पाठ "समन्वय तल पर संख्या चक्र"। बहिर्वाहिक पाठ - संख्या चक्र

अगर हम सिंगल रखते हैं संख्या चक्रसमन्वय तल पर, फिर इसके बिंदुओं के लिए निर्देशांक खोजना संभव है। संख्यात्मक वृत्त को इस प्रकार स्थित किया जाता है कि इसका केंद्र तल के मूल बिंदु के साथ मेल खाता है, अर्थात, बिंदु O (0; 0)।

आमतौर पर, एक इकाई संख्या वृत्त पर, बिंदुओं को वृत्त पर मूल के अनुरूप चिह्नित किया जाता है

• तिमाहियों - 0 या 2π, π/2, π, (2π)/3,
• मध्य तिमाहियों - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
• तीसरी तिमाही - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6।

समन्वय तल पर, उस पर इकाई वृत्त की उपरोक्त व्यवस्था के साथ, वृत्त के इन बिंदुओं के अनुरूप निर्देशांक खोज सकते हैं।

तिमाहियों के सिरों के निर्देशांक खोजना बहुत आसान है। वृत्त के बिंदु 0 पर, x-निर्देशांक 1 है, और y 0 है। हम A (0) = A (1; 0) लिख सकते हैं।

पहली तिमाही का अंत धनात्मक y-अक्ष पर स्थित होगा। इसलिए, बी (π/2) = बी (0; 1)।

दूसरी तिमाही का अंत ऋणात्मक भुज पर है: C (π) = C (-1; 0)।

तीसरी तिमाही का अंत: डी ((2π)/3) = डी (0; -1)।

लेकिन तिमाहियों के मध्यबिंदुओं के निर्देशांक कैसे प्राप्त करें? ऐसा करने के लिए, एक समकोण त्रिभुज बनाएँ। इसका कर्ण वृत्त के केंद्र (या मूल) से चौथाई वृत्त के मध्य बिंदु तक का एक खंड है। यह वृत्त की त्रिज्या है। चूँकि वृत्त इकाई है, कर्ण 1 के बराबर है। इसके बाद, वृत्त के एक बिंदु से किसी भी अक्ष पर एक लंब खींचा जाता है। इसे x-अक्ष पर रहने दें। यह एक समकोण त्रिभुज निकला, जिसके पैरों की लंबाई वृत्त के बिंदु के x और y निर्देशांक हैं।

एक चौथाई सर्कल 90º है। और आधा चौथाई 45º है। चूंकि कर्ण चतुर्भुज के मध्य के बिंदु पर खींचा जाता है, इसलिए कर्ण और मूल से निकलने वाले पैर के बीच का कोण 45º होता है। लेकिन किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180º होता है। इसलिए कर्ण और दूसरी टांग के बीच का कोण भी 45º रहता है। यह एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज निकला।

पाइथागोरस प्रमेय से हमें समीकरण x 2 + y 2 = 1 2 प्राप्त होता है। चूँकि x = y और 1 2 = 1, समीकरण x 2 + x 2 = 1 में सरल हो जाता है। इसे हल करने पर, हमें x = √1 = 1/√2 = √2/2 मिलता है।

इस प्रकार, बिंदु M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2) के निर्देशांक।

अन्य तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के निर्देशांक में, केवल संकेत बदलेंगे, और मूल्यों के मॉड्यूल समान रहेंगे, क्योंकि समकोण त्रिभुज केवल पलट जाएगा। हम पाते हैं:
एम 2 ((3π)/4) = एम 2 (-√2/2; √2/2)
एम 3 ((5π)/4) = एम 3 (-√2/2; -√2/2)
एम 4 ((7π)/4) = एम 4 (√2/2; -√2/2)

वृत्त के तिमाहियों के तीसरे भागों के निर्देशांक निर्धारित करते समय, एक समकोण त्रिभुज भी बनाया जाता है। यदि हम बिंदु π/6 लेते हैं और x-अक्ष पर लंब खींचते हैं, तो कर्ण और x-अक्ष पर स्थित पाद के बीच का कोण 30º होगा। यह ज्ञात है कि 30º के कोण के विपरीत पड़ा हुआ पैर आधे कर्ण के बराबर होता है। तो हमने y निर्देशांक पाया है, यह ½ के बराबर है।

पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा कर्ण और एक पैर की लंबाई जानने के बाद, हम दूसरे पैर को पाते हैं:
x 2 + (½) 2 = 1 2
एक्स 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
एक्स = √3/2

इस प्रकार टी 1 (π/6) = टी 1 (√3/2; ½)।

पहली तिमाही (π / 3) के दूसरे तीसरे के बिंदु के लिए, अक्ष को y अक्ष पर लंबवत खींचना बेहतर होता है। तब मूल बिंदु पर कोण भी 30º होगा। यहाँ, x निर्देशांक पहले से ही ½ और y के बराबर होगा, क्रमशः √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2)।

अन्य तीसरी तिमाही के बिंदुओं के लिए, निर्देशांक मूल्यों के चिह्न और क्रम बदल जाएंगे। सभी बिंदु जो एक्स-अक्ष के करीब हैं, एक्स-निर्देशांक का मॉड्यूल मान √3/2 के बराबर होगा। वे बिंदु जो y-अक्ष के करीब हैं, उनका मॉड्यूल y मान √3/2 के बराबर होगा।
टी 3 ((2π)/3) = टी 3 (-½; √3/2)
टी 4 ((5π)/6) = टी 4 (-√3/2; ½)
टी 5 ((7π)/6) = टी 5 (-√3/2; -½)
टी 6 ((4π)/3) = टी 6 (-½; -√3/2)
टी 7 ((5π)/3) = टी 7 (½; -√3/2)
टी 8 ((11π)/6) = टी 8 (√3/2; -½)

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स्लाइड कैप्शन:

निर्देशांक तल में संख्या वृत्त

आइए दोहराते हैं: इकाई वृत्त एक संख्यात्मक वृत्त है, जिसकी त्रिज्या 1 के बराबर है। R=1 C=2 π + - y x

यदि संख्यात्मक वृत्त का बिंदु M संख्या t के अनुरूप है, तो यह t+2 π k के रूप की संख्या से भी मेल खाता है, जहाँ k कोई पूर्णांक (k ϵ Z) है। M(t) = M(t+2 π k), जहाँ k ϵ Z

मूल लेआउट पहला लेआउट 0 π y x दूसरा लेआउट y x

x y 1 A(1, 0) B (0, 1) C (- 1, 0) D (0, -1) 0 x>0 y>0 x 0 x 0 y

बिंदु के संगत बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 1) 2) एक्स वाई एमपी 45 डिग्री ओ ए

पहले लेआउट के मुख्य बिंदुओं के निर्देशांक 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 D y x

M P x y O A बिंदु के संगत बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 1) 2) 30°

M P बिंदु के संगत बिंदु M के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। 1) 2) 30° x y O A B

सममिति गुण का उपयोग करके, हम उन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करते हैं जो y x के गुणक हैं

दूसरे लेआउट x y x y y x के मुख्य बिंदुओं के निर्देशांक

उदाहरण किसी संख्या वृत्त पर किसी बिंदु के निर्देशांक ज्ञात कीजिए। हल: पी वाई एक्स

उदाहरण किसी संख्या वृत्त पर कोटि वाले बिंदु खोजें हल: y x ​​​​x y x y

अभ्यास: अंकीय वृत्त के बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए: a) , b) . संख्या वृत्त पर भुज वाले बिंदु ज्ञात कीजिए।

मुख्य बिंदु निर्देशांक 0 2 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 0 x 1 0 -1 0 1 y 0 1 0 -1 0 पहले लेआउट के मुख्य बिंदु निर्देशांक x y x y दूसरे लेआउट के मुख्य बिंदु निर्देशांक

विषय पर: पद्धतिगत विकास, प्रस्तुतियाँ और नोट्स

बीजगणित पर उपदेशात्मक सामग्री और ग्रेड 10 (प्रोफाइल स्तर) में विश्लेषण की शुरुआत "समन्वय तल पर संख्या चक्र"

विकल्प 1.1. संख्या वृत्त पर एक बिंदु खोजें: A) -2∏ / 3B) 72. संख्या वृत्त का कौन सा चौथाई बिंदु 16.3 से संबंधित है। कौन सा खोजें ...

संख्या चक्रएक इकाई वृत्त है जिसके बिंदु कुछ वास्तविक संख्याओं के अनुरूप होते हैं।

एक इकाई वृत्त त्रिज्या 1 का एक वृत्त है।

संख्या चक्र का सामान्य दृश्य।

1) इसकी त्रिज्या माप की इकाई के रूप में ली जाती है।

2) क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर व्यास संख्यात्मक वृत्त को चार तिमाहियों में विभाजित करते हैं (चित्र देखें)। उन्हें क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश कहा जाता है।

3) क्षैतिज व्यास को AC नामित किया गया है, जिसमें A सबसे दाहिना बिंदु है।
ऊर्ध्वाधर व्यास को BD नामित किया गया है, जिसमें B उच्चतम बिंदु है।
क्रमश:

पहला चौथाई चाप AB है

दूसरी तिमाही - चाप ईसा पूर्व

तीसरी तिमाही - आर्क सीडी

चौथी तिमाही - आर्क डीए

4) संख्यात्मक वृत्त का प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है।

संख्या चक्र को या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त गिना जा सकता है।
बिंदु A से वामावर्त गिनती कहलाती है सकारात्मक दिशा.
बिंदु A से क्लॉकवाइज गिनने को कहा जाता है नकारात्मक दिशा.

निर्देशांक तल पर संख्या वृत्त।

संख्यात्मक वृत्त की त्रिज्या का केंद्र मूल (संख्या 0) से मेल खाता है।

क्षैतिज व्यास अक्ष से मेल खाता है एक्स, लंबवत - कुल्हाड़ियों वाई.

संख्या वृत्त का प्रारंभिक बिंदु A अक्ष पर है एक्सऔर निर्देशांक (1; 0) हैं।

मूल्योंएक्सऔरवाईएक संख्यात्मक चक्र के तिमाहियों में:

संख्यात्मक वृत्त के मुख्य मूल्य:

संख्या वृत्त के मुख्य बिंदुओं के नाम और स्थान:

अंक वृत्त के नाम कैसे याद करें।

कुछ सरल पैटर्न हैं जो आपको संख्या वृत्त के मूल नामों को आसानी से याद रखने में मदद करेंगे।

शुरू करने से पहले, हम याद करते हैं: उलटी गिनती सकारात्मक दिशा में है, यानी बिंदु A (2π) से वामावर्त है।

1) चलिए शुरू करते हैं चरम बिंदुसमन्वय अक्षों पर।

प्रारंभिक बिंदु 2π है (अक्ष पर सबसे सही बिंदु एक्स 1 के बराबर)।

जैसा कि आप जानते हैं, 2π एक वृत्त की परिधि है। अतः वृत्त का आधा भाग 1π या π है। एक्सिस एक्सवृत्त को आधे में विभाजित करता है। तदनुसार, अक्ष पर सबसे बाएँ बिंदु एक्स-1 के बराबर को π कहा जाता है।

अक्ष पर उच्चतम बिंदु पर, 1 के बराबर, ऊपरी अर्धवृत्त को समद्विभाजित करता है। इसलिए यदि अर्धवृत्त π है, तो अर्धवृत्त का आधा π/2 है।

वहीं, π/2 भी एक वृत्त का एक चौथाई है। हम पहले से तीसरे तक ऐसे तीन तिमाहियों की गिनती करते हैं - और हम धुरी पर सबसे निचले बिंदु पर आ जाएंगे पर-1 के बराबर। लेकिन अगर इसमें तीन तिमाहियों को शामिल किया जाता है, तो इसका नाम 3π/2 है।

2) अब चलते हैं बाकी बिंदुओं पर। कृपया ध्यान दें: सभी विपरीत बिंदुओं का एक ही अंश है - इसके अलावा, ये विपरीत बिंदु हैं और अक्ष के सापेक्ष हैं पर, और अक्ष के केंद्र के सापेक्ष, और अक्ष के सापेक्ष एक्स. इससे हमें बिना रटते हुए उनके बिंदु मान जानने में मदद मिलेगी।

केवल पहली तिमाही के अंक के मूल्य को याद रखना जरूरी है: π / 6, π / 4 और π / 3। और फिर हम कुछ पैटर्न "देखेंगे":

- वाई-अक्ष के बारे मेंदूसरी तिमाही के बिंदुओं पर, पहली तिमाही के बिंदुओं के विपरीत, अंशों में संख्याएँ भाजक से 1 कम हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु π/6 लें। अक्ष के बारे में विपरीत बिंदु परभाजक में भी 6 और अंश में 5 (1 कम) होता है। यानी इस बिंदु का नाम: 5π/6। π/4 के विपरीत बिंदु में हर में भी 4 है, और अंश में 3 (4 से कम 1) - यानी, यह बिंदु 3π/4 है।
π/3 के विपरीत बिंदु के हर में भी 3 है, और अंश में 1 कम है: 2π/3।

- समन्वय अक्षों के केंद्र के सापेक्षविपरीत सत्य है: विपरीत बिंदुओं के अंशों में संख्या (तीसरी तिमाही में) 1 से अधिक मूल्यभाजक। बिंदु π/6 को फिर से लें। केंद्र के सापेक्ष इसके विपरीत बिंदु में भी भाजक में 6 है, और अंश में संख्या 1 अधिक है - अर्थात, यह 7π / 6 है।

बिंदु π/4 के विपरीत बिंदु में हर में भी 4 है, और अंश में संख्या 1 अधिक है: 5π/4।
बिंदु π/3 के विपरीत बिंदु के हर में भी 3 है, और अंश में संख्या 1 अधिक है: 4π/3।

- एक्सिस रिश्तेदार एक्स(चौथी तिमाही)मामला और कठिन है। यहां भाजक के मान को 1 से कम संख्या में जोड़ना आवश्यक है - यह योग विपरीत बिंदु के अंश के संख्यात्मक भाग के बराबर होगा। आइए π/6 के साथ फिर से शुरू करें। आइए भाजक के मान में 6 के बराबर एक संख्या जोड़ते हैं जो इस संख्या से 1 कम है - अर्थात, 5. हमें मिलता है: 6 + 5 = 11. इसलिए, अक्ष के संबंध में इसके विपरीत एक्सबिंदु के हर में 6 और अंश में 11 होगा, यानी 11π/6।

बिंदु π/4. हम हर के मान में एक संख्या 1 घटाते हैं: 4 + 3 = 7. इसलिए, अक्ष के संबंध में इसके विपरीत एक्सबिंदु के हर में 4 और अंश में 7 है, यानी 7π/4।
बिंदु π/3. भाजक 3 है। हम 3 में एक कम संख्या जोड़ते हैं - अर्थात, 2. हमें 5 मिलता है। इसलिए, विपरीत बिंदु के अंश में 5 है - और यह बिंदु 5π / 3 है।

3) तिमाहियों के मध्यबिंदुओं के लिए एक और नियमितता। यह स्पष्ट है कि उनका भाजक 4 है। आइए अंशों पर ध्यान दें। पहली तिमाही के मध्य का अंश 1π है (लेकिन 1 लिखने की प्रथा नहीं है)। दूसरी तिमाही के मध्य का अंश 3π है। तीसरी तिमाही के मध्य का अंश 5π है। चौथी तिमाही के मध्य का अंश 7π है। यह पता चला है कि तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के अंशों में आरोही क्रम में पहले चार विषम संख्याएँ हैं:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
यह बहुत आसान भी है। चूंकि सभी तिमाहियों के मध्य बिंदुओं में भाजक में 4 है, हम उन्हें पहले से ही जानते हैं पुरे नाम: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4।

संख्या चक्र की विशेषताएं। एक संख्या रेखा के साथ तुलना।

जैसा कि आप जानते हैं, संख्या रेखा पर, प्रत्येक बिंदु किससे मेल खाता है विलक्षण. उदाहरण के लिए, यदि एक सीधी रेखा पर बिंदु A 3 के बराबर है, तो यह किसी अन्य संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

संख्या वृत्त पर यह भिन्न है क्योंकि यह वृत्त है। उदाहरण के लिए, वृत्त के बिंदु A से बिंदु M तक आने के लिए, आप इसे एक सीधी रेखा के रूप में कर सकते हैं (चाप को पार करने के बाद ही), या आप पूरे वृत्त के चारों ओर घूम सकते हैं, और फिर बिंदु M पर आ सकते हैं। निष्कर्ष:

माना बिंदु M किसी संख्या t के बराबर है। जैसा कि हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि 2π होती है। इसलिए, हम वृत्त t के बिंदु को दो तरह से लिख सकते हैं: t या t + 2π। ये समतुल्य मूल्य हैं।
यानी टी = टी + 2π। अंतर केवल इतना है कि पहले मामले में आप बिना वृत्त बनाए तुरंत बिंदु M पर आ गए, और दूसरे मामले में आपने एक वृत्त बनाया, लेकिन उसी बिंदु M पर समाप्त हुआ। आप दो, तीन, और दो सौ ऐसे बना सकते हैं हलकों। . यदि हम अक्षरों द्वारा मंडलियों की संख्या को निरूपित करते हैं क, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है:
टी = टी + 2π क.

इसलिए सूत्र:

संख्या वृत्त समीकरण
(दूसरा समीकरण "साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटेंगेंट" खंड में है):

x2 + y2 = 1

संख्या चक्रएक इकाई वृत्त है जिसके बिंदु कुछ वास्तविक संख्याओं के अनुरूप होते हैं।

एक इकाई वृत्त त्रिज्या 1 का एक वृत्त है।

संख्या चक्र का सामान्य दृश्य।

1) इसकी त्रिज्या माप की इकाई के रूप में ली जाती है।

2) क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर व्यास संख्यात्मक वृत्त को चार तिमाहियों में विभाजित करते हैं। उन्हें क्रमशः प्रथम, द्वितीय, तृतीय और चतुर्थ चतुर्थांश कहा जाता है।

3) क्षैतिज व्यास एसी नामित है, जिसमें ए चरम है अधिकारबिंदु।
ऊर्ध्वाधर व्यास को BD नामित किया गया है, जिसमें B उच्चतम बिंदु है।
क्रमश:

पहला चौथाई चाप AB है

दूसरी तिमाही - चाप ईसा पूर्व

तीसरी तिमाही - आर्क सीडी

चौथी तिमाही - आर्क डीए

4) संख्यात्मक वृत्त का प्रारंभिक बिंदु बिंदु A है।

संख्या चक्र को या तो दक्षिणावर्त या वामावर्त गिना जा सकता है।

बिंदु A से गिनती बनामदक्षिणावर्त कहा जाता है सकारात्मक दिशा.

बिंदु A से गिनती परदक्षिणावर्त कहा जाता है नकारात्मक दिशा.

निर्देशांक तल पर संख्या वृत्त।

संख्यात्मक वृत्त की त्रिज्या का केंद्र मूल (संख्या 0) से मेल खाता है।

क्षैतिज व्यास अक्ष से मेल खाता है एक्स, लंबवत - कुल्हाड़ियों वाई.

प्रारंभिक बिंदु एक संख्या चक्रti अक्ष पर हैएक्सऔर निर्देशांक (1; 0) हैं।

संख्या वृत्त के मुख्य बिंदुओं के नाम और स्थान:

अंक वृत्त के नाम कैसे याद करें।

कुछ सरल पैटर्न हैं जो आपको संख्या वृत्त के मूल नामों को आसानी से याद रखने में मदद करेंगे।

शुरू करने से पहले, हम याद करते हैं: उलटी गिनती सकारात्मक दिशा में है, यानी बिंदु A (2π) से वामावर्त है।

1) आइए निर्देशांक अक्षों पर चरम बिंदुओं से शुरू करें।

प्रारंभिक बिंदु 2π है (अक्ष पर सबसे सही बिंदु एक्स 1 के बराबर)।

जैसा कि आप जानते हैं, 2π एक वृत्त की परिधि है। तो आधा वृत्त 1π या π है। एक्सिस एक्सवृत्त को आधे में विभाजित करता है। तदनुसार, अक्ष पर सबसे बाएँ बिंदु एक्स-1 के बराबर को π कहा जाता है।

अक्ष पर उच्चतम बिंदु पर, 1 के बराबर, ऊपरी अर्धवृत्त को समद्विभाजित करता है। इसलिए यदि अर्धवृत्त π है, तो अर्धवृत्त का आधा π/2 है।

वहीं, π/2 भी एक वृत्त का एक चौथाई है। हम पहले से तीसरे तक ऐसे तीन तिमाहियों की गिनती करते हैं - और हम धुरी पर सबसे निचले बिंदु पर आ जाएंगे पर-1 के बराबर। लेकिन अगर इसमें तीन तिमाहियों को शामिल किया जाता है, तो इसका नाम 3π/2 है।

2) अब चलते हैं बाकी बिंदुओं पर। कृपया ध्यान दें: सभी विपरीत बिंदुओं में एक ही भाजक होता है - इसके अलावा, ये विपरीत बिंदु हैं और अक्ष के सापेक्ष हैं पर, और अक्ष के केंद्र के सापेक्ष, और अक्ष के सापेक्ष एक्स. इससे हमें बिना रटते हुए उनके बिंदु मान जानने में मदद मिलेगी।

केवल पहली तिमाही के अंक के मूल्य को याद रखना जरूरी है: π / 6, π / 4 और π / 3। और फिर हम कुछ पैटर्न "देखेंगे":

- एक्सिस रिश्तेदार पर दूसरी तिमाही के बिंदुओं पर, पहली तिमाही के बिंदुओं के विपरीत, अंशों में संख्याएँ भाजक से 1 कम हैं। उदाहरण के लिए, बिंदु π/6 लें। अक्ष के बारे में विपरीत बिंदु परभाजक में भी 6 और अंश में 5 (1 कम) होता है। यानी इस बिंदु का नाम: 5π/6। π/4 के विपरीत बिंदु में हर में भी 4 है, और अंश में 3 (4 से कम 1) - यानी, यह बिंदु 3π/4 है।
π/3 के विपरीत बिंदु के हर में भी 3 है, और अंश में 1 कम है: 2π/3।

- समन्वय अक्षों के केंद्र के सापेक्षविपरीत सत्य है: विपरीत बिंदुओं (तीसरी तिमाही में) के अंशों में संख्याएं भाजक के मूल्यों से 1 अधिक हैं। बिंदु π/6 को फिर से लें। केंद्र के सापेक्ष इसके विपरीत बिंदु में भी भाजक में 6 है, और अंश में संख्या 1 अधिक है - अर्थात, यह 7π / 6 है।
बिंदु π/4 के विपरीत बिंदु में हर में भी 4 है, और अंश में संख्या 1 अधिक है: 5π/4।
बिंदु π/3 के विपरीत बिंदु के हर में भी 3 है, और अंश में संख्या 1 अधिक है: 4π/3।

- एक्सिस रिश्तेदार एक्स(चौथी तिमाही)मामला और कठिन है। यहां भाजक के मान में एक संख्या जोड़ना आवश्यक है जो 1 कम है - यह योग विपरीत बिंदु के अंश के संख्यात्मक भाग के बराबर होगा। आइए π/6 के साथ फिर से शुरू करें। आइए भाजक के मान में 6 के बराबर एक संख्या जोड़ते हैं जो इस संख्या से 1 कम है - अर्थात, 5. हमें मिलता है: 6 + 5 = 11. इसलिए, अक्ष के संबंध में इसके विपरीत एक्सबिंदु में भाजक में 6 और अंश में 11 होगा - अर्थात, 11π / 6।

बिंदु π/4. हम हर के मान में एक संख्या 1 घटाते हैं: 4 + 3 = 7. इसलिए, अक्ष के संबंध में इसके विपरीत एक्सबिंदु के हर में 4 और अंश में 7 है, यानी 7π/4।
बिंदु π/3. भाजक 3 है। हम 3 में एक कम संख्या जोड़ते हैं - अर्थात, 2. हमें 5 मिलता है। इसलिए, विपरीत बिंदु के अंश में 5 है - और यह बिंदु 5π / 3 है।

3) तिमाहियों के मध्यबिंदुओं के लिए एक और नियमितता। यह स्पष्ट है कि उनका भाजक 4 है। आइए अंशों पर ध्यान दें। पहली तिमाही के मध्य का अंश 1π है (लेकिन 1 लिखने की प्रथा नहीं है)। दूसरी तिमाही के मध्य का अंश 3π है। तीसरी तिमाही के मध्य का अंश 5π है। चौथी तिमाही के मध्य का अंश 7π है। यह पता चला है कि तिमाहियों के मध्य बिंदुओं के अंशों में आरोही क्रम में पहले चार विषम संख्याएँ हैं:
(1)π, 3π, 5π, 7π.
यह बहुत आसान भी है। चूंकि सभी तिमाहियों के मध्य में भाजक में 4 है, हम पहले से ही उनके पूर्ण नाम जानते हैं: π/4, 3π/4, 5π/4, 7π/4।

संख्या चक्र की विशेषताएं। एक संख्या रेखा के साथ तुलना।

जैसा कि आप जानते हैं, संख्या रेखा पर, प्रत्येक बिंदु एक संख्या से मेल खाता है। उदाहरण के लिए, यदि एक सीधी रेखा पर बिंदु A 3 के बराबर है, तो यह किसी अन्य संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

संख्या वृत्त पर यह भिन्न है क्योंकि यह वृत्त है। उदाहरण के लिए, वृत्त के बिंदु A से बिंदु M तक आने के लिए, आप इसे एक सीधी रेखा के रूप में कर सकते हैं (चाप को पार करने के बाद ही), या आप पूरे वृत्त के चारों ओर घूम सकते हैं, और फिर बिंदु M पर आ सकते हैं। निष्कर्ष:

माना बिंदु M किसी संख्या t के बराबर है। जैसा कि हम जानते हैं कि एक वृत्त की परिधि 2π होती है। इसलिए, हम वृत्त t के बिंदु को दो तरह से लिख सकते हैं: t या t + 2π। ये समतुल्य मूल्य हैं।
यानी टी = टी + 2π। अंतर केवल इतना है कि पहले मामले में आप बिना वृत्त बनाए तुरंत बिंदु M पर आ गए, और दूसरे मामले में आपने एक वृत्त बनाया, लेकिन उसी बिंदु M पर समाप्त हुआ। आप दो, तीन, और दो सौ ऐसे बना सकते हैं हलकों। . यदि हम अक्षरों द्वारा मंडलियों की संख्या को निरूपित करते हैं एन, हमें एक नई अभिव्यक्ति मिलती है:
टी = टी + 2π एन.

इसलिए सूत्र:

ग्रेड 10 में नंबर सर्कल के लिए बहुत समय दिया जाता है। यह गणित के संपूर्ण पाठ्यक्रम के लिए इस गणितीय वस्तु के महत्व के कारण है।

सामग्री के अच्छे आत्मसात के लिए शिक्षण सहायक सामग्री के सही चयन का बहुत महत्व है। इन उपकरणों में वीडियो ट्यूटोरियल सबसे प्रभावी हैं। पर हाल के समय मेंवे लोकप्रियता के शिखर पर पहुँच जाते हैं। इसलिए, लेखक वर्तमान से पीछे नहीं रहा और गणित के शिक्षकों की मदद के लिए इस तरह के एक अद्भुत मैनुअल को विकसित किया - "समन्वय तल पर संख्या चक्र" विषय पर एक वीडियो सबक।

यह पाठ 15:22 मिनट का है। यह व्यावहारिक रूप से अधिकतम समय है जो एक शिक्षक विषय पर सामग्री की स्वतंत्र व्याख्या पर खर्च कर सकता है। चूंकि नई सामग्री की व्याख्या करने में इतना समय लगता है, समेकन के लिए सबसे प्रभावी कार्यों और अभ्यासों का चयन करना आवश्यक है, साथ ही एक और पाठ पर प्रकाश डालें जहां छात्र इस विषय पर कार्यों को हल करेंगे।

पाठ एक समन्वय प्रणाली में एक संख्यात्मक वृत्त की छवि के साथ शुरू होता है। लेखक इस मंडली का निर्माण करता है और अपने कार्यों की व्याख्या करता है। फिर लेखक संख्यात्मक वृत्त के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्देशांक अक्षों के साथ नाम देता है। निम्नलिखित बताता है कि विभिन्न तिमाहियों में सर्कल के बिंदुओं का क्या समन्वय होगा।

उसके बाद, लेखक याद करता है कि वृत्त समीकरण कैसा दिखता है। और श्रोताओं का ध्यान सर्कल पर कुछ बिंदुओं की छवि के साथ दो लेआउट प्रस्तुत करता है। इसके कारण, अगले चरण में, लेखक दिखाता है कि सर्कल के निर्देशांक किस प्रकार संबंधित हैं निश्चित संख्याटेम्प्लेट पर चिह्नित। इसका परिणाम सर्कल समीकरण में चर x और y के मानों की तालिका में होता है।

इसके अलावा, एक उदाहरण पर विचार करने का प्रस्ताव है जहां सर्कल के बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करना आवश्यक है। उदाहरण को हल करना शुरू करने से पहले, कुछ टिप्पणी दी जाती है जो हल करने में मदद करती है। और फिर स्क्रीन पर एक पूर्ण, स्पष्ट रूप से संरचित और सचित्र समाधान दिखाई देता है। ऐसी तालिकाएँ भी हैं जो उदाहरण के सार को समझना आसान बनाती हैं।

फिर छह और उदाहरणों पर विचार किया जाता है, जो पहले की तुलना में कम समय लेने वाले हैं, लेकिन कम महत्वपूर्ण नहीं हैं और प्रतिबिंबित करते हैं मुख्य विचारसबक। यहाँ समाधान प्रस्तुत किए गए हैं पूरे में, एक विस्तृत कहानी और दृश्य तत्वों के साथ। अर्थात्, समाधान में समाधान के पाठ्यक्रम को दर्शाने वाले चित्र और एक गणितीय अंकन शामिल है जो छात्रों की गणितीय साक्षरता बनाता है।

शिक्षक खुद को उन उदाहरणों तक सीमित कर सकता है जिन्हें पाठ में माना जाता है, लेकिन यह सामग्री के गुणात्मक आत्मसात करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता है। इसलिए, समेकित करने के लिए कार्यों को चुनना अत्यंत महत्वपूर्ण है।

पाठ न केवल उन शिक्षकों के लिए उपयोगी हो सकता है, जिनका समय लगातार सीमित होता है, बल्कि छात्रों के लिए भी उपयोगी हो सकता है। खासकर उन लोगों के लिए जो पारिवारिक शिक्षा प्राप्त करते हैं या स्व-शिक्षा में लगे हुए हैं। सामग्री का उपयोग उन छात्रों द्वारा किया जा सकता है जो इस विषय पर पाठ से चूक गए हैं।

पाठ व्याख्या:

हमारे पाठ का विषय है "निर्देशांक तल पर संख्यात्मक वृत्त"

हम पहले से ही कार्तीय आयताकार निर्देशांक प्रणाली xOy (x o y) से परिचित हैं। इस समन्वय प्रणाली में, हम संख्या वृत्त को व्यवस्थित करेंगे ताकि वृत्त का केंद्र मूल के साथ संरेखित हो, और इसकी त्रिज्या को स्केल सेगमेंट के रूप में लिया जाएगा।

संख्यात्मक वृत्त का प्रारंभिक बिंदु A निर्देशांक (1; 0), B - बिंदु (0; 1), C - (-1; 0) (शून्य से एक, शून्य), और D के साथ बिंदु के साथ संरेखित है। - साथ (0; - 1) (शून्य, ऋण एक)।

(तस्वीर 1 देखें)

चूँकि संख्यात्मक वृत्त के प्रत्येक बिंदु का xOy सिस्टम (x के बारे में y) में अपना निर्देशांक होता है, तो पहली तिमाही के बिंदुओं के लिए ikx शून्य से अधिक होता है और y शून्य से अधिक होता है;

दूसरी तिमाही इच शून्य से कमऔर y शून्य से बड़ा है,

तीसरी तिमाही के बिंदुओं के लिए, उह शून्य से कम है और y शून्य से कम है,

और चौथी तिमाही के लिए, uh शून्य से बड़ा है और y शून्य से कम है

संख्यात्मक वृत्त के किसी भी बिंदु E (x; y) (निर्देशांक x, y के साथ) के लिए, असमानताएं -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x ऋण एक से अधिक या बराबर है, लेकिन इससे कम है या एक के बराबर; y माइनस वन से बड़ा या बराबर है, लेकिन एक से कम या बराबर है)।

याद रखें कि मूल बिंदु पर केंद्रित त्रिज्या R के एक वृत्त के लिए समीकरण x 2 + y 2 = R 2 (x वर्ग जोड़ y वर्ग बराबर er वर्ग) है। और यूनिट सर्कल R \u003d 1 के लिए, इसलिए हमें x 2 + y 2 \u003d 1 मिलता है

(x वर्ग जोड़ y वर्ग बराबर एक)।

आइए संख्यात्मक वृत्त के बिंदुओं के निर्देशांक खोजें, जो दो लेआउट पर प्रस्तुत किए गए हैं (चित्र 2, 3 देखें)।

चलो बिंदु ई, जो से मेल खाती है

(पाई बाय फोर) - चित्र में दर्शाई गई पहली तिमाही के मध्य में। बिंदु E से हम लंब EK को रेखा OA पर गिराते हैं और त्रिभुज OEK पर विचार करते हैं। कोण AOE =45 0 , चूँकि चाप AE चाप AB का आधा है। इसलिए, त्रिभुज OEK एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज है, जिसमें OK = EK है। इसलिए, बिंदु E का भुज और कोटि बराबर हैं, अर्थात x, y के बराबर है। बिंदु E के निर्देशांक ज्ञात करने के लिए, हम समीकरणों की प्रणाली को हल करते हैं: (x बराबर y - प्रणाली का पहला समीकरण और x वर्ग जोड़ y वर्ग एक के बराबर है - प्रणाली का दूसरा समीकरण)। दूसरे में सिस्टम का समीकरण, x के बजाय, हम y को प्रतिस्थापित करते हैं, हमें 2y 2 \u003d 1 (दो y वर्ग एक के बराबर) मिलता है, जहाँ से y \u003d (y = एक दो की जड़ से विभाजित दो विभाजित की जड़ के बराबर है दो से) (कोटि धनात्मक है)। इसका अर्थ है कि आयताकार निर्देशांक प्रणाली में बिंदु E के निर्देशांक (,) हैं (दो का मूल दो से विभाजित, दो का मूल दो से विभाजित)।

इसी तरह तर्क करते हुए, हम पहले लेआउट के अन्य नंबरों के अनुरूप बिंदुओं के लिए निर्देशांक ढूंढते हैं और प्राप्त करते हैं: निर्देशांक के साथ एक बिंदु से मेल खाता है (- ,) (दो से विभाजित दो की जड़, दो से विभाजित दो की जड़); के लिए - (-,-) (शून्य से दो की जड़ दो से विभाजित, शून्य से दो की जड़ दो से विभाजित); के लिए (सात पाई गुणा चार) (,) (दो का मूल दो से विभाजित, दो का वर्गमूल दो से विभाजित)।

बिंदु D को (चित्र 5) के अनुरूप होने दें। आइए हम DP(de pe) से OA पर लंब छोड़ दें और त्रिभुज ODP पर विचार करें। इस त्रिभुज OD का कर्ण इकाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर है, अर्थात एक, और कोण DOP तीस डिग्री के बराबर है, क्योंकि चाप AD \u003d डिजी AB (a de, a के एक तिहाई के बराबर है ), और चाप AB नब्बे डिग्री है। इसलिए, डीपी \u003d (डी पे एक सेकंड के बराबर है ओ डी एक सेकंड के बराबर है) चूंकि तीस डिग्री के कोण के विपरीत पैर कर्ण के आधे के बराबर है, अर्थात, y \u003d (y एक सेकंड के बराबर है ). पायथागॉरियन प्रमेय को लागू करते हुए, हमें OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe वर्ग बराबर o de वर्ग माइनस de pe वर्ग) मिलता है, लेकिन OR \u003d x (o pe बराबर x होता है)। तो एक्स 2 \u003d ओडी 2 - डीपी 2 \u003d

इसलिए x 2 \u003d (x वर्ग बराबर तीन चौथाई) और x \u003d (x तीन बटा दो की जड़ के बराबर है)।

एक्स सकारात्मक है, क्योंकि पहली तिमाही में है। हमें वह बिंदु डी एक आयताकार समन्वय प्रणाली में मिला है जिसमें निर्देशांक (,) तीन की जड़ को दो, एक सेकंड से विभाजित किया गया है।

इसी तरह से तर्क करते हुए, हम दूसरे लेआउट की अन्य संख्याओं के अनुरूप बिंदुओं के लिए निर्देशांक ढूंढते हैं और तालिकाओं में प्राप्त सभी डेटा लिखते हैं:

उदाहरणों पर विचार करें।

उदाहरण 1। संख्यात्मक वृत्त के बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए: a) C 1 ();

बी) सी 2 (); सी) सी 3 (41π); डी) सी 4 (- 26π)। (एक को पैंतीस पाई से चार गुणा, त्से दो को घटाकर उनतालीस पाई से तीन, त्से तीन को इकतालीस पाई से संबंधित, त्से चार को घटाकर छब्बीस पाई से संबंधित)।

फेसला। आइए पहले प्राप्त कथन का उपयोग करें: यदि संख्यात्मक वृत्त का बिंदु D संख्या t से मेल खाता है, तो यह किसी भी संख्या के रूप t + 2πk(te प्लस दो चोटियों) से मेल खाता है, जहाँ ka कोई पूर्णांक है, अर्थात kϵZ (ka zet से संबंधित है)।

ए) हमें = π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4 मिलता है। पाई तीन पाई गुणा चार के बराबर है और दो पाई गुणा चार का गुणनफल है। इसका मतलब यह है कि संख्या पैंतीस पाई गुणा चार संख्यात्मक सर्कल पर उसी बिंदु से मेल खाती है जो संख्या तीन पाई गुणा चार है। तालिका 1 का उपयोग करके, हम С 1 () = С 1 (-;) प्राप्त करते हैं।

बी) इसी तरह, निर्देशांक सी 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8)। इसलिए, संख्या

संख्या वृत्त के उसी बिंदु से मेल खाती है जिस पर संख्या होती है। और संख्या संख्या चक्र पर संख्या के समान बिंदु से मेल खाती है

(दूसरा लेआउट और तालिका 2 दिखाएं)। एक बिंदु के लिए हमारे पास x = , y = है।

ग) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20। इसलिए, संख्या 41π संख्या π के संख्यात्मक सर्कल के समान बिंदु से मेल खाती है - यह निर्देशांक (-1; 0) के साथ एक बिंदु है।

डी) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), यानी, संख्या - 26π संख्यात्मक सर्कल के उसी बिंदु से मेल खाती है जो संख्या शून्य है, यह निर्देशांक (1; 0) के साथ बिंदु है।

उदाहरण 2। ऑर्डिनेट y \u003d के साथ संख्या वृत्त पर बिंदु खोजें

फेसला। रेखा y = संख्या वृत्त को दो बिंदुओं पर काटती है। एक बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, दूसरा बिंदु एक संख्या से मेल खाता है,

इसलिए, सभी बिंदुओं को पूर्ण मोड़ 2πk जोड़कर प्राप्त किया जाता है जहां k कितना दिखाता है पूर्ण क्रांतियाँएक बिंदु बनाता है, अर्थात् हम पाते हैं

और किसी भी संख्या के लिए सभी संख्याएँ + 2πk के रूप में होती हैं। अक्सर ऐसे मामलों में वे कहते हैं कि उन्हें मानों की दो श्रृंखलाएँ प्राप्त हुई हैं: + 2πk, + 2πk।

उदाहरण 3। भुज x = के साथ संख्या वृत्त पर बिंदु खोजें और लिखें कि वे किन संख्याओं के अनुरूप हैं।

फेसला। सीधा एक्स= संख्या वृत्त को दो बिन्दुओं पर काटती है। एक बिंदु एक संख्या से मेल खाता है (दूसरा लेआउट देखें),

और इसलिए फॉर्म की कोई भी संख्या + 2πk। और दूसरा बिंदु एक संख्या से मेल खाता है, और इसलिए किसी भी संख्या के रूप में + 2πk। मूल्यों की इन दो श्रृंखलाओं को एक प्रविष्टि में शामिल किया जा सकता है: ± + 2πk (प्लस माइनस टू पाई बाय थ्री प्लस टू पाई)।

उदाहरण 4. संख्या वृत्त पर एक कोटि वाले बिंदु ज्ञात कीजिए पर> और लिखें कि वे किन संख्याओं के अनुरूप हैं।

रेखा y \u003d दो बिंदुओं M और P पर संख्या वृत्त को काटती है। और असमानता y\u003e खुले चाप MP के बिंदुओं से मेल खाती है, इसका मतलब है कि बिना सिरों के चाप (अर्थात, बिना और), जब चक्र के चारों ओर घूमते हैं वामावर्त, बिंदु M से शुरू होकर बिंदु P पर समाप्त होता है। इसलिए, चाप MP के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व का मूल असमानता है< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

उदाहरण 5। किसी संख्या वृत्त पर कोटि वाले बिंदु ज्ञात कीजिए पर < и записать, каким числам t они соответствуют.

रेखा y \u003d संख्या चक्र को दो बिंदु M और P पर काटती है। और असमानता y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид

2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).

उदाहरण 6. संख्या वृत्त पर भुज वाले बिंदु खोजें एक्स> और लिखें कि वे किन संख्याओं के अनुरूप हैं।

सीधी रेखा x = दो बिंदुओं M और P पर संख्यात्मक वृत्त को काटती है। असमानता x > खुली चाप PM के बिंदुओं से मेल खाती है जब सर्कल के साथ वामावर्त बिंदु P पर शुरुआत के साथ चलती है, जो मेल खाती है, और अंत में बिंदु एम, जो मेल खाता है। इसलिए, चाप पीएम के लिए विश्लेषणात्मक संकेतन का मूल असमानता है< t <

(टी शून्य से दो पाई से तीन बटा है, लेकिन दो पाई से तीन से कम है), और चाप के विश्लेषणात्मक अंकन का रूप + 2πk है< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).

उदाहरण 7. संख्या वृत्त पर भुज वाले बिंदु खोजें एक्स < и записать, каким числам t они соответствуют.

रेखा x = संख्या वृत्त को दो बिंदुओं M और P पर काटती है। असमानता x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <

(ते दो पाई बटा तीन से अधिक है, लेकिन चार पाई बटा तीन से कम है), और चाप के विश्लेषणात्मक अंकन का रूप + 2πk है< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).