Дискриминантът, подобно на квадратните уравнения, започва да се изучава в курса по алгебра в 8 клас. Можете да решите квадратно уравнение чрез дискриминанта и с помощта на теоремата на Виета. Методология на изследването квадратни уравнения, както и дискриминантните формули, доста неуспешно се насаждат на учениците, както много неща в реалното образование. Затова пас училищни години, обучението в 9-11 клас замества " висше образование"и всички гледат отново - "Как да решим квадратно уравнение?", "Как да намеря корените на уравнение?", "Как да намерим дискриминанта?" и...

Дискриминантна формула

Дискриминантът D на квадратното уравнение a*x^2+bx+c=0 е D=b^2–4*a*c.
Корените (решенията) на квадратното уравнение зависят от знака на дискриминанта (D):
D>0 - уравнението има 2 различни реални корена;
D=0 - уравнението има 1 корен (2 съвпадащи корена):
д<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
Формулата за изчисляване на дискриминанта е доста проста, така че много сайтове предлагат онлайн калкулатор на дискриминанта. Все още не сме измислили този вид скриптове, така че който знае как да приложи това, моля, пишете на пощата Този имейл адрес е защитен от спам ботове. Трябва да имате активиран JavaScript, за да видите. .

Обща формула за намиране на корените на квадратно уравнение:

Корените на уравнението се намират по формулата
Ако коефициентът на променливата на квадрат е сдвоен, тогава е препоръчително да се изчисли не дискриминанта, а неговата четвърта част
В такива случаи корените на уравнението се намират по формулата

Вторият начин за намиране на корени е теоремата на Виета.

Теоремата е формулирана не само за квадратни уравнения, но и за полиноми. Можете да прочетете това в Wikipedia или други електронни ресурси. Въпреки това, за да опростим, разгледайте тази част от него, която се отнася до редуцираните квадратни уравнения, тоест уравнения от вида (a=1)
Същността на формулите на Vieta е, че сумата от корените на уравнението е равна на коефициента на променливата, взета с противоположен знак. Произведението на корените на уравнението е равно на свободния член. Формулите на теоремата на Виета имат нотация.
Извличането на формулата на Vieta е доста просто. Нека напишем квадратното уравнение по отношение на прости фактори
Както виждате, всичко гениално е просто в същото време. Ефективно е да се използва формулата на Vieta, когато разликата в модула на корените или разликата в модула на корените е 1, 2. Например, следните уравнения, съгласно теоремата на Vieta, имат корени




Анализът на до 4 уравнения трябва да изглежда така. Произведението на корените на уравнението е 6, така че корените могат да бъдат стойностите (1, 6) и (2, 3) или двойки с противоположен знак. Сборът от корените е 7 (коефициентът на променливата с обратен знак). От тук заключаваме, че решенията на квадратното уравнение са равни на x=2; х=3.
По-лесно е да изберете корените на уравнението между делителите на свободния член, коригирайки техния знак, за да изпълните формулите на Vieta. В началото това изглежда трудно да се направи, но с практика върху редица квадратни уравнения, тази техника ще бъде по-ефективна от изчисляването на дискриминанта и намирането на корените на квадратното уравнение по класическия начин.
Както можете да видите, училищната теория за изучаване на дискриминанта и начини за намиране на решения на уравнението е лишена от практически смисъл - „Защо учениците имат нужда от квадратно уравнение?“, „Какво е физическото значение на дискриминанта?“.

Нека се опитаме да го разберем какво описва дискриминантът?

В хода на алгебрата те изучават функции, схеми за изучаване на функции и графични функции. От всички функции важно място заема параболата, чието уравнение може да се запише във вида
Така че физическият смисъл на квадратното уравнение е нулите на параболата, тоест точките на пресичане на графиката на функцията с абсцисната ос Ox
Моля ви да запомните свойствата на параболите, които са описани по-долу. Ще дойде време за полагане на изпити, тестове или приемни изпити и ще бъдете благодарни за справочния материал. Знакът на променливата в квадрата съответства на това дали клоните на параболата на графиката ще се издигнат (a>0),

или парабола с разклонения надолу (а<0) .

Върхът на параболата се намира по средата между корените

Физическото значение на дискриминанта:

Ако дискриминантът е по-голям от нула (D>0), параболата има две пресечни точки с оста Ox.
Ако дискриминантът е равен на нула (D=0), тогава параболата в горната част докосва оста x.
И последният случай, когато дискриминантът по-малко от нула(Д<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Непълни квадратни уравнения

Сред целия курс на училищната програма по алгебра една от най-обемните теми е темата за квадратните уравнения. В този случай квадратното уравнение се разбира като уравнение от формата ax 2 + bx + c \u003d 0, където a ≠ 0 (това се чете: умножено по x на квадрат плюс be x плюс ce е равно на нула, където a не е равно на нула). В този случай основното място се заема от формулите за намиране на дискриминанта на квадратно уравнение от посочения тип, което се разбира като израз, който ви позволява да определите наличието или отсъствието на корени в квадратно уравнение, както и техния брой (ако има такъв).

Формула (уравнение) на дискриминанта на квадратно уравнение

Общоприетата формула за дискриминанта на квадратно уравнение е, както следва: D \u003d b 2 - 4ac. Чрез изчисляване на дискриминанта по посочената формула може не само да се определи наличието и броят на корените на квадратно уравнение, но и да се избере метод за намиране на тези корени, от които има няколко, в зависимост от вида на квадратното уравнение.

Какво означава, ако дискриминантът е нула \ Формула на корените на квадратно уравнение, ако дискриминантът е нула

Дискриминантът, както следва от формулата, се обозначава с латинската буква D. В случай, когато дискриминантът е нула, трябва да се заключи, че квадратното уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0 , има само един корен, който се изчислява по опростена формула. Тази формула се прилага само когато дискриминантът е нула и изглежда така: x = –b/2a, където x е коренът на квадратното уравнение, b и a са съответните променливи на квадратното уравнение. За да се намери коренът на квадратно уравнение, е необходимо отрицателната стойност на променливата b да се раздели на удвоената стойност на променливата a. Полученият израз ще бъде решение на квадратно уравнение.

Решаване на квадратно уравнение чрез дискриминанта

Ако при изчисляване на дискриминанта по горната формула се получи положителна стойност (D е по-голяма от нула), тогава квадратното уравнение има два корена, които се изчисляват по следните формули: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. Най-често дискриминантът не се изчислява отделно, а коренният израз под формата на дискриминантна формула просто се заменя със стойността D, от която се извлича коренът. Ако променливата b има четна стойност, тогава за изчисляване на корените на квадратно уравнение от формата ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, можете да използвате и следните формули: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, където k = b/2.

В някои случаи за практическото решение на квадратни уравнения можете да използвате теоремата на Vieta, която казва, че за сумата от корените на квадратно уравнение от формата x 2 + px + q \u003d 0, стойността x 1 + x 2 \u003d -p ще бъде валиден, а за продукта от корените на посоченото уравнение - израз x 1 x x 2 = q.

Може ли дискриминантът да бъде по-малък от нула?

При изчисляване на стойността на дискриминанта може да се срещне ситуация, която не попада в нито един от описаните случаи - когато дискриминантът има отрицателна стойност (т.е. по-малка от нула). В този случай се счита, че квадратното уравнение от вида ax 2 + bx + c = 0, където a ≠ 0, няма реални корени, следователно неговото решение ще бъде ограничено до изчисляване на дискриминанта, а горните формули за корените на квадратното уравнение в този случайняма да се прилага. В същото време в отговора на квадратното уравнение е записано, че „уравнението няма реални корени“.

Обясняващо видео:

Първо ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина "квадратично уравнение" ключовата дума е "квадратично". Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото X) в квадрата и в същото време не трябва да има Xs в трета (или по-голяма) степен.

Решението на много уравнения се свежда до решението на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че имаме квадратно уравнение, а не някакво друго.

Пример 1

Отървете се от знаменателя и умножете всеки член от уравнението по

Нека преместим всичко вляво и подредим членовете в низходящ ред на степените на x

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е било в него, не е квадрат!

Пример 3

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвъртата и втората степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4

Изглежда, че е така, но нека разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко вляво:

Виждате ли, той се е свил - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте сами да определите кое от следните уравнения е квадратно и кое не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадратен;
4. не квадратен;
5. не квадратен;
6. квадрат;
7. не квадратен;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните типове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). Освен това сред пълните квадратни уравнения има даденоса уравнения, в които коефициентът (уравнението от първия пример е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото в тях липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат !!! В противен случай вече няма да е квадратно, а някакво друго уравнение.

Защо измислиха такова разделение? Изглежда, че има X на квадрат и добре. Такова разделение се дължи на методите на решение. Нека разгледаме всеки един от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Непълните квадратни уравнения са от следните видове:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. и. Тъй като знаем как да вземем квадратен корен, нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде отрицателен или положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Тези формули не е необходимо да се запомнят. Основното е, че винаги трябва да знаете и да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава да извлечете корена от лявата и дясната част. В крайна сметка, помните ли как да извадите корените?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

Оу! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, в които няма корени, математиците измислиха специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

Следователно това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извадили корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител от скоби:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се справим без примери.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение на уравнението на формата, където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен.Специално внимание трябва да се обърне на стъпката. Дискриминантът () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1прескочи.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1прескочи.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1прескочи.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да запишем правилно такива отговори.

Отговор:няма корени

2. Решение на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат ​​редуцирани (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Виета:

Сборът от корените даденоквадратното уравнение е равно, а произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

И продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

• и. Сумата е;
• и. Сумата е;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Уравнението се намалява, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високо или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, а - безплатен член.

Защо? Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В това уравнение на изпражненията се нарича непълно. Ако всички условия са на място, тоест уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не е необходимо да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

няма корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител от скоби:

Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

пример:

Решете уравнението.

Решение:

Разлагаме на множители лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта в коренната формула? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корен:
• Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо има различен брой корени? Нека се обърнем към геометричния смисъл на квадратното уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В конкретен случай, който е квадратно уравнение, . А това означава, че корените на квадратното уравнение са пресечните точки с оста x (ос). Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Виета е много лесно: просто трябва да изберете двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с противоположен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека разгледаме няколко примера:

Пример №1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чието произведение е равно, и проверим дали тяхната сума е равна:

• и. Сумата е;
• и. Сумата е;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

По този начин и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример №2:

Решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали тяхната сума е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка работата.

Отговор:

Пример №3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Значи сборът от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и разликата между които е равна на:

и: разликата им е - не са подходящи;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящ. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да е равна, тогава коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да бъде отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример №4:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример №5:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Сборът от корените е отрицателен, което означава, че поне един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измисляте корени устно, вместо да броите този гаден дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените. За да ви е изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не мами: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме избора с продукта:

Не е подходящ, тъй като количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново, любимата ни теорема на Виета: сумата трябва да се получи, но продуктът е равен.

Но тъй като не трябва да бъде, но променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е да прехвърлите всички термини в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да донесете уравнението. Ако не можете да го повдигнете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта). Нека ви напомня, че да изведем квадратно уравнение означава да направим водещия коефициент равен на:

Отлично. Тогава сборът от корените е равен на произведението.

Тук е по-лесно да се вземе: в края на краищата - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Свободният срок е отрицателен. Какво е толкова специално в него? И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но продуктът.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус. Теоремата на Виета ни казва, че сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Техният сбор трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека обобщя:

1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез селекция, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерена подходяща двойка фактори на свободния член, тогава няма цели корени и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, се представят като членове от формулите за съкратено умножение - квадратът на сбора или разликата - тогава след промяната на променливите е възможно уравнението да се представи под формата на непълно квадратно уравнение от типа .

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Като цяло трансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Не ти ли напомня за нищо? Това е дискриминантът! Точно така е получена дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от вида, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението има вида: ,
• ако е свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението има вида: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Нека извадим общия множител от скоби: ,

2) Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от вида, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида където

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Нека приведем уравнението до стандартния вид: ,

2) Изчислете дискриминанта, като използвате формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• if, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равен, а произведението на корените е равно, т.е. , а.

2.3. Пълно квадратно решение

Например, за тричлена \(3x^2+2x-7\), дискриминантът ще бъде \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). А за тричлена \(x^2-5x+11\), той ще бъде равен на \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

Дискриминантът се обозначава с буквата \(D\) и често се използва при решаване. Също така, по стойността на дискриминанта, можете да разберете как изглежда графиката (вижте по-долу).

Дискриминант и корени на уравнение

Стойността на дискриминанта показва размера на квадратното уравнение:
- ако \(D\) е положително, уравнението ще има два корена;
- ако \(D\) е равно на нула - само един корен;
- ако \(D\) е отрицателен, няма корени.

Не е необходимо да се научава това, лесно е да се стигне до такова заключение, просто знаейки, че от дискриминанта (тоест \(\sqrt(D)\) е включено във формулата за изчисляване на корените на уравнението: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Нека разгледаме всеки случай по-подробно.

Ако дискриминантът е положителен

В този случай коренът му е някакво положително число, което означава, че \(x_(1)\) и \(x_(2)\) ще бъдат различни по стойност, тъй като в първата формула \(\sqrt(D) \) се добавя , а във втория - се изважда. И имаме два различни корена.

Пример : Намерете корените на уравнението \(x^2+2x-3=0\)
Решение :

Отговор : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Ако дискриминантът е нула

И колко корена ще има, ако дискриминантът е нула? Да разсъждаваме.

Основните формули изглеждат така: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) и \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . И ако дискриминантът е нула, тогава неговият корен също е нула. Тогава се оказва:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Тоест, стойностите на корените на уравнението ще бъдат еднакви, тъй като добавянето или изваждането на нула не променя нищо.

Пример : Намерете корените на уравнението \(x^2-4x+4=0\)
Решение :

\(x^2-4x+4=0\)		Изписваме коефициентите:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Изчислете дискриминанта по формулата \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Намиране на корените на уравнението
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Получихме два еднакви корена, така че няма смисъл да ги пишем отделно - записваме ги като един.

Отговор : \(x=2\)

Квадратно уравнение - лесно за решаване! *По-нататък в текста "КУ".Приятели, изглежда, че в математиката може да бъде по-лесно от решаването на такова уравнение. Но нещо ми подсказа, че много хора имат проблеми с него. Реших да видя колко импресии дава Yandex на заявка на месец. Ето какво се случи, вижте:

Какво означава? Това означава, че около 70 000 души на месец търсят тази информация, а това е лято, а какво ще се случи през учебната година - ще има двойно повече искания. Това не е изненадващо, защото онези момчета и момичета, които отдавна са завършили училище и се подготвят за изпита, търсят тази информация, а учениците също се опитват да опреснят паметта си.

Въпреки факта, че има много сайтове, които разказват как да се реши това уравнение, реших също да допринеса и да публикувам материала. Първо, искам посетителите да идват на моя сайт по тази заявка; второ, в други статии, когато се появи речта „KU“, ще дам връзка към тази статия; трето, ще ви разкажа малко повече за неговото решение, отколкото обикновено се посочва в други сайтове. Да започваме!Съдържанието на статията:

Квадратното уравнение е уравнение от вида:

където коефициентите а,би с произволни числа, с a≠0.

AT училищен курсматериалът е даден в следната форма - разделянето на уравненията на три класа е условно направено:

1. Има два корена.

2. * Имат само един корен.

3. Нямат корени. Тук си струва да се отбележи, че те нямат истински корени

Как се изчисляват корените? Просто!

Изчисляваме дискриминанта. Под тази "ужасна" дума се крие много проста формула:

Основните формули са както следва:

*Тези формули трябва да се знаят наизуст.

Можете веднага да запишете и решите:

пример:

1. Ако D > 0, тогава уравнението има два корена.

2. Ако D = 0, тогава уравнението има един корен.

3. Ако D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Нека да разгледаме уравнението:

По този повод, когато дискриминантът е нула, училищният курс казва, че се получава един корен, тук той е равен на девет. Така е, така е, но...

Това представяне е донякъде неправилно. Всъщност корените са два. Да, да, не се учудвайте, оказват се два равни корена и за да бъдем математически точни, тогава в отговора трябва да бъдат написани два корена:

х 1 = 3 х 2 = 3

Но това е така - малко отклонение. В училище можете да запишете и да кажете, че има само един корен.

Сега следният пример:

Както знаем, коренът на отрицателно числоне се извлича, така че в този случай няма решение.

Това е целият процес на вземане на решение.

Квадратична функция.

Ето как изглежда решението геометрично. Това е изключително важно да се разбере (в бъдеще, в една от статиите, ще анализираме подробно решението на квадратно неравенство).

Това е функция на формата:

където x и y са променливи

a, b, c са дадени числа, където a ≠ 0

Графиката е парабола:

Тоест, оказва се, че чрез решаване на квадратно уравнение с "y" равно на нула, намираме точките на пресичане на параболата с оста x. Може да има две от тези точки (дискриминантът е положителен), една (дискриминантът е нула) или нито една (дискриминантът е отрицателен). Подробности за квадратична функция Можете да видитестатия от Inna Feldman.

Помислете за примери:

Пример 1: Решете 2x 2 +8 х–192=0

a=2 b=8 c= -192

D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Отговор: x 1 = 8 x 2 = -12

* Можете веднага да разделите лявата и дясната част на уравнението на 2, тоест да го опростите. Изчисленията ще бъдат по-лесни.

Пример 2: Реши x2–22 х+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Получихме, че x 1 = 11 и x 2 = 11

В отговора е допустимо да се напише x = 11.

Отговор: x = 11

Пример 3: Реши x 2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

Дискриминантът е отрицателен, няма решение в реални числа.

Отговор: няма решение

Дискриминантът е отрицателен. Има решение!

Тук ще говорим за решаване на уравнението в случай, когато се получи отрицателен дискриминант. Знаете ли нещо за комплексните числа? Тук няма да се впускам в подробности защо и къде са възникнали и каква е тяхната специфична роля и необходимост в математиката, това е тема за голяма отделна статия.

Концепцията за комплексно число.

Малко теория.

Комплексното число z е число от формата

z = a + bi

където a и b са реални числа, i е така наречената въображаема единица.

a+bi е ЕДИНИЧНО ЧИСЛО, а не допълнение.

Въображаемата единица е равна на корен от минус едно:

Сега помислете за уравнението:

Вземете два спрегнати корена.

Непълно квадратно уравнение.

Помислете за специални случаи, когато коефициентът "b" или "c" е равен на нула (или и двата са равни на нула). Решават се лесно без никакви дискриминации.

Случай 1. Коефициент b = 0.

Уравнението приема формата:

Нека трансформираме:

пример:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Случай 2. Коефициент c = 0.

Уравнението приема формата:

Преобразувайте, разлагайте на множители:

*Произведението е равно на нула, когато поне един от факторите е равен на нула.

пример:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0

х 1 = 0 х 2 = 5

Случай 3. Коефициенти b = 0 и c = 0.

Тук е ясно, че решението на уравнението винаги ще бъде x = 0.

Полезни свойства и модели на коефициенти.

Има свойства, които позволяват решаването на уравнения с големи коефициенти.

ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а + б+ c = 0,тогава

— ако за коефициентите на уравнението ах 2 + bx+ ° С=0 равенство

а+ с =б, тогава

Тези свойства помагат за решаването на определен вид уравнение.

Пример 1: 5001 х 2 –4995 х – 6=0

Сборът на коефициентите е 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, така че

Пример 2: 2501 х 2 +2507 х+6=0

Равенство а+ с =б, означава

Закономерности на коефициентите.

1. Ако в уравнението ax 2 + bx + c \u003d 0 коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 = -6 x 2 = -1/6.

2. Ако в уравнението ax 2 - bx + c \u003d 0, коефициентът "b" е (a 2 +1), а коефициентът "c" е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 15x 2 –226x +15 = 0.

х 1 = 15 х 2 = 1/15.

3. Ако в уравнението ax 2 + bx - c = 0 коефициент "b" равно (а 2 – 1), и коефициент „c“ числено равно на коефициента "а", тогава корените му са равни

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Пример. Да разгледаме уравнението 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 = - 17 x 2 = 1/17.

4. Ако в уравнението ax 2 - bx - c \u003d 0, коефициентът "b" е равен на (a 2 - 1), а коефициентът c е числено равен на коефициента "a", тогава неговите корени са

брадва 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Пример. Помислете за уравнението 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 = 10 x 2 = - 1/10

Теоремата на Виета.

Теоремата на Виета е кръстена на известния френски математикФрансоа Виета. Използвайки теоремата на Vieta, може да се изрази сумата и произведението на корените на произволен KU по отношение на неговите коефициенти.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

В обобщение числото 14 дава само 5 и 9. Това са корените. С определено умение, използвайки представената теорема, можете да решите много квадратни уравнения веднага устно.

Освен това теоремата на Виета. удобно, защото след решаване на квадратното уравнение по обичайния начин (чрез дискриминанта), получените корени могат да бъдат проверени. Препоръчвам да правите това през цялото време.

НАЧИН НА ПРЕХВЪРЛЯНЕ

При този метод коефициентът "а" се умножава по свободния член, сякаш "прехвърлен" към него, поради което се нарича метод на трансфер.Този метод се използва, когато е лесно да се намерят корените на уравнение с помощта на теоремата на Vieta и най-важното, когато дискриминантът е точен квадрат.

Ако а± b+c≠ 0, тогава се използва техниката на трансфер, например:

2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)

Съгласно теоремата на Vieta в уравнение (2) е лесно да се определи, че x 1 = 10 x 2 = 1

Получените корени на уравнението трябва да се разделят на 2 (тъй като двете са „хвърлени“ от x 2), получаваме

x 1 = 5 x 2 = 0,5.

Каква е обосновката? Вижте какво става.

Дискриминантите на уравнения (1) и (2) са:

Ако погледнете корените на уравненията, тогава се получават само различни знаменатели и резултатът зависи точно от коефициента при x 2:

Вторите (модифицирани) корени са 2 пъти по-големи.

Следователно разделяме резултата на 2.

*Ако хвърлим три от вида, тогава разделяме резултата на 3 и т.н.

Отговор: x 1 = 5 x 2 = 0,5

кв. ур-т.е. и изпита.

Ще кажа накратко за важността му – ТРЯБВА ДА МОЖЕТЕ ДА РЕШИТЕ ​​бързо и без да се замисляте, трябва да знаете наизуст формулите на корените и дискриминанта. Много от задачите, които са част от задачите на USE, се свеждат до решаване на квадратно уравнение (включително геометрични).

Какво си заслужава да се отбележи!

1. Формата на уравнението може да бъде "неявна". Например, следният запис е възможен:

15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15x+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.

Трябва да го приведете в стандартна форма (за да не се объркате при решаването).

2. Не забравяйте, че x е неизвестна стойност и може да се обозначи с всяка друга буква - t, q, p, h и други.