Тип уравнение

Изразяване д= b 2 - 4acНаречен дискриминантаквадратно уравнение. Акод = 0, тогава уравнението има един реален корен; ако Д> 0, тогава уравнението има два реални корена.
В случай, когато д = 0 , понякога се казва, че квадратното уравнение има два еднакви корена.
Използване на нотацията д= b 2 - 4ac, формула (2) може да се пренапише като

Ако б= 2 k, то формула (2) приема формата:

където к= b / 2 .
Последната формула е особено удобна, когато б / 2 е цяло число, т.е. коефициент б - четен брой.
Пример 1:реши уравнението 2 х 2 - 5 х + 2 = 0 . Тук a=2, b=-5, c=2. Ние имаме д= b 2 - 4ac = (-5) 2- 4*2*2 = 9 . Защото д > 0 , то уравнението има два корена. Нека ги намерим по формулата (2)

Така х 1 =(5 + 3) / 4 = 2, x 2 =(5 - 3) / 4 = 1 / 2 ,
това е х 1 = 2 и х 2 = 1 / 2 са корените на даденото уравнение.
Пример 2:реши уравнението 2 х 2 - 3 х + 5 = 0 . Тук a=2, b=-3, c=5. Намиране на дискриминанта д= b 2 - 4ac = (-3) 2- 4*2*5 = -31 . Защото д 0 , то уравнението няма реални корени.

Непълни квадратни уравнения. Ако в квадратно уравнение брадва 2 +bx+c =0 втори фактор били безплатен член ° Сравно на нула, тогава се извиква квадратното уравнение непълна. Непълните уравнения се разграничават, защото за да намерите техните корени, не можете да използвате формулата за корените на квадратно уравнение - по-лесно е да решите уравнението, като разложите лявата му страна на фактори.
Пример 1:реши уравнението 2 х 2 - 5 х = 0 .
Ние имаме х(2 х - 5) = 0 . Така че или х = 0 , или 2 х - 5 = 0 , това е х = 2.5 . Така че уравнението има два корена: 0 и 2.5
Пример 2:реши уравнението 3 х 2 - 27 = 0 .
Ние имаме 3 х 2 = 27 . Следователно корените на това уравнение са 3 и -3 .

Теоремата на Виета. Ако даденото квадратно уравнение х 2 +px+ q =0 има реални корени, тогава тяхната сума е равна на - стр, а продуктът е q, това е

x 1 + x 2 \u003d -p,
x 1 x 2 = q

(сумата от корените на даденото квадратно уравнение е равна на втория коефициент, взет с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член).

В продължение на темата „Решаване на уравнения“ материалът в тази статия ще ви запознае с квадратните уравнения.

Нека разгледаме всичко подробно: същността и обозначението на квадратното уравнение, да зададем свързани термини, да анализираме схемата за решаване на непълни и пълни уравнения, да се запознаем с формулата на корените и дискриминанта, да установим връзки между корени и коефициенти и разбира се ще дадем нагледно решение на практически примери.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Квадратно уравнение, неговите видове

Определение 1

Квадратно уравнениее уравнението, записано като a x 2 + b x + c = 0, където х– променлива, a , b и ° Сса някои числа, докато ане е нула.

Често квадратните уравнения се наричат ​​и уравнения от втора степен, тъй като всъщност квадратното уравнение е алгебрично уравнение от втора степен.

Нека дадем пример, за да илюстрираме даденото определение: 9 x 2 + 16 x + 2 = 0 ; 7, 5 x 2 + 3, 1 x + 0, 11 = 0 и т.н. са квадратни уравнения.

Определение 2

Числа a, b и ° Сса коефициентите на квадратното уравнение a x 2 + b x + c = 0, докато коефициентът асе нарича първи, или старши, или коефициент при x 2, b - вторият коефициент, или коефициент при х, а ° Снаречен свободен член.

Например в квадратното уравнение 6 x 2 - 2 x - 11 = 0най-високият коефициент е 6 , вторият коефициент е − 2 , а свободният член е равен на − 11 . Нека обърнем внимание на факта, че когато кое би/или c са отрицателни, тогава кратка формазаписи на формуляра 6 x 2 - 2 x - 11 = 0, но не 6 x 2 + (− 2) x + (− 11) = 0.

Нека изясним и този аспект: ако коефициентите аи/или бравни 1 или − 1 , то те може да не вземат изрично участие в записването на квадратното уравнение, което се обяснява с особеностите на записване на посочените числови коефициенти. Например в квадратното уравнение y 2 − y + 7 = 0старшият коефициент е 1, а вторият коефициент е − 1 .

Редуцирани и нередуцирани квадратни уравнения

Според стойността на първия коефициент квадратните уравнения се делят на редуцирани и нередуцирани.

Определение 3

Редуцирано квадратно уравнениее квадратно уравнение, където водещият коефициент е 1. За други стойности на водещия коефициент квадратното уравнение е нередуцирано.

Ето няколко примера: редуцират се квадратни уравнения x 2 − 4 · x + 3 = 0 , x 2 − x − 4 5 = 0, във всяко от които водещият коефициент е 1 .

9 x 2 - x - 2 = 0- нередуцирано квадратно уравнение, където първият коефициент е различен от 1 .

Всяко нередуцирано квадратно уравнение може да бъде преобразувано в редуцирано уравнение, като се разделят двете му части на първия коефициент (еквивалентна трансформация). Преобразуваното уравнение ще има същите корени като даденото нередуцирано уравнение или също няма да има корени изобщо.

Разглеждане казусще ни позволи да демонстрираме нагледно прехода от нередуцирано квадратно уравнение към редуцирано.

Пример 1

Като се има предвид уравнението 6 x 2 + 18 x − 7 = 0 . Необходимо е първоначалното уравнение да се преобразува в редуциран вид.

Решение

Съгласно горната схема разделяме двете части на оригиналното уравнение на водещия коефициент 6 . Тогава получаваме: (6 x 2 + 18 x - 7) : 3 = 0: 3, а това е същото като: (6 x 2) : 3 + (18 x) : 3 − 7: 3 = 0и още: (6: 6) x 2 + (18: 6) x − 7: 6 = 0 .Оттук: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 . Така се получава уравнение, еквивалентно на даденото.

Отговор: x 2 + 3 x - 1 1 6 = 0 .

Пълни и непълни квадратни уравнения

Нека се обърнем към дефиницията на квадратно уравнение. В него уточнихме това а ≠ 0. Подобно условие е необходимо за уравнението a x 2 + b x + c = 0беше точно квадратна, тъй като а = 0по същество се трансформира в линейно уравнение b x + c = 0.

В случая, когато коефициентите би ° Сса равни на нула (което е възможно, както поотделно, така и заедно), квадратното уравнение се нарича непълно.

Определение 4

Непълно квадратно уравнениее квадратно уравнение a x 2 + b x + c \u003d 0,където поне един от коефициентите би ° С(или и двете) е нула.

Пълно квадратно уравнениее квадратно уравнение, в което всички числови коефициенти не са равни на нула.

Нека да обсъдим защо видовете квадратни уравнения имат точно такива имена.

За b = 0, квадратното уравнение приема формата a x 2 + 0 x + c = 0, което е същото като a x 2 + c = 0. В c = 0квадратното уравнение се записва като a x 2 + b x + 0 = 0, което е еквивалентно a x 2 + b x = 0. В b = 0и c = 0уравнението ще приеме формата а х 2 = 0. Уравненията, които получихме, се различават от пълното квадратно уравнение по това, че техните леви страни не съдържат нито член с променливата x, нито свободен член, нито и двете едновременно. Всъщност този факт даде името на този тип уравнения - непълни.

Например, x 2 + 3 x + 4 = 0 и − 7 x 2 − 2 x + 1, 3 = 0 са пълни квадратни уравнения; x 2 = 0, − 5 x 2 = 0; 11 x 2 + 2 = 0 , − x 2 − 6 x = 0 са непълни квадратни уравнения.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Горното определение прави възможно разграничаването следните видовенепълни квадратни уравнения:

• а х 2 = 0, коефициентите отговарят на такова уравнение b = 0и c = 0;
• a x 2 + c \u003d 0 за b = 0;
• a x 2 + b x = 0 за c = 0 .

Разгледайте последователно решението на всеки тип непълно квадратно уравнение.

Решение на уравнението a x 2 \u003d 0

Както вече беше споменато по-горе, такова уравнение съответства на коефициентите би ° С, равно на нула. Уравнението а х 2 = 0може да се преобразува в еквивалентно уравнение x2 = 0, което получаваме, като разделим двете страни на оригиналното уравнение на числото а, не е равно на нула. Очевидният факт е, че коренът на уравнението x2 = 0е нула, защото 0 2 = 0 . Това уравнение няма други корени, което се обяснява със свойствата на степента: за произволно число п ,не е равно на нула, неравенството е вярно p2 > 0, от което следва, че когато p ≠ 0равенство p2 = 0никога няма да бъде достигнат.

Определение 5

По този начин, за непълното квадратно уравнение a x 2 = 0, има уникален корен х=0.

Пример 2

Например, нека решим непълно квадратно уравнение − 3 x 2 = 0. То е еквивалентно на уравнението x2 = 0, единственият му корен е х=0, тогава оригиналното уравнение има един корен - нула.

Решението е обобщено, както следва:

− 3 x 2 = 0, x 2 = 0, x = 0.

Решение на уравнението a x 2 + c \u003d 0

Следващото по ред е решението на непълни квадратни уравнения, където b = 0, c ≠ 0, тоест уравнения от вида a x 2 + c = 0. Нека трансформираме това уравнение, като прехвърлим члена от едната страна на уравнението в другата, променим знака на противоположния и разделим двете страни на уравнението на число, което не е равно на нула:

• издържат ° Сот дясната страна, което дава уравнението a x 2 = − c;
• разделете двете страни на уравнението на а, получаваме в резултат x = - c a .

Нашите трансформации са еквивалентни, съответно полученото уравнение също е еквивалентно на оригиналното и този факт дава възможност да се направи извод за корените на уравнението. От какви са стойностите аи ° Сзависи от стойността на израза - c a: може да има знак минус (например, ако а = 1и c = 2, след това - c a = - 2 1 = - 2) или знак плюс (например, ако а = -2и c=6, тогава - c a = - 6 - 2 = 3); не е равно на нула, защото c ≠ 0. Нека се спрем по-подробно на ситуациите, когато - c a< 0 и - c a > 0 .

В случай, когато - c a< 0 , уравнение x 2 = - c a не будет иметь корней. Утверждая это, мы опираемся на то, что квадратом любого числа является число неотрицательное. Из сказанного следует, что при - c a < 0 ни для какого числа стрравенството p 2 = - c a не може да бъде вярно.

Всичко е различно, когато - c a > 0: запомнете квадратния корен и ще стане очевидно, че коренът на уравнението x 2 \u003d - c a ще бъде числото - c a, тъй като - c a 2 \u003d - c a. Лесно е да се разбере, че числото - - c a - също е коренът на уравнението x 2 = - c a: наистина, - - c a 2 = - c a .

Уравнението няма да има други корени. Можем да демонстрираме това с помощта на обратния метод. Първо, нека зададем обозначението на корените, намерени по-горе, като х 1и − x 1. Да приемем, че уравнението x 2 = - c a също има корен x2, което е различно от корените х 1и − x 1. Знаем, че като заместим в уравнението вместо хнеговите корени, ние трансформираме уравнението в справедливо числово равенство.

За х 1и − x 1запишете: x 1 2 = - c a , и за x2- x 2 2 \u003d - c a. Въз основа на свойствата на числовите равенства изваждаме един член по член истинско равенствоот друг, което ще ни даде: x 1 2 − x 2 2 = 0. Използвайте свойствата на числовите операции, за да пренапишете последното равенство като (x 1 - x 2) (x 1 + x 2) = 0. Известно е, че произведението на две числа е нула тогава и само ако поне едно от числата е нула. От казаното следва, че x1 − x2 = 0и/или x1 + x2 = 0, което е същото x2 = x1и/или x 2 = − x 1. Възникна очевидно противоречие, тъй като в началото беше прието, че коренът на уравнението x2се различава от х 1и − x 1. И така, доказахме, че уравнението няма други корени освен x = - c a и x = - - c a .

Обобщаваме всички аргументи по-горе.

Определение 6

Непълно квадратно уравнение a x 2 + c = 0е еквивалентно на уравнението x 2 = - c a , което:

• няма да има корени в - c a< 0 ;
• ще има два корена x = - c a и x = - - c a, когато - c a > 0 .

Нека дадем примери за решаване на уравнения a x 2 + c = 0.

Пример 3

Дадено е квадратно уравнение 9 x 2 + 7 = 0 .Необходимо е да се намери нейното решение.

Решение

Прехвърляме свободния член в дясната страна на уравнението, след което уравнението ще приеме формата 9 x 2 \u003d - 7.
Разделяме двете страни на полученото уравнение на 9 , стигаме до x 2 = - 7 9 . От дясната страна виждаме число със знак минус, което означава: даденото уравнение няма корени. Тогава първоначалното непълно квадратно уравнение 9 x 2 + 7 = 0няма да има корени.

Отговор:уравнението 9 x 2 + 7 = 0няма корени.

Пример 4

Необходимо е да се реши уравнението − x2 + 36 = 0.

Решение

Нека преместим 36 в дясната страна: − x 2 = − 36.
Нека разделим двете части на − 1 , получаваме х2 = 36. От дясната страна е положително число, от което можем да заключим, че х = 36 или х = - 36 .
Извличаме корена и записваме крайния резултат: непълно квадратно уравнение − x2 + 36 = 0има два корена х=6или х = -6.

Отговор: х=6или х = -6.

Решение на уравнението a x 2 +b x=0

Нека анализираме третия вид непълни квадратни уравнения, когато c = 0. Да се ​​намери решение на непълно квадратно уравнение a x 2 + b x = 0, използваме метода на факторизация. Нека разложим на множители полинома, който е от лявата страна на уравнението, като извадим общия множител от скоби х. Тази стъпка ще направи възможно трансформирането на оригиналното непълно квадратно уравнение в негов еквивалент x (a x + b) = 0. И това уравнение от своя страна е еквивалентно на набора от уравнения х=0и a x + b = 0. Уравнението a x + b = 0линеен и неговият корен: x = − b a.

Определение 7

По този начин непълното квадратно уравнение a x 2 + b x = 0ще има два корена х=0и x = − b a.

Нека консолидираме материала с пример.

Пример 5

Необходимо е да се намери решението на уравнението 2 3 · x 2 - 2 2 7 · x = 0 .

Решение

Да извадим хизвън скобите и получаваме уравнението x · 2 3 · x - 2 2 7 = 0 . Това уравнение е еквивалентно на уравненията х=0и 2 3 x - 2 2 7 = 0 . Сега трябва да решите полученото линейно уравнение: 2 3 · x = 2 2 7 , x = 2 2 7 2 3 .

Накратко, ние записваме решението на уравнението, както следва:

2 3 x 2 - 2 2 7 x = 0 x 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или 2 3 x - 2 2 7 = 0

x = 0 или x = 3 3 7

Отговор: x = 0 , x = 3 3 7 .

Дискриминант, формула на корените на квадратно уравнение

За да намерите решение на квадратни уравнения, има коренна формула:

Определение 8

x = - b ± D 2 a, където D = b 2 − 4 a cе така нареченият дискриминант на квадратно уравнение.

Писането на x \u003d - b ± D 2 a по същество означава, че x 1 \u003d - b + D 2 a, x 2 \u003d - b - D 2 a.

Ще бъде полезно да разберете как е получена посочената формула и как да я приложите.

Извеждане на формулата на корените на квадратно уравнение

Да предположим, че сме изправени пред задачата да решим квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0. Нека извършим редица еквивалентни трансформации:

• разделете двете страни на уравнението на числото а, различен от нула, получаваме редуцираното квадратно уравнение: x 2 + b a x + c a \u003d 0;
• изберете пълния квадрат от лявата страна на полученото уравнение:
  x 2 + b a x + c a = x 2 + 2 b 2 a x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a = = x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a
  След това уравнението ще приеме вида: x + b 2 a 2 - b 2 a 2 + c a \u003d 0;
• сега е възможно да прехвърлим последните два члена в дясната страна, като сменим знака на противоположния, след което получаваме: x + b 2 · a 2 = b 2 · a 2 - c a ;
• накрая трансформираме израза, написан от дясната страна на последното равенство:
  b 2 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - c a \u003d b 2 4 a 2 - 4 a c 4 a 2 \u003d b 2 - 4 a c 4 a 2.

Така стигнахме до уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е еквивалентно на оригиналното уравнение a x 2 + b x + c = 0.

Обсъдихме решението на такива уравнения в предишните параграфи (решението на непълни квадратни уравнения). Вече натрупаният опит позволява да се направи заключение относно корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2:

• за b 2 - 4 a c 4 a 2< 0 уравнение не имеет действительных решений;
• за b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 0, уравнението има вида x + b 2 · a 2 = 0, тогава x + b 2 · a = 0.

Оттук нататък единственият корен x = - b 2 · a е очевиден;

• за b 2 - 4 a c 4 a 2 > 0, правилният е: x + b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , което е същото като x + - b 2 a = b 2 - 4 a c 4 a 2 или x = - b 2 a - b 2 - 4 a c 4 a 2 , т.е. уравнението има два корена.

Възможно е да се заключи, че наличието или отсъствието на корените на уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 (и оттам на оригиналното уравнение) зависи от знака на израза b 2 - 4 a c 4 · 2 изписано от дясната страна. И знакът на този израз се дава от знака на числителя (знаменателят 4 а 2винаги ще бъде положителен), тоест знакът на израза b 2 − 4 a c. Този израз b 2 − 4 a cсе дава име - дискриминантът на квадратно уравнение и буквата D се определя като негово обозначение. Тук можете да запишете същността на дискриминанта - по неговата стойност и знак те заключават дали квадратното уравнение ще има реални корени и ако да, колко корена - един или два.

Нека се върнем към уравнението x + b 2 a 2 = b 2 - 4 a c 4 a 2 . Нека го пренапишем, използвайки дискриминантната нотация: x + b 2 · a 2 = D 4 · a 2 .

Нека обобщим изводите:

Определение 9

• при д< 0 уравнението няма реални корени;
• при D=0уравнението има единичен корен x = - b 2 · a ;
• при D > 0уравнението има два корена: x \u003d - b 2 a + D 4 a 2 или x \u003d - b 2 a - D 4 a 2. Въз основа на свойствата на радикалите, тези корени могат да бъдат записани като: x \u003d - b 2 a + D 2 a или - b 2 a - D 2 a. И когато отворим модулите и намалим дробите до общ знаменател, получаваме: x \u003d - b + D 2 a, x \u003d - b - D 2 a.

И така, резултатът от нашите разсъждения беше извеждането на формулата за корените на квадратното уравнение:

x = - b + D 2 a , x = - b - D 2 a , дискриминант дизчислено по формулата D = b 2 − 4 a c.

Тези формули дават възможност, когато дискриминантът е по-голям от нула, да се определят и двата реални корена. Когато дискриминантът е нула, прилагането на двете формули ще даде същия корен като единствено решениеквадратно уравнение. В случай, когато дискриминантът е отрицателен, опитвайки се да използваме формулата за квадратен корен, ще се сблъскаме с необходимостта от извличане Корен квадратенот отрицателно число, което ще ни отведе отвъд реалните числа. При отрицателен дискриминант квадратното уравнение няма да има реални корени, но е възможна двойка комплексно спрегнати корени, определени от същите коренни формули, които получихме.

Алгоритъм за решаване на квадратни уравнения с помощта на коренни формули

Възможно е да се реши квадратно уравнение чрез незабавно използване на коренната формула, но основно това се прави, когато е необходимо да се намерят комплексни корени.

В повечето случаи търсенето обикновено е предназначено не за комплексни, а за реални корени на квадратно уравнение. Тогава е оптимално, преди да използвате формулите за корените на квадратното уравнение, първо да определите дискриминанта и да се уверите, че той не е отрицателен (в противен случай ще заключим, че уравнението няма реални корени) и след това пристъпете към изчисляване на стойност на корените.

Разсъжденията по-горе правят възможно формулирането на алгоритъм за решаване на квадратно уравнение.

Определение 10

За решаване на квадратно уравнение a x 2 + b x + c = 0, необходимо:

• според формулата D = b 2 − 4 a cнамерете стойността на дискриминанта;
• при Д< 0 сделать вывод об отсутствии у квадратного уравнения действительных корней;
• за D = 0 намерете единствения корен на уравнението по формулата x = - b 2 · a ;
• за D > 0, определете два реални корена на квадратното уравнение по формулата x = - b ± D 2 · a.

Имайте предвид, че когато дискриминантът е нула, можете да използвате формулата x = - b ± D 2 · a , тя ще даде същия резултат като формулата x = - b 2 · a .

Помислете за примери.

Примери за решаване на квадратни уравнения

Нека дадем примерно решение за различни стойностидискриминанта.

Пример 6

Необходимо е да се намерят корените на уравнението х 2 + 2 х - 6 = 0.

Решение

Пишем числовите коефициенти на квадратното уравнение: a = 1, b = 2 и c = − 6. След това действаме според алгоритъма, т.е. Нека започнем да изчисляваме дискриминанта, за който заместваме коефициентите a , b и ° Св дискриминантната формула: D = b 2 − 4 a c = 2 2 − 4 1 (− 6) = 4 + 24 = 28 .

И така, имаме D > 0, което означава, че оригиналното уравнение ще има два реални корена.
За да ги намерим, използваме коренната формула x \u003d - b ± D 2 · a и, замествайки съответните стойности, получаваме: x = - 2 ± 28 2 · 1. Ние опростяваме получения израз, като изваждаме фактора от знака на корена, последвано от намаляване на фракцията:

x = - 2 ± 2 7 2

x = - 2 + 2 7 2 или x = - 2 - 2 7 2

x = - 1 + 7 или x = - 1 - 7

Отговор:х = - 1 + 7 , х = - 1 - 7 .

Пример 7

Необходимо е да се реши квадратно уравнение − 4 x 2 + 28 x − 49 = 0.

Решение

Нека дефинираме дискриминанта: D = 28 2 − 4 (− 4) (− 49) = 784 − 784 = 0. При тази стойност на дискриминанта оригиналното уравнение ще има само един корен, определен по формулата x = - b 2 · a.

x = - 28 2 (- 4) x = 3, 5

Отговор: х = 3, 5.

Пример 8

Необходимо е да се реши уравнението 5 у 2 + 6 у + 2 = 0

Решение

Числовите коефициенти на това уравнение ще бъдат: a = 5 , b = 6 и c = 2 . Използваме тези стойности, за да намерим дискриминанта: D = b 2 − 4 · a · c = 6 2 − 4 · 5 · 2 = 36 − 40 = − 4 . Изчисленият дискриминант е отрицателен, така че оригиналното квадратно уравнение няма реални корени.

В случай, когато задачата е да посочим сложни корени, ние прилагаме коренната формула, като извършваме операции с комплексни числа:

x \u003d - 6 ± - 4 2 5,

x \u003d - 6 + 2 i 10 или x \u003d - 6 - 2 i 10,

x = - 3 5 + 1 5 i или x = - 3 5 - 1 5 i .

Отговор:няма истински корени; комплексните корени са: - 3 5 + 1 5 i , - 3 5 - 1 5 i .

AT училищна програмапо подразбиране няма изискване за търсене на сложни корени, следователно, ако дискриминантът се определи като отрицателен по време на решението, веднага се записва отговорът, че няма реални корени.

Коренна формула за дори втори коефициенти

Коренната формула x = - b ± D 2 a (D = b 2 − 4 a c) дава възможност да се получи друга формула, по-компактна, позволяваща ви намиране на решения на квадратни уравнения с четен коефициент при x (или с коефициент от формата 2 a n, например 2 3 или 14 ln 5 = 2 7 ln 5). Нека покажем как се получава тази формула.

Да предположим, че сме изправени пред задачата да намерим решение на квадратното уравнение a · x 2 + 2 · n · x + c = 0. Действаме според алгоритъма: определяме дискриминанта D = (2 n) 2 − 4 a c = 4 n 2 − 4 a c = 4 (n 2 − a c) и след това използваме коренната формула:

x \u003d - 2 n ± D 2 a, x \u003d - 2 n ± 4 n 2 - a c 2 a, x \u003d - 2 n ± 2 n 2 - a c 2 a, x = - n ± n 2 - a · в а .

Нека изразът n 2 − a c бъде обозначен като D 1 (понякога се обозначава D "). Тогава формулата за корените на разглежданото квадратно уравнение с втория коефициент 2 n ще има формата:

x \u003d - n ± D 1 a, където D 1 \u003d n 2 - a c.

Лесно е да се види, че D = 4 · D 1 или D 1 = D 4 . С други думи, D 1 е една четвърт от дискриминанта. Очевидно знакът на D 1 е същият като знака на D, което означава, че знакът на D 1 може да служи и като индикатор за наличието или отсъствието на корените на квадратно уравнение.

Определение 11

По този начин, за да се намери решение на квадратно уравнение с втори коефициент 2 n, е необходимо:

• намираме D 1 = n 2 − a c ;
• на D 1< 0 сделать вывод, что действительных корней нет;
• за D 1 = 0, определете единствения корен на уравнението по формулата x = - n a ;
• за D 1 > 0, определете два реални корена по формулата x = - n ± D 1 a.

Пример 9

Необходимо е да се реши квадратното уравнение 5 · x 2 − 6 · x − 32 = 0.

Решение

Вторият коефициент на даденото уравнение може да бъде представен като 2 · (− 3) . След това пренаписваме даденото квадратно уравнение като 5 · x 2 + 2 · (− 3) · x − 32 = 0 , където a = 5 , n = − 3 и c = − 32 .

Нека изчислим четвъртата част от дискриминанта: D 1 = n 2 − a c = (− 3) 2 − 5 (− 32) = 9 + 160 = 169 . Получената стойност е положителна, което означава, че уравнението има два реални корена. Ние ги дефинираме със съответната формула на корените:

x = - n ± D 1 a , x = - - 3 ± 169 5 , x = 3 ± 13 5 ,

x = 3 + 13 5 или x = 3 - 13 5

x = 3 1 5 или x = - 2

Би било възможно да се извършват изчисления, като се използва обичайната формула за корените на квадратно уравнение, но в този случай решението би било по-тромаво.

Отговор: x = 3 1 5 или x = - 2 .

Опростяване на формата на квадратни уравнения

Понякога е възможно да се оптимизира формата на оригиналното уравнение, което ще опрости процеса на изчисляване на корените.

Например, квадратното уравнение 12 x 2 - 4 x - 7 = 0 е очевидно по-удобно за решаване от 1200 x 2 - 400 x - 700 \u003d 0.

По-често опростяването на формата на квадратно уравнение се извършва чрез умножение или разделяне на двете му части на определено число. Например, по-горе показахме опростено представяне на уравнението 1200 x 2 - 400 x - 700 = 0, получено чрез разделяне на двете му части на 100.

Такава трансформация е възможна, когато коефициентите на квадратното уравнение не са относително прости числа. Тогава е обичайно да се разделят двете страни на уравнението на най-големия общ делител абсолютни стойностинеговите коефициенти.

Като пример използваме квадратното уравнение 12 x 2 − 42 x + 48 = 0. Нека дефинираме gcd на абсолютните стойности на неговите коефициенти: gcd (12, 42, 48) = gcd(gcd (12, 42) , 48) = gcd (6, 48) = 6 . Нека разделим двете части на оригиналното квадратно уравнение на 6 и ще получим еквивалентното квадратно уравнение 2 · x 2 − 7 · x + 8 = 0 .

Чрез умножаване на двете страни на квадратното уравнение, дробните коефициенти обикновено се елиминират. В този случай умножете по най-малкото общо кратно на знаменателите на неговите коефициенти. Например, ако всяка част от квадратното уравнение 1 6 x 2 + 2 3 x - 3 \u003d 0 се умножи с LCM (6, 3, 1) = 6, то ще бъде записано в повече проста форма x 2 + 4 x - 18 = 0 .

И накрая, отбелязваме, че почти винаги се отървете от минуса при първия коефициент на квадратното уравнение, като промените знаците на всеки член на уравнението, което се постига чрез умножаване (или разделяне) на двете части с −1. Например, от квадратното уравнение - 2 x 2 - 3 x + 7 \u003d 0, можете да преминете към неговата опростена версия 2 x 2 + 3 x - 7 = 0.

Връзка между корени и коефициенти

Вече известната формула за корените на квадратните уравнения x = - b ± D 2 · a изразява корените на уравнението чрез неговите числени коефициенти. Въз основа на тази формула имаме възможност да зададем други зависимости между корените и коефициентите.

Най-известните и приложими са формулите на теоремата на Виета:

x 1 + x 2 \u003d - b a и x 2 \u003d c a.

По-специално, за даденото квадратно уравнение, сумата от корените е вторият коефициент с противоположен знак, а произведението на корените е равно на свободния член. Например, чрез формата на квадратното уравнение 3 · x 2 − 7 · x + 22 = 0, е възможно веднага да се определи, че сумата от корените му е 7 3 , а произведението на корените е 22 3 .

Можете също да намерите редица други връзки между корените и коефициентите на квадратно уравнение. Например, сумата от квадратите на корените на квадратно уравнение може да бъде изразена чрез коефициенти:

x 1 2 + x 2 2 = (x 1 + x 2) 2 - 2 x 1 x 2 = - b a 2 - 2 c a = b 2 a 2 - 2 c a = b 2 - 2 a c a 2.

Ако забележите грешка в текста, моля, маркирайте я и натиснете Ctrl+Enter

Надявам се да уча тази статия, ще научите как да намерите корените на пълно квадратно уравнение.

С помощта на дискриминанта се решават само пълни квадратни уравнения, за решаване на непълни квадратни уравнения се използват други методи, които ще намерите в статията "Решаване на непълни квадратни уравнения".

Кои квадратни уравнения се наричат ​​пълни? то уравнения от вида ax 2 + b x + c = 0, където коефициентите a, b и c не са равни на нула. И така, за да решите пълното квадратно уравнение, трябва да изчислите дискриминанта D.

D \u003d b 2 - 4ac.

В зависимост от това каква стойност има дискриминантът, ще запишем отговора.

Ако дискриминантът е отрицателно число (D< 0),то корней нет.

Ако дискриминантът е нула, тогава x \u003d (-b) / 2a. Когато дискриминантът е положително число (D > 0),

тогава x 1 = (-b - √D)/2a и x 2 = (-b + √D)/2a.

Например. реши уравнението х 2– 4x + 4= 0.

D = 4 2 - 4 4 \u003d 0

x = (- (-4))/2 = 2

Отговор: 2.

Решете уравнение 2 х 2 + x + 3 = 0.

D = 1 2 - 4 2 3 \u003d - 23

Отговор: няма корени.

Решете уравнение 2 х 2 + 5x - 7 = 0.

D = 5 2 - 4 2 (-7) \u003d 81

x 1 = (-5 - √81) / (2 2) = (-5 - 9) / 4 \u003d - 3,5

x 2 = (-5 + √81) / (2 2) = (-5 + 9) / 4 \u003d 1

Отговор: - 3,5; един.

Така че нека си представим решението на пълни квадратни уравнения по схемата на фигура 1.

Тези формули могат да се използват за решаване на всяко пълно квадратно уравнение. Просто трябва да внимавате уравнението е написано като полином със стандартна форма

а х 2 + bx + c,в противен случай можете да направите грешка. Например, като напишете уравнението x + 3 + 2x 2 = 0, можете погрешно да решите, че

a = 1, b = 3 и c = 2. Тогава

D = 3 2 - 4 1 2 \u003d 1 и тогава уравнението има два корена. И това не е вярно. (Вижте решение за пример 2 по-горе).

Следователно, ако уравнението не е записано като полином от стандартната форма, първо пълното квадратно уравнение трябва да бъде записано като полином от стандартната форма (моноломът с най-голям показател трябва да бъде на първо място, т.е. а х 2 , след това с по-малко – bx, а след това и свободния срок С.

При решаване на горното квадратно уравнение и квадратното уравнение с четен коефициент за втория член могат да се използват и други формули. Нека се запознаем с тези формули. Ако в пълното квадратно уравнение с втория член коефициентът е четен (b = 2k), тогава уравнението може да бъде решено с помощта на формулите, показани на диаграмата на фигура 2.

Пълно квадратно уравнение се нарича редуцирано, ако коефициентът при х 2 е равно на единица и уравнението приема формата x 2 + px + q = 0. Такова уравнение може да се даде за решаване или се получава чрез разделяне на всички коефициенти на уравнението на коефициента астои при х 2 .

Фигура 3 показва диаграма на решението на намаления квадрат
уравнения. Помислете за примера за прилагане на формулите, разгледани в тази статия.

Пример. реши уравнението

3х 2 + 6x - 6 = 0.

Нека решим това уравнение с помощта на формулите, показани на фигура 1.

D \u003d 6 2 - 4 3 (- 6) = 36 + 72 = 108

√D = √108 = √(36 3) = 6√3

x 1 \u003d (-6 - 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1- √ (3))) / 6 = -1 - √ 3

x 2 \u003d (-6 + 6 √ 3) / (2 3) = (6 (-1 + √ (3))) / 6 = -1 + √ 3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3

Можете да видите, че коефициентът при x в това уравнение е четно число, тоест b = 6 или b = 2k, откъдето k = 3. След това нека се опитаме да решим уравнението с помощта на формулите, показани на фигурната диаграма D 1 \u003d 3 2 - 3 (- 6 ) = 9 + 18 = 27

√(D 1) = √27 = √(9 3) = 3√3

x 1 = (-3 - 3√3) / 3 = (3 (-1 - √ (3))) / 3 = - 1 - √3

x 2 \u003d (-3 + 3√3) / 3 = (3 (-1 + √ (3))) / 3 = - 1 + √3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3. Забелязвайки, че всички коефициенти в това квадратно уравнение се делят на 3 и разделяйки, получаваме редуцираното квадратно уравнение x 2 + 2x - 2 = 0. Решаваме това уравнение, използвайки формулите за редуцираното квадратно уравнение
уравнения на фигура 3.

D 2 = 2 2 - 4 (- 2) = 4 + 8 \u003d 12

√(D 2) = √12 = √(4 3) = 2√3

x 1 = (-2 - 2√3) / 2 = (2 (-1 - √ (3))) / 2 = - 1 - √3

x 2 \u003d (-2 + 2 √ 3) / 2 = (2 (-1 + √ (3))) / 2 = - 1 + √ 3

Отговор: -1 - √3; –1 + √3.

Както можете да видите, когато решаваме това уравнение с помощта на различни формули, получаваме същия отговор. Следователно, след като сте усвоили добре формулите, показани на диаграмата на фигура 1, винаги можете да решите всяко пълно квадратно уравнение.

сайт, с пълно или частично копиране на материала, е необходима връзка към източника.

Първо ниво

Квадратни уравнения. Изчерпателно ръководство (2019)

В термина "квадратично уравнение" ключовата дума е "квадратично". Това означава, че уравнението задължително трябва да съдържа променлива (същото X) в квадрата и в същото време не трябва да има Xs в трета (или по-голяма) степен.

Решението на много уравнения се свежда до решението на квадратни уравнения.

Нека се научим да определяме, че имаме квадратно уравнение, а не някакво друго.

Пример 1

Отървете се от знаменателя и умножете всеки член от уравнението по

Нека преместим всичко вляво и подредим членовете в низходящ ред на степените на x

Сега можем да кажем с увереност, че това уравнение е квадратно!

Пример 2

Умножете лявата и дясната страна по:

Това уравнение, въпреки че първоначално е било в него, не е квадрат!

Пример 3

Нека умножим всичко по:

Страшен? Четвъртата и втората степен... Ако обаче направим замяна, ще видим, че имаме просто квадратно уравнение:

Пример 4

Изглежда, че е така, но нека разгледаме по-отблизо. Нека преместим всичко вляво:

Виждате ли, той се е свил - и сега е просто линейно уравнение!

Сега се опитайте сами да определите кое от следните уравнения е квадратно и кое не:

Примери:

Отговори:

1. квадрат;
2. квадрат;
3. не квадратен;
4. не квадратен;
5. не квадратен;
6. квадрат;
7. не квадратен;
8. квадрат.

Математиците условно разделят всички квадратни уравнения на следните типове:

• Пълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентите и, както и свободният член c, не са равни на нула (както в примера). Освен това сред пълните квадратни уравнения има даденоса уравнения, в които коефициентът (уравнението от първия пример е не само пълно, но и намалено!)

• Непълни квадратни уравнения- уравнения, в които коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

  Те са непълни, защото в тях липсва някакъв елемент. Но уравнението винаги трябва да съдържа x на квадрат !!! В противен случай вече няма да е квадратно, а някакво друго уравнение.

Защо измислиха такова разделение? Изглежда, че има X на квадрат и добре. Такова разделение се дължи на методите на решение. Нека разгледаме всеки един от тях по-подробно.

Решаване на непълни квадратни уравнения

Първо, нека се съсредоточим върху решаването на непълни квадратни уравнения - те са много по-прости!

Непълните квадратни уравнения са от следните видове:

1. , в това уравнение коефициентът е равен.
2. , в това уравнение свободният член е равен на.
3. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

1. и. Тъй като знаем как да вземем квадратен корен, нека изразим от това уравнение

Изразът може да бъде отрицателен или положителен. Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число, така че: ако, тогава уравнението няма решения.

И ако, тогава получаваме два корена. Тези формули не е необходимо да се запомнят. Основното е, че винаги трябва да знаете и да помните, че не може да бъде по-малко.

Нека се опитаме да решим някои примери.

Пример 5:

Решете уравнението

Сега остава да извлечете корена от лявата и дясната част. В крайна сметка, помните ли как да извадите корените?

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!!!

Пример 6:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 7:

Решете уравнението

Оу! Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

без корени!

За такива уравнения, в които няма корени, математиците измислиха специална икона - (празен набор). И отговорът може да бъде написан така:

Отговор:

Следователно това квадратно уравнение има два корена. Тук няма ограничения, тъй като не сме извадили корена.
Пример 8:

Решете уравнението

Нека извадим общия множител от скоби:

По този начин,

Това уравнение има два корена.

Отговор:

Най-простият тип непълни квадратни уравнения (въпреки че всички са прости, нали?). Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Тук ще се справим без примери.

Решаване на пълни квадратни уравнения

Напомняме ви, че пълното квадратно уравнение е уравнение на уравнението на формата, където

Решаването на пълни квадратни уравнения е малко по-сложно (само малко) от дадените.

Помня, всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Останалите методи ще ви помогнат да го направите по-бързо, но ако имате проблеми с квадратните уравнения, първо овладейте решението с помощта на дискриминанта.

1. Решаване на квадратни уравнения с помощта на дискриминанта.

Решаването на квадратни уравнения по този начин е много просто, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули.

Ако, тогава уравнението има корен Специално вниманиеначертайте стъпка. Дискриминантът () ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава формулата на стъпката ще бъде намалена до. Така уравнението ще има само корен.
• Ако, тогава няма да можем да извлечем корена на дискриминанта на стъпката. Това показва, че уравнението няма корени.

Нека се върнем към нашите уравнения и да разгледаме няколко примера.

Пример 9:

Решете уравнението

Етап 1прескочи.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има два корена.

Стъпка 3

Отговор:

Пример 10:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1прескочи.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Така че уравнението има един корен.

Отговор:

Пример 11:

Решете уравнението

Уравнението е в стандартен вид, така че Етап 1прескочи.

Стъпка 2

Намиране на дискриминанта:

Това означава, че няма да можем да извлечем корена от дискриминанта. Няма корени на уравнението.

Сега знаем как да запишем правилно такива отговори.

Отговор:няма корени

2. Решение на квадратни уравнения с помощта на теоремата на Виета.

Ако си спомняте, тогава има такъв тип уравнения, които се наричат ​​редуцирани (когато коефициентът a е равен на):

Такива уравнения са много лесни за решаване с помощта на теоремата на Виета:

Сборът от корените даденоквадратното уравнение е равно, а произведението на корените е равно.

Пример 12:

Решете уравнението

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к .

Сумата от корените на уравнението е, т.е. получаваме първото уравнение:

И продуктът е:

Нека създадем и решим системата:

• и. Сумата е;
• и. Сумата е;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

Отговор: ; .

Пример 13:

Решете уравнението

Отговор:

Пример 14:

Решете уравнението

Уравнението се намалява, което означава:

Отговор:

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. СРЕДНО НИВО

Какво е квадратно уравнение?

С други думи, квадратното уравнение е уравнение от вида, където - неизвестно, - някои числа, освен това.

Числото се нарича най-високо или първи коефициентквадратно уравнение, - втори коефициент, а - безплатен член.

Защо? Защото ако, уравнението веднага ще стане линейно, защото ще изчезне.

В този случай и може да бъде равно на нула. В това уравнение на изпражненията се нарича непълно. Ако всички условия са на място, тоест уравнението е пълно.

Решения на различни видове квадратни уравнения

Методи за решаване на непълни квадратни уравнения:

Като начало ще анализираме методите за решаване на непълни квадратни уравнения - те са по-прости.

Могат да се разграничат следните видове уравнения:

I. , в това уравнение коефициентът и свободният член са равни.

II. , в това уравнение коефициентът е равен.

III. , в това уравнение свободният член е равен на.

Сега разгледайте решението на всеки от тези подтипове.

Очевидно това уравнение винаги има само един корен:

Числото на квадрат не може да бъде отрицателно, защото при умножаване на две отрицателни или две положителни числа резултатът винаги ще бъде положително число. Ето защо:

ако, тогава уравнението няма решения;

ако имаме два корена

Тези формули не е необходимо да се запомнят. Основното нещо, което трябва да запомните е, че не може да бъде по-малко.

Примери:

Решения:

Отговор:

Никога не забравяйте за корените с отрицателен знак!

Квадратът на число не може да бъде отрицателен, което означава, че уравнението

няма корени.

За да напишем накратко, че проблемът няма решения, използваме иконата за празен набор.

Отговор:

И така, това уравнение има два корена: и.

Отговор:

Нека извадим общия множител от скоби:

Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Това означава, че уравнението има решение, когато:

И така, това квадратно уравнение има два корена: и.

пример:

Решете уравнението.

Решение:

Разлагаме на множители лявата страна на уравнението и намираме корените:

Отговор:

Методи за решаване на пълни квадратни уравнения:

1. Дискриминант

Решаването на квадратни уравнения по този начин е лесно, основното е да запомните последователността от действия и няколко формули. Не забравяйте, че всяко квадратно уравнение може да бъде решено с помощта на дискриминанта! Дори непълна.

Забелязахте ли корена на дискриминанта в коренната формула? Но дискриминантът може да бъде отрицателен. Какво да правя? Трябва да обърнем специално внимание на стъпка 2. Дискриминантът ни казва броя на корените на уравнението.

• Ако, тогава уравнението има корен:
• Ако, тогава уравнението има същия корен, но всъщност един корен:

  Такива корени се наричат ​​двойни корени.

• Ако, тогава коренът на дискриминанта не се извлича. Това показва, че уравнението няма корени.

Защо е възможно различна сумакорени? Нека се обърнем към геометричен смисълквадратно уравнение. Графиката на функцията е парабола:

В конкретен случай, който е квадратно уравнение, . А това означава, че корените на квадратното уравнение са пресечните точки с оста x (ос). Параболата може изобщо да не пресича оста или да я пресича в една (когато върхът на параболата лежи върху оста) или две точки.

Освен това коефициентът е отговорен за посоката на клоните на параболата. Ако, тогава клоните на параболата са насочени нагоре, а ако - тогава надолу.

Примери:

Решения:

Отговор:

Отговор: .

Отговор:

Това означава, че няма решения.

Отговор: .

2. Теорема на Виета

Използването на теоремата на Виета е много лесно: просто трябва да изберете двойка числа, чието произведение е равно на свободния член на уравнението, а сумата е равна на втория коефициент, взет с противоположен знак.

Важно е да запомните, че теоремата на Виета може да се приложи само към дадени квадратни уравнения ().

Нека разгледаме няколко примера:

Пример №1:

Решете уравнението.

Решение:

Това уравнение е подходящо за решение с помощта на теоремата на Виета, т.к . Други коефициенти: ; .

Сумата от корените на уравнението е:

И продуктът е:

Нека изберем такива двойки числа, чието произведение е равно, и проверим дали тяхната сума е равна:

• и. Сумата е;
• и. Сумата е;
• и. Сумата е равна.

и са решението на системата:

По този начин и са корените на нашето уравнение.

Отговор: ; .

Пример №2:

Решение:

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта, и след това проверяваме дали тяхната сума е равна:

и: дайте общо.

и: дайте общо. За да го получите, просто трябва да промените знаците на предполагаемите корени: и в крайна сметка работата.

Отговор:

Пример №3:

Решение:

Свободният член на уравнението е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно число. Това е възможно само ако единият от корените е отрицателен, а другият е положителен. Значи сборът от корените е разлики в техните модули.

Избираме такива двойки числа, които дават в продукта и разликата между които е равна на:

и: разликата им е - не са подходящи;

и: - неподходящи;

и: - неподходящи;

и: - подходящ. Остава само да запомним, че един от корените е отрицателен. Тъй като тяхната сума трябва да е равна, тогава коренът, който е по-малък по абсолютна стойност, трябва да бъде отрицателен: . Ние проверяваме:

Отговор:

Пример №4:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Свободният член е отрицателен и следователно произведението на корените е отрицателно. А това е възможно само когато единият корен на уравнението е отрицателен, а другият е положителен.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно, и след това определяме кои корени трябва да имат отрицателен знак:

Очевидно само корени и са подходящи за първото условие:

Отговор:

Пример №5:

Решете уравнението.

Решение:

Уравнението се намалява, което означава:

Сборът от корените е отрицателен, което означава, че поне, един от корените е отрицателен. Но тъй като техният продукт е положителен, това означава, че и двата корена са минус.

Избираме такива двойки числа, чието произведение е равно на:

Очевидно корените са числата и.

Отговор:

Съгласете се, много е удобно - да измисляте корени устно, вместо да броите този гаден дискриминант. Опитайте се да използвате теоремата на Vieta възможно най-често.

Но теоремата на Виета е необходима, за да се улесни и ускори намирането на корените. За да ви е изгодно да го използвате, трябва да доведете действията до автоматизъм. И за това решете още пет примера. Но не мами: не можете да използвате дискриминанта! Само теоремата на Виета:

Решения на задачи за самостоятелна работа:

Задача 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Според теоремата на Виета:

Както обикновено, започваме избора с продукта:

Не е подходящ, тъй като количеството;

: сумата е това, от което се нуждаете.

Отговор: ; .

Задача 2.

И отново, любимата ни теорема на Виета: сумата трябва да се получи, но продуктът е равен.

Но тъй като не трябва да бъде, но променяме знаците на корените: и (общо).

Отговор: ; .

Задача 3.

Хм... Къде е?

Необходимо е да прехвърлите всички термини в една част:

Сборът от корените е равен на произведението.

Да, спри! Уравнението не е дадено. Но теоремата на Виета е приложима само в дадените уравнения. Така че първо трябва да донесете уравнението. Ако не можете да го повдигнете, зарежете тази идея и я решете по друг начин (например чрез дискриминанта). Нека ви напомня, че да изведем квадратно уравнение означава да направим водещия коефициент равен на:

Отлично. Тогава сборът от корените е равен на произведението.

Тук е по-лесно да се вземе: в края на краищата - просто число (съжалявам за тавтологията).

Отговор: ; .

Задача 4.

Свободният срок е отрицателен. Какво е толкова специално в него? И фактът, че корените ще бъдат с различни знаци. И сега, по време на селекцията, ние проверяваме не сумата от корените, а разликата между техните модули: тази разлика е равна, но продуктът.

И така, корените са равни и, но един от тях е с минус. Теоремата на Виета ни казва, че сумата от корените е равна на втория коефициент с противоположен знак, т.е. Това означава, че по-малкият корен ще има минус: и тъй като.

Отговор: ; .

Задача 5.

Какво трябва да се направи първо? Точно така, дайте уравнението:

Отново: избираме факторите на числото и тяхната разлика трябва да бъде равна на:

Корените са равни и, но един от тях е минус. Който? Техният сбор трябва да е равен, което означава, че с минус ще има по-голям корен.

Отговор: ; .

Нека обобщя:

1. Теоремата на Виета се използва само в дадените квадратни уравнения.
2. Използвайки теоремата на Vieta, можете да намерите корените чрез селекция, устно.
3. Ако уравнението не е дадено или не е намерено подходяща двойкафактори на свободния член, което означава, че няма цели числа и трябва да го решите по друг начин (например чрез дискриминанта).

3. Метод за избор на пълен квадрат

Ако всички членове, съдържащи неизвестното, се представят като членове от формулите за съкратено умножение - квадратът на сбора или разликата - тогава след промяната на променливите е възможно уравнението да се представи под формата на непълно квадратно уравнение от типа .

Например:

Пример 1:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

Пример 2:

Решете уравнението: .

Решение:

Отговор:

AT общ изгледтрансформацията ще изглежда така:

Това предполага: .

Не ти ли напомня за нищо? Това е дискриминантът! Точно така е получена дискриминантната формула.

КВАДРАТНИ УРАВНЕНИЯ. КРАТКО ЗА ОСНОВНОТО

Квадратно уравнениее уравнение от вида, където е неизвестното, са коефициентите на квадратното уравнение, е свободният член.

Пълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентите не са равни на нула.

Редуцирано квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът, тоест: .

Непълно квадратно уравнение- уравнение, в което коефициентът и/или свободният член c са равни на нула:

• ако коефициентът, уравнението има вида: ,
• ако е свободен член, уравнението има формата: ,
• ако и, уравнението има вида: .

1. Алгоритъм за решаване на непълни квадратни уравнения

1.1. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Изразете неизвестното: ,

2) Проверете знака на израза:

• ако, тогава уравнението няма решения,
• ако, тогава уравнението има два корена.

1.2. Непълно квадратно уравнение от вида, където, :

1) Нека извадим общия множител от скоби: ,

2) Продуктът е равен на нула, ако поне един от факторите е равен на нула. Следователно уравнението има два корена:

1.3. Непълно квадратно уравнение от вида, където:

Това уравнение винаги има само един корен: .

2. Алгоритъм за решаване на пълни квадратни уравнения от вида където

2.1. Решение с помощта на дискриминанта

1) Нека приведем уравнението до стандартния вид: ,

2) Изчислете дискриминанта, като използвате формулата: , която показва броя на корените на уравнението:

3) Намерете корените на уравнението:

• if, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението има корен, който се намира по формулата:
• ако, тогава уравнението няма корени.

2.2. Решение с помощта на теоремата на Виета

Сборът от корените на редуцираното квадратно уравнение (уравнение от вида, където) е равен, а произведението на корените е равно, т.е. , а.

2.3. Пълно квадратно решение

Квадратни уравнения. Дискриминанта. Решение, примери.

Внимание!
Има допълнителни
материал в специален раздел 555.
За тези, които силно "не много..."
И за тези, които "много...")

Видове квадратни уравнения

Какво е квадратно уравнение? Как изглежда? В срок квадратно уравнениеключова дума е "квадрат".Това означава, че в уравнението задължителнотрябва да има х на квадрат. В допълнение към него, в уравнението може да има (или може да няма!) Само x (до първа степен) и само число (безплатен член).И не трябва да има х в степен по-голяма от две.

В математически термини, квадратното уравнение е уравнение от вида:

Тук а, б и в- някои цифри. б и в- абсолютно всякакви, но а- всичко друго, но не и нула. Например:

Тук а =1; б = 3; ° С = -4

Тук а =2; б = -0,5; ° С = 2,2

Тук а =-3; б = 6; ° С = -18

Е, схванахте идеята...

В тези квадратни уравнения отляво има пълен комплектчленове. x на квадрат с коефициент а, x на първа степен с коефициент би свободен член на

Такива квадратни уравнения се наричат завършен.

Какво ако б= 0, какво ще получим? Ние имаме X ще изчезне в първа степен.Това се случва от умножаване по нула.) Оказва се, например:

5x 2 -25 = 0,

2x 2 -6x=0,

-x 2 +4x=0

И т.н. И ако и двата коефициента би ° Сса равни на нула, тогава е още по-просто:

2x 2 = 0,

-0,3x 2 \u003d 0

Такива уравнения, където нещо липсва, се наричат непълни квадратни уравнения.Което е съвсем логично.) Моля, имайте предвид, че x на квадрат присъства във всички уравнения.

Между другото защо ане може да е нула? И вместо това замествате анула.) X в квадрата ще изчезне! Уравнението ще стане линейно. И се прави по различен начин...

Това са всички основни видове квадратни уравнения. Пълни и непълни.

Решение на квадратни уравнения.

Решение на пълни квадратни уравнения.

Квадратните уравнения са лесни за решаване. По формули и ясни прости правила. На първия етап е необходимо даденото уравнение да се приведе в стандартния вид, т.е. към гледката:

Ако уравнението вече ви е дадено в тази форма, не е необходимо да правите първия етап.) Основното нещо е правилно да определите всички коефициенти, а, би ° С.

Формулата за намиране на корените на квадратно уравнение изглежда така:

Изразът под знака корен се нарича дискриминанта. Но повече за него по-долу. Както можете да видите, за да намерим x, ние използваме само a, b и c. Тези. коефициенти от квадратното уравнение. Просто внимателно заменете стойностите а, б и вв тази формула и пребройте. Заместител с вашите знаци! Например в уравнението:

а =1; б = 3; ° С= -4. Тук пишем:

Примерът е почти решен:

Това е отговорът.

Всичко е много просто. И какво мислиш, че не можеш да сбъркаш? Е, да, как...

Най-честите грешки са объркване със знаците на ценностите а, б и в. Или по-скоро не с техните знаци (къде има да се бъркате?), а със замяната отрицателни стойностивъв формулата за изчисляване на корените. Тук се записва подробен запис на формулата с конкретни числа. Ако има проблеми с изчисленията, Така че, го направи!

Да предположим, че трябва да решим следния пример:

Тук а = -6; б = -5; ° С = -1

Да приемем, че знаете, че рядко получавате отговори от първия път.

Е, не бъдете мързеливи. Написването на допълнителен ред ще отнеме 30 секунди и броя на грешките ще спадне рязко. Така че ние пишем подробно, с всички скоби и знаци:

Изглежда невероятно трудно да се рисува толкова внимателно. Но само изглежда. Опитай. Е, или изберете. Кое е по-добре, бързо или правилно? Освен това ще те зарадвам. След известно време няма да има нужда да рисувате всичко толкова внимателно. Просто ще се окаже правилно. Особено ако използвате практически техникикоито са описани по-долу. Този зъл пример с куп минуси ще се реши лесно и без грешки!

Но често квадратните уравнения изглеждат малко по-различно. Например, като това:

Знаете ли?) Да! то непълни квадратни уравнения.

Решение на непълни квадратни уравнения.

Те могат да бъдат решени и по общата формула. Просто трябва правилно да разберете какво е равно тук а, б и в.

Осъзнах? В първия пример а = 1; b = -4;а ° С? Въобще не съществува! Е, да, точно така. В математиката това означава, че c = 0 ! Това е всичко. Заменете нула във формулата вместо ° С,и всичко ще ни се получи. Аналогично и с втория пример. Само нула тук нямаме С, а б !

Но непълните квадратни уравнения могат да бъдат решени много по-лесно. Без никакви формули. Помислете за първото непълно уравнение. Какво може да се направи от лявата страна? Можете да извадите X от скобите! Да го извадим.

И какво от това? И фактът, че произведението е равно на нула, ако и само ако някой от факторите е равен на нула! Не вярвате? Е, тогава измислете две различни от нула числа, които, когато се умножат, ще дадат нула!
Не работи? нещо...
Следователно можем уверено да напишем: х 1 = 0, х 2 = 4.

Всичко. Това ще бъдат корените на нашето уравнение. И двете си пасват. Когато заместваме някое от тях в оригиналното уравнение, получаваме правилното тъждество 0 = 0. Както можете да видите, решението е много по-просто от общата формула. Отбелязвам, между другото, кой X ще бъде първият и кой вторият - това е абсолютно безразлично. Лесно се пише в ред х 1- което е по-малко х 2- това, което е повече.

Второто уравнение също може лесно да бъде решено. Преместваме 9 в дясната страна. Получаваме:

Остава да извлечем корена от 9 и това е всичко. Вземете:

също два корена . х 1 = -3, х 2 = 3.

Така се решават всички непълни квадратни уравнения. Или чрез изваждане на X от скоби, или чрез просто прехвърляне на числото вдясно, последвано от извличане на корена.
Изключително трудно е да се объркат тези методи. Просто защото в първия случай ще трябва да извлечете корена от X, което е някак неразбираемо, а във втория случай няма какво да извадите от скоби ...

Дискриминанта. Дискриминантна формула.

Вълшебна дума дискриминанта ! Рядък гимназист не е чувал тази дума! Фразата „решете чрез дискриминанта“ е успокояваща и успокояваща. Защото няма нужда да чакате трикове от дискриминанта! Използва се лесно и безпроблемно.) Напомням ви за най-общата формула за решаване всякаквиквадратни уравнения:

Изразът под основния знак се нарича дискриминант. Дискриминантът обикновено се обозначава с буквата д. Дискриминантна формула:

D = b 2 - 4ac

И какво е толкова специалното в този израз? Защо заслужава специално име? Какво значението на дискриминанта?След всичко -b,или 2ав тази формула те не назовават конкретно ... Букви и букви.

Въпросът е в това. При решаване на квадратно уравнение с тази формула е възможно само три случая.

1. Дискриминантът е положителен.Това означава, че можете да извлечете корена от него. Дали коренът е извлечен добре или лошо е друг въпрос. Важно е какво се извлича по принцип. Тогава вашето квадратно уравнение има два корена. Две различни решения.

2. Дискриминантът е нула.Тогава имате едно решение. Тъй като добавянето или изваждането на нула в числителя не променя нищо. Строго погледнато, това не е един корен, но две еднакви. Но в опростена версия е обичайно да се говори за едно решение.

3. Дискриминантът е отрицателен.Отрицателното число не взема корен квадратен. Ми добре. Това означава, че няма решения.

Честно казано, при просто решениеквадратни уравнения, концепцията за дискриминант не е особено необходима. Заместваме стойностите на коефициентите във формулата и разглеждаме. Там всичко се оказва от само себе си, и два корена, и един, и нито един. Въпреки това, при решаване на повече трудни задачи, без знания смисъл и дискриминантна формулане достатъчно. Особено - в уравнения с параметри. Такива уравнения са висш пилотаж за GIA и Единния държавен изпит!)

Така, как се решават квадратни уравнениячрез дискриминанта, който си спомнил. Или научи, което също не е лошо.) Знаете как правилно да идентифицирате а, б и в. Знаеш ли как внимателнозаменете ги в основната формула и внимателнопребройте резултата. разбрахте ли това ключова думатук - внимателно?

Сега обърнете внимание на практическите техники, които драстично намаляват броя на грешките. Точно тези, които се дължат на невнимание... За което тогава е болезнено и обидно...

Първи прием . Не бъдете мързеливи, преди да решите квадратно уравнение, за да го приведете в стандартен вид. Какво означава това?
Да предположим, че след всякакви трансформации получавате следното уравнение:

Не бързайте да пишете формулата на корените! Почти сигурно ще объркате шансовете а, б и в.Изградете примера правилно. Първо, x на квадрат, след това без квадрат, след това свободен член. Като този:

И отново, не бързайте! Минусът преди х на квадрат може да ви разстрои много. Забравянето е лесно... Отърви се от минуса. Как? Да, както се преподава в предишната тема! Трябва да умножим цялото уравнение по -1. Получаваме:

И сега можете спокойно да запишете формулата за корените, да изчислите дискриминанта и да завършите примера. Решете сами. Трябва да завършите с корени 2 и -1.

Втори прием. Проверете корените си! Според теоремата на Виета. Не се притеснявайте, ще обясня всичко! Проверка последно нещоуравнението. Тези. тази, с която записахме формулата на корените. Ако (както в този пример) коефициентът а = 1, проверете корените лесно. Достатъчно е да ги умножите. Трябва да получите безплатен срок, т.е. в нашия случай -2. Обърнете внимание, не 2, а -2! безплатен член с твоя знак . Ако не се получи, това означава, че вече са се объркали някъде. Потърсете грешка.

Ако се получи, трябва да сгънете корените. Последна и последна проверка. Трябва да е съотношение бС противоположно знак. В нашия случай -1+2 = +1. Коефициент б, което е преди x, е равно на -1. Значи всичко е точно!
Жалко, че е толкова просто само за примери, където х на квадрат е чисто, с коефициент а = 1.Но поне проверете в такива уравнения! Ще има по-малко грешки.

Прием трети . Ако вашето уравнение има дробни коефициенти, отървете се от дробите! Умножете уравнението по общия знаменател, както е описано в урока "Как се решават уравнения? Идентични трансформации". Когато работите с дроби, грешки, по някаква причина, се изкачват ...

Между другото обещах зъл пример с куп минуси за опростяване. Моля те! Ето го.

За да не се бъркаме в минусите, умножаваме уравнението по -1. Получаваме:

Това е всичко! Решаването е забавно!

Така че нека обобщим темата.

Практически съвети:

1. Преди да решим, привеждаме квадратното уравнение в стандартния вид, изграждаме го право.

2. Ако има отрицателен коефициент пред x в квадрата, ние го елиминираме, като умножим цялото уравнение по -1.

3. Ако коефициентите са дробни, елиминираме дробите, като умножим цялото уравнение по съответния коефициент.

4. Ако x на квадрат е чисто, коефициентът за него е равен на единица, решението може лесно да се провери с помощта на теоремата на Vieta. Направи го!

Сега можете да решите.)

Решаване на уравнения:

8x 2 - 6x + 1 = 0

x 2 + 3x + 8 = 0

x 2 - 4x + 4 = 0

(x+1) 2 + x + 1 = (x+1)(x+2)

Отговори (в безпорядък):

х 1 = 0
х 2 = 5

х 1,2 =2

х 1 = 2
x 2 \u003d -0,5

x - произволно число

х 1 = -3
х 2 = 3

никакви решения

х 1 = 0,25
x 2 = 0,5

Всичко пасва ли? Отлично! Квадратните уравнения не са ваши главоболие. Първите три се оказаха, но останалите не? Тогава проблемът не е в квадратните уравнения. Проблемът е в идентични трансформации на уравнения. Разгледайте линка, полезен е.

Не работи съвсем? Или изобщо не работи? Тогава ще ви помогне Раздел 555. Там всички тези примери са сортирани по кости. Показване главенгрешки в решението. Разбира се, говорим и за прилагането на идентични трансформации в решението различни уравнения. Помага много!

Ако харесвате този сайт...

Между другото, имам още няколко интересни сайта за вас.)

Можете да практикувате решаването на примери и да разберете нивото си. Тестване с незабавна проверка. Учене - с интерес!)

можете да се запознаете с функции и производни.