Տարածման մեթոդ- սա համընդհանուր միջոցլուծումներ գրեթե ցանկացած անհավասարության համար, դպրոցական դասընթացհանրահաշիվ Այն հիմնված է գործառույթների հետևյալ հատկությունների վրա.

1. Շարունակական ֆունկցիան g (x) կարող է փոխել նշանը միայն այն կետում, որտեղ այն հավասար է 0. Գրաֆիկորեն դա նշանակում է, որ շարունակական ֆունկցիայի գրաֆիկը կարող է մի կիս հարթությունից մյուսը անցնել միայն այն դեպքում, եթե այն անցնում է աբսցիսան առանցք (մենք հիշում ենք, որ OX առանցքի վրա ընկած ցանկացած կետի օրդինատիան (աբսցիսայի առանցք) զրո է, այսինքն ՝ այս պահին գործառույթի արժեքը 0 է).

Մենք տեսնում ենք, որ գրաֆիկի վրա պատկերված y = g (x) գործառույթը հատում է OX առանցքը x = -8, x = -2, x = 4, x = 8 կետերում: Այս կետերը կոչվում են գործառական զրոներ: Եվ նույն կետերում g (x) ֆունկցիան փոխում է նշանը:

2. Ֆունկցիան կարող է նաև փոխել նշանի զրոների նշանը. ամենապարզ օրինակըհայտնի գործառույթ.

Մենք տեսնում ենք, որ գործառույթը փոխում է նշանը հայտարարի արմատում ՝ մի կետում, բայց չի անհետանում որևէ կետում: Այսպիսով, եթե գործառույթը պարունակում է կոտորակ, ապա այն կարող է փոխել նշանը հայտարարի արմատներում:

2. Այնուամենայնիվ, գործառույթը միշտ չէ, որ փոխում է նշանը համարիչի կամ հայտարարի արմատում: Օրինակ, y = x 2 գործառույթը չի փոխում նշանը x = 0 կետում.

Որովհետեւ x 2 = 0 հավասարումն ունի երկու հավասար արմատներ x = 0, x = 0 կետում ֆունկցիան, կարծես թե, երկու անգամ դառնում է 0: Նման արմատը կոչվում է երկրորդ բազմակիության արմատ:

Գործառույթը նշանը փոխում է համարիչի զրոյի վրա, բայց չի փոխում նշանը հայտարարի զրոյի վրա. քանի որ արմատը երկրորդ բազմության արմատն է, այսինքն ՝ նույնիսկ բազմապատկությունը.

Կարևոր! Նույնիսկ բազմազանության արմատներում գործառույթը չի փոխում նշանը:

Նշում! Անկացած ոչ գծայինդպրոցական հանրահաշվի դասընթացի անհավասարությունը, որպես կանոն, լուծվում է ընդմիջումների մեթոդով:

Ես առաջարկում եմ ձեզ մանրամասն, որից հետո կարող եք խուսափել սխալներից, երբ ոչ գծային անհավասարությունների լուծում.

1. Նախ, անհրաժեշտ է անհավասարությունը հասցնել ձեւի

P (x) V0,

որտեղ V- ը անհավասարության նշան է.<,>, ≤ կամ ≥. Սա պահանջում է.

ա) բոլոր պայմանները փոխանցել անհավասարության ձախ կողմին,

բ) գտնել ստացված արտահայտության արմատները,

գ) գործոն դարձնել անհավասարության ձախ կողմը

դ) գրել նույն գործոնները որպես ուժ:

Ուշադրություն.Վերջին գործողությունը պետք է արվի, որպեսզի չսխալվեն արմատների բազմազանության հետ, եթե արդյունքը գործոն է նույնիսկ աստիճան, ինչը նշանակում է, որ համապատասխան արմատն ունի նույնիսկ բազմազանություն:

2. Թվային առանցքի վրա դնել գտնված արմատները:

3. Եթե անհավասարությունը խիստ է, ապա թվային առանցքի վրա արմատներ նշող շրջանակները մնում են «դատարկ», եթե անհավասարությունը խիստ չէ, ապա լրացնում ենք շրջանակները:

4. Ընտրեք նույնիսկ բազմազանության արմատները `դրանցում P (x)նշանը չի փոխվում:

5. Որոշեք նշանը P (x)աջ միջակայքում: Դա անելու համար մենք վերցնում ենք կամայական x 0 արժեքը, որն ավելի մեծ է, քան մեծ արմատը և փոխարինում դրան P (x).

Եթե ​​P (x 0)> 0 (կամ ≥0), ապա աջ միջակայքում մենք դնում ենք «+» նշանը:

Եթե ​​P (x 0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Նույնիսկ բազմազանության արմատ նշող կետից անցնելիս նշանը ՉԻ ՓՈՓՈԽՎՈՄ:

7. Մեկ անգամ ևս մենք նայում ենք սկզբնական անհավասարության նշանին և ընտրում մեզ անհրաժեշտ նշանի միջակայքերը:

8. Ուշադրություն. Եթե ​​մեր անհավասարությունը ՉԻ ԽՍՏԱ, ապա հավասարության հավասարության պայմանը ստուգվում է առանձին:

9. Մենք գրում ենք պատասխանը:

Եթե ​​բնօրինակը անհավասարությունը պարունակում է անհայտը հայտարարի մեջ, ապա մենք նաև բոլոր տերմինները տեղափոխում ենք ձախ, և անհավասարության ձախ կողմը իջեցնում ենք ձևի

(որտեղ V- ը անհավասարության նշան է.< или >)

Այս տեսակի խիստ անհավասարությունը համարժեք է անհավասարությանը

Ոչ խիստձևի անհավասարություն

համարժեք է համակարգը:

Գործնականում, եթե գործառույթը ունի ձև, ապա մենք գործում ենք հետևյալ կերպ.

1. Գտեք համարիչի և հայտարարի արմատները:
2. Մենք դրանք դնում ենք առանցքի վրա: Թողեք բոլոր շրջանակները դատարկ: Այնուհետև, եթե անհավասարությունը խիստ չէ, ապա նկարեք համարիչի արմատների վրա և միշտ թողեք հայտարարի արմատները դատարկ:
3. Հաջորդը, մենք հետևում ենք ընդհանուր ալգորիթմին.
4. Ընտրեք նույնիսկ բազմապատկման արմատները (եթե համարիչը և հայտարարը պարունակում են նույն արմատները, ապա մենք հաշվում ենք, թե քանի անգամ են նույն արմատները հայտնվում): Նույնիսկ բազմազանության արմատներում նշանը չի փոխվում:
5. Մենք գտնում ենք նշանը աջ միջակայքում:
6. Մենք տեղադրում ենք նշաններ:
7. Ոչ սահմանափակ անհավասարության դեպքում հավասարության պայմանը, հավասարության զրոյի պայմանը ստուգվում է առանձին:
8. Ընտրեք անհրաժեշտ բացերը և անջատված արմատները:
9. Մենք գրում ենք պատասխանը:

Ավելի լավ հասկանալու համար ընդմիջումների մեթոդով անհավասարությունները լուծելու ալգորիթմ, դիտեք ՏԵՍԱՆՅՈԹՅԱՆ ձեռնարկը, որը մանրամասնորեն մտնում է օրինակի վրա անհավասարության լուծում ընդմիջումների մեթոդով.

Տարածման մեթոդ Հատուկ ալգորիթմ է, որը նախատեսված է f (x)> 0. ձևի բարդ անհավասարությունների լուծման համար: Ալգորիթմը բաղկացած է 5 քայլից.

1. Լուծիր f (x) = 0. հավասարումը, հետևաբար, անհավասարության փոխարեն, մենք ստանում ենք մի հավասարում, որը լուծելը շատ ավելի հեշտ է.
2. Ստացված բոլոր արմատները նշեք կոորդինատային գծի վրա: Այսպիսով, գիծը բաժանված է մի քանի ընդմիջումների;
3. Գտեք արմատների բազմազանությունը: Եթե ​​արմատները նույնիսկ բազմազանության են, ապա արմատից վերև մի օղակ քաշեք: (Արմատը համարվում է բազմապատիկ, եթե գոյություն ունեն զույգ նույնական լուծումներ)
4. Գտեք f (x) ֆունկցիայի նշանը (գումարած կամ մինուս) աջ միջակայքում: Դա անելու համար բավական է f (x) - ում փոխարինել ցանկացած թիվ, որը կլինի բոլոր նշված արմատներից աջ;
5. Նշանները նշեք մնացած ընդմիջումներին ՝ դրանք փոխարինելով:

Դրանից հետո մնում է միայն գրել մեզ հետաքրքրող ընդմիջումները: Դրանք նշվում են «+» նշանով, եթե անհավասարությունն ուներ f (x)> 0 ձև, կամ «-» նշան, եթե անհավասարությունն ունի f (x) ձև< 0.

Ոչ սահմանափակ անհավասարությունների դեպքում (≤, ≥) անհրաժեշտ է ընդմիջումներում ներառել այն կետերը, որոնք հանդիսանում են f (x) = 0 հավասարման լուծում;

Օրինակ 1:

Լուծել անհավասարությունը.

(x - 2) (x + 7)< 0

Մենք աշխատում ենք ըստ ընդմիջումների մեթոդի:

Քայլ 1: անհավասարությունը փոխարինեք հավասարմամբ և լուծեք այն.

(x - 2) (x + 7) = 0

Արտադրանքը զրո է, եթե և միայն այն դեպքում, երբ գործոններից առնվազն մեկը զրո է.

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Մենք երկու արմատ ունենք:

Քայլ 2: մենք նշում ենք այս արմատները կոորդինատային գծի վրա: Մենք ունենք:

Քայլ 3: ֆունկցիայի նշանը գտնում ենք ամենաաջին ընդմիջման վրա (նշված կետի աջից = x = 2): Դա անելու համար հարկավոր է վերցնել ցանկացած համար, որը ավելի շատ թվեր x = 2. Օրինակ, վերցրեք x = 3 (բայց ոչ ոք չի արգելում վերցնել x = 4, x = 10 և նույնիսկ x = 10,000):

f (x) = (x - 2) (x + 7)

f (3) = (3 - 2) (3 + 7) = 1 * 10 = 10

Մենք ստանում ենք, որ f (3) = 10> 0 (10 -ը դրական թիվ է), այնպես որ մենք ամենաբարձր միջակայքում դնում ենք գումարած նշանը:

Քայլ 4: պետք է նշվեն մնացած ընդմիջումների նշանները: Հիշեք, որ յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս նշանը պետք է փոխվի: Օրինակ, x = 2 արմատի աջ կողմում կա գումարած (մենք դրանում համոզվեցինք նախորդ քայլին), այնպես որ ձախում պետք է լինի մինուս: Այս մինուսը տարածվում է ամբողջ միջակայքի վրա (−7; 2), ուստի կա մինուս ՝ արմատից աջ = x −7: Հետեւաբար, x = −7 արմատից ձախ կա գումարած: Մնում է այս նշանները նշել կոորդինատային առանցքի վրա:

Վերադառնանք սկզբնական անհավասարությանը, որը նման էր.

(x - 2) (x + 7)< 0

Այսպիսով, գործառույթը պետք է լինի զրոյից պակաս... Հետևաբար, մեզ հետաքրքրում է մինուս նշանը, որը հայտնվում է միայն մեկ ընդմիջումով: (−7; 2): Սա կլինի պատասխանը:

Օրինակ 2:

Լուծել անհավասարությունը.

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) 0

Լուծում.

Նախ, անհրաժեշտ է գտնել հավասարման արմատները

(9x 2 - 6x + 1) (x - 2) = 0

Եկեք ծալենք առաջին փակագիծը, մենք ստանում ենք.

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Այս հավասարումները լուծելով ՝ մենք ստանում ենք.

Եկեք թվեր գծի վրա գծենք կետեր.

Որովհետեւ x 2 և x 3 բազմակի արմատներ են, ապա ուղիղ գծի վրա և դրա վերևում կլինի մեկ կետ » մի հանգույց”.

Վերցրեք ձախից ցածր ցանկացած թիվ և այն փոխարինեք սկզբնական անհավասարությամբ: Վերցնենք -1 թիվը:

Մի մոռացեք ներառել հավասարման լուծումը (գտնված X), քանի որ մեր անհավասարությունը խիստ չէ:

Պատասխան. () U ∪ (3) ∪ (միջակայքում (−6, 4) նշանը որոշված ​​չէ, քանի որ այն ֆունկցիայի տիրույթի մաս չէ): Դա անելու համար յուրաքանչյուր միջակայքից վերցրեք մեկ միավոր, օրինակ ՝ 16, 8, 6 և −8, և հաշվարկեք դրանցում f գործառույթի արժեքը.

Եթե ​​ունեք որևէ հարց, թե ինչպես է պարզվել, թե որոնք են ֆունկցիայի հաշվարկված արժեքները ՝ դրական կամ բացասական, ապա ուսումնասիրեք հոդվածը թվերի համեմատություն.

Մենք տեղադրում ենք հենց սահմանված նշանները և ստվերում ենք բացերի վրա `մինուս նշանով.

Ի պատասխան ՝ մենք գրում ենք a - նշանի հետ երկու ընդմիջումների միությունը, ունենք (−∞, −6] ∪ (7, 12): Նկատի ունեցեք, որ −6 -ը ներառված է պատասխանի մեջ (համապատասխան կետը պինդ է, ոչ ծակված) ). ոչ թե ֆունկցիայի զրո (որը, խիստ անհավասարություն լուծելիս, մենք չէինք ներառի պատասխանի մեջ), այլ սահմանման տիրույթի սահմանային կետը (այն գունավոր է, ոչ թե սև) ՝ տիրույթ մտնելիս: Այս պահին գործառույթի արժեքը բացասական է (ինչպես վկայում է համապատասխան միջակայքի մինուս նշանը), այսինքն ՝ բավարարում է անհավասարությունը, բայց 4 -ը պատասխանի մեջ ներառելու կարիք չունի (ինչպես ամբողջ միջակայքը ∪ (7, 12):

Մատենագիտություն.

1. Հանրահաշիվ: 9 -րդ դասարան. Դասագիրք: ընդհանուր կրթության համար: հաստատություններ / [Յու. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; խմբ. Ս. Ա. Տելյակովսկի: - 16 -րդ հր. - Մ .: Կրթություն, 2009:- 271 էջ : հիվանդ -ISBN 978-5-09-021134-5:
2. Մ. ՄորդկովիչՀանրահաշիվ: 9 -րդ դասարան: Pmամը 14 -ին Մաս 1. Դասագիրք ուսումնական հաստատությունների ուսանողների համար / Ա. Գ. Մորդկովիչ, Պ. Վ. Սեմենով: - 13 -րդ հրատ., Rasնջված: - Մ. ՝ Մնեմոսինա, 2011:- 222 էջ. ISBN 978-5-346-01752-3:
3. Հանրահաշիվեւ վերլուծության սկիզբը ՝ Դասագիրք: 10-11 կլ. ընդհանուր կրթություն: հաստատություններ / Ա. Ն. Կոլմոգորով, Ա. Մ. Աբրամով, Յու. Պ. Դուդնիցին և ուրիշներ; Էդ. Ա. Կ. Կոլմոգորով. - 14 -րդ հրատ. - Մ.. Կրթություն, 2004. - 384 էջ. Հիվանդ. - ISBN 5-09-013651-3:
4. L. D. KudryavtsevՄաթեմատիկական վերլուծության դասընթաց (երկու հատորով). Դասագիրք համալսարանների և տեխնիկական քոլեջների ուսանողների համար: - Մ .: Ավելի բարձր: դպրոց, 1981, թ. 1. - 687 էջ, հիվանդ:

Առաջին մակարդակ

Ընդմիջումների մեթոդը: Համապարփակ ուղեցույց (2019)

Դուք պարզապես պետք է հասկանաք այս մեթոդը և իմանաք այն ձեր ձեռքի հետևի պես: Եթե ​​միայն այն պատճառով, որ այն օգտագործվում է ռացիոնալ անհավասարությունները լուծելու համար, և քանի որ, լավ իմանալով այս մեթոդը, զարմանալիորեն հեշտ է լուծել այդ անհավասարությունները: Քիչ անց ես ձեզ կբացահայտեմ մի քանի գաղտնիք, թե ինչպես կարելի է ժամանակ խնայել այդ անհավասարությունների լուծման վրա: Դե, հետաքրքիր է: Եկեք գնանք, ուրեմն:

Մեթոդի էությունը գործոնների մեջ անհավասարությունը հաշվի առնելն է (կրկնել թեման) և որոշել ODV- ն և գործոնների նշանը, այժմ ես ամեն ինչ կբացատրեմ: Վերցնենք ամենապարզ օրինակը.

Այստեղ թույլատրելի արժեքների տիրույթը () գրելու կարիք չկա, քանի որ փոփոխականի վրա բաժանում չկա, և այստեղ արմատներ (արմատներ) չեն նկատվում: Մեզ համար այստեղ ամեն ինչ արդեն վերածվում է գործոնների: Բայց մի՛ հանգստացեք, այս ամենը հիմքերը հիշեցնելու և էությունը հասկանալու համար է:

Ենթադրենք, դուք չգիտեք ընդմիջումների մեթոդը, ինչպե՞ս կլուծեիք այս անհավասարությունը: Մոտեցեք տրամաբանորեն և ապավինեք այն, ինչ արդեն գիտեք: Նախ, ձախ կողմը զրոյից մեծ կլինի, եթե փակագծերում երկու արտահայտությունները կամ զրոյից մեծ են, կամ զրոյից փոքր, քանի որ Գումարած գումարածին հավասար է գումարածին և մինուսից հանած հավասար է գումարածին, այնպես չէ՞: Եվ եթե փակագծերում արտահայտությունների նշանները տարբեր են, ապա արդյունքում ձախ կողմը զրոյից փոքր կլինի: Բայց ի՞նչ է մեզ պետք պարզելու այն արժեքները, որոնցում փակագծերում արտահայտությունները բացասական կամ դրական կլինեն:

Մենք պետք է լուծենք հավասարումը, դա նույնն է, ինչ անհավասարությունը, միայն նշանի փոխարեն նշան կլինի, այս հավասարման արմատները թույլ կտան որոշել այն սահմանային արժեքները, որոնցից շեղվելիս գործոնները ավելի մեծ կլինեն կամ զրոյից պակաս:

Եվ հիմա ընդմիջումներն իրենք են: Ի՞նչ է տարածությունը: Սա թվային տողի որոշակի ընդմիջում է, այսինքն `բոլոր հնարավոր թվերը, որոնք փակված են երկու որոշ թվերի միջև` միջակայքի ծայրերը: Ձեր գլխում այդ բացերը պատկերացնելն այնքան էլ հեշտ չէ, այնպես որ ընդունված է ընդմիջումներ նկարել, հիմա ես կսովորեցնեմ:

Մենք գծում ենք առանցք, որի վրա ամբողջ թվային շարքը գտնվում է և դեպի: Կետերը գծված են առանցքի վրա, ֆունկցիայի հենց այսպես կոչված զրոներ, այն արժեքները, որոնցով արտահայտությունը հավասար է զրոյի: Այս կետերը «դուրս են հանվում», ինչը նշանակում է, որ դրանք այն արժեքներից չեն, որոնց դեպքում անհավասարությունը ճշմարիտ է: Այս դեպքում դրանք դուրս են բերվում: նշանը անհավասարության մեջ և ոչ, այսինքն ՝ խիստ ավելի մեծ և ոչ մեծ կամ հավասար:

Ես ուզում եմ ասել, որ անհրաժեշտ չէ զրո նշել, այն այստեղ առանց շրջանակների է, և այսպես, առանցքի երկայնքով հասկանալու և կողմնորոշվելու համար: Լավ, առանցքը գծվեց, կետերը (ավելի ճիշտ ՝ շրջանակներ) դրվեցին, հետո ի՞նչ, ինչո՞վ սա ինձ կօգնի լուծման մեջ: - հարցնում ես: Այժմ պարզապես վերցրեք x- ի արժեքը ընդմիջումներից ըստ հերթականության և դրանք փոխարինեք ձեր անհավասարության մեջ և տեսեք, թե ինչ նշան կլինի բազմապատկման արդյունքում:

Մի խոսքով, մենք պարզապես օրինակ ենք վերցնում, փոխարինում այստեղ, կստացվի, ինչը նշանակում է, որ ամբողջ միջակայքում (ամբողջ միջակայքում) մինչև, որից վերցրել ենք, անհավասարությունը ճշմարիտ կլինի: Այլ կերպ ասած, եթե x- ը to- ից է, ապա անհավասարությունը ճշմարիտ է:

Մենք նույնն ենք անում մինչև, վերցնել կամ, օրինակ, փոխարինել միջակայքով, որոշել նշանը, նշանը կլինի «մինուս»: Եվ մենք նույնն ենք անում վերջին ՝ երրորդ միջակայքով մինչև, որտեղ նշանը կլինի «գումարած»: Տեքստերի նման փունջ դուրս եկավ, բայց հստակությունը փոքր է, այնպես չէ՞:

Մեկ այլ հայացք գցեք անհավասարության վրա:

Այժմ, նույն առանցքի վրա, մենք կիրառում ենք նաև այն նշանները, որոնք ձեռք կբերվեն արդյունքում: Exampleեղքված գիծը, իմ օրինակում, նշանակում է առանցքի դրական և բացասական մասերը:

Նայեք անհավասարությանը `գծապատկերին, կրկին անհավասարությանը, և կրկին գծանկարին, պարզ բան կա՞ Այժմ փորձեք ասել, թե x- ի ո՞ր ընդմիջումներով, անհավասարությունը ճիշտ կլինի: That'sիշտ է, դեպի -ից, անհավասարությունը ճշմարիտ կլինի դեպի -ից, իսկ ընդմիջումից մինչև, զրոյի անհավասարությունը մեզ համար քիչ հետաքրքրություն է ներկայացնում, քանի որ մենք անհավասարության նշան ունենք:

Դե, քանի որ դուք դա պարզեցիք, ուրեմն հեշտ է. Գրեք պատասխանը: Ի պատասխան ՝ մենք գրում ենք այն ընդմիջումները, որոնցում ձախ կողմը զրոյից մեծ է, որը կարդալիս x- ը պատկանում է մինուս անվերջությունից մինչև մինուս մեկ և երկուսից գումարած անսահմանության միջակայքին: Արժե հստակեցնել, որ փակագծերը նշանակում են, որ այն արժեքները, որոնք սահմանափակում են միջակայքը, անհավասարության լուծումներ չեն, այսինքն ՝ դրանք ներառված չեն պատասխանի մեջ, այլ միայն ասում են, որ նախկինում, օրինակ, բայց լուծում չէ:

Այժմ օրինակ, որում դուք պետք է նկարեք ոչ միայն ընդմիջումը.

Ձեր կարծիքով, ի՞նչ պետք է անել նախքան առանցքի վրա կետեր գծելը: Այո, գործոնավորեք.

Մենք գծում ենք ընդմիջումներ և տեղադրում նշաններ, նկատում ենք մեր ծակած կետերը, քանի որ նշանը խիստ զրոյից փոքր է.

It'sամանակն է ձեզ բացել մեկ գաղտնիք, որը ես խոստացել էի այս թեմայի սկզբում: Իսկ ինչ կլինի, եթե ես ձեզ ասեմ, որ նշանը որոշելու համար դուք չեք կարող փոխարինել արժեքները յուրաքանչյուր միջակայքից, այլ կարող եք նշանը որոշել ընդմիջումներից մեկում, իսկ մնացածում պարզապես փոխարինել նշանները:

Այսպիսով, մենք մի փոքր ժամանակ խնայեցինք նշաններ դնելու վրա. Կարծում եմ, որ քննության ժամանակ ձեռք բերվածը չի վնասի:

Պատասխանը գրում ենք.

Այժմ դիտարկենք կոտորակային -ռացիոնալ անհավասարության օրինակ `անհավասարություն, որի երկու կողմերն էլ ռացիոնալ արտահայտություններ են (տես):

Ի՞նչ կարող եք ասել այս անհավասարության մասին: Եվ դուք դրան դիտում եք որպես կոտորակային ռացիոնալ հավասարում, ի՞նչ ենք մենք առաջին հերթին անում: Մենք անմիջապես տեսնում ենք, որ արմատներ չկան, դա նշանակում է, որ դա անպայման ռացիոնալ է, բայց հետո կա կոտորակ, և նույնիսկ հայտարարում անհայտի հետ:

Rightիշտ է, ODZ- ն անհրաժեշտ է:

Այսպիսով, եկեք ավելի առաջ գնանք, այստեղ բոլոր գործոնները, բացի մեկից, ունեն առաջին աստիճանի փոփոխական, բայց կա մի գործոն, որտեղ x- ը երկրորդ աստիճանի է: Սովորաբար, մեր նշանը փոխվում է այն կետերից մեկով անցնելուց հետո, որի անհավասարության ձախ կողմը զրոյական արժեք է ստանում, որի համար մենք որոշեցինք, թե յուրաքանչյուր գործոնում ինչ պետք է հավասար լինի x- ին: Եվ ահա, ուրեմն միշտ դրական է, tk. ցանկացած թիվ քառակուսի> զրո և դրական տերմին:

Ձեր կարծիքով, ի՞նչը կազդի անհավասարության արժեքի վրա: Rightիշտ է, չի լինի: Մենք կարող ենք ապահով կերպով անհավասարությունը բաժանել երկու մասի և դրանով իսկ հեռացնել այս բազմապատկիչը, որպեսզի այն աչք չպատճառի:

ժամանակն է նկարել ընդմիջումները, դրա համար անհրաժեշտ է որոշել այդ սահմանային արժեքները, երբ շեղվում ես, որից գործոնները և կլինեն ավելի մեծ և զրոյից փոքր: Բայց ուշադրություն դարձրեք, որ այստեղ նշանը նշանակում է այն կետը, որտեղ անհավասարության ձախ կողմը զրոյական արժեք է ստանում, մենք այն չենք հանի, ի վերջո, դա լուծումներից մեկն է, մենք ունենք մեկ այդպիսի կետ, սա այն կետն է, որտեղ x- ը հավասար է մեկին: Եվ լրացրո՞ւ այն կետը, որտեղ հայտարարը բացասական է: - Իհարկե ոչ!

Պարտադիր չէ, որ հայտարարը զրո լինի, ուստի միջակայքը նման կլինի.

Այս սխեմայի համաձայն, դուք արդեն կարող եք հեշտությամբ պատասխան գրել, ես միայն կասեմ, որ այժմ ձեր տրամադրության տակ է նոր տեսակի փակագիծ ՝ քառակուսի: Ահա փակագծեր [ ասում է, որ արժեքը ներառված է որոշումների միջակայքում, այսինքն. պատասխանի մի մասն է, այս փակագիծը համապատասխանում է առանցքի վրա լցված (չծռված) կետին:

Ահա, - նույն պատասխանը ստացա՞ք:

Մենք ամեն ինչ որոշում ենք և փոխանցում մեկ ուղղությամբ, ի վերջո, մեզ անհրաժեշտ է միայն զրոյի թողնել աջ կողմում ՝ դրա հետ համեմատվելու համար.

Ես ձեր ուշադրությունը հրավիրում եմ այն ​​փաստի վրա, որ վերջին փոխակերպման ժամանակ, համարիչի և հայտարարի մեջ մտնելու համար, անհավասարության երկու կողմերը բազմապատկում եմ: Հիշեք, որ երբ անհավասարության երկու կողմերը բազմապատկվում են, անհավասարության նշանը հակադարձվում է !!!

Մենք գրում ենք ODZ:

Հակառակ դեպքում, հայտարարը կանհետանա, և ինչպես հիշում եք, դուք չեք կարող բաժանել զրոյի:

Համաձայնեք, որ արդյունքում առաջացած անհավասարության դեպքում այն ​​ձգտում է նվազել թվանշանի և հայտարարի մեջ: Դա հնարավոր չէ անել, դուք կարող եք կորցնել որոշ լուծումներ կամ ODU:

Այժմ փորձեք ինքներդ գծել կետերը առանցքի վրա: Ես միայն կնշեմ, որ կետեր գծելիս պետք է ուշադրություն դարձնել այն հանգամանքի վրա, որ արժեք ունեցող մի կետ, որը նշանի հիման վրա, թվում է, թե առանցքի վրա պետք է գծված լինի առանցքի վրա, չի ներկվի, այն ծակել! Ինչու ես հարցնում? Իսկ դուք, ODZ- ն, հիշու՞մ եք, որ մտադիր չեք զրոյի բաժանե՞լ:

Հիշեք, ODZ- ն ամենից վեր է: Եթե ​​բոլոր անհավասարություններն ու հավասար նշանները մի բան են ասում, իսկ ՕԴZ -ն ՝ մեկ այլ բան, ապա վստահի՛ր Օձին, մեծ և հզոր: Դե, դուք գծագրեցիք ընդմիջումները, ես վստահ եմ, որ հետևեցիք այլընտրանքի վերաբերյալ իմ խորհրդին և ստացաք այն այսպես (տես ստորև բերված նկարը) Այժմ խաչ քաշեք և այլևս չկրկնեք այս սխալը: Ի՞նչ սխալ: - հարցնում ես:

Փաստն այն է, որ այս անհավասարության դեպքում գործոնը կրկնվել է երկու անգամ (հիշու՞մ եք, թե ինչպես էիք փորձում այն ​​նվազեցնել): Այսպիսով, եթե ինչ -որ գործոն անհավասարության մեջ կրկնվում է նույնիսկ մի քանի անգամ, ապա առանցքը մի կետով անցնելիս, որը զրոյական է դարձնում այս գործոնը (այս դեպքում ՝ կետը), նշանը չի փոխվի, եթե այն կենտ է , ապա նշանը փոխվում է:

Հետևյալ առանցքը ճիշտ կլինի ընդմիջումներով և նշաններով.

Եվ ուշադրություն դարձրեք, որ մեզ հետաքրքրող նշանը այն չէ, ինչ սկզբում էր (երբ մենք պարզապես տեսանք անհավասարությունը, նշանը), փոխակերպումներից հետո նշանը փոխվեց, ինչը նշանակում է, որ մեզ հետաքրքրում են միջակայքերը նշանով:

Պատասխան.

Նաև կասեմ, որ կան իրավիճակներ, երբ կան անհավասարության արմատներ, որոնք ներառված չեն որևէ միջակայքում, ի պատասխան դրանք գրված են գանգուր փակագծերով, օրինակ ՝ օրինակ. Նման իրավիճակների մասին ավելին կարող եք կարդալ միջանկյալ մակարդակի հոդվածում:

Եկեք ամփոփենք, թե ինչպես լուծել անհավասարությունները `օգտագործելով ընդմիջման մեթոդը.

1. Տեղափոխեք ամեն ինչ ձախ, թողեք միայն զրո աջից;
2. Մենք գտնում ենք ODZ;
3. Մենք առանցքի վրա գծում ենք անհավասարության բոլոր արմատները.
4. Մենք վերցնում ենք կամայական մեկը ընդմիջումներից մեկից և որոշում նշանը այն միջակայքում, որին պատկանում է արմատը, փոխարինում ենք նշանները ՝ ուշադրություն դարձնելով անհավասարության մեջ մի քանի անգամ կրկնվող արմատներին ՝ դրանց միջով անցնելիս նշանը փոխվում է, թե ոչ կրկնվող թվի անգամ հավասարության կամ տարօրինակության վրա.
5. Ի պատասխան ՝ մենք գրում ենք ընդմիջումներ ՝ դիտելով ծակած և չծռված կետեր (տես ODZ) ՝ դրանց միջև տեղադրելով փակագծերի անհրաժեշտ տեսակներ:

Եվ վերջապես, մեր սիրելի բաժինը ՝ «ինքդ արա»:

Օրինակներ.

Պատասխանները:

ՆԵՐՔԻՆ ՄԵԹՈԴ. Միջին մակարդակ

Գծային գործառույթ

Ձևի գործառույթը կոչվում է գծային: Որպես օրինակ դիտարկենք գործառույթը: Այն դրական է և բացասական ժամը: Կետը ֆունկցիայի զրո է (): Եկեք ցույց տանք այս ֆունկցիայի նշանները թվային առանցքի վրա.

Մենք ասում ենք, որ «գործառույթը փոխում է նշանը կետի միջով անցնելիս»:

Կարելի է տեսնել, որ ֆունկցիայի նշանները համապատասխանում են ֆունկցիայի գրաֆի դիրքին. Եթե գրաֆիկը առանցքից բարձր է, ապա նշանը "" է, եթե ներքևում է `" ":

Եթե ​​ստացված կանոնը ընդհանրացնենք կամայական գծային ֆունկցիայի, կստանանք հետևյալ ալգորիթմը.

• Գտեք ֆունկցիայի զրո;
• Մենք այն նշում ենք թվային առանցքի վրա;
• Որոշեք զրոյի հակառակ կողմերի ֆունկցիայի նշանը:

Քառակուսի գործառույթ

Հուսով եմ հիշում եք, թե ինչպես են լուծվում քառակուսի անհավասարությունները: Եթե ​​ոչ, կարդացեք թեման: Թույլ տվեք հիշեցնել քառակուսի գործառույթի ընդհանուր ձևը.

Հիմա եկեք հիշենք, թե ինչ նշաններ են անհրաժեշտ քառակուսի գործառույթ... Դրա գրաֆիկը պարաբոլա է, և գործառույթը վերցնում է «» նշանը, երբ պարաբոլան առանցքից բարձր է, և "" - եթե պարաբոլան առանցքից ցածր է.

Եթե ​​ֆունկցիան ունի զրոներ (որոնց արժեքները), պարաբոլան առանցքը հատում է երկու կետերում `համապատասխան քառակուսային հավասարման արմատները: Այսպիսով, առանցքը բաժանված է երեք ընդմիջումների, և գործառույթի նշանները հերթով փոխվում են յուրաքանչյուր արմատից անցնելիս:

Հնարավո՞ր է ինչ -որ կերպ սահմանել նշանները ՝ առանց ամեն անգամ պարաբոլա նկարելու:

Հիշեցնենք, որ քառակուսի եռանկյունը կարող է գործոնավորվել.

Օրինակ: .

Եկեք արմատները նշենք առանցքի վրա.

Մենք հիշում ենք, որ ֆունկցիայի նշանը կարող է փոխվել միայն արմատից անցնելիս: Մենք օգտագործում ենք այս փաստը. Երեք ընդմիջումներից յուրաքանչյուրի համար, որոնց առանցքը բաժանված է արմատներով, բավական է ֆունկցիայի նշանը որոշել միայն կամայականորեն ընտրված մեկ կետում. Ընդմիջման մյուս կետերում նշանը կլինի նույնը

Մեր օրինակում. For, փակագծերում երկու արտահայտություններն էլ դրական են (փոխարինել, օրինակ :): Մենք «» նշանը դնում ենք առանցքի վրա.

Դե, օրինակ (փոխարինման համար) երկու փակագծերը բացասական են, ինչը նշանակում է, որ արտադրանքը դրական է.

Ահա թե ինչ է դա ընդմիջման մեթոդը. իմանալով յուրաքանչյուր միջակայքում գործոնների նշանները, մենք որոշում ենք ամբողջ արտադրանքի նշանը:

Հաշվի առեք նաև այն դեպքերը, երբ գործառույթը չունի զրոներ, կամ միայն մեկ:

Եթե ​​դրանք չկան, ուրեմն արմատներ չկան: Սա նշանակում է, որ չի լինի նաեւ «արմատախաչ»: Սա նշանակում է, որ գործառույթը վերցնում է միայն մեկ նշան ամբողջ թվային առանցքի վրա: Հեշտ է սահմանել այն ՝ փոխարինելով գործառույթով:

Եթե ​​կա միայն մեկ արմատ, պարաբոլան դիպչում է առանցքին, ուստի ֆունկցիայի նշանը արմատից անցնելիս չի փոխվում: Ի՞նչ կանոններ կարող ենք մշակել նման իրավիճակներում:

Եթե ​​հաշվի եք առնում նման գործառույթը, ապա ստանում եք երկու նույնական գործոն.

Եվ քառակուսի ցանկացած արտահայտություն ոչ բացասական է: Հետեւաբար, ֆունկցիայի նշանը չի փոխվում: Նման դեպքերում մենք կընտրենք արմատ, որի միջով նշանը չի փոխվում ՝ այն շրջապատելով քառակուսիով.

Նման արմատը կկոչվի բազմակի:

Անհավասարությունների միջակայքերի մեթոդը

Այժմ ցանկացած քառակուսի անհավասարություն կարող է լուծվել առանց պարաբոլա նկարելու: Բավական է միայն քառակուսի ֆունկցիայի նշանները դասավորել առանցքի վրա, և ընտրել միջակայքերը ՝ կախված անհավասարության նշանից: Օրինակ:

Եկեք չափենք արմատները առանցքի վրա և տեղադրենք նշանները.

Մեզ պետք է առանցքի հատվածը "" նշանով; քանի որ անհավասարությունը խիստ չէ, արմատները նույնպես ներառված են լուծման մեջ.

Այժմ հաշվի առեք ռացիոնալ անհավասարությունը `անհավասարությունը, որի երկու կողմերն էլ ռացիոնալ արտահայտություններ են (տես):

Օրինակ:

Բոլոր գործոնները, բացի մեկից, - այստեղ «գծային» են, այսինքն ՝ դրանք փոփոխական են պարունակում միայն առաջին աստիճանի: Մեզ նման գծային գործոններ են պետք `ընդմիջումների մեթոդը կիրառելու համար. Նշանը փոխվում է նրանց արմատներից անցնելիս: Բայց գործոնն ընդհանրապես արմատներ չունի: Սա նշանակում է, որ այն միշտ դրական է (ինքներդ ստուգեք), և, հետևաբար, չի ազդում բոլոր անհավասարության նշանի վրա: Սա նշանակում է, որ մենք կարող ենք անհավասարության ձախ և աջ կողմերը բաժանել դրա, և այդպիսով ազատվել դրանից.

Այժմ ամեն ինչ նույնն է, ինչ քառակուսի անհավասարությունների դեպքում. Մենք որոշում ենք, թե որ կետերում են անհետանում գործոններից յուրաքանչյուրը, նշում ենք այս կետերը առանցքի վրա և տեղադրում նշաններ: Ձեր ուշադրությունը հրավիրում եմ մի շատ կարևոր փաստի վրա.

Պատասխան. Օրինակ:.

Ընդմիջումների մեթոդը կիրառելու համար անհրաժեշտ է, որ անհավասարության մասերից մեկում լիներ: Հետևաբար, մենք աջ կողմը կտեղափոխենք ձախ.

Հաշվիչն ու հայտարարն ունեն նույն բազմապատկիչը, բայց մենք չենք շտապում նվազեցնել այն: Ի վերջո, մենք կարող ենք մոռանալ այս կետը դուրս բերել: Ավելի լավ է այս արմատը նշել որպես բազմապատիկ, այսինքն ՝ դրա միջով անցնելիս նշանը չի փոխվի.

Պատասխան.

Եվ ևս մեկ շատ վառ օրինակ.

Կրկին, մենք չենք չեղարկում համարիչի և հայտարարի նույն գործոնները, քանի որ չեղյալ հայտարարելու դեպքում մենք պետք է հատուկ հիշենք, որ մենք պետք է մի կետ դուրս հանենք:

• : կրկնվող անգամներ;
• : անգամ;
• : անգամ (համարիչում և մեկ հայտարարում):

Evenույգ թվերի դեպքում մենք առաջ ենք շարժվում նույն կերպ, ինչ նախկինում. Կետը շրջանաձև քառակուսով և արմատից անցնելիս նշանը չփոխենք: Բայց կենտ թվի դեպքում այս կանոնը չի պահպանվում. Նշանը դեռ կփոխվի արմատից անցնելիս: Հետեւաբար, մենք լրացուցիչ ոչինչ չենք անում նման արմատով, կարծես դա դրա բազմապատիկը չէ: Վերոնշյալ կանոնները կիրառվում են բոլոր կենտ և զույգ աստիճանների համար:

Ի՞նչ կգրենք պատասխանի մեջ:

Նշանների փոխարինման խախտման դեպքում դուք պետք է շատ զգույշ լինեք, քանի որ թույլ անհավասարության դեպքում պատասխանը պետք է լինի. բոլոր լցված կետերը... Բայց որոշ փորձեր հաճախ միայնակ են լինում, այսինքն `չեն մտնում ստվերած տարածք: Այս դեպքում մենք դրանք պատասխանի վրա ավելացնում ենք որպես մեկուսացված կետեր (գանգուր փակագծերում).

Օրինակներ (որոշեք ինքներդ).

Պատասխանները:

1. Եթե ​​բազմապատկիչների մեջ պարզ է, ապա դա արմատն է, քանի որ այն կարող է ներկայացվել որպես.
   .

ՆԵՐՔԻՆ ՄԵԹՈԴ. ՀԱՅԿԱԿԱՆ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Ինտերվալային մեթոդը օգտագործվում է ռացիոնալ անհավասարությունների լուծման համար: Այն բաղկացած է ապրանքի նշանը տարբեր պարբերականությամբ գործոնների նշաններով որոշելուց:

Ընդմիջումների մեթոդով ռացիոնալ անհավասարությունների լուծման ալգորիթմ:

• Տեղափոխեք ամեն ինչ ձախ, թողեք միայն զրո աջից;
• Մենք գտնում ենք ODZ;
• Մենք առանցքի վրա գծում ենք անհավասարության բոլոր արմատները.
• Մենք վերցնում ենք կամայական մեկը ընդմիջումներից մեկից և որոշում նշանը այն միջակայքում, որին պատկանում է արմատը, փոխարինում ենք նշանները ՝ ուշադրություն դարձնելով անհավասարության մեջ մի քանի անգամ կրկնվող արմատներին ՝ դրանց միջով անցնելիս նշանը փոխվում է, թե ոչ կրկնվող թվի անգամ հավասարության կամ տարօրինակության վրա.
• Ի պատասխան ՝ մենք գրում ենք ընդմիջումներ ՝ դիտելով ծակած և չծռված կետեր (տես ODZ) ՝ դրանց միջև տեղադրելով փակագծերի անհրաժեշտ տեսակներ:

Դե, թեման ավարտվեց: Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ուրեմն շատ թույն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5% -ն է կարողանում ինքնուրույն տիրապետել ինչ -որ բանի: Իսկ եթե կարդում ես մինչև վերջ, ուրեմն դու այդ 5%-ի մեջ ես:

Հիմա գալիս է ամենակարևորը:

Դուք պարզեցիք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկին, սա ... դա պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել ...

Ինչի համար?

Քննությունը հաջողությամբ հանձնելու, բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու և, ամենակարևորը, ցմահ:

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, ես միայն մի բան կասեմ ...

Մարդիկ, ովքեր լավ կրթություն են ստացել, շատ ավելի շատ են վաստակում, քան նրանք, ովքեր չեն ստացել: Սրանք վիճակագրություն են:

Բայց սա էլ գլխավորը չէ:

Գլխավորն այն է, որ դրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐPԱՆԻԿ են (կան նման ուսումնասիրություններ): Թերևս այն պատճառով, որ նրանց համար շատ ավելի շատ հնարավորություններ կան, և կյանքը պայծառանում է: Չգիտեմ...

Բայց ինքդ մտածիր ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ, որ քննությունից մյուսներից հաստատ ավելի լավը լինես և ի վերջո ... ավելի երջանիկ լինես:

ԱՅՍ ԹԵՄԱՅՈՄ ՁԵՌՔ ԼՈVՈ PROՄ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԵՆ:

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն հարցնի:

Ձեզ պետք կգա որոշ ժամանակ լուծել խնդիրները.

Եվ, եթե դրանք չլուծեցիք (ՇԱՏ!), Դուք անպայման հիմար սխալմամբ ինչ -որ տեղ կգնաք կամ պարզապես ժամանակին չեք լինի:

Դա նման է սպորտի. Անպայման հաղթելու համար պետք է անընդհատ կրկնել այն:

Գտեք հավաքածու, որտեղ ցանկանում եք, անպայման լուծումներով, մանրամասն վերլուծությամբև որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր:

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (ըստ ցանկության), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեր ձեռքը լցնելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որն այժմ կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Կիսվեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքներով - 299 ռ
2. Բացեք ձեռնարկի բոլոր թաքնված առաջադրանքների մուտքը ձեռնարկության բոլոր 99 հոդվածներում. 999 ռուբլի

Այո, մենք ունենք 99 այդպիսի հոդված մեր դասագրքում, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում առկա բոլոր թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է միանգամից բացվել:

Երկրորդ դեպքում մենք ձեզ կտանքսիմուլյատոր «6000 խնդիր լուծումներով և պատասխաններով, յուրաքանչյուր թեմայի համար, բարդության բոլոր մակարդակների համար»: Անշուշտ բավական կլինի ցանկացած թեմայի հետ կապված խնդիրների լուծման համար ձեռք բերելու համար:

Փաստորեն, սա շատ ավելին է, քան պարզապես սիմուլյատոր `ուսումնական ամբողջ ծրագիր: Անհրաժեշտության դեպքում կարող եք նաև օգտագործել ԱՆՎԱՐ:

Բոլոր տեքստերին և ծրագրերին հասանելիությունն ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Ամփոփելով ...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես չանդրադառնաք տեսության վրա:

«Հասկացված» և «Ես կարողանում եմ լուծել» բոլորովին այլ հմտություններ են: Երկուսն էլ ձեզ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք: