Në shtëpi Këshilla të dobishme Qoshet ngjitur ndajnë një anë të përbashkët. Qoshe vertikale dhe ngjitur. Çfarë është një qoshe ngjitur

Këshilla të dobishme

Qoshet ngjitur ndajnë një anë të përbashkët. Qoshe vertikale dhe ngjitur. Çfarë është një qoshe ngjitur

Dy qoshe quhen ngjitur nëse kanë njërën anë të përbashkët, dhe anët e tjera të këtyre qosheve janë rreze shtesë. Në Figurën 20, këndet AOB dhe BOC janë ngjitur.

Shuma e këndeve ngjitur është 180 °

Teorema 1. Shuma e këndeve ngjitur është 180 °.

Vërtetim. Rrezja OB (shih Fig. 1) kalon midis anëve të këndit të shpalosur. Prandaj AOB + BOS = 180 °.

Nga Teorema 1 rrjedh se nëse dy kënde janë të barabarta, atëherë këndet ngjitur me to janë të barabartë.

Këndet vertikale janë të barabarta

Dy qoshe quhen vertikale nëse anët e njërit cep janë rreze plotësuese të anëve të tjetrit. Këndet AOB dhe COD, BOD dhe AOC, të formuara në kryqëzimin e dy drejtëzave, janë vertikale (Fig. 2).

Teorema 2. Këndet vertikale janë të barabarta.

Vërtetim. Konsideroni këndet vertikale AOB dhe COD (shih Fig. 2). BOD -i i qoshes është ngjitur me secilën nga qoshet AOB dhe COD. Nga Teorema 1 ∠ AOB + OD BOD = 180 °, ∠ COD + ∠ BOD = 180 °.

Prandaj konkludojmë se ∠ AOB = ∠ COD.

Përfundim 1. Një kënd ngjitur me një kënd të drejtë është një kënd i drejtë.

Konsideroni dy drejtëzat e prera AC dhe BD (Fig. 3). Ato formojnë katër qoshe. Nëse njëri prej tyre është i drejtë (këndi 1 në Fig. 3), atëherë këndet e tjera janë gjithashtu të drejta (këndet 1 dhe 2, 1 dhe 4 janë ngjitur, këndet 1 dhe 3 janë vertikale). Në këtë rast, ata thonë se këto linja ndërpriten në kënde të drejta dhe quhen pingul (ose reciprokisht pingul). Pingulësia e drejtëzave AC dhe BD përcaktohet si më poshtë: AC ⊥ BD.

Pika e mesme pingul me një segment është një vijë e drejtë pingul me këtë segment dhe që kalon nëpër pikën e mesit të tij.

AH - pingul me një vijë të drejtë

Konsideroni një vijë të drejtë a dhe një pikë A që nuk shtrihet mbi të (Fig. 4). Le ta lidhim pikën A me një segment me pikën H në një vijë të drejtë a. Një segment AH quhet një pingul tërhequr nga pika A në drejtëzën a nëse drejtëzat AH dhe a janë pingul. Pika H quhet baza e pingules.

Vizatimi i sheshit

Teorema e mëposhtme është e vërtetë.

Teorema 3. Nga çdo pikë që nuk shtrihet në një vijë, mund të vizatohet një pingul me këtë vijë, dhe për më tepër, vetëm një.

Për të nxjerrë një pingul nga një pikë në një vijë të drejtë në vizatim, përdorni një shesh vizatimi (Fig. 5).

Komentoni. Deklarata e teoremës zakonisht përbëhet nga dy pjesë. Një pjesë flet për atë që jepet. Kjo pjesë quhet gjendja e teoremës. Pjesa tjetër flet për atë që duhet provuar. Kjo pjesë quhet përfundimi i teoremës. Për shembull, kushti i Teoremës 2 është që këndet të jenë vertikale; përfundim - këto kënde janë të barabarta.

Çdo teoremë mund të shprehet në detaje me fjalë në mënyrë që gjendja e saj të fillojë me fjalën "nëse", dhe përfundimi me fjalën "atëherë". Për shembull, Teorema 2 mund të thuhet në detaje si më poshtë: "Nëse dy kënde janë vertikale, atëherë ato janë të barabarta".

Shembulli 1 Një nga këndet ngjitur është 44 °. Me çfarë është e barabartë tjetra?

Zgjidhja. Ne shënojmë masën e shkallës së këndit tjetër me x, atëherë sipas Teoremës 1.
44 ° + x = 180 °.
Duke zgjidhur ekuacionin që rezulton, gjejmë se x = 136 °. Prandaj, këndi tjetër është 136 °.

Shembulli 2 Le të jetë këndi COD në Figurën 21 45 °. Cilat janë këndet AOB dhe AOC?

Zgjidhja. Këndet COD dhe AOB janë vertikale, prandaj, sipas Teoremës 1.2, ato janë të barabarta, pra, ∠ AOB = 45 °. Këndi AOC është ngjitur me këndin COD, pra, nga Teorema 1.
AOC = 180 ° - ∠ COD = 180 ° - 45 ° = 135 °.

Shembulli 3 Gjeni qoshet ngjitur nëse njëri prej tyre është 3 herë më i madh se tjetri.

Zgjidhja. Le të shënojmë masën e shkallës së këndit më të vogël përmes x. Atëherë masa e shkallës së këndit më të madh do të jetë Zx. Meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180 ° (Teorema 1), atëherë x + 3x = 180 °, prej nga x = 45 °.
Kjo do të thotë që këndet ngjitur janë 45 ° dhe 135 °.

Shembulli 4 Shuma e dy këndeve vertikale është 100 °. Gjeni madhësinë e secilit prej katër këndeve.

Zgjidhja. Le të korrespondojë figura 2 me gjendjen e problemit.Këndet vertikale të COD në AOB janë të barabarta (Teorema 2), prandaj, masat e shkallës së tyre janë gjithashtu të barabarta. Prandaj, COD = AOB = 50 ° (shuma e tyre sipas gjendjes është 100 °). Këndi BOD (gjithashtu këndi AOC) është ngjitur me këndin COD, dhe, prandaj, nga Teorema 1
OD BOD = ∠ AOC = 180 ° - 50 ° = 130 °.

KAPITULLI I.

KONCEPTET THEMELORE.

Njëmbëdhjetë. K ANNDT NGA DHE VERTIKALE.

1. Qoshet ngjitur.

Nëse e shtrijmë anën e një cepi përtej kulmit të tij, marrim dy qoshe (Fig. 72): / Një para Krishtit dhe / CBD, në të cilën njëra anë e Krishtit është e zakonshme, dhe dy të tjerat AB dhe BD formojnë një vijë të drejtë.

Dy qoshe në të cilat njëra anë është e zakonshme dhe dy të tjerat formojnë një vijë të drejtë quhen qoshe ngjitur.

Këndet ngjitur gjithashtu mund të merren në këtë mënyrë: nëse tërheqim një rreze nga një pikë në një vijë të drejtë (jo të shtrirë në këtë vijë të drejtë), atëherë marrim kënde ngjitur.
Për shembull, / FSHZH dhe / FDВ - qoshet ngjitur (Fig. 73).

Qoshet ngjitur mund të kenë një larmi të gjerë pozicionesh (Fig. 74).

Këndet ngjitur shtohen në një kënd të vendosur, kështu me umma e dy qosheve ngjitur është 2d

Nga këtu, një kënd i drejtë mund të përcaktohet si një kënd i barabartë me këndin e tij ngjitur.

Duke ditur vlerën e njërit prej këndeve ngjitur, mund të gjejmë vlerën e këndit tjetër ngjitur.

Për shembull, nëse një nga qoshet ngjitur është 3/5 d, atëherë këndi i dytë do të jetë i barabartë me:

2d- 3 / 5 d= l 2/5 d.

2. Këndet vertikale.

Nëse i shtrijmë anët e këndit përtej kulmit të tij, marrim qoshe vertikalë. Në vizatimin 75, këndet EOF dhe AOC janë vertikale; këndet AOE dhe COF janë gjithashtu vertikale.

Dy qoshe quhen vertikale nëse anët e njërit kënd janë shtrirje të anëve të këndit tjetër.

Le te jete / 1 = 7 / 8 d(Fig. 76). Ngjitur me të / 2 do të jetë e barabartë me 2 d- 7 / 8 d, dmth 1 1/8 d.

Në të njëjtën mënyrë, mund të llogaritni se me çfarë janë të barabarta / 3 dhe / 4.
/ 3 = 2d - 1 1 / 8 d = 7 / 8 d; / 4 = 2d - 7 / 8 d = 1 1 / 8 d(Fig. 77).

Ne e shohim atë / 1 = / 3 dhe / 2 = / 4.

Ju mund të zgjidhni disa më shumë nga të njëjtat probleme, dhe çdo herë që merrni të njëjtin rezultat: këndet vertikale janë të barabarta me njëri -tjetrin.

Sidoqoftë, për t'u siguruar që këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëri -tjetrin, nuk mjafton të merren parasysh shembuj individualë numerikë, pasi përfundimet e nxjerra nga shembuj të veçantë ndonjëherë mund të jenë të gabuar.

Isshtë e nevojshme të verifikohet vlefshmëria e vetisë së këndeve vertikale me arsyetim, me anë të provës.

Vërtetimi mund të bëhet si më poshtë (Fig. 78):

/ a +/ c = 2d;
/ b +/ c = 2d;

(meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 2 d).

/ a +/ c = / b +/ c

(meqenëse ana e majtë e kësaj barazie është 2 d, dhe ana e saj e djathtë është gjithashtu e barabartë me 2 d).

Kjo barazi përfshin të njëjtin kënd me.

Nëse zbresim në mënyrë të barabartë nga vlerat e barabarta, atëherë do të mbetet në mënyrë të barabartë. Rezultati do të jetë: / a = / b, domethënë, këndet vertikale janë të barabarta me njëra -tjetrën.

Kur shqyrtuam çështjen e këndeve vertikale, së pari shpjeguam se cilat kënde quhen vertikale, domethënë të dhëna përcaktim qoshet vertikale.

Pastaj ne shprehëm një gjykim (deklaratë) në lidhje me barazinë e këndeve vertikale dhe u bindëm për vlefshmërinë e këtij gjykimi me anë të provave. Gjykime të tilla, vlefshmëria e të cilave duhet të vërtetohet, quhen teorema... Kështu, në këtë pjesë ne kemi dhënë përkufizimin e këndeve vertikale, dhe gjithashtu kemi shprehur dhe vërtetuar një teoremë në lidhje me vetinë e tyre.

Në të ardhmen, kur studioni gjeometrinë, do të na duhet të hasim vazhdimisht përkufizime dhe prova të teoremave.

3. Shuma e këndeve që kanë një kulm të përbashkët.

Vizatimi 79 / 1, / 2, / 3 dhe / 4 janë të vendosura në njërën anë të një vije të drejtë dhe kanë një kulm të përbashkët në këtë vijë të drejtë. Së bashku, këto kënde përbëjnë këndin e vendosur, d.m.th.
/ 1+ / 2+/ 3+ / 4 = 2d.

Vizatimi 80 / 1, / 2, / 3, / 4 dhe / 5 kanë një majë të përbashkët. Së bashku, këto kënde përbëjnë këndin e plotë, d.m.th. / 1 + / 2 + / 3 + / 4 + / 5 = 4d.

Ushtrimet.

1. Një nga këndet ngjitur është 0.72 d Llogaritni këndin e përbërë nga përgjysmuesit e këtyre këndeve ngjitur.

2. Vërtetoni se përgjysmuesit e dy këndeve ngjitur formojnë një kënd të drejtë.

3. Vërtetoni se nëse dy kënde janë të barabarta, atëherë këndet e tyre ngjitur janë gjithashtu të barabartë.

4. Sa palë qoshe ngjitur janë në vizatimin 81?

5. A mund të përbëhet një palë qoshe ngjitur nga dy qoshe të mprehta? nga dy qoshe të mpirë? nga një kënd i drejtë dhe i mprehtë? nga këndi i drejtë dhe ai akut?

6. Nëse një nga këndet ngjitur është i drejtë, atëherë çfarë mund të thoni për vlerën e këndit ngjitur?

7. Nëse në kryqëzimin e dy drejtëzave një cep i drejtëzës, atëherë çfarë mund të thoni për vlerën e tre këndeve të tjera?

Gjeometria është një shkencë shumëplanëshe. Ajo zhvillon logjikën, imagjinatën dhe inteligjencën. Sigurisht, për shkak të kompleksitetit të tij dhe një numri të madh të teoremave dhe aksiomave, nxënësve të shkollës nuk u pëlqen gjithmonë. Përveç kësaj, ekziston nevoja për të provuar vazhdimisht përfundimet tuaja duke përdorur standarde dhe rregulla të pranuara përgjithësisht.

Qoshet ngjitur dhe vertikal janë pjesë përbërëse e gjeometrisë. Me siguri shumë nxënës të shkollës thjesht i adhurojnë për arsyen se pronat e tyre janë të qarta dhe të lehta për t'u provuar.

Formimi i qosheve

Çdo kënd formohet nga kryqëzimi i dy drejtëzave ose duke tërhequr dy rreze nga një pikë. Ato mund të quhen ose një shkronjë ose tre, të cilat përcaktojnë rresht pikat e ndërtimit të qoshes.

Këndet maten në shkallë dhe mund (në varësi të vlerës së tyre) të quhen ndryshe. Pra, ekziston një kënd i drejtë, akut, i mpirë dhe i shpalosur. Secili prej emrave korrespondon me një masë të caktuar ose intervalin e tij.

Një kënd quhet akut, masa e të cilit nuk kalon 90 gradë.

Një kënd i mprehtë është më shumë se 90 gradë.

Një kënd quhet kënd i drejtë kur masa e shkallës së tij është 90.

Në rastin kur formohet nga një vijë e fortë, dhe masa e shkallës së saj është 180, quhet e shpalosur.

Këndet që kanë një anë të përbashkët, ana tjetër e të cilave vazhdon njëra -tjetrën, quhen ngjitur. Ato mund të jenë ose të mprehta ose të hapura. Kryqëzimi i vijës formon qoshe ngjitur. Karakteristikat e tyre janë si më poshtë:

Shuma e këtyre këndeve do të jetë e barabartë me 180 gradë (ekziston një teoremë që e vërteton këtë). Prandaj, njëra prej tyre mund të llogaritet lehtësisht nëse tjetra dihet.
Nga pika e parë rrjedh se qoshet ngjitur nuk mund të formohen nga dy qoshe të mprehta ose dy qoshe akute.

Falë këtyre vetive, gjithmonë mund të llogaritni masën e shkallës së një këndi, që ka vlerën e një këndi tjetër, ose të paktën raportin midis tyre.

Qoshe vertikale

Këndet, anët e të cilave janë vazhdimësi e njëra -tjetrës, quhen vertikale. Secila nga varietetet e tyre mund të veprojë si një palë e tillë. Këndet vertikale janë gjithmonë të barabarta me njëra -tjetrën.

Ato formohen në kryqëzimin e vijave të drejta. Qoshet ngjitur janë gjithmonë të pranishëm së bashku me ta. Këndi mund të jetë njëkohësisht ngjitur me njërën dhe vertikale me tjetrën.

Kur kaloni një vijë arbitrare, merren parasysh edhe disa lloje të tjera të këndeve. Një vijë e tillë quhet ndarëse dhe formon kënde përkatëse, të njëanshme dhe kryqëzuese. Ata janë të barabartë. Ato mund të shihen në dritën e vetive që kanë këndet vertikale dhe ato ngjitur.

Kështu, tema e këndeve duket të jetë mjaft e thjeshtë dhe e drejtpërdrejtë. Të gjitha pronat e tyre janë të lehta për tu mbajtur mend dhe provuar. Zgjidhja e problemeve nuk është e vështirë për sa kohë që këndet korrespondojnë me një vlerë numerike. Tashmë më tej, kur të fillojë studimi i mëkatit dhe i kozit, do të duhet të mësosh përmendësh shumë formula komplekse, përfundimet dhe pasojat e tyre. Deri në atë kohë, ju thjesht mund të shijoni detyra të lehta në të cilat ju duhet të gjeni qoshet ngjitur.

Në procesin e studimit të rrjedhës së gjeometrisë, konceptet e "këndit", "këndeve vertikale", "këndeve ngjitur" hasen mjaft shpesh. Kuptimi i secilit prej termave do t'ju ndihmojë të kuptoni detyrën në fjalë dhe ta zgjidhni atë në mënyrë korrekte. Cilat janë këndet ngjitur dhe si i përcaktoni ato?

Qoshet ngjitur - përkufizimi i konceptit

Termi "kënde ngjitur" karakterizon dy kënde të formuara nga një rreze e zakonshme dhe dy gjysmë-rreshta shtesë të shtrirë në të njëjtën linjë të drejtë. Të tre rrezet dalin nga një pikë. Gjysmë-linja e zakonshme është njëkohësisht ana e një dhe këndit të dytë.

Qoshet ngjitur - vetitë themelore

1. Bazuar në formulimin e këndeve ngjitur, është e lehtë të shihet se shuma e këndeve të tilla gjithmonë formon një kënd të zgjeruar, shkalla e të cilit është 180 °:

Nëse μ dhe η janë kënde ngjitur, atëherë μ + η = 180 °.
Duke ditur vlerën e njërit prej këndeve ngjitur (për shembull, μ), lehtë mund të llogaritni masën e shkallës së këndit të dytë (η) duke përdorur shprehjen η = 180 ° - μ.

2. Kjo veti e këndeve na lejon të bëjmë përfundimin e mëposhtëm: një kënd ngjitur me një kënd të drejtë do të jetë gjithashtu i drejtë.

3. Duke marrë parasysh funksionet trigonometrike (sin, cos, tg, ctg), bazuar në formulat e zvogëlimit për këndet ngjitur μ dhe η, e mëposhtme është e vërtetë:

sinη = mëkat (180 ° - μ) = sinμ,
cosη = cos (180 ° - μ) = -cosμ,
tgη = tg (180 ° - μ) = -tgμ,
ctgη = ctg (180 ° - μ) = -ctgμ.

Qoshet ngjitur - shembuj

Shembulli 1

Givenshtë dhënë një trekëndësh me kulme M, P, Q - ΔMPQ. Gjeni qoshet ngjitur me qoshet ∠QMP, ∠MPQ, PQM.

Zgjasni secilën anë të trekëndëshit me një vijë të drejtë.
Duke ditur që qoshet ngjitur plotësojnë njëra -tjetrën deri në këndin e vendosur, ne zbulojmë se:

QMP është ngjitur me MPLMP,

ngjitur me këndin ∠MPQ është ∠SPQ,

këndi ngjitur i ∠PQM është ∠HQP.

Shembulli 2

Madhësia e një këndi ngjitur është 35 °. Cila është masa e shkallës së këndit të dytë ngjitur?

Dy kënde ngjitur shtohen deri në 180 °.
Nëse ∠μ = 35 °, atëherë ∠η = 180 ° ngjitur - 35 ° = 145 °.

Shembulli 3

Përcaktoni vlerat e këndeve ngjitur, nëse dihet se masa e shkallës së njërit prej pjesës së poshtme është tre herë më e madhe se masa e shkallës së këndit tjetër.

Le të tregojmë vlerën e një këndi (më të vogël) përmes - ∠μ = λ.
Pastaj, sipas gjendjes së problemit, vlera e këndit të dytë do të jetë e barabartë me ∠η = 3λ.
Bazuar në vetinë themelore të këndeve ngjitur, μ + η = 180 ° vijon

λ + 3λ = μ + η = 180 °,

λ = 180 ° / 4 = 45 °.

Prandaj, këndi i parë ∠μ = λ = 45 °, dhe këndi i dytë ∠η = 3λ = 135 °.

Aftësia për të apeluar me terminologjinë, si dhe njohuritë për vetitë themelore të qosheve ngjitur do të ndihmojnë për të përballuar zgjidhjen e shumë problemeve gjeometrike.

1. Qoshet ngjitur.

Nëse e shtrijmë anën e çdo këndi përtej kulmit të tij, marrim dy kënde (Fig. 72): ∠ABS dhe ∠СВD, në të cilat njëra anë BC është e zakonshme, dhe dy të tjerat, AB dhe BD, formojnë një vijë të drejtë.

Dy qoshe në të cilat njëra anë është e zakonshme dhe dy të tjerat formojnë një vijë të drejtë quhen qoshe ngjitur.

Për shembull, ∠ADF dhe ∠FDB janë kënde ngjitur (Fig. 73).

Qoshet ngjitur mund të kenë një larmi të gjerë pozicionesh (fig. 74).

Këndet ngjitur shtohen në një kënd të sheshtë, kështu shuma e dy këndeve ngjitur është 180 °

Nga këtu, një kënd i drejtë mund të përcaktohet si një kënd i barabartë me këndin e tij ngjitur.

Duke ditur vlerën e njërit prej këndeve ngjitur, mund të gjejmë vlerën e këndit tjetër ngjitur.

Për shembull, nëse një nga këndet ngjitur është 54 °, atëherë këndi i dytë do të jetë:

180 ° - 54 ° = l26 °.

2. Këndet vertikale.

Nëse i shtrijmë anët e këndit përtej kulmit të tij, marrim qoshe vertikalë. Në figurën 75, këndet EOF dhe AOC janë vertikale; këndet AOE dhe COF janë gjithashtu vertikale.

Dy qoshe quhen vertikale nëse anët e njërit kënd janë shtrirje të anëve të këndit tjetër.

Le të jetë ∠1 = \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° (Fig. 76). Ngjitur ∠2 do të jetë 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) 90 °, domethënë 1 \ (\ frac (1) (8) \) 90 °.

Në të njëjtën mënyrë, mund të llogaritni se me çfarë janë të barabarta ∠3 dhe ∠4.

∠3 = 180 ° - 1 \ (\ frac (1) (8) \) ⋅ 90 ° = \ (\ frac (7) (8) \) 90 °;

∠4 = 180 ° - \ (\ frac (7) (8) \) ⋅ 90 ° = 1 \ (\ frac (1) (8) \) 90 ° (Fig. 77).

Ne shohim që ∠1 = ∠3 dhe ∠2 = ∠4.

Ju mund të zgjidhni disa më shumë nga të njëjtat probleme, dhe çdo herë që merrni të njëjtin rezultat: këndet vertikale janë të barabarta me njëri -tjetrin.

Necessaryshtë e nevojshme të verifikohet vlefshmëria e vetisë së këndeve vertikale me anë të provës.

Vërtetimi mund të bëhet si më poshtë (Fig. 78):

∠a +∠c= 180 °;

∠b +∠c= 180 °;

(meqenëse shuma e këndeve ngjitur është 180 °).

∠a +∠c = ∠b +∠c

(meqenëse ana e majtë e kësaj barazie është e barabartë me 180 °, dhe ana e saj e djathtë është gjithashtu e barabartë me 180 °).

Kjo barazi përfshin të njëjtin kënd me.

Nëse zbresim në mënyrë të barabartë nga vlerat e barabarta, atëherë do të mbetet në mënyrë të barabartë. Rezultati do të jetë: ∠a = ∠b, domethënë, këndet vertikale janë të barabarta me njëra -tjetrën.

3. Shuma e këndeve që kanë një kulm të përbashkët.

Në vizatimin 79 1, ∠2, ∠3 dhe ∠4 janë të vendosur në njërën anë të drejtëzës dhe kanë një kulm të përbashkët në këtë vijë të drejtë. Së bashku, këto kënde përbëjnë këndin e vendosur, d.m.th.

∠1 + ∠2 + ∠3 + ∠4 = 180 °.