Casa Árboles frutales Gráfica de una función y raíz de x 2. Función de potencia y raíces: definición, propiedades y fórmulas

Árboles frutales

Gráfica de una función y raíz de x 2. Función de potencia y raíces: definición, propiedades y fórmulas

Octavo grado

Maestra: Melnikova T.V.

Objetivos de la lección:

Equipo:

Computadora, pizarra interactiva, Repartir.

Presentación de la lección.

DURANTE LAS CLASES

Plan de estudios.

discurso de apertura profesores.

Repetición de material previamente estudiado.

Aprendizaje de material nuevo (trabajo en grupo).

Estudio de funciones. Propiedades gráficas.

Discusión del horario (trabajo frontal).

Un juego de cartas matemáticas.

Resumen de la lección.

I. Actualización de conocimientos básicos.

Saludos de la profesora.

Maestro :

La dependencia de una variable de otra se llama función. Hasta ahora, ha aprendido las funciones y = kx + b; y = k / x, y = x 2. Hoy continuaremos explorando las funciones. En la lección de hoy, aprenderá cómo se ve una gráfica de función. raíz cuadrada, aprenda a graficar funciones de raíz cuadrada usted mismo.

Escribe el tema de la lección. (diapositiva 1).

2. Repetición del material estudiado.

1. ¿Cuáles son los nombres de las funciones dadas por las fórmulas:

a) y = 2x + 3; b) y = 5 / x; c) y = -1 / 2x + 4; d) y = 2x; e) y = -6 / x f) y = x 2?

2. ¿Cuál es su horario? ¿Cómo se encuentra? Especifique el alcance y el alcance de cada una de estas funciones ( en la Fig. se muestran gráficos de funciones especificadas por estas fórmulas, para cada función indique su tipo) (diapositiva2).

3. ¿Cuál es la gráfica de cada función, cómo se construyen estas gráficas?

(diapositiva 3, los gráficos de funciones se construyen esquemáticamente).

3. Aprendizaje de material nuevo.

Maestro:

Entonces, hoy estamos estudiando la función
y su horario.

Sabemos que la gráfica de la función y = x 2 es una parábola. ¿Cuál será la gráfica de la función y = x 2, si tomamos solo x ≥ 0? Parte de la parábola es su rama derecha. Tracemos ahora la función
.

Repitamos el algoritmo para trazar las gráficas de funciones ( diapositiva 4, con algoritmo)

Pregunta : Como piensa, mirando el registro analítico de la función, puede decir qué valores NS¿aceptable? (Sí, x≥0). Dado que la expresión
tiene sentido para todo x mayor o igual a 0.

Maestro: En los fenómenos naturales, en actividad humana a menudo hay dependencias entre dos cantidades. ¿Qué gráfico se puede utilizar para representar esta dependencia? ( trabajo en equipo)

La clase se divide en grupos. Cada grupo tiene la tarea de trazar un gráfico de funciones.
en papel cuadriculado, realizando todos los puntos del algoritmo. Luego sale un representante de cada grupo y muestra el trabajo del grupo. (Se abre la diapositiva 5, se está verificando, luego el gráfico se construye en los cuadernos)

4. Investigación de la función (continúa el trabajo en grupo)

Maestro:

encontrar el alcance de la función;

encuentre el rango del valor de la función;

determinar los intervalos de disminución (aumento) de la función;

y> 0, y<0.

Anotemos los resultados (diapositiva 6).

Maestro: Analicemos el gráfico. La gráfica de la función es una rama de una parábola.

Pregunta : Dime, ¿has cumplido con este horario en alguna parte antes?

Mira la gráfica y dime si cruza la línea OX. (No)¿UNED? (No)... Mira la gráfica y dime si la gráfica tiene un centro de simetría. ¿Eje de simetria?

Resumamos:

Ahora creamos cómo aprendimos un tema nuevo y repetimos el material que cubrimos. Jugando cartas matemáticas. (Reglas del juego: a cada grupo de 5 personas se le ofrece un juego de cartas (25 cartas). Cada jugador recibe 5 cartas en las que están escritas las preguntas. El primer alumno entrega una de las cartas al segundo alumno, quién debe responder la pregunta de la tarjeta. Si el estudiante responde la pregunta, entonces la tarjeta es un poco, si no, entonces el estudiante toma la tarjeta para sí mismo y da el movimiento, etc. solo 5 movimientos. 2 tarjetas - puntaje 3 , 3 cartas - puntuación - 2)

5. Resumen de la lección.(los estudiantes se califican de acuerdo con las listas de verificación)

Cosas del hogar.

Tema de estudio 8.

Resuelve No. 172, No. 179, No. 183.

Elaborar mensajes sobre el tema “Aplicación de la función en diversos campos de la ciencia y la literatura”.

Reflexión.

Muestre su estado de ánimo con imágenes en su mesa.

Lección de hoy

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Material de la lección I ( entendido, no entendido).

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Se presentan las principales propiedades de la función potencia, incluidas las fórmulas y propiedades de las raíces. Se presentan la derivada, la integral, la expansión de series de potencias y la representación mediante números complejos de una función de potencias.

Definición

Definición
Función de potencia con exponente p es la función f (x) = x p, cuyo valor en el punto x es igual al valor de la función exponencial con la base x en el punto p.
Además, f (0) = 0 p = 0 para p> 0 .

Para valores naturales del exponente, la función de potencia es el producto de n números iguales ax:
.
Está definido para todos los válidos.

Para valores racionales positivos del exponente, la función exponencial es el producto de n raíces de grado m del número x:
.
Para m impar, se define para todo x real. Incluso para m, la función de potencia se define para las no negativas.

Para los negativos, la función exponencial está determinada por la fórmula:
.
Por lo tanto, no está definido en el punto.

Para valores irracionales del exponente p, la función de potencia está determinada por la fórmula:
,
donde a es un número positivo arbitrario, no igual a uno :.
Cuando, se define para.
Para, la función de potencia se define para.

Continuidad... La función de potencia es continua en su dominio de definición.

Propiedades y fórmulas de una función de potencia para x ≥ 0

Aquí consideramos las propiedades de la función de potencia para no valores negativos argumento x. Como se indicó anteriormente, para algunos valores del exponente p, la función de potencia también se define para valores negativos de x. En este caso, sus propiedades se pueden obtener de las propiedades en, utilizando paridad par o impar. Estos casos se comentan en detalle y se ilustran en la página "".

La función de potencia, y = x p, con exponente p tiene las siguientes propiedades:
(1.1) está definido y es continuo en el plató
a ,
a ;
(1.2) tiene muchos significados
a ,
a ;
(1.3) estrictamente aumenta en,
estrictamente disminuye en;
(1.4) a ;
a ;
(1.5) ;
(1.5*) ;
(1.6) ;
(1.7) ;
(1.7*) ;
(1.8) ;
(1.9) .

La prueba de propiedades se da en la página "Función de potencia (prueba de continuidad y propiedades)"

Raíces - definición, fórmulas, propiedades

Definición
Raíz de x grado n es el número elevado a la potencia n da x:
.
Aquí n = 2, 3, 4, ... - número natural mayor que uno.

También puede decir que la raíz n-ésima de x es la raíz (es decir, la solución) de la ecuación
.
Tenga en cuenta que la función es la inversa de la función.

Raíz cuadrada de x es la raíz del poder 2 :.

Raíz cúbica del número x es la raíz del poder 3 :.

Incluso grado

Para grados pares n = 2 m, la raíz se define para x ≥ 0 ... A menudo se usa una fórmula que es válida tanto para x positivo como negativo:
.
Para la raíz cuadrada:
.

El orden en el que se realizan las operaciones es importante aquí, es decir, primero se realiza el cuadrado, como resultado de lo cual se obtiene un número no negativo, y luego se extrae la raíz de él (puede extraer la raíz cuadrada de un número no negativo). Si cambiamos el orden de :, entonces para x negativo la raíz estaría indefinida, y junto con ella toda la expresión no estaría definida.

Grado impar

Para potencias impares, la raíz se define para todo x:
;
.

Propiedades y fórmulas de las raíces

La raíz de x es una función de potencia:
.
Para x ≥ 0 las siguientes fórmulas son válidas:
;
;
, ;
.

Estas fórmulas también se pueden aplicar con valores negativos de las variables. Solo debe asegurarse de que la expresión radical de grados pares no sea negativa.

Valores privados

La raíz de 0 es 0 :.
La raíz de 1 es 1 :.
La raíz cuadrada de 0 es 0 :.
La raíz cuadrada de 1 es 1 :.

Ejemplo. Raíz de raíz

Considere un ejemplo de raíz cuadrada de raíces:
.
Convierta la raíz cuadrada interior usando las fórmulas anteriores:
.
Ahora transformemos la raíz original:
.
Entonces,
.

y = x p para diferentes valores del exponente p.

Aquí están las gráficas de la función para valores no negativos del argumento x. Las gráficas de la función de potencia definidas para valores x negativos se dan en la página "Función de potencia, sus propiedades y gráficas".

Función inversa

La inversa de una función de potencia con exponente p es una función de potencia con exponente 1 / p.

Si, entonces.

Derivada de una función de potencia

Derivada de enésimo orden:
;

Derivación de fórmulas >>>

Integral de la función de potencia

P ≠ - 1 ;
.

Expansión de la serie Power

A - 1 < x < 1 tiene lugar la siguiente descomposición:

Expresiones en términos de números complejos

Considere una función de una variable compleja z:
F (z) = z t.
Expresemos la variable compleja z en términos del módulo r y el argumento φ (r = | z |):
z = r e yo φ.
Representamos el número complejo t en forma de partes reales e imaginarias:
t = p + yo q.
Tenemos:

Además, tendremos en cuenta que el argumento φ no está definido de forma única:
,

Considere el caso cuando q = 0 , es decir, el exponente es un número real, t = p. Luego
.

Si p es un número entero, entonces kp también es un número entero. Entonces, debido a la periodicidad de las funciones trigonométricas:
.
Es decir funcion exponencial para un exponente entero, para una z dada, tiene un solo valor y, por lo tanto, no es ambiguo.

Si p es irracional, entonces los productos de kp no dan un número entero para ningún k. Dado que k pasa por una serie infinita de valores k = 0, 1, 2, 3, ..., entonces la función z p tiene un número infinito de valores. Siempre que el argumento z se incremente 2 π(un turno), pasamos a una nueva rama de la función.

Si p es racional, entonces se puede representar como:
, donde m, n- números enteros que no contienen divisores comunes. Luego
.
Las primeras n cantidades, para k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1 dado diferentes significados kp:
.
Sin embargo, los valores posteriores dan valores que difieren de los anteriores en un número entero. Por ejemplo, para k = k 0 + n tenemos:
.
Funciones trigonométricas cuyos argumentos difieren en múltiplos 2 π, tienen significados iguales. Por lo tanto, con un aumento adicional de k, obtenemos los mismos valores de z p que para k = k 0 = 0, 1, 2, ... n-1.

Por lo tanto, una función exponencial con un exponente racional tiene varios valores y tiene n valores (ramas). Siempre que el argumento z se incremente 2 π(un turno), pasamos a una nueva rama de la función. Después de n tales revoluciones, volvemos a la primera rama desde la que comenzó el conteo.

En particular, una raíz de grado n tiene n valores. Como ejemplo, considere la raíz n-ésima de un número real positivo z = x. En este caso φ 0 = 0, z = r = | z | = x, .
.
Entonces, para una raíz cuadrada, n = 2 ,
.
Para incluso k, (- 1) k = 1... Para k impar, (- 1) k = - 1.
Es decir, la raíz cuadrada tiene dos significados: + y -.

Referencias:
EN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes de instituciones técnicas, "Lan", 2009.

Lección y presentación sobre el tema: "Gráfica de la función raíz cuadrada. Dominio y trazado"

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Gráfico de función de raíz cuadrada

Chicos, ya nos hemos encontrado con la construcción de gráficos de funciones, y más de una vez. Construimos sets funciones lineales y parábolas. En general, es conveniente escribir cualquier función como $ y = f (x) $. Esta es una ecuación de dos variables: para cada valor de x, obtenemos y. Después de realizar alguna operación dada f, mapeamos el conjunto de todos los posibles x al conjunto y. Como función f, podemos escribir casi cualquier operacion matematica.

Por lo general, al construir gráficas de funciones, usamos una tabla en la que escribimos los valores de x e y. Por ejemplo, para la función $ y = 5x ^ 2 $ es conveniente utilizar la siguiente tabla: Marque los puntos obtenidos en el sistema de coordenadas cartesianas y conéctelos cuidadosamente con una curva suave. Nuestra función es ilimitada. Solo con estos puntos podemos sustituir absolutamente cualquier valor de x de un dominio de definición dado, es decir, aquellos x para los que la expresión tiene sentido.

En una de las lecciones pasadas, aprendimos nueva operación extracción de la raíz cuadrada. Surge la pregunta, ¿podemos, usando esta operación, establecer alguna función y trazar su gráfica? Usaremos vista general función $ y = f (x) $. Dejaremos y y x en su lugar, y en lugar de f introducimos la operación de la raíz cuadrada: $ y = \ sqrt (x) $.
Conociendo la operación matemática, pudimos definir una función.

Trazar una función de raíz cuadrada

Grafiquemos esta función. Basándonos en la definición de raíz cuadrada, podemos calcularla solo a partir de números no negativos, es decir, $ x≥0 $.
Hagamos una mesa:

Marquemos nuestros puntos en el plano de coordenadas.

Nos queda por conectar cuidadosamente los puntos resultantes.

Chicos, presten atención: si la gráfica de nuestra función se gira hacia un lado, obtenemos la rama izquierda de la parábola. De hecho, si las líneas de la tabla de valores se intercambian (la línea superior con la inferior), obtenemos valores solo para una parábola.

Dominio de funciones $ y = \ sqrt (x) $

Usando el gráfico de funciones, las propiedades son bastante simples de describir.
1. Dominio de la definición: $$.
b) $$.

Solución.
Podemos resolver nuestro ejemplo de dos formas. Describiremos diferentes formas en cada letra.

A) Regresemos al gráfico de la función construida arriba y marquemos los puntos requeridos del segmento. Se ve claramente que para $ x = 9 $ la función es mayor que todos los demás valores. Significa que ambos mayor importancia llega a este punto. Para $ x = 4 $, el valor de la función es menor que todos los demás puntos, lo que significa que hay valor más pequeño.

$ y_ (naib) = \ sqrt (9) = 3 $, $ y_ (naim) = \ sqrt (4) = 2 $.

B) Sabemos que nuestra función va en aumento. Esto significa que cada valor mayor del argumento corresponde a un valor mayor de la función. Los valores más altos y más bajos se alcanzan al final del segmento:

$ y_ (naib) = \ sqrt (11) $, $ y_ (naim) = \ sqrt (2) $.

Ejemplo 2.
Resuelve la ecuación:

$ \ sqrt (x) = 12-x $.

Solución.
La forma más sencilla es trazar dos gráficos de una función y encontrar su punto de intersección.

El punto de intersección con las coordenadas $ (9; 3) $ es claramente visible en el gráfico. Entonces, $ x = 9 $ es la solución a nuestra ecuación.
Respuesta: $ x = $ 9.

Chicos, ¿podemos estar seguros de que este ejemplo no tiene más soluciones? Una de las funciones aumenta, la otra disminuye. EN caso general, o no tienen puntos en común, o se cruzan solo en uno.

Ejemplo 3.

Trace y lea una gráfica de función:

$ \ begin (casos) -x, x 9. \ end (casos) $

Necesitamos construir tres gráficos privados de la función, cada uno en su propio intervalo.

Describamos las propiedades de nuestra función:
1. Dominio de definición: $ (- ∞; + ∞) $.
2. $ y = 0 $ para $ x = 0 $ y $ x = 12 $; $ y> 0 $ para $ xϵ (-∞; 12) $; $ y 3. La función disminuye en los segmentos $ (- ∞; 0) U (9; + ∞) $. La función aumenta en el segmento $ (0; 9) $.
4. La función es continua en toda el área de definición.
5. No existe un valor más alto o más bajo.
6. Rango de valores: $ (- ∞; + ∞) $.

Tareas para una solución independiente

1. Encuentre el valor más grande y más pequeño de la función raíz cuadrada en el segmento:
a) $$;
b) $$.
2. Resuelve la ecuación: $ \ sqrt (x) = 30-x $.
3. Construya y lea la gráfica de la función: $ \ begin (cases) 2-x, x 4. \ end (cases) $
4. Construya y lea la gráfica de la función: $ y = \ sqrt (-x) $.

Institución educativa municipal

promedio escuela comprensiva №1

Arte. Bryukhovetskaya

municipio Distrito de Bryukhovetsky

Profesor de matemática

Guchenko Angela Viktorovna

año 2014

Función y =
, sus propiedades y gráfico

Tipo de lección: aprendiendo material nuevo

Objetivos de la lección:

Tareas resueltas en la lección:

enseñar a los estudiantes a trabajar de forma independiente;

hacer suposiciones y conjeturas;

Ser capaz de generalizar los factores estudiados.

Equipo: pizarra, tiza, proyector multimedia, folletos

Duración de la lección.

Determinar el tema de la lección junto con los estudiantes -1 minuto.

Determinar las metas y los objetivos de la lección junto con los estudiantes.1 minuto.

Actualización de conocimientos ( encuesta frontal) – 3 min.

Trabajo oral -3 min.

Explicación del nuevo material basado en la creación de situaciones problemáticas -7min.

Minuto físico -2 minutos.

Trazar un gráfico junto con la clase con el diseño de la construcción en cuadernos y la definición de las propiedades de la función, trabajando con el libro de texto -10 minutos.

Consolidación de los conocimientos adquiridos y desarrollo de habilidades de transformación de grafos -9min .

Resumiendo la lección, estableciendo realimentación – 3 min.

Tarea -1 minuto.

Total 40 minutos.

Durante las clases.

Determinación del tema de la lección junto con los alumnos (1 min).

El tema de la lección lo determinan los estudiantes utilizando preguntas principales:

función- trabajo realizado por un órgano, un organismo en su conjunto.

función- posibilidad, opción, habilidad del programa o dispositivo.

función- deber, variedad de actividades.

función personaje en una obra literaria.

función- especie de subrutina en informática

función en matemáticas, la ley de dependencia de una cantidad de otra.

Determinación de las metas y objetivos de la lección junto con los alumnos (1min).

El maestro, con la ayuda de los estudiantes, formula y articula las metas y objetivos de esta lección.

Actualización de conocimientos (encuesta frontal - 3 min).

Trabajo oral - 3 min.

Trabajo frontal.

(A y B pertenecen, C no)

Explicación del nuevo material (basado en la creación de situaciones problemáticas - 7 min).

Situación problemática: describir las propiedades de una función desconocida.

Divida la clase en equipos de 4-5 personas, distribuya formularios para responder a las preguntas

Formulario No. 1

y = 0, en x =?

Área de definición de funciones.

El conjunto de valores de función.

Cada pregunta es respondida por uno de los representantes del equipo, el resto de equipos votan "a favor" o "en contra" con tarjetas de señales y, si es necesario, complementan las respuestas de los compañeros.

Junto con la clase, saque una conclusión sobre el dominio de definición, el conjunto de valores, los ceros de la función y =.

Situación problemática : intente graficar una función desconocida (hay una discusión en equipos, busque una solución).

Con el maestro, recuerdo el algoritmo para trazar las gráficas de funciones. Los estudiantes usan equipos para tratar de trazar la función y = en los formularios, luego intercambian los formularios entre sí para realizar una autocomprobación y una verificación cruzada.

Fizminutka (payasadas)

Elaboración de una gráfica junto con la clase con el diseño del edificio en cuadernos - 10 min.

Después de una discusión general, la tarea de construir una gráfica de la función y = se realiza individualmente por cada estudiante en un cuaderno. El maestro en este momento brinda asistencia diferenciada a los estudiantes. Una vez que los estudiantes completan la tarea, se muestra una gráfica de función en la pizarra y se les pide que respondan a siguientes preguntas:

Conclusión: Junto con los alumnos, saquen de nuevo la conclusión sobre las propiedades de la función y léanlas según el libro de texto:

Consolidación de los conocimientos adquiridos y desarrollo de las habilidades de transformación del horario - 9 min.

Los estudiantes trabajan de acuerdo con su tarjeta (de acuerdo con las opciones), luego se cambian y se revisan entre sí. Después de eso, se muestran gráficos en la pizarra y los estudiantes evalúan su trabajo comparándolo con la pizarra.

Tarjeta número 1