សម្រាប់ការសិក្សាពេញលេញនៃមុខងារ និងការរៀបចំក្រាហ្វរបស់វា វាត្រូវបានណែនាំឱ្យប្រើគ្រោងការណ៍ខាងក្រោម៖
1) ស្វែងរកដែននៃមុខងារ;
2) ស្វែងរកចំណុចនៃការមិនបន្តនៃមុខងារ និង asymtotes បញ្ឈរ (ប្រសិនបើមាន);
3) ស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃមុខងារនៅភាពគ្មានទីបញ្ចប់, ស្វែងរក asymptotes ផ្ដេកនិង oblique;
4) ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា (ភាពចម្លែក) និងតាមកាលកំណត់ (សម្រាប់អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ);
5) ស្វែងរកភាពខ្លាំងនិងចន្លោះពេលនៃ monotonicity នៃមុខងារ;
6) កំណត់ចន្លោះពេលនៃការប៉ោងនិងចំណុចនៃការឆ្លង;
7) ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោណេ ប្រសិនបើអាចធ្វើបាន និងចំណុចបន្ថែមមួយចំនួនដែលកែលម្អក្រាហ្វ។
ការសិក្សាអំពីមុខងារត្រូវបានអនុវត្តក្នុងពេលដំណាលគ្នាជាមួយនឹងការស្ថាបនាក្រាហ្វរបស់វា។
ឧទាហរណ៍ ៩រុករកមុខងារ និងគូរក្រាហ្វ។
1. វិសាលភាពនៃនិយមន័យ:;
2. មុខងារត្រូវបានខូចនៅចំណុច 
,
;
ចូរយើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់វត្តមាននៃ asymptotes បញ្ឈរ។
;
,
─ asymptote បញ្ឈរ។
;
,
─ asymptote បញ្ឈរ។
3. អនុញ្ញាតឱ្យយើងស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់វត្តមាននៃ asymptotes oblique និងផ្ដេក។
ត្រង់ 
─ oblique asymptote ប្រសិនបើ 
,
.
,
.
ត្រង់ 
─ asymptote ផ្ដេក។
4. មុខងារគឺសូម្បីតែដោយសារតែ 
... ភាពស្មើគ្នានៃអនុគមន៍បង្ហាញពីស៊ីមេទ្រីនៃក្រាហ្វអំពីអ័ក្សតម្រៀប។
5. ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃ monotonicity និង extrema នៃមុខងារ។
ចូរយើងស្វែងរកចំណុចសំខាន់ i.e. ចំណុចដែលដេរីវេគឺ 0 ឬមិនមាន៖ 
;
... យើងមានបីពិន្ទុ 
;
... ចំនុចទាំងនេះបានបំបែកអ័ក្សត្រឹមត្រូវទាំងមូលជាបួនដកឃ្លា។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញា 
នៅលើពួកគេម្នាក់ៗ។
នៅចន្លោះពេល (-∞; -1) និង (-1; 0) មុខងារកើនឡើង ចន្លោះពេល (0; 1) និង (1; + ∞) ─ថយចុះ។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុចមួយ។ 
ការផ្លាស់ប្តូរនិស្សន្ទវត្ថុសញ្ញាពីបូកទៅដក ដូច្នេះនៅចំណុចនេះ អនុគមន៍មានអតិបរមា 
.
6. ស្វែងរកចន្លោះប្រហោង, ចំណុចបញ្ឆេះ។
ស្វែងរកចំណុចដែល 
គឺ 0 ឬមិនមាន។
មិនមានឫសត្រឹមត្រូវទេ។ 
,
,
ពិន្ទុ 
និង 
បំបែកអ័ក្សពិតជាបីចន្លោះពេល។ ចូរយើងកំណត់សញ្ញា 
នៅចន្លោះពេលនីមួយៗ។
ដូច្នេះខ្សែកោងនៅចន្លោះពេល 
និង 
ប៉ោងចុះក្រោម នៅចន្លោះពេល (-1; 1) ប៉ោងឡើងលើ; មិនមានចំនុចបញ្ឆេះទេ ចាប់តាំងពីមុខងារនៅចំណុច 
និង 
មិនបានបញ្ជាក់។
7. រកចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស។
ជាមួយនឹងអ័ក្ស 
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប្រសព្វនៅចំណុច (0; -1) និងជាមួយអ័ក្ស 
ក្រាហ្វមិនត្រួតលើគ្នាទេព្រោះ លេខភាគនៃអនុគមន៍នេះមិនមានឫសពិតទេ។
ក្រាហ្វនៃមុខងារដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។
រូបភាពទី 1 ─ ក្រាហ្វមុខងារ 
ការអនុវត្តគំនិតនៃដេរីវេក្នុងសេដ្ឋកិច្ច។ ភាពបត់បែននៃមុខងារ
ដើម្បីសិក្សាពីដំណើរការសេដ្ឋកិច្ច និងដោះស្រាយបញ្ហាដែលបានអនុវត្តផ្សេងទៀត គំនិតនៃការបត់បែននៃមុខងារមួយត្រូវបានគេប្រើជាញឹកញាប់។
និយមន័យ។ភាពបត់បែននៃមុខងារ 
ត្រូវបានគេហៅថាដែនកំណត់នៃសមាមាត្រនៃការកើនឡើងដែលទាក់ទងនៃអនុគមន៍ 
ទៅនឹងការកើនឡើងដែលទាក់ទងនៃអថេរ 
នៅ 
,. (វី)
ភាពយឺតនៃមុខងារបង្ហាញពីភាគរយប្រហាក់ប្រហែលនៃការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ 
នៅពេលផ្លាស់ប្តូរអថេរឯករាជ្យ 
ដោយ 1% ។
ការបត់បែននៃមុខងារត្រូវបានអនុវត្តក្នុងការវិភាគតម្រូវការ និងការប្រើប្រាស់។ ប្រសិនបើភាពបត់បែននៃតម្រូវការ (គិតជាតម្លៃដាច់ខាត) 
បន្ទាប់មកតម្រូវការត្រូវបានចាត់ទុកថាយឺតប្រសិនបើ 
─អព្យាក្រឹតប្រសិនបើ 
─ ភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទាក់ទងនឹងតម្លៃ (ឬប្រាក់ចំណូល) ។
ឧទាហរណ៍ 10គណនាភាពយឺតនៃមុខងារ 
និងស្វែងរកតម្លៃនៃសន្ទស្សន៍ភាពបត់បែនសម្រាប់ 
= 3.
ដំណោះស្រាយ៖ យោងតាមរូបមន្ត (VII) ការបត់បែននៃមុខងារ៖
អនុញ្ញាតឱ្យ x = 3 បន្ទាប់មក 
នេះមានន័យថា ប្រសិនបើអថេរពន្យល់កើនឡើង 1% នោះតម្លៃនៃអថេរអាស្រ័យកើនឡើង 1.42%។
ឧទាហរណ៍ 11អនុញ្ញាតឱ្យមានមុខងារទាមទារ 
ទាក់ទងនឹងតម្លៃ 
មានទម្រង់ 
កន្លែងណា 
─មេគុណថេរ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃសន្ទស្សន៍ភាពបត់បែននៃមុខងារតម្រូវការក្នុងតម្លៃ x = 3 den ។ ឯកតា
ដំណោះស្រាយ៖ គណនាភាពយឺតនៃមុខងារតម្រូវការតាមរូបមន្ត (VII)
សន្មត់ 
ឯកតារូបិយវត្ថុ យើងទទួលបាន 
... នេះមានន័យថាក្នុងតម្លៃមួយ។ 
ឯកតារូបិយវត្ថុ ការកើនឡើងតម្លៃ 1% នឹងបណ្តាលឱ្យមានការថយចុះនៃតម្រូវការ 6% ពោលគឺឧ។ តម្រូវការគឺយឺត។
ថ្ងៃនេះ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកឱ្យស្វែងយល់ និងធ្វើក្រាហ្វិកមុខងារជាមួយយើង។ បន្ទាប់ពីសិក្សាអត្ថបទនេះដោយយកចិត្តទុកដាក់ អ្នកនឹងមិនចាំបាច់បែកញើសយូរដើម្បីបំពេញកិច្ចការប្រភេទនេះទេ។ ការរុករក និងគូសប្លង់មុខងារគឺមិនងាយស្រួលនោះទេ ការងារមានពន្លឺ ទាមទារការយកចិត្តទុកដាក់អតិបរមា និងភាពត្រឹមត្រូវនៃការគណនា។ ដើម្បីជួយសម្រួលដល់ការយល់ឃើញនៃសម្ភារៈ យើងនឹងសិក្សាមុខងារដូចគ្នាជាជំហានៗ ពន្យល់ពីសកម្មភាព និងការគណនាទាំងអស់របស់យើង។ សូមស្វាគមន៍មកកាន់ពិភពគណិតវិទ្យាដ៏អស្ចារ្យ និងគួរឱ្យរំភើប! ទៅ!
ដែន
ដើម្បីស្វែងយល់ និងកំណត់មុខងារមួយ អ្នកត្រូវដឹងពីនិយមន័យមួយចំនួន។ អនុគមន៍ គឺជាគោលគំនិតជាមូលដ្ឋាន (មូលដ្ឋាន) ក្នុងគណិតវិទ្យា។ វាឆ្លុះបញ្ចាំងពីទំនាក់ទំនងរវាងអថេរជាច្រើន (ពីរ បី ឬច្រើន) ជាមួយនឹងការផ្លាស់ប្តូរ។ មុខងារក៏បង្ហាញពីភាពអាស្រ័យនៃសំណុំផងដែរ។
ស្រមៃថាយើងមានអថេរពីរដែលមាន ជួរជាក់លាក់ការផ្លាស់ប្តូរ។ ដូច្នេះ y គឺជាអនុគមន៍ x ដែលផ្តល់ថាតម្លៃនីមួយៗនៃអថេរទីពីរត្រូវគ្នាទៅនឹងតម្លៃមួយនៃទីពីរ។ ក្នុងករណីនេះ អថេរ y គឺអាស្រ័យ ហើយវាត្រូវបានគេហៅថា អនុគមន៍។ វាជាទម្លាប់ក្នុងការនិយាយថាអថេរ x និង y គឺនៅក្នុង។ សម្រាប់ភាពច្បាស់លាស់កាន់តែច្រើននៃការពឹងផ្អែកនេះ ក្រាហ្វមុខងារមួយត្រូវបានគ្រោងទុក។ តើក្រាហ្វមុខងារជាអ្វី? សំណុំនៃចំណុចនេះនៅលើ សំរបសំរួលយន្តហោះដែលតម្លៃនីមួយៗនៃ x ត្រូវគ្នានឹងតម្លៃមួយនៃ y ។ ក្រាហ្វអាចមានភាពខុសប្លែកគ្នា - បន្ទាត់ត្រង់, អ៊ីពែបូឡា, ប៉ារ៉ាបូឡា, ប្រហោងឆ្អឹងជាដើម។
វាមិនអាចទៅរួចទេក្នុងការរៀបចំក្រាហ្វមុខងារដោយគ្មានការស្រាវជ្រាវ។ ថ្ងៃនេះយើងនឹងរៀនពីរបៀបធ្វើការស្រាវជ្រាវ និងរៀបចំក្រាហ្វមុខងារ។ វាមានសារៈសំខាន់ខ្លាំងណាស់ក្នុងការកត់ត្រាក្នុងអំឡុងពេលស្រាវជ្រាវ។ នេះនឹងធ្វើឱ្យកិច្ចការកាន់តែងាយស្រួល។ ផែនការស្រាវជ្រាវងាយស្រួលបំផុត៖
- ដែន។
- ការបន្ត។
- ភាពស្មើគ្នាឬសេស។
- វដ្តរដូវ។
- រោគសញ្ញា។
- សូន្យ។
- ភាពស្ថិតស្ថេរនៃសញ្ញា។
- ការកើនឡើងនិងថយចុះ។
- ជ្រុល។
- ភាពប៉ោង និងរាងមូល។
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងចំណុចដំបូង។ ចូរយើងស្វែងរកដែននៃនិយមន័យ នោះគឺនៅលើចន្លោះពេលមុខងាររបស់យើងមាន៖ y = 1/3 (x^3-14x^2 + 49x-36)។ ក្នុងករណីរបស់យើង មុខងារមានសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃ x ពោលគឺដែនស្មើនឹង R. វាអាចត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម xÎR ។
ការបន្ត
ឥឡូវនេះយើងនឹងស៊ើបអង្កេតមុខងារបំបែក។ នៅក្នុងគណិតវិទ្យា ពាក្យ "បន្ត" បានលេចឡើងជាលទ្ធផលនៃការសិក្សាអំពីច្បាប់នៃចលនា។ តើអ្វីទៅជាគ្មានកំណត់? លំហ ពេលវេលា ភាពអាស្រ័យមួយចំនួន (ឧទាហរណ៍មួយគឺការពឹងផ្អែកនៃអថេរ S និង t ក្នុងបញ្ហាចលនា) សីតុណ្ហភាពនៃវត្ថុដែលគេឱ្យឈ្មោះថា (ទឹក ខ្ទះឆា ទែម៉ូម៉ែត្រ។ល។) បន្ទាត់បន្តមួយ អាចត្រូវបានគូរដោយមិនហែកវាចេញពីខ្មៅដៃសន្លឹក) ។
គំនូសតាងមួយត្រូវបានចាត់ទុកថាបន្ត ប្រសិនបើវាមិនបំបែកនៅចំណុចណាមួយ។ មួយនៃភាគច្រើន ឧទាហរណ៍ឧទាហរណ៍ក្រាហ្វបែបនេះគឺជា sinusoid ដែលអ្នកអាចមើលឃើញនៅក្នុងរូបភាពនៅក្នុងផ្នែកនេះ។ មុខងារបន្តនៅចំណុចមួយចំនួន x0 ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌមួយចំនួនត្រូវបានបំពេញ៖
- មុខងារមួយត្រូវបានកំណត់នៅចំណុចនេះ;
- ដែនកំណត់ខាងស្តាំនិងខាងឆ្វេងនៅចំណុចស្មើគ្នា;
- ដែនកំណត់គឺស្មើនឹងតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំណុច x0 ។
ប្រសិនបើយ៉ាងហោចណាស់លក្ខខណ្ឌមួយមិនត្រូវបានបំពេញ មុខងារត្រូវបាននិយាយថាខូច។ ហើយចំនុចដែលមុខងារមិនបន្តជាធម្មតាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចមិនបន្ត។ ឧទាហរណ៍នៃមុខងារដែលនឹង "បំបែក" នៅពេលបង្ហាញក្រាហ្វិកគឺ: y = (x + 4) / (x-3) ។ លើសពីនេះទៅទៀត y មិនមាននៅចំណុច x = 3 ទេ (ព្រោះវាមិនអាចបែងចែកដោយសូន្យ) ។
នៅក្នុងមុខងារដែលយើងកំពុងពិនិត្យ (y = 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) អ្វីគ្រប់យ៉ាងប្រែទៅជាសាមញ្ញ ដោយសារក្រាហ្វនឹងបន្ត។
សូម្បីតែ, សេស
ឥឡូវនេះពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា។ ទីមួយទ្រឹស្តីតិចតួច។ អនុគមន៍គូ គឺជាមុខងារមួយដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ f (-x) = f (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x (ពីជួរតម្លៃ)។ ឧទាហរណ៍រួមមាន:
- ម៉ូឌុល x (ក្រាហ្វមើលទៅដូចដាវ ជាផ្នែកនៃត្រីមាសទីមួយ និងទីពីរនៃក្រាហ្វ);
- x ការ៉េ (ប៉ារ៉ាបូឡា);
- កូស៊ីនុស x (កូស៊ីនុស) ។
ចំណាំថាប្លង់ទាំងអស់នេះមានស៊ីមេទ្រីនៅពេលមើលទាក់ទងនឹងការចាត់តាំង (ឧ. y)។
ដូចម្តេចដែលហៅថា មុខងារសេស? ទាំងនេះគឺជាមុខងារដែលបំពេញលក្ខខណ្ឌ៖ f (-x) = - f (x) សម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x ។ ឧទាហរណ៍:
- អ៊ីពែបូឡា;
- ប៉ារ៉ាបូឡាគូប;
- sinusoid;
- tangentoid ជាដើម។
សូមចំណាំថាមុខងារទាំងនេះគឺស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុច (0: 0) នោះគឺប្រភពដើម។ ដោយផ្អែកលើអ្វីដែលបាននិយាយនៅក្នុងផ្នែកនៃអត្ថបទនេះ សូម្បីតែ និង មុខងារសេសត្រូវតែមានទ្រព្យសម្បត្តិ៖ x ជាកម្មសិទ្ធិរបស់សំណុំនិយមន័យ និង -x ផងដែរ។
ចូរយើងពិនិត្យមើលមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា។ យើងអាចមើលឃើញថាវាមិនសមនឹងការពិពណ៌នាណាមួយទេ។ ដូច្នេះ មុខងាររបស់យើងគឺមិនសូម្បីតែក៏មិនចម្លែកដែរ។
រោគសញ្ញា
ចូរចាប់ផ្តើមជាមួយនឹងនិយមន័យ។ asymptote គឺជាខ្សែកោងដែលនៅជិតក្រាហ្វតាមដែលអាចធ្វើទៅបាន ពោលគឺចម្ងាយពីចំណុចមួយមានទំនោរទៅសូន្យ។ សរុបមក មាន asymtotes បីប្រភេទ៖
- បញ្ឈរ ពោលគឺស្របទៅនឹងអ័ក្ស y;
- ផ្ដេក ពោលគឺ ស្របទៅនឹងអ័ក្ស x;
- ទំនោរ។
សម្រាប់ប្រភេទទីមួយ បន្ទាត់ត្រង់ទិន្នន័យគួរតែត្រូវបានរកមើលនៅចំណុចមួយចំនួន៖
- សម្រាក;
- ចុងបញ្ចប់នៃនិយមន័យនៃដែន។
ក្នុងករណីរបស់យើង មុខងារគឺបន្ត ហើយដែនគឺស្មើនឹង R. ដូច្នេះមិនមាន asymptotes បញ្ឈរទេ។
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មួយមាន asymptote ផ្តេក ដែលបំពេញតាមតម្រូវការខាងក្រោម៖ ប្រសិនបើ x ទំនោរទៅរកភាពគ្មានកំណត់ ឬដកគ្មានដែនកំណត់ ហើយដែនកំណត់គឺស្មើនឹងចំនួនជាក់លាក់មួយ (ឧទាហរណ៍ ក)។ វ ក្នុងករណីនេះ y = a - នេះគឺជា asymptote ផ្ដេក។ នៅក្នុងមុខងារដែលយើងកំពុងស៊ើបអង្កេត មិនមាន asymptotes ផ្ដេកទេ។
asymptote oblique មានលុះត្រាតែមានលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖
- lim (f (x)) / x = k;
- lim f (x) -kx = ខ.
បន្ទាប់មកវាអាចត្រូវបានរកឃើញដោយរូបមន្ត: y = kx + b ។ ជាថ្មីម្តងទៀតនៅក្នុងករណីរបស់យើងមិនមាន asymptotes oblique ទេ។
មុខងារសូន្យ
ជំហានបន្ទាប់គឺពិនិត្យមើលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នៅសូន្យ។ វាក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការកត់សម្គាល់ថា កិច្ចការដែលទាក់ទងនឹងការស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍មួយកើតឡើងមិនត្រឹមតែនៅពេលសិក្សា និងរៀបចំក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ប៉ុណ្ណោះទេ ប៉ុន្តែថែមទាំងរបៀប កិច្ចការឯករាជ្យនិងជាមធ្យោបាយដោះស្រាយវិសមភាព។ អ្នកអាចត្រូវបានតម្រូវឱ្យស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍នៅលើក្រាហ្វ ឬប្រើសញ្ញាណគណិតវិទ្យា។
ការស្វែងរកតម្លៃទាំងនេះនឹងជួយឱ្យអ្នកគូសប្លង់មុខងារកាន់តែត្រឹមត្រូវ។ ប្រសិនបើយើងនិយាយ ភាសាសាមញ្ញបន្ទាប់មកសូន្យនៃអនុគមន៍គឺជាតម្លៃនៃអថេរ x ដែល y = 0 ។ ប្រសិនបើអ្នកកំពុងស្វែងរកលេខសូន្យនៃមុខងារនៅលើក្រាហ្វ នោះអ្នកគួរតែយកចិត្តទុកដាក់លើចំណុចដែលក្រាហ្វឆ្លងកាត់អ័ក្ស abscissa ។
ដើម្បីស្វែងរកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍មួយ អ្នកត្រូវដោះស្រាយសមីការខាងក្រោម៖ y = 1/3 (x^3-14x^2 + 49x-36) = 0 ។ បន្ទាប់ពីធ្វើការគណនាចាំបាច់ យើងទទួលបានចម្លើយដូចខាងក្រោម៖
ភាពស្ថិតស្ថេរ
ដំណាក់កាលបន្ទាប់នៃការស្រាវជ្រាវ និងការសាងសង់មុខងារ (ក្រាហ្វ) គឺការស្វែងរកចន្លោះពេលនៃថេរ។ នេះមានន័យថា យើងត្រូវកំណត់ថា តើចន្លោះពេលមុខងារមានអ្វីខ្លះ តម្លៃវិជ្ជមានហើយនៅលើមួយណា - អវិជ្ជមាន។ មុខងារសូន្យដែលរកឃើញនៅក្នុងផ្នែកមុននឹងជួយយើងឱ្យធ្វើកិច្ចការនេះ។ ដូច្នេះយើងត្រូវគូសបន្ទាត់ត្រង់ (ដាច់ដោយឡែកពីក្រាហ្វ) និងក្នុង លំដាប់ត្រឹមត្រូវចែកលេខសូន្យនៃអនុគមន៍លើវាពីតូចបំផុតទៅធំបំផុត។ ឥឡូវអ្នកត្រូវកំណត់ថាតើចន្លោះពេលលទ្ធផលមួយណាមានសញ្ញា "+" ហើយមួយណា "-" ។
ក្នុងករណីរបស់យើង អនុគមន៍យកតម្លៃវិជ្ជមានក្នុងចន្លោះពេល៖
- ពី 1 ទៅ 4;
- ពីលេខ 9 រហូតដល់គ្មានកំណត់។
អត្ថន័យអវិជ្ជមាន៖
- ពីដកគ្មានកំណត់ទៅ 1;
- ៤ ដល់ ៩ ។
នេះងាយស្រួលកំណត់។ ដោតលេខណាមួយពីចន្លោះពេលចូលទៅក្នុងមុខងារ ហើយមើលថាតើសញ្ញាអ្វីជាចម្លើយ (ដក ឬបូក)។
បង្កើននិងបន្ថយមុខងារ
ដើម្បីស្វែងយល់ និងបង្កើតមុខងារមួយ យើងត្រូវស្វែងរកកន្លែងដែលក្រាហ្វនឹងកើនឡើង (ឡើងតាម Oy) និងកន្លែងដែលវានឹងធ្លាក់ចុះ (វារចុះតាមលំដាប់)។
អនុគមន៍កើនឡើងលុះត្រាតែតម្លៃធំជាងនៃអថេរ x ត្រូវគ្នា។ សារៈសំខាន់ខ្លាំងជាងនៅ។ នោះគឺ x2 ធំជាង x1 ហើយ f (x2) ធំជាង f (x1) ។ ហើយយើងសង្កេតឃើញបាតុភូតផ្ទុយទាំងស្រុងនៅក្នុងមុខងារថយចុះ (x កាន់តែច្រើន y តិច)។ ដើម្បីកំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយ អ្នកត្រូវស្វែងរកដូចខាងក្រោម៖
- វិសាលភាព (យើងមានវារួចហើយ);
- ដេរីវេ (ក្នុងករណីរបស់យើង: 1/3 (3x ^ 2-28x + 49);
- ដោះស្រាយសមីការ 1/3 (3x^2-28x + 49) = 0 ។
បន្ទាប់ពីការគណនាយើងទទួលបានលទ្ធផល៖
យើងទទួលបាន៖ មុខងារកើនឡើងក្នុងចន្លោះពេលពីដកគ្មានកំណត់ទៅ 7/3 និងពី 7 ទៅគ្មានកំណត់ និងថយចុះចន្លោះពេលពី 7/3 ទៅ 7។
ជ្រុល
អនុគមន៍ដែលបានស៊ើបអង្កេត y = 1/3 (x^3-14x^2 + 49x-36) គឺបន្ត និងមានសម្រាប់តម្លៃណាមួយនៃអថេរ x ។ ចំណុចខ្លាំងបង្ហាញពីអតិបរមា និងអប្បបរមានៃមុខងារនេះ។ ក្នុងករណីរបស់យើង គ្មានអ្វីទេ ដែលជួយសម្រួលដល់ការងារសាងសង់។ បើមិនដូច្នោះទេពួកគេក៏ត្រូវបានរកឃើញដោយប្រើដេរីវេនៃមុខងារផងដែរ។ បន្ទាប់ពីរកឃើញកុំភ្លេចសម្គាល់ពួកវានៅលើតារាង។
ភាពប៉ោង និងរាងមូល
យើងបន្តស៊ើបអង្កេតមុខងារ y (x) បន្ថែមទៀត។ ឥឡូវនេះយើងត្រូវពិនិត្យមើលវាសម្រាប់ប៉ោងនិង concavity ។ និយមន័យនៃគោលគំនិតទាំងនេះគឺពិបាកយល់ណាស់ វាជាការប្រសើរក្នុងការវិភាគអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយប្រើឧទាហរណ៍។ សម្រាប់ការធ្វើតេស្ត៖ មុខងារគឺប៉ោង ប្រសិនបើវាជាមុខងារមិនបន្ថយ។ យល់ស្រប នេះមិនអាចយល់បាន!
យើងត្រូវស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍លំដាប់ទីពីរ។ យើងទទួលបាន៖ y = 1/3 (6x-28) ។ ឥឡូវយើងកំណត់ផ្នែកខាងស្ដាំទៅសូន្យ ហើយដោះស្រាយសមីការ។ ចម្លើយ៖ x = ១៤/៣ ។ យើងបានរកឃើញចំណុចបញ្ឆេះ នោះគឺជាកន្លែងដែលក្រាហ្វផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងទៅជា concavity ឬផ្ទុយមកវិញ។ នៅចន្លោះពេលពីដកអគ្មានកំណត់ទៅ 14/3 មុខងារគឺប៉ោង ហើយចាប់ពី 14/3 ដល់បូកនឹងភាពគ្មានទីបញ្ចប់ វាមានរាងប៉ោង។ វាក៏សំខាន់ផងដែរក្នុងការកត់សម្គាល់ថាចំនុច inflection នៅលើក្រាហ្វគួរតែរលូន និងទន់ ទេ។ ជ្រុងមុតស្រួចមិនគួរមានវត្តមានទេ។
និយមន័យនៃចំណុចបន្ថែម
ភារកិច្ចរបស់យើងគឺស៊ើបអង្កេត និងរៀបចំផែនការមុខងារ។ យើងបានបញ្ចប់ការស្រាវជ្រាវហើយ វានឹងមិនមានការលំបាកក្នុងការកំណត់មុខងារឥឡូវនេះទេ។ សម្រាប់ការផលិតឡើងវិញបានត្រឹមត្រូវ និងលម្អិតនៃខ្សែកោង ឬបន្ទាត់ត្រង់នៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ អ្នកអាចរកឃើញចំណុចជំនួយជាច្រើន។ វាងាយស្រួលណាស់ក្នុងការគណនាពួកគេ។ ឧទាហរណ៍ យើងយក x = 3 ដោះស្រាយសមីការលទ្ធផល ហើយរក y = 4 ។ ឬ x = 5 និង y = −5 ជាដើម។ អ្នកអាចយកចំណុចបន្ថែមជាច្រើនតាមដែលអ្នកត្រូវការដើម្បីបង្កើត។ យ៉ាងហោចណាស់ 3-5 នៃពួកគេត្រូវបានរកឃើញ។
គូរក្រាហ្វ
យើងត្រូវការស៊ើបអង្កេតមុខងារ (x^3-14x^2 + 49x-36) * 1/3 = y ។ កំណត់ចំណាំចាំបាច់ទាំងអស់ក្នុងអំឡុងពេលគណនាត្រូវបានធ្វើឡើងនៅលើយន្តហោះកូអរដោនេ។ អ្វីដែលនៅតែត្រូវធ្វើគឺការបង្កើតក្រាហ្វ ពោលគឺភ្ជាប់ចំណុចទាំងអស់ទៅកាន់គ្នា។ ការភ្ជាប់ចំនុចគួរតែរលូន និងស្អាត វាជាបញ្ហានៃជំនាញ - ការអនុវត្តតិចតួច ហើយកាលវិភាគរបស់អ្នកនឹងល្អឥតខ្ចោះ។
សម្រាប់ការសិក្សាពេញលេញនៃមុខងារ និងការរៀបចំក្រាហ្វរបស់វា គ្រោងការណ៍ខាងក្រោមត្រូវបានណែនាំ៖
ក) ស្វែងរកតំបន់នៃនិយមន័យ, ចំណុចបំបែក; ស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍នៅជិតចំណុចនៃភាពមិនដំណើរការ (ស្វែងរកដែនកំណត់នៃមុខងារនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៅចំណុចទាំងនេះ)។ បញ្ជាក់ asymtotes បញ្ឈរ។
ខ) កំណត់ភាពស្មើគ្នា ឬភាពសេសនៃមុខងារ ហើយធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីវត្តមាននៃស៊ីមេទ្រី។ ប្រសិនបើ អនុគមន៍គឺស្មើ ស៊ីមេទ្រីអំពីអ័ក្ស OY; នៅពេលដែលមុខងារគឺសេសស៊ីមេទ្រីអំពីប្រភពដើម; ហើយប្រសិនបើ - មុខងារ ទិដ្ឋភាពទូទៅ.
គ) ស្វែងរកចំនុចប្រសព្វនៃអនុគមន៍ជាមួយនឹងអ័ក្សកូអរដោនេ OY និង OX (ប្រសិនបើអាចធ្វើទៅបាន) កំណត់ចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរនៃអនុគមន៍។ ព្រំដែននៃចន្លោះពេលនៃសញ្ញាថេរនៃអនុគមន៍ត្រូវបានកំណត់ដោយចំនុចដែលអនុគមន៍ស្មើនឹងសូន្យ (សូន្យនៃអនុគមន៍) ឬមិនមាន និងដោយព្រំដែននៃដែននៃអនុគមន៍នេះ។ នៅចន្លោះពេលដែលក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ស្ថិតនៅខាងលើអ័ក្ស OX និងកន្លែងណា - នៅខាងក្រោមអ័ក្សនេះ។
ឃ) ស្វែងរកដេរីវេដំបូងនៃអនុគមន៍ កំណត់លេខសូន្យ និងចន្លោះពេលថេររបស់វា។ នៅចន្លោះពេលដែលមុខងារកើនឡើង និងកន្លែងដែលវាថយចុះ។ ធ្វើការសន្និដ្ឋានអំពីវត្តមានរបស់ extrema (ចំណុចដែលអនុគមន៍ និងដេរីវេមាន ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់វាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ ប្រសិនបើវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក នោះនៅចំណុចនេះមុខងារមានអតិបរមា ហើយប្រសិនបើពីដកទៅ បូកបន្ទាប់មកអប្បបរមា) ។ ស្វែងរកតម្លៃនៃមុខងារនៅចំណុចខ្លាំង។
ង) ស្វែងរកដេរីវេទី 2 សូន្យរបស់វា និងចន្លោះពេលនៃថេរ។ នៅចន្លោះពេល< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ង) ស្វែងរក asymtotes oblique (ផ្ដេក) សមីការដែលមានទម្រង់ 
; កន្លែងណា 
.
នៅ 
ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នឹងមាន asymptotes oblique ពីរ ហើយតម្លៃនីមួយៗនៃ x នៅ និងអាចត្រូវគ្នានឹងតម្លៃពីរនៃ b ។
ឆ) ស្វែងរកចំណុចបន្ថែមដើម្បីបញ្ជាក់កាលវិភាគ (បើចាំបាច់) និងបង្កើតក្រាហ្វ។
ឧទាហរណ៍ ១
ពិនិត្យមុខងារ និងគូសវាស។ ដំណោះស្រាយ៖ ក) វិសាលភាពនៃនិយមន័យ; មុខងារគឺបន្តនៅក្នុងដែននៃនិយមន័យ; - ចំណុចបំបែក, ដោយសារតែ ; 
... បន្ទាប់មកគឺ asymptote បញ្ឈរ។
ខ)
ទាំងនោះ។ y (x) គឺជាមុខងារទូទៅ។
គ) រកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្ស OY៖ យើងកំណត់ x = 0; បន្ទាប់មក y (0) = - 1, i.e. ក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ឆ្លងកាត់អ័ក្សនៅចំណុច (0; -1) ។ សូន្យនៃអនុគមន៍ (ចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វជាមួយអ័ក្ស OX): យើងកំណត់ y = 0; បន្ទាប់មក 
.
រើសអើង សមីការការ៉េ តិចជាងសូន្យបន្ទាប់មកសូន្យមិនមានទេ។ បន្ទាប់មកព្រំដែននៃចន្លោះពេលនៃថេរគឺជាចំណុច x = 1 ដែលមុខងារមិនមាន។
សញ្ញានៃមុខងារក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រនៃតម្លៃជាក់លាក់៖
វាអាចត្រូវបានគេមើលឃើញពីដ្យាក្រាមដែលនៅក្នុងចន្លោះពេលក្រាហ្វនៃមុខងារមានទីតាំងនៅក្រោមអ័ក្ស OX ហើយក្នុងចន្លោះពេល - លើអ័ក្ស OX ។
ឃ) រកមើលវត្តមាននៃចំណុចសំខាន់។
.
ចំណុចសំខាន់ (កន្លែងឬមិនមាន) ត្រូវបានរកឃើញពីសមភាព និង។
យើងទទួលបាន៖ x1 = 1, x2 = 0, x3 = 2 ។ ចូរយើងតែង តារាងជំនួយ
តារាងទី 1 
(បន្ទាត់ទីមួយមានចំណុចសំខាន់ និងចន្លោះពេលដែលចំនុចទាំងនេះត្រូវបានបែងចែកដោយអ័ក្ស OX បន្ទាត់ទីពីរបង្ហាញពីតម្លៃនៃដេរីវេនៅចំនុចសំខាន់ និងសញ្ញានៅលើចន្លោះពេល។ សញ្ញាត្រូវបានកំណត់ដោយវិធីសាស្ត្រ នៃតម្លៃផ្នែក។ បន្ទាត់ទីបីបង្ហាញពីតម្លៃនៃអនុគមន៍ y (x) នៅចំណុចសំខាន់ ហើយឥរិយាបថនៃអនុគមន៍ត្រូវបានបង្ហាញ - បង្កើនឬបន្ថយនៅលើចន្លោះពេលដែលត្រូវគ្នានៃអ័ក្សលេខ។
ង) ស្វែងរកចន្លោះប្រហោង និង concavity នៃអនុគមន៍។
; បង្កើតតារាងដូចក្នុងកថាខណ្ឌ D); មានតែនៅក្នុងជួរទីពីរទេដែលយើងសរសេរសញ្ញាហើយនៅទីបីយើងបង្ហាញពីប្រភេទនៃប៉ោង។ ដោយសារតែ ; បន្ទាប់មកមានចំណុចសំខាន់មួយ x = 1 ។
តារាង 2 
ចំនុច x = 1 គឺជាចំនុចបញ្ឆេះ។
ង) ស្វែងរកសញ្ញា asymtotes oblique និងផ្ដេក 
បន្ទាប់មក y = x គឺជា asymptote oblique ។
G) ដោយប្រើទិន្នន័យដែលទទួលបានយើងបង្កើតក្រាហ្វនៃមុខងារ 
1). តំបន់និយមន័យមុខងារ។
ជាក់ស្តែង មុខងារនេះត្រូវបានកំណត់នៅលើបន្ទាត់លេខទាំងមូល លើកលែងតែចំណុច "" និង "" ចាប់តាំងពី នៅចំណុចទាំងនេះ ភាគបែងគឺសូន្យ ហើយដូច្នេះ មុខងារមិនមានទេ ហើយបន្ទាត់ត្រង់ និងជា asymtotes បញ្ឈរ។
2). ឥរិយាបថនៃមុខងារនៅពេលដែលអាគុយម៉ង់មានទំនោរទៅរកភាពគ្មានទីបញ្ចប់ អត្ថិភាពនៃចំណុចមិនបន្ត និងការត្រួតពិនិត្យសម្រាប់វត្តមាននៃ asymptotes oblique ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងពិនិត្យមើលជាមុនពីរបៀបដែលមុខងារមានឥរិយាបទនៅពេលចូលទៅជិតភាពគ្មានទីបញ្ចប់ទៅខាងឆ្វេងនិងទៅខាងស្តាំ។ 
ដូច្នេះសម្រាប់មុខងារមាននិន្នាការទៅ 1, i.e. - asymptote ផ្ដេក។
នៅតំបន់ជុំវិញចំណុចដាច់ ឥរិយាបថនៃមុខងារត្រូវបានកំណត់ដូចខាងក្រោម៖ 
ទាំងនោះ។ នៅពេលចូលទៅជិតចំនុចដាច់នៅខាងឆ្វេង មុខងារថយចុះគ្មានកំណត់ ហើយនៅខាងស្តាំ វាកើនឡើងឥតកំណត់។
វត្តមាននៃ asymptote oblique ត្រូវបានកំណត់ដោយការពិចារណាលើសមភាព: 
មិនមានរោគសញ្ញា oblique ទេ។
3). ចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។
នៅទីនេះវាចាំបាច់ដើម្បីពិចារណាស្ថានភាពពីរ: ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុក និងជាមួយអ័ក្សអយ។ សញ្ញានៃចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុកគឺជាតម្លៃសូន្យនៃអនុគមន៍ i.e. វាចាំបាច់ក្នុងការដោះស្រាយសមីការ៖
សមីការនេះមិនមានឫសគល់ទេ ដូច្នេះក្រាហ្វនៃអនុគមន៍នេះមិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុកទេ។
សញ្ញានៃចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្ស Oy គឺជាតម្លៃ x = 0 ។
,
ទាំងនោះ។ - ចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ដែលមានអ័ក្ស Oy ។
4).ការកំណត់ចំណុចខ្លាំង និងចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងថយចុះ។
ដើម្បីស៊ើបអង្កេតបញ្ហានេះ យើងកំណត់និស្សន្ទវត្ថុទីមួយ៖ 
.
ចូរយើងយកតម្លៃនៃដេរីវេទី 1 ទៅសូន្យ។ 
.
ប្រភាគស្មើនឹងសូន្យ នៅពេលដែលភាគយករបស់វាស្មើនឹងសូន្យ ឧ. ...
ចូរយើងកំណត់ចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងបន្ថយនៃមុខងារ។
ដូច្នេះ មុខងារមានចំណុចខ្លាំងមួយ ហើយមិនមានពីរចំណុចទេ។
ដូច្នេះមុខងារកើនឡើងក្នុងចន្លោះពេល និង និងថយចុះក្នុងចន្លោះពេល និង។
5). ចំនុចប្រសព្វ និងតំបន់នៃប៉ោង និងប្រហោង។
លក្ខណៈនៃឥរិយាបទនៃអនុគមន៍នេះត្រូវបានកំណត់ដោយប្រើដេរីវេទី 2 ។ ចូរយើងកំណត់ជាមុននូវវត្តមាននៃចំណុចបញ្ឆេះ។ ដេរីវេទីពីរនៃមុខងារគឺ 
នៅនិងមុខងារគឺ concave;
សម្រាប់ និងមុខងារគឺប៉ោង។
6). ការធ្វើផែនការមុខងារ។
ដោយប្រើតម្លៃដែលបានរកឃើញនៅក្នុងចំណុច យើងបង្កើតក្រាហ្វនៃអនុគមន៍៖
ឧទាហរណ៍ ៣
មុខងាររុករក 
និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។ ដំណោះស្រាយ
អនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឲ្យគឺជាមុខងារទូទៅដែលមិនមានកាលកំណត់។ ក្រាហ្វរបស់វាឆ្លងកាត់ប្រភពដើមចាប់តាំងពី។
ដែននៃអនុគមន៍ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺជាតម្លៃទាំងអស់នៃអថេរ លើកលែងតែ និង ដែលភាគបែងនៃប្រភាគបាត់។
អាស្រ័យហេតុនេះ ចំណុច និងជាចំណុចនៃភាពមិនដំណើរការនៃមុខងារ។
ដោយសារតែ 
, 
ដោយសារតែ 
,
បន្ទាប់មកចំណុចគឺជាចំណុចបំបែកនៃប្រភេទទីពីរ។
បន្ទាត់ត្រង់ និងជា asymtotes បញ្ឈរនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
សមីការនៃ asymptotes oblique, ដែលជាកន្លែងដែល, 
.
នៅ 
,
.
ដូច្នេះសម្រាប់ និងក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មាន asymptote មួយ។
ចូរយើងស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ និងចំណុចខ្លាំង។
.
ដេរីវេទី 1 នៃអនុគមន៍នៅ និង, ដូច្នេះ, នៅ និង, មុខងារកើនឡើង។
ពេលណា ពេលណា មុខងារថយចុះ។
មិនមានសម្រាប់, ។ 
ដូច្នេះសម្រាប់ 
ក្រាហ្វនៃមុខងារគឺកោង។
នៅ 
ដូច្នេះសម្រាប់ 
ក្រាហ្វនៃមុខងារគឺប៉ោង។ 
នៅពេលឆ្លងកាត់ចំណុច, ការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា។ នៅពេល មុខងារមិនត្រូវបានកំណត់ ដូច្នេះក្រាហ្វមុខងារមានចំណុចបញ្ឆេះមួយ។
ចូរយើងរៀបចំផែនការមុខងារ។ 
ចំណុចយោងក្នុងការសិក្សាមុខងារ និងការបង្កើតក្រាហ្វរបស់ពួកគេគឺជាចំណុចលក្ខណៈ - ចំណុចនៃភាពមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា ភាពខ្លាំង ការបំភាន់ ចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។ ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលអាចត្រូវបានប្រើដើម្បីបង្កើត ចរិកលក្ខណៈការផ្លាស់ប្តូរមុខងារ៖ ការកើនឡើង និងថយចុះ, អតិបរមា និងអប្បបរមា, ទិសដៅនៃភាពប៉ោង និងប៉ោងនៃក្រាហ្វ, វត្តមាននៃ asymptotes ។
គំនូសព្រាងនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍អាច (និងគួរ) គូសវាសចេញបន្ទាប់ពីការស្វែងរក asymtotes និងចំណុចខ្លាំង ហើយវាងាយស្រួលក្នុងការបំពេញតារាងជំនួយសម្រាប់ការសិក្សាមុខងារអំឡុងពេលសិក្សា។
ជាធម្មតា គ្រោងការណ៍សិក្សាមុខងារខាងក្រោមត្រូវបានប្រើប្រាស់។
1.ស្វែងរកដែន ចន្លោះពេលបន្ត និងចំណុចបំបែកនៃមុខងារ.
2.ស៊ើបអង្កេតមុខងារសម្រាប់ភាពស្មើគ្នា ឬភាពចម្លែក (អ័ក្ស ឬ ស៊ីមេទ្រីកណ្តាលក្រាហ្វិក។
3.ស្វែងរក asymtotes (បញ្ឈរ ផ្ដេក ឬ oblique) ។
4.ស្វែងរក និងស៊ើបអង្កេតចន្លោះពេលនៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ ចំណុចនៃភាពខ្លាំងរបស់វា។
5.ស្វែងរកចន្លោះពេលនៃការប៉ោង និង concavity នៃខ្សែកោង ចំណុចនៃការ inflection របស់វា។
6.ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃខ្សែកោងជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ ប្រសិនបើពួកគេមាន។
7.រៀបចំតារាងសង្ខេបនៃការសិក្សា។
8.បង្កើតក្រាហ្វមួយដោយគិតគូរពីការសិក្សាមុខងារដែលបានអនុវត្តលើចំណុចខាងលើ។
ឧទាហរណ៍។មុខងាររុករក
និងបង្កើតក្រាហ្វរបស់វា។
7. ចូរយើងចងក្រងតារាងសង្ខេបនៃការសិក្សាអំពីអនុគមន៍ ដែលយើងនឹងបញ្ចូលចំណុចលក្ខណៈទាំងអស់ និងចន្លោះពេលរវាងពួកវា។ ដោយគិតពីភាពស្មើគ្នានៃមុខងារ យើងទទួលបានតារាងខាងក្រោម៖
លក្ខណៈពិសេសនៃកាលវិភាគ |
||||
[-1, 0[ |
ការកើនឡើង |
ប៉ោង |
||
(0; 1) - ចំណុចអតិបរមា |
||||
]0, 1[ |
ថយចុះ |
ប៉ោង |
||
ចំណុចឆ្លុះ, បង្កើតជាអ័ក្ស គោមុំ obtuse |
មួយនៃ ភារកិច្ចសំខាន់ការគណនាឌីផេរ៉ង់ស្យែលគឺជាការអភិវឌ្ឍន៍ ឧទាហរណ៍ទូទៅការសិក្សាអំពីឥរិយាបថនៃមុខងារ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f (x) បន្តនៅចន្លោះពេល ហើយដេរីវេរបស់វាគឺវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅលើចន្លោះពេល (a, b) នោះ y = f (x) កើនឡើងដោយ (f "(x) 0) .ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f (x) បន្តនៅលើចន្លោះពេល ហើយដេរីវេរបស់វាគឺអវិជ្ជមាន ឬស្មើនឹង 0 នៅលើចន្លោះពេល (a, b) នោះ y = f (x) ថយចុះដោយ (f "(x) 0 ។ )
ចន្លោះពេលដែលអនុគមន៍មិនថយចុះ ឬមិនកើនឡើង ត្រូវបានគេហៅថាចន្លោះពេលនៃភាពឯកតានៃអនុគមន៍។ ធម្មជាតិនៃ monotonicity នៃអនុគមន៍មួយអាចផ្លាស់ប្តូរបានតែនៅចំណុចទាំងនោះនៃដែននិយមន័យរបស់វា ដែលសញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 1 ។ ចំនុចដែលដេរីវេទី 1 នៃមុខងារមួយបាត់ ឬមានការមិនដំណើរការ ត្រូវបានគេហៅថាសំខាន់។
ទ្រឹស្តីបទទី 1 (លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ទី 1 សម្រាប់អត្ថិភាពនៃជ្រុល) ។
អនុញ្ញាតឱ្យអនុគមន៍ y = f (x) ត្រូវបានកំណត់នៅចំណុច x 0 ហើយអនុញ្ញាតឱ្យមានសង្កាត់ δ> 0 ដែលអនុគមន៍បន្តនៅចន្លោះពេល ដែលអាចខុសគ្នានៅលើចន្លោះពេល (x 0 -δ, x 0) u ( x 0, x 0 + δ) ហើយដេរីវេរបស់វារក្សាសញ្ញាថេរនៅលើចន្លោះនីមួយៗទាំងនេះ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើនៅលើ x 0 -δ, x 0) និង (x 0, x 0 + δ) សញ្ញានៃដេរីវេគឺខុសគ្នា នោះ x 0 គឺជាចំណុចខ្លាំងមួយ ហើយប្រសិនបើពួកគេស្របគ្នានោះ x 0 មិនមែនជាចំណុចខ្លាំងនោះទេ។ . លើសពីនេះទៅទៀត ប្រសិនបើនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x0 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក (នៅខាងឆ្វេង x 0, f "(x)> 0 ត្រូវបានអនុវត្ត នោះ x 0 គឺជាចំណុចអតិបរមា ប្រសិនបើនិស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញា ពីដកទៅបូក (នៅខាងស្តាំ x 0 ប្រតិបត្តិ f "(x)<0, то х 0 - точка минимума.
ចំណុចអតិបរិមា និងអតិបរមាត្រូវបានគេហៅថា ចំណុចខ្លាំងនៃអនុគមន៍ ហើយអតិបរមា និងអប្បបរមានៃអនុគមន៍ត្រូវបានគេហៅថាតម្លៃខ្លាំងរបស់វា។
ទ្រឹស្តីបទ 2 (លក្ខណៈវិនិច្ឆ័យចាំបាច់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយមក្នុងតំបន់) ។
ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f (x) មានចំនុចខ្លាំងនៅក្នុង x = x 0 នោះ f '(x 0) = 0 ឬ f ' (x 0) មិនមានទេ។
នៅចំណុចខ្លាំងនៃមុខងារដែលអាចបែងចែកបាន តង់សង់ទៅក្រាហ្វរបស់វាគឺស្របទៅនឹងអ័ក្សអុក។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការសិក្សាអនុគមន៍សម្រាប់ភាពខ្លាំងមួយ:
1) ស្វែងរកដេរីវេនៃអនុគមន៍។
2) ស្វែងរកចំណុចសំខាន់, i.e. ចំណុចដែលអនុគមន៍បន្ត ហើយដេរីវេគឺសូន្យ ឬមិនមាន។
3) ពិចារណាពីសង្កាត់នៃចំនុចនីមួយៗ ហើយពិនិត្យមើលសញ្ញានៃដេរីវេនៅខាងឆ្វេង និងខាងស្តាំនៃចំនុចនេះ។
4) កំណត់កូអរដោណេនៃចំណុចខ្លាំង សម្រាប់ការនេះ តម្លៃនៃចំណុចសំខាន់ត្រូវបានជំនួសទៅក្នុងមុខងារនេះ។ ដោយប្រើលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពជ្រុលនិយម ទាញការសន្និដ្ឋានសមស្រប។
ឧទាហរណ៍ 18. ស៊ើបអង្កេតអនុគមន៍ជ្រុល y = x 3 −9x 2 + 24x
ដំណោះស្រាយ។
1) y” = 3x 2 −18x + 24 = 3 (x−2) (x−4)។
2) សមីការដេរីវេទៅសូន្យ យើងរកឃើញ x 1 = 2, x 2 = 4 ។ ក្នុងករណីនេះ ដេរីវេត្រូវបានកំណត់នៅគ្រប់ទីកន្លែង; អាស្រ័យហេតុនេះ ក្រៅពីចំណុចពីរដែលរកឃើញនោះ ក៏មិនមានចំណុចសំខាន់ផ្សេងទៀតដែរ។
3) សញ្ញានៃដេរីវេទី y "= 3 (x-2) (x-4) ផ្លាស់ប្តូរអាស្រ័យលើចន្លោះពេលដូចបង្ហាញក្នុងរូបភាពទី 1 ។ នៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x = 2 និស្សន្ទវត្ថុផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីបូកទៅដក។ ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x = 4 - ពីដកទៅបូក។
4) នៅចំណុច x = 2 អនុគមន៍មានអតិបរមា y max = 20 ហើយនៅចំណុច x = 4 - អប្បបរមា y min = 16 ។
ទ្រឹស្តីបទ 3. (លក្ខខណ្ឌទី 2 គ្រប់គ្រាន់សម្រាប់អត្ថិភាពនៃភាពជ្រុលនិយម) ។
អនុញ្ញាតឱ្យ f "( x 0 ) ហើយនៅចំណុច x 0 មាន f " " ( x 0 ) បន្ទាប់មកប្រសិនបើ f " " ( x 0 ) > 0 នោះ x 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា ហើយប្រសិនបើ f " " ( x 0 ។ )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).
នៅលើផ្នែកមួយ អនុគមន៍ y = f (x) អាចឈានដល់តម្លៃតូចបំផុត (y naim) ឬធំបំផុត (y naib) ទាំងនៅចំណុចសំខាន់នៃអនុគមន៍ដែលស្ថិតនៅចន្លោះពេល (a; b) ឬនៅ ចុងបញ្ចប់នៃផ្នែក។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកតម្លៃធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y = f (x) នៅលើផ្នែកមួយ៖
1) រក f "(x) ។
2) ស្វែងរកចំណុចដែល f "(x) = 0 ឬ f" (x) - មិនមាន ហើយជ្រើសរើសពីពួកវាដែលស្ថិតនៅខាងក្នុងផ្នែក។
3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍ y = f (x) នៅចំនុចដែលទទួលបានក្នុងជំហានទី 2) ក៏ដូចជានៅខាងចុងនៃចម្រៀក ហើយជ្រើសរើសធំបំផុត និងតូចបំផុតនៃពួកវា៖ ពួកគេរៀងគ្នា ធំបំផុត (y naib) និងតូចបំផុត (y naim) តម្លៃនៃមុខងារនៅលើ segment ។
ឧទាហរណ៍ 19. រកតម្លៃធំបំផុតនៃអនុគមន៍បន្ត y = x 3 -3x 2 -45 + 225 នៅលើផ្នែក។
1) យើងមាន y "= 3x 2 -6x-45 នៅលើផ្នែក
2) ដេរីវេទី y "មានសម្រាប់ x ទាំងអស់។ ស្វែងរកចំណុចដែល y" = 0; យើងទទួលបាន:
3x 2 −6x–45 = 0
x 2 −2x −15 = 0
x 1 = −3; x 2 = 5
3) គណនាតម្លៃនៃអនុគមន៍នៅចំនុច x = 0 y = 225, x = 5 y = 50, x = 6 y = 63
មានតែចំនុច x = 5 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែក។ ធំបំផុតនៃតម្លៃដែលបានរកឃើញនៃអនុគមន៍គឺ 225 ហើយតូចបំផុតគឺលេខ 50។ ដូច្នេះ y naib = 225, y naim = 50 ។
ពិនិត្យមុខងារនៅលើប៉ោង
តួលេខបង្ហាញក្រាហ្វនៃមុខងារពីរ។ ទីមួយនៃពួកវាគឺប៉ោងឡើងលើទីពីរ - ប៉ោងចុះក្រោម។
អនុគមន៍ y = f (x) គឺបន្តនៅលើផ្នែក និងអាចខុសគ្នាក្នុងចន្លោះពេល (a; b) ត្រូវបានគេហៅថាប៉ោងឡើងលើ (ចុះក្រោម) នៅលើផ្នែកនេះ ប្រសិនបើសម្រាប់ axb ក្រាហ្វរបស់វាមិននៅខាងលើ (មិនខាងក្រោម) តង់សង់ គូរនៅចំណុចណាមួយ M 0 (x 0; f (x 0)) ដែល axb ។
ទ្រឹស្តីបទ 4. សូមអោយអនុគមន៍ y = f (x) មានដេរីវេទី 2 នៅចំនុចខាងក្នុងណាមួយ x នៃ segment ហើយបន្តនៅចុងបញ្ចប់នៃ segment នេះ។ បន្ទាប់មកប្រសិនបើចន្លោះពេល (a; b) វិសមភាព f "" (x) 0 ត្រូវបានពេញចិត្ត នោះមុខងារគឺប៉ោងចុះក្រោមនៅលើផ្នែក។ ប្រសិនបើវិសមភាព f "" (x) 0 ពេញចិត្តនៅចន្លោះពេល (a; b) នោះមុខងារគឺប៉ោងឡើងដោយ។
ទ្រឹស្តីបទ 5. ប្រសិនបើអនុគមន៍ y = f (x) មានដេរីវេទីពីរនៅលើចន្លោះ (a; b) ហើយប្រសិនបើវាផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x 0 នោះ M (x 0; f (x 0)) គឺ ចំណុចឆ្លង។
ច្បាប់សម្រាប់ការស្វែងរកចំណុចប្រសព្វ៖
1) ស្វែងរកចំនុចដែល f "" (x) មិនមាន ឬបាត់។
2) ពិនិត្យមើលសញ្ញា f "" (x) នៅខាងឆ្វេងនិងខាងស្តាំនៃចំណុចនីមួយៗដែលបានរកឃើញនៅជំហានដំបូង។
៣) ទាញសេចក្តីសន្និដ្ឋានដោយផ្អែកលើទ្រឹស្តីបទ ៤ ។
ឧទាហរណ៍ 20. រកចំនុចខ្លាំង និង inflection នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ y = 3x 4 -8x 3 + 6x 2 +12 ។
េយងមាន f “(x) = 12x 3 −24x 2 + 12x = 12x (x−1) 2. ជាក់ស្តែង f” (x) = 0 សម្រាប់ x 1 = 0, x 2 = 1 ។ ដេរីវេនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x = 0 ផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាពីដកទៅបូក ហើយនៅពេលឆ្លងកាត់ចំនុច x = 1 មិនផ្លាស់ប្តូរសញ្ញាទេ។ ដូច្នេះ x = 0 គឺជាចំណុចអប្បបរមា (នៅ min = 12) ហើយគ្មានចំណុចខ្លាំងណាមួយទេ នៅចំណុច x = 1 ។ លើសពីនេះទៀតយើងរកឃើញ 
... ដេរីវេទី 2 បាត់នៅចំនុច x 1 = 1, x 2 = 1/3 ។ សញ្ញានៃការផ្លាស់ប្តូរដេរីវេទី 2 ដូចខាងក្រោមៈ នៅលើកាំរស្មី (-∞;) យើងមាន f "" (x) > 0 នៅចន្លោះពេល (; 1) យើងមាន f "" (x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. ដូច្នេះ x = គឺជាចំណុច inflection នៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងចុះក្រោមទៅជាប៉ោងឡើងលើ) ហើយ x = 1 ក៏ជាចំនុច inflection (ការផ្លាស់ប្តូរពីប៉ោងឡើងលើទៅប៉ោងចុះក្រោម)។ ប្រសិនបើ x = នោះ y =; ប្រសិនបើ x = 1, y = 13 ។
ក្បួនដោះស្រាយសម្រាប់ការស្វែងរកក្រាហ្វ asymptote
I. ប្រសិនបើ y = f (x) ជា x → a នោះ x = a គឺជា asymptote បញ្ឈរ។
II. ប្រសិនបើ y = f (x) ជា x → ∞ ឬ x → -∞ នោះ y = A គឺជា asymptote ផ្ដេក។
III. ដើម្បីស្វែងរក asymptote oblique យើងប្រើ algorithm ខាងក្រោម៖
1) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់មាន ហើយស្មើនឹង b នោះ y = b គឺជា asymptote ផ្ដេក។ ប្រសិនបើបន្ទាប់មកទៅជំហានទីពីរ។
2) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង k បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបី។
3) គណនា។ ប្រសិនបើដែនកំណត់នេះមិនមានទេ នោះមិនមាន asymptote ទេ។ ប្រសិនបើវាមាន ហើយស្មើនឹង b បន្ទាប់មកទៅជំហានទីបួន។
4) សរសេរសមីការនៃ oblique asymptote y = kx + b ។
ឧទាហរណ៍ 21: ស្វែងរក asymptote សម្រាប់មុខងារមួយ។ 
1) 
2)
3)
4) សមីការ asymptote oblique មានទម្រង់
គ្រោងការណ៍នៃការសិក្សាមុខងារមួយ និងការសាងសង់ក្រាហ្វរបស់វា។
I. ស្វែងរកដែននិយមន័យនៃអនុគមន៍។
II. ស្វែងរកចំណុចប្រសព្វនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍ជាមួយអ័ក្សកូអរដោនេ។
III. ស្វែងរក asymtotes ។
IV. ស្វែងរកចំណុចខ្លាំងដែលអាចកើតមាន។
V. ស្វែងរកចំណុចសំខាន់។
វី ដោយប្រើតួលេខជំនួយ ស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ កំណត់តំបន់នៃការកើនឡើង និងការថយចុះនៃមុខងារ ស្វែងរកទិសដៅនៃភាពប៉ោងនៃក្រាហ្វ ចំណុចខ្លាំង និងចំណុចនៃការឆ្លុះ។
វីអាយ. បង្កើតក្រាហ្វដោយគិតគូរពីការស្រាវជ្រាវដែលបានធ្វើឡើងនៅក្នុងកថាខណ្ឌ 1-6 ។
ឧទាហរណ៍ទី 22៖ រៀបចំក្រាហ្វមុខងារមួយតាមគ្រោងការណ៍ខាងលើ
ដំណោះស្រាយ។
I. ដែននៃអនុគមន៍ គឺជាសំណុំនៃចំនួនពិតទាំងអស់ លើកលែងតែ x = 1 ។
II. ដូច្នេះសមីការ x 2 + 1 = 0 មិនមានឫសពិតទេ បន្ទាប់មកក្រាហ្វនៃអនុគមន៍មិនមានចំនុចប្រសព្វជាមួយអ័ក្សអុកទេ ប៉ុន្តែប្រសព្វអ័ក្ស Oy ត្រង់ចំនុច (0; -1)។
III. ចូរយើងស្រាយចម្ងល់អំពីអត្ថិភាពនៃ asymtotes ។ អនុញ្ញាតឱ្យយើងស៊ើបអង្កេតឥរិយាបថនៃអនុគមន៍នៅជិតចំនុច discontinuity x = 1 ។ ដោយសារ y → ∞ ជា x → -∞ y → + ∞ ជា x → 1+ បន្ទាត់ x = 1 គឺជា asymptote បញ្ឈរនៃក្រាហ្វនៃអនុគមន៍។
ប្រសិនបើ x → + ∞ (x → -∞) បន្ទាប់មក y → + ∞ (y → -∞); ដូច្នេះ ក្រាហ្វមិនមាន asymptote ផ្ដេកទេ។ លើសពីនេះទៀតពីអត្ថិភាពនៃដែនកំណត់
ការដោះស្រាយសមីការ x 2 -2x-1 = 0 យើងទទួលបានពីរចំណុចនៃអតិបរមាដែលអាចកើតមាន៖
x 1 = 1-√2 និង x 2 = 1 + √2
V. ដើម្បីស្វែងរកចំណុចសំខាន់ យើងគណនាដេរីវេទី ២៖
ដោយសារ f "" (x) មិនរលាយបាត់ គ្មានចំណុចសំខាន់ទេ។
វី ចូរយើងស៊ើបអង្កេតសញ្ញានៃនិស្សន្ទវត្ថុទីមួយ និងទីពីរ។ ចំណុចខ្លាំងដែលអាចពិចារណាបាន៖ x 1 = 1-√2 និង x 2 = 1 + √2 បែងចែកដែនអត្ថិភាពនៃអនុគមន៍ទៅជាចន្លោះពេល (-∞; 1-√2), (1-√2; 1 + √2) និង (1 + √2; + ∞) ។
ក្នុងចន្លោះពេលនីមួយៗ និស្សន្ទវត្ថុរក្សាសញ្ញារបស់វា៖ នៅក្នុងទីមួយ - បូក, ក្នុងទីពីរ - ដក, នៅទីបី - បូក។ លំដាប់នៃសញ្ញានៃដេរីវេទី 1 នឹងត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោម: +, -, + ។
យើងឃើញថាមុខងារកើនឡើងនៅលើ (-∞; 1-√2) ថយចុះនៅលើ (1-√2; 1 + √2) ហើយកើនឡើងម្តងទៀតនៅលើ (1 + √2; + ∞) ។ ចំណុចខ្លាំង៖ អតិបរមានៅ x = 1-√2 និង f (1-√2) = 2-2√2 អប្បបរមានៅ x = 1 + √2 និង f (1 + √2) = 2 + 2√2 ។ នៅ (-∞; 1) ក្រាហ្វគឺប៉ោងឡើងលើ ហើយនៅលើ (1; + ∞) - ចុះក្រោម។
VII ចូរយើងចងក្រងតារាងនៃតម្លៃដែលទទួលបាន
VIII ដោយផ្អែកលើទិន្នន័យដែលទទួលបាន យើងបង្កើតគំនូរព្រាងនៃក្រាហ្វមុខងារ 
