El discriminante, así como las ecuaciones cuadráticas, comienzan a estudiarse en el curso de álgebra en el grado 8. Puedes resolver una ecuación cuadrática a través del discriminante y usando el teorema de Vieta. Metodología de estudio ecuaciones cuadráticas, así como las fórmulas discriminatorias, son inculcadas en los escolares con poco éxito, como muchas cosas en la educación real. Por lo tanto pasa años escolares, la capacitación en los grados 9-11 reemplaza " educación más alta"y todos miran de nuevo - "¿Cómo resolver una ecuación cuadrática?", "¿Cómo encontrar las raíces de una ecuación?", "¿Cómo encontrar el discriminante?" y...

fórmula discriminante

El discriminante D de la ecuación cuadrática a*x^2+bx+c=0 es D=b^2–4*a*c.
Las raíces (soluciones) de la ecuación cuadrática dependen del signo del discriminante (D):
D>0 - la ecuación tiene 2 raíces reales diferentes;
D=0 - la ecuación tiene 1 raíz (2 raíces coincidentes):
D<0 – не имеет действительных корней (в школьной теории). В ВУЗах изучают комплексные числа и уже на множестве комплексных чисел уравнение с отрицательным дискриминантом имеет два комплексных корня.
La fórmula para calcular el discriminante es bastante simple, por lo que muchos sitios ofrecen una calculadora de discriminante en línea. Todavía no hemos descubierto este tipo de scripts, así que quién sabe cómo implementar esto, escriba al correo Esta dirección de correo electrónico está protegida contra spambots. Debe tener JavaScript habilitado para ver. .

Fórmula general para encontrar las raíces de una ecuación cuadrática:

Las raíces de la ecuación se encuentran por la fórmula
Si el coeficiente de la variable en el cuadrado está emparejado, entonces es recomendable calcular no el discriminante, sino su cuarta parte.
En tales casos, las raíces de la ecuación se encuentran mediante la fórmula

La segunda forma de encontrar raíces es el Teorema de Vieta.

El teorema se formula no solo para ecuaciones cuadráticas, sino también para polinomios. Puede leer esto en Wikipedia u otros recursos electrónicos. Sin embargo, para simplificar, considere la parte que concierne a las ecuaciones cuadráticas reducidas, es decir, ecuaciones de la forma (a=1)
La esencia de las fórmulas de Vieta es que la suma de las raíces de la ecuación es igual al coeficiente de la variable, tomada con el signo opuesto. El producto de las raíces de la ecuación es igual al término libre. Las fórmulas del teorema de Vieta tienen una notación.
La derivación de la fórmula de Vieta es bastante simple. Escribamos la ecuación cuadrática en términos de factores primos
Como ves, todo lo ingenioso es a la vez sencillo. Es efectivo usar la fórmula de Vieta cuando la diferencia en el módulo de las raíces o la diferencia en el módulo de las raíces es 1, 2. Por ejemplo, las siguientes ecuaciones, según el teorema de Vieta, tienen raíces




El análisis de hasta 4 ecuaciones debería verse así. El producto de las raíces de la ecuación es 6, por lo que las raíces pueden ser los valores (1, 6) y (2, 3) o pares con signo opuesto. La suma de las raíces es 7 (el coeficiente de la variable con el signo opuesto). De aquí concluimos que las soluciones de la ecuación cuadrática son iguales a x=2; x=3.
Es más fácil seleccionar las raíces de la ecuación entre los divisores del término libre, corrigiendo su signo para cumplir las fórmulas de Vieta. Al principio, esto parece difícil de hacer, pero con la práctica de varias ecuaciones cuadráticas, esta técnica será más eficiente que calcular el discriminante y encontrar las raíces de la ecuación cuadrática de la manera clásica.
Como puede ver, la teoría escolar de estudiar el discriminante y las formas de encontrar soluciones a la ecuación carece de significado práctico: "¿Por qué los escolares necesitan una ecuación cuadrática?", "¿Cuál es el significado físico del discriminante?".

Tratemos de resolverlo ¿Qué describe el discriminante?

En el curso de álgebra, estudian funciones, esquemas para estudiar funciones y graficar funciones. De todas las funciones, un lugar importante lo ocupa una parábola, cuya ecuación se puede escribir en la forma
Entonces el significado físico de la ecuación cuadrática son los ceros de la parábola, es decir, los puntos de intersección de la gráfica de la función con el eje de abscisas Ox
Les pido que recuerden las propiedades de las parábolas que se describen a continuación. Llegará el momento de rendir exámenes, pruebas o pruebas de acceso y agradecerás el material de referencia. El signo de la variable en el cuadrado corresponde a si las ramas de la parábola en la gráfica subirán (a>0),

o una parábola con ramas hacia abajo (una<0) .

El vértice de la parábola se encuentra a medio camino entre las raíces

El significado físico del discriminante:

Si el discriminante es mayor que cero (D>0), la parábola tiene dos puntos de intersección con el eje Ox.
Si el discriminante es igual a cero (D=0), entonces la parábola en la parte superior toca el eje x.
Y el último caso cuando el discriminante menos que cero(D<0) – график параболы принадлежит плоскости над осью абсцисс (ветки параболы вверх), или график полностью под осью абсцисс (ветки параболы опущены вниз).

Ecuaciones cuadráticas incompletas

Entre todo el curso del currículo escolar de álgebra, uno de los temas más voluminosos es el tema de las ecuaciones cuadráticas. En este caso, una ecuación cuadrática se entiende como una ecuación de la forma ax 2 + bx + c \u003d 0, donde a ≠ 0 (se lee: a multiplicado por x al cuadrado más be x más ce es igual a cero, donde a no es igual a cero). En este caso, el lugar principal lo ocupan las fórmulas para encontrar el discriminante de una ecuación cuadrática del tipo especificado, que se entiende como una expresión que le permite determinar la presencia o ausencia de raíces en una ecuación cuadrática, así como su número (si lo hay).

Fórmula (ecuación) del discriminante de una ecuación cuadrática

La fórmula generalmente aceptada para el discriminante de una ecuación cuadrática es la siguiente: D \u003d b 2 - 4ac. Al calcular el discriminante usando la fórmula indicada, uno no solo puede determinar la presencia y el número de raíces de una ecuación cuadrática, sino también elegir un método para encontrar estas raíces, de las cuales hay varias según el tipo de ecuación cuadrática.

¿Qué significa si el discriminante es cero \ Fórmula de las raíces de una ecuación cuadrática si el discriminante es cero

El discriminante, como se desprende de la fórmula, se denota con la letra latina D. En el caso de que el discriminante sea cero, se debe concluir que la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0 , tiene una sola raíz, que se calcula a partir de una fórmula simplificada. Esta fórmula se aplica solo cuando el discriminante es cero y se ve así: x = –b/2a, donde x es la raíz de la ecuación cuadrática, b y a son las variables correspondientes de la ecuación cuadrática. Para encontrar la raíz de una ecuación cuadrática, es necesario dividir el valor negativo de la variable b por el doble del valor de la variable a. La expresión resultante será la solución de una ecuación cuadrática.

Resolver una ecuación cuadrática a través del discriminante

Si al calcular el discriminante con la fórmula anterior se obtiene un valor positivo (D es mayor que cero), entonces la ecuación cuadrática tiene dos raíces, las cuales se calculan con las siguientes fórmulas: x 1 = (–b + vD) / 2a, x 2 = (–b - vD) /2a. La mayoría de las veces, el discriminante no se calcula por separado, sino que la expresión raíz en forma de fórmula discriminante simplemente se sustituye en el valor D, del cual se extrae la raíz. Si la variable b tiene un valor par, entonces para calcular las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, también puedes usar las siguientes fórmulas: x 1 = (–k + v(k2 – ac))/a , x 2 = (–k + v(k2 – ac))/a, donde k = b/2.

En algunos casos, para la solución práctica de ecuaciones cuadráticas, puede usar el Teorema de Vieta, que dice que para la suma de las raíces de una ecuación cuadrática de la forma x 2 + px + q \u003d 0, el valor x 1 + x 2 \u003d -p será verdadero, y para el producto de las raíces de la ecuación especificada - expresión x 1 x x 2 = q.

¿Puede el discriminante ser menor que cero?

Al calcular el valor del discriminante, uno puede encontrarse con una situación que no cae en ninguno de los casos descritos, cuando el discriminante tiene un valor negativo (es decir, menor que cero). En este caso, se considera que la ecuación cuadrática de la forma ax 2 + bx + c = 0, donde a ≠ 0, no tiene raíces reales, por lo que su solución se limitará al cálculo del discriminante, y las fórmulas anteriores para las raíces de la ecuación cuadrática en este caso no se aplicará. Al mismo tiempo, en la respuesta a la ecuación cuadrática, está escrito que "la ecuación no tiene raíces reales".

Vídeo explicativo:

Primer nivel

Ecuaciones cuadráticas. Guía completa (2019)

En el término "ecuación cuadrática" la palabra clave es "cuadrática". Esto significa que la ecuación debe contener necesariamente una variable (la misma X) en el cuadrado, y al mismo tiempo no debe haber X de tercer (o mayor) grado.

La solución de muchas ecuaciones se reduce a la solución de ecuaciones cuadráticas.

Aprendamos a determinar que tenemos una ecuación cuadrática, y no otra.

Ejemplo 1

Deshazte del denominador y multiplica cada término de la ecuación por

Movamos todo hacia el lado izquierdo y organicemos los términos en orden descendente de potencias de x

¡Ahora podemos decir con confianza que esta ecuación es cuadrática!

Ejemplo 2

Multiplica los lados izquierdo y derecho por:

Esta ecuación, aunque originalmente estaba en ella, ¡no es un cuadrado!

Ejemplo 3

Multipliquemos todo por:

¿Aterrador? Los grados cuarto y segundo... Sin embargo, si hacemos un reemplazo, veremos que tenemos una ecuación cuadrática simple:

Ejemplo 4

Parece ser, pero echemos un vistazo más de cerca. Vamos a mover todo al lado izquierdo:

Verás, se ha encogido, ¡y ahora es una ecuación lineal simple!

Ahora intenta determinar por ti mismo cuáles de las siguientes ecuaciones son cuadráticas y cuáles no:

Ejemplos:

Respuestas:

1. cuadrado;
2. cuadrado;
3. no cuadrado;
4. no cuadrado;
5. no cuadrado;
6. cuadrado;
7. no cuadrado;
8. cuadrado.

Los matemáticos dividen condicionalmente todas las ecuaciones cuadráticas en los siguientes tipos:

• Completar ecuaciones cuadráticas- ecuaciones en las que los coeficientes y, así como el término libre c, no son iguales a cero (como en el ejemplo). Además, entre las ecuaciones cuadráticas completas, hay dado son ecuaciones en las que el coeficiente (la ecuación del ejemplo uno no solo está completa, ¡sino que también se reduce!)

• Ecuaciones cuadráticas incompletas- ecuaciones en las que el coeficiente y/o el término libre c son iguales a cero:

  Están incompletos porque les falta algún elemento. ¡Pero la ecuación siempre debe contener x al cuadrado! De lo contrario, ya no será una ecuación cuadrática, sino alguna otra ecuación.

¿Por qué se les ocurrió tal división? Parecería que hay una X al cuadrado, y está bien. Tal división se debe a los métodos de solución. Consideremos cada uno de ellos con más detalle.

Resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

Primero, concentrémonos en resolver ecuaciones cuadráticas incompletas: ¡son mucho más simples!

Las ecuaciones cuadráticas incompletas son de tipos:

1. , en esta ecuación el coeficiente es igual.
2. , en esta ecuación el término libre es igual a.
3. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

1. yo Como sabemos cómo sacar la raíz cuadrada, expresemos a partir de esta ecuación

La expresión puede ser negativa o positiva. Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo, entonces: si, entonces la ecuación no tiene solución.

Y si, entonces obtenemos dos raíces. Estas fórmulas no necesitan ser memorizadas. Lo principal es que siempre debes saber y recordar que no puede ser menos.

Intentemos resolver algunos ejemplos.

Ejemplo 5:

Resuelve la ecuación

Ahora queda por extraer la raíz de las partes izquierda y derecha. Después de todo, ¿recuerdas cómo extraer las raíces?

Responder:

¡¡¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!!!

Ejemplo 6:

Resuelve la ecuación

Responder:

Ejemplo 7:

Resuelve la ecuación

¡Ay! El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

¡Sin raíces!

Para tales ecuaciones en las que no hay raíces, a los matemáticos se les ocurrió un ícono especial: (conjunto vacío). Y la respuesta se puede escribir así:

Responder:

Por lo tanto, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces. No hay restricciones aquí, ya que no extrajimos la raíz.
Ejemplo 8:

Resuelve la ecuación

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:

De este modo,

Esta ecuación tiene dos raíces.

Responder:

El tipo más simple de ecuaciones cuadráticas incompletas (aunque todas son simples, ¿no?). Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Aquí prescindiremos de ejemplos.

Resolver ecuaciones cuadráticas completas

Te recordamos que la ecuación cuadrática completa es una ecuación de la forma ecuación donde

Resolver ecuaciones cuadráticas completas es un poco más complicado (solo un poco) que las dadas.

Recuerda, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante! Incluso incompleto.

El resto de los métodos te ayudarán a hacerlo más rápido, pero si tienes problemas con las ecuaciones cuadráticas, primero domina la solución usando el discriminante.

1. Resolver ecuaciones cuadráticas utilizando el discriminante.

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es muy simple, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas.

Si, entonces la ecuación tiene una raíz Se debe prestar especial atención al paso. El discriminante () nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la fórmula en el paso se reducirá a. Por lo tanto, la ecuación tendrá solo una raíz.
• Si, entonces no podremos extraer la raíz del discriminante en el paso. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

Volvamos a nuestras ecuaciones y veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 9:

Resuelve la ecuación

Paso 1 saltar.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Entonces la ecuación tiene dos raíces.

Paso 3

Responder:

Ejemplo 10:

Resuelve la ecuación

La ecuación está en forma estándar, por lo que Paso 1 saltar.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Entonces la ecuación tiene una raíz.

Responder:

Ejemplo 11:

Resuelve la ecuación

La ecuación está en forma estándar, por lo que Paso 1 saltar.

Paso 2

Encontrar el discriminante:

Esto significa que no podremos extraer la raíz del discriminante. No hay raíces de la ecuación.

Ahora sabemos cómo escribir esas respuestas correctamente.

Responder: sin raíces

2. Solución de ecuaciones cuadráticas mediante el teorema de Vieta.

Si recuerdas, existe un tipo de ecuaciones que se llaman reducidas (cuando el coeficiente a es igual a):

Tales ecuaciones son muy fáciles de resolver usando el teorema de Vieta:

La suma de las raíces dado ecuación cuadrática es igual, y el producto de las raíces es igual.

Ejemplo 12:

Resuelve la ecuación

Esta ecuación es adecuada para la solución usando el teorema de Vieta, porque .

La suma de las raíces de la ecuación es, es decir, obtenemos la primera ecuación:

Y el producto es:

Vamos a crear y resolver el sistema:

• y. La suma es;
• y. La suma es;
• y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Responder: ; .

Ejemplo 13:

Resuelve la ecuación

Responder:

Ejemplo 14:

Resuelve la ecuación

La ecuación se reduce, lo que significa:

Responder:

ECUACIONES CUADRÁTICAS. NIVEL PROMEDIO

¿Qué es una ecuación cuadrática?

En otras palabras, una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde - desconocido, - algunos números, además.

El número se llama el más alto o primer coeficiente ecuación cuadrática, - segundo coeficiente, a - miembro gratuito.

¿Por qué? Porque si, la ecuación inmediatamente se volverá lineal, porque desaparecerá.

En este caso, y puede ser igual a cero. En este taburete la ecuación se llama incompleta. Si todos los términos están en su lugar, es decir, la ecuación está completa.

Soluciones a varios tipos de ecuaciones cuadráticas

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas:

Para empezar, analizaremos los métodos para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas; son más simples.

Se pueden distinguir los siguientes tipos de ecuaciones:

I. , en esta ecuación el coeficiente y el término libre son iguales.

II. , en esta ecuación el coeficiente es igual.

tercero , en esta ecuación el término libre es igual a.

Ahora considere la solución de cada uno de estos subtipos.

Obviamente, esta ecuación siempre tiene una sola raíz:

Un número al cuadrado no puede ser negativo, porque al multiplicar dos números negativos o dos positivos, el resultado siempre será un número positivo. Es por eso:

si, entonces la ecuación no tiene soluciones;

si tenemos dos raices

Estas fórmulas no necesitan ser memorizadas. Lo principal a recordar es que no puede ser menos.

Ejemplos:

Soluciones:

Responder:

¡Nunca te olvides de las raíces con signo negativo!

El cuadrado de un número no puede ser negativo, lo que significa que la ecuación

sin raíces

Para escribir brevemente que el problema no tiene solución, usamos el ícono de conjunto vacío.

Responder:

Entonces, esta ecuación tiene dos raíces: y.

Responder:

Saquemos el factor común fuera de paréntesis:

El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Esto significa que la ecuación tiene solución cuando:

Entonces, esta ecuación cuadrática tiene dos raíces: y.

Ejemplo:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Factorizamos el lado izquierdo de la ecuación y encontramos las raíces:

Responder:

Métodos para resolver ecuaciones cuadráticas completas:

1. Discriminante

Resolver ecuaciones cuadráticas de esta manera es fácil, lo principal es recordar la secuencia de acciones y un par de fórmulas. Recuerda, ¡cualquier ecuación cuadrática se puede resolver usando el discriminante! Incluso incompleto.

¿Notaste la raíz del discriminante en la fórmula raíz? Pero el discriminante puede ser negativo. ¿Qué hacer? Debemos prestar especial atención al paso 2. El discriminante nos dice el número de raíces de la ecuación.

• Si, entonces la ecuación tiene una raíz:
• Si, entonces la ecuación tiene la misma raíz, pero de hecho, una raíz:

  Tales raíces se llaman raíces dobles.

• Si, entonces no se extrae la raíz del discriminante. Esto indica que la ecuación no tiene raíces.

¿Por qué hay diferente número de raíces? Volvamos al significado geométrico de la ecuación cuadrática. La gráfica de la función es una parábola:

En un caso particular, que es una ecuación cuadrática, . Y esto significa que las raíces de la ecuación cuadrática son los puntos de intersección con el eje x (eje). La parábola puede no cruzar el eje en absoluto, o puede intersecarlo en uno (cuando la parte superior de la parábola se encuentra sobre el eje) o en dos puntos.

Además, el coeficiente es responsable de la dirección de las ramas de la parábola. Si, entonces las ramas de la parábola se dirigen hacia arriba, y si, entonces hacia abajo.

Ejemplos:

Soluciones:

Responder:

Responder: .

Responder:

Esto significa que no hay soluciones.

Responder: .

2. Teorema de Vieta

Usar el teorema de Vieta es muy fácil: solo necesitas elegir un par de números cuyo producto sea igual al término libre de la ecuación, y la suma sea igual al segundo coeficiente, tomado con el signo opuesto.

Es importante recordar que el teorema de Vieta solo se puede aplicar a ecuaciones cuadráticas dadas ().

Veamos algunos ejemplos:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación.

Solución:

Esta ecuación es adecuada para la solución usando el teorema de Vieta, porque . Otros coeficientes: ; .

La suma de las raíces de la ecuación es:

Y el producto es:

Seleccionemos esos pares de números, cuyo producto es igual, y verifiquemos si su suma es igual:

• y. La suma es;
• y. La suma es;
• y. La cantidad es igual.

y son la solución del sistema:

Por lo tanto, y son las raíces de nuestra ecuación.

Responder: ; .

Ejemplo #2:

Solución:

Seleccionamos los pares de números que dan el producto y luego verificamos si su suma es igual:

y: dar en total.

y: dar en total. Para obtenerlo, solo necesita cambiar los signos de las supuestas raíces: y, después de todo, el producto.

Responder:

Ejemplo #3:

Solución:

El término libre de la ecuación es negativo y, por lo tanto, el producto de las raíces es un número negativo. Esto es posible solo si una de las raíces es negativa y la otra es positiva. Entonces la suma de las raíces es diferencias de sus modulos.

Seleccionamos tales pares de números que dan en el producto, y cuya diferencia es igual a:

y: su diferencia es - no adecuado;

y: - no apto;

y: - no apto;

y: - adecuado. Solo queda recordar que una de las raíces es negativa. Como su suma debe ser igual, entonces la raíz, que es menor en valor absoluto, debe ser negativa: . Verificamos:

Responder:

Ejemplo #4:

Resuelve la ecuación.

Solución:

La ecuación se reduce, lo que significa:

El término libre es negativo y, por lo tanto, el producto de las raíces es negativo. Y esto es posible solo cuando una raíz de la ecuación es negativa y la otra es positiva.

Seleccionamos esos pares de números cuyo producto es igual, y luego determinamos qué raíces deben tener un signo negativo:

Obviamente, solo las raíces y son adecuadas para la primera condición:

Responder:

Ejemplo #5:

Resuelve la ecuación.

Solución:

La ecuación se reduce, lo que significa:

La suma de las raíces es negativa, lo que significa que al menos una de las raíces es negativa. Pero como su producto es positivo, significa que ambas raíces son negativas.

Seleccionamos tales pares de números, cuyo producto es igual a:

Obviamente, las raíces son los números y.

Responder:

De acuerdo, es muy conveniente: inventar raíces oralmente, en lugar de contar este desagradable discriminante. Trate de usar el teorema de Vieta tan a menudo como sea posible.

Pero se necesita el teorema de Vieta para facilitar y acelerar la búsqueda de raíces. Para que te resulte rentable su uso, debes llevar las acciones al automatismo. Y para ello, resuelve cinco ejemplos más. Pero no hagas trampa: ¡no puedes usar el discriminante! Sólo el teorema de Vieta:

Soluciones para tareas de trabajo independiente:

Tarea 1. ((x)^(2))-8x+12=0

Según el teorema de Vieta:

Como de costumbre, comenzamos la selección con el producto:

No apto por la cantidad;

: la cantidad es la que necesitas.

Responder: ; .

Tarea 2.

Y de nuevo, nuestro teorema de Vieta favorito: la suma debería funcionar, pero el producto es igual.

Pero como no debería ser, pero, cambiamos los signos de las raíces: y (en total).

Responder: ; .

Tarea 3.

Mmm... ¿Dónde está?

Es necesario transferir todos los términos en una sola parte:

La suma de las raíces es igual al producto.

¡Sí, para! No se da la ecuación. Pero el teorema de Vieta es aplicable solo en las ecuaciones dadas. Así que primero necesitas traer la ecuación. Si no puede mencionarlo, descarte esta idea y resuélvalo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante). Déjame recordarte que traer una ecuación cuadrática significa hacer que el coeficiente principal sea igual a:

Excelente. Entonces la suma de las raíces es igual, y el producto.

Es más fácil retomar aquí: después de todo, un número primo (perdón por la tautología).

Responder: ; .

Tarea 4.

El término libre es negativo. ¿Qué tiene de especial? Y el hecho de que las raíces serán de diferentes signos. Y ahora, durante la selección, comprobamos no la suma de las raíces, sino la diferencia entre sus módulos: esta diferencia es igual, pero el producto.

Entonces, las raíces son iguales y, pero una de ellas es con menos. El teorema de Vieta nos dice que la suma de las raíces es igual al segundo coeficiente con signo opuesto, es decir. Esto significa que la raíz más pequeña tendrá un menos: y, ya que.

Responder: ; .

Tarea 5.

¿Qué hay que hacer primero? Así es, da la ecuación:

Nuevamente: seleccionamos los factores del número, y su diferencia debe ser igual a:

Las raíces son iguales y, pero una de ellas es menos. ¿Cual? Su suma debe ser igual, lo que significa que con menos habrá una raíz más grande.

Responder: ; .

Permítanme resumir:

1. El teorema de Vieta se usa solo en las ecuaciones cuadráticas dadas.
2. Usando el teorema de Vieta, puedes encontrar las raíces por selección, oralmente.
3. Si no se proporciona la ecuación o no se encontró un par adecuado de factores del término libre, entonces no hay raíces enteras y debe resolverlo de otra manera (por ejemplo, a través del discriminante).

3. Método de selección de cuadro completo

Si todos los términos que contienen la incógnita se representan como términos de las fórmulas de la multiplicación abreviada, el cuadrado de la suma o diferencia, luego del cambio de variables, la ecuación se puede representar como una ecuación cuadrática incompleta del tipo.

Por ejemplo:

Ejemplo 1:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Responder:

Ejemplo 2:

Resuelve la ecuación: .

Solución:

Responder:

En general, la transformación se verá así:

Esto implica: .

¿No te recuerda a nada? ¡Es el discriminante! Así es exactamente como se obtuvo la fórmula discriminante.

ECUACIONES CUADRÁTICAS. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

Ecuación cuadrática es una ecuación de la forma, donde es la incógnita, son los coeficientes de la ecuación cuadrática, es el término libre.

Ecuación cuadrática completa- una ecuación en la que los coeficientes no son iguales a cero.

Ecuación cuadrática reducida- una ecuación en la que el coeficiente, es decir: .

Ecuación cuadrática incompleta- una ecuación en la que el coeficiente y/o el término libre c son iguales a cero:

• si el coeficiente, la ecuación tiene la forma: ,
• si es un término libre, la ecuación tiene la forma: ,
• si y, la ecuación tiene la forma: .

1. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas incompletas

1.1. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde, :

1) Expresar la incógnita: ,

2) Verifica el signo de la expresión:

• si, entonces la ecuación no tiene soluciones,
• si, entonces la ecuación tiene dos raíces.

1.2. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde, :

1) Saquemos el factor común fuera de paréntesis: ,

2) El producto es igual a cero si al menos uno de los factores es igual a cero. Por lo tanto, la ecuación tiene dos raíces:

1.3. Una ecuación cuadrática incompleta de la forma, donde:

Esta ecuación siempre tiene una sola raíz: .

2. Algoritmo para resolver ecuaciones cuadráticas completas de la forma donde

2.1. Solución usando el discriminante

1) Llevemos la ecuación a la forma estándar: ,

2) Calcular el discriminante mediante la fórmula: , que indica el número de raíces de la ecuación:

3) Encuentra las raíces de la ecuación:

• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentran por la fórmula:
• si, entonces la ecuación tiene una raíz, que se encuentra mediante la fórmula:
• si, entonces la ecuación no tiene raíces.

2.2. Solución usando el teorema de Vieta

La suma de las raíces de la ecuación cuadrática reducida (una ecuación de la forma donde) es igual, y el producto de las raíces es igual, es decir , a.

2.3. solución cuadrada completa

Por ejemplo, para el trinomio \(3x^2+2x-7\), el discriminante será \(2^2-4\cdot3\cdot(-7)=4+84=88\). Y para el trinomio \(x^2-5x+11\), será igual a \((-5)^2-4\cdot1\cdot11=25-44=-19\).

El discriminante se denota con la letra \(D\) y se usa a menudo al resolver. Además, por el valor del discriminante, puedes entender cómo se ve el gráfico (ver más abajo).

Raíces discriminantes y de ecuación

El valor del discriminante muestra la cantidad de la ecuación cuadrática:
- si \(D\) es positivo, la ecuación tendrá dos raíces;
- si \(D\) es igual a cero - sólo una raíz;
- si \(D\) es negativo, no hay raíces.

No es necesario aprender esto, es fácil llegar a tal conclusión, simplemente sabiendo que del discriminante (es decir, \(\sqrt(D)\) está incluido en la fórmula para calcular las raíces de la ecuación: \(x_(1)=\)\(\ frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D) )(2a)\) Veamos cada caso con más detalle.

Si el discriminante es positivo

En este caso, la raíz es un número positivo, lo que significa que \(x_(1)\) y \(x_(2)\) tendrán un valor diferente, porque en la primera fórmula \(\sqrt(D) \) se suma, y ​​en el segundo - se resta. Y tenemos dos raíces diferentes.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(x^2+2x-3=0\)
Solución :

Responder : \(x_(1)=1\); \(x_(2)=-3\)

Si el discriminante es cero

¿Y cuántas raíces habrá si el discriminante es cero? Razonemos.

Las fórmulas raíz se ven así: \(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) y \(x_(2)=\)\(\frac(- b- \sqrt(D))(2a)\) . Y si el discriminante es cero, entonces la raíz también es cero. Entonces resulta:

\(x_(1)=\)\(\frac(-b+\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+\sqrt(0))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b+0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

\(x_(2)=\)\(\frac(-b-\sqrt(D))(2a)\) \(=\)\(\frac(-b-\sqrt(0))(2a) \) \(=\)\(\frac(-b-0)(2a)\) \(=\)\(\frac(-b)(2a)\)

Es decir, los valores de las raíces de la ecuación coincidirán, porque sumar o restar cero no cambia nada.

Ejemplo : Encuentra las raíces de la ecuación \(x^2-4x+4=0\)
Solución :

\(x^2-4x+4=0\)		Escribimos los coeficientes:
\(a=1;\) \(b=-4;\) \(c=4;\)		Calcula el discriminante usando la fórmula \(D=b^2-4ac\)
\(D=(-4)^2-4\cdot1\cdot4=\) \(=16-16=0\)		Encontrar las raíces de la ecuación
\(x_(1)=\) \(\frac(-(-4)+\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\) \(x_(2)=\) \(\frac(-(-4)-\sqrt(0))(2\cdot1)\)\(=\)\(\frac(4)(2)\) \(=2\)		Tenemos dos raíces idénticas, por lo que no tiene sentido escribirlas por separado, las escribimos como una sola.

Responder : \(x=2\)

Ecuación cuadrática: ¡fácil de resolver! *Más adelante en el texto "KU". Amigos, parece que en matemáticas puede ser más fácil que resolver una ecuación de este tipo. Pero algo me dijo que mucha gente tiene problemas con él. Decidí ver cuántas impresiones da Yandex por solicitud por mes. Esto es lo que pasó, echa un vistazo:

¿Qué significa? Esto significa que alrededor de 70,000 personas al mes están buscando esta información, y esto es verano, y lo que sucederá durante el año escolar: habrá el doble de solicitudes. Esto no es sorprendente, porque los chicos y chicas que se graduaron hace mucho tiempo de la escuela y se están preparando para el examen están buscando esta información, y los escolares también están tratando de refrescar su memoria.

A pesar de que hay muchos sitios que cuentan cómo resolver esta ecuación, decidí también contribuir y publicar el material. En primer lugar, quiero que los visitantes vengan a mi sitio con esta solicitud; en segundo lugar, en otros artículos, cuando aparezca el discurso "KU", daré un enlace a este artículo; en tercer lugar, les contaré un poco más sobre su solución de lo que se suele decir en otros sitios. ¡Empecemos! El contenido del artículo:

Una ecuación cuadrática es una ecuación de la forma:

donde los coeficientes a,by con números arbitrarios, con a≠0.

A curso escolar el material se da de la siguiente forma: la división de ecuaciones en tres clases se realiza condicionalmente:

1. Tener dos raíces.

2. * Tener una sola raíz.

3. No tener raíces. Vale la pena señalar aquí que no tienen raíces reales.

¿Cómo se calculan las raíces? ¡Sólo!

Calculamos el discriminante. Debajo de esta palabra "terrible" se encuentra una fórmula muy simple:

Las fórmulas raíz son las siguientes:

*Estas fórmulas deben conocerse de memoria.

Inmediatamente puede escribir y decidir:

Ejemplo:

1. Si D > 0, entonces la ecuación tiene dos raíces.

2. Si D = 0, entonces la ecuación tiene una raíz.

3. Si D< 0, то уравнение не имеет действительных корней.

Veamos la ecuación:

En esta ocasión, cuando el discriminante es cero, el curso escolar dice que se obtiene una raíz, aquí es igual a nueve. Así es, lo es, pero...

Esta representación es algo incorrecta. De hecho, hay dos raíces. Sí, sí, no se sorprenda, resultan dos raíces iguales y, para ser matemáticamente preciso, se deben escribir dos raíces en la respuesta:

X 1 = 3 X 2 = 3

Pero esto es así: una pequeña digresión. En la escuela, puedes escribir y decir que solo hay una raíz.

Ahora el siguiente ejemplo:

Como sabemos, la raíz de numero negativo no se extrae, por lo que no hay solución en este caso.

Ese es todo el proceso de decisión.

Función cuadrática.

Así es como se ve geométricamente la solución. Esto es extremadamente importante de entender (en el futuro, en uno de los artículos, analizaremos en detalle la solución de una desigualdad cuadrática).

Esta es una función de la forma:

donde x e y son variables

a, b, c son números dados, donde a ≠ 0

La gráfica es una parábola:

Es decir, resulta que al resolver una ecuación cuadrática con "y" igual a cero, encontramos los puntos de intersección de la parábola con el eje x. Puede haber dos de estos puntos (el discriminante es positivo), uno (el discriminante es cero) o ninguno (el discriminante es negativo). Detalles sobre función cuadrática Puedes ver artículo de Inna Feldman.

Considere ejemplos:

Ejemplo 1: Decidir 2x 2 +8 X–192=0

a=2 b=8 c= -192

re = segundo 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600

Respuesta: x 1 = 8 x 2 = -12

* Podrías dividir inmediatamente los lados izquierdo y derecho de la ecuación por 2, es decir, simplificarla. Los cálculos serán más fáciles.

Ejemplo 2: Decidir x2–22 x+121 = 0

a=1 b=-22 c=121

D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0

Tenemos que x 1 \u003d 11 y x 2 \u003d 11

En la respuesta, está permitido escribir x = 11.

Respuesta: x = 11

Ejemplo 3: Decidir x2 –8x+72 = 0

a=1 b= -8 c=72

D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224

El discriminante es negativo, no hay solución en números reales.

Respuesta: sin solucion

El discriminante es negativo. ¡Hay una solucion!

Aquí hablaremos sobre cómo resolver la ecuación en el caso de que se obtenga un discriminante negativo. ¿Sabes algo sobre números complejos? No entraré en detalles aquí sobre por qué y dónde surgieron y cuál es su papel específico y su necesidad en las matemáticas, este es un tema para un artículo extenso por separado.

El concepto de número complejo.

Un poco de teoría.

Un número complejo z es un número de la forma

z = a + bi

donde a y b son números reales, i es la llamada unidad imaginaria.

a+bi es un NÚMERO ÚNICO, no una suma.

La unidad imaginaria es igual a la raíz de menos uno:

Ahora considera la ecuación:

Obtenga dos raíces conjugadas.

Ecuación cuadrática incompleta.

Considere casos especiales, esto es cuando el coeficiente "b" o "c" es igual a cero (o ambos son iguales a cero). Se resuelven fácilmente sin discriminantes.

Caso 1. Coeficiente b = 0.

La ecuación toma la forma:

Transformemos:

Ejemplo:

4x 2 -16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = -2

Caso 2. Coeficiente c = 0.

La ecuación toma la forma:

Transformar, factorizar:

*El producto es igual a cero cuando al menos uno de los factores es igual a cero.

Ejemplo:

9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 o x–5 =0

X 1 = 0 X 2 = 5

Caso 3. Coeficientes b = 0 y c = 0.

Aquí es claro que la solución a la ecuación siempre será x = 0.

Propiedades útiles y patrones de coeficientes.

Hay propiedades que permiten resolver ecuaciones con coeficientes grandes.

aX 2 + bx+ C=0 igualdad

a + b+ c = 0, después

— si para los coeficientes de la ecuación aX 2 + bx+ C=0 igualdad

a+ con =b, después

Estas propiedades ayudan a resolver cierto tipo de ecuación.

Ejemplo 1: 5001 X 2 –4995 X – 6=0

La suma de los coeficientes es 5001+( – 4995)+(– 6) = 0, entonces

Ejemplo 2: 2501 X 2 +2507 X+6=0

Igualdad a+ con =b, medio

Regularidades de los coeficientes.

1. Si en la ecuación ax 2 + bx + c \u003d 0 el coeficiente "b" es (a 2 +1), y el coeficiente "c" es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son

ax 2 + (a 2 +1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d -a x 2 \u003d -1 / a.

Ejemplo. Considera la ecuación 6x 2 +37x+6 = 0.

x 1 \u003d -6 x 2 \u003d -1/6.

2. Si en la ecuación ax 2 - bx + c \u003d 0, el coeficiente "b" es (a 2 +1), y el coeficiente "c" es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son

ax 2 - (a 2 + 1) ∙ x + a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d 1 / a.

Ejemplo. Considere la ecuación 15x 2 –226x +15 = 0.

x 1 = 15 x 2 = 1/15.

3. Si en la ecuación ax 2 + bx - c = 0 coeficiente "b" es igual a (un 2 – 1), y el coeficiente “c” numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raices son iguales

ax 2 + (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d - a x 2 \u003d 1 / a.

Ejemplo. Considere la ecuación 17x 2 + 288x - 17 = 0.

x 1 \u003d - 17 x 2 \u003d 1/17.

4. Si en la ecuación ax 2 - bx - c \u003d 0, el coeficiente "b" es igual a (a 2 - 1), y el coeficiente c es numéricamente igual al coeficiente "a", entonces sus raíces son

ax 2 - (a 2 -1) ∙ x - a \u003d 0 \u003d\u003e x 1 \u003d a x 2 \u003d - 1 / a.

Ejemplo. Considera la ecuación 10x2 - 99x -10 = 0.

x 1 \u003d 10 x 2 \u003d - 1/10

El teorema de Vieta.

El teorema de Vieta lleva el nombre del famoso matemático francés François Vieta. Usando el teorema de Vieta, uno puede expresar la suma y el producto de las raíces de un KU arbitrario en términos de sus coeficientes.

45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.

En suma, el número 14 da solo 5 y 9. Estas son las raíces. Con cierta habilidad, usando el teorema presentado, puedes resolver muchas ecuaciones cuadráticas inmediatamente de forma oral.

El teorema de Vieta, además. conveniente porque después de resolver la ecuación cuadrática de la forma habitual (mediante el discriminante), se pueden comprobar las raíces resultantes. Recomiendo hacer esto todo el tiempo.

MÉTODO DE TRANSFERENCIA

Con este método, el coeficiente "a" se multiplica por el término libre, como "transferido" a él, por lo que se llama método de transferencia. Este método se usa cuando es fácil encontrar las raíces de una ecuación usando el teorema de Vieta y, lo que es más importante, cuando el discriminante es un cuadrado exacto.

si un a± b+c≠ 0, entonces se utiliza la técnica de transferencia, por ejemplo:

2X 2 – 11x+ 5 = 0 (1) => X 2 – 11x+ 10 = 0 (2)

De acuerdo con el teorema de Vieta en la ecuación (2), es fácil determinar que x 1 \u003d 10 x 2 \u003d 1

Las raíces obtenidas de la ecuación hay que dividirlas por 2 (ya que las dos fueron “lanzadas” de x 2), obtenemos

x 1 \u003d 5 x 2 \u003d 0.5.

¿Cuál es la razón? Mira lo que está pasando.

Los discriminantes de las ecuaciones (1) y (2) son:

Si observa las raíces de las ecuaciones, solo se obtienen diferentes denominadores, y el resultado depende precisamente del coeficiente en x 2:

Las segundas raíces (modificadas) son 2 veces más grandes.

Por lo tanto, dividimos el resultado por 2.

*Si sacamos un trío, dividimos el resultado por 3, y así sucesivamente.

Respuesta: x 1 = 5 x 2 = 0,5

cuadrados ur-ie y el examen.

Diré brevemente sobre su importancia: DEBE PODER DECIDIR rápidamente y sin pensar, necesita saber las fórmulas de las raíces y el discriminante de memoria. Muchas de las tareas que forman parte de las tareas USE se reducen a resolver una ecuación cuadrática (incluidas las geométricas).

¡Qué vale la pena señalar!

1. La forma de la ecuación puede ser "implícita". Por ejemplo, la entrada siguiente es posible:

15+ 9x 2 - 45x = 0 o 15x+42+9x 2 - 45x=0 o 15 -5x+10x 2 = 0.

Debe llevarlo a una forma estándar (para no confundirse al resolver).

2. Recuerde que x es un valor desconocido y puede denotarse con cualquier otra letra: t, q, p, h y otras.