एक संख्यात्मक कार्य की अवधारणा। फ़ंक्शन सेट करने के तरीके। समारोह गुण।
न्यूमेरिक फंक्शन एक ऐसा फंक्शन है जो एक न्यूमेरिक स्पेस (सेट) से दूसरे न्यूमेरिक स्पेस (सेट) में काम करता है।
किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तीन मुख्य तरीके हैं: विश्लेषणात्मक, सारणीबद्ध और चित्रमय।
1. विश्लेषणात्मक।
किसी सूत्र का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन को परिभाषित करने के तरीके को विश्लेषणात्मक कहा जाता है। यह विधि चटाई में मुख्य है। विश्लेषण, लेकिन व्यवहार में यह सुविधाजनक नहीं है।
2. फ़ंक्शन सेट करने का सारणीबद्ध तरीका।
एक फ़ंक्शन को एक तालिका का उपयोग करके निर्दिष्ट किया जा सकता है जिसमें तर्क मान और उनके संबंधित फ़ंक्शन मान होते हैं।
3. ग्राफिकल तरीकाकार्य असाइनमेंट।
फ़ंक्शन y = f (x) को ग्राफिक रूप से कहा जाता है यदि इसका ग्राफ बनाया गया है। फ़ंक्शन को परिभाषित करने की यह विधि फ़ंक्शन के मूल्यों को केवल लगभग निर्धारित करना संभव बनाती है, क्योंकि एक ग्राफ का निर्माण और उस पर फ़ंक्शन के मूल्यों को ढूंढना त्रुटियों से जुड़ा हुआ है।
फ़ंक्शन के गुण जिन्हें इसके ग्राफ़ को प्लॉट करते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए:
1 विस्तार फ़ंक्शन परिभाषाएं.
फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र,अर्थात्, वे मान जो फ़ंक्शन F = y (x) के x तर्क को ले सकते हैं।
2) बढ़ते और घटते कार्यों के अंतराल।
फ़ंक्शन को आरोही कहा जाता हैविचाराधीन अंतराल पर, यदि अधिक अर्थतर्क फ़ंक्शन y (x) के बड़े मान से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि यदि दो मनमाना तर्क x 1 और x 2 विचाराधीन अंतराल से x 1> x 2 के साथ लिए गए हैं, तो y (x 1)> y (x 2)।
फ़ंक्शन को घटते कहा जाता हैमाना अंतराल पर, यदि तर्क का बड़ा मान फ़ंक्शन y (x) के छोटे मान से मेल खाता है। इसका मतलब यह है कि यदि दो मनमाना तर्क x 1 और x 2 विचाराधीन अंतराल से लिए गए हैं, और x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) फ़ंक्शन के शून्य।
वे बिंदु जिन पर फलन F = y (x) भुज अक्ष को काटता है (वे समीकरण y (x) = 0) को हल करके प्राप्त किए जाते हैं और फलन के शून्य कहलाते हैं।
4) सम और विषम कार्य।
फ़ंक्शन को सम कहा जाता है,अगर तर्क के सभी मूल्यों के लिए परिभाषा के क्षेत्र
वाई (-एक्स) = वाई (एक्स)।
अनुसूची यहां तक कि समारोहनिर्देशांक अक्ष के बारे में सममित।
फ़ंक्शन को विषम कहा जाता हैयदि डोमेन से तर्क के सभी मूल्यों के लिए
वाई (-एक्स) = -वाई (एक्स)।
एक सम फलन का आलेख मूल के सापेक्ष सममित होता है।
कई फलन न तो सम और न ही विषम हैं।
5) फ़ंक्शन की आवृत्ति।
समारोह को आवधिक कहा जाता है,यदि कोई संख्या P है तो डोमेन से तर्क के सभी मूल्यों के लिए
वाई (एक्स + पी) = वाई (एक्स)।
रैखिक प्रकार्य, इसके गुण और अनुसूची।
एक रैखिक कार्य रूप का एक कार्य है वाई = केएक्स + बीसभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर दिया जाता है।
क- ढलान (वास्तविक संख्या)
बी- मुक्त सदस्य (वास्तविक संख्या)
एक्सस्वतंत्र चर है।
विशेष स्थिति में, यदि k = 0 है, तो हमें एक स्थिर फलन y = b प्राप्त होता है, जिसका ग्राफ निर्देशांक (0; b) के साथ एक बिंदु से गुजरने वाली ऑक्स अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है।
यदि b = 0 है, तो हमें फलन y = kx प्राप्त होता है, जो एक प्रत्यक्ष आनुपातिकता है।
हे ज्यामितीय अर्थगुणांक बी - ओए अक्ष के साथ सीधी रेखा द्वारा काटे गए खंड की लंबाई, मूल से गिना जाता है।
o गुणांक k का ज्यामितीय अर्थ - ऑक्स अक्ष की सकारात्मक दिशा में सीधी रेखा के झुकाव के कोण को वामावर्त गिना जाता है।
रैखिक कार्य गुण:
1) एक रैखिक फलन की परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण वास्तविक अक्ष है;
2) यदि k 0 है, तो रैखिक फलन के मानों का परिसर संपूर्ण वास्तविक अक्ष है।
यदि k = 0 है, तो रैखिक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में संख्या b होती है;
3) रैखिक फलन की समता और विषमता गुणांक k और b के मानों पर निर्भर करती है।
a) b 0, k = 0, इसलिए, y = b सम है;
b) b = 0, k 0, इसलिए y = kx विषम है;
c) b 0, k ≠ 0, इसलिए y = kx + b एक फलन है सामान्य दृष्टि से;
d) b = 0, k = 0, इसलिए y = 0 सम और विषम दोनों फलन है।
4) रैखिक फलन में आवर्त गुण नहीं होता है;
5) निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु:
ऑक्स: y = kx + b = 0, x = -b / k, इसलिए (-b / k; 0) भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
ओए: y = 0k + b = b, इसलिए (0; b) y-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है।
टिप्पणी। यदि b = 0 और k = 0, तो फलन y = 0 चर x के किसी भी मान के लिए लुप्त हो जाता है। यदि b 0 और k = 0, तो फ़ंक्शन y = b चर x के किसी भी मान के लिए लुप्त नहीं होता है।
6) संकेत स्थिरता के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।
ए) के> 0; केएक्स + बी> 0, केएक्स> -बी, एक्स> -बी / के।
y = kx + b - x के लिए धनात्मक (-b / k; + ),
y = kx + b - (-∞; -b / k) से x के लिए ऋणात्मक।
बी) के< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b - (-∞; -b / k) से x के लिए धनात्मक है,
y = kx + b - (-b / k; + ∞) से x के लिए ऋणात्मक।
सी) के = 0, बी> 0; y = kx + b पूरे डोमेन पर धनात्मक है,
के = 0, बी< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) रैखिक फलन की एकरसता के अंतराल गुणांक k पर निर्भर करते हैं।
k> 0, इसलिए y = kx + b पूरे डोमेन में बढ़ता है,
क< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. फलन y = ax 2 + bx + c, इसके गुण और ग्राफ।
| फलन y = ax 2 + bx + c (a, b, c अचर हैं, और 0) कहलाता है द्विघातसरलतम स्थिति में, y = ax 2 (b = c = 0), ग्राफ मूल बिंदु से गुजरने वाली एक वक्र रेखा है। फ़ंक्शन y = ax 2 के ग्राफ के रूप में कार्यरत वक्र एक परवलय है। प्रत्येक परवलय में समरूपता की एक धुरी होती है जिसे कहा जाता है परवलय की धुरी।एक परवलय के अपनी धुरी के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु O को कहा जाता है एक परवलय का शीर्ष. |
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| ग्राफ निम्नलिखित योजना के अनुसार बनाया जा सकता है: 1) परवलय के शीर्ष के निर्देशांक खोजें x 0 = -b / 2a; वाई 0 = वाई (एक्स 0)। 2) हम कुछ और बिंदुओं का निर्माण करते हैं जो परवलय से संबंधित हैं; निर्माण में, हम रेखा x = -b / 2a के संबंध में परवलय की समरूपता का उपयोग कर सकते हैं। 3) चिह्नित बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से कनेक्ट करें। उदाहरण। फलन को = x 2 + 2x - 3 पर आलेखित करें।समाधान। फ़ंक्शन का ग्राफ एक परवलय है, जिसकी शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं। परवलय के शीर्ष का भुज x 0 = 2 / (2 ∙ 1) = -1, इसके निर्देशांक y (-1) = (1) 2 + 2 (-1) - 3 = -4। तो, परवलय का शीर्ष बिंदु (-1; -4) है। आइए कई बिंदुओं के लिए मानों की एक तालिका बनाएं, जो परवलय की समरूपता के अक्ष के दाईं ओर स्थित हैं - सीधी रेखा x = -1। समारोह गुण।
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गणित के पाठ्यक्रम पर यह वीडियो ट्यूटोरियल आपको फंक्शन y = k / x के गुणों से परिचित कराएगा, बशर्ते कि k का मान ऋणात्मक हो।
हमारे पिछले वीडियो ट्यूटोरियल में, आप फ़ंक्शन y के बराबर k से x से विभाजित, इसके ग्राफ से परिचित हुए, जिसे "हाइपरबोला" कहा जाता है, साथ ही साथ ग्राफ़ के गुण सकारात्मक मूल्यक। यह वीडियो आपको गुणांक k के ऋणात्मक मान के गुणों से परिचित कराएगा, जो है शून्य से कम.
समानता गुण जिसमें y स्वतंत्र चर x द्वारा विभाजित गुणांक k के बराबर होता है, बशर्ते कि गुणांक में हो नकारात्मक अर्थ, वीडियो में प्रस्तुत किया गया है।
इस फ़ंक्शन के गुणों का वर्णन करते समय, सबसे पहले, वे इसके ज्यामितीय मॉडल - हाइपरबोला पर भरोसा करते हैं।
गुण 1. किसी फलन के प्रांत में सभी संख्याएँ होती हैं, लेकिन यह इस प्रकार है कि x 0 के बराबर नहीं हो सकता, क्योंकि आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।
गुण 2. y शून्य से बड़ा है, बशर्ते कि x शून्य से कम हो; और, तदनुसार, इसके विपरीत, y एक मान पर शून्य से कम होता है जब x शून्य से अधिक और अनंत तक की सीमा में होता है।
गुण 3. अंतराल पर फलन शून्य से अनंत तक और शून्य से जमा अनंत तक बढ़ता है: (-∞, 0) और (0, + )।
गुण 4. फलन अनंत है, क्योंकि इसमें नीचे से या ऊपर से कोई प्रतिबंध नहीं है।
गुण 5. फलन का न तो सबसे छोटा और न ही सबसे बड़ा मान है, क्योंकि यह अनंत है।
गुण 6. फलन शून्य से अनंत से शून्य (-∞, 0) और शून्य से अनंत (0, + ) तक के अंतराल पर निरंतर है, और यह इंगित किया जाना चाहिए कि जब x शून्य होता है तो यह एक असंततता से गुजरता है .
संपत्ति 7. कार्यों के मूल्यों की सीमा शून्य से अनंत से शून्य (-∞, 0) और शून्य से प्लस अनंत (0, + ) तक दो खुली किरणों का मिलन है।
उदाहरण वीडियो में बाद में दिए गए हैं। हम उनमें से केवल कुछ पर ही विचार करेंगे, हम अनुशंसा करते हैं कि बाकी को आप स्वयं प्रदान की गई वीडियो सामग्री में देखें।
तो आइए पहले उदाहरण को देखें। समीकरण को हल करना आवश्यक है निम्न प्रकार के: 4 / एक्स = 5-एक्स।
अधिक सुविधा के लिए, हम इस समानता के समाधान को कई चरणों में विभाजित करेंगे:
1) सबसे पहले, हम अपनी समानता को दो अलग-अलग समीकरणों के रूप में लिखते हैं: y = 4 / x और y = 5-x /
2) फिर, जैसा कि वीडियो में दिखाया गया है, हम फ़ंक्शन y = 4 / x को प्लॉट करते हैं, जो एक अतिपरवलय है।
3) इसके बाद, हम एक रैखिक फलन का आलेख बनाते हैं। वी इस मामले मेंयह एक सीधी रेखा है जिसे दो बिंदुओं से खींचा जा सकता है। चार्ट हमारे वीडियो में प्रस्तुत किए गए हैं।
4) पहले से ही ड्राइंग के अनुसार, हम उन बिंदुओं को निर्धारित करते हैं जिन पर हमारे दोनों ग्राफ़ प्रतिच्छेद करते हैं, हाइपरबोला और सीधी रेखा दोनों। यह इंगित किया जाना चाहिए कि वे बिंदु A (1; 4) और B (4; 1) पर प्रतिच्छेद करते हैं। प्राप्त परिणामों के सत्यापन से पता चलता है कि वे सही हैं। इस समीकरण के दो मूल 1 और 4 हो सकते हैं।
वीडियो ट्यूटोरियल में माना जाने वाला अगला उदाहरण निम्नलिखित कार्य है: फ़ंक्शन y = f (x) का ग्राफ बनाएं और पढ़ें, जहां f (x) = -x2, यदि चर x से अधिक से अधिक की सीमा में है या -2 के बराबर और 1 से बड़ा या बराबर है, और y = -1 / x यदि x एक से बड़ा है।
हम कई चरणों में समाधान करते हैं। सबसे पहले, हम फ़ंक्शन y = -x2 का एक ग्राफ बनाते हैं, जिसे "पैराबोला" कहा जाता है, और इसके भाग को - 2 से 1 की सीमा में चुनें। ग्राफ़ देखने के लिए, वीडियो देखें।
अगला कदम समानता y = -1 / x के लिए एक अतिपरवलय का निर्माण करना है, और एक से अनंत तक एक खुली किरण पर इसके भाग का चयन करना है। इसके बाद, हम दोनों ग्राफ़ को एक ही समन्वय प्रणाली में स्थानांतरित करते हैं। परिणामस्वरूप, हमें फलन y = f (x) का एक आलेख प्राप्त होता है।
इसके बाद, आपको फंक्शन y = f (x) का ग्राफ पढ़ना चाहिए:
1. किसी फलन की परिभाषा का क्षेत्र -2 से + तक की एक किरण है।
2. y शून्य के बराबर होता है जब x शून्य के बराबर होता है; y शून्य से कम है यदि x -2 से बड़ा या बराबर है और शून्य से कम है, और यदि x शून्य से बड़ा है।
3. फलन -2 से 0 के परास में बढ़ता है और 1 से अनंत तक के परास में ग्राफ शून्य से एक तक के परास में कमी दर्शाता है।
4. दिए गए पैरामीटर के साथ फ़ंक्शन नीचे और ऊपर से दोनों से घिरा हुआ है।
5. सबसे छोटा मानचर y - 4 के बराबर है और तब समझा जाता है जब x का मान - 2 के स्तर पर हो; और भी सबसे बड़ा मूल्य y 0 है, जो x के शून्य होने पर प्राप्त होता है।
6. परिभाषा के दिए गए क्षेत्र में, हमारा कार्य निरंतर है।
7. फ़ंक्शन मान का परिसर -4 से 0 के अंतराल पर स्थित होता है।
8. फलन -2 से 1 तक के खंड पर ऊपर की ओर उत्तल है और किरण 1 से अनंत तक है।
प्रस्तुत वीडियो को देखकर आप स्वयं शेष उदाहरणों से परिचित हो सकते हैं।
गुण और रेखांकन के लिए असाइनमेंट द्विघात फंक्शनकारण, जैसा कि अभ्यास से पता चलता है, गंभीर कठिनाइयाँ। यह बल्कि अजीब है, क्योंकि 8 वीं कक्षा में द्विघात कार्य पारित किया जाता है, और फिर 9वीं कक्षा की पूरी पहली तिमाही परवलय के गुणों को "मजबूर" कर दिया जाता है और इसके रेखांकन विभिन्न मापदंडों के लिए प्लॉट किए जाते हैं।
यह इस तथ्य के कारण है कि छात्रों को परवलय बनाने के लिए मजबूर करते हुए, वे व्यावहारिक रूप से रेखांकन को "पढ़ने" के लिए समय नहीं देते हैं, अर्थात वे चित्र से प्राप्त जानकारी को समझने का अभ्यास नहीं करते हैं। जाहिर है, यह माना जाता है कि, एक दर्जन या दो रेखांकन बनाने के बाद, एक स्मार्ट छात्र स्वयं सूत्र में गुणांक के बीच संबंध खोजेगा और तैयार करेगा और दिखावटग्राफिक्स। व्यवहार में, यह काम नहीं करता है। ऐसे सामान्यीकरण के लिए यह आवश्यक है गंभीर अनुभवगणित मिनी-अध्ययन, जो निश्चित रूप से, नौवीं कक्षा के अधिकांश छात्रों के पास नहीं है। इस बीच, जीआईए गुणांक के संकेतों को अनुसूची के अनुसार सटीक रूप से निर्धारित करने का प्रस्ताव करता है।
हम स्कूली बच्चों से असंभव की मांग नहीं करेंगे और ऐसी समस्याओं को हल करने के लिए केवल एक एल्गोरिदम की पेशकश करेंगे।
तो, फॉर्म का एक फ़ंक्शन वाई = कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सीद्विघात कहलाता है, इसका आलेख परवलय होता है। जैसा कि नाम से पता चलता है, मुख्य शब्द है कुल्हाड़ी 2... अर्थात् एशून्य नहीं होना चाहिए, अन्य गुणांक ( बीतथा साथ) शून्य के बराबर हो सकता है।
आइए देखें कि इसके गुणांकों के संकेत परवलय की उपस्थिति को कैसे प्रभावित करते हैं।
गुणांक के लिए सबसे सरल संबंध ए... अधिकांश स्कूली बच्चे आत्मविश्वास से उत्तर देते हैं: "अगर ए> 0, तो परवलय की शाखाएं ऊपर की ओर निर्देशित होती हैं, और यदि ए < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой ए > 0.
वाई = 0.5x 2 - 3x + 1
इस मामले में ए = 0,5
और अब के लिए ए < 0:
वाई = - 0.5x2 - 3x + 1
इस मामले में ए = - 0,5
गुणांक का प्रभाव साथट्रेस करना भी काफी आसान है। आइए कल्पना करें कि हम बिंदु पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करना चाहते हैं एक्स= 0. सूत्र में शून्य रखें:
आप = ए 0 2 + बी 0 + सी = सी... परिणाम यह निकला वाई = सी... अर्थात् साथ y-अक्ष के साथ परवलय के प्रतिच्छेदन बिंदु की कोटि है। आमतौर पर, इस बिंदु को चार्ट पर खोजना आसान होता है। और निर्धारित करें कि यह शून्य से ऊपर है या नीचे। अर्थात् साथ> 0 या साथ < 0.
साथ > 0:
वाई = एक्स 2 + 4x + 3
साथ < 0
वाई = एक्स 2 + 4x - 3
तदनुसार, यदि साथ= 0, तो परवलय अनिवार्य रूप से मूल बिंदु से होकर गुजरेगा:
वाई = एक्स 2 + 4x
पैरामीटर के साथ और अधिक कठिन बी... जिस बिंदु पर हम इसे पाएंगे वह न केवल पर निर्भर करता है बीलेकिन से भी ए... यह परवलय का शीर्ष है। इसका भुज (अक्ष के अनुदिश निर्देशांक) एक्स) सूत्र द्वारा पाया जाता है एक्स इन = - बी / (2ए)... इस तरह, बी = - 2х •... यही है, हम निम्नानुसार कार्य करते हैं: चार्ट पर हम परवलय के शीर्ष को पाते हैं, हम इसके भुज का चिन्ह निर्धारित करते हैं, अर्थात हम शून्य के दाईं ओर देखते हैं ( एक्स इन> 0) या बाईं ओर ( एक्स इन < 0) она лежит.
हालाँकि, यह सब नहीं है। हमें गुणांक के चिन्ह पर भी ध्यान देना चाहिए ए... यानी यह देखने के लिए कि परवलय की शाखाओं को कहां निर्देशित किया जाता है। और उसके बाद ही सूत्र के अनुसार बी = - 2х •चिन्ह को पहचानें बी.
आइए एक उदाहरण पर विचार करें:
शाखाओं को ऊपर की ओर निर्देशित किया जाता है, जिसका अर्थ है ए> 0, परवलय अक्ष को पार करता है परशून्य से नीचे का मतलब साथ < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, एक्स इन> 0. इसलिए बी = - 2х • = -++ = -. बी < 0. Окончательно имеем: ए > 0, बी < 0, साथ < 0.
एक रेखीय फलन कहलाता हैसूत्र द्वारा दिया गया फलन वाई = केएक्स + बी
, कहाँ पे कतथा बी- कोई वास्तविक संख्या।
एक रैखिक फलन का आलेख एक सीधी रेखा है।
अगर क= 0, फिर फलन वाई = बीस्थिर कहा जाता है। इसका ग्राफ अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा है ऑक्स.
अगर बी= 0, फिर सूत्र वाई = केएक्ससीधे आनुपातिक संबंध स्थापित करता है। ऐसे फलन का आलेख मूल बिन्दु से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।
विलोम भी सत्य है - कोई भी सीधी रेखा जो अक्ष के समानांतर नहीं है ओए, कुछ रैखिक फलन का आलेख है।
संख्या क
बुलाया सीधी रेखा का ढलान
, यह सीधी रेखा और अक्ष की धनात्मक दिशा के बीच के कोण की स्पर्शरेखा के बराबर है ऑक्स.
आंकड़ा कोण α दिखाता है।
एक ग्राफ बनाएंरैखिक कार्य बहुत आसान है।
किसी भी सीधी रेखा की स्थिति उसके दो बिंदुओं को निर्दिष्ट करके विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है। इसलिए, एक रैखिक फ़ंक्शन पूरी तरह से तर्क के दो मानों के लिए इसके मान निर्दिष्ट करके निर्धारित किया जाता है। उदाहरण के लिए,
| एक्स | 0 | 1 |
| आप | बी | कश्मीर + बी |
यदि आप मेरे छात्र हैं या, आप इन ग्राफ़ के इंटरेक्टिव संस्करणों के साथ काम कर सकते हैं।
रैखिक कार्य गुणपर क ≠ 0, बी ≠ 0.
1) फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है: आरया (-∞; ).
2) समारोह वाई = केएक्स + बीन सम है और न विषम।
3) कब क> 0 फलन नीरस रूप से बढ़ता है, और के लिए क
व्यायाम:
आकृति 4 सीधी रेखाएँ दिखाती है। क्या वे फंक्शन ग्राफ हो सकते हैं? यदि हां, तो पहचानें कि कौन से हैं।
उत्तर देखें।
एक तीव्र या अधिक कोण पर एब्सिस्सा अक्ष की ओर झुकी हुई सीधी रेखाएँ - एक सामान्य रूप के रैखिक कार्य के रेखांकन: वाई = केएक्स + बी।पैरामीटर बीवाई-अक्ष के साथ रेखा के चौराहे के बिंदु से निर्धारित करना आसान है ( ओए) पैरामीटर ककोण α युक्त त्रिभुज की कोशिकाओं का निर्माण करके परिभाषित किया गया है . for धारदार कोनाया उससे सटे - मूर्ख के लिए। सटीक जवाब तस्वीर में हैं।
भुज अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा (यहाँ - क्षैतिज रेखा), एक रैखिक कार्य के एक विशेष रूप का एक ग्राफ है वाई = बी, जिसे स्थिर या स्थिर कहा जाता है। इस फ़ंक्शन का मान नहीं बदलता है, इसलिए ग्राफ़ बिंदु के निर्देशांक हमेशा अक्ष के सापेक्ष समान ऊंचाई पर होते हैं ऑक्स.
अगली सीधी रेखा किसी फलन का आलेख नहीं है। यहां कोई अस्पष्टता नहीं है। अगर एक्स= 6, तब आप=? कोई वास्तविक संख्या! अर्थात्, फ़ंक्शन की परिभाषा इसके लिए संतुष्ट नहीं है, अर्थात् शर्त यह है कि तर्क का प्रत्येक मान एक्सएक एकल फ़ंक्शन मान से मेल खाना चाहिए आप... लेकिन हम ऐसी रेखाओं का भी सामना करते हैं, उदाहरण के लिए, लंबवत स्पर्शोन्मुख के रूप में। इसलिए, आपको यह जानने की जरूरत है कि उनका समीकरण एक्स = ए, कहाँ पे ए- एक दी गई संख्या।
कार्यों से डेरिवेटिव लेना सीखें।व्युत्पन्न इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित एक निश्चित बिंदु पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। इस मामले में, ग्राफ या तो सीधी या घुमावदार रेखा हो सकती है। यही है, व्युत्पन्न समय में किसी विशेष क्षण में फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर को दर्शाता है। याद रखना सामान्य नियम, जिसके द्वारा डेरिवेटिव लिया जाता है, और उसके बाद ही अगले चरण पर आगे बढ़ें।
- यह पढ़ो।
- सरलतम डेरिवेटिव कैसे लें, उदाहरण के लिए, घातीय समीकरण के व्युत्पन्न का वर्णन किया गया है। निम्नलिखित चरणों में प्रस्तुत गणना इसमें वर्णित विधियों पर आधारित होगी।
उन समस्याओं के बीच अंतर करना सीखें जिनमें किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के संदर्भ में ढलान की गणना करने की आवश्यकता होती है।समस्याओं में हमेशा ढलान या किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने का प्रस्ताव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, आपको बिंदु A (x, y) पर किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर ज्ञात करने के लिए कहा जा सकता है। आपको बिंदु A (x, y) पर स्पर्शरेखा का ढलान खोजने के लिए भी कहा जा सकता है। दोनों ही मामलों में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लेना आवश्यक है।
आपको दिए गए फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें।आपको यहां ग्राफ़ बनाने की आवश्यकता नहीं है - आपको केवल फ़ंक्शन के समीकरण की आवश्यकता है। हमारे उदाहरण में, फ़ंक्शन का व्युत्पन्न लें। ऊपर वर्णित लेख में उल्लिखित विधियों के अनुसार व्युत्पन्न लें:
- व्युत्पन्न:
ढलान की गणना के लिए मिले व्युत्पन्न में आपको दिए गए बिंदु के निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करें।किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न किसी विशेष बिंदु पर ढलान के बराबर होता है। दूसरे शब्दों में, f "(x) किसी भी बिंदु (x, f (x)) पर फ़ंक्शन का ढलान है। हमारे उदाहरण में:
- फ़ंक्शन का ढलान खोजें f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ (2) + 6x)बिंदु ए (4.2) पर।
- फ़ंक्शन का व्युत्पन्न:
- f (x) = 4 x + 6 (\ डिस्प्लेस्टाइल f "(x) = 4x + 6)
- इस बिंदु के x-निर्देशांक के लिए मान रखिए:
- एफ ′ (एक्स) = 4 (4) + 6 (\ डिस्प्लेस्टाइल एफ "(एक्स) = 4 (4) +6)
- ढलान का पता लगाएं:
- एक समारोह की ढलान f (x) = 2 x 2 + 6 x (\ डिस्प्लेस्टाइल f (x) = 2x ^ (2) + 6x)बिंदु A (4.2) पर 22 है।
यदि संभव हो तो ग्राफ़ पर अपने उत्तर की जाँच करें।याद रखें कि ढलान की गणना हर बिंदु पर नहीं की जा सकती है। डिफरेंशियल कैलकुलस जटिल कार्यों और जटिल ग्राफ़ पर विचार करता है, जहाँ ढलान की गणना हर बिंदु पर नहीं की जा सकती है, और कुछ मामलों में बिंदु ग्राफ़ पर बिल्कुल भी नहीं होते हैं। यदि संभव हो, तो यह देखने के लिए कि आपको दिए गए फ़ंक्शन के लिए ढलान की गणना सही ढंग से की जा रही है, एक रेखांकन कैलकुलेटर का उपयोग करें। अन्यथा, आपको दिए गए बिंदु पर ग्राफ़ पर एक स्पर्शरेखा बनाएं और विचार करें कि क्या आपको मिला ढलान मान ग्राफ़ पर दिखाई देने वाले से मेल खाता है।
- स्पर्शरेखा का ढलान एक विशेष बिंदु पर फ़ंक्शन ग्राफ़ के समान होगा। किसी दिए गए बिंदु पर एक स्पर्शरेखा खींचने के लिए, एक्स-अक्ष के साथ दाएं / बाएं जाएं (हमारे उदाहरण में, 22 मान दाईं ओर), और फिर वाई-अक्ष के साथ एक इकाई ऊपर। बिंदु को चिह्नित करें, और फिर इसे आपको दिए गए बिंदु से जोड़ दें। हमारे उदाहरण में, निर्देशांक (4,2) और (26,3) पर बिंदुओं को कनेक्ट करें।
