एक आयताकार समलम्ब में ऊँचाई होती है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें: सूत्र और उदाहरण

बहु-पक्षीय समलम्ब ... यह मनमाना, समद्विबाहु या आयताकार हो सकता है। और प्रत्येक मामले में, आपको यह जानना होगा कि समलम्ब का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए। बेशक, बुनियादी सूत्र याद रखने में सबसे आसान हैं। लेकिन कभी-कभी किसी विशेष ज्यामितीय आकृति की सभी विशेषताओं को ध्यान में रखते हुए व्युत्पन्न का उपयोग करना आसान होता है।

समलम्ब चतुर्भुज और उसके तत्वों के बारे में कुछ शब्द

कोई भी चतुर्भुज जिसकी दो भुजाएँ समान्तर हों, समलम्ब चतुर्भुज कहा जा सकता है। वी सामान्य मामलावे समान नहीं हैं और आधार कहलाते हैं। बड़ा वाला नीचे वाला और दूसरा ऊपर वाला होता है।

अन्य दो पक्ष बग़ल में हैं। एक मनमाना ट्रेपेज़ॉइड के लिए, उनकी अलग-अलग लंबाई होती है। यदि वे बराबर हों, तो आकृति समद्विबाहु हो जाती है।

यदि अचानक किसी भुजा और आधार के बीच का कोण 90 डिग्री के बराबर हो जाता है, तो समलम्ब चतुर्भुज आयताकार होता है।

ये सभी विशेषताएं इस समस्या को हल करने में मदद कर सकती हैं कि समलम्बाकार क्षेत्र का पता कैसे लगाया जाए।

आकृति के उन तत्वों में से जो समस्याओं को हल करने में अपरिहार्य हो सकते हैं, हम निम्नलिखित को अलग कर सकते हैं:

• ऊंचाई, यानी दोनों आधारों पर लंबवत एक खंड;
• मध्य रेखा, जिसके सिरे पर पार्श्व भुजाओं के मध्य बिंदु होते हैं।

यदि आधार और ऊंचाई ज्ञात हो तो क्षेत्रफल की गणना करने का सूत्र क्या है?

यह अभिव्यक्ति मुख्य के रूप में दी गई है, क्योंकि अक्सर आप इन मूल्यों का पता लगा सकते हैं, तब भी जब वे स्पष्ट रूप से नहीं दिए गए हों। इसलिए, यह समझने के लिए कि एक समलम्ब का क्षेत्रफल कैसे ज्ञात किया जाए, आपको दोनों आधारों को जोड़ने और उन्हें दो भागों में विभाजित करने की आवश्यकता है। फिर परिणामी मान को ऊंचाई मान से गुणा करें।

यदि हम आधारों को 1 और 2 अक्षर, ऊँचाई - n के साथ नामित करते हैं, तो क्षेत्र के लिए सूत्र इस तरह दिखेगा:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * एन।

वह सूत्र जिसके द्वारा क्षेत्रफल की गणना की जाती है यदि इसकी ऊंचाई और केंद्र रेखा दी गई है

अगर आप पिछले फॉर्मूले को गौर से देखेंगे तो आपको आसानी से पता चल जाएगा कि इसमें एक मिडलाइन वैल्यू साफ तौर पर है। अर्थात्, दो से विभाजित आधारों का योग। मान लीजिए कि मध्य रेखा को l अक्षर से निरूपित किया जाता है, तो क्षेत्रफल का सूत्र इस प्रकार होगा:

एस = एल * एन।

विकर्णों द्वारा क्षेत्रफल ज्ञात करने की क्षमता

यदि आप उनके द्वारा बनाए गए कोण को जानते हैं तो यह विधि मदद करेगी। मान लीजिए कि विकर्णों को d 1 और d 2 अक्षरों द्वारा दर्शाया गया है, और उनके बीच के कोण α और β हैं। फिर एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने का सूत्र इस प्रकार लिखा जाएगा:

एस = ((क्यू 1 * क्यू 2) / 2) * पाप α।

इस व्यंजक में, आप आसानी से α को β से बदल सकते हैं। परिणाम नहीं बदलेगा।

यदि आकृति की सभी भुजाएँ ज्ञात हों तो क्षेत्रफल कैसे ज्ञात करें?

ऐसी स्थितियाँ भी होती हैं जब इस आकृति में भुजाएँ ज्ञात होती हैं। यह सूत्र बोझिल और याद रखने में मुश्किल है। लेकिन शायद। पक्षों को पदनाम दें: 1 पर और 2 पर, 1 का आधार 2 से बड़ा होता है। तब क्षेत्र सूत्र इस तरह दिखेगा:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * (1 2 में - [(ए 1 - ए 2) 2 + 1 2 में - 2 2 में) / (2 * (ए 1 - ए 2)) ] 2).

समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल की गणना के लिए तरीके

पहला इस तथ्य से जुड़ा है कि इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और, इसकी त्रिज्या (इसे अक्षर r द्वारा दर्शाया गया है), साथ ही आधार - पर कोण जानने के बाद, आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

एस = (4 * आर 2) / पाप ।

अंतिम सामान्य सूत्र, जो आकृति के सभी पक्षों के ज्ञान पर आधारित है, इस तथ्य के कारण बहुत सरल हो जाएगा कि पक्षों का एक ही अर्थ है:

एस = ((ए 1 + ए 2) / 2) * (बी 2 - [(ए 1 - ए 2) 2 / (2 * (ए 1 - ए 2))] 2)।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीके

यह स्पष्ट है कि उपरोक्त में से कोई भी एक मनमाना आंकड़ा के लिए उपयुक्त होगा। लेकिन कभी-कभी ऐसे समलम्बाकार की एक विशेषता के बारे में जानना उपयोगी होता है। यह इस तथ्य में निहित है कि विकर्णों की लंबाई के वर्गों के बीच का अंतर आधारों के वर्गों से बने अंतर के बराबर है।

समलम्ब चतुर्भुज के सूत्रों को अक्सर भुला दिया जाता है, जबकि आयत और त्रिभुज के क्षेत्रफलों के व्यंजकों को याद किया जाता है। फिर एक आसान तरीका अपनाया जा सकता है। ट्रेपेज़ॉइड को दो आकृतियों में विभाजित करें यदि यह आयताकार है, या तीन। एक निश्चित रूप से एक आयत होगा, और दूसरा, या अन्य दो, त्रिभुज होंगे। इन आंकड़ों के क्षेत्रफलों की गणना करने के बाद, जो कुछ बचा है, वह उन्हें जोड़ना है।

यह एक आयताकार समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने का एक बहुत ही सरल तरीका है।

क्या होगा यदि समलम्ब चतुर्भुज के शीर्षों के निर्देशांक ज्ञात हों?

इस मामले में, आपको एक अभिव्यक्ति का उपयोग करने की आवश्यकता है जो आपको बिंदुओं के बीच की दूरी निर्धारित करने की अनुमति देती है। इसे तीन बार लगाया जा सकता है: आधार और एक ऊंचाई दोनों का पता लगाने के लिए। और फिर केवल पहला सूत्र लागू करें, जो थोड़ा ऊपर वर्णित है।

ऐसी विधि को स्पष्ट करने के लिए निम्नलिखित उदाहरण दिया जा सकता है। निर्देशांक A (5; 7), B (8; 7), C (10; 1), D (1; 1) के साथ शीर्ष दिए गए हैं। आपको आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करना है।

ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र को खोजने से पहले, आपको निर्देशांक से आधारों की लंबाई की गणना करने की आवश्यकता है। आपको निम्न सूत्र की आवश्यकता होगी:

खंड की लंबाई = ((अंकों के पहले निर्देशांक का अंतर) 2 + (बिंदुओं के दूसरे निर्देशांक का अंतर) 2)।

ऊपरी आधार को एबी नामित किया गया है, जिसका अर्थ है कि इसकी लंबाई √ ((8-5) 2 + (7-7) 2) = √9 = 3 के बराबर होगी। निचला - एसडी = ((10-1) 2 + (1-1 ) 2) = 81 = 9.

अब हमें ऊपर से नीचे तक की ऊंचाई खींचने की जरूरत है। इसकी शुरुआत बिंदु A पर होने दें। खंड का अंत निर्देशांक (5; 1) के साथ बिंदु पर निचले आधार पर होगा, इसे बिंदु H होने दें। खंड AH की लंबाई √ ((5) के बराबर होगी -5) 2 + (7-1) 2) = 36 = 6.

यह केवल परिणामी मूल्यों को ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र में बदलने के लिए बनी हुई है:

एस = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36।

समस्या को माप की इकाइयों के बिना हल किया गया था, क्योंकि समन्वय ग्रिड का पैमाना निर्दिष्ट नहीं था। यह एक मिलीमीटर या एक मीटर हो सकता है।

कार्यों के उदाहरण

नंबर 1. शर्त।एक स्वेच्छ समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के बीच का कोण ज्ञात होता है, यह 30 डिग्री के बराबर होता है। छोटे विकर्ण का मान 3 डीएम है, और दूसरा इससे 2 गुना बड़ा है। ट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।

समाधान।पहले आपको दूसरे विकर्ण की लंबाई ज्ञात करनी होगी, क्योंकि इसके बिना उत्तर गिनना संभव नहीं होगा। इसकी गणना करना कठिन नहीं है, 3*2 = 6 (dm)।

अब हमें क्षेत्र के लिए उपयुक्त सूत्र का उपयोग करने की आवश्यकता है:

एस = ((3 * 6) / 2) * पाप 30º = 18/2 * ½ = 4.5 (डीएम 2)। समस्या सुलझा ली गई है।

उत्तर:समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 4.5 dm 2 है।

संख्या 2. शर्त।एवीएसडी के समलम्ब चतुर्भुज में, आधार रक्तचाप और बीसी के खंड हैं। बिंदु E, SD पक्ष का मध्य है। इसमें से रेखा AB पर एक लंब खींचा जाता है, इस खंड के अंत को N अक्षर से निरूपित किया जाता है। यह ज्ञात है कि लंबाई AB और EH क्रमशः 5 और 4 सेमी हैं। के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है समलम्ब चतुर्भुज।

समाधान।सबसे पहले आपको एक ड्राइंग बनाने की जरूरत है। चूंकि लंबवत का मान उस तरफ से कम है जिस पर इसे खींचा जाता है, समलम्बाकार ऊपर की ओर थोड़ा लम्बा होगा। तो EH आकृति के अंदर होगा।

समस्या को हल करने की प्रगति को स्पष्ट रूप से देखने के लिए, आपको अतिरिक्त निर्माण करने की आवश्यकता होगी। अर्थात्, एक सीधी रेखा खींचिए जो AB भुजा के समांतर होगी। HELL के साथ इस सीधी रेखा के प्रतिच्छेदन बिंदु P हैं, और BC - X की निरंतरता के साथ। परिणामी आकृति एक समांतर चतुर्भुज है। इसके अलावा, इसका क्षेत्रफल आवश्यक के बराबर है। यह इस तथ्य के कारण है कि अतिरिक्त निर्माण के साथ प्राप्त त्रिभुज बराबर हैं। यह पक्ष की समानता और उसके आस-पास के दो कोणों से होता है, एक लंबवत है, दूसरा क्रॉस-क्रॉस है।

आप एक सूत्र का उपयोग करके समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं जिसमें भुजा का गुणनफल और उस पर गिराई गई ऊँचाई शामिल है।

इस प्रकार, समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 5 * 4 = 20 सेमी 2 है।

उत्तर:एस = 20 सेमी 2।

संख्या 3. शर्त।समद्विबाहु समलम्ब के तत्वों के निम्नलिखित अर्थ हैं: निचला आधार - 14 सेमी, ऊपरी - 4 सेमी, तेज़ कोने- 45º. आपको इसके क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है।

समाधान।मान लें कि छोटे आधार को BC नामित किया गया है। बिंदु B से खींची गई ऊंचाई को BH कहा जाएगा। चूँकि कोण 45º है, त्रिभुज ABN आयताकार और समद्विबाहु बनेगा। इसलिए, एएच = बीएच। और NA को खोजना बहुत आसान है। यह आधारों के आधे अंतर के बराबर है। यानी (14 - 4)/2 = 10/2 = 5 (सेमी)।

आधार ज्ञात हैं, ऊंचाई की गणना की जाती है। आप पहले सूत्र का उपयोग कर सकते हैं, जिसे यहां एक मनमाना समलम्ब के लिए माना गया था।

एस = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (सेमी 2)।

उत्तर:आवश्यक क्षेत्र 45 सेमी 2 है।

संख्या 4. शर्त।एक मनमाना समलम्बाकार AVSD है। इसके पार्श्व पक्षों पर, बिंदु O और E लिए जाते हैं, ताकि OE रक्तचाप के आधार के समानांतर हो। एओईडी ट्रेपेज़ियम का क्षेत्रफल सीएफई से पांच गुना बड़ा है। यदि आधार लंबाई ज्ञात हो तो OE मान परिकलित करें।

समाधान।आपको दो समानांतर AB सीधी रेखाएँ खींचनी होंगी: पहली बिंदु C से होकर, OE - बिंदु T के साथ इसका प्रतिच्छेदन; ई के माध्यम से दूसरा और रक्तचाप के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु एम होगा।

माना अज्ञात OE = x। छोटे समलम्बाकार OVSE की ऊंचाई - n 1, बड़ा AOED - n 2।

चूँकि इन दोनों समलंबों के क्षेत्रफल 1 से 5 तक संबंधित हैं, इसलिए हम निम्नलिखित समानता लिख ​​सकते हैं:

(एक्स + ए 2) * एन 1 = 1/5 (एक्स + ए 1) * एन 2

एन 1 / एन 2 = (एक्स + ए 1) / (5 (एक्स + ए 2))।

त्रिभुजों की ऊँचाई और भुजाएँ निर्माण में समानुपाती होती हैं। इसलिए, एक और समानता लिखी जा सकती है:

एन 1 / एन 2 = (एक्स - ए 2) / (ए 1 - एक्स)।

दो में नूतन प्रविष्टिबाईं ओर समान मान हैं, जिसका अर्थ है कि हम लिख सकते हैं कि (x + a 1) / (5 (x + a 2)) बराबर है (x - a 2) / (a ​​1 - x) .

यहां कई परिवर्तनों की आवश्यकता है। पहले क्रॉसवाइज गुणा करें। कोष्ठक दिखाई देंगे जो वर्गों के अंतर को दर्शाते हैं, इस सूत्र को लागू करने के बाद, आपको एक छोटा समीकरण मिलता है।

इसमें, आपको कोष्ठक खोलने और अज्ञात "x" से सभी पदों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता है बाईं तरफ, और फिर वर्गमूल निकालें।

उत्तर: x = ((एक 1 2 + 5 ए 2 2) / 6)।

(एस) एक समलम्ब चतुर्भुज की, समानांतर भुजाओं की लंबाई का आधा योग ज्ञात करके ऊंचाई (एच) की गणना शुरू करें: (ए + बी) / 2। फिर परिणामी मूल्य से क्षेत्र को विभाजित करें - परिणाम वांछित मूल्य होगा: एच = एस / ((ए + बी) / 2) = 2 * एस / (ए + बी)।

केंद्र रेखा (m) की लंबाई और क्षेत्रफल (S) को जानकर आप पिछले चरण से सूत्र को सरल बना सकते हैं। परिभाषा के अनुसार, एक ट्रेपेज़ॉइड की मध्य रेखा उसके आधारों के आधे योग के बराबर होती है, इसलिए किसी आकृति की ऊँचाई (h) की गणना करने के लिए, बस क्षेत्र को मध्य रेखा की लंबाई से विभाजित करें: h = S / m।

इस तरह की ऊंचाई (एच) निर्धारित करना संभव है और इस घटना में कि केवल पार्श्व पक्षों में से एक की लंबाई (सी) और इसके द्वारा गठित कोण (α) और लंबा आधार दिया गया है। इस मामले में, किसी को इस तरफ से गठित, ऊंचाई और आधार के एक छोटे से खंड पर विचार करना चाहिए, जो इसे कम की गई ऊंचाई से काट दिया जाता है। यह त्रिभुज आयताकार होगा, ज्ञात भुजा कर्ण होगी, और ऊँचाई टाँग होगी। कर्ण की लंबाई का अनुपात पैर के विपरीत कोण के बराबर है, इसलिए ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना करने के लिए, ज्ञात पक्ष की लंबाई को ज्ञात कोण की ज्या से गुणा करें: h = c * sin (α)।

यदि पार्श्व भुजा (c) की लंबाई और उसके और दूसरे (छोटा) आधार के बीच के कोण (β) का मान दिया गया हो तो उसी त्रिभुज पर विचार किया जाना चाहिए। इस मामले में, पार्श्व पक्ष (कर्ण) और ऊंचाई (पैर) के बीच का कोण स्थितियों से ज्ञात कोण से 90 ° कम होगा: β-90 °। चूंकि पैर और कर्ण की लंबाई का अनुपात उनके बीच के कोण के कोसाइन के बराबर है, इसलिए कोण के कोसाइन को 90 ° से कम करके साइड साइड की लंबाई से गुणा करके ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई की गणना करें: h = सी * कॉस (β-90 डिग्री)।

यदि ज्ञात त्रिज्या (r) का एक वृत्त अंकित है, तो ऊँचाई (h) की गणना करना बहुत सरल होगा और इसके लिए किसी अन्य पैरामीटर की आवश्यकता नहीं होगी। इस तरह के एक सर्कल, परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक आधार पर केवल एक बिंदु होना चाहिए और ये बिंदु केंद्र के साथ एक ही रेखा पर स्थित होंगे। इसका मतलब यह है कि उनके बीच की दूरी व्यास (त्रिज्या का दोगुना) के बराबर होगी, जो आधारों के लंबवत खींची गई है, यानी ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई के साथ मेल खाती है: h = 2 * r।

एक समलम्ब चतुर्भुज एक चतुर्भुज है जिसमें दो पक्ष समानांतर होते हैं और अन्य दो नहीं होते हैं। एक समलम्ब की ऊंचाई दो समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत खींचा गया एक खंड है। प्रारंभिक डेटा के आधार पर इसकी गणना विभिन्न तरीकों से की जा सकती है।

आपको चाहिये होगा

• ट्रेपेज़ॉइड के पक्षों, आधारों, केंद्र रेखा, साथ ही, वैकल्पिक रूप से, इसके क्षेत्र और / या परिधि का ज्ञान।

निर्देश

मान लीजिए कि चित्र 1 में समान डेटा के साथ एक समलम्बाकार है। 2 ऊँचाई ड्रा करें, जो हमें प्राप्त होती है, जिसमें समकोण त्रिभुजों के पैरों के साथ 2 छोटी भुजाएँ होती हैं। आइए छोटे रोल को x के रूप में निरूपित करें। वह अंदर है

चतुर्भुजएक चतुर्भुज कहा जाता है जिसके लिए केवल दोपक्ष एक दूसरे के समानांतर हैं।

इन्हें आकृति का आधार कहा जाता है, शेष भुजाएँ कहलाती हैं। एक समांतर चतुर्भुज को एक आकृति का एक विशेष मामला माना जाता है। एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड भी है जिसमें एक फ़ंक्शन ग्राफ शामिल है। समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के सूत्रों में इसके लगभग सभी तत्व शामिल हैं, और सबसे अच्छा समाधाननिर्दिष्ट मूल्यों के आधार पर चुना जाता है।
ट्रेपेज़ॉइड में मुख्य भूमिकाएँ ऊँचाई और मध्य रेखा को सौंपी जाती हैं। मध्य पंक्तिभुजाओं के मध्य बिन्दुओं को जोड़ने वाली रेखा है। कदट्रेपेज़ॉइड को शीर्ष कोने से आधार तक समकोण पर रखा जाता है।
ऊंचाई के माध्यम से ट्रैपेज़ॉयड का क्षेत्र ऊंचाई से गुणा किए गए आधारों की लंबाई के आधे योग के उत्पाद के बराबर है:

यदि, शर्तों के अनुसार, मध्य रेखा ज्ञात है, तो यह सूत्र बहुत सरल है, क्योंकि यह आधारों की लंबाई के आधे योग के बराबर है:

यदि, शर्तों के अनुसार, सभी पक्षों की लंबाई दी गई है, तो हम इस डेटा के माध्यम से एक ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के एक उदाहरण पर विचार कर सकते हैं:

मान लीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज आधारों a = 3 सेमी, b = 7 सेमी और पार्श्व भुजाओं c = 5 सेमी, d = 4 सेमी के साथ दिया गया है। आइए आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करें:

एक समद्विबाहु समलम्ब का क्षेत्रफल

एक समद्विबाहु या, जैसा कि इसे भी कहा जाता है, एक समद्विबाहु समलम्बाकार को एक अलग मामला माना जाता है।
समद्विबाहु (समद्विबाहु) समलंब का क्षेत्रफल ज्ञात करना भी एक विशेष स्थिति है। सूत्र को विभिन्न तरीकों से प्रदर्शित किया जाता है - विकर्णों के माध्यम से, आधार से सटे कोनों के माध्यम से और उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या।
यदि, शर्तों के अनुसार, विकर्णों की लंबाई निर्दिष्ट की जाती है और उनके बीच का कोण ज्ञात होता है, तो आप निम्न सूत्र का उपयोग कर सकते हैं:

याद रखें कि समद्विबाहु समलंब के विकर्ण बराबर होते हैं!

यानी उनके किसी एक आधार, भुजा और कोण को जानकर आप आसानी से क्षेत्रफल की गणना कर सकते हैं।

घुमावदार समलम्बाकार क्षेत्र

एक अलग मामला है घुमावदार समलम्ब चतुर्भुज... यह समन्वय अक्ष पर स्थित है और एक निरंतर सकारात्मक कार्य के ग्राफ तक ही सीमित है।

इसका आधार X-अक्ष पर स्थित है और दो बिंदुओं तक सीमित है:
इंटीग्रल आपको घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने में मदद करते हैं।
सूत्र इस प्रकार लिखा गया है:

एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना के एक उदाहरण पर विचार करें। सूत्र की आवश्यकता है निश्चित ज्ञाननिश्चित अभिन्न के साथ काम करने के लिए। सबसे पहले, आइए एक निश्चित अभिन्न के मूल्य को देखें:

यहाँ F (a) बिंदु a पर प्रतिअवकलन फलन f (x) का मान है, F (b) बिंदु b पर उसी फलन f (x) का मान है।

आइए अब समस्या का समाधान करें। यह आंकड़ा एक फ़ंक्शन द्वारा सीमित एक घुमावदार ट्रैपेज़ॉयड दिखाता है। समारोह
हमें चयनित आकृति का क्षेत्रफल ज्ञात करने की आवश्यकता है, जो एक वक्रीय समलम्ब है जो ऊपर से एक ग्राफ द्वारा, एक सीधी रेखा x = (- 8) से दाईं ओर, एक सीधी रेखा द्वारा बाईं ओर x = (- 10) और नीचे से OX अक्ष।
हम इस आकृति के क्षेत्रफल की गणना सूत्र द्वारा करेंगे:

समस्या की स्थितियों से हमें एक फ़ंक्शन दिया जाता है। इसका उपयोग करते हुए, हम अपने प्रत्येक बिंदु पर प्रतिपदार्थ के मान पाएंगे:


अभी
उत्तर:दिए गए वक्र समलम्ब का क्षेत्रफल 4 है।

इस मूल्य की गणना करने में कुछ भी मुश्किल नहीं है। गणना में केवल अत्यधिक सावधानी महत्वपूर्ण है।

पिछले साल के यूएसई और जीआईए के अभ्यास से पता चलता है कि ज्यामिति की समस्याएं कई स्कूली बच्चों के लिए मुश्किलें पैदा करती हैं। यदि आप सभी आवश्यक सूत्रों को याद रखते हैं और समस्याओं को हल करने का अभ्यास करते हैं तो आप आसानी से उनका सामना कर सकते हैं।

इस लेख में, आप समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने के लिए सूत्र देखेंगे, साथ ही समाधान के साथ समस्याओं के उदाहरण भी देखेंगे। आप प्रमाणन परीक्षा या ओलंपियाड में KIM में समान पा सकते हैं। इसलिए इनका इलाज सावधानी से करें।

ट्रेपोजॉइड के बारे में आपको क्या जानने की जरूरत है?

सबसे पहले, आइए याद करते हैं कि समलम्बएक चतुर्भुज कहा जाता है, जिसमें दो विपरीत पक्ष होते हैं, उन्हें आधार भी कहा जाता है, समानांतर होते हैं, और अन्य दो नहीं होते हैं।

ट्रेपेज़ॉइड (आधार के लंबवत) में ऊंचाई को भी कम किया जा सकता है। मध्य रेखा खींची जाती है - यह एक सीधी रेखा है जो आधारों के समानांतर होती है और उनके योग के आधे के बराबर होती है। और विकर्ण भी, जो प्रतिच्छेद कर सकते हैं, तीव्र और मोटे कोनों का निर्माण कर सकते हैं। या इन व्यक्तिगत मामले, समकोण पर। इसके अलावा, यदि समलम्ब चतुर्भुज समद्विबाहु है, तो इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। और इसके चारों ओर एक वृत्त का वर्णन करें।

समलम्ब चतुर्भुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र

आरंभ करने के लिए, एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए मानक सूत्रों पर विचार करें। हम नीचे एक समद्विबाहु और घुमावदार समलंबों के क्षेत्रफल की गणना करने के तरीकों पर विचार करेंगे।

तो, कल्पना कीजिए कि आपके पास a और b आधारों वाला एक समलम्ब है, जिसमें ऊँचाई h को बड़े आधार तक कम किया जाता है। इस मामले में आकृति के क्षेत्र की गणना करना नाशपाती के गोले जितना आसान है। आपको बस आधारों की लंबाई के दो योग से विभाजित करने की जरूरत है और जो आपको ऊंचाई से मिलता है उसे गुणा करें: एस = 1/2 (ए + बी) * एच.

आइए एक और मामला लें: मान लीजिए, समलम्बाकार में, ऊंचाई के अलावा, मध्य रेखा m खींची जाती है। हम मध्य रेखा की लंबाई ज्ञात करने का सूत्र जानते हैं: m = 1/2 (a + b)। इसलिए, हम समलम्बाकार क्षेत्र के लिए सूत्र को सही ढंग से सरल बना सकते हैं निम्न प्रकार के: एस = एम * एच... दूसरे शब्दों में, एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको मध्य रेखा को ऊँचाई से गुणा करना होगा।

एक अन्य विकल्प पर विचार करें: समलम्ब चतुर्भुज में, विकर्ण d 1 और d 2 खींचे जाते हैं, जो समकोण α पर प्रतिच्छेद नहीं करते हैं। इस तरह के ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र की गणना करने के लिए, आपको विकर्णों के उत्पाद को दो से विभाजित करना होगा और परिणाम को उनके बीच के कोण के पाप से गुणा करना होगा: एस = 1 / 2डी 1 डी 2 * पाप.

अब एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने के सूत्र पर विचार करें यदि इसके बारे में कुछ भी ज्ञात नहीं है, सिवाय इसके सभी पक्षों की लंबाई के: a, b, c और d। यह एक बोझिल और जटिल सूत्र है, लेकिन इसे याद रखना आपके लिए उपयोगी होगा, बस मामले में: एस = 1/2 (ए + बी) * √c 2 - ((1/2 (बी - ए)) * ((बी - ए) 2 + सी 2 - डी 2)) 2.

वैसे, उपरोक्त उदाहरण उस स्थिति के लिए भी सही हैं जब आपको क्षेत्र सूत्र की आवश्यकता होती है आयताकार समलम्ब चतुर्भुज... यह एक समलंब चतुर्भुज है, जिसका पक्ष समकोण पर आधारों से सटा हुआ है।

समद्विबाहु समलम्बाकार

एक समलम्ब चतुर्भुज, जिसकी भुजाएँ बराबर होती हैं, समद्विबाहु कहलाती है। हम समद्विबाहु समलंब के क्षेत्रफल के सूत्र के लिए कई विकल्पों पर विचार करेंगे।

पहला विकल्प: उस स्थिति के लिए जब त्रिज्या r वाला एक वृत्त समद्विबाहु समलम्बाकार के अंदर अंकित होता है, और पार्श्व पक्ष और बड़ा आधार एक न्यून कोण α बनाते हैं। एक वृत्त को एक समलम्ब में अंकित किया जा सकता है, बशर्ते कि इसके आधारों की लंबाई का योग भुजाओं की लंबाई के योग के बराबर हो।

एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्षेत्र की गणना इस प्रकार की जाती है: उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के वर्ग को चार से गुणा करें और सभी को sinα से विभाजित करें: एस = 4r 2 / sinα... एक अन्य क्षेत्र सूत्र उस मामले के लिए एक विशेष मामला है जब बड़े आधार और पक्ष के बीच का कोण 30 0 है: एस = 8r 2.

दूसरा विकल्प: इस बार हम एक समद्विबाहु समलम्ब लेते हैं, जिसमें, इसके अलावा, विकर्ण d 1 और d 2 खींचे जाते हैं, साथ ही ऊँचाई h भी। यदि समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत हैं, तो ऊँचाई आधारों के योग की आधी है: h = 1/2 (a + b)। यह जानने के बाद, ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए पहले से ही परिचित सूत्र को निम्नलिखित रूप में बदलना आसान है: एस = एच 2.

एक घुमावदार ट्रेपोजॉइड के क्षेत्र के लिए सूत्र

आइए देखें कि घुमावदार ट्रेपोजॉइड क्या है। एक समन्वय अक्ष और एक सतत और गैर-ऋणात्मक फ़ंक्शन f के एक ग्राफ की कल्पना करें जो x-अक्ष पर दिए गए खंड के भीतर संकेत नहीं बदलता है। एक वक्रीय समलम्बाकार फलन y = f (x) के ग्राफ से बनता है - शीर्ष पर, x-अक्ष - नीचे (खंड), और पक्षों पर - बिंदु a और b और के बीच खींची गई सीधी रेखाओं द्वारा फ़ंक्शन का ग्राफ।

ऐसे . के क्षेत्रफल की गणना करें अनियमित आकारउपरोक्त तरीकों से नहीं किया जा सकता है। यहां आपको गणितीय विश्लेषण लागू करने और इंटीग्रल का उपयोग करने की आवश्यकता है। अर्थात्: न्यूटन-लीबनिज सूत्र - एस = ∫ बी ए एफ (एक्स) डीएक्स = एफ (एक्स) │ बी ए = एफ (बी) - एफ (ए)... इस फॉर्मूले में, F चयनित सेगमेंट पर हमारे फंक्शन का एंटीडेरिवेटिव है। और वक्रीय समलंब चतुर्भुज का क्षेत्र किसी दिए गए खंड पर प्रतिपदार्थ की वृद्धि से मेल खाता है।

कार्यों के उदाहरण

इन सभी फ़ार्मुलों को अपने सिर में बेहतर ढंग से स्थापित करने के लिए, समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में आने वाली समस्याओं के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं। बेहतर होगा कि आप पहले स्वयं समस्याओं को हल करने का प्रयास करें, और उसके बाद ही तैयार किए गए समाधान के साथ प्राप्त उत्तर की जांच करें।

कार्य संख्या 1:एक ट्रेपोजॉइड दिया। इसका बड़ा आधार 11 सेमी, छोटा 4 सेमी है। समलम्ब चतुर्भुज में विकर्ण खींचे जाते हैं, एक 12 सेमी लंबा, दूसरा 9 सेमी लंबा।

हल: एक समलम्ब चतुर्भुज AMRS की रचना कीजिए। शीर्ष P से होकर जाने वाली रेखा PX को इस प्रकार खींचिए कि वह MC के विकर्ण के समान्तर हो और रेखा AC को बिंदु X पर काटती हो। आपको एक त्रिभुज ARX प्राप्त होगा।

हम इन जोड़तोड़ के परिणामस्वरूप प्राप्त दो आंकड़ों पर विचार करेंगे: एआरएक्स त्रिकोण और सीएमआरएक्स समांतर चतुर्भुज।

समांतर चतुर्भुज के लिए धन्यवाद, हम सीखते हैं कि पीएक्स = एमसी = 12 सेमी और सीएक्स = एमआर = 4 सेमी। हम त्रिभुज ARX की भुजा AX की गणना कहाँ कर सकते हैं: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 सेमी।

हम यह भी सिद्ध कर सकते हैं कि त्रिभुज ARX आयताकार है (इसके लिए पाइथागोरस प्रमेय - AX 2 = AR 2 + PX 2) लागू करें। और इसके क्षेत्रफल की गणना करें: एस एपीएक्स = 1/2 (एपी * पीएक्स) = 1/2 (9 * 12) = 54 सेमी 2।

इसके बाद, आपको यह सिद्ध करना होगा कि त्रिभुज AMP और PCX बराबर हैं। आधार और (पहले से ही ऊपर सिद्ध) पक्षों की समानता होगी। और यह भी कि आप इन पक्षों पर जो ऊँचाई कम करते हैं - वे AMRS ट्रेपेज़ॉइड की ऊँचाई के बराबर हैं।

यह सब आपको यह दावा करने की अनुमति देगा कि एस एएमपीसी = एस एपीएक्स = 54 सेमी 2।

कार्य संख्या 2:एक समलम्बाकार KRMS दिया गया है। बिंदु O और E इसके पार्श्व पक्षों पर स्थित हैं, जबकि OE और KC समानांतर हैं। यह भी ज्ञात है कि समलम्ब चतुर्भुज ORME और OCE के क्षेत्र 1:5 के अनुपात में हैं। पीएम = ए और केसी = बी। OE खोजना आवश्यक है।

हल: बिंदु M से होकर RC के समानांतर एक सीधी रेखा खींचिए, और OE से T द्वारा इसके प्रतिच्छेदन बिंदु को निर्दिष्ट कीजिए। कोतवाल।

आइए हम एक और संकेतन का परिचय दें - OE = x। और साथ ही TME त्रिभुज के लिए ऊँचाई h 1 और AEC त्रिभुज के लिए ऊँचाई h 2 (आप स्वतंत्र रूप से इन त्रिभुजों की समानता को सिद्ध कर सकते हैं)।

हम मान लेंगे कि b> a. ट्रैपेज़ियम ओआरएमई और ओकेएसई के क्षेत्र 1: 5 से संबंधित हैं, जो हमें निम्नलिखित समीकरण बनाने का अधिकार देता है: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें: एच 1 / एच 2 = 1/5 * ((बी + एक्स) / (एक्स + ए))।

चूँकि त्रिभुज TME और AEC समरूप हैं, हमारे पास h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x) है। दोनों रिकॉर्ड्स को मिलाएं और प्राप्त करें: (x - a) / (b - x) = 1/5 * ((b + x) / (x + a)) 5 (x - a) (x + a) = (b) + एक्स) (बी - एक्स) ↔ 5 (एक्स 2 - ए 2) = (बी 2 - एक्स 2) ↔ 6x 2 = बी 2 + 5 ए 2 ↔ एक्स = √ (5 ए 2 + बी 2) / 6।

इस प्रकार, OE = x = (5a 2 + b 2) / 6।

निष्कर्ष

ज्यामिति सबसे आसान विज्ञान नहीं है, लेकिन आप निश्चित रूप से इसे संभालने में सक्षम हो सकते हैं परीक्षा कार्य... तैयारी में थोड़ी सी लगन दिखाने के लिए काफी है। और, ज़ाहिर है, सभी आवश्यक सूत्र याद रखें।

हमने समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए सभी सूत्रों को एक स्थान पर एकत्रित करने का प्रयास किया ताकि आप परीक्षा की तैयारी करते समय और सामग्री की समीक्षा करते समय उनका उपयोग कर सकें।

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ज्यामिति के पाठों में आत्मविश्वास महसूस करने और समस्याओं को सफलतापूर्वक हल करने के लिए, सूत्रों को सीखना पर्याप्त नहीं है। सबसे पहले आपको उन्हें समझने की जरूरत है। डरने के लिए, अकेले नफरत के फार्मूले, अनुत्पादक है। इस आलेख में सुलभ भाषाविश्लेषण किया जाएगा विभिन्न तरीकेट्रेपेज़ॉइड के क्षेत्र की खोज करें। संबंधित नियमों और प्रमेयों को बेहतर ढंग से समझने के लिए, हम इसके गुणों पर कुछ ध्यान देंगे। इससे आपको यह समझने में मदद मिलेगी कि नियम कैसे काम करते हैं और आपको कुछ फ़ार्मुलों को कब लागू करना चाहिए।

एक समलम्ब को परिभाषित करना

सामान्य तौर पर यह आंकड़ा क्या है? एक समलम्ब चतुर्भुज चार कोनों का एक बहुभुज है जिसमें दो समानांतर भुजाएँ होती हैं। ट्रेपेज़ॉइड के अन्य दो पक्षों को अलग-अलग कोणों पर झुकाया जा सकता है। इसके समानांतर पक्षों को आधार कहा जाता है, और गैर-समानांतर पक्षों के लिए "पक्ष" या "जांघ" नाम का उपयोग किया जाता है। इस तरह के आंकड़े काफी आम हैं दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगी... ट्रेपेज़ॉइड की आकृति को कपड़ों, आंतरिक वस्तुओं, फर्नीचर, व्यंजन और कई अन्य लोगों के सिल्हूट में देखा जा सकता है। समलम्ब होता है विभिन्न प्रकार: बहुमुखी, समद्विबाहु और आयताकार। हम लेख में बाद में उनके प्रकारों और गुणों का अधिक विस्तार से विश्लेषण करेंगे।

समलम्बाकार गुण

आइए हम इस आकृति के गुणों पर संक्षेप में ध्यान दें। दोनों पक्षों से सटे कोणों का योग हमेशा 180 ° के बराबर होता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ट्रेपेज़ॉइड के सभी कोण 360 ° तक जुड़ते हैं। ट्रेपेज़ॉइड में एक मध्य रेखा की अवधारणा है। यदि आप भुजाओं के मध्य बिंदुओं को एक खंड से जोड़ते हैं, तो यह मध्य रेखा होगी। एम द्वारा नामित किया गया है। मध्य रेखा है महत्वपूर्ण गुण: यह हमेशा आधारों के समानांतर होता है (हमें याद है कि आधार भी एक दूसरे के समानांतर हैं) और उनके आधे योग के बराबर है:

इस परिभाषा को सीखना और समझना चाहिए, क्योंकि यह कई समस्याओं को हल करने की कुंजी है!

ट्रेपेज़ॉइड में, आप हमेशा ऊंचाई को आधार तक कम कर सकते हैं। ऊंचाई एक लंबवत है, जिसे अक्सर प्रतीक एच द्वारा दर्शाया जाता है, जो किसी भी बिंदु से एक आधार पर दूसरे आधार या उसके विस्तार तक खींचा जाता है। मध्य रेखा और ऊंचाई आपको समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में मदद करेगी। इस तरह के कार्य सबसे आम हैं स्कूल पाठ्यक्रमज्यामिति और नियमित रूप से नियंत्रण और परीक्षा पत्रों में दिखाई देते हैं।

समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए सबसे सरल सूत्र

आइए दो सबसे लोकप्रिय और का विश्लेषण करें सरल सूत्र, जिसकी सहायता से समलम्ब का क्षेत्र पाया जाता है। आप जो खोज रहे हैं उसे आसानी से ढूंढने के लिए ऊंचाई को आधारों के आधे योग से गुणा करना पर्याप्त है:

एस = एच * (ए + बी) / 2।

इस सूत्र में, a, b समलम्बाकार के आधार को निरूपित करते हैं, h - ऊँचाई। धारणा में आसानी के लिए, इस लेख में, गुणन चिह्नों को सूत्रों में एक (*) प्रतीक के साथ चिह्नित किया गया है, हालांकि आधिकारिक संदर्भ पुस्तकों में गुणन चिह्न को आमतौर पर छोड़ दिया जाता है।

आइए एक उदाहरण देखें।

दिया गया है: 10 और 14 सेमी के बराबर दो आधारों वाला एक समलम्ब चतुर्भुज, ऊँचाई 7 सेमी है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल क्या है?

आइए इस समस्या के समाधान का विश्लेषण करें। इस सूत्र का उपयोग करते हुए, आपको पहले आधारों का आधा योग ज्ञात करना होगा: (10 + 14) / 2 = 12. तो, आधा योग 12 सेमी के बराबर होता है। अब हम आधे योग को ऊंचाई से गुणा करते हैं: 12 * 7=84. मनचाही वस्तु मिल जाती है। उत्तर: समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल 84 वर्ग मीटर है। सेमी।

दूसरा प्रसिद्ध सूत्रपढ़ता है: ट्रैपेज़ॉयड का क्षेत्र मध्य रेखा के उत्पाद और ट्रैपेज़ॉयड की ऊंचाई के बराबर है। अर्थात्, वास्तव में, यह मध्य रेखा की पिछली अवधारणा का अनुसरण करता है: S = m * h।

गणना के लिए विकर्णों का उपयोग करना

समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात करने का दूसरा तरीका वास्तव में उतना कठिन नहीं है। यह इसके विकर्णों से जुड़ा हुआ है। इस सूत्र के अनुसार, क्षेत्रफल ज्ञात करने के लिए, आपको इसके विकर्णों के आधे गुणनफल (d 1 d 2) को उनके बीच के कोण की ज्या से गुणा करना होगा:

एस = ½ डी 1 डी 2 पाप ए।

एक समस्या पर विचार करें जो इस पद्धति के अनुप्रयोग को दर्शाती है। दिया गया है: एक समलम्ब चतुर्भुज जिसकी विकर्ण लंबाई क्रमशः 8 और 13 सेमी है। विकर्णों के बीच का कोण 30 ° है। समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।

समाधान। उपरोक्त सूत्र का उपयोग करके, यह गणना करना आसान है कि क्या आवश्यक है। जैसा कि आप जानते हैं, पाप 30 ° 0.5 है। इसलिए, एस = 8 * 13 * 0.5 = 52। उत्तर: क्षेत्रफल 52 वर्ग मीटर है। सेमी।

हम एक समद्विबाहु समलम्बाकार क्षेत्र की तलाश कर रहे हैं

समलंब समद्विबाहु (समद्विबाहु) हो सकता है। इसकी भुजाएँ समान हैं और आधारों पर कोण समान हैं, जिसे चित्र में अच्छी तरह से दर्शाया गया है। एक समद्विबाहु समलम्बाकार समलम्बाकार समलम्बाकार के समान गुण होते हैं, साथ ही कई विशेष गुण भी होते हैं। समद्विबाहु समलम्ब के चारों ओर एक वृत्त का वर्णन किया जा सकता है, और इसमें एक वृत्त अंकित किया जा सकता है।

ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की क्या विधियाँ हैं? नीचे दी गई विधि के लिए बहुत अधिक गणना की आवश्यकता होगी। इसका उपयोग करने के लिए, आपको समलम्ब चतुर्भुज के आधार पर कोण के साइन (पाप) और कोसाइन (cos) के मूल्यों को जानना होगा। उनकी गणना करने के लिए, ब्रैडिस टेबल या इंजीनियरिंग कैलकुलेटर की आवश्यकता होती है। यहाँ सूत्र है:

एस = सी* पाप ए*(ए - सी*कोस ए),

कहाँ पे साथ- पार्श्व जांघ, ए- नीचे के आधार पर कोण।

एक समद्विबाहु समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण होते हैं समान लंबाई... इसका विलोम भी सत्य है: यदि किसी समलम्ब चतुर्भुज के विकर्ण समान हों, तो वह समद्विबाहु है। इसलिए निम्न सूत्र, जो एक समलम्ब का क्षेत्रफल ज्ञात करने में मदद करता है, उनके बीच के कोण की ज्या द्वारा विकर्णों के वर्ग का आधा गुणनफल है: S = ½ d 2 sin ए।

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए

एक आयताकार समलम्ब चतुर्भुज का एक विशेष मामला ज्ञात है। यह एक समलंब चतुर्भुज है जिसमें एक पार्श्व पक्ष (इसकी जांघ) समकोण पर आधारों को जोड़ता है। इसमें एक साधारण ट्रेपोजॉइड के गुण होते हैं। इसके अलावा, उसके पास एक बहुत है दिलचस्प विशेषता... ऐसे समलम्ब चतुर्भुज के विकर्णों के वर्गों के बीच का अंतर इसके आधारों के वर्गों के बीच के अंतर के बराबर होता है। इसके लिए, क्षेत्रफल की गणना के लिए पहले दी गई सभी विधियों का उपयोग किया जाता है।

सरलता लागू करना

एक तरकीब है जो विशिष्ट फ़ार्मुलों की भूलने की स्थिति में मदद कर सकती है। आइए अधिक विस्तार से विचार करें कि एक ट्रेपोजॉइड क्या है। यदि हम मानसिक रूप से इसे भागों में विभाजित करते हैं, तो हमें परिचित और समझने योग्य ज्यामितीय आकार मिलते हैं: एक वर्ग या आयत और एक त्रिकोण (एक या दो)। यदि आप ट्रेपेज़ॉइड की ऊंचाई और पक्षों को जानते हैं, तो आप एक त्रिकोण और एक आयत के क्षेत्र के लिए सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं, और फिर सभी परिणामी मान जोड़ सकते हैं।

आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। आपको एक आयताकार समलम्ब दिया गया है। कोण C = 45°, कोण A, D 90° हैं। ट्रेपेज़ॉइड का ऊपरी आधार 20 सेमी है, ऊंचाई 16 सेमी है। आकृति के क्षेत्र की गणना करना आवश्यक है।

इस आकृति में स्पष्ट रूप से एक आयत (यदि दो कोण 90 ° हैं) और एक त्रिभुज है। चूँकि समलम्ब चतुर्भुज आयताकार है, इसलिए इसकी ऊँचाई इसकी पार्श्व भुजा के बराबर है, अर्थात 16 सेमी। हमारे पास क्रमशः 20 और 16 सेमी की भुजाओं वाला एक आयत है। अब एक त्रिभुज पर विचार करें जिसका कोण 45° है। हम जानते हैं कि इसकी एक भुजा 16 सेमी है। चूँकि यह भुजा एक ही समय में समलम्ब चतुर्भुज की ऊँचाई है (और हम जानते हैं कि ऊँचाई समकोण पर आधार तक गिरती है), इसलिए त्रिभुज का दूसरा कोण है 90 डिग्री। अत: त्रिभुज का शेष कोण 45° है। नतीजतन, हमें एक आयताकार मिलता है समद्विबाहु त्रिकोणजिनकी दोनों भुजाएं समान हैं। इसका मतलब है कि त्रिभुज का दूसरा पक्ष ऊंचाई के बराबर है, यानी 16 सेमी। यह त्रिभुज और आयत के क्षेत्र की गणना करने और परिणामी मूल्यों को जोड़ने के लिए रहता है।

एक समकोण त्रिभुज का क्षेत्रफल उसके पैरों के आधे गुणनफल के बराबर होता है: S = (16 * 16) / 2 = 128। एक आयत का क्षेत्रफल उसकी चौड़ाई और लंबाई के गुणनफल के बराबर होता है: एस = 20 * 16 = 320। हमने आवश्यक पाया: समलम्बाकार एस का क्षेत्रफल = 128 + 320 = 448 वर्ग। देखें। आप उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके आसानी से अपने आप को दोबारा जांच सकते हैं, उत्तर समान होगा।

पिक के सूत्र का उपयोग करना

अंत में, हम एक और मूल सूत्र प्रस्तुत करते हैं जो समलम्बाकार क्षेत्र का पता लगाने में मदद करता है। इसे पिक का सूत्र कहते हैं। जब ट्रेपोजॉइड को चेकर पेपर पर खींचा जाता है तो इसका उपयोग करना सुविधाजनक होता है। इसी तरह के कार्य अक्सर जीआईए की सामग्री में पाए जाते हैं। यह इस तरह दिख रहा है:

एस = एम / 2 + एन -1,

इस सूत्र में M नोड्स की संख्या है, अर्थात। ट्रेपेज़ॉइड (आकृति में नारंगी बिंदु) की सीमाओं पर कोशिकाओं की रेखाओं के साथ आकृति की रेखाओं का चौराहा, N आकृति के अंदर नोड्स की संख्या (नीला बिंदु) है। एक अनियमित बहुभुज का क्षेत्रफल ज्ञात करते समय इसका उपयोग करना सबसे सुविधाजनक होता है। फिर भी, उपयोग की जाने वाली तकनीकों का बड़ा शस्त्रागार, कम त्रुटियां और बेहतर परिणाम।

बेशक, दी गई जानकारी ट्रेपेज़ॉइड के प्रकार और गुणों के साथ-साथ इसके क्षेत्र को खोजने के तरीकों को समाप्त नहीं करती है। यह लेख इसकी सबसे महत्वपूर्ण विशेषताओं का अवलोकन प्रदान करता है। ज्यामितीय समस्याओं को हल करने में, धीरे-धीरे कार्य करना, आसान सूत्रों और समस्याओं से शुरू करना, समझ को लगातार समेकित करना, जटिलता के दूसरे स्तर पर जाना महत्वपूर्ण है।

सबसे सामान्य फ़ार्मुलों को एक साथ रखने से छात्रों को ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करने और परीक्षणों के लिए बेहतर तैयारी करने के लिए विभिन्न तरीकों से नेविगेट करने में मदद मिलेगी। नियंत्रण कार्यइस विषय पर।