न तो सम और न ही विषम फलन। सम और विषम कार्य। समारोह की अवधि। फंक्शन एक्सट्रीम

जो एक डिग्री या किसी अन्य से आप परिचित थे। वहां यह भी नोट किया गया था कि फ़ंक्शन गुणों का भंडार धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस खंड में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।

परिभाषा 1.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X कहा जाता है, भले ही सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d f (x) सत्य हो।

परिभाषा 2.

फ़ंक्शन y \u003d f (x), x X, को विषम कहा जाता है यदि सेट X से किसी भी मान x के लिए समानता f (-x) \u003d -f (x) सत्य है।

सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. लेकिन (-x) 4 = x 4। इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) = f (x), अर्थात्। समारोह सम है।

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 सम हैं।

सिद्ध कीजिए कि y = x 3 ~ पुराना फंक्शन.

समाधान। हमारे पास है: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. परंतु (-x) 3 = -x 3 । इसलिए, किसी भी x के लिए, समानता f (-x) \u003d -f (x), अर्थात्। समारोह विषम है।

इसी तरह, यह साबित किया जा सकता है कि फ़ंक्शन y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम हैं।

आपने और मैंने बार-बार खुद को आश्वस्त किया है कि गणित में नए शब्दों का अक्सर "सांसारिक" मूल होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है। यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों के लिए मामला है। देखें: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 विषम कार्य हैं, जबकि y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 सम कार्य हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म के किसी भी फ़ंक्शन के लिए y \u003d x "(नीचे हम विशेष रूप से इन कार्यों का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n नहीं है सम संख्या, तो फ़ंक्शन y \u003d x "विषम है; यदि n एक सम संख्या है, तो फ़ंक्शन y \u003d xn सम है।

ऐसे कार्य भी हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y \u003d 2x + 3 है। दरअसल, f (1) \u003d 5, और f (-1) \u003d 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, यहां इसलिए, न तो पहचान f (-x ) \u003d f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x)।

तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या न तो हो सकता है।

किसी दिए गए फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन आमतौर पर समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।

परिभाषाओं 1 और 2 . में हम बात कर रहे हेबिंदु x और -x पर फ़ंक्शन के मानों के बारे में। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x उसी समय फ़ंक्शन के डोमेन से संबंधित है जिस समय बिंदु x है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X के प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव -x हो, तो X सममित समुच्चय कहलाता है। मान लें कि (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित समुच्चय हैं, जबकि : let एक्स 1ए;बी, ए एक्स 2ए;बी .

पीछे की ओर आगे की ओर

ध्यान! पूर्वावलोकनस्लाइड केवल सूचना के उद्देश्यों के लिए हैं और प्रस्तुति की पूरी सीमा का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते हैं। यदि आप इस काम में रुचि रखते हैं, तो कृपया पूर्ण संस्करण डाउनलोड करें।

लक्ष्य:

• सम और विषम कार्यों की अवधारणा बनाने के लिए, इन गुणों को निर्धारित करने और उपयोग करने की क्षमता सिखाने के लिए जब समारोह अनुसंधान, साजिश रचना;
• छात्रों की रचनात्मक गतिविधि को विकसित करने के लिए, तार्किक सोच, तुलना करने की क्षमता, सामान्यीकरण;
• परिश्रम, गणितीय संस्कृति की खेती करना; संचार कौशल विकसित करें .

उपकरण:मल्टीमीडिया इंस्टॉलेशन, इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड, हैंडआउट्स।

काम के रूप:खोज और अनुसंधान गतिविधियों के तत्वों के साथ ललाट और समूह।

सूत्रों की जानकारी:

1. बीजगणित कक्षा 9 ए.जी. मोर्दकोविच। पाठ्यपुस्तक।
2. बीजगणित ग्रेड 9 ए.जी. मोर्दकोविच। कार्यपुस्तिका।
3. बीजगणित ग्रेड 9. छात्रों के सीखने और विकास के लिए कार्य। बेलेंकोवा ई.यू. लेबेदित्सेवा ई.ए.

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक क्षण

पाठ के लक्ष्य और उद्देश्य निर्धारित करना।

2. होमवर्क की जाँच करना

नंबर 10.17 (समस्या पुस्तक 9 वीं कक्षा ए.जी. मोर्दकोविच)।

ए) पर = एफ(एक्स), एफ(एक्स) =

बी) एफ (–2) = –3; एफ (0) = –1; एफ(5) = 69;

सी) 1. डी ( एफ) = [– 2; + ∞)
2. ई( एफ) = [– 3; + ∞)
3. एफ(एक्स) = 0 के लिए एक्स ~ 0,4
4. एफ(एक्स)>0 बजे एक्स > 0,4 ; एफ(एक्स) < 0 при – 2 < एक्स < 0,4.
5. फलन के साथ बढ़ता है एक्स € [– 2; + ∞)
6. फ़ंक्शन नीचे से सीमित है।
7. परकिराया = - 3, परनायब मौजूद नहीं है
8. फ़ंक्शन निरंतर है।

(क्या आपने फीचर एक्सप्लोरेशन एल्गोरिथम का उपयोग किया था?) फिसल पट्टी।

2. आइए उस तालिका की जांच करें जो आपसे स्लाइड पर पूछी गई थी।

तालिका भरें
	कार्यक्षेत्र	फंक्शन जीरो	निरंतरता अंतराल		Oy . के साथ ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक
		एक्स = -5, एक्स = 2	€ (-5;3) यू यू(2;∞)	х € (-∞;–5) यू यू (-3; 2)
	एक्स -5, एक्स 2		€ (-5;3) यू यू(2;∞)	х € (-∞;–5) यू यू (-3; 2)
	एक्स -5, एक्स 2		एक्स € ​​(-∞; -5) यू यू(2;∞)	एक्स € ​​(-5; 2)

3. ज्ञान अद्यतन

- फंक्शन दिए गए हैं।
- प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए परिभाषा का डोमेन निर्दिष्ट करें।
- तर्क मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन के मूल्य की तुलना करें: 1 और -1; 2 और - 2.
- परिभाषा के क्षेत्र में दिए गए कार्यों में से किसके लिए समानताएं हैं एफ(– एक्स) = एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स)? (डेटा को तालिका में रखें) फिसल पट्टी

		एफ(1) और एफ(– 1)	एफ(2) और एफ(– 2)	चार्ट	एफ(– एक्स) = –एफ(एक्स)	एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)
1. एफ(एक्स) =
2. एफ(एक्स) = एक्स 3
3. एफ(एक्स) = | एक्स |
4.एफ(एक्स) = 2एक्स – 3
5. एफ(एक्स) =	एक्स ≠ 0
6. एफ(एक्स)=	एक्स > –1		और परिभाषित नहीं।

4. नई सामग्री

- प्रदर्शन इस काम, दोस्तों, हमने फ़ंक्शन की एक और संपत्ति का खुलासा किया है, जो आपके लिए अपरिचित है, लेकिन बाकी की तुलना में कम महत्वपूर्ण नहीं है - यह सम और विषम फ़ंक्शन है। पाठ का विषय लिखें: "सम और विषम कार्य", हमारा कार्य यह सीखना है कि सम और विषम कार्यों को कैसे निर्धारित किया जाए, कार्यों और प्लॉटिंग के अध्ययन में इस संपत्ति के महत्व का पता लगाएं।
तो, आइए पाठ्यपुस्तक में परिभाषाएँ खोजें और पढ़ें (पृष्ठ 110) . फिसल पट्टी

डीईएफ़। एकसमारोह पर = एफ (एक्स) सेट एक्स पर परिभाषित कहा जाता है यहाँ तक की, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सЄ एक्स प्रगति पर समानता f (-x) = f (x)। उदाहरण दो।

डीईएफ़। 2समारोह वाई = एफ (एक्स), सेट X पर परिभाषित कहा जाता है अजीब, यदि किसी मूल्य के लिए एक्सएक्स समानता f(–х)= –f(х) पूरी होती है। उदाहरण दो।

हम "सम" और "विषम" शब्द कहां से मिले?
इनमें से कौन सा फलन सम होगा, क्या आपको लगता है? क्यों? कौन से अजीब हैं? क्यों?
फॉर्म के किसी भी फंक्शन के लिए पर= एक्स एन, कहाँ पे एनएक पूर्णांक है, यह तर्क दिया जा सकता है कि फलन के लिए विषम है एनविषम है और फलन सम है एन- यहाँ तक की।
- कार्य देखें पर= और पर = 2एक्स- 3 न तो सम है और न ही विषम, क्योंकि समानताएं पूरी नहीं हुई हैं एफ(– एक्स) = – एफ(एक्स), एफ(– एक्स) = एफ(एक्स)

किसी फलन के सम या विषम होने के प्रश्न का अध्ययन समता के लिए फलन का अध्ययन कहलाता है।फिसल पट्टी

परिभाषाएँ 1 और 2 x और - x पर फ़ंक्शन के मानों से निपटते हैं, इस प्रकार यह माना जाता है कि फ़ंक्शन को मान पर भी परिभाषित किया गया है एक्स, और कम से - एक्स.

ओडीए 3.यदि किसी संख्या सेट में उसके प्रत्येक अवयव x में विपरीत अवयव x है, तो समुच्चय एक्ससममित समुच्चय कहलाता है।

उदाहरण:

(-2;2), [-5;5]; (∞;∞) सममित समुच्चय हैं, और [–5;4] असममित हैं।

- उ समान कार्यपरिभाषा का डोमेन एक सममित सेट है? अजीब वाले?
- अगर डी ( एफ) एक असममित समुच्चय है, तो कार्य क्या है?
- इस प्रकार, यदि फलन पर = एफ(एक्स) सम या विषम है, तो इसकी परिभाषा का क्षेत्र D है ( एफ) एक सममित सेट है। लेकिन क्या इसका विलोम सत्य है, यदि किसी फलन का प्रांत एक सममित समुच्चय है, तो यह सम या विषम है?
- तो परिभाषा के क्षेत्र के एक सममित सेट की उपस्थिति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं है।
- तो हम समानता के लिए फ़ंक्शन की जांच कैसे कर सकते हैं? आइए एक एल्गोरिथम लिखने का प्रयास करें।

फिसल पट्टी

समता के लिए एक समारोह की जांच के लिए एल्गोरिदम

1. निर्धारित करें कि क्या फ़ंक्शन का डोमेन सममित है। यदि नहीं, तो फलन न तो सम है और न ही विषम। यदि हाँ, तो एल्गोरिथम के चरण 2 पर जाएँ।

2. के लिए व्यंजक लिखिए एफ(–एक्स).

3. तुलना करें एफ(–एक्स)।तथा एफ(एक्स):

• अगर एफ(–एक्स).= एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन सम है;
• अगर एफ(–एक्स).= – एफ(एक्स), तो फ़ंक्शन विषम है;
• अगर एफ(–एक्स) ≠ एफ(एक्स) तथा एफ(–एक्स) ≠ –एफ(एक्स), तो फलन न तो सम है और न ही विषम।

उदाहरण:

समता के लिए फलन की जाँच कीजिए a) पर= एक्स 5 +; बी) पर=; वी) पर= .

समाधान।

ए) एच (एक्स) \u003d एक्स 5 +,

1) डी(एच) = (-∞; 0) यू (0; +∞), सममित सेट।

2) एच (- एक्स) \u003d (-एक्स) 5 + - एक्स 5 - \u003d - (एक्स 5 +),

3) एच (- एक्स) \u003d - एच (एक्स) \u003d\u003e फ़ंक्शन एच (एक्स)= x 5 + विषम।

बी) वाई =,

पर = एफ(एक्स), डी (एफ) = (-∞; -9)? (–9; +∞), असममित समुच्चय, इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम।

वी) एफ(एक्स) = , y = f(x),

1)डी( एफ) = (-∞; 3] ; बी) (∞; -2), (-4; 4]?

विकल्प 2

1. क्या दिया गया समुच्चय सममित है: a) [-2;2]; बी) (∞; 0], (0; 7)?

ए); बी) वाई \u003d एक्स (5 - एक्स 2)। 2. समता के लिए फलन का परीक्षण कीजिए:

ए) वाई \u003d एक्स 2 (2x - एक्स 3), बी) वाई \u003d

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सबके लिए एक्स, शर्त को संतुष्ट करना एक्स? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक समान कार्य है।

3. अंजीर में। साजिश रची पर = एफ(एक्स), सभी x संतोषजनक x के लिए? 0.
फंक्शन प्लॉट करें पर = एफ(एक्स), अगर पर = एफ(एक्स) एक विषम कार्य है।

म्युचुअल चेक ऑन फिसल पट्टी।

6. गृहकार्य: №11.11, 11.21,11.22;

समता गुण के ज्यामितीय अर्थ का प्रमाण।

*** (यूएसई विकल्प का असाइनमेंट)।

1. विषम फलन y \u003d f (x) संपूर्ण वास्तविक रेखा पर परिभाषित है। चर x के किसी भी गैर-ऋणात्मक मान के लिए, इस फ़ंक्शन का मान फ़ंक्शन g के मान के साथ मेल खाता है ( एक्स) = एक्स(एक्स + 1)(एक्स + 3)(एक्स- 7)। फ़ंक्शन h का मान ज्ञात कीजिए ( एक्स) = अत एक्स = 3.

7. संक्षेप करना