Lärare tror att varje elev ska kunna utföra beräkningar, känna till trigonometriska formler, men inte alla lärare förklarar vad sinus och cosinus är. Vad är deras betydelse, var används de? Varför pratar vi om trianglar, men en cirkel är ritad i läroboken? Låt oss försöka koppla ihop alla fakta.
Skolämne
Studiet av trigonometri börjar vanligtvis i årskurs 7-8 gymnasium. Vid den här tiden får eleverna förklarat vad sinus och cosinus är, de erbjuds att lösa geometriska problem med hjälp av dessa funktioner. Senare dyker det upp mer komplexa formler och uttryck som måste konverteras på ett algebraiskt sätt (dubbel- och halvvinkelformler, kraftfunktioner), arbetar man med en trigonometrisk cirkel.
Men lärare kan inte alltid tydligt förklara innebörden av de använda begreppen och formlernas tillämplighet. Därför ser eleven ofta inte poängen med detta ämne, och memorerad information glöms snabbt bort. Men det är värt att en gång förklara för en gymnasieelev, till exempel, sambandet mellan en funktion och en oscillerande rörelse, och den logiska kopplingen kommer att komma ihåg i många år, och skämt om ämnets värdelöshet kommer att bli en sak av det förflutna.
Användande
För nyfikenhetens skull, låt oss titta på olika grenar av fysiken. Vill du bestämma räckvidden för en projektil? Eller beräknar du friktionskraften mellan ett föremål och en viss yta? Svänga en pendel, se strålar passera genom glas, beräkna induktion? Trigonometriska begrepp förekommer i nästan vilken formel som helst. Så vad är sinus och cosinus?
Definitioner
En vinkels sinus är förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan, cosinus för det intilliggande benet till samma hypotenusa. Det är absolut inget komplicerat här. Kanske är eleverna vanligtvis förvirrade av värdena som de ser i den trigonometriska tabellen, eftersom kvadratrötter visas där. Ja, att få decimalbråk från dem är inte särskilt bekvämt, men vem har sagt att alla tal i matematik ska vara jämna?
Faktum är att du kan hitta en rolig ledtråd i trigonometriproblemböcker: de flesta svaren här är jämna och innehåller i värsta fall roten till två eller tre. Slutsatsen är enkel: om du får en "flera berättelse" bråkdel i ditt svar, dubbelkolla lösningen för fel i beräkningar eller resonemang. Och du kommer med största sannolikhet att hitta dem.
Vad ska man komma ihåg
Som i vilken vetenskap som helst, inom trigonometri finns det data som måste läras.
Först bör du komma ihåg numeriska värden för sinus, cosinus i en rätvinklig triangel 0 och 90, samt 30, 45 och 60 grader. Dessa indikatorer finns i nio av tio skoluppgifter. När du tittar på dessa värden i läroboken kommer du att förlora mycket tid och det finns ingenstans att titta på kontrollen eller provet.
Man måste komma ihåg att värdet på båda funktionerna inte kan överstiga en. Om du någonstans i beräkningen får ett värde utanför intervallet 0-1, stoppa och lös problemet igen.
Summan av kvadraterna av sinus och cosinus är lika med ett. Om du redan har hittat ett av värdena, använd den här formeln för att hitta resten.
Satser
Det finns två huvudsatser inom grundläggande trigonometri: sinus och cosinus.
Den första säger att förhållandet mellan varje sida av en triangel och sinus för den motsatta vinkeln är detsamma. Den andra är att kvadraten på vilken sida som helst kan erhållas genom att addera kvadraterna på de två återstående sidorna och subtrahera två gånger deras produkt, multiplicerat med cosinus för vinkeln som ligger mellan dem.
Således, om vi ersätter vinkelvärdet 90 grader i cosinussatsen, får vi ... Pythagoras sats. Nu, om du behöver beräkna arean av en figur som inte är en rätvinklig triangel, kan du inte längre oroa dig - de två övervägda satserna kommer att avsevärt förenkla lösningen av problemet.
Mål och syfte
Studiet av trigonometri kommer att förenklas avsevärt när du inser ett enkelt faktum: alla åtgärder du utför syftar till att uppnå ett mål. Alla parametrar för en triangel kan hittas om du känner till minsta möjliga information om den - det kan vara värdet på en vinkel och längden på två sidor eller till exempel tre sidor.
För att bestämma sinus, cosinus, tangens för vilken vinkel som helst, räcker dessa data; med deras hjälp kan du enkelt beräkna arean av figuren. Nästan alltid krävs ett av de nämnda värdena som svar, och du kan hitta dem med samma formler.
Inkonsekvenser i studiet av trigonometri
En av de oklara frågor som eleverna helst undviker är att upptäcka sambandet mellan olika begrepp inom trigonometri. Det verkar som om trianglar används för att studera vinklars sinus och cosinus, men av någon anledning finns symbolerna ofta i figuren med en cirkel. Dessutom finns det en helt obegriplig vågliknande graf som kallas sinusform, som inte har någon yttre likhet med vare sig en cirkel eller trianglar.
Dessutom mäts vinklar antingen i grader eller i radianer, och talet Pi, skrivet helt enkelt som 3,14 (utan enheter), förekommer av någon anledning i formlerna, motsvarande 180 grader. Hur hänger allt ihop?
Enheter
Varför är pi exakt 3.14? Kommer du ihåg vad detta värde är? Detta är antalet radier som passar i bågen på halva cirkeln. Om cirkelns diameter är 2 centimeter blir omkretsen 3,14 * 2, eller 6,28.
Den andra punkten: du kanske har märkt likheten mellan orden "radian" och "radie". Faktum är att en radian är numeriskt lika med värdet på vinkeln avsatt från cirkelns centrum till en båge med en längd av en radie.
Nu kombinerar vi kunskapen och förstår varför "Pi på mitten" skrivs på toppen av koordinataxeln i trigonometri, och "Pi" skrivs till vänster. Detta är ett vinkelvärde mätt i radianer, eftersom en halvcirkel är 180 grader, eller 3,14 radianer. Och där det finns grader finns det sinus och cosinus. Triangeln är lätt att rita från önskad punkt, skjuta upp segmenten till mitten och på koordinataxeln.
Låt oss se in i framtiden
Trigonometri, studerat i skolan, handlar om ett rätlinjigt koordinatsystem, där, hur konstigt det än låter, en linje är en linje.
Men det finns mer komplexa sätt att arbeta med rymden: summan av triangelns vinklar här kommer att vara mer än 180 grader, och den räta linjen i vår uppfattning kommer att se ut som en riktig båge.
Låt oss gå från ord till handling! Ta ett äpple. Gör tre snitt med en kniv så att du sett uppifrån får en triangel. Ta ut den resulterande äppelbiten och titta på "revbenen" där skalet slutar. De är inte alls raka. Frukten i dina händer kan villkorligt kallas rund, och föreställ dig nu hur komplexa formlerna måste vara, med hjälp av vilken du kan hitta området för det skurna stycket. Men vissa experter löser sådana problem dagligen.
Trigonometriska funktioner i verkliga livet
Har du märkt att den kortaste flygvägen från punkt A till punkt B på vår planets yta har en uttalad bågeform? Anledningen är enkel: Jorden är sfärisk, vilket gör att man inte kan beräkna mycket med hjälp av trianglar – här måste man använda mer komplexa formler.
Du kan inte göra utan sinus / cosinus för en spetsig vinkel i någon fråga som är relaterad till rymden. Intressant nog konvergerar ett antal faktorer här: trigonometriska funktioner krävs när man beräknar planeternas rörelse i cirklar, ellipser och olika banor för mer än komplexa former; processen att skjuta upp raketer, satelliter, skyttlar, lossa forskningsfordon; övervakning avlägsna stjärnor och studiet av galaxer som människor inte kommer att kunna nå inom en överskådlig framtid.
I allmänhet är fältet för aktiviteten för en person som äger trigonometri mycket brett och kommer uppenbarligen bara att expandera med tiden.
Slutsats
Idag har vi lärt oss eller i alla fall upprepat vad sinus och cosinus är. Det här är begrepp som du inte behöver vara rädd för - du vill bara, och du kommer att förstå deras innebörd. Kom ihåg att trigonometri inte är ett mål, utan bara ett verktyg som kan användas för att möta verkliga mänskliga behov: bygga hus, säkerställa trafiksäkerhet, till och med bemästra universums vidder.
Visserligen kan vetenskapen i sig verka tråkig, men så fort du hittar ett sätt att uppnå dina egna mål, självförverkligande, kommer inlärningsprocessen att bli intressant och din personliga motivation kommer att öka.
Som läxa försök hitta sätt att tillämpa trigonometriska funktioner i ett aktivitetsområde som är av intresse för dig personligen. Dröm upp, sätt på din fantasi, och då kommer det säkert att visa sig att ny kunskap kommer att vara användbar för dig i framtiden. Och dessutom är matematik användbar för allmän utveckling tänkande.
Förhållandet mellan det motsatta benet och hypotenusan kallas sinus för en spetsig vinkel rät triangel.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Cosinus för en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel
Förhållandet mellan det närmaste benet och hypotenusan kallas cosinus med en spetsig vinkel rät triangel.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Tangent av en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel
Förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet kallas spetsig vinkeltangens rät triangel.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Cotangens av en spetsig vinkel i en rätvinklig triangel
Förhållandet mellan det intilliggande benet och det motsatta benet kallas cotangens av en spetsig vinkel rät triangel.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Sinus av en godtycklig vinkel
Ordinatan för den punkt på enhetscirkeln som vinkeln \alfa motsvarar kallas sinus av en godtycklig vinkel rotation \alfa .
\sin \alpha=y
Cosinus av en godtycklig vinkel
Abskissan för en punkt på enhetscirkeln som vinkeln \alfa motsvarar kallas cosinus av en godtycklig vinkel rotation \alfa .
\cos \alpha=x
Tangent av en godtycklig vinkel
Förhållandet mellan sinus för en godtycklig rotationsvinkel \alfa och dess cosinus kallas tangens av en godtycklig vinkel rotation \alfa .
tg \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Cotangens av en godtycklig vinkel
Förhållandet mellan cosinus för en godtycklig rotationsvinkel \alfa och dess sinus kallas cotangens av en godtycklig vinkel rotation \alfa .
ctg \alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Ett exempel på att hitta en godtycklig vinkel
Om \alpha är någon vinkel AOM , där M är en punkt på enhetscirkeln, då
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Till exempel om \angle AOM = -\frac(\pi)(4), då: ordinatan för punkten M är -\frac(\sqrt(2))(2), är abskissan \frac(\sqrt(2))(2) och det är varför
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Tabell över värden för sinus för cosinus för tangenter för cotangenter
Värdena för de huvudsakliga vinklarna som ofta påträffas ges i tabellen:
| 0^(\cirkel) (0) | 30^(\cirkel)\vänster(\frac(\pi)(6)\höger) | 45^(\cirkel)\vänster(\frac(\pi)(4)\höger) | 60^(\cirkel)\vänster(\frac(\pi)(3)\höger) | 90^(\cirkel)\vänster(\frac(\pi)(2)\höger) | 180^(\cirkel)\vänster(\pi\höger) | 270^(\cirkel)\vänster(\frac(3\pi)(2)\höger) | 360^(\cirkel)\vänster(2\pi\höger) | |
| \sin\alfa | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alfa | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alfa | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Förhållandena mellan de trigonometriska huvudfunktionerna - sinus, cosinus, tangent och cotangens - anges trigonometriska formler. Och eftersom det finns ganska många kopplingar mellan trigonometriska funktioner, förklarar detta också överflödet av trigonometriska formler. Vissa formler förbinder de trigonometriska funktionerna i samma vinkel, andra - funktionerna i en multipel vinkel, andra - låter dig sänka graden, den fjärde - för att uttrycka alla funktioner genom tangenten till en halv vinkel, etc.
I den här artikeln listar vi i ordning alla grundläggande trigonometriska formler, som räcker för att lösa de allra flesta trigonometriproblem. För att underlätta memorering och användning kommer vi att gruppera dem efter deras syfte och lägga in dem i tabeller.
Sidnavigering.
Grundläggande trigonometriska identiteter
Grundläggande trigonometriska identiteter ställ in förhållandet mellan sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel. De följer av definitionen av sinus, cosinus, tangent och cotangens, samt begreppet enhetscirkel. De låter dig uttrycka en trigonometrisk funktion genom vilken som helst annan.
För en detaljerad beskrivning av dessa trigonometriformler, deras härledning och tillämpningsexempel, se artikeln.
Cast formler
Cast formler följer av egenskaperna för sinus, cosinus, tangent och cotangens, det vill säga de reflekterar egenskapen periodicitet för trigonometriska funktioner, egenskapen symmetri och även egenskapen för skiftning med en given vinkel. Dessa trigonometriska formler låter dig gå från att arbeta med godtyckliga vinklar till att arbeta med vinklar som sträcker sig från noll till 90 grader.
Skälen för dessa formler, en mnemonisk regel för att memorera dem och exempel på deras tillämpning kan studeras i artikeln.
Tilläggsformler
Trigonometriska additionsformler visa hur de trigonometriska funktionerna av summan eller skillnaden mellan två vinklar uttrycks i termer av dessa vinklars trigonometriska funktioner. Dessa formler tjänar som grund för härledning av följande trigonometriska formler.
Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel
Formler för dubbel, trippel, etc. vinkel (de kallas även formler för multipelvinkel) visar hur de trigonometriska funktionerna för dubbel, trippel osv. vinklar () uttrycks i termer av trigonometriska funktioner för en enda vinkel. Deras härledning är baserad på additionsformler.
Mer detaljerad information samlas i artikelformlerna för dubbel, trippel osv. vinkel .
Halvvinkelformler
Halvvinkelformler visa hur de trigonometriska funktionerna för en halv vinkel uttrycks i termer av cosinus för en heltalsvinkel. Dessa trigonometriska formler följer av dubbelvinkelformlerna.
Deras slutsats och exempel på tillämpning finns i artikeln.
Reduktionsformler
Trigonometriska formler för minskande grader utformad för att underlätta övergången från naturliga grader trigonometriska funktioner till sinus och cosinus i första graden, men flera vinklar. Med andra ord tillåter de en att reducera styrkorna hos trigonometriska funktioner till den första.
Formler för summan och skillnaden av trigonometriska funktioner
huvudmål summa- och differensformler för trigonometriska funktioner består i övergången till produkten av funktioner, vilket är mycket användbart när man förenklar trigonometriska uttryck. Dessa formler används också i stor utsträckning för att lösa trigonometriska ekvationer, eftersom de tillåter faktorisering av summan och skillnaden mellan sinus och cosinus.
Formler för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus
Övergången från produkten av trigonometriska funktioner till summan eller skillnaden sker genom formlerna för produkten av sinus, cosinus och sinus för cosinus.
Upphovsrätt av smarta elever
Alla rättigheter förbehållna.
Skyddad av upphovsrättslagen. Ingen del av www.webbplatsen, inklusive internt material och extern design, får reproduceras i någon form eller användas utan föregående skriftligt tillstånd från upphovsrättsinnehavaren.
Begreppen sinus, cosinus, tangent och cotangens är huvudkategorierna för trigonometri - en gren av matematiken, och är oupplösligt förbundna med definitionen av en vinkel. Innehav av denna matematiska vetenskap kräver memorering och förståelse av formler och teorem, samt utvecklat rumsligt tänkande. Det är därför trigonometriska beräkningar ofta orsakar svårigheter för skolbarn och elever. För att övervinna dem bör du bli mer bekant med trigonometriska funktioner och formler.
Begrepp i trigonometri
För att förstå de grundläggande begreppen trigonometri måste du först bestämma vad en rätvinklig triangel och en vinkel i en cirkel är, och varför alla grundläggande trigonometriska beräkningar är förknippade med dem. En triangel där en av vinklarna är 90 grader är en rätvinklig triangel. Historiskt sett användes denna figur ofta av människor inom arkitektur, navigation, konst, astronomi. Följaktligen, genom att studera och analysera egenskaperna hos denna figur, kom människor till beräkningen av motsvarande förhållande mellan dess parametrar.
Huvudkategorierna förknippade med räta trianglar är hypotenusan och benen. Hypotenusan är den sida av en triangel som är motsatt rätt vinkel. Benen, respektive, är de andra två sidorna. Summan av vinklarna i en triangel är alltid 180 grader.
Sfärisk trigonometri är ett avsnitt av trigonometri som inte studeras i skolan, men inom tillämpade vetenskaper som astronomi och geodesi använder forskare det. En egenskap hos en triangel i sfärisk trigonometri är att den alltid har en summa av vinklar som är större än 180 grader.
Vinklar i en triangel
I en rätvinklig triangel är en vinkels sinus förhållandet mellan benet mitt emot den önskade vinkeln och triangelns hypotenusa. Följaktligen är cosinus förhållandet mellan det intilliggande benet och hypotenusan. Båda dessa värden har alltid ett värde mindre än ett, eftersom hypotenusan alltid är längre än benet.
Tangensen för en vinkel är ett värde lika med förhållandet mellan det motsatta benet och det intilliggande benet för den önskade vinkeln, eller sinus till cosinus. Kotangensen är i sin tur förhållandet mellan det intilliggande benet av den önskade vinkeln och den motsatta kaktetten. Cotangensen för en vinkel kan också erhållas genom att dividera enheten med tangentens värde.
enhetscirkel
En enhetscirkel i geometri är en cirkel vars radie är lika med en. En sådan cirkel är konstruerad i det kartesiska koordinatsystemet, där cirkelns mittpunkt sammanfaller med utgångspunkten, och radievektorns initiala position bestäms av X-axelns positiva riktning (abskissaxeln). Varje punkt i cirkeln har två koordinater: XX och YY, det vill säga koordinaterna för abskissan och ordinaten. Genom att välja valfri punkt på cirkeln i XX-planet och släppa vinkelrät från den till abskissaxeln får vi en rätvinklig triangel som bildas av en radie till den valda punkten (låt oss beteckna den med bokstaven C), en vinkelrät ritad till X-axeln (skärningspunkten betecknas med bokstaven G), och ett segment abskissaxeln mellan origo (punkten betecknas med bokstaven A) och skärningspunkten G. Den resulterande triangeln ACG är en rätvinklig triangel inskriven i en cirkel, där AG är hypotenusan och AC och GC är benen. Vinkeln mellan radien på cirkeln AC och segmentet av abskissaxeln med beteckningen AG, definierar vi som α (alfa). Så, cos α = AG/AC. Med tanke på att AC är radien för enhetscirkeln, och den är lika med ett, visar det sig att cos α=AG. På liknande sätt är sin α=CG.
Genom att känna till dessa data kan du dessutom bestämma koordinaten för punkt C på cirkeln, eftersom cos α \u003d AG, och sin α \u003d CG, vilket betyder att punkt C har givna koordinater(cos α;sin α). Genom att veta att tangenten är lika med förhållandet mellan sinus och cosinus kan vi bestämma att tg α \u003d y / x, och ctg α \u003d x / y. Med tanke på vinklar in negativt system koordinater, kan det beräknas att sinus- och cosinusvärdena för vissa vinklar kan vara negativa.
Beräkningar och grundläggande formler
Värden av trigonometriska funktioner
Efter att ha övervägt essensen av trigonometriska funktioner genom enhetscirkeln, kan vi härleda värdena för dessa funktioner för vissa vinklar. Värdena listas i tabellen nedan.
De enklaste trigonometriska identiteterna
Ekvationer där det finns ett okänt värde under tecknet för den trigonometriska funktionen kallas trigonometriska. Identiteter med värdet sin x = α, k är vilket heltal som helst:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
- sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, inga lösningar.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * båge a + πk.
Identiteter med värdet cos x = a, där k är vilket heltal som helst:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, inga lösningar.
- cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.
Identiteter med värdet tg x = a, där k är vilket heltal som helst:
- tg x = 0, x = π/2 + πk.
- tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.
Identiteter med värdet ctg x = a, där k är vilket heltal som helst:
- ctg x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.
Cast formler
Denna kategori konstanta formler betecknar metoder med vilka du kan gå från trigonometriska funktioner i formen till funktioner i argumentet, det vill säga konvertera sinus, cosinus, tangent och cotangens för en vinkel av vilket värde som helst till motsvarande indikatorer för intervallets vinkel från 0 till 90 grader för större bekvämlighet vid beräkningar.
Formlerna för att reducera funktioner för sinus för en vinkel ser ut så här:
- sin(900 - a) = a;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
För cosinus av en vinkel:
- cos(900 - a) = sin a;
- cos(900 + a) = -sin a;
- cos(1800 - a) = -cos a;
- cos(1800 + a) = -cos a;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - a) = cos a;
- cos(3600 + α) = cos α.
Användningen av ovanstående formler är möjlig med förbehåll för två regler. För det första, om vinkeln kan representeras som ett värde (π/2 ± a) eller (3π/2 ± a), ändras värdet på funktionen:
- från synd till cos;
- från cos till synd;
- från tg till ctg;
- från ctg till tg.
Funktionens värde förblir oförändrat om vinkeln kan representeras som (π ± a) eller (2π ± a).
För det andra ändras inte tecknet på den reducerade funktionen: om det från början var positivt förblir det så. Samma sak gäller för negativa funktioner.
Tilläggsformler
Dessa formler uttrycker värdena för sinus, cosinus, tangent och cotangens för summan och skillnaden av två rotationsvinklar i termer av deras trigonometriska funktioner. Vinklar betecknas vanligtvis som α och β.
Formlerna ser ut så här:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(a ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Dessa formler är giltiga för alla vinklar α och β.
Dubbel- och trippelvinkelformler
De trigonometriska formlerna för en dubbel- och trippelvinkel är formler som relaterar funktionerna för vinklarna 2a respektive 3α till de trigonometriska funktionerna för vinkeln α. Härledd från additionsformler:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2α.
- tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
- sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).
Övergång från summa till produkt
Med tanke på att 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), för att förenkla denna formel, får vi identiteten sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. På liknande sätt är sina - sinp = 2sin(a - p)/2 * cos(a + p)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α - β)/2; tga + tgp = sin(a + p) / cosa * cosp; tga - tgp = sin(a - p) / cosa * cosp; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Övergång från produkt till summa
Dessa formler följer av identiteterna för övergången av summan till produkten:
- sina * sinp = 1/2*;
- cosa * cosp = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Reduktionsformler
I dessa identiteter kan kvadrat- och kubikpotenserna för sinus och cosinus uttryckas i termer av sinus och cosinus för första potensen av en multipel vinkel:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universell substitution
De universella trigonometriska substitutionsformlerna uttrycker trigonometriska funktioner i termer av tangenten för en halv vinkel.
- sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), medan x \u003d π + 2πn;
- cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), där x = π + 2πn;
- tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), där x \u003d π + 2πn;
- ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), medan x \u003d π + 2πn.
Speciella fall
Särskilda fall av de enklaste trigonometriska ekvationerna ges nedan (k är vilket heltal som helst).
Privat för sinus:
| sin x-värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk eller 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk eller -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk eller 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk eller -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk eller 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk eller -2π/3 + 2πk |
Cosinuskvoter:
| cos x värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Privat för tangent:
| tg x värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | pk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangenskvoter:
| ctg x-värde | x-värde |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Satser
Sinussats
Det finns två versioner av satsen - enkel och utökad. Enkel sinussats: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. I detta fall är a, b, c triangelns sidor och α, β, γ är de motsatta vinklarna.
Utökad sinussats för en godtycklig triangel: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. I denna identitet betecknar R radien för cirkeln i vilken den givna triangeln är inskriven.
Cosinussatsen
Identiteten visas på detta sätt: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. I formeln är a, b, c triangelns sidor och α är vinkeln på motsatt sida a.
Tangentsats
Formeln uttrycker förhållandet mellan tangenterna för två vinklar och längden på sidorna mitt emot dem. Sidorna är märkta a, b, c, och motsvarande motstående vinklar är α, β, γ. Tangentsatsens formel: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).
Cotangenssats
Associerar radien för en cirkel inskriven i en triangel med längden på dess sidor. Om a, b, c är sidorna i en triangel och A, B, C respektive är deras motsatta vinklar, r är radien för den inskrivna cirkeln och p är triangelns halva omkrets, kommer följande identiteter håll:
- ctg A/2 = (p-a)/r;
- ctg B/2 = (p-b)/r;
- ctg C/2 = (p-c)/r.
Ansökningar
Trigonometri är inte bara en teoretisk vetenskap förknippad med matematiska formler. Dess egenskaper, satser och regler används i praktiken av olika industrier mänsklig aktivitet– astronomi, flyg- och sjönavigering, musikteori, geodesi, kemi, akustik, optik, elektronik, arkitektur, ekonomi, maskinteknik, mätarbeten, Datorgrafik, kartografi, oceanografi och många andra.
Sinus, cosinus, tangens och cotangens är trigonometrins grundläggande begrepp, med vilka man matematiskt kan uttrycka sambandet mellan vinklar och längder på sidor i en triangel, och hitta önskade storheter genom identiteter, satser och regler.
En integrerad del av tentamen är trigonometriska ekvationer.
Tyvärr finns det ingen allmän, enhetlig metod med vilken man skulle kunna lösa någon ekvation där trigonometriska funktioner är inblandade. Framgång här kan endast säkerställas genom en god kunskap om formlerna och förmågan att se vissa användbara kombinationer, som endast utvecklas genom övning.
Det allmänna målet är vanligtvis att omvandla det trigonometriska uttrycket som ingår i ekvationen till en sådan form att rötterna hittas från de så kallade enklaste ekvationerna:
| cos px = a; | sin gx = b; | tan kx = c; | ctg tx = d. |
För att göra detta måste du kunna tillämpa trigonometriska formler. Det är användbart att känna till och kalla dem "namn":
1. Formler för dubbelargument, trippelargument:
cos 2x \u003d cos 2 x - sin 2 x \u003d 1 - 2 sin 2 x \u003d 2 cos 2 x - 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg2x = 2tgx/1 – tgx;
ctg 2x = (ctg 2 x - 1)/2 ctg x;
sin 3x \u003d 3 sin x - 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x - tg 3 x)/(1 - 3 tg 2 x);
ctg 3x = (ctg 3 x - 3ctg x)/(3ctg 2 x - 1);
2. Formler för halvargument eller gradminskning:
sin 2 x/2 = (1 - cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tan 2 x = (1 - cos x)/(1 + cos x);
ctg 2 x = (1 + cos x)/(1 - cos x);
3. Införande av ett hjälpargument:
betrakta ekvationen a sin x + b cos x \u003d c som ett exempel, nämligen att bestämma vinkeln x från villkoren sin y \u003d b / v (a 2 + b 2), cos y \u003d a / v (a 2 + b 2), vi kan ta ekvationen under övervägande till den enklaste synden (x + y) \u003d c / v (a 2 + b 2) vars lösningar skrivs ut utan svårighet; sålunda bestäms också lösningarna av den ursprungliga ekvationen.
4. Formler för addition och subtraktion:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a - b) \u003d sin a cos b - cos a sin b;
cos (a + b) \u003d cos a cos b - sin a sin b;
cos (a - b) \u003d cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 - tg a tg b);
tg (a - b) = (tg a - tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Universell trigonometrisk substitution:
sin a = 2tan (a/2)/(1 + ( tg2(a/2));
cos a \u003d (1 - tg 2 (a / 2)) / (1 + ( tg2(a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Några viktiga nyckeltal:
sin x + sin 2x + sin 3x +...+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +...+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Formler för att omvandla summan av trigonometriska funktioner till en produkt:
sin a + sin b \u003d 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
cos a - cos b \u003d -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2;
tg a + tg b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tg a - tg b \u003d sin (a - b) / (cos a cos b).
Samt gjutformler.
I processen att lösa måste man särskilt noggrant övervaka ekvationernas ekvivalens för att förhindra förlust av rötter (till exempel när man reducerar vänster och höger sida av ekvationen med en gemensam faktor), eller förvärvet av extra rötter (till exempel när du kvadrerar båda delarna av ekvationen). Dessutom är det nödvändigt att kontrollera huruvida de mottagande rötterna tillhör ODZ i den betraktade ekvationen.
I alla nödvändiga fall (det vill säga när icke-ekvivalenta transformationer var tillåtna) är det nödvändigt att göra en kontroll. När man löser en ekvation är det nödvändigt att lära eleverna att reducera dem till vissa typer, vanligtvis med enkla ekvationer.
Låt oss bekanta oss med metoderna för att lösa ekvationer:
1. Reduktion till formen ax 2 + bx + c = 0
2. Ekvationers homogenitet.
3. Faktorisering.
4. Reduktion till formen a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Ändring av variabler.
6. Reducera ekvationen till en ekvation med en variabel.
7. Utvärdering av vänster och höger del.
8. Metod för blick.
9. Införande av en hjälpvinkel.
10. Dela och erövra metoden.
Tänk på exempel:
1. Lös ekvationen: sin x + cos 2 x = 1/4.
Lösning: Låt oss lösa metoden för reduktion till en andragradsekvation. Uttryck cos 2 x i termer av sin 2 x
sin x + 1 - sin 2 x \u003d 1/4
4 sin 2 x - 4 sin x - 3 = 0
sin x \u003d -1/2, sin x \u003d 3/2 (uppfyller inte villkoret x € [-1; 1]),
de där. x \u003d (-1) k + 1 båge 1/2 + k, k€z,
Svar: (-1) k+1 /6 + k, k€z.
2. Lös ekvationen: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tg x,
lösa genom factoring
2 tg x cos x - 2 cos x + 1 - tg x \u003d 0, där x / 2 + k, k€z,
2 cos x (tg x - 1) - (tg x - 1) = 0
(2 cos x - 1) (tg x - 1) = 0
2 cos x - 1 = 0 eller tg x - 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
d.v.s. x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.
Svar: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Lös ekvationen: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x \u003d 0.
Lösning: sin 2 x - 3 sin x cos x + 2 cos 2 x \u003d 0 homogen ekvation av 2:a graden. Eftersom cos x \u003d 0 inte är roten till denna ekvation, dividerar vi vänster och höger sida med cos 2 x. Som ett resultat kommer vi fram till en andragradsekvation för tg x
tg 2 x - 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 och tg x = 2,
varifrån x = /4 + m, m€z,
x \u003d arctg 2 + k, k € z.
Svar: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.
4. Lös ekvationen: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Lösning: Ny variabelintroduktionsmetod
Låt 5x + 6 = y, sedan cos 2y + 4 2 sin y \u003d 4
1 - 2 sin 2 år + 4 2 sin y - 4 \u003d 0
sin y \u003d t, där t € [-1; 1]
2t 2-4 2t + 3 = 0
t = 2/2 och t = 3 2/2 (uppfyller inte villkoret t€[-1;1])
sin(5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,
x \u003d (-1) k / 20 - 6/5 + k / 5, k € z.
Svar: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Lös ekvationen: (sin x - cos y) 2 + 40x 2 = 0
Lösning: Vi använder en 2 + i 2 + c 2 \u003d 0, det är sant om a \u003d 0, b \u003d 0, c \u003d 0. Jämlikhet är möjlig om sin x - cos y \u003d 0 och 40x \u003d 0 härifrån:
x \u003d 0, och sin 0 - cos y \u003d 0, därför, x \u003d 0, och cos y \u003d 0, därav: x \u003d 0, och y \u003d / 2 + k, k € z, det är också möjligt att skriva (0; / 2 + k) k€z.
Svar: (0; /2 + k) k€z.
6. Lös ekvationen: sin 2 x + cos 4 x - 2 sin x + 1 = 0
Lösning: Förvandla ekvationen och tillämpa Divide and Conquer-metoden
(sin 2 x - 2 sin x +1) + cos 4 x \u003d 0;
(sin x - 1) 2 + cos 4 x \u003d 0; det är möjligt om
(sin x - 1) 2 = 0 och cos 4 x = 0, därav:
sin x - 1 = 0, och cos x = 0,
sin x \u003d 1, och cos x \u003d 0, därför
x = /2 + k, k€z
Svar: /2 + k, k€z.
7. Lös ekvationen: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.
Lösning: vi tillämpar metoden för att uppskatta de vänstra och högra delarna och avgränsningen av cos- och sinfunktionerna.
- 1 sin 5x 1 och -1 sin x 1
0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2
2 2 + cos 2 x 3
sin 5x + sin x 2 och 2 + cos 2 x 2
2 sin 5x + sin x 2, dvs.
sin 5x + sin x 2,
vi har vänster sida 2 och höger sida 2,
Jämlikhet är möjlig om de båda är lika med 2.
cos 2 x \u003d 0, och sin 5x + sin x \u003d 2, därför
x = /2 + k, k€z (var noga med att kontrollera).
Svar: /2 + k, k€z.
8. Lös ekvationen: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
Lösning: Lös med faktoriseringsmetoden. Vi grupperar termerna på vänster sida i par.
(I det här fallet något sätt att gruppera leder till målet.) Använd formeln cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2.
2 cos 3/2x cos x/2 + 2 cos 7/2x cos x/2 = 0,
cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,
2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,
Tre fall uppstår:
Svar: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Observera att det andra fallet inkluderar det första. (Om vi i det andra fallet tar k = 4 + 5, får vi + 2n). Därför kan det inte sägas vilket som är mer korrekt, men i alla fall kommer svaret att se "mer kultivt och vackert ut": x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Återigen, en typisk situation som leder till olika former av att skriva ett svar). Det första svaret är också korrekt.
Den övervägda ekvationen illustrerar ett mycket typiskt lösningsschema - uppdelning av ekvationen i faktorer på grund av parvis gruppering och användningen av formler:
sin a + sin b \u003d 2 sin (a + b) / 2 cos (a - b) / 2;
sin a - sin b \u003d 2 cos (a + b) / 2 sin (a - b) / 2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a - b)/2;
cos a - cos b \u003d -2 sin (a + b) / 2 sin (b - a) / 2.
Problemet med att välja rötter, sålla bort onödiga rötter när man löser trigonometriska ekvationer är väldigt specifikt och visar sig oftast vara mer komplicerat än vad det var för algebraiska ekvationer. Låt oss presentera lösningar av ekvationer som illustrerar typiska fall uppkomsten av överflödiga (främmande) rötter och metoder för att "kämpa" med dem.
Extra rötter kan dyka upp på grund av det faktum att i processen att lösa det skedde en expansion av definitionsdomänen för ekvationerna. Låt oss ge exempel.
9. Lös ekvationen: (sin 4x - sin 2x - cos 3x + 2sin x -1) / (2sin 2x - 3) = 0.
Lösning: Vi sätter likhetstecken mellan täljaren och noll (i det här fallet utökas ekvationens definitionsdomän - x-värden läggs till som vänder nämnaren till noll) och försöker faktorisera den. Vi har:
2 cos 3x sin x - cos 3x + 2sin x - 1 = 0,
(cos 3x + 1) (2 sin x - 1) = 0.
Vi får två ekvationer:
cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.
Låt oss se vilken k som passar oss. Först och främst noterar vi att den vänstra sidan av vår ekvation är en periodisk funktion med perioden 2. Därför räcker det med att hitta en lösning på ekvationen som uppfyller villkoret 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Ojämlikhet 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Den första fungerar inte eftersom sin 2/3 = 3/2, nämnaren går till noll.
Svaret för det första fallet: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (du kan x 2 = - / 3 + 2k), k € z.
Hitta en lösning på denna ekvation som uppfyller villkoret 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Svar: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Hitta rötterna till ekvationerna: v (cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.
Lösningen av denna ekvation är uppdelad i två steg:
1) lösning av en ekvation erhållen från en given ekvation genom att kvadrera båda dess delar;
2) urval av de rötter som uppfyller villkoret cos x 0. I det här fallet (som i fallet med algebraiska ekvationer) finns det ingen anledning att oroa sig för villkoret cos 2x + sin 3x 0. Alla värden på k som uppfyller den kvadratiska ekvationen uppfyller detta villkor.
Det första steget tar oss till ekvationen sin 3x = 1, varifrån x 1 = /6 + 2/3k.
Nu måste vi bestämma för vilken k cos (/6 + 2/3k) 0 kommer att äga rum. För att göra detta räcker det med att beakta värdena 0, 1, 2 för k, dvs. som vanligt, "gå runt cirkeln en gång", eftersom ytterligare cosinusvärden kommer att skilja sig från de som redan beaktats med en multipel av 2.
Svar: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Lös ekvationen: sin 8 x - cos 5 x \u003d 1.
Lösningen av denna ekvation är baserad på följande enkla övervägande: om 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.
Så, sin 8 x sin 2 x, - cos 5 x cos 2 x;
Lägger vi till dessa ojämlikheter term för term, har vi:
sin 8 x - cos 5 x sin 2 x + cos 2 x \u003d 1.
Därför är den vänstra sidan av denna ekvation lika med en om och endast om de två likheterna håller:
sin 8 x \u003d sin 2 x, cos 5 x \u003d cos 2 x,
de där. sin x kan ta värden -1, 0
Svar: /2 + k, + 2k, k€z.
För att komplettera bilden, överväg ett annat exempel.
12. Lös ekvationen: 4 cos 2 x - 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x \u003d 0.
Lösning: Vi kommer att betrakta den vänstra sidan av denna ekvation som ett kvadratiskt trinomium med avseende på cos x.
Låt D vara diskriminanten för detta trinomial:
1/4 D \u003d 4 (cos 4 3x - cos 2 3x).
Från olikheten D 0 följer cos 2 3x 0 eller cos 2 3x 1.
Det betyder att två möjligheter uppstår: cos 3x = 0 och cos 3x = ± 1.
Om cos 3x \u003d 0, så följer det av ekvationen att cos x \u003d 0, varav x \u003d / 2 + k.
Dessa x-värden uppfyller ekvationen.
Om cos 3x \u003d 1, från ekvationen cos x \u003d 1/2 finner vi x \u003d ± / 3 + 2k. Dessa värden uppfyller också ekvationen.
Svar: /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Lös ekvationen: sin 4 x + cos 4 x \u003d 7/2 sin x cos x.
Lösning: Vi transformerar uttrycket sin 4 x + cos 4 x genom att markera hela kvadraten: sin 4 x + cos 4 x \u003d sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x - 2 sin 2 x cos 2 x \u003d (sin 2 x + cos 2 x) 2 - 2 sin 2 x cos 2 x, därav sin 4 x + cos 4 x \u003d 1 - 1/2 sin 2 2x. Med hjälp av den erhållna formeln skriver vi ekvationen i formuläret
1-1/2 sin 2 2x = 7/4 sin 2x.
betecknar sin 2x \u003d t, -1 t 1,
vi får andragradsekvation 2t 2 + 7t - 4 = 0,
lösa vilket, vi finner t 1 \u003d 1/2, t 2 \u003d - 4
ekvation sin 2x \u003d 1/2
2x \u003d (- 1) k / 6 + k, k € z, x \u003d (- 1) k // 12 + k / 2, k € z.
