Objetivo– determinación experimental del trabajo de la fuerza de fricción cuando una carga se desliza a lo largo de un plano inclinado.
1. Parte teórica
Figura 1. barra en un plano inclinado
En un bloque de masa metro, ubicado en un plano inclinado, actúan varias fuerzas (Fig. 1) - gravedad 
, fuerza de reacción de apoyo normal 
y fuerza de rozamiento 
. Bajo la acción de estas fuerzas, la barra puede moverse o estar en reposo.
Considere primero el estado de reposo, cuando la resultante de todas las fuerzas es igual a cero:
(1)
donde 
es la fuerza de fricción estática. Introducimos los ejes de coordenadas como se muestra en la Fig. 1. Desde 
entonces la proyección de la ecuación (1) sobre el eje 
da
Eso. en reposo, la fuerza de fricción estática equilibra la fuerza de rodadura 
Si aumentamos el ángulo de inclinación 
entonces en algún valor límite 
este equilibrio se alterará y la barra comenzará a deslizarse fuera del plano inclinado. En el momento del deslizamiento, la fuerza de fricción estática 
toma un valor máximo igual a la fuerza de fricción deslizante 
.
De acuerdo con la ley de Amonton-Coulomb, el módulo de la fuerza de fricción deslizante es igual a
,
donde es el coeficiente de fricción.
El deslizamiento de una barra a lo largo de un plano inclinado se describe mediante la ecuación de la dinámica
(2)
La proyección de la ecuación (2) sobre el eje y da
.
.
La figura 2 muestra la dependencia de las fuerzas de rozamiento estático y rozamiento deslizante en el ángulo de inclinación 
Cada una de estas dependencias tiene su propio dominio de definición. para la función 
se encuentra dentro 
. Alcance de la función 
se encuentra en el intervalo 
. Fuera de estas regiones, ambas funciones no tienen significado físico.
Figura 2. dependencias 
y 
en función del ángulo 
Como puede verse en la fig. 2, con ángulo ascendente 
la fuerza de fricción estática cambia según una ley sinusoidal y la fuerza de fricción deslizante cambia según la ley del coseno. La intersección de estas dos funciones se produce en un ángulo 
, al llegar al cual el bloque comenzará a deslizarse por el plano inclinado. Sentido 
se encuentra a partir de la igualdad
donde puedo encontrar el coeficiente de friccion
(3)
Midiendo la longitud del camino yo barra sobre un plano inclinado y su ángulo de inclinación 
, es posible determinar el trabajo de la fuerza de fricción por el ángulo límite 
y el correspondiente coeficiente de fricción
Ahora vamos a hacer la barra de masa metro No me deslizo hacia abajo, sino hacia arriba del plano inclinado. Para hacer esto (ver Fig. 3), ataremos el extremo del hilo lanzado sobre el bloque a la barra; en el otro extremo del hilo atamos una carga de masa metro 2, cuando se baja, el hilo tirará de la barra hacia arriba del plano inclinado con aceleración a.
Arroz. 3. Esquema del sistema de plano inclinado - barra de carga.
Por el camino yo a lo largo de un plano inclinado (coordenada 
) un bloque de masa metro 1, al pasar de v. 1 - el estado de reposo a v. 2, adquiere una cierta velocidad 
y, en consecuencia, la energía cinética 
La energía cinética se puede calcular como el trabajo total de todas las fuerzas aplicadas a la barra:
. es el trabajo de la fuerza de rodadura,
como 
es el trabajo realizado por la tensión en el hilo.
Además, supondremos que el hilo y el bloque no tienen peso, por lo que la tensión del hilo en ambos lados del bloque es la misma: T 1 = T 2 = T. Ecuación de movimiento (segunda ley de Newton) de una carga metro 2 en la proyección sobre el eje a da
donde importa T
La altura de descenso de la carga según las leyes de la cinemática es:
Por lo tanto, la aceleración de la carga se puede expresar en términos de las cantidades medidas: la altura h y tiempo de descenso de la carga metro 2 -
Todos los cuerpos del sistema considerado están conectados por un hilo inextensible y, por lo tanto, se mueven con la misma velocidad y aceleración. Por lo tanto, la velocidad de la barra de masa metro 1 al final de la longitud del camino yo(posición 2) es
.
Teniendo en cuenta los valores medidos y calculados, la ecuación (5) se reescribirá en la forma
,
Tenga en cuenta que la longitud 
sección 1-2 levantando la barra en un plano inclinado es igual a la altura 
bajar la carga ( 
), luego de (5) obtenemos expresión para determinar el trabajo de la fuerza de fricción
según parámetros cinemáticos (ángulo de inclinación
,largo
y tiempo
)movimiento de la barra en un plano inclinado
. (7)
Instrumentos y accesorios:
1. Instalación de laboratorio.
Este artículo habla sobre cómo resolver problemas sobre el movimiento a lo largo de un plano inclinado. Se considera una solución detallada del problema del movimiento de cuerpos unidos a lo largo de un plano inclinado del Examen de estado unificado en física.
Solución del problema del movimiento en un plano inclinado
Antes de proceder directamente a la solución del problema, como tutor de matemáticas y física, te recomiendo que analices detenidamente su estado. Debe comenzar con la imagen de las fuerzas que actúan sobre los cuerpos conectados:
Aquí y son las fuerzas de tensión del hilo que actúan sobre los cuerpos izquierdo y derecho, respectivamente, son las fuerzas de reacción del soporte que actúan sobre el cuerpo izquierdo y son las fuerzas de gravedad que actúan sobre los cuerpos izquierdo y derecho, respectivamente. Con la dirección de estas fuerzas, todo está claro. La fuerza de tensión se dirige a lo largo del hilo, la fuerza de gravedad es vertical hacia abajo y la fuerza de reacción del soporte es perpendicular al plano inclinado.
Pero la dirección de la fuerza de fricción deberá tratarse por separado. Por lo tanto, en la figura se muestra como una línea de puntos y se firma con un signo de interrogación. Es intuitivamente claro que si el peso derecho "supera" al izquierdo, entonces la fuerza de fricción se dirigirá en dirección opuesta al vector. Por el contrario, si el peso izquierdo "supera" al derecho, entonces la fuerza de fricción será codirigida con el vector.
El peso correcto es empujado hacia abajo por la fuerza N. Aquí hemos tomado la aceleración caida libre m/s 2 . La carga izquierda también es empujada hacia abajo por la gravedad, pero no toda, sino solo su "parte", ya que la carga se encuentra en un plano inclinado. Esta "parte" es igual a la proyección de la gravedad sobre un plano inclinado, es decir, el cateto de un triángulo rectángulo que se muestra en la figura, es decir, igual a H.
Es decir, "supera" la carga correcta. En consecuencia, la fuerza de fricción está dirigida como se muestra en la figura (la dibujamos desde el centro de masa del cuerpo, lo cual es posible cuando el cuerpo puede ser modelado por un punto material):
Segundo pregunta importante, con lo que debe averiguar si esto sistema conectado? ¿De repente resulta que la fuerza de fricción entre el peso izquierdo y el plano inclinado será tan grande que no dejará que se mueva?
Esta situación será posible cuando fuerza maxima fricción, cuyo módulo está determinado por la fórmula (aquí - el coeficiente de fricción entre la carga y el plano inclinado, - la fuerza de reacción del soporte que actúa sobre la carga desde el lado del plano inclinado), será mayor que la fuerza que trata de poner el sistema en movimiento. Es decir, la misma fuerza "superadora", que es igual a N.
El módulo de la fuerza de reacción del soporte es igual a la longitud de la pata en un triángulo según la ley de 3 ratones de Newton (con qué fuerza la carga presiona sobre el plano inclinado, con la misma fuerza que el plano inclinado actúa sobre la carga ). Es decir, la fuerza de reacción del soporte es N. Entonces el valor máximo de la fuerza de fricción es N, que es menor que el valor de la "fuerza de compensación".
En consecuencia, el sistema se moverá y se moverá con aceleración. Representemos estas aceleraciones y los ejes de coordenadas, que necesitaremos más adelante al resolver el problema, en la figura:
Ahora, después de un análisis exhaustivo de la condición del problema, estamos listos para comenzar a resolverlo.
Escribamos la segunda ley de Newton para el cuerpo izquierdo:
Y en la proyección sobre los ejes del sistema de coordenadas obtenemos:
Aquí, las proyecciones se toman con un menos, cuyos vectores están dirigidos contra la dirección del eje de coordenadas correspondiente. Con un signo más, se toman proyecciones cuyos vectores están codirigidos con el eje de coordenadas correspondiente.
Una vez más, explicaremos en detalle cómo encontrar proyecciones y . Para hacer esto, considere el triángulo rectángulo que se muestra en la figura. en este triangulo 
y 
. También se sabe que en este triángulo rectángulo. Entonces y .
El vector de aceleración se encuentra completamente en el eje y, por lo tanto, . Como recordamos anteriormente, por definición, el módulo de fuerza de fricción es igual al producto del coeficiente de fricción y el módulo de fuerza de reacción del apoyo. Como consecuencia, . Entonces el sistema original de ecuaciones toma la forma:
Ahora escribimos la segunda ley de Newton para el cuerpo derecho:
En la proyección sobre el eje, obtenemos.
El movimiento de un cuerpo sobre un plano inclinado es ejemplo clásico movimiento de un cuerpo bajo la acción de varias fuerzas no codireccionales. El método estándar para resolver problemas de este tipo de movimiento es expandir los vectores de todas las fuerzas en componentes dirigidos a lo largo de los ejes de coordenadas. Tales componentes son linealmente independientes. Esto permite escribir la segunda ley de Newton para los componentes a lo largo de cada eje por separado. Así, la segunda ley de Newton, que es una ecuación vectorial, se convierte en un sistema de dos (tres para un caso tridimensional) ecuaciones algebraicas.
Las fuerzas que actúan sobre el bloque.
caso de movimiento descendente acelerado
Considere un cuerpo que se desliza por un plano inclinado. En este caso, las siguientes fuerzas actúan sobre él:
- Gravedad metro gramo , dirigida verticalmente hacia abajo;
- Fuerza de reacción de apoyo norte , dirigida perpendicularmente al plano;
- fuerza de fricción deslizante F tr, en dirección opuesta a la velocidad (hacia arriba a lo largo del plano inclinado cuando el cuerpo se desliza)
Cuando se resuelven problemas que involucran un plano inclinado, a menudo es conveniente introducir un sistema de coordenadas inclinadas, cuyo eje OX se dirige hacia abajo a lo largo del plano. Esto es conveniente, porque en este caso solo un vector tendrá que descomponerse en componentes: el vector de gravedad metro gramo
, y los vectores de fuerza de fricción F
tr y fuerzas de reacción de apoyo norte
ya dirigido a lo largo de los ejes. Con esta expansión, la componente x de la gravedad es igual a miligramos pecado( α
) y corresponde a la "fuerza de tracción" responsable del movimiento descendente acelerado, y la componente y - miligramos porque α
) = norte equilibra la fuerza de reacción del soporte, ya que no hay movimiento del cuerpo a lo largo del eje OY.
fuerza de fricción deslizante F tr = µN proporcional a la fuerza de reacción del soporte. Esto nos permite obtener la siguiente expresión para la fuerza de fricción: F tr = mmg porque α
). Esta fuerza es opuesta al componente de "tracción" de la gravedad. Por lo tanto, para cuerpo deslizándose hacia abajo
, obtenemos las expresiones para la fuerza resultante total y la aceleración:
F x= miligramos(pecado( α
) – µ
porque α
));
a x= gramo(pecado( α
) – µ
porque α
)).
No es difícil ver que si µ < tg(α ), entonces la expresión tiene signo positivo y estamos tratando con un movimiento uniformemente acelerado a lo largo de un plano inclinado. Si µ >tg( α ), entonces la aceleración será signo negativo y el movimiento será igualmente lento. Tal movimiento es posible solo si al cuerpo se le da una velocidad inicial cuesta abajo. En este caso, el cuerpo se detendrá gradualmente. Si, sujeto a µ >tg( α ) el objeto está inicialmente en reposo, luego no comenzará a deslizarse hacia abajo. Aquí, la fuerza de fricción estática compensará completamente el componente de "tracción" de la gravedad.
Cuando el coeficiente de fricción es exactamente igual a la tangenteángulo de inclinación del plano: µ = tg( α ), estamos tratando con la compensación mutua de las tres fuerzas. En este caso, según la primera ley de Newton, el cuerpo puede estar en reposo o moverse con velocidad constante(Donde Movimiento uniforme solo hacia abajo es posible).
Las fuerzas que actúan sobre el bloque.
deslizando sobre un plano inclinado:
caso de cámara lenta
Sin embargo, el cuerpo también puede subir por el plano inclinado. Un ejemplo de tal movimiento es el movimiento de un disco de hockey sobre un tobogán de hielo. Cuando un cuerpo se mueve hacia arriba, tanto la fuerza de fricción como el componente de "tracción" de la gravedad se dirigen hacia abajo a lo largo de un plano inclinado. En este caso, siempre estamos tratando con un movimiento uniformemente lento, ya que la fuerza total está dirigida en la dirección opuesta a la velocidad. La expresión de la aceleración para esta situación se obtiene de manera similar y solo difiere en el signo. Entonces para cuerpo deslizándose por un plano inclinado , tenemos.
El plano inclinado es superficie plana ubicado en algún ángulo con la horizontal. Le permite levantar la carga con menos fuerza que si esta carga se levantara verticalmente hacia arriba. En un plano inclinado, la carga sube a lo largo de este plano. Al mismo tiempo, supera una distancia mayor que si subiera verticalmente.
Nota 1
Además, cuantas veces hay una ganancia de fuerza, tantas veces la distancia que superará la carga será mayor.
Figura 1. Plano inclinado
Si la altura a la que se debe levantar la carga es igual a $h$, y por lo tanto se gastaría la fuerza $F_h$, y la longitud del plano inclinado es $l$, y se gastaría la fuerza $F_l$, entonces $l$ está relacionado con $h $ como $F_h$ está relacionado con $F_l$: $l/h = F_h/F_l$... Sin embargo, $F_h$ es el peso de la carga ($P$). Por lo tanto, se suele escribir de la siguiente manera: $l/h = P/F$, donde $F$ es la fuerza que levanta la carga.
La cantidad de fuerza $F$ que debe aplicarse a una carga de peso $P$ para que el cuerpo esté en equilibrio sobre un plano inclinado es igual a $F_1 = P_h/l = Psin(\mathbf \alpha )$ si la fuerza $P$ se aplica paralelamente al plano inclinado (Fig.2, a), y $F_2$ = $Р_h/l = Рtg(\mathbf \alpha )$, si la fuerza $Р$ se aplica paralelamente a la base del plano inclinado (Fig.2, b).
Figura 2. Movimiento de la carga en un plano inclinado
a) la fuerza es paralela al plano b) la fuerza es paralela a la base
El plano inclinado aumenta la fuerza, con su ayuda es más fácil levantar la carga a una altura. Cuanto menor sea el ángulo $\alpha $, mayor será la ganancia en fuerza. Si el ángulo $\alpha $ es menor que el ángulo de fricción, entonces la carga no se moverá espontáneamente y se necesita un esfuerzo para jalarla hacia abajo.
Si tenemos en cuenta las fuerzas de rozamiento entre la carga y el plano inclinado, entonces se obtienen los siguientes valores para $F_1$ y $F_2$: $F_1=Рsin($$(\mathbf \alpha )$$\pm $$(\mathbf\varphi)$) /cos$(\mathbf\varphi)$; $F_2=Рtg($$(\mathbf \alpha )$$\pm$$(\mathbf \varphi )$)
El signo más se refiere a subir, el signo menos a bajar la carga. Coeficiente acción útil plano inclinado $(\mathbf \eta )$1=sin$(\mathbf \alpha )$cos$(\mathbf \alpha )$/sin($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \varphi )$) , si la fuerza $P$ es paralela al plano, y $(\mathbf \eta )$2=tg$(\mathbf \alpha )$/tg($(\mathbf \alpha )$+$(\mathbf \ varphi )$) , si la fuerza $P$ se dirige paralelamente a la base del plano inclinado.
El plano inclinado obedece a la "regla de oro de la mecánica". Cuanto menor sea el ángulo entre la superficie y el plano inclinado (es decir, cuanto más plano sea, sin que se eleve demasiado), se debe aplicar menos fuerza para levantar la carga, pero mayor será la distancia que se deberá superar.
En ausencia de fuerzas de fricción, la ganancia de fuerza es $K = P/F = 1/sen$$\alpha = l/h$. A condiciones reales debido a la acción de la fuerza de fricción, la eficiencia del plano inclinado es menor que 1, la ganancia de fuerza es menor que la relación $l/h$.
Ejemplo 1
Una carga que pesa 40 kg se levanta a lo largo de un plano inclinado a una altura de 10 m mientras se aplica una fuerza de 200 N (Fig. 3). ¿Cuál es la longitud del plano inclinado? Ignora la fricción.
$(\mathbf\eta)$ = 1
Cuando un cuerpo se mueve a lo largo de un plano inclinado, la razón de la fuerza aplicada al peso del cuerpo es igual a la razón de la longitud del plano inclinado a su altura: $\frac(F)(P)=\frac( l)(h)=\frac(1)((sin (\mathbf \alpha )\ ))$. Por lo tanto $l=\frac(Fh)(mg)=\ \frac(200\cdot 10)(40\cdot 9,8)=5,1\ m$.
Respuesta: La longitud del plano inclinado es de 5,1 m.
Ejemplo 2
Dos cuerpos con masas $m_1$ = 10 g y $m_2$ = 15 g están conectados por un hilo tirado sobre un bloque fijo instalado en un plano inclinado (Fig. 4). El plano forma un ángulo $\alpha $ = 30$()^\circ$ con el horizonte. Encuentre la aceleración con la que estos cuerpos se moverán.
$(\mathbf \alpha )$ = 30 grados
$g$ = 9.8 $m/s_2$
Dirijamos el eje OX a lo largo del plano inclinado, y el eje OY perpendicular a él, y proyectemos los vectores $\ (\overrightarrow(Р))_1\ y\ (\overrightarrow(Р))_2$ sobre estos ejes. Como puede verse en la figura, la resultante de las fuerzas aplicadas a cada uno de los cuerpos es igual a la diferencia entre las proyecciones de los vectores $\ (\overrightarrow(Р))_1\ y\ (\overrightarrow(Р)) _2$ sobre el eje OX:
\[\left|\overrightarrow(R)\right|=\left|P_(2x)-P_(1x)\right|=\left|m_2g(sin \alpha \ )-m_1g(sin \alpha \ )\right |=g(sen \alpha \left|m_2-m_1\right|\ )\] \[\left|\overrightarrow(R)\right|=9.8\cdot (sen 30()^\circ \ )\cdot \ izquierda|0.015-0.01\derecha|=0.0245\ H\] \
Respuesta: Aceleraciones de cuerpos $a_1=2.45\frac(m)(s^2);\ \ \ \ \ \ a_2=1.63\ m/s^2$
Recuerda que cuando hablamos de una superficie lisa, queremos decir que la fricción entre el cuerpo y esta superficie puede despreciarse.
Sobre un cuerpo de masa m, situado en un plano inclinado liso, actúan la fuerza de gravedad m y la fuerza de reacción normal (figura 19.1). 
Es conveniente dirigir el eje x hacia abajo a lo largo del plano inclinado y el eje y perpendicular al plano inclinado hacia arriba (Fig. 19.1). Denote el ángulo de inclinación del plano por α.
La ecuación de la segunda ley de Newton en forma vectorial es 
1. Explica por qué las siguientes ecuaciones son verdaderas:
2. ¿Cuál es la proyección de la aceleración del cuerpo sobre el eje x?
3. ¿Cuál es el módulo de la fuerza de reacción normal?
4. ¿En qué ángulo de inclinación la aceleración de un cuerpo sobre un plano liso es 2 veces menor que la aceleración de caída libre?
5. ¿A qué ángulo de inclinación del plano la fuerza de reacción normal es 2 veces menor que la fuerza de gravedad?
Al realizar la siguiente tarea, es útil notar que la aceleración de un cuerpo ubicado en un plano inclinado suave no depende de la dirección de la velocidad inicial del cuerpo.
6. El disco se empuja hacia arriba a lo largo de un plano inclinado suave con un ángulo de inclinación α. La velocidad inicial del disco v 0 .
a) ¿Qué distancia recorrerá el disco antes de detenerse?
b) ¿Cuánto tiempo tardará el disco en volver a su punto de partida?
c) ¿Con qué velocidad regresará el disco a su punto de partida?
7. Un bloque de masa m está sobre un plano inclinado liso con un ángulo de inclinación α.
a) ¿Cuál es el módulo de la fuerza que sostiene la barra en el plano inclinado si la fuerza se dirige a lo largo del plano inclinado? ¿Horizontalmente?
b) ¿Cuál es la fuerza de reacción normal cuando la fuerza se dirige horizontalmente?
2. Condición de reposo del cuerpo en un plano inclinado
Ahora tendremos en cuenta la fuerza de rozamiento entre el cuerpo y el plano inclinado.
Si el cuerpo está en reposo sobre un plano inclinado, se ve afectado por la fuerza de gravedad m, la fuerza de reacción normal y la fuerza de fricción estática tr.pok (figura 19.2). 
La fuerza de fricción estática se dirige hacia arriba a lo largo del plano inclinado: evita que la barra se deslice. Por tanto, la proyección de esta fuerza sobre el eje x, dirigida hacia abajo a lo largo del plano inclinado, es negativa:
F tr.pok x = –F tr.pok
8. Explica por qué las siguientes ecuaciones son verdaderas:
9. Un bloque de masa m descansa sobre un plano inclinado con un ángulo de inclinación α. El coeficiente de fricción entre la barra y el plano es μ. ¿Cuál es la fuerza de fricción que actúa sobre el bloque? ¿Hay datos adicionales en la condición?
10. Explique por qué la condición de reposo de un cuerpo sobre un plano inclinado se expresa mediante la desigualdad
Clave. Aproveche que la fuerza de fricción estática satisface la desigualdad F tr.pok ≤ μN.
La última desigualdad se puede usar para medir el coeficiente de fricción: el ángulo de inclinación del plano se aumenta suavemente hasta que el cuerpo comienza a deslizarse sobre él (ver Fig. trabajo de laboratorio 4).
11. La barra que estaba sobre la tabla comenzó a deslizarse a lo largo de la tabla cuando su ángulo de inclinación con el horizonte era de 20º. ¿Cuál es el coeficiente de fricción entre el bloque y la tabla?
12. Un ladrillo que pesa 2,5 kg yace sobre una tabla de 2 m de largo.El coeficiente de fricción entre el ladrillo y la tabla es 0,4.
a) ¿Cuál es la altura máxima a la que se puede levantar un extremo del tablero sin que se mueva el ladrillo?
b) ¿Cuál será la fuerza de fricción que actúa sobre el ladrillo?
La fuerza de fricción estática que actúa sobre un cuerpo ubicado en un plano inclinado no está necesariamente dirigida hacia arriba a lo largo del plano. ¡También se puede dirigir hacia abajo a lo largo del avión!
13. Un bloque de masa m está en un plano inclinado con un ángulo de inclinación α. El coeficiente de fricción entre la barra y el plano es igual a μ, y μ< tg α. Какую силу надо приложить к бруску вдоль наклонной плоскости, чтобы сдвинуть его вдоль наклонной плоскости:
a) hacia abajo? b) arriba?
3. Movimiento de un cuerpo a lo largo de un plano inclinado, teniendo en cuenta la fricción.
Ahora deje que el cuerpo se deslice por el plano inclinado (Fig. 19.3). En este caso, sobre él actúa la fuerza de rozamiento por deslizamiento, en dirección opuesta a la velocidad del cuerpo, es decir, a lo largo del plano inclinado hacia arriba. 
? 15. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en el dibujo del cuaderno y explica por qué son válidas las siguientes ecuaciones: 
16. ¿Cuál es la proyección de la aceleración del cuerpo sobre el eje x?
17. Un bloque se desliza por un plano inclinado. El coeficiente de fricción entre la barra y el plano es 0,5. ¿Cómo cambia la velocidad de la barra con el tiempo si el ángulo de inclinación del plano es igual a:
a) 20º? b) 30º? c) 45º? d) 60º?
18. El bloque comienza a deslizarse sobre el tablero cuando se inclina en un ángulo de 20º con respecto al horizonte. ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la barra y la tabla? ¿Con qué magnitud y dirección se deslizará el bloque por el tablero inclinado en un ángulo de 30º? 15º?
Supongamos ahora que la velocidad inicial del cuerpo se dirige hacia arriba (Fig. 19.4). 
19. Dibuja las fuerzas que actúan sobre el cuerpo en el dibujo del cuaderno y explica por qué son válidas las siguientes ecuaciones:
20. ¿Cuál es la proyección de la aceleración del cuerpo sobre el eje x?
21. El bloque comienza a deslizarse sobre el tablero cuando se inclina en un ángulo de 20º con respecto al horizonte. El bloque se empuja hacia arriba en el tablero. ¿Con qué aceleración se moverá si la tabla está inclinada en un ángulo: a) 30º? b) 15º? ¿En cuál de estos casos la barra se detendrá en el punto superior?
22. El disco fue empujado hacia arriba por un plano inclinado con una rapidez inicial v 0 . El ángulo de inclinación del plano α, el coeficiente de fricción entre la arandela y el plano μ. Después de un tiempo, el disco volvió a su posición original.
a) ¿Cuánto tiempo tardó el disco en subir antes de detenerse?
b) ¿Qué distancia recorrió el disco antes de detenerse?
c) ¿Cuánto tiempo después de eso el disco volvió a su posición inicial?
23. Después del empujón, el bloque subió por el plano inclinado durante 2 s y luego hacia abajo durante 3 s antes de volver a su posición original. El ángulo de inclinación del plano es de 45º.
a) ¿Cuántas veces mayor es el módulo de aceleración del bloque cuando se mueve hacia arriba que cuando se mueve hacia abajo?
b) ¿Cuál es el coeficiente de rozamiento entre la barra y el plano?
Preguntas y tareas adicionales
24. Una barra se desliza sin velocidad inicial desde un plano inclinado liso de altura h (figura 19.5). El ángulo de inclinación del plano es α. ¿Cuál es la velocidad de la barra al final del descenso? ¿Hay datos adicionales aquí? 
25. (Problema de Galileo) Se perfora un conducto recto y liso en un disco vertical de radio R (figura 19.6). ¿Cuál es el tiempo para que la barra se deslice a lo largo de todo el conducto desde el reposo? El ángulo de inclinación de la tolva α, en el momento inicial en que la barra está en reposo. 
26. Un carro rueda por un plano inclinado liso con un ángulo de inclinación α. Se instala un trípode en el carro, en el que se suspende una carga en un hilo. Haga un dibujo, represente las fuerzas que actúan sobre la carga. ¿A qué ángulo con la vertical está el hilo cuando la carga está en reposo en relación con el carro?
27. La barra está encima de un plano inclinado de 2 m de largo y 50 cm de alto.El coeficiente de rozamiento entre la barra y el plano es 0,3.
a) ¿Con qué módulo de aceleración se moverá el bloque si se empuja hacia abajo a lo largo del plano?
b) ¿Qué velocidad se debe impartir a la barra para que llegue a la base del plano?
28. Un cuerpo de 2 kg de masa está sobre un plano inclinado. El coeficiente de rozamiento entre el cuerpo y el plano es 0,4.
a) ¿A qué ángulo de inclinación del plano se alcanza el mayor valor posible de la fuerza de rozamiento?
b) ¿Qué es valor más alto fuerzas de friccion?
c) Construya un gráfico aproximado de la dependencia de la fuerza de fricción con el ángulo de inclinación del plano.
Clave. Si tg α ≤ μ, la fuerza de fricción estática actúa sobre el cuerpo, y si tg α > μ, la fuerza de fricción deslizante.
