स्पर्शरेखा अनुपात के बराबर है। साइन और कोसाइन क्या है प्रतिशत हैं

शिक्षकों का मानना ​​है कि प्रत्येक छात्र को गणना करने में सक्षम होना चाहिए, त्रिकोणमितीय सूत्रों को जानना चाहिए, लेकिन हर शिक्षक यह नहीं बताता कि साइन और कोसाइन क्या हैं। इनका क्या अर्थ है, इनका उपयोग कहाँ किया जाता है? हम त्रिभुजों के बारे में क्यों बात कर रहे हैं, लेकिन पाठ्यपुस्तक में एक वृत्त खींचा गया है? आइए सभी तथ्यों को एक साथ जोड़ने का प्रयास करें।

स्कूल के विषय

त्रिकोणमिति का अध्ययन आमतौर पर ग्रेड 7-8 में शुरू होता है उच्च विद्यालय... इस समय, छात्रों को समझाया जाता है कि साइन और कोसाइन क्या हैं, इन कार्यों का उपयोग करके ज्यामितीय समस्याओं को हल करने की पेशकश की जाती है। बाद में, अधिक जटिल सूत्र और व्यंजक प्रकट होते हैं जिन्हें बीजीय तरीके से बदलने की आवश्यकता होती है (दोहरे और आधे कोण के सूत्र, शक्ति कार्य), त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ काम किया जाता है।

हालांकि, शिक्षक हमेशा इस्तेमाल की गई अवधारणाओं के अर्थ और सूत्रों की प्रयोज्यता को स्पष्ट रूप से समझाने में सक्षम नहीं होते हैं। इसलिए, छात्र अक्सर इस विषय में बिंदु नहीं देखता है, और याद की गई जानकारी को जल्दी से भुला दिया जाता है। हालांकि, यह एक बार हाई स्कूल के छात्र को समझाने लायक है, उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन और ऑसिलेटरी गति के बीच संबंध, और तार्किक संबंध कई वर्षों तक याद रखा जाएगा, और विषय की बेकारता के बारे में चुटकुले अतीत की बात बन जाएंगे .

प्रयोग

जिज्ञासा के लिए, आइए भौतिकी की विभिन्न शाखाओं पर एक नज़र डालें। क्या आप प्रक्षेप्य की सीमा निर्धारित करना चाहते हैं? या आप किसी वस्तु और एक निश्चित सतह के बीच घर्षण बल की गणना कर रहे हैं? पेंडुलम को घुमाते हुए, कांच से गुजरने वाली किरणों को देखते हुए, प्रेरण की गणना करते हुए? त्रिकोणमितीय अवधारणाएं लगभग किसी भी सूत्र में दिखाई देती हैं। तो साइन और कोसाइन क्या हैं?

परिभाषाएं

कोण की ज्या कर्ण के विपरीत पैर का अनुपात है, कोसाइन आसन्न पैर का उसी कर्ण से अनुपात है। यहां कुछ भी जटिल नहीं है। शायद छात्र आमतौर पर त्रिकोणमितीय तालिका में देखे गए मानों से भ्रमित होते हैं, क्योंकि वर्गमूल वहां दिखाई देते हैं। हाँ, उनसे दशमलव भिन्न प्राप्त करना बहुत सुविधाजनक नहीं है, लेकिन किसने कहा कि गणित में सभी संख्याएँ समान होनी चाहिए?

वास्तव में, त्रिकोणमिति समस्या पुस्तकों में, आप एक अजीब संकेत पा सकते हैं: यहां अधिकांश उत्तर सम हैं और सबसे खराब स्थिति में दो या तीन की जड़ होती है। निष्कर्ष सरल है: यदि आपको अपने उत्तर में "बहु-मंजिला" अंश मिलता है, तो गणना या तर्क में त्रुटियों के समाधान की दोबारा जांच करें। और सबसे अधिक संभावना है कि आप उन्हें ढूंढ लेंगे।

याद रखने वाली चीज़ें

किसी भी विज्ञान की तरह, त्रिकोणमिति में डेटा होता है जिसे सीखने की आवश्यकता होती है।

सबसे पहले, याद रखें संख्यात्मक मूल्यज्या के लिए, समकोण त्रिभुज 0 और 90 की कोज्या, साथ ही 30, 45 और 60 डिग्री। ये संकेतक दस में से नौ स्कूली समस्याओं में पाए जाते हैं। पाठ्यपुस्तक में इन मूल्यों को देखने से आपका बहुत समय बर्बाद होगा, और परीक्षा या परीक्षा को देखने के लिए बिल्कुल भी जगह नहीं होगी।

यह याद रखना चाहिए कि दोनों कार्यों का मूल्य एक से अधिक नहीं हो सकता है। यदि गणना में कहीं भी आपको 0-1 सीमा के बाहर कोई मान मिलता है, तो समस्या को रोकें और फिर से हल करें।

ज्या और कोज्या के वर्गों का योग एक के बराबर होता है। यदि आपको पहले से ही कोई एक मान मिल गया है, तो शेष को खोजने के लिए इस सूत्र का उपयोग करें।

प्रमेयों

मूल त्रिकोणमिति में दो मुख्य प्रमेय हैं: साइन और कोसाइन।

पहला कहता है कि त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का सम्मुख कोण की ज्या से अनुपात समान होता है। दूसरा यह है कि किसी भी भुजा का वर्ग शेष दो भुजाओं के वर्गों को जोड़कर और उनके बीच स्थित कोण के कोसाइन से गुणा करके उनके दोहरे गुणनफल को घटाकर प्राप्त किया जा सकता है।

इस प्रकार, यदि हम 90 डिग्री के कोण के मान को कोसाइन प्रमेय में प्रतिस्थापित करते हैं, तो हमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है। अब, यदि आपको एक ऐसी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने की आवश्यकता है जो समकोण त्रिभुज नहीं है, तो आपको अब और चिंता करने की आवश्यकता नहीं है - माना गया दो प्रमेय समस्या के समाधान को काफी सरल बना देगा।

लक्ष्य और लक्ष्य

त्रिकोणमिति सीखना बहुत आसान हो जाता है जब आप एक साधारण तथ्य को महसूस करते हैं: आपके द्वारा किए जाने वाले सभी कार्य केवल एक लक्ष्य को प्राप्त करने के उद्देश्य से होते हैं। यदि आप इसके बारे में कम से कम जानकारी जानते हैं तो त्रिभुज का कोई भी पैरामीटर पाया जा सकता है - यह एक कोण का मान और दो भुजाओं की लंबाई, या, उदाहरण के लिए, तीन भुजाएँ हो सकती हैं।

किसी भी कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा को निर्धारित करने के लिए, ये आंकड़े पर्याप्त हैं, उनकी मदद से आप आसानी से आकृति के क्षेत्र की गणना कर सकते हैं। लगभग हमेशा, उत्तर के रूप में उल्लिखित मानों में से एक की आवश्यकता होती है, और आप उन्हें समान सूत्रों का उपयोग करके पा सकते हैं।

त्रिकोणमिति सीखने में विसंगतियाँ

जिन अस्पष्ट प्रश्नों से छात्र बचना पसंद करते हैं उनमें से एक त्रिकोणमिति में विभिन्न अवधारणाओं के बीच संबंध का पता लगाना है। ऐसा प्रतीत होता है कि त्रिभुजों का उपयोग कोणों की ज्या और कोज्याओं का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, लेकिन किसी कारण से एक वृत्त के साथ आकृति में पदनाम अक्सर पाए जाते हैं। इसके अलावा, एक पूरी तरह से समझ में न आने वाला तरंग जैसा ग्राफ है जिसे साइनसॉइड कहा जाता है, जिसका किसी वृत्त या त्रिकोण से कोई बाहरी समानता नहीं है।

इसके अलावा, कोणों को डिग्री में मापा जाता है, फिर रेडियन में, और संख्या पाई, जिसे केवल 3.14 (माप की इकाइयों के बिना) के रूप में लिखा जाता है, किसी कारण से सूत्रों में 180 डिग्री के अनुरूप दिखाई देता है। यह सब एक दूसरे से कैसे संबंधित है?

इकाइयों

पाई बिल्कुल 3.14 क्यों है? क्या आपको याद है इसका क्या अर्थ है? यह त्रिज्या की संख्या है जो आधे वृत्त पर एक चाप में फिट होती है। यदि वृत्त का व्यास 2 सेंटीमीटर है, तो परिधि 3.14 * 2, या 6.28 है।

दूसरा बिंदु: आपने "रेडियन" और "त्रिज्या" शब्दों के बीच समानता पर ध्यान दिया होगा। तथ्य यह है कि एक रेडियन संख्यात्मक रूप से सर्कल के केंद्र से एक चाप पर एक त्रिज्या की लंबाई के साथ बनाए गए कोण के मूल्य के बराबर है।

अब आइए प्राप्त ज्ञान को जोड़ते हैं और समझते हैं कि त्रिकोणमिति में समन्वय अक्ष पर शीर्ष पर "पाई इन हाफ" और बाईं ओर - "पाई" क्यों लिखा जाता है। यह रेडियन में मापा जाने वाला कोणीय मान है, क्योंकि अर्धवृत्त 180 डिग्री या 3.14 रेडियन है। और जहां डिग्री हैं, वहां साइन और कोसाइन हैं। त्रिभुज से खींचना आसान है वांछित बिंदु, रेखाखंडों को केंद्र में और निर्देशांक अक्ष पर रखते हुए।

आइए भविष्य में देखें

त्रिकोणमिति, स्कूल में पढ़ाया जाता है, एक रेक्टिलिनियर कोऑर्डिनेट सिस्टम से संबंधित है, जहां, यह कितना अजीब लग सकता है, एक सीधी रेखा एक सीधी रेखा है।

लेकिन अंतरिक्ष के साथ काम करने के और भी जटिल तरीके हैं: यहां त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होगा, और हमारे विचार में एक सीधी रेखा वास्तविक चाप की तरह दिखाई देगी।

चलो शब्दों से कर्मों की ओर बढ़ते हैं! एक सेब लें। ऊपर से देखने पर त्रिभुज बनाने के लिए चाकू से तीन कट बनाएं। परिणामी सेब के टुकड़े को बाहर निकालें और "पसलियों" को देखें जहां छिलका समाप्त होता है। वे बिल्कुल सीधे नहीं हैं। आपके हाथों में फल को सशर्त रूप से गोल कहा जा सकता है, और अब कल्पना करें कि सूत्र कितने जटिल होंगे, जिसकी सहायता से आप कटे हुए टुकड़े का क्षेत्रफल ज्ञात कर सकते हैं। लेकिन कुछ विशेषज्ञ रोजाना ऐसी समस्याओं का समाधान करते हैं।

जीवन में त्रिकोणमितीय कार्य

क्या आपने देखा है कि हमारे ग्रह की सतह पर बिंदु A से बिंदु B तक के सबसे छोटे समतल मार्ग का स्पष्ट चाप आकार है? कारण सरल है: पृथ्वी में एक गेंद का आकार है, जिसका अर्थ है कि आप त्रिकोण की मदद से ज्यादा गणना नहीं कर सकते - यहां आपको अधिक जटिल सूत्रों का उपयोग करना होगा।

किसी न्यून कोण की ज्या/कोज्या को अंतरिक्ष संबंधी किसी भी मामले में समाप्त नहीं किया जा सकता है। दिलचस्प है, कारकों की एक पूरी मेजबानी यहाँ अभिसरण करती है: त्रिकोणमितीय फलनमंडलियों, दीर्घवृत्तों और विभिन्न प्रक्षेप पथों में ग्रहों की गति की गणना करते समय इसकी आवश्यकता होती है जटिल आकार; रॉकेट, उपग्रह, शटल, अनुसंधान वाहनों को अनडॉक करने की प्रक्रिया; निगरानी दूर के सितारेऔर आकाशगंगाओं का अध्ययन है कि निकट भविष्य में मनुष्य तक नहीं पहुंच पाएगा।

सामान्य तौर पर, त्रिकोणमिति के मालिक व्यक्ति की गतिविधि का क्षेत्र बहुत व्यापक है और जाहिर है, केवल समय के साथ ही इसका विस्तार होगा।

निष्कर्ष

आज हमने सीखा, या कम से कम दोहराया कि साइन और कोसाइन क्या हैं। ये ऐसी अवधारणाएँ हैं जिनसे आपको डरने की ज़रूरत नहीं है - आप बस चाहते हैं, और आप उनका अर्थ समझेंगे। याद रखें कि त्रिकोणमिति एक लक्ष्य नहीं है, बल्कि केवल एक उपकरण है जिसका उपयोग वास्तविक मानवीय जरूरतों को पूरा करने के लिए किया जा सकता है: घर बनाना, यातायात सुरक्षा सुनिश्चित करना, यहां तक ​​कि ब्रह्मांड की विशालता का पता लगाना।

वास्तव में, विज्ञान स्वयं उबाऊ लग सकता है, लेकिन जैसे ही आप इसमें अपने स्वयं के लक्ष्यों को प्राप्त करने का एक तरीका खोजते हैं, आत्म-साक्षात्कार, सीखने की प्रक्रिया दिलचस्प हो जाएगी, और आपकी व्यक्तिगत प्रेरणा बढ़ जाएगी।

जैसा घर का कामकाम के क्षेत्र में त्रिकोणमितीय कार्यों को लागू करने के तरीके खोजने का प्रयास करें जो आपकी व्यक्तिगत रुचि रखते हैं। कल्पना कीजिए, अपनी कल्पना को चालू कीजिए, और तब शायद यह पता चलेगा कि भविष्य में नया ज्ञान आपके काम आएगा। और इसके अलावा, गणित के लिए उपयोगी है समावेशी विकासविचारधारा।

विपरीत पैर का कर्ण से अनुपात कहलाता है साइनस तीव्र कोणसही त्रिकोण।

\ पाप \ अल्फा = \ फ्रैक (ए) (सी)

समकोण त्रिभुज के न्यून कोण की कोज्या

कर्ण के पास के पैर के अनुपात को कहा जाता है न्यून कोण की कोज्यासही त्रिकोण।

\ cos \ अल्फा = \ फ़्रेक (बी) (सी)

एक समकोण त्रिभुज की न्यून स्पर्श रेखा

विपरीत पैर का आसन्न पैर से अनुपात कहलाता है न्यून कोण की स्पर्श रेखासही त्रिकोण।

टीजी \ अल्फा = \ फ्रैक (ए) (बी)

एक समकोण त्रिभुज के न्यून कोण का कोटैंजेंट

आसन्न पैर का विपरीत पैर के अनुपात को कहा जाता है तीव्र कोण कोटैंजेंटसही त्रिकोण।

सीटीजी \ अल्फा = \ फ्रैक (बी) (ए)

एक मनमाना कोण की ज्या

इकाई वृत्त पर एक बिंदु की कोटि जिससे कोण \ alpha मेल खाता है, कहलाता है एक मनमाना कोण की ज्यारोटेशन \ अल्फा।

\ पाप \ अल्फा = y

एक मनमाना कोण की कोज्या

इकाई वृत्त पर उस बिंदु का भुज जिससे कोण \ alpha मेल खाता है, कहलाता है एक मनमाना कोण की कोज्यारोटेशन \ अल्फा।

\ cos \ अल्फा = x

मनमाना कोण स्पर्शरेखा

घूर्णन के एक स्वेच्छ कोण की ज्या का अनुपात \ alpha और उसकी कोज्या कहलाता है एक मनमाना कोण की स्पर्शरेखारोटेशन \ अल्फा।

टीजी \ अल्फा = y_ (ए)

टीजी \ अल्फा = \ फ्रैक (\ पाप \ अल्फा) (\ cos \ अल्फा)

एक मनमाना कोण का कोटैंजेंट

घूर्णन के एक स्वेच्छ कोण के कोज्या के अनुपात \ alpha को उसकी ज्या से कहा जाता है एक मनमाना कोण का कोटैंजेंटरोटेशन \ अल्फा।

सीटीजी \ अल्फा = x_ (ए)

सीटीजी \ अल्फा = \ फ्रैक (\ cos \ अल्फा) (\ sin \ अल्फा)

एक मनमाना कोण खोजने का एक उदाहरण

यदि \ alpha कोई कोण AOM है, जहाँ M इकाई वृत्त का एक बिंदु है, तो

\ sin \ अल्फा = y_ (एम), \ cos \ अल्फा = x_ (एम), टीजी \ अल्फा = \ फ़्रेक (y_ (एम)) (x_ (एम)), सीटीजी \ अल्फा = \ फ़्रेक (x_ (एम)) (y_ (एम)).

उदाहरण के लिए, यदि \ कोण AOM = - \ frac (\ pi) (4), तो: बिंदु M की कोटि के बराबर है - \ फ़्रेक (\ sqrt (2)) (2), भुज is \ फ़्रेक (\ sqrt (2)) (2)और यही कारण है

\ sin \ बाएँ (- \ frac (\ pi) (4) \ दाएँ) = - \ frac (\ sqrt (2)) (2);

\ cos \ बाएँ (\ frac (\ pi) (4) \ दाएँ) = \ frac (\ sqrt (2)) (2);

टीजी;

सीटीजी \ बाएँ (- \ frac (\ pi) (4) \ दाएँ) = - 1.

कोटैंजेंट की स्पर्शरेखाओं की कोज्या की ज्याओं के मूल्यों की तालिका

मुख्य उभयनिष्ठ कोणों के मान तालिका में दिए गए हैं:

	0 ^ (\ सर्किल) (0)	30 ^ (\ circ) \ बाएँ (\ frac (\ pi) (6) \ दाएँ)	45 ^ (\ circ) \ बाएँ (\ frac (\ pi) (4) \ दाएँ)	60 ^ (\ circ) \ बाएँ (\ frac (\ pi) (3) \ दाएँ)	90 ^ (\ circ) \ बाएँ (\ frac (\ pi) (2) \ दाएँ)	180 ^ (\ circ) \ बाएँ (\ pi \ दाएँ)	270 ^ (\ circ) \ बाएँ (\ frac (3 \ pi) (2) \ दाएँ)	360 ^ (\ circ) \ बाएँ (2 \ pi \ दाएँ)
\ पाप \ अल्फा	0	\ फ्रैक12	\ फ़्रेक (\ sqrt 2) (2)	\ फ़्रेक (\ sqrt 3) (2)	1	0	−1	0
\ cos \ अल्फा	1	\ फ़्रेक (\ sqrt 3) (2)	\ फ़्रेक (\ sqrt 2) (2)	\ फ्रैक12	0	−1	0	1
टीजी \ अल्फा	0	\ फ़्रेक (\ sqrt 3) (3)	1	\ sqrt3	—	0	—	0
सीटीजी \ अल्फा	—	\ sqrt3	1	\ फ़्रेक (\ sqrt 3) (3)	0	—	0	—

मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटेंजेंट - सेट हैं त्रिकोणमितीय सूत्र... और चूंकि त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच बहुत सारे संबंध हैं, यह त्रिकोणमितीय सूत्रों की प्रचुरता की व्याख्या करता है। कुछ सूत्र एक ही कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों को जोड़ते हैं, अन्य - एक से अधिक कोण के कार्य, अन्य - आपको डिग्री कम करने की अनुमति देते हैं, चौथा - आधे कोण के स्पर्शरेखा के माध्यम से सभी कार्यों को व्यक्त करते हैं, आदि।

इस लेख में, हम सभी मूल त्रिकोणमितीय सूत्रों को क्रम में सूचीबद्ध करेंगे, जो त्रिकोणमिति की अधिकांश समस्याओं को हल करने के लिए पर्याप्त हैं। याद रखने और उपयोग में आसानी के लिए, हम उन्हें उद्देश्य से समूहित करेंगे और उन्हें तालिकाओं में दर्ज करेंगे।

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मूल त्रिकोणमितीय पहचान

मूल त्रिकोणमितीय पहचानएक कोण के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के बीच संबंध सेट करें। वे साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की परिभाषाओं के साथ-साथ यूनिट सर्कल की अवधारणा का पालन करते हैं। वे आपको एक त्रिकोणमितीय फलन को किसी अन्य के रूप में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं।

इन त्रिकोणमिति सूत्रों, उनकी व्युत्पत्ति और आवेदन के उदाहरणों के विस्तृत विवरण के लिए, लेख देखें।

कास्टिंग सूत्र

कास्टिंग सूत्रसाइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट के गुणों से अनुसरण करें, यानी, वे त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता की संपत्ति, समरूपता की संपत्ति, साथ ही किसी दिए गए कोण से स्थानांतरण की संपत्ति को दर्शाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र आपको मनमाने कोणों से काम करने से लेकर शून्य से 90 डिग्री तक के कोणों के साथ काम करने की अनुमति देते हैं।

इन सूत्रों का औचित्य, उन्हें याद रखने के लिए स्मरणीय नियम और उनके आवेदन के उदाहरणों का अध्ययन लेख में किया जा सकता है।

जोड़ सूत्र

त्रिकोणमितीय जोड़ सूत्रदिखाएँ कि इन कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में दो कोणों के योग या अंतर के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये सूत्र निम्नलिखित त्रिकोणमितीय सूत्रों को प्राप्त करने के आधार के रूप में कार्य करते हैं।

डबल, ट्रिपल, आदि के लिए सूत्र। कोने

डबल, ट्रिपल, आदि के लिए सूत्र। कोण (जिसे बहुकोण सूत्र भी कहा जाता है) यह दर्शाता है कि कैसे दोहरे, तिहरे आदि के त्रिकोणमितीय फलन का प्रयोग किया जाता है। कोण () को एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उनकी व्युत्पत्ति योग सूत्रों पर आधारित है।

डबल, ट्रिपल आदि के लिए लेख सूत्रों में अधिक विस्तृत जानकारी एकत्र की जाती है। कोने।

आधा कोण सूत्र

आधा कोण सूत्रदिखाएँ कि एक पूर्णांक कोण के कोज्या के रूप में एक आधे कोण के त्रिकोणमितीय कार्य कैसे व्यक्त किए जाते हैं। ये त्रिकोणमितीय सूत्र दोहरे कोण वाले सूत्रों का अनुसरण करते हैं।

उनके निष्कर्ष और आवेदन के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं।

डिग्री कमी सूत्र

त्रिकोणमितीय डिग्री न्यूनीकरण सूत्रसे संक्रमण की सुविधा के लिए डिज़ाइन किया गया प्राकृतिक डिग्रीपहली डिग्री में साइन और कोसाइन के लिए त्रिकोणमितीय कार्य, लेकिन कोणों के गुणक। दूसरे शब्दों में, वे आपको त्रिकोणमितीय कार्यों की डिग्री को पहले तक कम करने की अनुमति देते हैं।

त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए योग और अंतर सूत्र

मुख्य उद्देश्य त्रिकोणमितीय कार्यों के योग और अंतर के लिए सूत्रफलन के गुणनफल पर जाना है, जो त्रिकोणमितीय व्यंजकों को सरल बनाते समय बहुत उपयोगी होता है। त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में इन सूत्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि वे आपको साइन और कोसाइन के योग और अंतर को कारक बनाने की अनुमति देते हैं।

कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के गुणनफल से योग या अंतर में संक्रमण, कोज्या द्वारा ज्या, कोज्या और ज्या के गुणनफल के सूत्रों का उपयोग करके किया जाता है।

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साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट की अवधारणाएं त्रिकोणमिति की मुख्य श्रेणियां हैं - गणित की एक शाखा, और कोण की परिभाषा के साथ अटूट रूप से जुड़ी हुई हैं। इस गणितीय विज्ञान के कब्जे के लिए सूत्रों और प्रमेयों को याद रखने और समझने के साथ-साथ विकसित स्थानिक सोच की आवश्यकता होती है। इसीलिए त्रिकोणमितीय गणनाएं अक्सर स्कूली बच्चों और छात्रों के लिए मुश्किलें खड़ी करती हैं। उन्हें दूर करने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय कार्यों और सूत्रों से अधिक विस्तार से परिचित होना चाहिए।

त्रिकोणमिति में अवधारणाएं

त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं को समझने के लिए, आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि एक समकोण त्रिभुज और एक वृत्त में एक कोण क्या है, और सभी मूल त्रिकोणमितीय गणनाएँ उनके साथ क्यों जुड़ी हुई हैं। एक त्रिभुज जिसका एक कोना 90 डिग्री का है, आयताकार है। ऐतिहासिक रूप से, यह आंकड़ा अक्सर वास्तुकला, नेविगेशन, कला, खगोल विज्ञान में लोगों द्वारा उपयोग किया जाता था। तदनुसार, इस आंकड़े के गुणों का अध्ययन और विश्लेषण करते हुए, लोग इसके मापदंडों के संबंधित अनुपात की गणना करने के लिए आए।

समकोण त्रिभुज से जुड़ी मुख्य श्रेणियां कर्ण और पैर हैं। कर्ण - त्रिभुज की भुजा विपरीत होती है समकोण... पैर, क्रमशः, अन्य दो भुजाएँ हैं। किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग हमेशा 180 डिग्री होता है।

गोलाकार त्रिकोणमिति त्रिकोणमिति का एक खंड है जिसका अध्ययन स्कूल में नहीं किया जाता है, लेकिन खगोल विज्ञान और भूगणित जैसे अनुप्रयुक्त विज्ञान में वैज्ञानिक इसका उपयोग करते हैं। गोलाकार त्रिकोणमिति में त्रिभुज की ख़ासियत यह है कि इसमें हमेशा 180 डिग्री से अधिक के कोणों का योग होता है।

त्रिभुज के कोण

एक समकोण त्रिभुज में, कोण की ज्या वांछित कोण के विपरीत पैर का त्रिभुज के कर्ण से अनुपात है। तदनुसार, कोज्या आसन्न पैर और कर्ण का अनुपात है। ये दोनों मान हमेशा एक से कम होते हैं, क्योंकि कर्ण हमेशा पैर से लंबा होता है।

कोण की स्पर्शरेखा एक मान है जो विपरीत पैर के वांछित कोण के आसन्न पैर के अनुपात के बराबर है, या साइन से कोसाइन है। Cotangent, बदले में, वांछित कोण के आसन्न पैर का विपरीत पैर का अनुपात है। किसी एक को स्पर्शरेखा के मान से विभाजित करके भी एक कोण का कोटैंजेंट प्राप्त किया जा सकता है।

यूनिट सर्कल

ज्यामिति में एक इकाई वृत्त एक वृत्त होता है जिसकी त्रिज्या एक के बराबर होती है। इस तरह के एक सर्कल का निर्माण कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में किया जाता है, जबकि सर्कल का केंद्र मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, और त्रिज्या वेक्टर की प्रारंभिक स्थिति एक्स-अक्ष (एब्सिसा) की सकारात्मक दिशा के साथ निर्धारित होती है। वृत्त के प्रत्येक बिंदु में दो निर्देशांक होते हैं: XX और YY, अर्थात्, भुज और निर्देशांक के निर्देशांक। XX तल में वृत्त पर किसी भी बिंदु का चयन करते हुए, और उस से भुज अक्ष पर लंब को छोड़ते हुए, हम चयनित बिंदु पर त्रिज्या द्वारा गठित एक समकोण त्रिभुज प्राप्त करते हैं (इसे अक्षर C से दर्शाते हैं), खींचे गए लंबवत द्वारा एक्स-अक्ष के लिए (चौराहे बिंदु को जी अक्षर द्वारा दर्शाया गया है), और एक खंड एब्सिस्सा अक्ष मूल के बीच (बिंदु को अक्षर ए द्वारा नामित किया गया है) और चौराहे बिंदु जी। परिणामी त्रिभुज एसीजी एक सही है- एक वृत्त में खुदा हुआ कोण त्रिभुज, जहाँ AG कर्ण है, और AC और GC पैर हैं। वृत्त AC की त्रिज्या और भुज अक्ष के खंड के बीच के कोण को पदनाम AG के साथ, हम α (अल्फा) के रूप में परिभाषित करते हैं। तो, cos α = AG / AC। यह मानते हुए कि AC इकाई वृत्त की त्रिज्या है, और यह एक के बराबर है, यह पता चलता है कि cos α = AG। इसी तरह, sin α = CG।

इसके अलावा, इन आंकड़ों को जानने के बाद, आप वृत्त पर बिंदु C का निर्देशांक निर्धारित कर सकते हैं, क्योंकि cos α = AG, और sin α = CG, जिसका अर्थ है कि बिंदु C में दिए गए निर्देशांक(कॉस α; पाप α)। यह जानते हुए कि स्पर्शरेखा साइन और कोसाइन के अनुपात के बराबर है, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि tg α = y / x, और ctg α = x / y। कोणों को ध्यान में रखते हुए नकारात्मक प्रणालीनिर्देशांक, आप गणना कर सकते हैं कि कुछ कोणों के साइन और कोसाइन के मान नकारात्मक हो सकते हैं।

गणना और बुनियादी सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों के मान

यूनिट सर्कल के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों के सार पर विचार करने के बाद, आप कुछ कोणों के लिए इन कार्यों के मूल्यों को प्राप्त कर सकते हैं। मान नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं।

सरलतम त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ

वे समीकरण जिनमें त्रिकोणमितीय फलन के चिह्न के अंतर्गत अज्ञात मान मौजूद होता है, त्रिकोणमितीय कहलाते हैं। मान sin = α के साथ पहचान, k कोई पूर्णांक है:

1. पाप x = 0, x = k।
2. 2.सिन एक्स = 1, एक्स = / 2 + 2πk।
3. पाप x = -1, x = -π / 2 + 2πk।
4. पाप एक्स = ए, | ए | > 1, कोई समाधान नहीं।
5. पाप एक्स = ए, | ए | 1, एक्स = (-1) ^ के * आर्क्सिन α + πk।

cos x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. कॉस एक्स = 0, एक्स = / 2 + πk।
2. cos x = 1, x = 2πk।
3. कॉस एक्स = -1, एक्स = + 2πk।
4. कॉस एक्स = ए, | ए | > 1, कोई समाधान नहीं।
5. कॉस एक्स = ए, | ए | 1, x = ± आर्ककोस α + 2πk।

tg x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. टीजी एक्स = 0, एक्स = / 2 + πk।
2. टीजी एक्स = ए, एक्स = आर्कटन α + πk।

ctg x = a के मान वाली सर्वसमिकाएँ, जहाँ k कोई पूर्णांक है:

1. सीटीजी एक्स = 0, एक्स = / 2 + πk।
2. सीटीजी एक्स = ए, एक्स = आर्कसीटीजी α + πk।

कास्टिंग सूत्र

यह श्रेणी स्थिर सूत्रउन तरीकों को दर्शाता है जिनके साथ आप फॉर्म के त्रिकोणमितीय कार्यों से तर्क के कार्यों तक जा सकते हैं, यानी, किसी भी मान के कोण के साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंजेंट को अंतराल के कोण के संबंधित संकेतकों में 0 से लाएं। गणना की अधिक सुविधा के लिए 90 डिग्री तक।

किसी कोण की ज्या के फलनों को परिवर्तित करने के सूत्र इस प्रकार हैं:

• पाप (900 - α) = α;
• पाप (900 + α) = cos α;
• पाप (1800 - α) = पाप α;
• पाप (1800 + α) = -सिन α;
• पाप (2700 - α) = -cos α;
• पाप (2700 + α) = -cos α;
• पाप (3600 - α) = -सिन α;
• पाप (3600 + α) = पाप α।

कोण की कोज्या के लिए:

• cos (900 - α) = sin α;
• cos (900 + α) = -sin α;
• cos (1800 - α) = -cos α;
• cos (1800 + α) = -cos α;
• cos (2700 - α) = -sin α;
• cos (2700 + α) = sin α;
• cos (3600 - α) = cos α;
• cos (3600 + α) = cos α।

उपरोक्त सूत्रों का प्रयोग दो नियमों के अधीन संभव है। सबसे पहले, यदि कोण को मान (π / 2 ± a) या (3π / 2 ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फ़ंक्शन का मान बदल जाता है:

• पाप से कोस तक;
• कॉस से पाप तक;
• टीजी से सीटीजी तक;
• सीटीजी से टीजी तक

यदि कोण को (π ± a) या (2π ± a) के रूप में दर्शाया जा सकता है, तो फलन का मान अपरिवर्तित रहता है।

दूसरे, घटे हुए फ़ंक्शन का संकेत नहीं बदलता है: यदि यह शुरू में सकारात्मक था, तो ऐसा ही रहता है। इसी तरह नकारात्मक कार्यों के साथ।

जोड़ सूत्र

ये सूत्र दो घूर्णन कोणों के योग के साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा और कोटैंजेंट के मूल्यों को उनके त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यक्त करते हैं। कोणों को आमतौर पर α और β कहा जाता है।

सूत्र इस तरह दिखते हैं:

1. पाप (α ± β) = पाप α * cos β ± cos α * sin।
2. cos (α ± β) = cos α * cos β sin α * sin।
3. तन (α ± β) = (तन α ± तन β) / (1 ∓ तन α * तन β)।
4. सीटीजी (α ± β) = (-1 ± सीटीजी α * सीटीजी β) / (सीटीजी α ± सीटीजी β)।

ये सूत्र α और β कोणों के किसी भी मान के लिए मान्य हैं।

डबल और ट्रिपल एंगल फॉर्मूला

डबल और ट्रिपल कोण त्रिकोणमितीय सूत्र ऐसे सूत्र हैं जो कोण α के त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए क्रमशः कोण 2α और 3α के कार्यों से संबंधित हैं। अतिरिक्त सूत्रों से व्युत्पन्न:

1. sin2α = 2sinα * cosα।
2. cos2α = 1 - 2sin ^ 2 α।
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg ^ 2 α)।
4. sin3α = 3sinα - 4sin ^ 3 α।
5. cos3α = 4cos ^ 3 α - 3cosα।
6. tg3α = (3tgα - तन ^ 3 α) / (1-तन ^ 2 α)।

योग से उत्पाद में संक्रमण

इस बात को ध्यान में रखते हुए कि 2sinx * आरामदायक = पाप (x + y) + पाप (x-y), इस सूत्र को सरल करते हुए, हम sinα + sinβ = 2sin (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2 की पहचान प्राप्त करते हैं। इसी तरह, sinα - sinβ = 2sin (α - β) / 2 * cos (α + β) / 2; cosα + cosβ = 2cos (α + β) / 2 * cos (α - β) / 2; cosα - cosβ = 2sin (α + β) / 2 * sin (α - β) / 2; tgα + tgβ = sin (α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin (α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin (π / 4 α) = √2cos (π / 4 ± α)।

काम से योग की ओर बढ़ना

ये सूत्र योग के उत्पाद में संक्रमण की पहचान से अनुसरण करते हैं:

• sinα * sinβ = 1/2 *;
• cosα * cosβ = 1/2 *;
• sinα * cosβ = 1/2 *।

डिग्री कमी सूत्र

इन सर्वसमिकाओं में, ज्या और कोज्या के वर्ग और घन घातों को बहु कोण की पहली घात की ज्या और कोज्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

• पाप ^ 2 α = (1 - cos2α) / 2;
• cos ^ 2 α = (1 + cos2α) / 2;
• पाप ^ 3 α = (3 * sinα - sin3α) / 4;
• cos ^ 3 α = (3 * cosα + cos3α) / 4;
• पाप ^ 4 α = (3 - 4cos2α + cos4α) / 8;
• cos ^ 4 α = (3 + 4cos2α + cos4α) / 8.

सार्वभौमिक प्रतिस्थापन

सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन सूत्र आधे कोण के स्पर्शरेखा के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों को व्यक्त करते हैं।

• पाप x = (2tgx / 2) * (1 + tan ^ 2 x / 2), जबकि x = π + 2πn;
• cos x = (1 - tan ^ 2 x / 2) / (1 + tan ^ 2 x / 2), जहां x = + 2πn;
• तन x = (2tgx / 2) / (1 - तन ^ 2 x / 2), जहां x = π + 2πn;
• सीटीजी एक्स = (1 - टीजी ^ 2 एक्स / 2) / (2 टीजीएक्स / 2), जबकि एक्स = π + 2πn।

विशेष स्थितियां

सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरणों के विशेष मामले नीचे दिए गए हैं (k कोई पूर्णांक है)।

साइनस के लिए निजी:

पाप x मान	एक्स मान
0	k
1	/ 2 + 2πk
-1	-π / 2 + 2πk
1/2	/ 6 + 2πk या 5π / 6 + 2πk
-1/2	-π / 6 + 2πk या -5π / 6 + 2πk
√2/2	/ 4 + 2πk या 3π / 4 + 2πk
-√2/2	-π / 4 + 2πk या -3π / 4 + 2πk
√3/2	/ 3 + 2πk या 2π / 3 + 2πk
-√3/2	-π / 3 + 2πk या -2π / 3 + 2πk

कोसाइन के भागफल हैं:

कॉस एक्स मान	एक्स मान
0	/ 2 + 2πk
1	2πk
-1	2 + 2πk
1/2	± / 3 + 2πk
-1/2	± 2π / 3 + 2πk
√2/2	± / 4 + 2πk
-√2/2	± 3π / 4 + 2πk
√3/2	± / 6 + 2πk
-√3/2	± 5π / 6 + 2πk

स्पर्शरेखा के लिए निजी:

टीजी एक्स मान	एक्स मान
0	k
1	/ 4 + k
-1	-π / 4 + k
√3/3	/ 6 + k
-√3/3	-π / 6 + k
√3	/ 3 + k
-√3	-π / 3 + k

कोटैंजेंट के लिए निजी:

सीटीजी एक्स मान	एक्स मान
0	/ 2 + k
1	/ 4 + k
-1	-π / 4 + k
√3	/ 6 + k
-√3	-π / 3 + k
√3/3	/ 3 + k
-√3/3	-π / 3 + k

प्रमेयों

ज्या प्रमेय

प्रमेय के दो संस्करण हैं - सरल और विस्तारित। ज्या का सरल प्रमेय: a / sin α = b / sin β = c / sin । इस स्थिति में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α, β, क्रमशः विपरीत कोण हैं।

एक मनमाना त्रिभुज के लिए विस्तारित ज्या प्रमेय: a / sin α = b / sin β = c / sin γ = 2R। इस सर्वसमिका में, R उस वृत्त की त्रिज्या को दर्शाता है जिसमें दिया गया त्रिभुज अंकित है।

कोसाइन प्रमेय

पहचान इस प्रकार प्रदर्शित होती है: a ^ 2 = b ^ 2 + c ^ 2 - 2 * b * c * cos α। सूत्र में, a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और α भुजा a के विपरीत कोण है।

स्पर्शरेखा प्रमेय

सूत्र दो कोणों की स्पर्श रेखाओं और उनके सम्मुख भुजाओं की लंबाई के बीच संबंध को व्यक्त करता है। पक्षों को ए, बी, सी के रूप में दर्शाया गया है, और संबंधित विपरीत कोण α, β, हैं। स्पर्शरेखा प्रमेय का सूत्र है: (a - b) / (a ​​+ b) = tan ((α - β) / 2) / tan ((α + β) / 2)।

कोटैंजेंट प्रमेय

त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या को उसकी भुजाओं की लंबाई से जोड़ता है। यदि a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं, और A, B, C, क्रमशः विपरीत कोण हैं, r उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या है, और p त्रिभुज का अर्ध-परिधि है, निम्नलिखित सर्वसमिकाएँ हैं वैध हैं:

• सीटीजी ए / 2 = (पी-ए) / आर;
• सीटीजी बी / 2 = (पी-बी) / आर;
• सीटीजी सी / 2 = (पीसी) / आर।

लागू आवेदन

त्रिकोणमिति केवल गणितीय सूत्रों से संबंधित सैद्धांतिक विज्ञान नहीं है। इसके गुण, प्रमेय और नियम विभिन्न उद्योगों द्वारा व्यवहार में उपयोग किए जाते हैं। मानव गतिविधि- खगोल विज्ञान, वायु और समुद्री नेविगेशन, संगीत सिद्धांत, भूगणित, रसायन विज्ञान, ध्वनिकी, प्रकाशिकी, इलेक्ट्रॉनिक्स, वास्तुकला, अर्थशास्त्र, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, मापने का काम, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कार्टोग्राफी, समुद्र विज्ञान, और कई अन्य।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कॉटेंजेंट त्रिकोणमिति की मूल अवधारणाएं हैं, जिनकी मदद से आप गणितीय रूप से त्रिकोण में कोणों और पक्षों की लंबाई के बीच संबंध व्यक्त कर सकते हैं, और पहचान, प्रमेय और नियमों के माध्यम से आवश्यक मात्रा का पता लगा सकते हैं।

त्रिकोणमितीय समीकरण परीक्षा का एक अभिन्न अंग हैं।

दुर्भाग्य से, कोई सामान्य एकीकृत विधि नहीं है, जिसके बाद किसी भी समीकरण को हल करना संभव होगा जिसमें त्रिकोणमितीय कार्य शामिल हैं। यहां सफलता केवल सूत्रों के अच्छे ज्ञान और कुछ उपयोगी संयोजनों को देखने की क्षमता से ही सुनिश्चित की जा सकती है, जो केवल अभ्यास से विकसित होती है।

सामान्य लक्ष्य आमतौर पर समीकरण में शामिल त्रिकोणमितीय अभिव्यक्ति को इस रूप में परिवर्तित करना है कि जड़ें तथाकथित सरल समीकरणों से मिलती हैं:

कॉस पीएक्स = ए;

पाप जीएक्स = बी;

टीजी केएक्स = सी;

सीटीजी टीएक्स = डी।

ऐसा करने के लिए, आपको त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करने में सक्षम होना चाहिए। उन्हें "नाम" जानना और कॉल करना उपयोगी है:

1. दोहरे तर्क, तिहरे तर्क के सूत्र:

cos 2x = cos 2 x - sin 2 x = 1 - 2 sin 2 x = 2 cos 2 x - 1;

पाप 2x = 2 पाप x क्योंकि x;

टीजी 2x = 2 टीजी एक्स / 1 - टीजी एक्स;

सीटीजी 2x = (सीटीजी 2 एक्स -1) / 2 सीटीजी एक्स;

पाप 3x = 3 पाप x - 4 पाप 3 x;

cos 3x = 4 cos 3 x - 3 cos x;

टीजी 3x = (2 टीजी एक्स - टीजी 3 एक्स) / (1 - 3 टीजी 2 एक्स);

सीटीजी 3एक्स = (सीटीजी 3 एक्स - 3सीटीजी एक्स) / (3सीटीजी 2 एक्स - 1);

2. आधे तर्क या डिग्री में कमी के लिए सूत्र:

पाप 2 एक्स / 2 = (1 - कॉस एक्स) / 2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;

टीजी 2 एक्स = (1 - कॉस एक्स) / (1 + कॉस एक्स);

सीटीजी 2 एक्स = (1 + कॉस एक्स) / (1 - कॉस एक्स);

3. एक सहायक तर्क प्रस्तुत करना:

आइए समीकरण के उदाहरण पर विचार करें a sin x + b cos x = c, अर्थात्, शर्तों से कोण x का निर्धारण sin y = b / v (a 2 + b 2), cos y = a / v (a 2 + बी 2), हम विचाराधीन समीकरण को सरलतम पाप (x + y) = c / v (a 2 + b 2) तक कम कर सकते हैं जिसका समाधान बिना कठिनाई के लिखा जा सकता है; इस प्रकार, मूल समीकरण के हल भी निर्धारित होते हैं।

4. जोड़ और घटाव के सूत्र:

sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;

पाप (ए - बी) = पाप ए कॉस बी - कॉस ए पाप बी;

cos (a + b) = cos a cos b - sin a sin b;

cos (a - b) = cos a cos b + sin a sin b;

टीजी (ए + बी) = (टीजी ए + टीजी बी) / (1 - टीजी ए टीजी बी);

टीजी (ए - बी) = (टीजी ए - टीजी बी) / (1 + टीजी ए टीजी बी);

5. सार्वभौमिक त्रिकोणमितीय प्रतिस्थापन:

पाप ए = 2 टीजी (ए / 2) / (1 + (टीजी 2 (ए / 2));

कॉस ए = (1 - टीजी 2 (ए / 2)) / (1 + (टीजी 2 (ए / 2));

टीजी ए = 2 टीजी ए / 2 / (1 - टीजी 2 (ए / 2));

6. कुछ महत्वपूर्ण रिश्ते:

sin x + sin 2x + sin 3x +… + sin mx = (cos (x / 2) -cos (2m + 1) x) / (2 sin (x / 2));

cos x + cos 2x + cos 3x +… + cos mx = (sin (2m + 1) x/2 - sin (x/2)) / (2 sin (x/2));

7. त्रिकोणमितीय फलनों के योग को उत्पाद में बदलने के सूत्र:

पाप ए + पाप बी = 2 पाप (ए + बी) / 2 कॉस (ए - बी) / 2;

कॉस ए - कॉस बी = -2 पाप (ए + बी) / 2 पाप (बी - ए) / 2;

tg a + tg b = sin (a + b) / (cos a cos b);

tg a - tg b = sin (a - b) / (cos a cos b)।

और कमी सूत्र भी।

हल करने की प्रक्रिया में, जड़ों के नुकसान को रोकने के लिए समीकरणों की तुल्यता की विशेष रूप से सावधानीपूर्वक निगरानी करनी चाहिए (उदाहरण के लिए, जब एक सामान्य कारक द्वारा समीकरण के बाएँ और दाएँ पक्षों को कम करना), या अतिरिक्त जड़ें प्राप्त करना (के लिए) उदाहरण के लिए, जब समीकरण के दोनों पक्षों को चुकता किया जाता है)। इसके अलावा, यह नियंत्रित करना आवश्यक है कि प्राप्त करने वाले मूल विचाराधीन समीकरण के ODV से संबंधित हैं या नहीं।

सभी आवश्यक मामलों में (अर्थात जब गैर-समतुल्य परिवर्तनों की अनुमति दी गई थी), एक जाँच करना अनिवार्य है। एक समीकरण को हल करते समय, छात्रों को उन्हें कुछ प्रकार तक कम करना सिखाना आवश्यक है, आमतौर पर आसान समीकरणों से शुरू होता है।

आइए समीकरणों को हल करने की विधियों से परिचित हों:

1. फॉर्म में कमी कुल्हाड़ी 2 + बीएक्स + सी = 0

2. समीकरणों की एकरूपता।

3. गुणनखंडन।

4. a 2 + b 2 + c 2 = 0 . के रूप में घटाना

5. चरों का परिवर्तन।

6. किसी समीकरण का एक चर वाले समीकरण में अपचयन।

7. बाएँ और दाएँ पक्षों का मूल्यांकन।

8. टकटकी विधि।

9. एक सहायक कोण का परिचय।

10. फूट डालो और जीतो विधि।

आइए कुछ उदाहरणों पर विचार करें:

1. समीकरण को हल करें: sin x + cos 2 x = 1/4।

समाधान: आइए द्विघात समीकरण में कमी की विधि द्वारा हल करें। cos 2 x को sin 2 x . के पदों में व्यक्त करें

पाप x + 1 - पाप 2 x = 1/4

4 पाप 2 x - 4 पाप x - 3 = 0

sin x = -1/2, sin x = 3/2 (शर्त х € [-1; 1]),

वे। x = (-1) k + 1 चाप 1/2 + k, k € z,

उत्तर: (-1) के + 1/6 + के, के € जेड।

2. समीकरण को हल करें: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,

हम फैक्टरिंग द्वारा हल करते हैं

2 tg x cos x - 2 cos x + 1 - tg x = 0, जहाँ / 2 + k, k € z,

2 कॉस एक्स (टीजी एक्स -1) - (टीजी एक्स -1) = 0

(2 cos x - 1) (tg x - 1) = 0

2 cos x - 1 = 0 या tg x - 1 = 0

कॉस एक्स = 1/2, टीजीएक्स = 1

यानी x = ± / 3 + 2k, k € z, x = / 4 + m, m € z।

उत्तर: ± / 3 + 2k, k € z, / 4 + m, m € z।

3. समीकरण हल करें: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.

समाधान: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 डिग्री 2 का सजातीय समीकरण। चूँकि cos x = 0 इस समीकरण का मूल नहीं है, इसलिए बाएँ और दाएँ पक्षों को cos 2 x से विभाजित करें। परिणामस्वरूप, हम tan x . के लिए द्विघात समीकरण प्राप्त करते हैं

टीजी 2 एक्स - 3 टीजी एक्स + 2 = 0,

टीजी एक्स = 1 और टीजी एक्स = 2,

जहाँ से x = / 4 + मी, मी € z,

एक्स = आर्कटन 2 + के, के € जेड।

उत्तर: / 4 + एम, एम € जेड, आर्कटन 2 + के, के € जेड।

4. समीकरण हल करें: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4।

समाधान: एक नया चर पेश करने की विधि

मान लीजिए 5x + 6 = y, तो cos 2y + 4 2 पाप y = 4

1 - 2 पाप 2 y + 4 2 पाप y - 4 = 0

पाप वाई = टी, जहां टी € [-1; 1]

2t 2 - 4 2t + 3 = 0

टी = 2/2 और टी = 3 2/2 (शर्त टी € [-1; 1] को संतुष्ट नहीं करता है)

पाप (5x + 6) = 2/2,

5x + 6 = (-1) k / 4 + k, k € z,

एक्स = (-1) के / 20 - 6/5 + के / 5, के € जेड।

उत्तर: (-1) से? / 20 - 6/5 +? के / 5, के € जेड।

5. समीकरण को हल करें: (sin x - cos y) 2 + 40x 2 = 0

हल: हम a 2 + b 2 + c 2 = 0 का उपयोग करते हैं, यह सच है यदि a = 0, b = 0, c = 0। समानता संभव है यदि sin x - cos y = 0, और 40x = 0 यहाँ से:

x = 0, और sin 0 - cos y = 0, इसलिए, x = 0, और cos y = 0, इसलिए: x = 0, और y = / 2 + k, k € z, लिखना भी संभव है ( 0; / 2 + के) के € जेड।

उत्तर: (0; / 2 + के) के € जेड।

6. समीकरण हल करें: sin 2 x + cos 4 x - 2 sin x + 1 = 0

हल: समीकरण को रूपांतरित करें और भाग दें और जीतें विधि लागू करें

(पाप 2 x - 2 पाप x +1) + क्योंकि 4 x = 0;

(पाप x - 1) 2 + क्योंकि 4 x = 0; यह संभव है अगर

(sin x - 1) 2 = 0, और cos 4 x = 0, इसलिए:

पाप x - 1 = 0, और cos x = 0,

sin x = 1, और cos x = 0, इसलिए

एक्स = / 2 + के, के € z

उत्तर: / 2 + के, के € जेड।

7. समीकरण को हल करें: sin 5x + sinx = 2 + cos 2x।

समाधान: हम बाएँ और दाएँ पक्षों का अनुमान लगाने की विधि और cos और sin कार्यों की सीमा को लागू करते हैं।

- 1 पाप 5x 1, और -1 पाप x 1

0 + 2 2 + क्योंकि 2 x 1 + 2

2 2 + क्योंकि 2 x 3

पाप 5x + पाप x 2, और 2 + क्योंकि 2 x 2

2 पाप 5x + पाप x 2, अर्थात।

पाप 5x + पाप x 2,

हमारे पास बायां भाग 2 है, और दायां भाग 2 है,

समानता संभव है यदि वे दोनों 2 के बराबर हों।

cos 2 x = 0, और sin 5x + sin x = 2, इसलिए

x = / 2 + k, k € z (जाँचना सुनिश्चित करें)।

उत्तर: / 2 + के, के € जेड।

8. समीकरण को हल करें: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0।

समाधान: फैक्टरिंग द्वारा हल करें। हम बाईं ओर की शर्तों को जोड़े में समूहित करते हैं।

(वी इस मामले मेंसमूहीकरण की कोई भी विधि लक्ष्य की ओर ले जाती है।) सूत्र cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 cos (a - b) / 2 का प्रयोग करें।

2 cos 3/2x cos x/2 + 2 cos 7/2x cos x/2 = 0,

cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,

2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,

तीन मामले सामने आते हैं:

उत्तर: + 2k, / 5 + 2 / 5k, / 2 + k, k € z।

ध्यान दें कि दूसरे मामले में पहला शामिल है। (यदि दूसरी स्थिति में हम k = 4 + 5 लें, तो हमें + 2n प्राप्त होता है)। इसलिए, कोई यह नहीं कह सकता कि कौन सा अधिक सही है, लेकिन किसी भी मामले में, उत्तर "अधिक सुसंस्कृत और अधिक सुंदर" दिखाई देगा: x 1 = / 5 + 2/5k, x 2 = / 2 + k, k € z। (फिर से, एक विशिष्ट स्थिति जो उत्तर को रिकॉर्ड करने के विभिन्न रूपों की ओर ले जाती है)। पहला उत्तर भी सही है।

माना गया समीकरण एक बहुत ही विशिष्ट समाधान योजना को दर्शाता है - जोड़ीदार समूहीकरण और सूत्रों का उपयोग करने के कारण समीकरण को कारकों में विभाजित करना:

पाप ए + पाप बी = 2 पाप (ए + बी) / 2 कॉस (ए - बी) / 2;

पाप ए - पाप बी = 2 कॉस (ए + बी) / 2 पाप (ए - बी) / 2;

cos a + cos b = 2 cos (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;

cos a - cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b - a)/2.

त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करते समय जड़ों के चयन, अनावश्यक जड़ों को समाप्त करने की समस्या बहुत विशिष्ट है और आमतौर पर बीजीय समीकरणों की तुलना में अधिक जटिल हो जाती है। आइए हम समीकरणों के हल प्रस्तुत करते हैं: विशिष्ट मामलेअनावश्यक (बाहरी) जड़ों की उपस्थिति और उनके साथ "व्यवहार" करने के तरीके।

इस तथ्य के कारण अनावश्यक जड़ें दिखाई दे सकती हैं कि समाधान के दौरान समीकरणों की परिभाषा के क्षेत्र का विस्तार हुआ था। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।

9. समीकरण को हल करें: (sin 4x - sin 2x - cos 3x + 2sin x -1) / (2sin 2x - 3) = 0।

समाधान: आइए हम अंश को शून्य के बराबर करें (इस मामले में, समीकरण के डोमेन का विस्तार किया जाता है - x के मान जोड़े जाते हैं, जिससे हर शून्य हो जाता है) और हम इसे कारकों में कारक बनाने का प्रयास करेंगे। हमारे पास है:

2 cos 3x sin x - cos 3x + 2sin x - 1 = 0,

(cos 3x + 1) (2 sinx - 1) = 0.

हमें दो समीकरण मिलते हैं:

cos 3x + 1 = 0, x = / 3 + 2/3k।

आइए देखें कि कौन सा k हमें सूट करता है। सबसे पहले, ध्यान दें कि हमारे समीकरण का बायां पक्ष 2 अवधि के साथ एक आवधिक कार्य है। इसलिए, 0 x की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समीकरण का हल ढूंढना पर्याप्त है।< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.

असमानता 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.

पहला फिट नहीं है, क्योंकि पाप 2/3 = 3/2, हर गायब हो जाता है।

पहले मामले का उत्तर: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (आप x 2 = - / 3 + 2k कर सकते हैं), k € z।

आइए हम इस समीकरण का एक हल खोजें जो 0 x . की स्थिति को संतुष्ट करता है< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.

उत्तर: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k € z।

10. समीकरणों की जड़ें खोजें: v (cos 2x + sin 3x) = v2 cos x।

इस समीकरण का हल दो चरणों में आता है:

1) उसके दोनों भागों का वर्ग करके दिए गए समीकरण का हल;

2) उन मूलों का चयन जो cos x 0 की स्थिति को संतुष्ट करते हैं। इस स्थिति में (जैसा कि बीजगणितीय समीकरणों के मामले में), स्थिति cos 2x + sin 3x 0 पर ध्यान देने की कोई आवश्यकता नहीं है। वर्ग समीकरण को संतुष्ट करने वाले सभी k मान इस शर्त को पूरा करते हैं।

पहला कदम हमें समीकरण पाप 3x = 1 की ओर ले जाता है, जहां से x 1 = / 6 + 2/3k।

अब यह निर्धारित करना आवश्यक है कि k किसके लिए होगा cos (/ 6 + 2 / 3k) 0. इसके लिए, k के लिए 0, 1, 2, अर्थात् मानों पर विचार करना पर्याप्त है। हमेशा की तरह, "एक बार सर्कल के चारों ओर जाएं", क्योंकि आगे कोसाइन के मान उन लोगों से भिन्न होंगे जिन्हें पहले से ही 2 के गुणक द्वारा माना जाता है।

उत्तर: / 6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k € z।

11. समीकरण को हल करें: sin 8 x - cos 5 x = 1।

इस समीकरण का हल निम्नलिखित सरल विचार पर आधारित है: यदि 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.

अत: sin 8 x sin 2 x, - cos 5 x cos 2 x;

इन असमानताओं को पद दर पद जोड़ने पर, हमारे पास होगा:

sin 8 x - cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1।

इसलिए, इस समीकरण का बायां पक्ष एक के बराबर है यदि और केवल यदि दो समानताएं हैं:

पाप 8 x = पाप 2 x, cos 5 x = cos 2 x,

वे। sin x मान -1, 0 . ले सकता है

उत्तर: / 2 + के, + 2k, के € जेड।

पूर्णता के लिए, एक और उदाहरण पर विचार करें।

12. समीकरण को हल करें: 4 cos 2 x - 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0।

समाधान: हम इस समीकरण के बाईं ओर cos x के संबंध में एक द्विघात त्रिपद के रूप में विचार करेंगे।

मान लें कि D इस त्रिपद का विभेदक है:

1/4 डी = 4 (cos 4 3x - cos 2 3x)।

असमानता D 0 से यह cos 2 3x 0 या cos 2 3x 1 का अनुसरण करता है।

इसका अर्थ है कि दो संभावनाएं उत्पन्न होती हैं: cos 3x = 0 और cos 3x = ± 1।

यदि cos 3x = 0 है, तो यह समीकरण का अनुसरण करता है कि cos x = 0, जहाँ से x = / 2 + k है।

ये x मान समीकरण को संतुष्ट करते हैं।

यदि cos 3x = 1, तो समीकरण cos x = 1/2 से हम x = ± / 3 + 2k पाते हैं। ये मान समीकरण को भी संतुष्ट करते हैं।

उत्तर: / 2 + के, / 3 + 2k, के € जेड।

13. समीकरण को हल करें: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x।

समाधान: वर्ग को पूरा करने के लिए व्यंजक sin 4 x + cos 4 x फिर से लिखें: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x - 2 sin 2 x cos 2 x = (sin 2 x + cos 2 x) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x, जहां से sin 4 x + cos 4 x = 1 - 1/2 sin 2 2x। परिणामी सूत्र का उपयोग करते हुए, हम समीकरण को रूप में लिखते हैं

1-1 / 2 पाप 2 2x = 7/4 पाप 2x।

पाप 2x = t, -1 t 1 को निरूपित करना,

प्राप्त द्विघात समीकरण 2t 2 + 7t - 4 = 0,

जिसे हल करने पर हम पाते हैं t 1 = 1/2, t 2 = - 4

समीकरण पाप 2x = 1/2

2x = (- 1) k / 6 + k, k € z, x = (- 1) k // 12 + k / 2, k € z।