अंकगणितीय जड़ों को कैसे हल करें। प्राकृतिक जड़ें और उनके गुण

निर्णय करना एक साधारण कार्यएक वर्ग की भुजा ज्ञात करके जिसका क्षेत्रफल 9 सेमी 2 है। यदि हम स्वीकार करते हैं कि वर्ग की भुजा लेकिनसेमी, फिर हम समस्या की स्थितियों के अनुसार समीकरण बनाते हैं:

लेकिनएक्स ए = 9

ए 2 \u003d 9

ए 2 -9 \u003d 0

(ए-3)(ए+3)=0

ए=3 या ए=-3

वर्ग की भुजा की लंबाई ऋणात्मक संख्या नहीं हो सकती है, इसलिए वर्ग की वांछित भुजा 3 सेमी है।

समीकरण को हल करते समय, हमें संख्याएँ 3 और -3 मिलीं, जिनके वर्ग 9 हैं। इनमें से प्रत्येक संख्या को संख्या 9 का वर्गमूल कहा जाता है। इन जड़ों का गैर-ऋणात्मक, अर्थात संख्या 3, संख्या का अंकगणितीय मूल कहलाता है।

इस तथ्य को स्वीकार करना काफी तर्कसंगत है कि जड़ को संख्याओं से तीसरी डिग्री (घनमूल), चौथी डिग्री, और इसी तरह पाया जा सकता है। और सिद्धांत रूप में, जड़ घातांक का व्युत्क्रम संचालन है।

जड़एन वें डिग्रीसंख्या से α ऐसी संख्या है बी, कहाँ पे बी नहीं = α .

यहां एन- प्राकृत संख्या कहलाती है मूल सूचक(या जड़ की डिग्री); यह आमतौर पर 2 से अधिक या उसके बराबर होता है, क्योंकि मामला एन = 1 घिनौना।

वे अक्षर पर निर्दिष्ट करते हैं इसलिए दाईं ओर के प्रतीक (मूल चिह्न) को कहा जाता है मौलिक. संख्या α - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति. हमारे साइड उदाहरण के लिए, समाधान इस तरह दिख सकता है: इसलिये (± 3) 2 = 9 .

हमें पॉजिटिव मिला है नकारात्मक अर्थजड़। यह सुविधा गणना को जटिल बनाती है। असंदिग्धता प्राप्त करने के लिए, अवधारणा पेश की गई थी अंकगणितीय जड़, जिसका मान हमेशा धनात्मक चिह्न के साथ होता है, अर्थात केवल धनात्मक।

जड़बुलाया अंकगणितयदि यह एक धनात्मक संख्या से निकाला गया है और स्वयं एक धनात्मक संख्या है।

उदाहरण के लिए,

दी गई संख्या में से दी गई घात का केवल एक अंकगणितीय मूल होता है।

गणना संचालन कहा जाता है जड़ निष्कर्षण एनवें डिग्री" के बीच से α . वास्तव में, हम घातांक के विपरीत संक्रिया करते हैं, अर्थात्, अंश का आधार ज्ञात करना बीएक ज्ञात संकेतक के अनुसार एनऔर घातांक का परिणाम

α = बी एन।

दूसरी और तीसरी डिग्री की जड़ें दूसरों की तुलना में व्यवहार में अधिक बार उपयोग की जाती हैं और इसलिए उन्हें विशेष नाम दिए गए थे।

वर्गमूल: इस मामले में, घातांक 2 आमतौर पर नहीं लिखा जाता है, और डिग्री को इंगित किए बिना "रूट" शब्द का अर्थ अक्सर वर्गमूल होता है। ज्यामितीय रूप से व्याख्या की गई, एक वर्ग की भुजा की लंबाई है जिसका क्षेत्रफल है α .

घनमूल: ज्यामितीय रूप से, घन के किनारे की लंबाई, जिसका आयतन के बराबर होता है α .

अंकगणितीय जड़ों के गुण।

1) गणना करते समय उत्पाद की अंकगणितीय जड़, इसे प्रत्येक कारक से अलग से निकालना आवश्यक है

उदाहरण के लिए,

2) गणना के लिए भिन्न मूल, इसे दिए गए भिन्न के अंश और हर से निकालना आवश्यक है

उदाहरण के लिए,

3) गणना करते समय डिग्री की जड़, घातांक को मूल के घातांक से विभाजित करना आवश्यक है

उदाहरण के लिए,

वर्गमूल की निकासी से संबंधित पहली गणना प्राचीन बेबीलोन और चीन, भारत, ग्रीस (उपलब्धियों के बारे में) के गणितज्ञों के कार्यों में पाई गई थी। प्राचीन मिस्रसूत्रों में इस संबंध में कोई जानकारी नहीं है)।

प्राचीन बेबीलोन (द्वितीय सहस्राब्दी ईसा पूर्व) के गणितज्ञों ने एक विशेष प्रयोग किया संख्यात्मक विधि. वर्गमूल के लिए प्रारंभिक सन्निकटन मूल (नीचे की ओर) के निकटतम प्राकृतिक संख्या के आधार पर पाया गया था एन. मूल अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व इस प्रकार है: α=n 2 +r, हमें मिला: एक्स 0 \u003d एन + आर / 2n, फिर एक पुनरावृत्त शोधन प्रक्रिया लागू की गई:

इस पद्धति में पुनरावृत्ति बहुत जल्दी अभिसरण करती है। के लिये ,

उदाहरण के लिए, α=5; एन = 2; आर = 1; x 0 \u003d 9/4 \u003d 2.25और हमें सन्निकटन का एक क्रम मिलता है:

अंतिम मान में, अंतिम अंक को छोड़कर सभी अंक सही हैं।

यूनानियों ने घन को दोगुना करने की समस्या तैयार की, जो उबलकर इमारत बन गई क्युब जड़एक कम्पास और शासक का उपयोग करना। भारत और अरब राज्यों में गणितज्ञों द्वारा अध्ययन किए गए एक पूर्णांक से किसी भी शक्ति की गणना के नियम। इसके अलावा, वे मध्ययुगीन यूरोप में व्यापक रूप से विकसित हुए थे।

आज, वर्ग और घनमूलों की गणना की सुविधा के लिए, कैलकुलेटर का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूल एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, नौवीं शक्तिजो इसके बराबर है:

जड़ की डिग्री है प्राकृतिक संख्या, 1 . से अधिक.

3.

4.

विशेष स्थितियां:

1. यदि मूल सूचकांक एक विषम पूर्णांक है() तब मूलक व्यंजक ऋणात्मक हो सकता है।

एक विषम घातांक के मामले में, समीकरणकिसी भी वास्तविक मान और पूर्णांक के लिए हमेशा एक ही जड़ होती है:

विषम कोटि के मूल के लिए, सर्वसमिका सत्य है:

,

2. यदि मूल का घातांक सम पूर्णांक हो (), तब मूलक व्यंजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।

एक सम घातांक के मामले में, समीकरणयह है

पर एकल जड़

और अगर और

सम अंश के मूल के लिए, सर्वसमिका सत्य है:

सम घात के मूल के लिए, निम्नलिखित समानताएँ होती हैं::

ऊर्जा समीकरण, इसके गुण और ग्राफ।

पावर फ़ंक्शन और इसके गुण।

प्राकृतिक प्रतिपादक के साथ शक्ति कार्य। फ़ंक्शन y \u003d x n, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, को प्राकृतिक घातांक के साथ एक शक्ति फ़ंक्शन कहा जाता है। n = 1 के लिए हमें फलन y = x मिलता है, इसके गुण:

सीधा अनुपात। प्रत्यक्ष आनुपातिकता सूत्र y \u003d kx n द्वारा दिया गया एक कार्य है, जहाँ संख्या k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है।

हम फलन y = kx के गुणों को सूचीबद्ध करते हैं।

फलन का प्रांत सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

वाई = केएक्स - नहीं यहां तक ​​कि समारोह(एफ (- एक्स) \u003d के (- एक्स) \u003d - केएक्स \u003d -के (एक्स))।

3) k > 0 के लिए, फलन बढ़ता है, और k . के लिए< 0 убывает на всей числовой прямой.

ग्राफ (सीधी रेखा) चित्र II.1 में दिखाया गया है।

चावल। II.1.

n=2 से हमें फलन y = x 2 प्राप्त होता है, इसके गुण:

फलन y -x 2 । हम फ़ंक्शन y \u003d x 2 के गुणों को सूचीबद्ध करते हैं।

y \u003d x 2 - एक सम फ़ंक्शन (f (- x) \u003d (- x) 2 \u003d x 2 \u003d f (x))।

अंतराल पर फलन घट रहा है।

भिन्न में ही, यदि, तो - x 1 > - x 2 > 0, और इसलिए

(-x 1) 2 > (- x 2) 2, अर्थात्, और इसका अर्थ है कि फलन घट रहा है।

फ़ंक्शन y \u003d x 2 का ग्राफ एक परवलय है। यह ग्राफ चित्र II.2 में दिखाया गया है।

चावल। II.2।

n \u003d 3 के लिए, हमें फ़ंक्शन y \u003d x 3, इसके गुण मिलते हैं:

फलन का कार्यक्षेत्र संपूर्ण संख्या रेखा है।

वाई \u003d एक्स 3 - पुराना फंक्शन(एफ (- एक्स) \u003d (- एक्स) 2 \u003d - एक्स 3 \u003d - एफ (एक्स))।

3) फलन y \u003d x 3 पूर्ण संख्या रेखा पर बढ़ता है। फ़ंक्शन y \u003d x 3 का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। इसे घन परवलय कहते हैं।

ग्राफ (घन परवलय) चित्र II.3 में दिखाया गया है।

चावल। II.3।

मान लीजिए n दो से बड़ी एक स्वेच्छ सम प्राकृत संख्या है:

एन = 4, 6, 8,...। इस मामले में, फ़ंक्शन y \u003d x n में फ़ंक्शन y \u003d x 2 के समान गुण हैं। इस तरह के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक परवलय y \u003d x 2 जैसा दिखता है, केवल ग्राफ़ की शाखाएँ |n| > 1, जितना अधिक वे ऊपर जाते हैं, उतना ही बड़ा n, और जितना अधिक वे x-अक्ष के विरुद्ध "दबाते हैं", उतना ही बड़ा n।

मान लीजिए n तीन से बड़ी एक मनमानी विषम संख्या है: n = 5, 7, 9, ...। इस मामले में, फ़ंक्शन y \u003d x n में फ़ंक्शन y \u003d x 3 के समान गुण हैं। इस तरह के फ़ंक्शन का ग्राफ़ एक क्यूबिक परबोला जैसा दिखता है (केवल ग्राफ़ की शाखाएँ ऊपर और नीचे की ओर जाती हैं, बड़ा n। हम यह भी ध्यान देते हैं कि अंतराल (0; 1) पर पावर फ़ंक्शन y \u003d xn का ग्राफ यह n से अधिक बढ़ते हुए x के साथ x अक्ष से जितना धीमा चलता है।

पूर्णांक नकारात्मक घातांक के साथ पावर फ़ंक्शन। फ़ंक्शन y \u003d x - n पर विचार करें, जहां n एक प्राकृतिक संख्या है। n = 1 से हमें y = x - n या y = इस फलन के गुण प्राप्त होते हैं:

ग्राफ (हाइपरबोला) चित्र II.4 में दिखाया गया है।

रूट डिग्री एनएक वास्तविक संख्या से ए, कहाँ पे एन- एक प्राकृत संख्या, ऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है एक्स, एनजिसकी वें शक्ति के बराबर है ए.

डिग्री रूट एनसंख्या से एप्रतीक द्वारा दर्शाया गया है। इस परिभाषा के अनुसार।

जड़ ढूँढना एनमें से th डिग्री एजड़ निष्कर्षण कहा जाता है। संख्या लेकिनएक मूल संख्या (अभिव्यक्ति) कहा जाता है, एन- जड़ का सूचक। विषम के लिए एनएक जड़ है एनकिसी भी वास्तविक संख्या के लिए -th डिग्री ए. यहां तक ​​की एनएक जड़ है एन-th डिग्री केवल गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए ए. जड़ की अस्पष्टता को दूर करने के लिए एनमें से th डिग्री ए, एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा पेश की गई है एनमें से th डिग्री ए.

डिग्री N . के अंकगणितीय मूल की अवधारणा

अगर व एन- प्राकृतिक संख्या से अधिक है 1 , तब मौजूद है, और केवल एक, गैर-ऋणात्मक संख्या एक्स, ऐसा है कि समानता रखती है। यह नंबर एक्सअंकगणितीय जड़ कहा जाता है एनएक गैर-ऋणात्मक संख्या की शक्ति लेकिनऔर निरूपित किया जाता है। संख्या लेकिनरूट नंबर कहा जाता है एन- जड़ का सूचक।

तो, परिभाषा के अनुसार, संकेतन, जहां, का अर्थ है, पहला, वह और, दूसरा, वह, यानी। .

एक तर्कसंगत घातांक के साथ डिग्री की अवधारणा

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री: let लेकिनएक वास्तविक संख्या है, और एनएक प्राकृतिक संख्या एक से बड़ी है एन-एक संख्या की शक्ति लेकिनकाम को बुलाओ एनगुणक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है लेकिन, अर्थात। . संख्या लेकिन- डिग्री का आधार, एन- प्रतिपादक। शून्य घातांक वाला घातांक: परिभाषा के अनुसार, यदि , तो । एक संख्या की शून्य शक्ति 0 कोई मतलब नहीं है। एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घात: परिभाषा के अनुसार, यदि और एनएक प्राकृतिक संख्या है, तो . भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री: परिभाषा के अनुसार, यदि और एन- प्राकृतिक संख्या, एमएक पूर्णांक है, तो .

जड़ों के साथ संचालन।

नीचे दिए गए सभी सूत्रों में, प्रतीक का अर्थ है अंकगणितीय मूल (कट्टरपंथी अभिव्यक्ति धनात्मक है)।

1. कई कारकों के उत्पाद की जड़ इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर होती है:

2. रिश्ते की जड़ अनुपात के बराबर हैलाभांश और भाजक की जड़ें:

3. जब किसी जड़ को किसी घात में ऊपर उठाया जाता है, तो यह मूल संख्या को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त होता है:

4. यदि आप रूट की डिग्री को n गुना बढ़ाते हैं और साथ ही साथ रूट नंबर को nth पावर तक बढ़ाते हैं, तो रूट का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप मूलांक की डिग्री को n गुना कम करते हैं और साथ ही मूलांक से nवीं डिग्री का मूल निकालते हैं, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

डिग्री की अवधारणा का विस्तार। अब तक, हमने केवल एक प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री पर विचार किया है; लेकिन शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन से नकारात्मक, शून्य और भिन्नात्मक घातांक भी हो सकते हैं। इन सभी प्रतिपादकों को एक अतिरिक्त परिभाषा की आवश्यकता है।

एक नकारात्मक घातांक के साथ डिग्री। एक ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली किसी संख्या की घात को उसी संख्या की घात से विभाजित करके घातांक के बराबर के रूप में परिभाषित किया जाता है निरपेक्ष मूल्यनकारात्मक संकेतक:

अब सूत्र a m: a n \u003d a m - n का उपयोग न केवल n से अधिक m के लिए किया जा सकता है, बल्कि n से कम m के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण ए 4: ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3।

यदि हम चाहते हैं कि सूत्र a m: a n = a m - n m = n के लिए मान्य हो, तो हमें शून्य डिग्री को परिभाषित करने की आवश्यकता है।

शून्य घातांक के साथ डिग्री। शून्य घातांक वाली किसी भी अशून्य संख्या की घात 1 होती है।

उदाहरण। 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3/5) 0 = 1।

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री। वास्तविक संख्या a को घात m / n तक बढ़ाने के लिए, आपको इस संख्या की mth घात से nth डिग्री की जड़ निकालने की आवश्यकता है:

उन भावों के बारे में जिनका कोई मतलब नहीं है। ऐसे कई भाव हैं।

मामला एक

जहां 0 मौजूद नहीं है।

वास्तव में, यदि हम मानते हैं कि x एक निश्चित संख्या है, तो, विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास है: a = 0 · x, अर्थात्। ए = 0, जो इस शर्त के विपरीत है: ए 0

केस 2

कोई संख्या।

वास्तव में, यदि हम यह मान लें कि यह व्यंजक किसी संख्या x के बराबर है, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास: 0 = 0 · x है। लेकिन यह समानता किसी भी संख्या x के लिए है, जिसे सिद्ध किया जाना था।

सच में,

हल। तीन मुख्य मामलों पर विचार करें:

1) x = 0 - यह मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता

2) x > 0 के लिए हमें प्राप्त होता है: x / x = 1, अर्थात्। 1 = 1, जहां से यह पता चलता है कि x कोई संख्या है; लेकिन यह देखते हुए कि हमारे मामले में x > 0 , उत्तर x > 0 है;

3) x . पर< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

इस मामले में कोई समाधान नहीं है। तो एक्स> 0।

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इस लेख में, हम परिचय देंगे एक संख्या की जड़ की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से कार्य करेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, इससे हम घनमूल के विवरण पर आगे बढ़ेंगे, उसके बाद हम nth डिग्री की जड़ को परिभाषित करके मूल की अवधारणा को सामान्य करेंगे। साथ ही, हम परिभाषाएं, संकेतन, मूल के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियां देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए आपके पास . इस बिंदु पर, हम अक्सर एक संख्या की दूसरी शक्ति का सामना करेंगे - एक संख्या का वर्ग।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएं.

परिभाषा

a . का वर्गमूलवह संख्या है जिसका वर्ग a है।

लाने के लिए वर्गमूल के उदाहरण, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5 , −0.3 , 0.3 , 0 , और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25 , 0.09 , 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0.3) 2 =(-0.3) (-0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3 0.3=0.09 और 0 2 =0 0=0)। फिर ऊपर की परिभाषा के अनुसार, 5 25 का वर्गमूल है, -0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल है, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए मौजूद नहीं है, जिसका वर्ग एक के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या a के लिए, कोई वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर हो। वास्तव में, समानता a=b 2 किसी भी ऋणात्मक a के लिए असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार से, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं होता है और इसका कोई अर्थ नहीं होता है।

यह एक तार्किक प्रश्न की ओर ले जाता है: "क्या किसी गैर-ऋणात्मक के लिए a का वर्गमूल है"? इसका जवाब है हाँ। इस तथ्य के औचित्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक रचनात्मक विधि माना जा सकता है।

फिर निम्नलिखित तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दी गई गैर-ऋणात्मक संख्या के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? इसका उत्तर यहां दिया गया है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a से वर्गमूलों की संख्या दो के बराबर है, और मूल हैं । आइए इसकी पुष्टि करते हैं।

आइए मामले से शुरू करें a=0 । आइए पहले हम यह दिखाएं कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 = 0·0=0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब हम सिद्ध करते हैं कि 0 ही शून्य का एक मात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का उपयोग करें। आइए मान लें कि कुछ गैर-शून्य संख्या बी है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त बी 2 = 0 को संतुष्ट होना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य बी के लिए अभिव्यक्ति बी 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर आ गए हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। ऊपर हमने कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल हमेशा होता है, मान लीजिए b, a का वर्गमूल है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएं b 2 =a और c 2 =a मान्य हैं, जिससे यह निम्नानुसार है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूंकि b 2 −c 2 =( b−c) ( b+c) , फिर (b−c) (b+c)=0 । बल में परिणामी समानता वास्तविक संख्याओं के साथ क्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 । इस प्रकार संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्कों के समान तर्क से यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। तो, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो होती है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ होती हैं।

वर्गमूलों के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक जड़ को धनात्मक से "अलग" किया जाता है। इस उद्देश्य के लिए, यह परिचय देता है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

संख्या a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए अंकन स्वीकार किया जाता है। चिन्ह को अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह कहा जाता है। इसे रेडिकल का संकेत भी कहा जाता है। इसलिए, आप आंशिक रूप से "रूट" और "रेडिकल" दोनों को सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के नीचे का व्यंजक - कट्टरपंथी अभिव्यक्ति, जबकि "रेडिकल नंबर" शब्द को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंकन में, संख्या 151 एक मूलांक है, और संकेतन में, व्यंजक एक मूलांक है।

पढ़ते समय, "अंकगणित" शब्द को अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस सौवें का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का प्रयोग केवल तभी किया जाता है जब वे उस पर जोर देना चाहते हैं हम बात कर रहे हैंकिसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल के बारे में।

प्रस्तुत संकेतन के आलोक में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से इस प्रकार है कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या के लिए a .

एक धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न और के रूप में प्रयोग करके लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 के वर्गमूल हैं और . शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं के लिए a, हम तब तक प्रविष्टियों का अर्थ नहीं जोड़ेंगे जब तक हम अध्ययन नहीं करते जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, भाव और अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका प्रयोग प्रायः व्यवहार में किया जाता है।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम देखते हैं कि किसी संख्या के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के हल होते हैं।

का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या का वर्गमूल की परिभाषा के समान तरीके से दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग पर नहीं।

परिभाषा

a . का घनमूलवह संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

चलो लाते हैं घनमूलों के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएं लें, उदाहरण के लिए, 7 , 0 , −2/3 , और उन्हें घन करें: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0 0=0 , . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और -2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि वर्गमूल के विपरीत संख्या a का घनमूल हमेशा मौजूद होता है, और न केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए, बल्कि किसी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूल का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, दी गई संख्या a का केवल एक घनमूल होता है। आइए हम अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग-अलग विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि धनात्मक a के लिए, a का घनमूल ऋणात्मक या शून्य नहीं हो सकता। वास्तव में, मान लीजिए b a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सही नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः एक धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a से एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 = ए। इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0 , लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी) (बी 2 +बी सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), कहाँ से (b−c) (b 2 +b c+c 2)=0 । परिणामी समानता तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b c+c 2 =0 । पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई हल नहीं है, क्योंकि इसका बायां भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए एक धनात्मक संख्या है, जो तीन धनात्मक पदों b 2 , b c और c 2 के योग के रूप में है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता को सिद्ध करता है।

a=0 के लिए, a का एकमात्र घनमूल शून्य है। वास्तव में, यदि हम मान लें कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 को धारण करना चाहिए, जो तभी संभव है जब b=0।

नकारात्मक a के लिए, कोई सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दे सकता है। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का घनमूल या तो धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता है। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और यह दर्शाता है कि यह आवश्यक रूप से पहले वाले से मेल खाएगा।

इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल होता है, और केवल एक।

चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या जिसका घन a के बराबर हो, कहलाती है।

एक गैर-ऋणात्मक संख्या के अंकगणितीय घनमूल को इस रूप में दर्शाया जाता है, संकेत को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को कहा जाता है मूल सूचक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के नीचे व्यंजक है कट्टरपंथी अभिव्यक्ति.

यद्यपि अंकगणितीय घनमूल केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, यह उन प्रविष्टियों का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिनमें अंकगणितीय घनमूल चिह्न शामिल है ऋणात्मक संख्या. हम उन्हें इस प्रकार समझेंगे: जहाँ a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम सामान्य आलेख में मूलों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

क्यूब रूट के मूल्य की गणना को क्यूब रूट निकालना कहा जाता है, इस क्रिया की चर्चा जड़ों को निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस उपखंड को समाप्त करने के लिए, हम कहते हैं कि a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक हल है।

वां मूल, n . का अंकगणितीय मूल

हम एक संख्या से जड़ की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं - हम परिचय देते हैं nth रूट का निर्धारणएन के लिए

परिभाषा

a . का nवां मूलएक संख्या है जिसकी nth घात a के बराबर है।

से यह परिभाषायह स्पष्ट है कि संख्या a से पहली डिग्री का मूल स्वयं संख्या है, क्योंकि प्राकृतिक संकेतक के साथ डिग्री का अध्ययन करते समय, हमने 1 = a लिया।

ऊपर, हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवीं डिग्री के मूल के विशेष मामलों पर विचार किया। यानी वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n = 4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (अर्थात, n = 4, 6 के लिए) , 8, ...), दूसरा समूह - मूल विषम घात (अर्थात, n=5, 7, 9, ... के लिए)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम अंशों के मूल समान होते हैं वर्गमूल, और विषम शक्तियों की जड़ें - घन। आइए उनसे बारी-बारी से निपटें।

हम उन जड़ों से शुरू करते हैं जिनकी शक्तियां हैं सम संख्या 4, 6, 8, ... जैसा कि हम पहले ही कह चुके हैं, वे a के वर्गमूल के अनुरूप होते हैं। अर्थात्, संख्या a से किसी सम घात का मूल केवल अऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a से सम अंश के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएं हैं।

आइए हम पिछले दावे को सही ठहराते हैं। मान लीजिए b एक सम अंश का मूल है (इसे 2·m के रूप में निरूपित करते हैं, जहां m कोई प्राकृत संख्या है) संख्या a से। मान लीजिए कि एक संख्या सी है - संख्या ए से डिग्री 2 मीटर की एक और जड़। तब b 2 m −c 2 m =a−a=0 । लेकिन हम b 2 m - c 2 m = (b - c) (b + c) के रूप के बारे में जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (बी-सी) (बी+सी) (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2)=0. इस समानता से यह इस प्रकार है कि b−c=0 , या b+c=0 , or b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानता का मतलब है कि संख्याएँ b और c बराबर हैं या b और c विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल के लिए मान्य है b=c=0 , क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-ऋणात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-ऋणात्मक है।

विषम n के लिए nth डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए संख्या a से किसी भी विषम घात का मूल मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या के लिए यह अद्वितीय होता है।

संख्या a से विषम घात 2·m+1 के मूल की विशिष्टता, a से घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध होती है। समानता की जगह सिर्फ यहीं a 3 −b 3 =(a−b) (a 2 +a b+c 2) b 2 m+1 −c 2 m+1 = . के रूप की समानता (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम). अंतिम कोष्ठक में व्यंजक को इस प्रकार लिखा जा सकता है: बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम-2 +सी 2 एम-2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के लिए हमारे पास है b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (बी-सी) (बी 4 +सी 4 +बी सी (बी 2 +सी 2 +बी सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक हों, उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या है, तो व्यंजक b 2 +c 2 +b c , जो स्वयं कोष्ठक में है उच्च डिग्रीनेस्टिंग सकारात्मक संख्याओं के योग के रूप में सकारात्मक है। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठकों में व्यंजकों की ओर बढ़ते हुए, हम यह सुनिश्चित करते हैं कि वे धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी धनात्मक हों। परिणामस्वरूप, हम प्राप्त करते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी) (बी 2 एम +बी 2 एम−1 सी+बी 2 एम−2 सी 2 +… +सी 2 एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0 , अर्थात, जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

यह nth डिग्री की जड़ों के अंकन से निपटने का समय है। इसके लिए दिया जाता है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल का निर्धारण.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या a . की nth डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसकी nवीं घात a के बराबर होती है।