Ni función par ni impar. Funciones pares e impares. Período de función. Extremos de función

Que en un grado u otro te eran familiares. También se señaló allí que el stock de propiedades funcionales se repondrá gradualmente. Dos nuevas propiedades serán discutidas en esta sección.

Definición 1.

La función y \u003d f (x), x є X, se llama incluso si para cualquier valor x del conjunto X la igualdad f (-x) \u003d f (x) es verdadera.

Definición 2.

La función y \u003d f (x), x є X, se llama impar si para cualquier valor x del conjunto X la igualdad f (-x) \u003d -f (x) es verdadera.

Demuestra que y = x 4 es una función par.

Solución. Tenemos: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Pero (-x) 4 = x 4 . Por lo tanto, para cualquier x, la igualdad f (-x) = f (x), es decir la función es par.

Del mismo modo, se puede demostrar que las funciones y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 son pares.

Demostrar que y = x 3 ~ Función impar.

Solución. Tenemos: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Pero (-x) 3 = -x 3 . Por lo tanto, para cualquier x, la igualdad f (-x) \u003d -f (x), es decir la función es impar.

Del mismo modo, se puede demostrar que las funciones y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 son impares.

Usted y yo nos hemos convencido en repetidas ocasiones de que los nuevos términos matemáticos suelen tener un origen “terrenal”, es decir, se pueden explicar de alguna manera. Este es el caso de las funciones pares e impares. Ver: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 son funciones impares, mientras que y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 son funciones pares. Y, en general, para cualquier función de la forma y \u003d x "(a continuación estudiaremos específicamente estas funciones), donde n es un número natural, podemos concluir: si n no es número par, entonces la función y \u003d x" es impar; si n es un número par, entonces la función y \u003d xn es par.

También hay funciones que no son ni pares ni impares. Tal, por ejemplo, es la función y \u003d 2x + 3. De hecho, f (1) \u003d 5, y f (-1) \u003d 1. Como puede ver, aquí Por lo tanto, ni la identidad f (-x ) \u003d f ( x), ni la identidad f(-x) = -f(x).

Entonces, una función puede ser par, impar o ninguna.

El estudio de la cuestión de si una función dada es par o impar se suele llamar estudio de la función de paridad.

En las definiciones 1 y 2 estamos hablando sobre los valores de la función en los puntos x y -x. Esto supone que la función está definida tanto en el punto x como en el punto -x. Esto significa que el punto -x pertenece al dominio de la función al mismo tiempo que el punto x. Si un conjunto numérico X junto con cada uno de sus elementos x contiene el elemento opuesto -x, entonces X se llama conjunto simétrico. Digamos que (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) son conjuntos simétricos, mientras que: X 1a;B, pero X 2a;B .

De vuelta atras

¡Atención! Avance Las diapositivas tienen únicamente fines informativos y es posible que no representen la totalidad de la presentación. Si está interesado en este trabajo, descargue la versión completa.

Objetivos:

• formar el concepto de funciones pares e impares, enseñar la habilidad de determinar y usar estas propiedades cuando investigacion de funciones, Graficado;
• desarrollar la actividad creativa de los estudiantes, pensamiento lógico, la capacidad de comparar, generalizar;
• cultivar la diligencia, la cultura matemática; desarrollar habilidades de comunicación .

Equipo: instalación multimedia, pizarra interactiva, folletos.

Formas de trabajo: frontal y grupal con elementos de búsqueda y actividades de investigación.

Fuentes de información:

1. Clase de álgebra 9 A.G. Mordkovich. Libro de texto.
2. Álgebra Grado 9 A.G. Mordkovich. Libro de tareas.
3. Álgebra grado 9. Tareas para el aprendizaje y desarrollo de los estudiantes. Belenkova E.Yu. Lebedintseva E.A.

DURANTE LAS CLASES

1. Momento organizacional

Establecer metas y objetivos de la lección.

2. revisando la tarea

No. 10.17 (Libro de problemas de noveno grado A.G. Mordkovich).

pero) en = F(X), F(X) =

B) F (–2) = –3; F (0) = –1; F(5) = 69;

c) 1. D( F) = [– 2; + ∞)
2. mi( F) = [– 3; + ∞)
3. F(X) = 0 para X ~ 0,4
4. F(X) >0 en X > 0,4 ; F(X) < 0 при – 2 < X < 0,4.
5. La función aumenta con X € [– 2; + ∞)
6. La función está limitada desde abajo.
7. en contratar = - 3, en naib no existe
8. La función es continua.

(¿Utilizó el algoritmo de exploración de funciones?) Diapositiva.

2. Revisemos la tabla que le pidieron en la diapositiva.

llenar la mesa
	Dominio	Ceros de función	Intervalos de constancia		Coordenadas de los puntos de intersección de la gráfica con Oy
		x = -5, x = 2	х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ∞ -5, x ≠ 2		х € (–5;3) U U(2;∞)	х € (–∞;–5) U U (–3;2)
	x ≠ -5, x ≠ 2		x € (–∞; –5) U U(2;∞)	x€ (–5; 2)

3. Actualización de conocimientos

– Se dan funciones.
– Especificar el dominio de definición de cada función.
– Comparar el valor de cada función para cada par de valores de argumento: 1 y – 1; 2 y - 2.
– ¿Para cuáles de las funciones dadas en el dominio de definición son las igualdades F(– X) = F(X), F(– X) = – F(X)? (poner los datos en la tabla) Diapositiva

		F(1) y F(– 1)	F(2) y F(– 2)	gráficos	F(– X) = –F(X)	F(– X) = F(X)
1. F(X) =
2. F(X) = X 3
3. F(X) = | X |
4.F(X) = 2X – 3
5. F(X) =	X ≠ 0
6. F(X)=	X > –1		y no definido.

4. nuevo material

- Ejecutando este trabajo Chicos, hemos revelado una propiedad más de la función, desconocida para ustedes, pero no menos importante que el resto: esta es la función par e impar. Escriba el tema de la lección: "Funciones pares e impares", nuestra tarea es aprender a determinar las funciones pares e impares, descubrir el significado de esta propiedad en el estudio de las funciones y el trazado.
Entonces, busquemos las definiciones en el libro de texto y leamos (p. 110) . Diapositiva

Def. una Función en = F (X) definido en el conjunto X se llama incluso, si por cualquier valor XЄ X en curso igualdad f (–x) = f (x). Dar ejemplos.

Def. 2 Función y = f(x), definido en el conjunto X se llama impar, si por cualquier valor XЄ X se cumple la igualdad f(–х)= –f(х). Dar ejemplos.

¿Dónde encontramos los términos "par" e "impar"?
¿Cuál de estas funciones será par, crees? ¿Por qué? ¿Cuáles son raros? ¿Por qué?
Para cualquier función de la forma en= x norte, donde norte es un número entero, se puede argumentar que la función es impar para norte es impar y la función es par para norte- incluso.
– Ver funciones en= y en = 2X– 3 no es ni par ni impar, porque no se cumplen las igualdades F(– X) = – F(X), F(– X) = F(X)

El estudio de la cuestión de si una función es par o impar se denomina estudio de una función de paridad. Diapositiva

Las definiciones 1 y 2 se ocupan de los valores de la función en x y -x, por lo que se supone que la función también está definida en el valor X, y en - X.

AOD 3. Si un conjunto de números junto con cada uno de sus elementos x contiene el elemento opuesto x, entonces el conjunto X se llama conjunto simétrico.

Ejemplos:

(–2;2), [–5;5]; (∞;∞) son conjuntos simétricos, y , [–5;4] no son simétricos.

– tu incluso funciones el dominio de definición es un conjunto simétrico? ¿Los raros?
- Si D( F) es un conjunto asimétrico, entonces ¿cuál es la función?
– Así, si la función en = F(X) es par o impar, entonces su dominio de definición es D( F) es un conjunto simétrico. Pero, ¿es verdadera la declaración inversa, si el dominio de una función es un conjunto simétrico, entonces es par o impar?
- Entonces la presencia de un conjunto simétrico del dominio de definición es una condición necesaria, pero no suficiente.
– Entonces, ¿cómo podemos investigar la función de paridad? Intentemos escribir un algoritmo.

Diapositiva

Algoritmo para examinar una función para la paridad

1. Determinar si el dominio de la función es simétrico. Si no, entonces la función no es ni par ni impar. En caso afirmativo, vaya al paso 2 del algoritmo.

2. Escribe una expresión para F(–X).

3. Compara F(–X).Y F(X):

• si F(–X).= F(X), entonces la función es par;
• si F(–X).= – F(X), entonces la función es impar;
• si F(–X) ≠ F(X) Y F(–X) ≠ –F(X), entonces la función no es ni par ni impar.

Ejemplos:

Investigue la función de paridad a) en= x 5 +; B) en= ; en) en= .

Solución.

a) h (x) \u003d x 5 +,

1) D(h) = (–∞; 0) U (0; +∞), conjunto simétrico.

2) h (- x) \u003d (-x) 5 + - x5 - \u003d - (x 5 +),

3) h (- x) \u003d - h (x) \u003d\u003e función h(x)= x 5 + impar.

b) y =,

en = F(X), D(f) = (–∞; –9)? (–9; +∞), conjunto asimétrico, por lo que la función no es ni par ni impar.

en) F(X) = , y = f(x),

1) D( F) = (–∞; 3] ≠ ; b) (∞; –2), (–4; 4]?

opcion 2

1. ¿Es simétrico el conjunto dado: a) [–2;2]; b) (∞; 0], (0; 7) ?

pero); b) y \u003d x (5 - x 2). 2. Examine la función de paridad:

a) y \u003d x 2 (2x - x 3), b) y \u003d

3. En la fig. trazado en = F(X), para todos X, satisfaciendo la condición X? 0.
Trazar la función en = F(X), si en = F(X) es una función par.

3. En la fig. trazado en = F(X), para todo x que satisface x? 0.
Trazar la función en = F(X), si en = F(X) es una función impar.

Comprobación mutua diapositiva.

6. Tarea: №11.11, 11.21,11.22;

Prueba del significado geométrico de la propiedad de paridad.

*** (Asignación de la opción USO).

1. La función impar y \u003d f (x) se define en toda la línea real. Para cualquier valor no negativo de la variable x, el valor de esta función coincide con el valor de la función g( X) = X(X + 1)(X + 3)(X– 7). Encuentra el valor de la función h( X) = en X = 3.

7. Resumiendo