de esta función?

2) En qué intervalo se encuentran los valores de la expresión sen t. Encuentra los valores mayor y menor de la función s = sen t.

3) Resuelve la ecuación sen t = 0.

4) ¿Qué le sucede a la ordenada del punto cuando se mueve a lo largo del primer cuarto? (la ordenada aumenta). ¿Qué le sucede a la ordenada de un punto cuando se mueve a lo largo del segundo cuarto? (la ordenada disminuye gradualmente). ¿Cómo se relaciona esto con la monotonicidad de la función? (la función s = sen t crece en el segmento y decrece en el segmento ).

5) Escribamos la función s = sin t en la forma habitual para nosotros y = sin x (construiremos en el sistema de coordenadas xOy habitual) y compilaremos una tabla de valores para esta función.

X	0
en	0			1			0

Etapa 2. Percepción, comprensión, consolidación primaria, memorización involuntaria

Etapa 4. Sistematización primaria de conocimientos y métodos de actividad, su transferencia y aplicación en nuevas situaciones.

6. Núm. 10.18 (b, c)

Etapa 5 Control final, corrección, evaluación y autoevaluación

7. Regresamos a las declaraciones (el comienzo de la lección), discutimos el uso de las propiedades de la función trigonométrica y \u003d sin x, y completamos la columna "Después" en la tabla.

8. D / z: ítem 10, Nos. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Funcióny = pecadoX

La gráfica de la función es una sinusoide.

La parte completa no repetitiva de una onda sinusoidal se llama onda sinusoidal.

La media onda de una onda sinusoidal se llama media onda de una onda sinusoidal (o arco).

Propiedades de la funcióny = pecadoX:

3) Esto Función impar. 4) Esta es una función continua. - con la abscisa: (πn; 0), - con el eje y: (0; 0). 6) Sobre el segmento [-π/2; π/2] la función es creciente, en el segmento [π/2; 3π/2] es decreciente. 7) En intervalos, la función toma valores positivos. En intervalos [-π + 2πn; 2πn] la función toma valores negativos. 8) Intervalos de función creciente: [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn]. Intervalos decrecientes de la función: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]. 9) Puntos mínimos de la función: -π/2 + 2πn. Puntos máximos de la función: π/2 + 2πn valor más alto 1.

Para trazar una función y= pecado X Es conveniente utilizar las siguientes escalas:

En una hoja en una celda, tomamos la longitud de dos celdas como unidad de segmento.

en el eje X midamos la longitud π. Al mismo tiempo, por conveniencia, 3.14 se representará como 3, es decir, sin una fracción. Luego, en una hoja en una celda π habrá 6 celdas (tres veces 2 celdas). Y cada celda recibirá su nombre natural (del primero al sexto): π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π. Estos son los valores X.

En el eje y, marque 1, que incluye dos celdas.

Hagamos una tabla de valores de funciones usando nuestros valores X:

			√3 - 2		√3 - 2

A continuación, hagamos un gráfico. Obtener una media ola punto mas alto que (π/2; 1). Esta es la gráfica de la función y= pecado X en el segmento. Agreguemos al gráfico construido una media onda simétrica (simétrica respecto al origen, es decir, sobre el segmento -π). La cresta de esta media onda está debajo del eje x con coordenadas (-1; -1). El resultado es una ola. Esta es la gráfica de la función y= pecado X en el segmento [-π; π].

Es posible continuar la onda construyéndola en el intervalo [π; 3π], [π; 5π], [π; 7π], etc En todos estos segmentos, la gráfica de la función se verá igual que en el segmento [-π; π]. Obtendrás una línea ondulada continua con las mismas ondas.

Funcióny = porqueX.

El gráfico de la función es una onda sinusoidal (a veces llamada onda coseno).

Propiedades de la funcióny = porqueX:

1) El dominio de la función es el conjunto de los números reales. 2) El rango de valores de la función es el segmento [–1; una] 3) Esta es una función par. 4) Esta es una función continua. 5) Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica: - con la abscisa: (π/2 + πn; 0), - con el eje y: (0;1). 6) La función decrece en el intervalo, en el intervalo [π; 2π] - aumenta. 7) En intervalos [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] la función toma valores positivos. En los intervalos [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] la función toma valores negativos. 8) Intervalos de aumento: [-π + 2πn; 2πn]. Intervalos decrecientes: ; 9) Puntos mínimos de la función: π + 2πn. Puntos máximos de la función: 2πn. 10) La función está limitada por arriba y por abajo. El valor más pequeño de la función es -1, el mayor valor es 1. 11) Esta es una función periódica con un período de 2π (T = 2π)

Funcióny = m.f.(X).

Tomar la función anterior y= porque X. Como ya sabes, su gráfica es una onda sinusoidal. Si multiplicamos el coseno de esta función por Cierto número m, entonces la onda se estirará desde el eje X(o encogerse, según el valor de m).
Esta nueva ola y será la gráfica de la función y = mf(x), donde m es cualquier número real.

Así, la función y = mf(x) es la función habitual y = f(x) multiplicada por m.

Simetro< 1, то синусоида сжимается к оси X por coeficientemetro. Sim > 1, entonces la sinusoide se estira desde el ejeX por coeficientemetro.

Al realizar el estiramiento o la compresión, primero puede construir solo una media onda de la sinusoide y luego completar el gráfico completo.

Funcióny= F(kx).

Si la función y=m.f.(X) conduce al estiramiento de la sinusoide desde el eje X o compresión al eje X, entonces la función y = f(kx) conduce a la expansión desde el eje y o compresión al eje y.

Y k es cualquier número real.

en 0< k< 1 синусоида растягивается от оси y por coeficientek. Sik > 1, entonces la sinusoide se comprime al ejey por coeficientek.

Al componer un gráfico de esta función, primero puede construir una media onda de una sinusoide y luego completar el gráfico completo usándolo.

Funcióny = tgX.

Gráfico de función y=tg X es la tangente.

Basta construir una parte del gráfico en el intervalo de 0 a π/2, y luego se puede continuar simétricamente en el intervalo de 0 a 3π/2.

Propiedades de la funcióny = tgX:

Funcióny = ctgX

Gráfico de función y=ctg X es también una tangente (a veces se le llama cotangente).

Propiedades de la funcióny = ctgX:

Lección y presentación sobre el tema: "Función y=sin(x). Definiciones y propiedades"

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Que estudiaremos:

• Propiedades de la función Y=sin(X).
• gráfico de función.
• Cómo construir un gráfico y su escala.
• Ejemplos.

propiedades del seno. Y=sen(X)

Chicos, ya nos conocimos funciones trigonométricas argumento numérico. ¿Los recuerdas?

Echemos un vistazo más de cerca a la función Y=sin(X)

Escribamos algunas propiedades de esta función:
1) El dominio de definición es el conjunto de los números reales.
2) La función es impar. Recordemos la definición de una función impar. Una función se llama impar si la igualdad es verdadera: y(-x)=-y(x). Como recordamos de las fórmulas fantasma: sin(-x)=-sin(x). La definición se cumple, por lo que Y=sin(X) es una función impar.
3) La función Y=sin(X) crece en el intervalo y decrece en el intervalo [π/2; π]. Cuando nos movemos a lo largo del primer cuarto (en sentido antihorario), la ordenada aumenta, y cuando nos movemos a lo largo del segundo cuarto, disminuye.

4) La función Y=sin(X) está acotada por abajo y por arriba. Esta propiedad proviene del hecho de que
-1 ≤ sen(X) ≤ 1
5) El valor más pequeño de la función es -1 (para x = - π/2+ πk). El valor más grande de la función es 1 (para x = π/2+ πk).

Usemos las propiedades 1-5 para trazar la función Y=sin(X). Construiremos nuestro gráfico secuencialmente, aplicando nuestras propiedades. Comencemos a construir un gráfico en el segmento.

Atención especial Vale la pena prestar atención a la escala. En el eje de ordenadas, es más conveniente tomar un solo segmento igual a 2 celdas, y en el eje de abscisas, un solo segmento (dos celdas) para tomar igual a π / 3 (ver figura).

Trazar la función seno x, y=sin(x)

Calculemos los valores de la función en nuestro segmento:

Construyamos un gráfico para nuestros puntos, teniendo en cuenta la tercera propiedad.

Tabla de conversión de fórmulas fantasma

Usemos la segunda propiedad, que dice que nuestra función es impar, lo que significa que se puede reflejar simétricamente respecto al origen:

Sabemos que sen(x+ 2π) = sen(x). Esto significa que en el intervalo [- π; π] el gráfico se ve igual que en el segmento [π; 3π] o o [-3π; - pi] y así sucesivamente. Nos queda volver a dibujar cuidadosamente el gráfico de la figura anterior en todo el eje x.

La gráfica de la función Y=sin(X) se llama sinusoide.

Escribamos algunas propiedades más de acuerdo con el gráfico construido:
6) La función Y=sin(X) crece en cualquier segmento de la forma: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k es un número entero y decrece en cualquier segmento de la forma: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k es un número entero.
7) La función Y=sin(X) es una función continua. Miremos la gráfica de la función y asegurémonos de que nuestra función no tenga rupturas, esto significa continuidad.
8) Rango de valores: segmento [- 1; una]. Esto también es claramente visible en el gráfico de la función.
9) La función Y=sin(X) es una función periódica. Miremos el gráfico nuevamente y veamos que la función toma los mismos valores en algunos intervalos.

Ejemplos de problemas con seno

1. Resuelve la ecuación sin(x)= x-π

Solución: Construyamos 2 gráficas de la función: y=sin(x) y y=x-π (ver figura).
Nuestras gráficas se cortan en un punto A(π; 0), esta es la respuesta: x = π

2. Trace la función y=sin(π/6+x)-1

Solución: La gráfica deseada se obtiene moviendo la gráfica de la función y=sin(x) π/6 unidades hacia la izquierda y 1 unidad hacia abajo.

Solución: Construyamos un gráfico de la función y consideremos nuestro segmento [π/2; 5π/4].
La gráfica de la función muestra que los valores mayor y menor se alcanzan en los extremos del segmento, en los puntos π/2 y 5π/4, respectivamente.
Respuesta: sin(π/2) = 1 es el valor más grande, sin(5π/4) = valor más pequeño.

Problemas de senos para solución independiente

• Resuelve la ecuación: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• Traza la función y=sin(π/3+x)-2
• Traza la función y=sin(-2π/3+x)+1
• Encuentre el valor más grande y más pequeño de la función y=sin(x) en el segmento
• Encuentre el valor mayor y menor de la función y=sin(x) en el segmento [- π/3; 5π/6]

El video tutorial “Función y = senx, sus propiedades y gráfica” presenta material visual sobre este tema, así como comentarios al respecto. Durante la demostración, se considera el tipo de función, sus propiedades, se describe en detalle el comportamiento en varios segmentos. Plano coordinado, características del gráfico, se describe un ejemplo de una solución gráfica de ecuaciones trigonométricas que contienen un seno. Con la ayuda de una lección en video, es más fácil para el maestro formar el concepto de esta función de un alumno, para enseñar cómo resolver problemas gráficamente.

El videotutorial utiliza herramientas que facilitan la memorización y la comprensión información educacional. En la presentación de gráficos y en la descripción de la solución de problemas se utilizan efectos de animación que ayudan a comprender el comportamiento de la función, para presentar secuencialmente el progreso de la solución. Además, la sonorización del material lo complementa con importantes comentarios que reemplazan la explicación del profesor. De este modo, material dado se puede utilizar como material visual. Y como parte independiente de la lección en lugar de la explicación del profesor sobre un tema nuevo.

La demostración comienza presentando el tema de la lección. Se presenta la función seno, cuya descripción se destaca en un cuadro de memoria - s=sint, en el que el argumento t puede ser cualquier número real. La descripción de las propiedades de esta función comienza con el alcance. Se observa que el dominio de definición de la función es todo el eje numérico de los números reales, es decir, D(f)=(- ∞;+∞). La segunda propiedad es la imparidad de la función seno. Se recuerda a los estudiantes que propiedad dada fue estudiado en el grado 9, cuando se observó que para una función impar la igualdad f(-x)=-f(x) es verdadera. Para el seno, la confirmación de la imparidad de la función se demuestra en un círculo unitario dividido en cuartos. Sabiendo qué signo toma la función en diferentes cuartos del plano de coordenadas, se observa que para argumentos con signos opuestos, usando el ejemplo de los puntos L(t) y N(-t) para el seno, se cumple la condición impar. Por lo tanto s=sint es una función impar. Esto significa que la gráfica de la función es simétrica con respecto al origen.

La tercera propiedad del seno muestra los intervalos de aumento y disminución de la función. Señala que en el segmento función dada aumenta, disminuye en el intervalo [π/2;π]. La propiedad se muestra en la figura, que muestra un círculo unitario y al moverse desde el punto A en sentido antihorario, la ordenada aumenta, es decir, el valor de la función aumenta a π/2. Al pasar del punto B al C, es decir, cuando el ángulo cambia de π/2 a π, el valor de la ordenada disminuye. En el tercer cuarto de la circunferencia, al pasar del punto C al punto D, la ordenada decrece de 0 a -1, es decir, el valor del seno decrece. En el último cuarto, al pasar del punto D al punto A, el valor de la ordenada aumenta de -1 a 0. Así, podemos sacar una conclusión general sobre el comportamiento de la función. La pantalla muestra la salida que sint aumenta en el segmento [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], decreciendo en el intervalo [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] para cualquier entero k.

La cuarta propiedad del seno considera la acotación de la función. Se observa que la función sint está limitada tanto por arriba como por abajo. Se recuerda a los estudiantes la información del álgebra de grado 9 cuando se familiarizaron con el concepto de acotación de una función. La pantalla muestra la condición de una función acotada superiormente, para la cual existe algún número para el cual se cumple la desigualdad f(x)>=M en cualquier punto de la función. También recordamos la condición de una función acotada por debajo, para la cual existe un número m menor que cada punto de la función. Para sint, la condición es -1<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

La quinta propiedad considera los valores menor y mayor de la función. Se observa el logro del valor más pequeño -1 en cada punto t=-(π/2)+2πk, y el más grande - en los puntos t=(π/2)+2πk.

Según las propiedades consideradas, el gráfico de la función sint se traza en el intervalo. Para construir la función se utilizan los valores tabulares del seno de los puntos correspondientes. Las coordenadas de los puntos π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, π están marcadas en el plano de coordenadas. Habiendo marcado los valores tabulares de la función en estos puntos y conectándolos con una línea suave, construimos un gráfico.

Para trazar la función sint sobre el segmento [-π; π], se utiliza la propiedad de simetría de la función con respecto al origen. La figura muestra cómo la línea obtenida como resultado de la construcción se transfiere suavemente y simétricamente con respecto al origen al segmento [-π; 0].

Usando la propiedad de la función sint, expresada en la fórmula de reducción sin (x + 2π) \u003d sin x, se observa que cada 2π se repite el gráfico del seno. Así, sobre el segmento [π; 3π] el gráfico será el mismo que en [-π;π]. Por lo tanto, la gráfica de esta función es una repetición de fragmentos [-π; π] en todo el dominio de definición. Por separado, se observa que tal gráfico de función se llama sinusoide. También se introduce el concepto de onda sinusoidal: un fragmento de un gráfico construido sobre el segmento [-π; π] y un arco sinusoidal construido sobre el segmento . Estos fragmentos se muestran nuevamente para su memorización.

Se observa que la función sint es una función continua en todo el dominio de definición, y también que el rango de la función se encuentra en el conjunto de valores del intervalo [-1;1].

Al final del video tutorial, se considera una solución gráfica a la ecuación sen x \u003d x + π. Obviamente, la solución gráfica de la ecuación será la intersección de la gráfica de la función dada por la expresión del lado izquierdo y la función dada por la expresión del lado derecho. Para resolver el problema, se construye un plano de coordenadas, en el que se delinea la sinusoide correspondiente y \u003d sen x, y se construye una línea recta correspondiente al gráfico de la función y \u003d x + π. Los gráficos construidos se intersecan en un solo punto Â(-π;0). Por lo tanto, x \u003d - π será la solución a la ecuación.

La lección en video "Función y = senx, sus propiedades y gráfico" ayudará a aumentar la efectividad de la lección de la lección de matemáticas tradicional en la escuela. También puede utilizar material visual al realizar el aprendizaje a distancia. El manual puede ayudar a dominar el tema para los estudiantes que necesitan clases adicionales para una comprensión más profunda del material.

INTERPRETACIÓN DEL TEXTO:

El tema de nuestra lección es "Función y \u003d sin x, sus propiedades y gráfico".

Anteriormente ya nos familiarizamos con la función s = sen t, donde tϵR (es es igual al seno de te, donde te pertenece al conjunto de números reales). Examinemos las propiedades de esta función:

INDIVIDUAL 1. El dominio de definición es el conjunto de números reales R (er), es decir, D (f) = (-; +) (de de ef representa el intervalo de menos infinito a más infinito).

PROPIEDAD 2. La función s = sen t es impar.

En las lecciones del grado 9, aprendimos que la función y \u003d f (x), x ϵX (y es igual a eff de x, donde x pertenece al conjunto x es grande) se llama impar si para cualquier valor x de el conjunto X la igualdad

f (- x) \u003d - f (x) (ef de menos x es igual a menos ef de x).

Y como las ordenadas de los puntos L y N, que son simétricos respecto al eje de abscisas, son opuestas, entonces sen (- t) = -sint.

Es decir, s \u003d sin t es una función impar y el gráfico de la función s \u003d sin t es simétrico con respecto al origen en un sistema de coordenadas rectangulares tos(te o es).

Considere la PROPIEDAD 3. En el intervalo [ 0; ] (de cero a pi por dos) la función s = sin t crece y decrece en el segmento [; ](de pi por dos a pi).

Esto se ve claramente en las figuras: cuando un punto se mueve a lo largo del círculo numérico de cero a pi de dos en dos (del punto A a B), la ordenada aumenta gradualmente de 0 a 1, y cuando se mueve de pi de dos en dos a pi (de punto B a C), la ordenada decrece gradualmente de 1 a 0.

Al mover un punto a lo largo del tercer cuarto (del punto C al punto D), la ordenada del punto en movimiento disminuye de cero a menos uno, y al moverse a lo largo del cuarto cuarto, la ordenada aumenta de menos uno a cero. Por tanto, podemos sacar una conclusión general: la función s = sen t crece en el intervalo

(de menos pi por dos más dos picos a pi por dos más dos picos), y disminuye en el segmento [; (de pi por dos más dos pi ka a tres pi por dos más dos pi ka), donde

(ka pertenece al conjunto de los enteros).

PROPIEDAD 4. La función s = sen t está acotada por arriba y por abajo.

Del curso de noveno grado, recuerde la definición de acotación: una función y \u003d f (x) se llama acotada desde abajo si todos los valores de la función no son menores que algún número metro metro tal que para cualquier valor x del dominio de la función, la desigualdad f (x) ≥ metro(ef de x es mayor o igual que em). La función y \u003d f (x) se llama acotada desde arriba si todos los valores de la función no son mayores que algún número METRO, lo que significa que hay un número METRO tal que para cualquier valor x del dominio de la función, la desigualdad f (x) ≤ METRO(ef de x es menor o igual que em) Una función se llama acotada si está acotada tanto por abajo como por arriba.

Volvamos a nuestra función: la acotación se deriva del hecho de que para cualquier te la desigualdad es verdadera - 1 ≤ sint ≤ 1. (el seno de te es mayor o igual a menos uno, pero menor o igual a uno).

PROPIEDAD 5. El valor más pequeño de la función es igual a menos uno y la función alcanza este valor en cualquier punto de la forma t = (te es igual a menos pi por dos más dos picos, y el valor más grande de la función es igual a uno y es alcanzado por la función en cualquier punto de la forma t = (te es igual a pi por dos más dos pi ka).

El valor más grande y más pequeño de la función s = sin t denota s min. y s máx. .

Usando las propiedades obtenidas, trazaremos la función y \u003d sin x (y es igual al seno x), porque estamos más familiarizados con la notación y \u003d f (x), y no con s \u003d f (t).

Para empezar, elijamos una escala: a lo largo del eje de ordenadas, tomamos un solo segmento, dos celdas, y a lo largo del eje de abscisas, dos celdas: esto es pi por tres (porque ≈ 1). Primero, construyamos un gráfico de la función y \u003d sin x en el segmento. Necesitamos una tabla de valores de función sobre este segmento, para construirla usaremos la tabla de valores para los ángulos coseno y seno correspondientes:

Por lo tanto, para construir una tabla de valores de argumentos y funciones, es necesario recordar que X(x) es el número respectivamente igual al ángulo en el intervalo de cero a pi, y en(Griego) El valor del seno de este ángulo.

Marquemos estos puntos en el plano de coordenadas. De acuerdo con la PROPIEDAD 3 en el segmento

[0; ] (de cero a pi por dos) la función y \u003d sin x aumenta, pero disminuye en el segmento [; ] (de pi por dos a pi) y conectando los puntos obtenidos con una línea suave, obtenemos parte del gráfico (Fig. 1)

Usando la simetría del gráfico de una función impar con respecto al origen, obtenemos el gráfico de la función y \u003d sen x ya en el segmento

[-π; π ] (de menos pi a pi) (Fig. 2)

Recuerda que sen(x + 2π)= senx

(el seno de x más dos pi es igual al seno de x). Esto significa que en el punto x + 2π la función y = sen x toma el mismo valor que en el punto x. Y como (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x más dos pi pertenece al segmento de pi a tres pi), si xϵ[-π; π ], luego en el intervalo [π; 3π ] la gráfica de la función se ve exactamente igual que en el intervalo [-π; π]. De manera similar, en los segmentos , , [-3π; -π] y así sucesivamente, el gráfico de la función y \u003d sin x se ve igual que en el segmento

[-π; π] (Fig. 3)

La línea que es el gráfico de la función y \u003d sin x se llama sinusoide. La parte de la onda sinusoidal que se muestra en la Figura 2 se llama onda sinusoidal, y en la Figura 1 se llama arco de la onda sinusoidal o media onda.

Usando el gráfico construido, escribiremos algunas propiedades más de esta función.

PROPIEDAD 6. La función y \u003d sin x es una función continua. Esto quiere decir que la gráfica de la función es continua, es decir, no tiene saltos ni pinchazos.

PROPIEDAD 7. El rango de la función y \u003d sin x es el segmento [-1; 1] (de menos uno a uno) o se puede escribir de la siguiente manera: (e de eff es igual al segmento de menos uno a uno).

Considere un EJEMPLO. Resuelva gráficamente la ecuación sin x \u003d x + π (seno x es igual a x más pi).

Solución. Construyamos gráficas de funciones. y= pecado X y y = x + π.

El gráfico de la función y \u003d sin x es una sinusoide.

y \u003d x + π es una función lineal, cuyo gráfico es una línea recta que pasa por puntos con coordenadas (0; π) y (- π; 0).

Los gráficos construidos tienen un punto de intersección: el punto B (- π; 0) (sea con coordenadas menos pi, cero). Esto significa que esta ecuación tiene una sola raíz: la abscisa del punto B - -π. Respuesta: X = - π.

En esta lección, consideraremos en detalle la función y \u003d sen x, sus principales propiedades y gráfico. Al comienzo de la lección, daremos la definición de la función trigonométrica y \u003d sin t en el círculo de coordenadas y consideraremos el gráfico de la función en el círculo y la línea. Mostremos la periodicidad de esta función en el gráfico y consideremos las principales propiedades de la función. Al final de la lección, resolveremos algunos problemas simples usando la gráfica de la función y sus propiedades.

Tema: Funciones trigonométricas

Lección: Función y=senx, sus principales propiedades y gráfica

Al considerar una función, es importante asociar un solo valor de la función con cada valor del argumento. Esta ley de correspondencia y se llama función.

Definamos la ley de correspondencia para .

Cualquier número real corresponde a un solo punto en el círculo unitario.El punto tiene una sola ordenada, que se llama el seno del número (Fig. 1).

A cada valor de argumento se le asigna un único valor de función.

Las propiedades obvias se derivan de la definición del seno.

La figura muestra que porque es la ordenada de un punto en el círculo unitario.

Considere la función gráfica. Recordemos la interpretación geométrica del argumento. El argumento es el ángulo central medido en radianes. Sobre el eje trazaremos números reales o ángulos en radianes, sobre el eje los valores de la función correspondiente.

Por ejemplo, el ángulo en el círculo unitario corresponde a un punto en el gráfico (Fig. 2)

Obtuvimos el gráfico de la función en el sitio, pero conociendo el período del seno, podemos representar el gráfico de la función en todo el dominio de definición (Fig. 3).

El período principal de la función es Esto significa que la gráfica se puede obtener en un segmento y luego continuar en todo el dominio de definición.

Considere las propiedades de la función:

1) Dominio de definición:

2) Rango de valores:

3) Función impar:

4) El período positivo más pequeño:

5) Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con el eje x:

6) Coordenadas del punto de intersección de la gráfica con el eje y:

7) Intervalos en los que la función toma valores positivos:

8) Intervalos en los que la función toma valores negativos:

9) Intervalos crecientes:

10) Intervalos descendentes:

11) Puntos bajos:

12) Características mínimas:

13) Puntos altos:

14) Características máximas:

Hemos considerado las propiedades de una función y su gráfica. Las propiedades se utilizarán repetidamente para resolver problemas.

Bibliografía

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5. Colección de problemas de matemáticas para aspirantes a universidades técnicas (bajo la dirección de M.I.Skanavi).-M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Entrenador algebraico.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S.M., Goldman A.M., Denisov D.V. Tareas en álgebra y principios de análisis (un manual para estudiantes en los grados 10-11 de instituciones de educación general).-M .: Educación, 2003.

8. Karp AP Colección de problemas de álgebra y principios de análisis: libro de texto. Asignación para 10-11 celdas. con un profundo estudio matemáticas.-M.: Educación, 2006.

Tarea

Álgebra y los Principios del Análisis, Grado 10 (en dos partes). Libro de tareas para instituciones educativas (nivel de perfil), ed.

A.G. Mordkovich. -M.: Mnemósine, 2007.

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

Recursos web adicionales

3. Portal educativo para la preparación de exámenes ().