फलन का ग्राफ y sin sinx. पाठ "फ़ंक्शन y=sinx, इसके गुण और ग्राफ"

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लोहे में जंग लग जाता है, अपने लिए उपयोग नहीं मिल रहा है,
खड़ा पानी ठंड में सड़ जाता है या जम जाता है,
और मानव मन, अपने लिए कोई उपयोग नहीं ढूंढ़ता, सुस्त हो जाता है।
लियोनार्डो दा विंसी

प्रयुक्त प्रौद्योगिकियां:समस्या-आधारित शिक्षा, महत्वपूर्ण सोच, संचार संचार।

लक्ष्य:

• विकास संज्ञानात्मक रुचिसीखने हेतु।
• फ़ंक्शन y \u003d sin x के गुणों का अध्ययन।
• अध्ययन की गई सैद्धांतिक सामग्री के आधार पर फ़ंक्शन y \u003d sin x के ग्राफ के निर्माण के लिए व्यावहारिक कौशल का गठन।

कार्य:

1. विशिष्ट स्थितियों में फ़ंक्शन y \u003d sin x के गुणों के बारे में ज्ञान की मौजूदा क्षमता का उपयोग करें।

2. फ़ंक्शन y \u003d sin x के विश्लेषणात्मक और ज्यामितीय मॉडल के बीच लिंक की सचेत स्थापना लागू करें।

समाधान खोजने में पहल, एक निश्चित तत्परता और रुचि विकसित करना; निर्णय लेने की क्षमता, वहाँ रुकने की नहीं, अपनी बात का बचाव करने की।

संज्ञानात्मक गतिविधि में छात्रों को शिक्षित करने के लिए, जिम्मेदारी की भावना, एक दूसरे के लिए सम्मान, आपसी समझ, आपसी समर्थन, आत्मविश्वास; संचार की संस्कृति।

कक्षाओं के दौरान

प्रथम चरण। बुनियादी ज्ञान की प्राप्ति, नई सामग्री सीखने की प्रेरणा

"पाठ प्रविष्टि"

बोर्ड पर 3 कथन लिखे गए हैं:

1. त्रिकोणमितीय समीकरण sin t = a के हमेशा हल होते हैं।
2. एक विषम फलन को y-अक्ष के परितः सममिति रूपांतरण का उपयोग करके रेखांकन किया जा सकता है।
3. एक मुख्य आधा तरंग का उपयोग करके एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को रेखांकन किया जा सकता है।

छात्र जोड़ियों में चर्चा करते हैं: क्या कथन सत्य हैं? (1 मिनट)। प्रारंभिक चर्चा के परिणाम (हाँ, नहीं) तब "पहले" कॉलम में तालिका में दर्ज किए जाते हैं।

शिक्षक पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करता है।

2. ज्ञान को अद्यतन करना (त्रिकोणमितीय वृत्त मॉडल पर सामने से).

हम पहले ही फलन s = sin t से मिल चुके हैं।

1) वेरिएबल टी क्या मान ले सकता है। इस समारोह का दायरा क्या है?

2) व्यंजक sin t के मान किस अंतराल में हैं। फ़ंक्शन s = sin t का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए।

3) समीकरण sin t = 0 को हल कीजिए।

4) जब बिंदु पहली तिमाही में चलता है तो उसकी कोटि का क्या होता है? (कोटि बढ़ जाती है)। एक बिंदु की कोटि का क्या होता है जब वह दूसरी तिमाही में गति करता है? (क्रमांक धीरे-धीरे कम हो जाता है)। यह फ़ंक्शन की एकरसता से कैसे संबंधित है? (फ़ंक्शन s = sin t खंड पर बढ़ता है और खंड पर घटता है)।

5) आइए फ़ंक्शन s = sin t को हमारे लिए सामान्य रूप में लिखें y = sin x (हम सामान्य xOy समन्वय प्रणाली में निर्माण करेंगे) और इस फ़ंक्शन के लिए मानों की एक तालिका संकलित करें।

एक्स	0
पर	0			1			0

चरण 2। धारणा, समझ, प्राथमिक समेकन, अनैच्छिक संस्मरण

चरण 4. ज्ञान और गतिविधि के तरीकों का प्राथमिक व्यवस्थितकरण, उनका स्थानांतरण और नई स्थितियों में आवेदन

6. संख्या 10.18 (बी, सी)

चरण 5 अंतिम नियंत्रण, सुधार, मूल्यांकन और स्व-मूल्यांकन

7. हम कथनों (पाठ की शुरुआत) पर लौटते हैं, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन y \u003d sin x के गुणों का उपयोग करके चर्चा करते हैं, और तालिका में "बाद" कॉलम भरते हैं।

8. डी / जेड: आइटम 10, संख्या 10.7 (ए), 10.8 (बी), 10.11 (बी), 10.16 (ए)

समारोहआप = पापएक्स

फ़ंक्शन का ग्राफ एक साइनसॉइड है।

साइन वेव के पूर्ण गैर-दोहराव वाले हिस्से को साइन वेव कहा जाता है।

साइन वेव की हाफ वेव को साइन वेव (या आर्च) की हाफ वेव कहा जाता है।

समारोह गुणआप = पापएक्स:

3) यह पुराना फंक्शन. 4) यह एक सतत कार्य है। - भुज के साथ: (πn; 0), - y-अक्ष के साथ: (0; 0)। 6) खंड पर [-π/2; π/2] फ़ंक्शन बढ़ रहा है, खंड पर [π/2; 3π/2] घट रहा है। 7) अंतराल पर, फलन लेता है सकारात्मक मूल्य. अंतराल पर [-π + 2πn; 2πn] फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है। 8) बढ़ते फलन के अंतराल: [-π/2 + 2πn; /2 + 2πn]। फ़ंक्शन के घटते अंतराल: [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn]। 9) फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु: -π/2 + 2πn। फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु: π/2 + 2πn उच्चतम मूल्य 1.

फ़ंक्शन प्लॉट करने के लिए आप= पाप एक्सनिम्नलिखित पैमानों का उपयोग करना सुविधाजनक है:

एक सेल में एक शीट पर, हम खंड की एक इकाई के रूप में दो कोशिकाओं की लंबाई लेते हैं।

धुरी पर एक्सआइए लंबाई को मापें । वहीं, सुविधा के लिए 3.14 को 3 के रूप में दर्शाया जाएगा - यानी बिना किसी अंश के। फिर एक सेल में एक शीट पर 6 सेल (तीन गुना 2 सेल) होंगे। और प्रत्येक कोशिका को अपना प्राकृतिक नाम प्राप्त होगा (पहले से छठे तक): /6, π/3, /2, 2π/3, 5π/6, . ये मूल्य हैं एक्स.

Y-अक्ष पर, 1 को चिह्नित करें, जिसमें दो कक्ष शामिल हैं।

आइए हमारे मूल्यों का उपयोग करके फ़ंक्शन मानों की एक तालिका बनाएं एक्स:

			√3 - 2		√3 - 2

अगला, चलिए एक चार्ट बनाते हैं। आधा तरंग प्राप्त करें उच्चतम बिंदुजो (π/2; 1)। यह फ़ंक्शन का ग्राफ है आप= पाप एक्सखंड पर। आइए निर्मित ग्राफ में एक सममित अर्ध-लहर जोड़ें (मूल के बारे में सममित, यानी खंड -π पर)। इस अर्ध-लहर का शिखा निर्देशांक (-1; -1) के साथ x-अक्ष के नीचे है। परिणाम एक लहर है। यह फ़ंक्शन का ग्राफ है आप= पाप एक्सखंड पर [-π; ].

खंड [π; पर निर्माण करके लहर को जारी रखना संभव है; 3π], [π; 5π], [π; 7π], आदि। इन सभी खंडों पर, फ़ंक्शन का ग्राफ़ खंड [-π; ]. आपको समान तरंगों के साथ एक सतत लहरदार रेखा मिलेगी।

समारोहआप = क्योंकिएक्स.

फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक साइन वेव (कभी-कभी कोसाइन वेव कहा जाता है) होता है।

समारोह गुणआप = क्योंकिएक्स:

1) फलन का प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है। 2) फ़ंक्शन मानों की श्रेणी खंड है [-1; एक] 3) यह एक सम फलन है। 4) यह एक सतत कार्य है। 5) ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक: - भुज के साथ: (π/2 + πn; 0), - y-अक्ष के साथ: (0;1)। 6) अंतराल पर, अंतराल पर फ़ंक्शन घटता है [π; 2π] - बढ़ता है। 7) अंतराल पर [-π/2 + 2πn; π/2 + 2πn] फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है। अंतराल पर [π/2 + 2πn; 3π/2 + 2πn] फ़ंक्शन ऋणात्मक मान लेता है। 8) अंतराल बढ़ाएँ: [-π + 2πn; 2πn]। घटते अंतराल: ; 9) फ़ंक्शन के न्यूनतम बिंदु: + 2πn। समारोह के अधिकतम अंक: 2πn। 10) फ़ंक्शन ऊपर और नीचे से सीमित है। फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान -1 है, सबसे बड़ा मान 1 है। 11) यह 2π (T = 2π) की अवधि के साथ एक आवर्त फलन है।

समारोहआप = म्यूचुअल फंड(एक्स).

पिछला फ़ंक्शन लें आप= कोस एक्स. जैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, इसका ग्राफ एक ज्या तरंग है। यदि हम इस फलन की कोज्या को से गुणा करते हैं निश्चित संख्यामी, तो तरंग अक्ष से खिंचेगी एक्स(या मी के मान के आधार पर सिकोड़ें)।
इस नई लहरऔर फलन y = mf(x) का आलेख होगा, जहाँ m कोई वास्तविक संख्या है।

इस प्रकार, फलन y = mf(x) सामान्य फलन y = f(x) को m से गुणा किया जाता है।

यदि एकएम< 1, то синусоида сжимается к оси एक्सगुणांक द्वाराएम। यदि एकएम > 1, तो साइनसॉइड अक्ष से फैला हैएक्सगुणांक द्वाराएम।

स्ट्रेचिंग या कम्प्रेशन करते हुए, आप पहले साइनसॉइड की केवल एक आधी-लहर का निर्माण कर सकते हैं, और फिर पूरे ग्राफ को पूरा कर सकते हैं।

समारोहवाई = एफ(केएक्स).

यदि समारोह वाई =म्यूचुअल फंड(एक्स) अक्ष से साइनसॉइड के खिंचाव की ओर जाता है एक्सया अक्ष पर संपीड़न एक्स, तो फलन y = f(kx) अक्ष से विस्तार की ओर ले जाता है आपया अक्ष पर संपीड़न आप.

और k कोई वास्तविक संख्या है।

0 . पर< क< 1 синусоида растягивается от оси आपगुणांक द्वाराक। यदि एकk > 1, तब साइनसॉइड अक्ष पर संकुचित हो जाता हैआपगुणांक द्वाराक।

इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाते समय, आप पहले साइनसॉइड की एक अर्ध-तरंग बना सकते हैं, और फिर इसका उपयोग करके पूरे ग्राफ़ को पूरा कर सकते हैं।

समारोहआप = टीजीएक्स.

फंक्शन ग्राफ आप= टीजी एक्सस्पर्शरेखा है।

0 से /2 के अंतराल पर ग्राफ का एक हिस्सा बनाने के लिए पर्याप्त है, और फिर आप इसे 0 से 3π/2 के अंतराल पर सममित रूप से जारी रख सकते हैं।

समारोह गुणआप = टीजीएक्स:

समारोहआप = सीटीजीएक्स

फंक्शन ग्राफ आप=सीटीजी एक्सएक स्पर्शरेखा भी है (इसे कभी-कभी कोटैंजेंटॉइड भी कहा जाता है)।

समारोह गुणआप = सीटीजीएक्स:

विषय पर पाठ और प्रस्तुति: "फ़ंक्शन y=sin(x)। परिभाषाएँ और गुण"

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हम क्या अध्ययन करेंगे:

• वाई = पाप (एक्स) फ़ंक्शन के गुण।
• फंक्शन ग्राफ।
• ग्राफ और उसके पैमाने का निर्माण कैसे करें।
• उदाहरण।

साइन गुण। वाई = पाप (एक्स)

दोस्तों, हम पहले ही मिल चुके हैं त्रिकोणमितीय फलनसंख्यात्मक तर्क। क्या आप उन्हें याद करते हैं?

आइए Y=sin(X) फ़ंक्शन पर करीब से नज़र डालें

आइए इस फ़ंक्शन के कुछ गुण लिखें:
1) परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
2) फ़ंक्शन विषम है। आइए एक विषम फलन की परिभाषा को याद करें। एक फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है यदि समानता सत्य है: y(-x)=-y(x)। जैसा कि हम भूत सूत्रों से याद करते हैं: sin(-x)=-sin(x)। परिभाषा संतुष्ट है, इसलिए Y=sin(X) एक विषम फलन है।
3) फलन Y=sin(X) अंतराल पर बढ़ता है और अंतराल पर घटता है [π/2; ]. जब हम पहली तिमाही (वामावर्त) के साथ चलते हैं, तो कोटि बढ़ जाती है, और जब हम दूसरी तिमाही में चलते हैं, तो यह घट जाती है।

4) फलन Y=sin(X) नीचे और ऊपर से घिरा है। यह संपत्ति इस तथ्य से आती है कि
-1 पाप (एक्स) ≤ 1
5) फलन का सबसे छोटा मान -1 है (x = - /2+ πk के लिए)। फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान 1 है (x = π/2+ πk के लिए)।

आइए फ़ंक्शन Y=sin(X) को प्लॉट करने के लिए गुण 1-5 का उपयोग करें। हम अपने गुणों को लागू करते हुए क्रमिक रूप से अपना ग्राफ बनाएंगे। आइए खंड पर एक ग्राफ बनाना शुरू करें।

विशेष ध्यानपैमाने पर ध्यान देने योग्य। ऑर्डिनेट अक्ष पर, 2 कोशिकाओं के बराबर एक खंड लेना अधिक सुविधाजनक होता है, और एब्सिस्सा अक्ष पर - एक एकल खंड (दो कोशिकाएं) को / 3 (आंकड़ा देखें) के बराबर लिया जाता है।

फलन को आलेखित करना ज्या x, y=sin(x)

आइए हमारे सेगमेंट पर फ़ंक्शन के मानों की गणना करें:

आइए तीसरी संपत्ति को ध्यान में रखते हुए, हमारे अंक के लिए एक ग्राफ बनाएं।

भूत सूत्रों के लिए रूपांतरण तालिका

आइए दूसरी संपत्ति का उपयोग करें, जो कहती है कि हमारा कार्य विषम है, जिसका अर्थ है कि यह मूल के बारे में सममित रूप से परिलक्षित हो सकता है:

हम जानते हैं कि sin(x+ 2π) = sin(x). इसका मतलब है कि अंतराल पर [- π; π] ग्राफ खंड पर जैसा दिखता है [π; 3π] या या [-3π; - पीआई] और इसी तरह। पूरे x-अक्ष पर पिछली आकृति के ग्राफ़ को सावधानीपूर्वक फिर से बनाना हमारे लिए शेष है।

फलन Y=sin(X) के ग्राफ को साइनसॉइड कहा जाता है।

आइए निर्मित ग्राफ के अनुसार कुछ और गुण लिखें:
6) फलन Y=sin(X) रूप के किसी भी खंड पर बढ़ता है: [- π/2+ 2πk; π/2+ 2πk], k एक पूर्णांक है और फॉर्म के किसी भी खंड पर घटता है: [π/2+ 2πk; 3π/2+ 2πk], k एक पूर्णांक है।
7) फलन Y=sin(X) एक सतत फलन है। आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ को देखें और सुनिश्चित करें कि हमारे फ़ंक्शन में कोई विराम नहीं है, इसका अर्थ निरंतरता है।
8) मूल्यों की सीमा: खंड [- 1; एक]। यह फ़ंक्शन के ग्राफ से भी स्पष्ट रूप से दिखाई देता है।
9) फलन Y=sin(X) एक आवर्त फलन है। आइए ग्राफ को फिर से देखें और देखें कि फ़ंक्शन कुछ अंतरालों पर समान मान लेता है।

साइन के साथ समस्याओं के उदाहरण

1. समीकरण को हल करें sin(x)= x-π

हल: आइए फ़ंक्शन के 2 ग्राफ़ बनाएं: y=sin(x) और y=x-π (आंकड़ा देखें)।
हमारे ग्राफ़ एक बिंदु A(π; 0) पर प्रतिच्छेद करते हैं, यह उत्तर है: x =

2. फलन y=sin(π/6+x)-1 . को आलेखित करें

हल: फलन y=sin(x) के ग्राफ को π/6 इकाई से बाईं ओर और 1 इकाई नीचे ले जाकर वांछित ग्राफ प्राप्त किया जाता है।

समाधान: आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ बनाएं और हमारे सेगमेंट पर विचार करें [π/2; 5π/4]।
फ़ंक्शन के ग्राफ़ से पता चलता है कि सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खंड के सिरों पर क्रमशः /2 और 5π/4 बिंदुओं पर पहुंचते हैं।
उत्तर: sin(π/2)=1 सबसे बड़ा मान है, sin(5π/4) = सबसे छोटा मान.

स्वतंत्र समाधान के लिए साइन समस्याएं

• समीकरण हल करें: sin(x)= x+3π, sin(x)= x-5π
• फलन प्लॉट करें y=sin(π/3+x)-2
• फलन प्लॉट करें y=sin(-2π/3+x)+1
• फलन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ज्ञात कीजिए y=sin(x) खंड पर
• फलन y=sin(x) का खंड [- π/3; 5π/6]

वीडियो ट्यूटोरियल "फ़ंक्शन y = sinx, इसके गुण और ग्राफ" इस विषय पर दृश्य सामग्री प्रस्तुत करता है, साथ ही साथ इस पर टिप्पणियां भी प्रस्तुत करता है। प्रदर्शन के दौरान, फ़ंक्शन के प्रकार, उसके गुणों पर विचार किया जाता है, विभिन्न खंडों पर व्यवहार का विस्तार से वर्णन किया जाता है कार्तिकये निर्देशांक, ग्राफ की विशेषताएं, एक ज्या युक्त त्रिकोणमितीय समीकरणों के चित्रमय समाधान का एक उदाहरण वर्णित है। एक वीडियो पाठ की मदद से, शिक्षक के लिए इस फ़ंक्शन की एक छात्र की अवधारणा को बनाना आसान होता है, यह सिखाने के लिए कि ग्राफिक रूप से समस्याओं को कैसे हल किया जाए।

वीडियो ट्यूटोरियल ऐसे टूल का उपयोग करता है जो याद रखने और समझने की सुविधा प्रदान करते हैं शैक्षिक जानकारी. रेखांकन की प्रस्तुति में और समस्याओं के समाधान के विवरण में, एनीमेशन प्रभाव का उपयोग किया जाता है जो फ़ंक्शन के व्यवहार को समझने में मदद करता है, समाधान की प्रगति को क्रमिक रूप से प्रस्तुत करता है। साथ ही, सामग्री की आवाज इसे महत्वपूर्ण टिप्पणियों के साथ पूरक करती है जो शिक्षक के स्पष्टीकरण को प्रतिस्थापित करती है। इस तरह, दी गई सामग्रीके रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है दृश्य सामग्री. और एक नए विषय पर शिक्षक की व्याख्या के बजाय पाठ के एक स्वतंत्र भाग के रूप में।

पाठ के विषय का परिचय देकर प्रदर्शन शुरू होता है। साइन फ़ंक्शन प्रस्तुत किया जाता है, जिसका विवरण एक मेमोरी बॉक्स - s=sint में हाइलाइट किया जाता है, जिसमें तर्क t कोई वास्तविक संख्या हो सकती है। इस फ़ंक्शन के गुणों का विवरण दायरे से शुरू होता है। यह ध्यान दिया जाता है कि फलन की परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, अर्थात, D(f)=(- ;+∞)। दूसरी संपत्ति साइन फ़ंक्शन की विषमता है। छात्रों को याद दिलाया जाता है कि दी गई संपत्तिकक्षा 9 में अध्ययन किया गया था, जब यह नोट किया गया था कि एक विषम कार्य के लिए समानता f(-x)=-f(x) सत्य है। साइन के लिए, फ़ंक्शन की विषमता की पुष्टि को क्वार्टर में विभाजित एक यूनिट सर्कल पर प्रदर्शित किया जाता है। यह जानते हुए कि निर्देशांक तल के विभिन्न भागों में फलन किस चिन्ह को लेता है, यह ध्यान दिया जाता है कि विपरीत संकेतों वाले तर्कों के लिए, साइन के लिए बिंदुओं L(t) और N(-t) के उदाहरण का उपयोग करते हुए, विषम स्थिति संतुष्ट होती है। इसलिए s=sint एक विषम फलन है। इसका अर्थ है कि फलन का आलेख मूल के सापेक्ष सममित है।

ज्या का तीसरा गुण फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल को दर्शाता है। यह नोट करता है कि खंड में दिया गया कार्यअंतराल पर बढ़ता है, घटता है [π/2;π]। गुण को चित्र में दिखाया गया है, जो एक इकाई वृत्त दिखाता है और जब बिंदु A से वामावर्त चलता है, तो कोटि बढ़ जाती है, अर्थात फ़ंक्शन का मान π/2 तक बढ़ जाता है। बिंदु B से C की ओर जाने पर, अर्थात जब कोण /2 से π में बदलता है, तो कोटि का मान घट जाता है। वृत्त की तीसरी तिमाही में बिंदु C से बिंदु D पर जाने पर कोटि 0 से घटकर -1 हो जाती है, अर्थात साइन का मान कम हो जाता है। अंतिम तिमाही में, बिंदु D से बिंदु A पर जाने पर, कोटि का मान -1 से 0 तक बढ़ जाता है। इस प्रकार, हम फ़ंक्शन के व्यवहार के बारे में एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं। स्क्रीन उस आउटपुट को प्रदर्शित करती है जो sint सेगमेंट पर बढ़ता है [-(π/2)+2πk; (π/2)+2πk], अंतराल पर घट रहा है [(π/2)+2πk; (3π/2)+2πk] किसी भी पूर्णांक k के लिए।

ज्या का चौथा गुण फलन की सीमा को मानता है। यह ध्यान दिया जाता है कि सिंट फ़ंक्शन ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ है। छात्रों को कक्षा 9 के बीजगणित की जानकारी याद दिलाई जाती है जब वे किसी फ़ंक्शन की सीमा की अवधारणा से परिचित होते हैं। स्क्रीन ऊपर से बंधे हुए फ़ंक्शन की स्थिति प्रदर्शित करती है, जिसके लिए कुछ संख्या होती है जिसके लिए फ़ंक्शन के किसी भी बिंदु पर असमानता f(x)>=M संतुष्ट होती है। हम नीचे दिए गए एक फ़ंक्शन की स्थिति को भी याद करते हैं, जिसके लिए फ़ंक्शन के प्रत्येक बिंदु से एक संख्या m कम मौजूद होती है। सिंट के लिए शर्त -1 . है<= sint<=1. То есть данная функция ограничена сверху и снизу. То есть она является ограниченной.

पाँचवाँ गुण फ़ंक्शन के सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों पर विचार करता है। प्रत्येक बिंदु पर सबसे छोटे मान -1 की उपलब्धि t=-(π/2)+2πk, और सबसे बड़ा - बिंदुओं पर t=(π/2)+2πk नोट किया जाता है।

माना गुणों के आधार पर, sint फ़ंक्शन का ग्राफ अंतराल पर प्लॉट किया जाता है। फ़ंक्शन के निर्माण के लिए, संबंधित बिंदुओं के साइन के सारणीबद्ध मानों का उपयोग किया जाता है। निर्देशांक तल पर π/6, π/3, π/2, 2π/3, 5π/6, के निर्देशांक अंकित हैं। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के सारणीबद्ध मानों को चिह्नित करने और उन्हें एक चिकनी रेखा से जोड़ने के बाद, हम एक ग्राफ बनाते हैं।

खंड [-π; ] पर फ़ंक्शन sint को प्लॉट करने के लिए, मूल के संबंध में फ़ंक्शन की सममिति संपत्ति का उपयोग किया जाता है। यह आंकड़ा दिखाता है कि निर्माण के परिणामस्वरूप प्राप्त रेखा को मूल रूप से खंड [-π; 0] के मूल के सापेक्ष सममित रूप से स्थानांतरित किया जाता है।

पाप फ़ंक्शन की संपत्ति का उपयोग करते हुए, कमी सूत्र पाप (x + 2π) \u003d पाप x में व्यक्त किया गया है, यह ध्यान दिया जाता है कि प्रत्येक 2π साइन ग्राफ दोहराता है। इस प्रकार, अंतराल पर [π; 3π] ग्राफ [-π;π] के समान होगा। इस प्रकार, इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ परिभाषा के पूरे डोमेन पर एक दोहराए जाने वाले टुकड़े [-π; ] है। अलग-अलग, यह ध्यान दिया जाता है कि इस तरह के फ़ंक्शन ग्राफ़ को साइनसॉइड कहा जाता है। एक साइनसॉइड तरंग की अवधारणा भी पेश की जाती है - खंड पर निर्मित ग्राफ का एक टुकड़ा [-π; π], और खंड पर निर्मित एक साइनसॉइड आर्क। याद रखने के लिए इन अंशों को फिर से दिखाया गया है।

यह ध्यान दिया जाता है कि सिंट फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन पर एक सतत कार्य है, और यह भी कि फ़ंक्शन की सीमा खंड [-1; 1] के मूल्यों के सेट में निहित है।

वीडियो ट्यूटोरियल के अंत में, समीकरण पाप x \u003d x + का एक ग्राफिकल समाधान माना जाता है। जाहिर है, समीकरण का आलेखीय समाधान बाईं ओर के व्यंजक द्वारा दिए गए फलन के ग्राफ और दाईं ओर के व्यंजक द्वारा दिए गए फलन का प्रतिच्छेदन होगा। समस्या को हल करने के लिए, एक समन्वय विमान का निर्माण किया जाता है, जिस पर संबंधित साइनसॉइड y \u003d sin x को रेखांकित किया जाता है, और फ़ंक्शन y \u003d x + के ग्राफ़ के अनुरूप एक सीधी रेखा का निर्माण किया जाता है। निर्मित ग्राफ़ एक बिंदु В(-π;0) पर प्रतिच्छेद करते हैं। इसलिए, x \u003d - समीकरण का हल होगा।

वीडियो पाठ "फ़ंक्शन y = sinx, इसके गुण और ग्राफ" स्कूल में पारंपरिक गणित पाठ के पाठ की प्रभावशीलता को बढ़ाने में मदद करेगा। दूरस्थ शिक्षा करते समय आप दृश्य सामग्री का भी उपयोग कर सकते हैं। मैनुअल उन छात्रों के लिए विषय में महारत हासिल करने में मदद कर सकता है जिन्हें सामग्री की गहरी समझ के लिए अतिरिक्त कक्षाओं की आवश्यकता होती है।

पाठ व्याख्या:

हमारे पाठ का विषय है "फ़ंक्शन y \u003d sin x, इसके गुण और ग्राफ़।"

इससे पहले हम पहले ही फंक्शन s = sin t से परिचित हो चुके हैं, जहाँ tϵR (es, te की ज्या के बराबर है, जहाँ te वास्तविक संख्याओं के समुच्चय से संबंधित है)। आइए इस फ़ंक्शन के गुणों की जांच करें:

व्यक्तिगत 1. परिभाषा का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं R (er) का समुच्चय है, अर्थात D (f) = (-; +) (e से de, ऋणात्मक अनंत से जमा अनंत तक के अंतराल को दर्शाता है)।

गुण 2. फलन s = sin t विषम है।

ग्रेड 9 के पाठों में, हमने सीखा कि फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X (y x से eff के बराबर है, जहां x सेट x से संबंधित है बड़ा है) को विषम कहा जाता है यदि किसी मान x से सेट एक्स समानता

f (- x) \u003d - f (x) (ऋण x से ef, x से ऋण ef के बराबर है)।

और चूँकि बिन्दु L और N के निर्देशांक, जो भुज अक्ष के परितः सममित हैं, विपरीत हैं, तो sin (- t) = -sint.

अर्थात्, s \u003d sin t एक विषम कार्य है और फ़ंक्शन s \u003d sin t का ग्राफ एक आयताकार समन्वय प्रणाली में मूल के बारे में सममित है सेवा की शर्तों(ते ओ एस)।

संपत्ति 3 पर विचार करें। खंड पर [ 0; ] (शून्य से pi तक दो) फलन s = sin t अंतराल पर बढ़ता और घटता है [; ](pi से दो से pi तक)।

यह आंकड़ों से स्पष्ट रूप से देखा जाता है: जब एक बिंदु संख्या सर्कल के साथ शून्य से पीआई तक दो (बिंदु ए से बी तक) चलता है, तो कोटि धीरे-धीरे 0 से 1 तक बढ़ जाती है, और जब पीआई से दो से पीआई (से) बिंदु बी से सी), कोटि धीरे-धीरे 1 से 0 तक घट जाती है।

जब बिंदु तीसरी तिमाही (बिंदु C से बिंदु D तक) के साथ चलता है, तो गतिमान बिंदु की कोटि शून्य से घटाकर एक कर दी जाती है, और जब चौथी तिमाही के साथ चलती है, तो कोटि माइनस एक से बढ़कर शून्य हो जाती है। इसलिए, हम एक सामान्य निष्कर्ष निकाल सकते हैं: फलन s = sin t अंतराल पर बढ़ता है

(माइनस पीआई बटा टू प्लस टू पीक से पीआई बाय टू प्लस टू पीक), और सेगमेंट पर घटता है [; (पाई से दो जमा दो पाई का से तीन पाई बटा दो जमा दो पाई का), जहां

(ka पूर्णांकों के समुच्चय के अंतर्गत आता है)।

गुण 4. फलन s = sin t ऊपर और नीचे से परिबद्ध है।

9 वीं कक्षा के पाठ्यक्रम से, सीमा की परिभाषा को याद करें: एक फ़ंक्शन y \u003d f (x) को नीचे से बाउंडेड कहा जाता है यदि फ़ंक्शन के सभी मान किसी संख्या से कम नहीं हैं एम एमजैसे कि फलन के प्रांत से किसी भी मान x के लिए, असमानता f (x) एम(x से ef, em से बड़ा या उसके बराबर है)। फ़ंक्शन y \u003d f (x) को ऊपर से बाउंडेड कहा जाता है यदि फ़ंक्शन के सभी मान किसी संख्या से अधिक नहीं हैं एम, जिसका अर्थ है कि एक संख्या है एमजैसे कि फलन के प्रांत से किसी भी मान x के लिए, असमानता f (x) एम(x से ef, em से कम या उसके बराबर है) एक फ़ंक्शन को बाउंडेड कहा जाता है यदि यह नीचे और ऊपर दोनों से घिरा हो।

आइए अपने कार्य पर वापस आते हैं: सीमा इस तथ्य से आती है कि किसी भी ते के लिए असमानता सत्य है - 1 ≤ sint 1. (ते की साइन माइनस एक से अधिक या बराबर है, लेकिन एक से कम या बराबर है)।

संपत्ति 5. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान माइनस वन के बराबर होता है और फ़ंक्शन t = के किसी भी बिंदु पर इस मान तक पहुंचता है (te बराबर माइनस pi बटा टू प्लस टू पीक, और फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान बराबर होता है एक के लिए और t = (te बराबर pi बटा दो जोड़ दो pi ka) के रूप के किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन द्वारा पहुँचा जाता है।

फलन का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान s = sin t s min को दर्शाता है। और एस मैक्स। .

प्राप्त गुणों का उपयोग करते हुए, हम फ़ंक्शन y \u003d sin x (y साइन x के बराबर) को प्लॉट करेंगे, क्योंकि हम संकेतन y \u003d f (x) से अधिक परिचित हैं, न कि s \u003d f (t)।

शुरू करने के लिए, आइए एक पैमाना चुनें: कोर्डिनेट अक्ष के साथ, हम एक एकल खंड, दो सेल, और एब्सिस्सा अक्ष के साथ, दो सेल लेते हैं - यह पाई बाय थ्री (क्योंकि 1) है। सबसे पहले, आइए खंड पर फ़ंक्शन y \u003d sin x का एक ग्राफ बनाएं। हमें इस खंड पर फ़ंक्शन मानों की एक तालिका की आवश्यकता है, इसे बनाने के लिए हम संबंधित कोसाइन और साइन कोणों के लिए मूल्यों की तालिका का उपयोग करेंगे:

इस प्रकार, तर्क और कार्य मूल्यों की एक तालिका बनाने के लिए, यह याद रखना आवश्यक है कि एक्स(x) शून्य से pi तक के अंतराल पर कोण के बराबर क्रमशः संख्या है, तथा पर(यूनानी) इस कोण की ज्या का मान।

आइए इन बिंदुओं को निर्देशांक तल पर चिह्नित करें। संपत्ति 3 के अनुसार खंड पर

[0; ] (शून्य से पीआई तक दो) फ़ंक्शन y \u003d पाप x बढ़ता है, लेकिन खंड पर घटता है [; ] (पाई से दो से पीआई तक) और प्राप्त बिंदुओं को एक चिकनी रेखा से जोड़ने पर, हमें ग्राफ का हिस्सा मिलता है। (चित्र 1)

मूल के संबंध में एक विषम फ़ंक्शन के ग्राफ की समरूपता का उपयोग करते हुए, हम पहले से ही खंड पर फ़ंक्शन y \u003d sin x का ग्राफ प्राप्त करते हैं

[-π; ] (माइनस pi से pi तक) (चित्र 2)

याद कीजिए कि sin(x + 2π)= sinx

(x जमा दो pi की ज्या x की ज्या के बराबर होती है)। इसका अर्थ है कि बिंदु x + 2π पर फलन y = sin x वही मान लेता है जो बिंदु x पर है। और चूंकि (x + 2π)ϵ [π; 3π ](x जमा दो pi, pi से तीन pi तक के खंड के अंतर्गत आता है), यदि xϵ[-π; ], फिर अंतराल पर [π; 3π ] फ़ंक्शन का ग्राफ़ अंतराल पर बिल्कुल वैसा ही दिखता है [-π; ]. इसी प्रकार, खंडों पर , [-3π; -π] और इसी तरह, फ़ंक्शन का ग्राफ़ y \u003d sin x खंड पर जैसा दिखता है

[-π; ]. (चित्र 3)

वह रेखा जो फंक्शन y \u003d sin x का ग्राफ है, साइनसॉइड कहलाती है। चित्र 2 में दिखाए गए साइन वेव के हिस्से को साइन वेव कहा जाता है, और चित्र 1 में इसे साइन वेव या हाफ वेव का आर्क कहा जाता है।

निर्मित ग्राफ का उपयोग करते हुए, हम इस फलन के कुछ और गुण लिखेंगे।

गुण 6. फलन y \u003d sin x एक सतत फलन है। इसका मतलब है कि फ़ंक्शन का ग्राफ निरंतर है, अर्थात इसमें कूद और पंचर नहीं हैं।

संपत्ति 7. फ़ंक्शन की सीमा y \u003d sin x खंड है [-1; 1] (ऋण से एक से एक तक) या इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: (e से eff माइनस एक से एक तक के खंड के बराबर है)।

एक उदाहरण पर विचार करें। ग्राफ़िक रूप से समीकरण को हल करें sin x \u003d x + (sine x बराबर x प्लस pi है)।

समाधान। आइए कार्यों के रेखांकन बनाएं वाई =पाप एक्सतथा वाई = एक्स +.

फ़ंक्शन का ग्राफ y \u003d sin x एक साइनसॉइड है।

y \u003d x + एक रैखिक कार्य है, जिसका ग्राफ निर्देशांक (0; ) और (- ; 0) के साथ बिंदुओं से गुजरने वाली एक सीधी रेखा है।

निर्मित ग्राफ़ में एक प्रतिच्छेदन बिंदु होता है - बिंदु B (- ; 0) (निर्देशांक माइनस pi, शून्य के साथ हो)। इसका अर्थ है कि इस समीकरण का केवल एक मूल है - बिंदु B - -π का भुज। उत्तर: एक्स = - π.

इस पाठ में, हम फ़ंक्शन y \u003d sin x, इसके मुख्य गुणों और ग्राफ पर विस्तार से विचार करेंगे। पाठ की शुरुआत में, हम निर्देशांक सर्कल पर त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन y \u003d sin t की परिभाषा देंगे और सर्कल और लाइन पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर विचार करेंगे। आइए इस फ़ंक्शन की आवधिकता को ग्राफ़ पर दिखाएं और फ़ंक्शन के मुख्य गुणों पर विचार करें। पाठ के अंत में, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ और उसके गुणों का उपयोग करके कुछ सरल समस्याओं को हल करेंगे।

विषय: त्रिकोणमितीय कार्य

पाठ: फलन y=sinx, इसके मुख्य गुण और ग्राफ

किसी फ़ंक्शन पर विचार करते समय, फ़ंक्शन के एकल मान को तर्क के प्रत्येक मान के साथ संबद्ध करना महत्वपूर्ण है। इस पत्र व्यवहार का नियमऔर इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है।

आइए हम के लिए पत्राचार कानून को परिभाषित करें।

कोई भी वास्तविक संख्या इकाई वृत्त पर एक बिंदु से मेल खाती है। बिंदु की एक एकल कोटि होती है, जिसे संख्या की ज्या कहा जाता है (चित्र 1)।

प्रत्येक तर्क मान को एक एकल फ़ंक्शन मान असाइन किया गया है।

स्पष्ट गुण ज्या की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।

आंकड़ा दर्शाता है कि इसलिये इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि है।

फ़ंक्शन ग्राफ़ पर विचार करें। आइए हम तर्क की ज्यामितीय व्याख्या को याद करें। तर्क रेडियन में मापा गया केंद्रीय कोण है। अक्ष पर, हम वास्तविक संख्याओं या कोणों को रेडियन में, अक्ष के साथ, संबंधित फ़ंक्शन मानों को प्लॉट करेंगे।

उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल पर कोण ग्राफ पर एक बिंदु से मेल खाता है (चित्र 2)

हमें साइट पर फ़ंक्शन का ग्राफ मिला है। लेकिन साइन की अवधि जानने के बाद, हम परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन के ग्राफ को चित्रित कर सकते हैं (चित्र 3)।

फ़ंक्शन की मुख्य अवधि है इसका मतलब है कि ग्राफ़ को एक सेगमेंट पर प्राप्त किया जा सकता है और फिर परिभाषा के पूरे डोमेन पर जारी रखा जा सकता है।

फ़ंक्शन के गुणों पर विचार करें:

1) परिभाषा का क्षेत्र:

2) मूल्यों की सीमा:

3) फ़ंक्शन विषम:

4) सबसे छोटी सकारात्मक अवधि:

5) x-अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक:

6) y-अक्ष के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक:

7) अंतराल जिस पर फ़ंक्शन सकारात्मक मान लेता है:

8) अंतराल जिस पर फ़ंक्शन नकारात्मक मान लेता है:

9) बढ़ते अंतराल:

10) अवरोही अंतराल:

11) कम अंक:

12) न्यूनतम विशेषताएं:

13) उच्च अंक:

14) अधिकतम विशेषताएं:

हमने एक फलन और उसके ग्राफ के गुणों पर विचार किया है। समस्याओं के समाधान में गुणों का बार-बार प्रयोग होगा।

ग्रन्थसूची

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गृहकार्य

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ए जी मोर्दकोविच। -एम .: मेनेमोसिन, 2007।

№№ 16.4, 16.5, 16.8.

अतिरिक्त वेब संसाधन

3. परीक्षा की तैयारी के लिए शैक्षिक पोर्टल ()।