एक फ़ंक्शन को सम (विषम) कहा जाता है, यदि कोई हो और समानता 
.
एक सम फलन का ग्राफ अक्ष के परितः सममित होता है 
.
एक विषम फलन का आलेख मूल के परितः सममित होता है।
उदाहरण 6.2।सम या विषम कार्यों के लिए जाँच करें
1)
;
2)
;
3)
.
समाधान.
1) फ़ंक्शन को के साथ परिभाषित किया गया है 
. पता लगाते हैं 
.
वे। 
. साधन, दिया गया कार्यसम है।
2) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है 
वे। 
. इस प्रकार, यह फ़ंक्शन विषम है।
3) फ़ंक्शन के लिए परिभाषित किया गया है, अर्थात। के लिये
,
. इसलिए, फलन न तो सम है और न ही विषम। आइए इसे एक सामान्य कार्य कहते हैं।
3. एकरसता के लिए एक समारोह की जांच।
समारोह 
किसी अंतराल पर बढ़ना (घटाना) कहलाता है, यदि इस अंतराल में प्रत्येक अधिक मूल्यतर्क फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।
कुछ अंतराल पर बढ़ते (घटते) होने वाले कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है।
यदि समारोह 
अंतराल पर अवकलनीय 
और एक सकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है 
, फिर समारोह 
इस अंतराल में बढ़ता (घटता) है।
उदाहरण 6.3. कार्यों की एकरसता के अंतराल खोजें
1)
;
3)
.
समाधान.
1) यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या अक्ष पर परिभाषित किया गया है। आइए व्युत्पन्न खोजें।
व्युत्पन्न शून्य है यदि 
और 
. परिभाषा का क्षेत्र - अंक से विभाजित संख्यात्मक अक्ष 
,
अंतराल के लिए। आइए हम प्रत्येक अंतराल में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।
अंतराल में 
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इस अंतराल पर फलन घटता है।
अंतराल में 
व्युत्पन्न धनात्मक है, इसलिए इस अंतराल पर फलन बढ़ रहा है।
2) यह फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है यदि 
या
.
हम प्रत्येक अंतराल में वर्ग त्रिपद का चिन्ह निर्धारित करते हैं।
इस प्रकार, समारोह का दायरा
आइए व्युत्पन्न खोजें 
,
, अगर 
, अर्थात। 
, लेकिन 
. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें 
.
अंतराल में 
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इसलिए, अंतराल पर फलन घटता है 
. अंतराल में 
व्युत्पन्न सकारात्मक है, अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है 
.
4. एक चरम के लिए एक समारोह की जांच।
दूरसंचार विभाग 
फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहलाता है 
, अगर बिंदु का ऐसा कोई पड़ोस है 
कि सबके लिए 
यह पड़ोस असमानता को संतुष्ट करता है 
.
किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम बिन्दुओं को चरम बिन्दु कहते हैं।
यदि समारोह 
बिंदु पर 
एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)।
जिन बिंदुओं पर व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है उन्हें महत्वपूर्ण कहा जाता है।
5. एक चरम सीमा के अस्तित्व के लिए पर्याप्त शर्तें।
नियम 1. यदि संक्रमण के दौरान (बाएं से दाएं) महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से 
यौगिक 
संकेत को "+" से "-" में बदल देता है, फिर बिंदु पर 
समारोह 
अधिकतम है; यदि "-" से "+" तक, तो न्यूनतम; अगर 
संकेत नहीं बदलता है, तो कोई चरम नहीं है।
नियम 2. बिंदु पर चलो 
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न 
शून्य 
, और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और गैर-शून्य है। अगर 
, फिर 
अधिकतम बिंदु है, यदि 
, फिर 
फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु है।
उदाहरण 6.4 . अधिकतम और न्यूनतम कार्यों का अन्वेषण करें:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
समाधान।
1) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है 
.
आइए व्युत्पन्न खोजें 
और समीकरण को हल करें 
, अर्थात। 
।यहाँ से 
महत्वपूर्ण बिंदु हैं।
आइए हम अंतराल में व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें, 
.
बिंदुओं से गुजरते समय 
और 
व्युत्पन्न परिवर्तन "-" से "+" तक संकेत करते हैं, इसलिए, नियम 1 के अनुसार 
न्यूनतम अंक हैं।
एक बिंदु से गुजरते समय 
व्युत्पन्न परिवर्तन "+" से "-" में संकेत करते हैं, इसलिए 
अधिकतम बिंदु है।
,
.
2) फ़ंक्शन परिभाषित है और अंतराल में निरंतर है 
. आइए व्युत्पन्न खोजें 
.
समीकरण को हल करके 
, पाना 
और 
महत्वपूर्ण बिंदु हैं। यदि हर 
, अर्थात। 
, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। इसलिए, 
तीसरा महत्वपूर्ण बिंदु है। आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।
इसलिए, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है 
, अधिकतम बिंदुओं पर 
और 
.
3) एक फलन परिभाषित और सतत होता है यदि 
, अर्थात। पर 
.
आइए व्युत्पन्न खोजें 
.
आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु: 
अंक के पड़ोस 
परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, इसलिए वे चरम टी नहीं हैं। तो आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदुओं के बारे में 
और 
.
4) फ़ंक्शन परिभाषित और अंतराल पर निरंतर है 
. हम नियम 2 का प्रयोग करते हैं। अवकलज ज्ञात कीजिए 
.
आइए जानें महत्वपूर्ण बिंदु:
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें 
और बिंदुओं पर अपना चिन्ह निर्धारित करें 
बिंदुओं पर 
फ़ंक्शन न्यूनतम है।
बिंदुओं पर 
फ़ंक्शन की अधिकतम है।
सम और विषम फलनों के रेखांकन में निम्नलिखित विशेषताएं हैं:
यदि कोई फलन सम है, तो उसका ग्राफ y-अक्ष के परितः सममित होता है। यदि कोई फलन विषम है, तो उसका ग्राफ मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होता है।
उदाहरण।फ़ंक्शन को प्लॉट करें \(y=\बाएं|x \दाएं|\)।समाधान।फ़ंक्शन पर विचार करें: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) और विपरीत \(-x \) के लिए \(x \) स्थानापन्न करें। सरल परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ In दूसरे शब्दों में, यदि तर्क को विपरीत चिह्न से प्रतिस्थापित किया जाए, तो फलन नहीं बदलेगा।
इसका मतलब है कि यह फ़ंक्शन सम है, और इसका ग्राफ y-अक्ष (ऊर्ध्वाधर अक्ष) के बारे में सममित होगा। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इसका मतलब यह है कि एक ग्राफ की साजिश करते समय, आप केवल आधा, और दूसरा भाग (ऊर्ध्वाधर अक्ष के बाईं ओर, पहले से ही सममित रूप से दाईं ओर खींच सकते हैं) खींच सकते हैं। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ को प्लॉट करना शुरू करने से पहले उसकी समरूपता का निर्धारण करके, आप किसी फ़ंक्शन के निर्माण या अध्ययन की प्रक्रिया को बहुत सरल कर सकते हैं। यदि सामान्य रूप में जांच करना मुश्किल है, तो आप इसे आसान कर सकते हैं: समीकरण में स्थानापन्न करें समान मूल्यविभिन्न संकेत। उदाहरण के लिए -5 और 5। यदि फ़ंक्शन के मान समान हैं, तो हम उम्मीद कर सकते हैं कि फ़ंक्शन भी होगा। गणित की दृष्टि से यह उपागम पूरी तरह से सही नहीं है, लेकिन व्यावहारिक दृष्टि से यह सुविधाजनक है। परिणाम की विश्वसनीयता बढ़ाने के लिए, आप ऐसे विपरीत मूल्यों के कई जोड़े स्थानापन्न कर सकते हैं।
उदाहरण।फ़ंक्शन को प्लॉट करें \(y=x\बाएं|x \दाएं|\)।
समाधान।आइए पिछले उदाहरण की तरह ही जांचें: $$f\बाएं(-x \दाएं)=x\बाएं|-x \दाएं|=-x\बाएं|x \दाएं|=-f\बाएं(x \दाएं) ) $$ इसका मतलब है कि मूल फ़ंक्शन विषम है (फ़ंक्शन का चिह्न उलट है)।
निष्कर्ष: फलन मूल के संबंध में सममित है। आप केवल एक आधा बना सकते हैं, और दूसरा आधा सममित रूप से बना सकते हैं। इस समरूपता को खींचना अधिक कठिन है। इसका मतलब है कि आप चार्ट को शीट के दूसरी तरफ से देख रहे हैं, और यहां तक कि उल्टा भी हो गया है। और आप यह भी कर सकते हैं: खींचा हुआ भाग लें और इसे 180 डिग्री वामावर्त घुमाएँ।
उदाहरण।फ़ंक्शन को प्लॉट करें \(y=x^3+x^2\)।
समाधान।आइए पिछले दो उदाहरणों की तरह ही साइन चेंज चेक करें। $$f\बाएं(-x \दाएं)=\बाएं(-x \दाएं)^3+\बाएं(-x \दाएं)^2=-x^2+x^2$$ $$f\बाएं( -x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन न तो सम है और न ही विषम .
निष्कर्ष: फलन या तो मूल के बारे में या समन्वय प्रणाली के केंद्र के बारे में सममित नहीं है। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि यह दो कार्यों का योग है: सम और विषम। दो . घटाने पर भी यही स्थिति होगी विभिन्न कार्य. लेकिन गुणा या भाग एक अलग परिणाम की ओर ले जाएगा। उदाहरण के लिए, एक सम और विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन देता है। या दो विषम का भागफल एक सम फलन की ओर ले जाता है।
पीछे की ओर आगे की ओर
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लक्ष्य:
- सम और विषम कार्यों की अवधारणा बनाने के लिए, इन गुणों को निर्धारित करने और उपयोग करने की क्षमता सिखाने के लिए जब समारोह अनुसंधान, साजिश रचना;
- छात्रों की रचनात्मक गतिविधि को विकसित करने के लिए, तार्किक साेच, तुलना करने की क्षमता, सामान्यीकरण;
- परिश्रम, गणितीय संस्कृति की खेती करना; संचार कौशल विकसित करें .
उपकरण:मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स।
काम के रूप:खोज और अनुसंधान गतिविधियों के तत्वों के साथ ललाट और समूह।
सूत्रों की जानकारी:
1. बीजगणित कक्षा 9 ए.जी. मोर्दकोविच। पाठ्यपुस्तक।
2. बीजगणित ग्रेड 9 ए.जी. मोर्दकोविच। कार्यपुस्तिका।
3. बीजगणित ग्रेड 9. छात्रों के सीखने और विकास के लिए कार्य। बेलेंकोवा ई.यू. लेबेदित्सेवा ई.ए.
कक्षाओं के दौरान
1. संगठनात्मक क्षण
पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।
2. होमवर्क की जाँच करना
नंबर 10.17 (समस्या पुस्तक 9 वीं कक्षा ए.जी. मोर्दकोविच)।
लेकिन) पर = एफ(एक्स), एफ(एक्स) = 
बी) एफ (–2) = –3; एफ (0) = –1; एफ(5) = 69;
सी) 1. डी ( एफ) = [– 2; + ∞)
2. ई( एफ) = [– 3; + ∞)
3. एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स ~ 0,4
4. एफ(एक्स)>0 बजे एक्स > 0,4 ; एफ(एक्स)
< 0 при – 2 <
एक्स <
0,4.
5. फलन के साथ बढ़ता है एक्स € [– 2; + ∞)
6. फ़ंक्शन नीचे से सीमित है।
7. परकिराया = - 3, परनायब मौजूद नहीं है
8. फ़ंक्शन निरंतर है।
(क्या आपने फीचर एक्सप्लोरेशन एल्गोरिथम का उपयोग किया था?) फिसल पट्टी।
2. आइए उस तालिका की जांच करें जो आपसे स्लाइड पर पूछी गई थी।
| तालिका भरें | |||||
कार्यक्षेत्र |
फंक्शन जीरो |
निरंतरता अंतराल |
Oy . के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक | ||
 |
एक्स = -5, |
€ (-5;3) यू |
х € (-∞;–5) यू |
||
 |
एक्स -5, |
€ (-5;3) यू |
х € (-∞;–5) यू |
||
एक्स -5, |
एक्स € (-∞; -5) यू |
एक्स € (-5; 2) |
|||
3. ज्ञान अद्यतन
- फंक्शन दिए गए हैं।
- प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट करें।
- तर्क मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करें: 1 और -1; 2 और - 2.
- परिभाषा के क्षेत्र में दिए गए कार्यों में से किसके लिए समानताएं हैं एफ(– एक्स)
= एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स)? (डेटा को तालिका में रखें) फिसल पट्टी
| एफ(1) और एफ(– 1) | एफ(2) और एफ(– 2) | चार्ट | एफ(– एक्स) = –एफ(एक्स) | एफ(– एक्स) = एफ(एक्स) | ||
| 1. एफ(एक्स) = | ||||||
| 2. एफ(एक्स) = एक्स 3 | ||||||
| 3. एफ(एक्स) = | एक्स | | ||||||
| 4.एफ(एक्स) = 2एक्स – 3 | ||||||
| 5. एफ(एक्स) = | एक्स ≠ 0 |
|||||
| 6. एफ(एक्स)= | एक्स > –1 | और परिभाषित नहीं। |
4. नई सामग्री
- प्रदर्शन इस काम, दोस्तों, हमने फ़ंक्शन की एक और संपत्ति का खुलासा किया है, जो आपके लिए अपरिचित है, लेकिन बाकी से कम महत्वपूर्ण नहीं है - यह सम और विषम फ़ंक्शन है। पाठ का विषय लिखें: "सम और विषम कार्य", हमारा कार्य यह सीखना है कि सम और विषम कार्यों को कैसे निर्धारित किया जाए, कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन में इस संपत्ति के महत्व का पता लगाएं।
तो, आइए पाठ्यपुस्तक में परिभाषाएँ खोजें और पढ़ें (पृष्ठ 110) . फिसल पट्टी
डीईएफ़। एकसमारोह पर = एफ (एक्स) सेट एक्स पर परिभाषित कहा जाता है यहाँ तक की, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सЄ एक्स प्रगति पर समानता f (-x) = f (x)। उदाहरण दो।
डीईएफ़। 2समारोह वाई = एफ (एक्स), सेट X पर परिभाषित कहा जाता है अजीब, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सएक्स समानता f(–х)= –f(х) संतुष्ट है। उदाहरण दो।
हम "सम" और "विषम" शब्द कहां से मिले?
इनमें से कौन सा फलन सम होगा, क्या आपको लगता है? क्यों? कौन से अजीब हैं? क्यों?
फॉर्म के किसी भी फंक्शन के लिए पर= एक्स एन, कहाँ पे एनएक पूर्णांक है, यह तर्क दिया जा सकता है कि फलन के लिए विषम है एनविषम है और फलन सम है एन- यहाँ तक की।
- कार्य देखें पर= और पर = 2एक्स- 3 न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि समानताएं पूरी नहीं हुई हैं एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स), एफ(–
एक्स) = एफ(एक्स)
किसी फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।फिसल पट्टी
परिभाषाएँ 1 और 2 x और - x पर फ़ंक्शन के मानों से निपटते हैं, इस प्रकार यह माना जाता है कि फ़ंक्शन को मान पर भी परिभाषित किया गया है एक्स, और कम से - एक्स.
ओडीए 3.यदि किसी संख्या में उसके प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव x है, तो समुच्चय एक्ससममित समुच्चय कहलाता है।
उदाहरण:
(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) सममित समुच्चय हैं, और [–5;4] असममित हैं।
- क्या फ़ंक्शन में भी परिभाषा का एक डोमेन होता है - एक सममित सेट? अजीब वाले?
- अगर डी ( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो कार्य क्या है?
- इस प्रकार, यदि फलन पर = एफ(एक्स) सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा का क्षेत्र D है ( एफ) एक सममित सेट है। लेकिन क्या इसका विलोम सत्य है, यदि किसी फलन का प्रांत एक सममित समुच्चय है, तो यह सम या विषम है?
- तो परिभाषा के क्षेत्र के एक सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
- तो हम समानता के लिए फ़ंक्शन की जांच कैसे कर सकते हैं? आइए एक एल्गोरिथम लिखने का प्रयास करें।
फिसल पट्टी
समता के लिए एक समारोह की जांच के लिए एल्गोरिदम
1. निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन का डोमेन सममित है। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम। यदि हाँ, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएँ।
2. के लिए व्यंजक लिखिए एफ(–एक्स).
3. तुलना करें एफ(–एक्स)।और एफ(एक्स):
- अगर एफ(–एक्स).= एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन सम है;
- अगर एफ(–एक्स).= – एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन विषम है;
- अगर एफ(–एक्स) ≠ एफ(एक्स) और एफ(–एक्स) ≠ –एफ(एक्स), तो फलन न तो सम है और न ही विषम।
उदाहरण:
समता के लिए फलन की जाँच कीजिए a) पर= एक्स 5 +; बी) पर=; में) पर= .
समाधान।
ए) एच (एक्स) \u003d एक्स 5 +,
1) डी(एच) = (-∞; 0) यू (0; +∞), सममित सेट।
2) एच (- एक्स) \u003d (-एक्स) 5 + - एक्स 5 - \u003d - (एक्स 5 +),
3) एच (- एक्स) \u003d - एच (एक्स) \u003d\u003e फ़ंक्शन एच (एक्स)= x 5 + विषम।
बी) वाई =,
पर = एफ(एक्स), डी (एफ) = (-∞; -9)? (–9; +∞), असममित समुच्चय, इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम।
में) एफ(एक्स) = , y = f(x),
1)डी( एफ) = (-∞; 3] ; बी) (∞; -2), (-4; 4]?
विकल्प 2
1. क्या दिया गया समुच्चय सममित है: a) [-2;2]; बी) (∞; 0], (0; 7)?
लेकिन); बी) वाई \u003d एक्स (5 - एक्स 2)।
ए) वाई \u003d एक्स 2 (2x - एक्स 3), बी) वाई \u003d
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक समान कार्य है।
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक विषम कार्य है।
म्युचुअल चेक ऑन फिसल पट्टी।
6. गृहकार्य: №11.11, 11.21,11.22;
समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण।
*** (यूएसई विकल्प का असाइनमेंट)।
1. विषम फलन y \u003d f (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित है। चर x के किसी भी गैर-ऋणात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान के साथ मेल खाता है ( एक्स) = एक्स(एक्स + 1)(एक्स + 3)(एक्स- 7)। फ़ंक्शन h का मान ज्ञात कीजिए ( एक्स) = अत एक्स = 3.
7. संक्षेप करना
यहाँ तक की, यदि इसके डोमेन से सभी \(x\) के लिए सत्य है: \(f(-x)=f(x)\) ।
एक सम फलन का ग्राफ \(y\) अक्ष के बारे में सममित है:
उदाहरण: फलन \(f(x)=x^2+\cos x\) सम है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangleright\) फंक्शन \(f(x)\) को कहा जाता है अजीब, यदि इसके डोमेन से सभी \(x\) के लिए सत्य है: \(f(-x)=-f(x)\) ।
एक विषम फलन का ग्राफ मूल के संबंध में सममित होता है:
उदाहरण: फलन \(f(x)=x^3+x\) विषम है क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) ऐसे फलन जो न तो सम और न ही विषम होते हैं, फलन कहलाते हैं सामान्य रूप से देखें. इस तरह के एक फ़ंक्शन को हमेशा एक सम और एक विषम फ़ंक्शन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, फलन \(f(x)=x^2-x\) एक सम फलन \(f_1=x^2\) और एक विषम फलन \(f_2=-x\) का योग है।
\(\blacktriangleright\) कुछ गुण:
1) समान समता के दो फलनों का गुणनफल और भागफल - यहां तक कि समारोह.
2) भिन्न समता के दो फलनों का गुणनफल और भागफल - पुराना फंक्शन.
3) सम फलनों का योग और अंतर एक सम फलन होता है।
4) विषम फलनों का योग और अंतर एक विषम फलन होता है।
5) यदि \(f(x)\) एक सम फलन है, तो समीकरण \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) का एक अद्वितीय मूल होता है यदि और केवल यदि, कब \(x =0\) ।
6) यदि \(f(x)\) एक सम या विषम फलन है, और समीकरण \(f(x)=0\) का एक मूल \(x=b\) है, तो यह समीकरण अनिवार्य रूप से एक सेकंड होगा रूट \(x =-b\) ।
\(\blacktriangleright\) एक फ़ंक्शन \(f(x)\) को \(X\) पर आवधिक कहा जाता है यदि किसी संख्या \(T\ne 0\) के लिए हमारे पास \(f(x)=f(x+) है टी) \) , जहां \(x, x+T\in X\) । सबसे छोटा \(T\) , जिसके लिए यह समानता है, फ़ंक्शन की मुख्य (मूल) अवधि कहलाती है।
एक आवधिक फ़ंक्शन में \(nT\) रूप की कोई भी संख्या होती है, जहां \(n\in \mathbb(Z)\) भी एक अवधि होगी।
उदाहरण: कोई भी त्रिकोणमितीय फलनआवधिक है;
फलन \(f(x)=\sin x\) और \(f(x)=\cos x\) मुख्य अवधि\(2\pi\) के बराबर है, कार्यों की मुख्य अवधि \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) और \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x \) \ (\pi\) है।
किसी आवर्त फलन को आलेखित करने के लिए, आप लंबाई के किसी भी खंड \(T\) (मुख्य अवधि) पर उसका आलेख आलेखित कर सकते हैं; तब संपूर्ण फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्मित भाग को पूर्णांक संख्या द्वारा दाईं और बाईं ओर स्थानांतरित करके पूरा किया जाता है:
\(\blacktriangleright\) फ़ंक्शन का डोमेन \(D(f)\) \(f(x)\) तर्क के सभी मानों से युक्त सेट है \(x\) जिसके लिए फ़ंक्शन समझ में आता है (परिभषित किया)।
उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=\sqrt x+1\) में परिभाषा का एक डोमेन है: \(x\in
टास्क 1 #6364
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर के किन मानों के लिए \(a\) समीकरण
यह है केवल निर्णय?
ध्यान दें कि चूंकि \(x^2\) और \(\cos x\) सम फलन हैं, यदि समीकरण का एक मूल \(x_0\) है, तो इसका एक मूल \(-x_0\) भी होगा।
वास्तव में, \(x_0\) को एक मूल होने दें, अर्थात समानता \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)सही। स्थानापन्न \(-x_0\) : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
इस प्रकार, यदि \(x_0\ne 0\) , तो समीकरण में पहले से ही कम से कम दो मूल होंगे। इसलिए, \(x_0=0\) । फिर:
हमें दो पैरामीटर मान \(a\) मिले हैं। ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि \(x=0\) वास्तव में मूल समीकरण का मूल है। लेकिन हमने कभी इस तथ्य का इस्तेमाल नहीं किया कि वह अकेला है। इसलिए, पैरामीटर \(a\) के परिणामी मानों को मूल समीकरण में स्थानापन्न करना और यह जांचना आवश्यक है कि कौन सा \(a\) मूल \(x=0\) वास्तव में अद्वितीय होगा।
1) यदि \(a=0\) , तो समीकरण \(2x^2=0\) का रूप लेगा। जाहिर है, इस समीकरण का केवल एक मूल \(x=0\) है। इसलिए, मान \(a=0\) हमें सूट करता है।
2) अगर \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , तो समीकरण रूप लेता है \ हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं \ इसलिये \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), फिर \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). इसलिए, समीकरण (*) के दाईं ओर के मान अंतराल के हैं \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
चूंकि \(x^2\geqslant 0\) , तो समीकरण (*) का बायां पक्ष \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) से बड़ा या उसके बराबर है।
इस प्रकार, समानता (*) तभी धारण की जा सकती है जब समीकरण के दोनों पक्ष \(\mathrm(tg)^2\,1\) के बराबर हों। और इसका मतलब है कि \[\begin(मामलों) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]इसलिए, मान \(a=-\mathrm(tg)\,1\) हमें सूट करता है।
उत्तर:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
टास्क 2 #3923
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर के सभी मान खोजें \(a\) , जिनमें से प्रत्येक के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ \
उत्पत्ति के बारे में सममित।
यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के संबंध में सममित है, तो ऐसा फ़ंक्शन विषम है, अर्थात, \(f(-x)=-f(x)\) किसी भी \(x\) के लिए संतुष्ट है। फ़ंक्शन का डोमेन। इस प्रकार, उन पैरामीटर मानों को खोजना आवश्यक है जिनके लिए \(f(-x)=-f(x).\)
\[\शुरू(गठबंधन) और3\mathrm(tg)\,\बाएं(-\dfrac(कुल्हाड़ी)5\दाएं)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\बाएं(3\ Mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \Rightarrow\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ पाप \dfrac(8\pi a-3x)4\right) \quad \Rightarrow\\ \Rightarrow\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \Rightarrow \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \बाएं(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \Rightarrow\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ फ़्रैक34 x=0 \end(गठबंधन)\]
अंतिम समीकरण डोमेन \(f(x)\) से सभी \(x\) के लिए होना चाहिए, इसलिए \(\sin(2\pi a)=0 \Rightarrow a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
उत्तर:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
टास्क 3 #3069
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर के सभी मान खोजें \(a\) , जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \ के 4 समाधान हैं, जहां \(f\) अवधि \(T=\dfrac(16)3\) के साथ एक सम आवर्ती फलन है। संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित किया गया है, और \(f(x)=ax^2\) for \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(ग्राहकों से कार्य)
चूँकि \(f(x)\) एक सम फलन है, इसका ग्राफ y-अक्ष के सापेक्ष सममित है, इसलिए, जब \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) । इस प्रकार, अत \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), और यह लंबाई का एक खंड है \(\dfrac(16)3\) , फ़ंक्शन \(f(x)=ax^2\) ।
1) चलो \(a>0\) । तब फ़ंक्शन का ग्राफ़ \(f(x)\) इस तरह दिखेगा: 
फिर, समीकरण के 4 समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि ग्राफ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) बिंदु \(A\) से होकर गुजरता है: 
फलस्वरूप, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(एकत्रित)\begin(aligned) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a \end(गठबंधन) \end(एकत्रित)\दाएं। \quad\Leftrightarrow\quad \ left [\ start (एकत्रित) \ start (गठबंधन) और a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(aligned) \end( एकत्रित)\दाएं।\]चूंकि \(a>0\) , तो \(a=\dfrac(18)(23)\) ठीक है।
2) चलो \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
बिंदु \(B\) से गुजरने के लिए हमें ग्राफ \(g(x)\) की आवश्यकता है: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(gathered)\begin(aligned) &a=\dfrac(18)(23 )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(संरेखित) \end(एकत्रित)\दाएं।\]से एक<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) वह मामला जहां \(a=0\) उपयुक्त नहीं है, क्योंकि तब \(f(x)=0\) सभी के लिए \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) और The समीकरण का केवल 1 मूल होगा।
उत्तर:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
टास्क 4 #3072
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
सभी मान खोजें \(a\) , जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \
कम से कम एक जड़ है।
(ग्राहकों से कार्य)
हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं \
और दो कार्यों पर विचार करें: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) और \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
फ़ंक्शन \(g(x)\) सम है, एक न्यूनतम बिंदु \(x=0\) (और \(g(0)=49\) ) है।
\(x>0\) के लिए फलन \(f(x)\) घट रहा है, और \(x . के लिए)<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
दरअसल, \(x>0\) के लिए दूसरा मॉड्यूल सकारात्मक रूप से फैलता है (\(|x|=x\) ), इसलिए, इस बात की परवाह किए बिना कि पहला मॉड्यूल कैसे फैलता है, \(f(x)\) बराबर होगा \ ( kx+A\) , जहां \(A\) \(a\) से एक व्यंजक है, और \(k\) या तो \(-9\) या \(-3\) के बराबर है। \(x .) के लिए<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
अधिकतम बिंदु पर मान \(f\) ज्ञात कीजिए: \ 
समीकरण के लिए कम से कम एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु हो। इसलिए, आपको चाहिए: \ \\]
उत्तर:
\(ए\इन \(-7\)\कप\)
टास्क 5 #3912
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर के सभी मान खोजें \(a\) , जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \
छह अलग-अलग समाधान हैं।
आइए प्रतिस्थापन करें \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) । तब समीकरण का रूप ले लेगा \
हम धीरे-धीरे उन शर्तों को लिखेंगे जिनके तहत मूल समीकरण के छह हल होंगे।
ध्यान दें कि द्विघात समीकरण \((*)\) के अधिकतम दो हल हो सकते हैं। किसी भी घन समीकरण \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) के तीन से अधिक समाधान नहीं हो सकते हैं। इसलिए, यदि समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान हैं (सकारात्मक!, क्योंकि \(t\) शून्य से बड़ा होना चाहिए) \(t_1\) और \(t_2\) , तो, उल्टा कर दिया प्रतिस्थापन, हम प्राप्त करते हैं: \[\बाएं[\शुरू (एकत्रित)\शुरू (गठबंधन) और(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(गठबंधन)\end(इकट्ठे)\दाएं।\]चूँकि किसी भी धनात्मक संख्या को कुछ हद तक \(\sqrt2\) के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), तो सेट के पहले समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा \
जैसा कि हमने पहले ही कहा है, किसी भी घन समीकरण के तीन से अधिक समाधान नहीं होते हैं, इसलिए समुच्चय के प्रत्येक समीकरण के तीन से अधिक समाधान नहीं होंगे। इसका मतलब है कि पूरे सेट में छह से अधिक समाधान नहीं होंगे।
इसका मतलब यह है कि मूल समीकरण के छह समाधान होने के लिए, द्विघात समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान होने चाहिए, और प्रत्येक परिणामी घन समीकरण (सेट से) के तीन अलग-अलग समाधान होने चाहिए (और एक नहीं एक समीकरण का हल किसके साथ मेल खाना चाहिए - या दूसरे के निर्णय से!)
जाहिर है, यदि द्विघात समीकरण \((*)\) का एक हल है, तो हमें मूल समीकरण के छह हल नहीं मिलेंगे।
इस प्रकार, समाधान योजना स्पष्ट हो जाती है। आइए उन शर्तों को लिखें जिन्हें बिंदु-दर-बिंदु पूरा किया जाना चाहिए।
1) समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान होने के लिए, इसका विवेचक सकारात्मक होना चाहिए: \
2) हमें सकारात्मक होने के लिए दोनों जड़ों की भी आवश्यकता है (क्योंकि \(t>0\) )। यदि दो मूलों का गुणनफल धनात्मक है और उनका योग धनात्मक है, तो मूल स्वयं धनात्मक होंगे। इसलिए, आपको चाहिए: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
इस प्रकार, हम पहले से ही अपने आप को दो अलग-अलग सकारात्मक जड़ें \(t_1\) और \(t_2\) प्रदान कर चुके हैं।
3)
आइए इस समीकरण को देखें \
किसके लिए \(t\) इसके तीन अलग-अलग समाधान होंगे? इस प्रकार, हमने निर्धारित किया है कि समीकरण \((*)\) के दोनों मूल अंतराल \((1;4)\) में स्थित होने चाहिए। इस स्थिति को कैसे लिखें? चार अलग-अलग गैर-शून्य जड़ें थीं, जो एक अंकगणितीय प्रगति \(x=0\) के साथ मिलकर प्रतिनिधित्व करती हैं। ध्यान दें कि फ़ंक्शन \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) सम है, इसलिए यदि \(x_0\) समीकरण का मूल है \((* )\ ) , तो \(-x_0\) भी इसका मूल होगा। फिर यह आवश्यक है कि इस समीकरण के मूल आरोही क्रम में क्रमित संख्याएँ हों: \(-2d, -d, d, 2d\) (तब \(d>0\) )। यह तब है कि ये पांच संख्याएं एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं (अंतर \(d\) के साथ)। इन जड़ों के लिए संख्याएँ \(-2d, -d, d, 2d\) होना आवश्यक है, यह आवश्यक है कि संख्याएँ \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) की जड़ें हों समीकरण \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) । फिर विएटा के प्रमेय द्वारा: हम समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखते हैं \
और दो कार्यों पर विचार करें: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) और \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . समीकरण के लिए कम से कम एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु हो। इसलिए, आपको चाहिए: \
सिस्टम के इस सेट को हल करने पर, हमें उत्तर मिलता है: \\]
उत्तर: \(a\in \(-2\)\कप\) यहां तक कि समारोह।
यहां तक कीएक फंक्शन जिसका चिन्ह बदलने पर चिन्ह नहीं बदलता है, कहलाता है एक्स. एक्ससमानता एफ(–एक्स) = एफ(एक्स) संकेत एक्ससंकेत को प्रभावित नहीं करता आप. किसी सम फलन का आलेख निर्देशांक अक्ष के परितः सममित होता है (चित्र 1)। यहां तक कि फ़ंक्शन उदाहरण: आप= कोस एक्स आप = एक्स 2 आप = –एक्स 2 आप = एक्स 4 आप = एक्स 6 आप = एक्स 2 + एक्स व्याख्या: पुराना फंक्शन।
अजीबएक फंक्शन है जिसका साइन बदलने पर साइन बदल जाता है एक्स. दूसरे शब्दों में, किसी भी मूल्य के लिए एक्ससमानता एफ(–एक्स) = –एफ(एक्स). एक विषम फलन का आलेख मूल बिन्दु के सापेक्ष सममित होता है (चित्र 2)। एक विषम कार्य के उदाहरण: आप= पाप एक्स आप = एक्स 3 आप = –एक्स 3 व्याख्या: फलन लें y = - एक्स 3 . सम और विषम कार्यों के गुण:
ध्यान दें:
सभी विशेषताएं सम या विषम नहीं हैं। ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के उन्नयन के अधीन नहीं हैं। उदाहरण के लिए, रूट फ़ंक्शन पर = √एक्ससम या विषम फलनों पर लागू नहीं होता (चित्र 3)। ऐसे कार्यों के गुणों को सूचीबद्ध करते समय, एक उपयुक्त विवरण दिया जाना चाहिए: न तो सम और न ही विषम। आवधिक कार्य।
जैसा कि आप जानते हैं, आवधिकता एक निश्चित अंतराल पर कुछ प्रक्रियाओं की पुनरावृत्ति है। इन प्रक्रियाओं का वर्णन करने वाले कार्यों को कहा जाता है आवधिक कार्य. यही है, ये ऐसे कार्य हैं जिनके ग्राफ़ में ऐसे तत्व होते हैं जो कुछ संख्यात्मक अंतराल पर दोहराते हैं।
समारोह पर विचार करें \(f(x)=x^3-3x^2+4\) ।
गुणा किया जा सकता है: \
इसलिए, इसके शून्यक हैं: \(x=-1;2\) ।
यदि हम अवकलज \(f"(x)=3x^2-6x\) पाते हैं, तो हमें दो चरम बिंदु मिलते हैं \(x_(max)=0, x_(min)=2\) ।
इसलिए, ग्राफ इस तरह दिखता है: 
हम देखते हैं कि कोई भी क्षैतिज रेखा \(y=k\) , जहां \(0
इस प्रकार, आपको चाहिए: \[\शुरू (मामलों) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
आइए तुरंत यह भी ध्यान दें कि यदि संख्याएं \(t_1\) और \(t_2\) भिन्न हैं, तो संख्याएं \(\log_(\sqrt2)t_1\) और \(\log_(\sqrt2)t_2\) अलग हो, तो समीकरण \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)और \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)अलग-अलग जड़ें होंगी।
\((**)\) सिस्टम को इस तरह फिर से लिखा जा सकता है: \[\शुरू(मामले) 1
हम जड़ों को स्पष्ट रूप से नहीं लिखेंगे।
समारोह पर विचार करें \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) । इसका ग्राफ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, जिसमें एब्सिस्सा अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं (हमने इस स्थिति को पैराग्राफ 1 में लिखा है)। इसका ग्राफ कैसा दिखना चाहिए ताकि भुज अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु \((1;4)\) अंतराल में हों? इसलिए: 
सबसे पहले, बिंदुओं \(1\) और \(4\) पर फ़ंक्शन के मान \(g(1)\) और \(g(4)\) सकारात्मक होना चाहिए, और दूसरी बात, का शीर्ष परवलय \(t_0\ ) अंतराल में भी होना चाहिए \((1;4)\) । इसलिए, सिस्टम लिखा जा सकता है: \[\begin(मामलों) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
फ़ंक्शन \(g(x)\) का अधिकतम बिंदु \(x=0\) है (और \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). शून्य व्युत्पन्न: \(x=0\) । \(x .) के लिए<0\)
имеем: \(g">0\) , के लिए \(x>0\) : \(g"<0\)
.
फ़ंक्शन \(f(x)\) \(x>0\) के लिए बढ़ रहा है, और \(x . के लिए)<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
दरअसल, \(x>0\) के लिए पहला मॉड्यूल सकारात्मक रूप से फैलता है (\(|x|=x\) ), इसलिए, दूसरा मॉड्यूल कैसे फैलता है, इसके बावजूद \(f(x)\) \ के बराबर होगा ( kx+A\) , जहां \(A\) \(a\) से एक व्यंजक है, और \(k\) या तो \(13-10=3\) है या \(13+10=23\) . \(x .) के लिए<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
आइए न्यूनतम बिंदु पर मान \(f\) ज्ञात करें: \
चलो एक समारोह लेते हैं आप = एक्स 2 या आप = –एक्स 2 .
किसी भी मूल्य के लिए एक्ससमारोह सकारात्मक है। संकेत एक्ससंकेत को प्रभावित नहीं करता आप. निर्देशांक अक्ष के बारे में ग्राफ सममित है। यह एक समान कार्य है।
सभी मान परइसमें माइनस साइन होगा। यही संकेत है एक्ससंकेत को प्रभावित करता है आप. यदि स्वतंत्र चर एक धनात्मक संख्या है, तो फलन धनात्मक है; यदि स्वतंत्र चर ऋणात्मक संख्या है, तो फलन ऋणात्मक है: एफ(–एक्स) = –एफ(एक्स).
फ़ंक्शन का ग्राफ मूल के बारे में सममित है। यह एक विषम कार्य है।
