Método de espaciado- esto es manera universal soluciones a casi todas las desigualdades que ocurren en curso escolarálgebra. Se basa en las siguientes propiedades de las funciones:

1. La función continua g(x) puede cambiar de signo solo en el punto donde es igual a 0. Gráficamente, esto significa que la gráfica de una función continua puede moverse de un semiplano a otro solo si cruza la x- eje (recordemos que la ordenada de cualquier punto que se encuentre sobre el eje OX (eje de abscisas) es igual a cero, es decir, el valor de la función en este punto es 0):

Vemos que la función y=g(x) que se muestra en el gráfico cruza el eje OX en los puntos x= -8, x=-2, x=4, x=8. Estos puntos se llaman ceros de la función. Y en los mismos puntos la función g(x) cambia de signo.

2. La función también puede cambiar el signo en ceros del denominador - el ejemplo mas simple característica bien conocida:

Vemos que la función cambia de signo en la raíz del denominador, en el punto , pero no se anula en ningún punto. Así, si la función contiene una fracción, puede cambiar el signo en las raíces del denominador.

2. Sin embargo, la función no siempre cambia de signo en la raíz del numerador o en la raíz del denominador. Por ejemplo, la función y=x 2 no cambia de signo en el punto x=0:

Porque la ecuación x 2 \u003d 0 tiene dos raíces iguales x \u003d 0, en el punto x \u003d 0, la función, por así decirlo, se convierte dos veces en 0. Tal raíz se llama la raíz de la segunda multiplicidad.

Función cambia de signo en el cero del numerador, pero no cambia de signo en el cero del denominador: , ya que la raíz es la raíz de la segunda multiplicidad, es decir, de la multiplicidad par:

¡Importante! En raíces de multiplicidad par, la función no cambia de signo.

¡Nota! Ningún no lineal la desigualdad del curso escolar de álgebra, por regla general, se resuelve utilizando el método de intervalos.

Te ofrezco uno detallado, siguiendo el cual puedes evitar errores cuando resolver desigualdades no lineales.

1. Primero necesitas llevar la desigualdad a la forma

P(x)V0,

donde V es el signo de desigualdad:<,>,≤ o ≥. Para esto necesitas:

a) mover todos los términos al lado izquierdo de la desigualdad,

b) encontrar las raíces de la expresión resultante,

c) factorizar el lado izquierdo de la desigualdad

d) escribir los mismos factores que un grado.

¡Atención! La última acción debe realizarse para no cometer un error con la multiplicidad de las raíces, si el resultado es un factor en incluso grado, por lo que la raíz correspondiente tiene multiplicidad par.

2. Pon las raíces encontradas en la recta numérica.

3. Si la desigualdad es estricta, los círculos que indican las raíces en el eje numérico se dejan "vacíos", si la desigualdad no es estricta, los círculos se tapan con pintura.

4. Seleccionamos las raíces de incluso multiplicidad - en ellas P(x) el signo no cambia.

5. Determina el signo P(x) en el lado derecho de la brecha. Para hacer esto, tome un valor arbitrario x 0, que sea mayor que la raíz más grande y sustituya en P(x).

Si P(x 0)>0 (o ≥0), entonces en el intervalo más a la derecha ponemos el signo "+".

Si P(x0)<0 (или ≤0), то в самом правом промежутке ставим знак "-".

Al pasar por un punto que denota una raíz de multiplicidad par, el signo NO cambia.

7. Una vez más observamos el signo de la desigualdad original y seleccionamos los intervalos del signo que necesitamos.

8. ¡Atención! Si nuestra desigualdad NO ES ESTRICTA, entonces verificamos la condición de igualdad a cero por separado.

9. Escriba la respuesta.

si el original la desigualdad contiene una incógnita en el denominador, luego también trasladamos todos los términos a la izquierda y reducimos el lado izquierdo de la desigualdad a la forma

(donde V es el signo de desigualdad:< или >)

Una desigualdad estricta de este tipo es equivalente a la desigualdad

No estricta una desigualdad de la forma

es equivalente a sistema:

En la práctica, si la función tiene la forma , entonces se procede de la siguiente manera:

1. Encuentra las raíces del numerador y el denominador.
2. Los ponemos en el eje. Todos los círculos se dejan vacíos. Luego, si la desigualdad no es estricta, pintamos sobre las raíces del numerador y siempre dejamos vacías las raíces del denominador.
3. A continuación, seguimos el algoritmo general:
4. Seleccionamos las raíces de multiplicidad par (si el numerador y el denominador contienen las mismas raíces, entonces contamos cuántas veces ocurren las mismas raíces). No hay cambio de signo en raíces de incluso multiplicidad.
5. Descubrimos el signo en el intervalo más a la derecha.
6. Colocamos letreros.
7. En el caso de una desigualdad no estricta, la condición de igualdad, la condición de igualdad a cero, se verifica por separado.
8. Seleccionamos los intervalos necesarios y las raíces permanentes por separado.
9. Anotamos la respuesta.

Para comprender mejor algoritmo para resolver desigualdades por el método del intervalo, mira la VIDEO LECCIÓN en la que se analiza en detalle el ejemplo solución de la desigualdad por el método de los intervalos.

Método de espaciado es un algoritmo especial diseñado para resolver desigualdades complejas de la forma f(x) > 0. El algoritmo consta de 5 pasos:

1. Resuelva la ecuación f(x) = 0. Así, en lugar de una desigualdad, obtenemos una ecuación que es mucho más fácil de resolver;
2. Marque todas las raíces obtenidas en la línea de coordenadas. Así, la línea recta se dividirá en varios intervalos;
3. Encuentra la multiplicidad de las raíces. Si las raíces son de multiplicidad par, entonces dibujamos un bucle sobre la raíz. (La raíz se considera un múltiplo si hay un número par de soluciones idénticas)
4. Encuentra el signo (más o menos) de la función f(x) en el intervalo más a la derecha. Para ello, basta sustituir en f(x) cualquier número que quedará a la derecha de todas las raíces marcadas;
5. Marque los signos en los intervalos restantes, alternándolos.

Después de eso, solo queda escribir los intervalos que nos interesan. Están marcados con un signo "+" si la desigualdad era de la forma f(x) > 0, o con un signo "-" si la desigualdad era de la forma f(x)< 0.

En el caso de desigualdades no estrictas (≤ , ≥), es necesario incluir en los intervalos los puntos que son la solución de la ecuación f(x) = 0;

Ejemplo 1:

Resuelve la desigualdad:

(x - 2)(x + 7)< 0

Trabajamos el método de los intervalos.

Paso 1: reemplaza la desigualdad con una ecuación y resuélvela:

(x - 2)(x + 7) = 0

El producto es igual a cero si y solo si al menos uno de los factores es igual a cero:

x - 2 = 0 => x = 2

x + 7 = 0 => x = -7

Tengo dos raíces.

Paso 2: marca estas raíces en la línea de coordenadas. Tenemos:

Paso 3: encontramos el signo de la función en el intervalo más a la derecha (a la derecha del punto marcado x = 2). Para hacer esto, tome cualquier número que más número x = 2. Por ejemplo, tomemos x = 3 (pero nadie prohíbe tomar x = 4, x = 10 e incluso x = 10,000).

f(x) = (x - 2)(x + 7)

f(3)=(3 - 2)(3 + 7) = 1*10 = 10

Obtenemos que f(3) = 10 > 0 (10 es un número positivo), así que ponemos un signo más en el intervalo más a la derecha.

Paso 4: necesita marcar los signos en los intervalos restantes. Recuerda que al pasar por cada raíz, el signo debe cambiar. Por ejemplo, a la derecha de la raíz x = 2 hay un signo más (nos aseguramos de esto en el paso anterior), por lo que debe haber un signo menos a la izquierda. Este menos se extiende a todo el intervalo (−7; 2), por lo que hay un menos a la derecha de la raíz x = −7. Por lo tanto, hay un más a la izquierda de la raíz x = −7. Queda por marcar estos signos en el eje de coordenadas.

Volvamos a la desigualdad original, que se veía así:

(x - 2)(x + 7)< 0

Entonces la función debe ser menos que cero. Esto significa que estamos interesados ​​en el signo menos, que aparece solo en un intervalo: (−7; 2). Esta será la respuesta.

Ejemplo 2:

Resuelve la desigualdad:

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) ≥ 0

Solución:

Primero necesitas encontrar las raíces de la ecuación.

(9x 2 - 6x + 1)(x - 2) = 0

Colapsemos el primer paréntesis, obtenemos:

(3x - 1) 2 (x - 2) = 0

x - 2 = 0; (3x - 1) 2 = 0

Resolviendo estas ecuaciones obtenemos:

Tracemos los puntos en la recta numérica:

Porque x 2 y x 3 son raíces múltiples, entonces habrá un punto en la línea y encima de ella " el lazo”.

Toma cualquier número menor que el punto más a la izquierda y sustitúyelo en la desigualdad original. Tomemos el número -1.

No olvides incluir la solución de la ecuación (encontrada por X), porque nuestra desigualdad no es estricta.

Responder: () U ∪(3)∪ (el signo no está definido en el intervalo (−6, 4), ya que no forma parte del dominio de la función). Para hacer esto, tome un punto de cada intervalo, por ejemplo, 16, 8, 6 y −8, y calcule el valor de la función f en ellos:

Si tiene alguna pregunta sobre cómo se descubrió cuáles son los valores calculados de la función, positivos o negativos, estudie el material del artículo. comparación de números.

Colocamos los signos que acabamos de definir y aplicamos sombreado sobre los espacios con un signo menos:

En respuesta, anotamos la unión de dos huecos con el signo −, tenemos (−∞, −6]∪(7, 12) . Nótese que −6 está incluido en la respuesta (el punto correspondiente es sólido, no perforado El hecho es que este no es el cero de la función (que, al resolver una desigualdad estricta, no incluiríamos en la respuesta), sino el punto límite del dominio de definición (es coloreado, no negro), mientras que entrando en el dominio de definición. El valor de la función en este punto es negativo (como lo demuestra el signo menos sobre el intervalo correspondiente), es decir, satisface la desigualdad. Pero no es necesario incluir 4 en la respuesta (como así como todo el intervalo ∪(7, 12) .

Bibliografía.

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Primer nivel

método de intervalo. Guía completa (2019)

¡Solo necesita comprender este método y conocerlo como la palma de su mano! Aunque solo sea porque sirve para resolver desigualdades racionales y porque, conociendo bien este método, resolver estas desigualdades es sorprendentemente sencillo. Un poco más adelante te revelaré un par de secretos sobre cómo ahorrar tiempo al resolver estas desigualdades. Bueno, ¿estás intrigado? ¡Entonces vamos!

La esencia del método es factorizar la desigualdad (repita el tema) y determinar la ODZ y el signo de los factores, ahora explicaré todo. Tomemos el ejemplo más simple: .

No es necesario escribir aquí el área de valores admisibles(), ya que no hay división por una variable, y aquí no se observan radicales (raíces). Todo aquí ya está multiplicado para nosotros. ¡Pero no te relajes, todo esto es para recordar lo básico y comprender la esencia!

Suponga que no conoce el método de los intervalos, ¿cómo resolvería esta desigualdad? Sea lógico y construya sobre lo que ya sabe. Primero, el lado izquierdo será mayor que cero si ambas expresiones entre paréntesis son mayores que cero o menores que cero, ya que "Más" sobre "más" hace "más" y "menos" sobre "menos" hace "más", ¿verdad? Y si los signos de las expresiones entre paréntesis son diferentes, al final el lado izquierdo será menor que cero. Pero, ¿qué necesitamos para averiguar aquellos valores para los cuales las expresiones entre paréntesis serán negativas o positivas?

Necesitamos resolver la ecuación, es exactamente igual que la desigualdad, solo que en lugar del signo habrá un signo, las raíces de esta ecuación nos permitirán determinar esos valores límite, desviándonos de los cuales los factores y serán mayores o menos que cero.

Y ahora los intervalos en sí. ¿Qué es un intervalo? Este es un determinado intervalo de la recta numérica, es decir, todos los números posibles encerrados entre dos números: los extremos del intervalo. No es tan fácil imaginar estos espacios en la cabeza, por lo que es costumbre dibujar intervalos, ahora te enseñaré.

Dibujamos un eje, en él se ubica toda la serie numérica desde y hacia. Los puntos se trazan en el eje, los muy llamados ceros de la función, valores en los que la expresión es igual a cero. Estos puntos están "pinchados", lo que significa que no están entre esos valores para los que la desigualdad es verdadera. En este caso, están pinchados. el signo en la desigualdad y no, es decir, estrictamente mayor que y no mayor o igual que.

Quiero decir que no es necesario marcar cero, aquí no tiene círculos, pero sí, para comprender y orientar a lo largo del eje. Bien, se dibujó el eje, se colocaron los puntos (o más bien círculos), entonces, ¿cómo me ayudará esto a resolver? - usted pregunta. Ahora simplemente tome el valor de x de los intervalos en orden y sustitúyalos en su desigualdad y vea cuál será el signo como resultado de la multiplicación.

En resumen, solo tomamos un ejemplo, lo reemplazamos aquí, resultará, lo que significa que en todo el intervalo (en todo el intervalo) desde hasta, desde el cual tomamos, la desigualdad será verdadera. En otras palabras, si x es de a, entonces la desigualdad es verdadera.

Hacemos lo mismo con un intervalo de a, tomar o, por ejemplo, sustituir en, determinar el signo, el signo será "menos". Y hacemos lo mismo con el último, tercer intervalo de a, donde el signo resultará ser "más". Salió un montón de texto, pero hay poca visibilidad, ¿verdad?

Mira de nuevo la desigualdad.

Ahora, en el mismo eje, también aplicamos los signos que serán el resultado. La línea discontinua, en mi ejemplo, denota las secciones positivas y negativas del eje.

Mira la desigualdad - la imagen, otra vez la desigualdad - y otra vez la imagen esta algo claro? Ahora trata de decir en qué intervalos de x, la desigualdad será verdadera. Así es, de a la desigualdad también se cumplirá de a, y en el intervalo de a la desigualdad de cero y este intervalo nos interesa poco, porque tenemos un signo en la desigualdad.

Bueno, ya que lo averiguaste, ¡entonces depende de ti escribir la respuesta! En respuesta, escribimos aquellos intervalos en los que el lado izquierdo es mayor que cero, lo que se lee como X pertenece al intervalo de menos infinito a menos uno y de dos a más infinito. Vale aclarar que los paréntesis significan que los valores que acotan el intervalo no son soluciones a la desigualdad, es decir, no se incluyen en la respuesta, sino que solo dicen que antes, por ejemplo, pero no hay solución.

Ahora un ejemplo en el que tendrás que dibujar no solo el intervalo:

¿Qué crees que se debe hacer antes de poner puntos en el eje? Sí, factorízalo:

Dibujamos intervalos y colocamos signos, notamos los puntos que hemos pinchado, porque el signo es estrictamente menor que cero:

¡Es hora de revelarles un secreto que les prometí al comienzo de este tema! Pero, ¿y si te digo que no puedes sustituir los valores de cada intervalo para determinar el signo, sino que puedes determinar el signo en uno de los intervalos y en el resto simplemente alternar los signos?

Por lo tanto, ahorramos un poco de tiempo al colocar los letreros. ¡Creo que esta vez ganado en el examen no hará daño!

Escribimos la respuesta:

Ahora considere un ejemplo de una desigualdad racional fraccionaria: una desigualdad, cuyas dos partes son expresiones racionales (ver).

¿Qué puedes decir acerca de esta desigualdad? Y lo miras como una ecuación racional fraccionaria, ¿qué hacemos primero? Inmediatamente vemos que no hay raíces, lo que significa que definitivamente es racional, pero luego hay una fracción, ¡e incluso con una incógnita en el denominador!

Así es, ¡ODZ es necesario!

Entonces, vayamos más allá, aquí todos los factores excepto uno tienen una variable de primer grado, pero hay un factor donde x tiene un segundo grado. Por lo general, nuestro signo cambia después de pasar por uno de los puntos en los que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, por lo que determinamos cuál debe ser x en cada factor. Y aquí, por lo que siempre es positivo, porque. cualquier número al cuadrado > cero y un término positivo.

¿Cómo crees que afectará el valor de la desigualdad? Así es, ¡no importa! Podemos dividir con seguridad la desigualdad en ambas partes y, por lo tanto, eliminar este factor para que no nos dañe la vista.

es hora de dibujar intervalos, para esto necesitas determinar esos valores límite, desviándose de los cuales los multiplicadores y serán mayores y menores que cero. Pero presta atención que aquí el signo significa el punto en el que el lado izquierdo de la desigualdad toma valor cero, no lo pincharemos, porque está incluido en el número de soluciones, tenemos uno de esos puntos, este es el punto donde x es igual a uno. ¿Podemos colorear el punto donde el denominador es negativo? - ¡Por supuesto que no!

El denominador no debe ser cero, por lo que el intervalo se verá así:

De acuerdo con este esquema, ya puede escribir fácilmente una respuesta, solo puedo decir que ahora tiene un nuevo tipo de paréntesis a su disposición: ¡cuadrado! Aquí hay un paréntesis [ dice que el valor está en el intervalo de solución, es decir es parte de la respuesta, este paréntesis corresponde a un punto relleno (no perforado) en el eje.

Entonces, ¿obtuviste la misma respuesta?

Factorizamos y transferimos todo en una dirección, porque solo necesitamos dejar el cero a la derecha para poder comparar con él:

Llamo su atención sobre el hecho de que en la última transformación, para entrar tanto en el numerador como en el denominador, multiplico ambas partes de la desigualdad por. ¡Recuerda que cuando multiplicas ambos lados de la desigualdad por, el signo de la desigualdad se invierte!

Escribimos ODZ:

De lo contrario, el denominador se convertirá en cero y, como recordarás, ¡no puedes dividir por cero!

De acuerdo, en la desigualdad resultante es tentador reducir el numerador y el denominador. ¡No puedes hacer esto, puedes perder algunas de las decisiones o ODZ!

Ahora intente poner puntos en el eje usted mismo. Solo señalaré que al dibujar puntos, debe prestar atención al hecho de que un punto con un valor que, según el signo, parece que debería dibujarse en el eje como se llena, no se llenará , será perforado! ¿Por qué preguntarte? ¿Y recuerdas ODZ, no vas a dividir por cero así?

Recuerda, ¡ODZ está por encima de todo! Si todas las desigualdades y los signos de igualdad dicen una cosa, y la ODZ dice otra, ¡confíe en la ODZ, grande y poderosa! Bueno, construiste los intervalos, estoy seguro de que tomaste mi consejo sobre la alternancia y lo obtuviste así (ver la imagen a continuación) ¡Ahora táchalo y no vuelvas a repetir este error! ¿Qué error? - usted pregunta.

El caso es que en esta desigualdad el factor se repetía dos veces (¿recuerdas cómo todavía intentaste reducirlo?). Entonces, si algún factor se repite en la desigualdad un número par de veces, entonces al pasar por un punto del eje que convierte este factor a cero (en este caso, un punto), el signo no cambiará, si es impar, entonces el signo cambia!

El siguiente eje con intervalos y signos será correcto:

Y, tenga en cuenta que no estamos interesados ​​en el signo que estaba al principio (cuando acabamos de ver la desigualdad, el signo era), después de las transformaciones, el signo cambió a, lo que significa que estamos interesados ​​en las lagunas con el signo .

Responder:

También diré que hay situaciones en las que hay raíces de desigualdad que no están incluidas en ningún hueco, en respuesta se escriben entre llaves, así, por ejemplo:. Puede leer más sobre este tipo de situaciones en el artículo Nivel Intermedio.

Resumamos cómo resolver desigualdades usando el método de intervalo:

1. Transferimos todo al lado izquierdo, a la derecha dejamos solo cero;
2. Encontramos ODZ;
3. Ponemos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
4. Tomamos una arbitraria de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos prestando atención a las raíces que se repiten varias veces en la desigualdad, depende del número par o impar de tiempos de su repetición, ya sea que el signo cambie al pasar por ellos o no;
5. En respuesta, escribimos los intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.

Y por último, nuestra sección favorita, ¡"hazlo tú mismo"!

Ejemplos:

Respuestas:

MÉTODO DE INTERVALO. NIVEL PROMEDIO

Función lineal

Una función de la forma se llama lineal. Tomemos una función como ejemplo. Es positivo en y negativo en. El punto es el cero de la función (). Mostremos los signos de esta función en el eje real:

Decimos que "la función cambia de signo al pasar por un punto".

Se puede ver que los signos de la función corresponden a la posición de la gráfica de la función: si la gráfica está arriba del eje, el signo es “ ”, si está abajo - “ ”.

Si generalizamos la regla resultante a una función lineal arbitraria, obtenemos el siguiente algoritmo:

• Encontramos el cero de la función;
• Lo marcamos en el eje numérico;
• Determinamos el signo de la función en lados opuestos de cero.

función cuadrática

Espero que recuerdes cómo se resuelven las desigualdades cuadráticas. Si no, lee el hilo. Déjame recordarte la forma general de una función cuadrática: .

Ahora recordemos que signos lleva función cuadrática. Su gráfica es una parábola, y la función toma el signo “ ” para aquellas en las que la parábola está por encima del eje, y “ ” - si la parábola está por debajo del eje:

Si la función tiene ceros (valores en los cuales), la parábola se cruza con el eje en dos puntos: las raíces de la ecuación cuadrática correspondiente. Así, el eje se divide en tres intervalos, y los signos de la función cambian alternativamente al pasar por cada raíz.

¿Es posible determinar de alguna manera los signos sin dibujar una parábola cada vez?

Recuerda que el trinomio cuadrado se puede factorizar:

Por ejemplo: .

Tenga en cuenta las raíces en el eje:

Recordemos que el signo de una función solo puede cambiar al pasar por la raíz. Usamos este hecho: para cada uno de los tres intervalos en los que el eje está dividido por raíces, es suficiente determinar el signo de la función solo en un punto elegido arbitrariamente: en los otros puntos del intervalo, el signo será el mismo.

En nuestro ejemplo: porque ambas expresiones entre paréntesis son positivas (las sustituimos, por ejemplo:). Ponemos el signo "" en el eje:

Bueno, si (sustituir, por ejemplo) ambos paréntesis son negativos, entonces el producto es positivo:

Eso es lo que es método de intervalo: conociendo los signos de los factores en cada intervalo, determinamos el signo de todo el producto.

Consideremos también casos en los que la función no tiene ceros, o es solo uno.

Si no hay ninguno, entonces no hay raíces. Esto significa que no habrá “paso por la raíz”. Esto significa que la función en todo el eje numérico toma solo un signo. Es fácil de determinar sustituyéndolo en una función.

Si solo hay una raíz, la parábola toca el eje, por lo que el signo de la función no cambia al pasar por la raíz. ¿Cuál es la regla para tales situaciones?

Si factorizamos tal función, obtenemos dos factores idénticos:

¡Y cualquier expresión al cuadrado es no negativa! Por lo tanto, el signo de la función no cambia. En tales casos, seleccionaremos la raíz, al pasar por la cual el signo no cambia, rodeándola con un cuadrado:

Tal raíz se llamará múltiplo.

El método de los intervalos en las desigualdades

Ahora cualquier desigualdad cuadrática se puede resolver sin dibujar una parábola. Basta con colocar los signos de la función cuadrática en el eje y elegir los intervalos según el signo de la desigualdad. Por ejemplo:

Medimos las raíces en el eje y organizamos los signos:

Necesitamos la parte del eje con el signo ""; como la desigualdad no es estricta, las propias raíces también se incluyen en la solución:

Ahora considere una desigualdad racional - una desigualdad, cuyas dos partes son expresiones racionales (ver).

Ejemplo:

Todos los factores excepto uno - aquí son "lineales", es decir, contienen una variable solo en primer grado. Necesitamos dichos factores lineales para aplicar el método de intervalo: el signo cambia al pasar por sus raíces. Pero el multiplicador no tiene raíces en absoluto. Esto significa que siempre es positivo (compruébalo tú mismo), y por lo tanto no afecta el signo de toda la desigualdad. Esto significa que puedes dividir los lados izquierdo y derecho de la desigualdad en ella y así deshacerte de ella:

Ahora todo es igual que con las desigualdades cuadráticas: determinamos en qué puntos desaparece cada uno de los factores, marcamos estos puntos en el eje y ordenamos los signos. Llamo su atención sobre un hecho muy importante:

Responder: . Ejemplo: .

Para aplicar el método del intervalo, es necesario que en una de las partes de la desigualdad se haya. Por lo tanto, movemos el lado derecho hacia el izquierdo:

El numerador y el denominador tienen el mismo factor, ¡pero no tenemos prisa por reducirlo! Después de todo, entonces podemos olvidarnos de resaltar este punto. Es mejor marcar esta raíz como un múltiplo, es decir, al pasar por ella, el signo no cambiará:

Responder: .

Y otro ejemplo muy ilustrativo:

Nuevamente, no reducimos los mismos factores del numerador y el denominador, porque si reducimos, tendremos que recordar específicamente que necesitamos hacer un punto.

• : veces repetidas;
• : tiempos;
• : veces (en el numerador y uno en el denominador).

En el caso de un número par, se procede de la misma forma que antes: rodeamos el punto con un cuadrado y no cambiamos de signo al pasar por la raíz. Pero en el caso de un número impar, esta regla no se cumple: el signo seguirá cambiando al pasar por la raíz. Por lo tanto, no hacemos nada adicional con tal raíz, como si no fuera un múltiplo de nosotros. Las reglas anteriores se aplican a todas las potencias pares e impares.

¿Qué escribimos en la respuesta?

Si se viola la alternancia de signos, debe tener mucho cuidado, porque con desigualdad no estricta, la respuesta debe incluir todos los puntos llenos. Pero algunos de ellos a menudo están solos, es decir, no ingresan al área sombreada. En este caso, los agregamos a la respuesta como puntos aislados (entre llaves):

Ejemplos (decide por ti mismo):

Respuestas:

1. Si entre los factores es simple, esta es la raíz, porque se puede representar como.
   .

MÉTODO DE INTERVALO. BREVEMENTE SOBRE LOS PRINCIPALES

El método del intervalo se utiliza para resolver desigualdades racionales. Consiste en determinar el signo del producto a partir de los signos de los factores en diferentes intervalos.

Algoritmo para resolver desigualdades racionales por el método del intervalo.

• Transferimos todo al lado izquierdo, a la derecha dejamos solo cero;
• Encontramos ODZ;
• Ponemos en el eje todas las raíces de la desigualdad;
• Tomamos una arbitraria de uno de los intervalos y determinamos el signo en el intervalo al que pertenece la raíz, alternamos los signos prestando atención a las raíces que se repiten varias veces en la desigualdad, depende del número par o impar de tiempos de su repetición, ya sea que el signo cambie al pasar por ellos o no;
• En respuesta, escribimos los intervalos, observando los puntos perforados y no perforados (ver ODZ), colocando los tipos de corchetes necesarios entre ellos.

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