घर आलू दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर उदाहरण बनाने की विधि। कार्यपुस्तिका में समस्याओं को हल करने के लिए पद्धतिगत निर्देश

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दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक के आधार पर उदाहरण बनाने की विधि। कार्यपुस्तिका में समस्याओं को हल करने के लिए पद्धतिगत निर्देश

अंतरिक्ष में एक बिंदु की स्थिति को उसके दो ओर्थोगोनल अनुमानों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, क्षैतिज और ललाट, ललाट और प्रोफ़ाइल। किन्हीं दो ओर्थोगोनल अनुमानों का संयोजन आपको एक बिंदु के सभी निर्देशांकों के मूल्य का पता लगाने, तीसरा प्रक्षेपण बनाने और उस अष्टक को निर्धारित करने की अनुमति देता है जिसमें वह स्थित है। वर्णनात्मक ज्यामिति पाठ्यक्रम से कुछ विशिष्ट समस्याओं पर विचार करें।

अंक ए और बी के दिए गए जटिल चित्र के अनुसार, यह आवश्यक है:

आइए पहले बिंदु A के निर्देशांक ज्ञात करें, जिसे A (x, y, z) के रूप में लिखा जा सकता है। बिंदु A का क्षैतिज प्रक्षेपण - बिंदु A ", निर्देशांक x, y है। बिंदु A" से अक्ष x, y पर लंबवत ड्रा करें और क्रमशः A , A у खोजें। एम के लिए एक्स निर्देशांक ए, एक प्लस चिह्न के साथ खंड ए एक्स ओ की लंबाई के बराबर है, क्योंकि ए एक्स क्षेत्र में स्थित है सकारात्मक मूल्यएक्स-अक्ष। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, हम x = 10 पाते हैं। निर्देशांक y एक ऋण चिह्न के साथ खंड A y O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि m. A y क्षेत्र में स्थित है नकारात्मक मानवाई-अक्ष। ड्राइंग y = -30 के पैमाने को ध्यान में रखते हुए। बिंदु A - बिंदु A "" के ललाट प्रक्षेपण में x और z निर्देशांक हैं। आइए हम A "" से z-अक्ष पर लम्बवत छोड़ें और A z ज्ञात करें। बिंदु A का z-निर्देशांक एक ऋण चिह्न के साथ खंड A z O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि A z z-अक्ष के ऋणात्मक मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग स्केल z = -10 को ध्यान में रखते हुए। इस प्रकार, बिंदु A के निर्देशांक (10, -30, -10) हैं।

बिंदु B के निर्देशांकों को B (x, y, z) के रूप में लिखा जा सकता है। बिंदु B - m. B "के क्षैतिज प्रक्षेपण पर विचार करें। चूंकि यह x-अक्ष पर स्थित है, तो B x = B" और निर्देशांक B y = 0। बिंदु B का भुज x खंड की लंबाई के बराबर है बी एक्स ओ प्लस चिह्न के साथ। ड्राइंग x = 30 के पैमाने को ध्यान में रखते हुए। बिंदु B - बिंदु B˝ के ललाट प्रक्षेपण में x, z निर्देशांक हैं। आइए B "" से z-अक्ष पर एक लंब खींचते हैं, इसलिए हम B z पाते हैं। बिंदु B का अनुप्रयुक्त z एक ऋण चिह्न के साथ खंड B z O की लंबाई के बराबर है, क्योंकि B z z-अक्ष के ऋणात्मक मानों के क्षेत्र में स्थित है। ड्राइंग के पैमाने को ध्यान में रखते हुए, हम मान z = -20 निर्धारित करते हैं। तो बी निर्देशांक हैं (30, 0, -20)। सभी आवश्यक निर्माण नीचे दिए गए चित्र में दिखाए गए हैं।

बिंदुओं के निर्माण अनुमान

विमान 3 में बिंदु ए और बी में निम्नलिखित निर्देशांक हैं: ए "" "(वाई, जेड); बी" "" (वाई, जेड)। इस स्थिति में, A "" और A "" "z-अक्ष के समान लंब में स्थित हैं, क्योंकि उनके पास एक उभयनिष्ठ z-निर्देशांक है। इसी प्रकार, B" "और B" "" z के उभयनिष्ठ लंबवत पर स्थित हैं -एक्सिस। बिंदु A का प्रोफ़ाइल प्रक्षेपण ज्ञात करने के लिए, हम पहले पाए गए संगत निर्देशांक का मान y-अक्ष के अनुदिश रखते हैं। आकृति में, यह त्रिज्या A y O के एक वृत्त के चाप का उपयोग करके किया जाता है। उसके बाद, A y से एक लंब खींचे जब तक कि वह बिंदु A "" से z-अक्ष पर बहाल किए गए लंबवत के साथ प्रतिच्छेद न कर दे। इन दो लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु A "" " की स्थिति को परिभाषित करता है।

बिंदु बी "" "जेड-अक्ष पर स्थित है, क्योंकि इस बिंदु का वाई-ऑर्डिनेट शून्य है। इस समस्या में बिंदु बी के प्रोफाइल प्रोजेक्शन को खोजने के लिए, आपको बस बी" "से z- पर लंबवत खींचने की जरूरत है- अक्ष। z-अक्ष के साथ इस लंबवत का प्रतिच्छेदन B "" " है।

अंतरिक्ष में बिंदुओं की स्थिति का निर्धारण

प्रक्षेपण विमानों पी 1, पी 2 और पी 3 से बना एक स्थानिक लेआउट की कल्पना करना, अष्टक की व्यवस्था, साथ ही आरेख में लेआउट के परिवर्तन का क्रम, कोई सीधे यह निर्धारित कर सकता है कि बिंदु ए तीसरे अष्टक में स्थित है, और बिंदु B समतल P 2 में स्थित है।

इस समस्या को हल करने का एक अन्य विकल्प बहिष्करण की विधि है। उदाहरण के लिए, बिंदु A के निर्देशांक (10, -30, -10) हैं। धनात्मक भुज x हमें यह निर्णय करने की अनुमति देता है कि बिंदु पहले चार अष्टक में स्थित है। एक ऋणात्मक y-ऑर्डिनेट इंगित करता है कि बिंदु दूसरे या तीसरे अष्टक में है। अंत में, एक ऋणात्मक अनुप्रयोग z इंगित करता है कि m. A तीसरे अष्टक में स्थित है। उपरोक्त तर्क को निम्न तालिका द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया गया है।

अष्टक	निर्देशांक संकेत
अष्टक	एक्स	आप	जेड
1	+	+	+
2	+	–	+
3	+	–	–
4	+	+	–
5	–	+	+
6	–	–	+
7	–	–	–
8	–	+	–

बिंदु बी निर्देशांक (30, 0, -20)। चूँकि m.B की कोटि शून्य के बराबर है, यह बिंदु प्रक्षेपण P 2 के तल में स्थित है। एक सकारात्मक भुज और एक नकारात्मक अनुप्रयुक्त बिंदु B इंगित करता है कि यह तीसरे और चौथे अष्टक की सीमा पर स्थित है।

विमान पी 1, पी 2, पी 3 . की प्रणाली में बिंदुओं की एक दृश्य छवि का निर्माण

फ्रंटल आइसोमेट्रिक प्रोजेक्शन का उपयोग करके, हमने III ऑक्टेंट का एक स्थानिक लेआउट बनाया है। यह एक आयताकार त्रिभुज है, जिसके फलक P 1, P 2, P 3 तल हैं और कोण (-y0x) 45 है। इस प्रणाली में, x, y, z अक्षों के साथ खंडों को विरूपण के बिना पूर्ण आकार में प्लॉट किया जाएगा।

हम बिंदु A (10, -30, -10) के क्षैतिज प्रक्षेपण A के साथ एक दृश्य छवि का निर्माण शुरू करेंगे। भुज और निर्देशांक अक्षों के साथ संबंधित निर्देशांक रखकर, हम बिंदु A x और A y पाते हैं। लंबवत का प्रतिच्छेदन A x और A y से क्रमशः कुल्हाड़ियों x और y में पुनर्निर्मित बिंदु A की स्थिति निर्धारित करता है। Z-अक्ष के समांतर A "खंड AA" से उसके ऋणात्मक मानों की ओर, जिसकी लंबाई 10 है, को अलग रखते हुए, हम बिंदु A की स्थिति पाते हैं।

बिंदु बी (30, 0, -20) की एक दृश्य छवि इसी तरह से बनाई गई है - विमान पी 2 में एक्स और जेड अक्ष के साथ, आपको संबंधित निर्देशांक को स्थगित करने की आवश्यकता है। B x और B z से पुनर्निर्मित लंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु B की स्थिति निर्धारित करेगा।

अवधि: 1 पाठ (45 मिनट)।
कक्षा: 6 ठी श्रेणी
प्रौद्योगिकियों:

माइक्रोसॉफ्ट मल्टीमीडिया प्रेजेंटेशन कार्यालय पावरपॉइंट, स्मरण पुस्तक;
एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड का उपयोग;
माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस वर्ड और माइक्रोसॉफ्ट के साथ बनाए गए छात्र हैंडआउट्स ऑफिस एक्सेल.

टिप्पणी:
"निर्देशांक" विषय पर विषयगत योजना 6 घंटे आवंटित किए गए हैं। निर्देशांक पर यह चौथा पाठ है। पाठ के समय, छात्र पहले से ही "समन्वय तल" की अवधारणा और एक बिंदु के निर्माण के नियमों से परिचित हो गए हैं। ज्ञान को रूप में अद्यतन किया जाता है ललाट सर्वेक्षण... पुनरीक्षण पाठों में, सभी विद्यार्थियों को शामिल किया जाता है विभिन्न प्रकारगतिविधियां। इस मामले में, सामग्री की धारणा और प्रजनन के सभी चैनलों का उपयोग किया जाता है।
मौखिक कार्य के दौरान सिद्धांत के आत्मसात का भी परीक्षण किया जाता है (कार्य क्रॉसवर्ड पहेली को हल करना है, जिसमें तिमाही बिंदु है)। मजबूत छात्रों के लिए अतिरिक्त असाइनमेंट प्रदान किए जाते हैं।
माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस पावरपॉइंट और नोटबुक में प्रस्तुतियों और असाइनमेंट को प्रदर्शित करने के लिए पाठ मल्टीमीडिया उपकरण और एक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड का उपयोग करता है। बनाने के लिए परीक्षण चीज़ेंतथा हैंडआउट सामग्रीउपयोग किए गए: माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल, माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस वर्ड।
अपने सहभागी व्हाइटबोर्ड का उपयोग करने से आपके प्रस्तुतिकरण विकल्पों का विस्तार होता है। नोटबुक सॉफ़्टवेयर में, छात्र स्वतंत्र रूप से वस्तुओं को वांछित स्थान पर ले जा सकते हैं। वी माइक्रोसॉफ्ट प्रोग्राम Office PowerPoint में वस्तुओं की गति निर्धारित करने की क्षमता होती है, इसलिए आँखों के लिए एक भौतिक मिनट होता है।

सबक का उपयोग करता है:

इंतिहान घर का काम;
सामने का काम;
छात्रों का व्यक्तिगत कार्य;
छात्र की रिपोर्ट की प्रस्तुति;
मौखिक और लिखित अभ्यास करना;
इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड वाले छात्रों का काम;
स्वतंत्र काम।

सबक सारांश।

लक्ष्य:चिह्नित बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के कौशल को समेकित करना और दिए गए निर्देशांक के अनुसार अंक बनाना।
पाठ मकसद:
शैक्षिक:

"समन्वय विमान" विषय पर छात्रों के ज्ञान और कौशल का सामान्यीकरण;
छात्रों के ज्ञान और कौशल का मध्यवर्ती नियंत्रण;

विकसित होना:

छात्रों की संचार क्षमता का विकास;
छात्रों के कम्प्यूटेशनल कौशल का विकास;
विकास तार्किक सोच;
के माध्यम से विषय में छात्रों की रुचि विकसित करना अपरंपरागत रूपएक सबक आयोजित करना;
गणितीय रूप से विकास सक्षम भाषण, छात्रों का दृष्टिकोण;
कौशल विकास स्वतंत्र कामएक ट्यूटोरियल के साथ और अतिरिक्त साहित्य;
छात्रों की सौंदर्य भावनाओं का विकास;

शैक्षिक:

कक्षा में काम के आयोजन में अनुशासन को बढ़ावा देना;
संज्ञानात्मक गतिविधि की शिक्षा, जिम्मेदारी की भावना, संचार की संस्कृति;
निर्माण करते समय सटीकता की शिक्षा।

कक्षाओं के दौरान।

आयोजन का समय।

पाठ के विषय और उद्देश्य के बारे में बताकर छात्रों का अभिवादन करें। पाठ के लिए कक्षा की तैयारी की जाँच करना। कार्य निर्धारित है: घोषित विषय पर ज्ञान को दोहराने, सामान्य करने, व्यवस्थित करने के लिए।

2. ज्ञान को अद्यतन करना।

मौखिक गणना।
1) व्यक्तिगत काम: कई लोग कार्ड पर काम करते हैं।

2) कक्षा के साथ काम करना: उदाहरणों की गणना करें और एक शब्द बनाएं। तालिका इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड की स्क्रीन पर है, और अक्षरों को इंटरेक्टिव व्हाइटबोर्ड से मार्कर का उपयोग करके तालिका में लिखा जाता है।

छात्र बारी-बारी से ब्लैकबोर्ड पर जाते हैं और पत्र लिखते हैं। यह "प्रोमेथियस" शब्द निकला। छात्रों में से एक, जिन्होंने पहले से एक रिपोर्ट तैयार की थी, बताते हैं कि इस शब्द का क्या अर्थ है। (प्राचीन यूनानी खगोलशास्त्री क्लॉडियस टॉलेमी, जिन्होंने दूसरी शताब्दी में पहले से ही निर्देशांक के रूप में अक्षांश और देशांतर का उपयोग किया था।)

ललाट कार्य.

कार्य "क्रॉसवर्ड पहेली को हल करें" आपको "समन्वय विमान" विषय पर बुनियादी अवधारणाओं को याद रखने में मदद करेगा।
शिक्षक इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड स्क्रीन पर एक पहेली पहेली दिखाता है और छात्रों को इसे हल करने के लिए कहता है। छात्र क्रॉसवर्ड पहेली में शब्दों को लिखने के लिए इलेक्ट्रॉनिक मार्करों का उपयोग करते हैं।
1. दो निर्देशांक रेखाएं एक निर्देशांक बनाती हैं….
2. निर्देशांक सीधी रेखाएँ निर्देशांक होती हैं….
3. निर्देशांक रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर बनने वाला कोण क्या होता है?
4. संख्याओं के उस युग्म का क्या नाम है जो तल पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करता है?
5. पहली संख्या का नाम क्या है?
6. दूसरे नंबर का नाम क्या है?
7. 0 से 1 तक के खंड का नाम क्या है?
8. निर्देशांक तल को निर्देशांक रेखाओं से कितने भागों में विभाजित किया जाता है?

3. अपने शीर्षों के निर्दिष्ट निर्देशांक के अनुसार एक ज्यामितीय आकृति बनाने के लिए कौशल और क्षमताओं का समेकन।

ज्यामितीय आकृतियों का निर्माण। नोटबुक में पाठ्यपुस्तक के साथ काम करना।

1054а "एक त्रिभुज का निर्माण करें यदि उसके कोने के निर्देशांक ज्ञात हैं: ए (0; -3), बी (6: 2), सी (5: 2)। उन बिंदुओं के निर्देशांक निर्दिष्ट करें जिन पर त्रिभुज की भुजाएँ x-अक्ष को काटती हैं।"
एक चतुर्भुज ABCD की रचना कीजिए, यदि A (-3; 1), B (1; 1), C (1; -2), D (-3; -2)। चतुर्भुज के प्रकार का निर्धारण करें। विकर्णों के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

4. आंखों के लिए फिजियोथेरेपी।

स्लाइड पर विद्यार्थियों को अपनी आंखों से वस्तु की गति का अनुसरण करना चाहिए। भौतिक मिनट के अंत में, के बारे में एक प्रश्न पूछा जाता है ज्यामितीय आकारनेत्र गति से उत्पन्न।

5. निर्दिष्ट निर्देशांक के अनुसार समन्वय विमान पर अंक बनाने के कौशल पर नियंत्रण।

स्वतंत्र काम। कलाकारों की प्रतियोगिता।
बिंदुओं के निर्देशांक स्लाइड पर दर्ज किए जाते हैं। साथ ही प्रत्येक छात्र के लिए कार्ड प्रिंट किए जाते हैं। यदि आप समन्वय तल पर बिंदुओं को सही ढंग से चिह्नित करते हैं और उन्हें क्रमिक रूप से जोड़ते हैं, तो आपको एक चित्र मिलता है। प्रत्येक छात्र स्वतंत्र रूप से कार्य पूरा करता है। काम पूरा करने के बाद खुलता है सही ड्राइंगस्क्रीन पर। प्रत्येक छात्र को स्वतंत्र कार्य के लिए एक मूल्यांकन प्राप्त होता है।

6. गृहकार्य।

नंबर 1054 बी, नंबर 1057 ए।
रचनात्मक कार्य: निर्देशांक तल पर बिंदु-दर-बिंदु पैटर्न बनाएं और इन बिंदुओं के निर्देशांक रिकॉर्ड करें।

7. पाठ को सारांशित करना।

छात्रों से प्रश्न:

एक समन्वय विमान क्या है?
निर्देशांक अक्ष OX और OY क्या कहलाते हैं?
निर्देशांक रेखाएँ प्रतिच्छेद करने पर कौन-सा कोण बनता है?
किसी समतल पर किसी बिंदु की स्थिति निर्धारित करने वाली संख्याओं के युग्म का क्या नाम है?
प्रथम अंक किसे कहते हैं?
दूसरे नंबर को क्या कहते हैं?

साहित्य और संसाधन:

जी.वी. डोरोफीव, एसबी सुवोरोवा, आईएफ शारिगिन "गणित। 6kl "
गणित। ग्रेड 6: पाठ योजनाएं (जी.वी. डोरोफीव, आदि द्वारा पाठ्यपुस्तक के अनुसार)
http://www.pereplet.ru/nauka/almagest/alm-cat/Ptolemy.htm

निर्दिष्ट निर्देशांक के साथ एक बिंदु का निर्माण करते समय, यह याद रखना चाहिए कि, ड्राइंग नियमों के अनुसार, अक्ष के साथ पैमाने ओह में घटता है 2 कुल्हाड़ियों के साथ पैमाने की तुलना में समय कहां तथा ओज।

1. एक बिंदु बनाएँ: ए (2; 1; 3) एक्स ए = 2; ए = 1 के लिए; जेड ए = 3

ए)आमतौर पर, सबसे पहले, वे एक विमान पर एक बिंदु का प्रक्षेपण बनाते हैं ओह। अंक चिह्नित करें एक्स ए = 2 तथा ए = 1 . के लिए और उनके माध्यम से कुल्हाड़ियों के समानांतर सीधी रेखाएँ खींचे ओह तथा ओ.यू. उनके चौराहे के बिंदु के निर्देशांक हैं (2;1; 0) प्वाइंट बनाया ए 1 (2; 1; 0.)

ए (2; 1; 3)

0 ए = 1 . के लिए

एक्स ए = 2 पर

ए 1 (2; 1; 0) 0 ए = 1 . के लिएपर

एक्सएक्स ए = 2 ए 1 (2; 1; 0)

एक्स

बी)बिंदु से आगे ए 1 (2; 1; 0)विमान के लंबवत बहाल करें ऊह (अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींचना z ) और उस पर तीन के बराबर एक खंड बिछाएं: जेड ए = 3.

2. एक बिंदु बनाएँ: बी (3; - 2; 1) एक्स बी = 3; बी = -2 के लिए; जेड बी = 1

जेड

बी = - 2 . के लिए

बी (3; -2; 1) हेपर

बी 1 (3; -2) एक्स बी = 3

एक्स

3. एक बिंदु की रचना करें सी (-2; 1; 3 ) जेड सी (-2; 1; 3)

एक्स ए = -2; वाई ए = 1; जेड ए = 3

एक्स सी = - 2 सी 1 (-2; 1; 0)

वाई ए = 1 वाई

4. एक घन दिया हुआ है। ए ... डी 1, जिसका किनारा के बराबर है 1 ... मूल बिंदु के समान है वी, पसलियां वीए, वी.एस तथा बी बी 1 निर्देशांक अक्षों की सकारात्मक किरणों के साथ मेल खाता है। घन के अन्य सभी शीर्षों के निर्देशांकों के नाम लिखिए। घन के विकर्ण की गणना करें।

जेड

एबी = बीसी = बीबी 1 बीडी 1 = =

В 1 (0; 0; 1) С 1 (0; 1; 1) = =

ए 1 (1; 0; 1) डी 1 (1; 1; 1)

बी (0; 0; 0) सी (0; 1; 0) वाई

ए (1; 0; 0) डी (1; 1; 0)

5. डॉट्स बनाएं ए (1; 1; -1) तथा बी (1; -1; 1)। क्या रेखाखंड निर्देशांक अक्ष को काटता है? विमान का समन्वय? क्या रेखाखंड मूल बिन्दु से होकर गुजरता है? प्रतिच्छेदन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, यदि कोई हो। जेड बिंदु अक्ष के लंबवत समतल में स्थित हैं ओह।

रेखा अक्ष को काटती है ओह और विमान बजरा बिंदु पर

बी (1; -1; 1)

0(0;0;0)

सी (1; 0; 0)

ए (1; 1; -1)

6. दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात कीजिए: ए (1; 2; 3) तथा बी (-1; 1; 1)।

ए)एबी = = = = 3

बी)सी (3; 4; 0) तथा डी (3; -1; 2)।

डी===

अंतरिक्ष में, खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक निर्धारित करने के लिए, तीसरा निर्देशांक दर्ज किया जाता है।

बी (एक्स बी; वाई बी; जेड बी)

साथ( ; ; )

ए (एक्स ए; वाई ए; जेड ए)

7. निर्देशांक खोजें साथ खंडों के मध्य बिंदु: ए)एबी, अगर ए (3; - 2; - 7), बी (11; - 8; 5),

एक्स एम = = 7; एम = = - 5 के लिए; जेड एम = = - 1; सी (7; - 5; - 1)

8. बिंदु निर्देशांक ए (एक्स; वाई; जेड)। निम्नलिखित के संबंध में दिए गए बिंदुओं के सममितीय निर्देशांक लिखिए:

ए) समन्वय विमान

बी)समन्वय रेखाएं

वी)मूल

ए)अगर बिंदु ए 1 निर्देशांक तल के सापेक्ष दिए गए सममिति होय, फिर अंतर
बिंदु निर्देशांक केवल निर्देशांक चिह्न में होंगे जेड: ए 1 (एक्स; वाई; -जेड)।

दूरसंचार विभाग ए 2 ओह, फिर ए 2 (एक्स; -वाई; जेड)।

दूरसंचार विभाग ए 3 समतल के सापेक्ष दिए गए सममिति ओय्ज़, फिर ए 2 (-एक्स; वाई; जेड)।

बी)अगर बिंदु ए 4 समन्वय रेखा के संबंध में सममित ओह, फिर अंतर
बिंदु निर्देशांक केवल समन्वय चिह्नों में होंगे पर तथा जेड: ए 4 (एक्स; -वाई; -जेड)।

दूरसंचार विभाग ए 5 कहां, फिर ए 5 (-एक्स; वाई; -जेड)।

दूरसंचार विभाग ए 6 एक सीधी रेखा के सापेक्ष दिए गए सममिति ओज़, फिर ए 6 (-x; -y; z)।

वी)अगर बिंदु ए 7 मूल के संबंध में दिए गए एक के सममित है, तो ए 6 (-x; -y; -z)।

निर्देशांक का रूपांतरण

एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में संक्रमण को कहा जाता है समन्वय प्रणाली का परिवर्तन।

हम विचार करेंगे दो रूपांतरण मामलेसमन्वय प्रणाली, और विमान के एक मनमाना बिंदु के निर्देशांक के बीच संबंध के लिए सूत्र प्राप्त करें विभिन्न प्रणालियाँनिर्देशांक। (समन्वय प्रणाली को बदलने की विधि ग्राफ बदलने के समान है)।

1.समानांतर स्थानांतरण... इस मामले में, निर्देशांक की उत्पत्ति की स्थिति बदल जाती है, लेकिन कुल्हाड़ियों और पैमाने की दिशा अपरिवर्तित रहती है।

अगर मूल बिंदु एक बिंदु पर जाता है 0 1 निर्देशांक के साथ 0 1 (एक्स 0; वाई 0), फिर बिंदु के लिए एम (एक्स; वाई) सिस्टम निर्देशांक के बीच संबंध x0y तथा x 0 0y 0 सूत्रों द्वारा व्यक्त किया गया:

एक्स = एक्स 0 + एक्स "

वाई = वाई 0 + वाई "

प्राप्त सूत्र ज्ञात नए द्वारा पुराने निर्देशांक खोजना संभव बनाते हैं एक्स" तथा पर " और इसके विपरीत।

वाई एम (एक्स; वाई) एम (एक्स "; वाई")

0 1 (एक्स 0; वाई 0), एक्स "

एक्स 0 एक्स "

2.घूर्णन समन्वय अक्ष... इस मामले में, दोनों कुल्हाड़ियों को एक ही कोण से घुमाया जाता है, और मूल और पैमाना अपरिवर्तित रहता है।

एम (एक्स; वाई)

वाई 1 एक्स 1

बिंदु निर्देशांक एम पुरानी व्यवस्था में एम (एक्स; वाई) तथा एम (एक्स "; वाई") - नए में। तब दोनों प्रणालियों में ध्रुवीय त्रिज्या समान होती है, और ध्रुवीय कोण क्रमशः बराबर होते हैं + तथा , कहाँ पे - ध्रुवीय कोण पर नई प्रणालीनिर्देशांक।

ध्रुवीय से आयताकार निर्देशांक में संक्रमण के सूत्रों के अनुसार, हमारे पास है:

एक्स = आरसीओएस ( + ) एक्स = आरसीओएस क्योंकि - रसिन पाप

वाई = रसिन ( + ) वाई = आरसीओएस पाप + रसिन क्योंकि

लेकिन आरसीओएस = एक्स " तथा रसिन = वाई ", इसीलिए

एक्स = एक्स "· कॉस - y "· पाप

वाई = एक्स "· पाप + y "· cos

लिखित में प्रश्नों के उत्तर दें:

समतल पर आयताकार समन्वय प्रणाली क्या कहलाती है? अंतरिक्ष में?
किस अक्ष को अनुप्रयुक्त अक्ष कहा जाता है? आदेश देना? एब्सिसा?
निर्देशांक अक्षों पर इकाई सदिशों के लिए संकेतन क्या है?
ऑर्टम किसे कहते हैं?
एक आयताकार निर्देशांक प्रणाली में इसके सिरों के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट खंड की लंबाई की गणना कैसे की जाती है?
इसके सिरों के निर्देशांक द्वारा निर्दिष्ट खंड के मध्य बिंदु के निर्देशांक की गणना कैसे की जाती है?
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली क्या कहलाती है?
आयताकार और ध्रुवीय निर्देशांक प्रणालियों में एक बिंदु के निर्देशांक के बीच क्या संबंध है?

पूर्ण कार्य:

1. निर्देशांक तल से कितनी दूरी पर बिंदु है ए (1; -2; 3)

2. बिंदु कितनी दूरी पर है ए (1; -2; 3) समन्वय रेखाओं से ए)कहां; बी) कहां; वी)ओज;

3. अंतरिक्ष में बिंदुओं के निर्देशांक से कौन सी स्थिति संतुष्ट होती है, समान रूप से दूर:

ए)दो समन्वय विमानों से ऊह तथा ओय्ज़; अब

बी)तीनों समन्वय विमानों से

4. बिंदु के निर्देशांक खोजें एम मध्य एबी, ए (-2; -4; 1); बी (0; -1; 2) और बिंदु को सममित बिंदु का नाम दें एम, अपेक्षाकृत ए)कुल्हाड़ियों ओह

बी)कुल्हाड़ियों कहां

वी)कुल्हाड़ियों ओज।

5. एक बिंदु दिया गया बी (4; - 3; - 4)। निर्देशांक अक्षों और निर्देशांक तलों पर एक बिंदु से गिराए गए लंबों के आधारों के निर्देशांक ज्ञात कीजिए।

6. अक्ष पर कहां दो बिंदुओं से समान दूरी पर एक बिंदु खोजें ए (1; 2; - 1) तथा बी (-2; 3; 1)।

7. विमान में ओह्ज़ो तीन बिंदुओं से समान दूरी पर एक बिंदु खोजें ए (2; 1; 0); बी (-1; 2; 3) तथा सी (0; 3; 1)।

8. त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात कीजिए एबीसी और उसका क्षेत्र , यदि शीर्षों के निर्देशांक : ए (-2; 0; 1), बी (8; - 4; 9), सी (-1; 2; 3)।

9. प्रक्षेपित बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए ए (2; -3; 5); बी (3; -5;); साथ(- ; - ; - )।

10. दिए गए अंक ए (1; -1; 0) तथा बी (-3; - 1; 2)। मूल बिंदु से दिए गए बिंदुओं तक की दूरी की गणना करें।

अंतरिक्ष में सदिश। मूल अवधारणा

सभी मात्राएँ जो भौतिकी, प्रौद्योगिकी में निपटाई जाती हैं, दिनचर्या या रोज़मर्रा की ज़िंदगीदो समूहों में विभाजित हैं। पहले पूरी तरह से उनके संख्यात्मक मूल्य की विशेषता है: तापमान, लंबाई, द्रव्यमान, क्षेत्र, कार्य। ऐसी मात्राओं को कहा जाता है अदिश

अन्य मात्राएँ जैसे बल, गति, विस्थापन, त्वरण आदि। न केवल उनके संख्यात्मक मूल्य से, बल्कि उनकी दिशा से भी निर्धारित होते हैं। ऐसी मात्राओं को कहा जाता है वेक्टर, या वैक्टरएक सदिश राशि को ज्यामितीय रूप से एक सदिश के रूप में दर्शाया जाता है।

वेक्टर-यह एक निर्देशित सीधी रेखा खंड है, अर्थात। खंड वाले
एक निश्चित लंबाई और दिशा।

बिंदुओं के जटिल चित्र बनाएं: ए(15,30,0), वी(30,25,15), साथ(30,10,15), डी(15,30,20)

हम समस्या के समाधान को चार चरणों में विभाजित करेंगे।

1. ए(15,30,0); एक्स ए= 15 मिमी ; वाई ए= 30 मिमी ; जेडए= 0.

आपको क्या लगता है, अगर बिंदु एसमन्वय जेड ए= 0, तो यह अंतरिक्ष में किस स्थान पर है?

यह एक बिंदु की एक जटिल ड्राइंग की तरह दिखता है एदिए गए निर्देशांक पर प्लॉट किया गया

यदि किसी बिंदु का एक निर्देशांक शून्य के बराबर है, तो वह बिंदु किसी एक प्रक्षेपण तल से संबंधित है। वी इस मामले मेंबिंदु की कोई ऊंचाई नहीं है: जेड= 0, इसलिए बिंदु एविमान में है एन 1.

एक जटिल चित्र में, मूल (अर्थात स्वयं बिंदु .) ए) चित्रित नहीं है, केवल इसके अनुमान हैं।

2. वी(30,25,15) और साथ(30,10,15).

दूसरे चरण में, चलो दो बिंदुओं के निर्माण को जोड़ते हैं।

एक्सबी= 30 मिमी; एक्स सी= 30 मिमी

वाई बी= 35 मिमी; वाई सी= 10 मिमी

जेड बी= 15 मिमी; जेड सी= 15 मिमी

बिंदुओं पर वीतथा साथ: एक्सबी = एक्स सी= 30 मिमी, जेड बी = जेड सी= 15 मिमी

ए) COORDINATES एक्सबिंदु समान हैं, इसलिए, P 1 - P 2 प्रणाली में, बिंदुओं के अनुमान एक ही संचार रेखा पर स्थित हैं (चित्र 1.2),

बी) COORDINATES जेडअंक मिलते हैं, (दोनों बिंदु समान रूप से दूर हैं एन 1 15 मिमी,) यानी। वे एक ही ऊंचाई पर स्थित हैं, इसलिए पी 2बिंदुओं के अनुमान मेल खाते हैं: मे 2=(सी 2)।

वी)के सापेक्ष दृश्यता निर्धारित करने के लिए पी 2अंजीर को देखो। 1.3. पर्यवेक्षक बिंदु देखता है वीजो बिंदु को कवर करता है साथ, अर्थात। दूरसंचार विभाग वीपर्यवेक्षक के करीब स्थित है, इसलिए पर पी 2यह दृश्यमान है। (एम1 - 13 और 16 देखें)।

सिस्टम में पी 2 पी 3बिंदुओं के अनुमान भी एक ही संचार रेखा पर होते हैं और दृश्यता तीर द्वारा निर्धारित की जाती है (चित्र 1.2)।

अंक वीतथा साथ- सामने से प्रतिस्पर्धा करने वाले कहलाते हैं।

3. डी(15,30,20); एक्स डी= 15 मिमी; वाई डी= 30 मिमी; जेड डी= 20 मिमी।

ए)इस जटिल चित्र (चित्र 1.4) में, बिंदु के तीन अनुमान बनाए गए हैं डी (डी 1,डी 2,डी 3)।

सभी तीन निर्देशांक हैं संख्यात्मक मूल्य, अशून्य, इसलिए बिंदु किसी प्रक्षेपण तल से संबंधित नहीं है।

बी)संगत स्थानिक छवि एतथा डी(अंजीर। 1.5)। सिस्टम में पी 1-पी 2बिंदु अनुमान एतथा डीसंचार की एक ही पंक्ति पर लेटें, केवल एक बिंदु डीबिंदु से ऊपर ए, इसलिए डी- दृश्यमान, और ए- अदृश्य (पर दिखाई देने वाला) एन 1वह बिंदु जो ऊपर स्थित है)

चौथे, अंतिम चरण में, हम बिंदुओं के जटिल चित्र के सभी तीन अंशों को जोड़ते हैं ए, बी, सी,डीएक सामान्य में।

अंक एतथा डी- क्षैतिज रूप से प्रतिस्पर्धा कहा जाता है।

BCD द्वारा दिए गए समतल के अंशों की रचना कीजिए और बिंदु A से तक की दूरी ज्ञात कीजिए दिया गया विमानसमकोण त्रिभुज विधि(अंक ए, बी, सी और डी के निर्देशांक कार्य अनुभाग की तालिका 1 देखें);

1.2. कार्य संख्या 1 . का एक उदाहरण

पहला कार्य विषयों पर कार्यों का एक सेट प्रस्तुत करता है:

1. ऑर्थोग्राफिक प्रोजेक्शन, मोंज प्लॉट, पॉइंट, लाइन, प्लेन: तीन बिंदुओं के ज्ञात निर्देशांक द्वारा बी, सी, डी. द्वारा दिए गए विमान के क्षैतिज और ललाट अनुमानों का निर्माण करें बीसीडी;

2. एक सीधी रेखा के निशान, एक तल के निशान, एक सीधे तल से संबंधित गुण: . द्वारा दिए गए विमान के निशान बनाएं बीसीडी;

3. सामान्य और विशिष्ट तल, एक सीधी रेखा और एक तल का प्रतिच्छेदन, एक सीधी रेखा और एक तल का लंबवतता, समतलों का प्रतिच्छेदन, समकोण त्रिभुज विधि: बिंदु से दूरी निर्धारित करें एविमान के लिए बीसीडी.

1.2.1. तीन बिंदुओं के ज्ञात निर्देशांक द्वारा बी, सी, डीहम . द्वारा दिए गए विमान के क्षैतिज और ललाट अनुमानों का निर्माण करते हैं बीसीडी(चित्र 1.1), जिसके लिए शीर्षों के क्षैतिज और ललाट अनुमानों का निर्माण करना आवश्यक है बीसीडी, और फिर उसी नाम के शीर्षों के अनुमानों को कनेक्ट करें।

ह ज्ञात है कि विमान का निशानप्रक्षेपण विमान के साथ दिए गए विमान के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप प्राप्त सीधी रेखा कहलाती है .

विमान के पास सामान्य स्थिति 3 ट्रैक: क्षैतिज, ललाट और प्रोफ़ाइल.

एक विमान के निशान बनाने के लिए, इस विमान में पड़ी किन्हीं दो सीधी रेखाओं के निशान (क्षैतिज और ललाट) का निर्माण करना और उन्हें एक दूसरे से जोड़ना पर्याप्त है। इस प्रकार, विमान का निशान (क्षैतिज या ललाट) विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाएगा, क्योंकि विमान पर दो बिंदुओं के माध्यम से (इस मामले में, ये बिंदु सीधी रेखाओं के निशान होंगे), आप एक सीधी रेखा खींच सकते हैं, और इसके अलावा, केवल एक।

इस निर्माण का आधार है एक सीधे विमान से संबंधित संपत्ति: यदि एक सीधी रेखा किसी दिए गए तल से संबंधित है, तो उसके निशान इस तल पर उसी नाम के निशान पर होते हैं .

एक सीधी रेखा का निशान अनुमानों के तल के साथ इस सीधी रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु है .

एक सीधी रेखा का क्षैतिज निशान अनुमानों के क्षैतिज तल में होता है, ललाट - अनुमानों के ललाट तल में।

इमारत पर विचार करें क्षैतिज ट्रैकसीधा डाटाबेस, जिसके लिए यह आवश्यक है:

1. ललाट प्रक्षेपण सीधी रेखा जारी रखें डाटाबेसअक्ष को पार करने से पहले एक्स, चौराहे की जगह एम 2एक क्षैतिज ट्रैक का ललाट प्रक्षेपण है;

2. बिंदु से एम 2सीधी रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ इसके चौराहे से पहले लंबवत (प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा) को पुनर्स्थापित करें डाटाबेस एम 1और क्षैतिज ट्रेस का क्षैतिज प्रक्षेपण होगा (चित्र 1.1), जो स्वयं ट्रेस के साथ मेल खाता है एम.

इसी तरह, खंड के क्षैतिज निशान का निर्माण किया जाता है। एसवीसीधा: बिंदु एम '.

बनाने के लिए ललाट पदचिह्नखंड सीबीप्रत्यक्ष, यह आवश्यक है:

1. क्षैतिज प्रक्षेपण सीधी रेखा जारी रखें सीबीअक्ष को पार करने से पहले एक्स, चौराहे की जगह एन 1ललाट ट्रैक का एक क्षैतिज प्रक्षेपण है;

2. बिंदु से एन 1सीधी रेखा के ललाट प्रक्षेपण के साथ इसके प्रतिच्छेदन से पहले लंबवत (प्रक्षेपण कनेक्शन की रेखा) को पुनर्स्थापित करें सीबीया इसकी निरंतरता। चौराहे की जगह एन 2और ललाट ट्रेस का ललाट प्रक्षेपण होगा, जो ट्रेस के साथ ही मेल खाता है एन.

बिंदुओं को जोड़कर एम 1तथा एम 1एक सीधी रेखा खंड द्वारा, हम समतल απ 1 का क्षैतिज अनुरेखण प्राप्त करते हैं। अक्ष के साथ απ 1 के प्रतिच्छेदन का बिंदु α x एक्सबुलाया लोपी बिन्दु ... विमान απ 2 के ललाट ट्रेस का निर्माण करने के लिए, ललाट ट्रेस को जोड़ना आवश्यक है एन 2पटरियों के लुप्त बिंदु के साथ α x

चित्र 1.1 - समतल निशानों का निर्माण

इस समस्या को हल करने के लिए एल्गोरिथ्म निम्नानुसार प्रस्तुत किया जा सकता है:

(डी 2 बी 2 ∩ बैल) = एम 2 ;
(मिमी 1 ∩ डी 1 बी 1) = एम 1 = एम;
(सी 2 बी 2 ∩ बैल) = एम ' 2 ;
(एम ' 2 एम ' 1 ∩ सी 1 बी 1) = एम ' 1 = एम ';
(सीबी 2) = एन 2 = एन;
(एमएम) απ 1;
(α x एन) απ 2.

1.2.2. पहले कार्य के दूसरे भाग को हल करने के लिए, आपको यह जानना होगा कि:

बिंदु से दूरी एविमान के लिए बीसीडीइस बिंदु से विमान तक बहाल लंबवत की लंबाई से निर्धारित होता है;
कोई भी सीधी रेखा एक समतल पर लंबवत होती है यदि वह इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत हो;
एक सीधी रेखा के प्रक्षेपण के आरेख पर, लंबवत विमान, इस विमान के क्षैतिज और सामने के तिरछे अनुमानों के लंबवत हैं या विमान के एक ही नाम के निशान (चित्र। 1.2) (व्याख्यानों में विमान के लंबवत पर प्रमेय देखें)।

लंबवत के आधार को खोजने के लिए, विमान के साथ एक सीधी रेखा के चौराहे की समस्या को हल करना आवश्यक है (इस समस्या में, ऐसी सीधी रेखा विमान के लंबवत है):

1. सहायक विमान में लंबवत संलग्न करने के लिए, जिसे किसी विशेष स्थिति के विमान के रूप में लिया जाना चाहिए (क्षैतिज रूप से प्रोजेक्टिंग या फ्रंट प्रोजेक्टिंग, उदाहरण में, क्षैतिज रूप से प्रोजेक्टिंग γ को सहायक विमान के रूप में लिया जाता है, जो कि π 1 के लंबवत होता है। , इसका क्षैतिज निशान γ 1 लंबवत के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ मेल खाता है);

2. दिए गए समतल . का प्रतिच्छेदन रेखा ज्ञात कीजिए बीसीडीसहायक के साथ ( एम.एन.अंजीर में। 1.2);

3. समतलों के प्रतिच्छेदन रेखा का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए एम.एन.लंबवत (बिंदु प्रतिअंजीर में। 1.2)।

4. बिंदु से दूरी का सही मान ज्ञात करने के लिए एकिसी दिए गए विमान के लिए बीसीडीका उपयोग करना चाहिए समकोण त्रिभुज विधि: खंड का सही मूल्य एक समकोण त्रिभुज का कर्ण है, जिसका एक पैर खंड के अनुमानों में से एक है, और दूसरा इसके सिरों से प्रक्षेपण तल तक की दूरी में अंतर है जिसमें निर्माण है उठाकरबाहरलेजाओ.

5. प्रतिस्पर्धी बिंदुओं की विधि द्वारा लंबवत वर्गों की दृश्यता निर्धारित करें। उदाहरण के लिए - अंक एनतथा 3 1, बिंदु . पर दृश्यता निर्धारित करने के लिए 4 , 5 - 2 पर दृश्यता निर्धारित करने के लिए।

चित्र 1.2 - समतल पर लंब बनाना

चित्र 1.3 - डिजाइन का एक उदाहरण नियंत्रण कार्य №1

कार्य # 1 . का वीडियो उदाहरण

1.3. कार्य विकल्प 1

तालिका 1– बिंदुओं के निर्देशांक का मान

विकल्प	बिंदुओं के निर्देशांक (x, y, z)
विकल्प	ए	वी	साथ	डी
1	15; 55; 50	10; 35; 5	20; 10; 30	70; 50; 40
2	80; 65; 50	50; 10; 55	10; 50; 25	75; 25; 0
3	95; 45; 60	130; 40; 50	40; 5; 25	80; 30; 5
4	115; 10; 0	130; 40; 40	40; 5; 25	80; 30; 5
5	55; 5; 60	85; 45; 60	100; 5; 30	50; 25; 10
6	55; 5; 60	70; 40; 20	30; 30; 35	30; 10; 10
7	60; 10; 45	80; 45; 5	35; 0; 15	10; 0; 45
8	5; 0; 0	35; 0; 25	20; 0; 55	40; 40; 0
9	50; 5; 45	65; 30; 10	30; 25; 55	20; 0; 20
10	60; 50; 35	40; 30; 0	30; 15; 30	80; 5; 20
11	65; 35; 15	50; 0; 30	20; 25; 25	5; 0; 10
12	75; 65; 50	45; 10; 35	60; 20; 10	10; 65; 0
13	95; 0; 15	85; 50; 10	10; 10; 10	55; 10; 45
14	45; 40; 40	80; 50; 10	10; 10; 10	55; 10; 45
15	80; 20; 30	55; 30; 60	15; 10; 20	70; 65; 30
16	75; 35; 35	55; 30; 60	25; 10; 20	70; 65; 30
17	75; 65; 50	45; 5; 55	5; 45; 10	70; 20; 0
18	65; 15; 20	40; 5; 60	0; 5; 25	60; 60; 20
19	70; 20; 10	45; 15; 60	5; 10; 20	60; 65; 10
20	20; 50; 45	10; 20; 10	55; 50; 10	80; 0; 60
21	0; 5; 50	50; 50; 40	5; 55; 10	45; 5; 0
22	55; 50; 65	45; 55; 5	0; 10; 45	70; 0; 40
23	65; 5; 15	40; 60; 10	0; 20; 5	60; 20; 60
24	50; 20; 45	45; 60; 30	5; 20; 10	60; 30; 5
25	55; 15; 40	40; 50; 25	5; 15; 10	50; 40; 10
26	15; 45; 40	10; 25; 5	20; 10; 30	65; 40; 35
27	70; 30; 30	55; 30; 60	20; 5; 15	65; 60; 25
28	90; 0; 15	80; 45; 10	10; 10; 10	50; 10; 45
29	110; 10; 0	120; 35; 30	35; 5; 20	70; 20; 5
30	45; 40; 40	80; 45; 10	10; 10; 10	55; 10; 40