El concepto de función numérica. Formas de configurar una función. Propiedades de la función.
Una función numérica es una función que actúa de un espacio numérico (conjunto) a otro espacio numérico (conjunto).
Hay tres formas principales de definir una función: analítica, tabular y gráfica.
1. Analítico.
El método de especificar una función usando una fórmula se llama analítico. Este método es el principal en el tapete. análisis, pero en la práctica no es conveniente.
2. Manera tabular de establecer la función.
Una función se puede definir usando una tabla que contiene los valores de los argumentos y sus valores de función correspondientes.
3. forma gráfica asignaciones de funciones.
La función y \u003d f (x) se llama dada gráficamente si se construye su gráfico. Este método de configuración de la función permite determinar los valores de la función solo aproximadamente, ya que la construcción de un gráfico y la búsqueda de los valores de la función en él están asociadas con errores.
Propiedades de una función que hay que tener en cuenta a la hora de trazar su gráfica:
1) Región definiciones de funciones.
Alcance de la función, es decir, aquellos valores que puede tomar el argumento x de la función F=y(x).
2) Intervalos de funciones crecientes y decrecientes.
La función se llama creciente en el intervalo considerado, si mayor valor argumento corresponde al valor mayor de la función y(x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo en consideración, y x 1 > x 2, entonces y (x 1) > y (x 2).
La función se llama decreciente en el intervalo considerado, si el valor mayor del argumento corresponde al valor menor de la función y(x). Esto significa que si se toman dos argumentos arbitrarios x 1 y x 2 del intervalo considerado, y x 1< х 2 , то у(х 1) < у(х 2).
3) Función ceros.
Los puntos en los que la función F \u003d y (x) se cruzan con el eje de abscisas (se obtienen resolviendo la ecuación y (x) \u003d 0) y se denominan ceros de la función.
4) Funciones pares e impares.
La función se llama par, si para todos los valores del argumento de dominios
y(-x) = y(x).
Calendario incluso función simétrica respecto al eje y.
La función se llama impar., si para todos los valores del argumento del alcance
y(-x) = -y(x).
La gráfica de una función par es simétrica con respecto al origen.
Muchas funciones no son ni pares ni impares.
5) Periodicidad de la función.
La función se llama periódica, si existe un número P tal que para todos los valores del argumento del dominio de definición
y(x + P) = y(x).
Función lineal, sus propiedades y gráfica.
Una función lineal es una función de la forma y = kx + b, definido en el conjunto de todos los números reales.
k– factor de pendiente (número real)
b– término libre (número real)
X es una variable independiente.
· En un caso particular, si k = 0, obtenemos una función constante y = b, cuya gráfica es una recta paralela al eje Ox, que pasa por el punto de coordenadas (0; b).
· Si b = 0, entonces obtenemos la función y = kx, que es una proporcionalidad directa.
o sentido geométrico el coeficiente b es la longitud del segmento que corta la recta a lo largo del eje Oy, contando desde el origen.
o El significado geométrico del coeficiente k es el ángulo de inclinación de la recta al sentido positivo del eje Ox, se considera en sentido antihorario.
Propiedades de la función lineal:
1) El dominio de definición de una función lineal es todo el eje real;
2) Si k ≠ 0, entonces el rango de la función lineal es todo el eje real.
Si k = 0, entonces el rango de la función lineal consiste en el número b;
3) La paridad y la imparidad de una función lineal dependen de los valores de los coeficientes k y b.
a) b ≠ 0, k = 0, por lo tanto, y = b es par;
b) b = 0, k ≠ 0, luego y = kx es impar;
c) b ≠ 0, k ≠ 0, luego y = kx + b es una función vista general;
d) b = 0, k = 0, por lo que y = 0 es tanto una función par como impar.
4) La función lineal no tiene la propiedad de periodicidad;
5) Puntos de intersección con ejes de coordenadas:
Ox: y \u003d kx + b \u003d 0, x \u003d -b / k, por lo tanto (-b / k; 0) es el punto de intersección con el eje de abscisas.
Oy: y = 0k + b = b, por lo tanto (0; b) es el punto de intersección con el eje y.
Comentario. Si b = 0 yk = 0, entonces la función y = 0 se anula para cualquier valor de x. Si b ≠ 0 y k = 0, entonces la función y = b no se anula para ningún valor de la variable x.
6) Los intervalos de constancia de signo dependen del coeficiente k.
a) k > 0; kx + b > 0, kx > -b, x > -b/k.
y = kx + b es positivo para x de (-b/k; +∞),
y = kx + b es negativo para x de (-∞; -b/k).
b) k< 0; kx + b < 0, kx < -b, x < -b/k.
y = kx + b es positivo para x de (-∞; -b/k),
y = kx + b es negativo para x de (-b/k; +∞).
c) k = 0, b > 0; y = kx + b es positivo en todo el dominio,
k = 0, segundo< 0; y = kx + b отрицательна на всей области определения.
7) Los intervalos de monotonicidad de una función lineal dependen del coeficiente k.
k > 0, por lo que y = kx + b aumenta en todo el dominio,
k< 0, следовательно y = kx + b убывает на всей области определения.
11. Función y \u003d ax 2 + bx + c, sus propiedades y gráfico.
| La función y \u003d ax 2 + bx + c (a, b, c son valores constantes, a ≠ 0) se llama cuadrático. En el caso más simple, y \u003d ax 2 (b \u003d c \u003d 0), el gráfico es una línea curva que pasa por el origen. La curva que sirve como gráfico de la función y \u003d ax 2 es una parábola. Toda parábola tiene un eje de simetría llamado eje de la parábola. El punto O de la intersección de la parábola con su eje se llama parte superior de la parábola. |
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| El gráfico se puede construir de acuerdo con el siguiente esquema: 1) Encuentre las coordenadas de la parte superior de la parábola x 0 = -b/2a; y 0 \u003d y (x 0). 2) Construimos unos puntos más que pertenecen a la parábola, al construir, puedes usar las simetrías de la parábola con respecto a la recta x = -b/2a. 3) Conectamos los puntos indicados con una línea suave. Ejemplo. Construya un gráfico de la función en \u003d x 2 + 2x - 3. Soluciones. La gráfica de la función es una parábola cuyas ramas están dirigidas hacia arriba. La abscisa de la parte superior de la parábola x 0 \u003d 2 / (2 ∙ 1) \u003d -1, sus ordenadas y (-1) \u003d (1) 2 + 2 (-1) - 3 \u003d -4. Entonces, la parte superior de la parábola es el punto (-1; -4). Hagamos una tabla de valores para varios puntos que se colocan a la derecha del eje de simetría de la parábola: la línea recta x \u003d -1. Propiedades de la función.
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Esta lección en video sobre el curso de matemáticas te presentará las propiedades de la función y = k / x, siempre que el valor de k sea negativo.
En nuestros tutoriales en video anteriores, se familiarizó con la función y es igual a k dividido por x, su gráfico, que se llama "hipérbola", así como las propiedades del gráfico cuando valor positivo k. Este video te presentará las propiedades del coeficiente k con un valor negativo, es decir menos que cero.
Propiedades de una igualdad donde y es igual al coeficiente k dividido por la variable independiente x, siempre que el coeficiente tenga significado negativo se presentan en el video.
Al describir las propiedades de esta función, en primer lugar, se basan en su modelo geométrico: una hipérbola.
Propiedad 1. El dominio de la función consta de todos los números, pero se sigue que x no puede ser igual a 0, porque es imposible dividir por cero.
Propiedad 2. y es mayor que cero siempre que x sea menor que cero; y, en consecuencia, viceversa, y es menor que cero en un valor cuando x está en el rango mayor que cero y hasta el infinito.
Propiedad 3. La función crece en intervalos de menos infinito a cero y de cero a más infinito: (-∞, 0) y (0, +∞).
Propiedad 4. La función es infinita, ya que no tiene restricciones ni por abajo ni por arriba.
Propiedad 5. La función no tiene ni el valor más pequeño ni el más grande, ya que es infinita.
Propiedad 6. La función es continua en los intervalos de menos infinito a cero (-∞, 0) y de cero a infinito (0, +∞), mientras que se debe indicar que sufre una discontinuidad cuando x vale cero .
Propiedad 7. El rango de funciones es la unión de dos rayos abiertos de menos infinito a cero (-∞, 0) y de cero a más infinito (0, +∞).
El siguiente video proporciona ejemplos. Consideraremos solo algunos de ellos, le recomendamos que vea el resto usted mismo en los videos proporcionados.
Así que veamos el primer ejemplo. es necesario resolver la ecuacion el siguiente tipo: 4/x = 5-x.
Para mayor comodidad, dividimos la solución de esta igualdad en varias etapas:
1) Primero, escribimos nuestra igualdad como dos ecuaciones separadas: y = 4/x y y = 5-x/
2) Luego, como se muestra en el video, trazamos la función y = 4/x, que es una hipérbola.
3) A continuación, construimos un gráfico de una función lineal. A este caso es una línea recta que se puede trazar desde dos puntos. Los gráficos se presentan en nuestro material de video.
4) Ya según el propio dibujo, determinamos los puntos de intersección de nuestras dos gráficas, tanto la hipérbola como la recta. Cabe indicar que se cortan en los puntos A (1; 4) y B (4; 1). La comprobación de los resultados obtenidos demuestra que son correctos. Esta ecuación puede tener dos raíces 1 y 4.
El siguiente ejemplo, discutido en el video tutorial, tiene la siguiente tarea: construir y leer el gráfico de la función y \u003d f (x), donde f (x) \u003d -x2, si la variable x está en el rango de mayor que o igual a -2 a mayor que o es 1, y y = -1/x si x es mayor que uno.
La solución se lleva a cabo en varias etapas. Primero, construimos un gráfico de la función y = -x2, que se llama "parábola", y seleccionamos su parte en el área de -2 a 1. Para ver el gráfico, consulte el video.
El siguiente paso es construir una hipérbola para la igualdad y = -1/x, y seleccionar su parte en el rayo abierto desde la unidad hasta el infinito. A continuación, desplazamos ambas gráficas en el mismo sistema de coordenadas. Como resultado, obtenemos un gráfico de la función y \u003d f (x).
A continuación, debe leer el gráfico de la función y \u003d f (x):
1. El dominio de definición de la función es un rayo en el área de -2 a +∞.
2. y es igual a cero cuando x es igual a cero; y es menor que cero cuando x es mayor o igual a -2 y menor que cero, y cuando x es mayor que cero.
3. La función crece en el área de -2 a 0 y en el área de 1 a infinito, la gráfica muestra una disminución en el segmento de cero a uno.
4. Una función con parámetros dados está acotada tanto por abajo como por arriba.
5. Valor más bajo la variable y es igual a - 4 y está comprendida en el valor de x en el nivel - 2; y también valor más alto y es 0, que se alcanza cuando x es cero.
6. En el dominio de definición dado, nuestra función es continua.
7. El área de valor de la función se encuentra en el segmento de -4 a 0.
8. La función es convexa hacia arriba en el segmento de -2 a 1 y en el rayo de 1 a infinito.
Puede familiarizarse con los ejemplos restantes viendo el video presentado.
Asignaciones para propiedades y gráficos función cuadrática causar, como muestra la práctica, serias dificultades. Esto es bastante extraño, porque la función cuadrática se pasa en el 8º grado, y luego todo el primer cuarto del 9º grado es "torturado" por las propiedades de la parábola y sus gráficos se construyen para varios parámetros.
Esto se debe al hecho de que, al obligar a los estudiantes a construir parábolas, prácticamente no dedican tiempo a "leer" los gráficos, es decir, no practican la comprensión de la información recibida de la imagen. Aparentemente, se supone que, habiendo construido dos docenas de gráficos, un estudiante inteligente descubrirá y formulará la relación entre los coeficientes en la fórmula y apariencia Artes graficas. En la práctica, esto no funciona. Para tal generalización, experiencia seria mini-investigación matemática, que la mayoría de los estudiantes de noveno grado, por supuesto, no tienen. En tanto, en el GIA proponen determinar los signos de los coeficientes precisamente de acuerdo al cronograma.
No exigiremos lo imposible a los escolares y simplemente ofreceremos uno de los algoritmos para resolver tales problemas.
Entonces, una función de la forma y=ax2+bx+c se llama cuadrática, su gráfica es una parábola. Como su nombre indica, el componente principal es hacha 2. Eso es a no debe ser igual a cero, los coeficientes restantes ( b y Con) puede ser igual a cero.
Veamos cómo los signos de sus coeficientes afectan la apariencia de la parábola.
La dependencia más simple para el coeficiente. a. La mayoría de los escolares responden con confianza: "si a> 0, entonces las ramas de la parábola están dirigidas hacia arriba, y si a < 0, - то вниз". Совершенно верно. Ниже приведен график квадратичной функции, у которой a > 0.
y = 0.5x2 - 3x + 1
En este caso a = 0,5
y ahora por a < 0:
y = - 0.5x2 - 3x + 1
En este caso a = - 0,5
Influencia del coeficiente Con también bastante fácil de seguir. Imagina que queremos encontrar el valor de una función en un punto X= 0. Sustituye cero en la fórmula:
y = a 0 2 + b 0 + C = C. Resulta que y = c. Eso es Con es la ordenada del punto de intersección de la parábola con el eje y. Como regla general, este punto es fácil de encontrar en el gráfico. Y determinar si se encuentra por encima de cero o por debajo. Eso es Con> 0 o Con < 0.
Con > 0:
y=x2+4x+3
Con < 0
y = x 2 + 4x - 3
En consecuencia, si Con= 0, entonces la parábola necesariamente pasará por el origen:
y=x2+4x
Más difícil con el parámetro b. El punto por el que lo encontraremos depende no sólo de b pero también de a. Esta es la parte superior de la parábola. Su abscisa (coordenada del eje X) se encuentra por la fórmula x en \u003d - b / (2a). De este modo, b = - 2ax en. Es decir, actuamos de la siguiente manera: en el gráfico encontramos la parte superior de la parábola, determinamos el signo de su abscisa, es decir, miramos a la derecha de cero ( x en> 0) o a la izquierda ( x en < 0) она лежит.
Sin embargo, esto no es todo. También debemos fijarnos en el signo del coeficiente a. Es decir, para ver hacia dónde se dirigen las ramas de la parábola. Y solo después de eso, de acuerdo con la fórmula. b = - 2ax en determinar el signo b.
Considere un ejemplo:
Ramas apuntando hacia arriba a> 0, la parábola cruza el eje a debajo de cero significa Con < 0, вершина параболы лежит правее нуля. Следовательно, x en> 0. Entonces b = - 2ax en = -++ = -. b < 0. Окончательно имеем: a > 0, b < 0, Con < 0.
Aprende a sacar derivadas de funciones. La derivada caracteriza la tasa de cambio de una función en un cierto punto que se encuentra en el gráfico de esta función. En este caso, el gráfico puede ser una línea recta o una línea curva. Es decir, la derivada caracteriza la tasa de cambio de la función en un punto particular en el tiempo. Recuerda reglas generales para lo cual se toman derivados, y solo entonces se procede al siguiente paso.
- Leer el artículo.
- Se describe cómo tomar las derivadas más simples, por ejemplo, la derivada de una ecuación exponencial. Los cálculos presentados en los siguientes pasos se basarán en los métodos descritos allí.
Aprenda a distinguir entre problemas en los que la pendiente debe calcularse en términos de la derivada de una función. En las tareas, no siempre se sugiere encontrar la pendiente o la derivada de una función. Por ejemplo, se le puede pedir que encuentre la tasa de cambio de una función en el punto A(x, y). También se le puede pedir que encuentre la pendiente de la tangente en el punto A(x, y). En ambos casos, es necesario tomar la derivada de la función.
Calcula la derivada de la función dada. No necesitas construir un gráfico aquí, solo necesitas la ecuación de la función. En nuestro ejemplo, tome la derivada de la función . Tome la derivada de acuerdo con los métodos descritos en el artículo mencionado anteriormente:
- Derivado:
Sustituye las coordenadas del punto que te dieron en la derivada encontrada para calcular la pendiente. La derivada de la función es igual a la pendiente en un punto determinado. En otras palabras, f "(x) es la pendiente de la función en cualquier punto (x, f (x)). En nuestro ejemplo:
- Encuentre la pendiente de la función f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) en el punto A(4,2).
- Derivada de función:
- f ′ (x) = 4 x + 6 (\displaystyle f"(x)=4x+6)
- Sustituye el valor de la coordenada x del punto dado:
- f ′ (x) = 4 (4) + 6 (\displaystyle f"(x)=4(4)+6)
- Encuentra la pendiente:
- Pendiente de la función f (x) = 2 x 2 + 6 x (\displaystyle f(x)=2x^(2)+6x) en el punto A(4,2) es 22.
Si es posible, comprueba tu respuesta en un gráfico. Tenga en cuenta que el factor de pendiente no se puede calcular en todos los puntos. El cálculo diferencial considera funciones complejas y gráficos complejos, donde la pendiente no se puede calcular en cada punto y, en algunos casos, los puntos no se encuentran en los gráficos en absoluto. Si es posible, use una calculadora gráfica para comprobar que la pendiente de la función que se le ha dado es correcta. De lo contrario, dibuja una tangente a la gráfica en el punto dado y considera si el valor de la pendiente que encontraste corresponde a lo que ves en la gráfica.
- La tangente tendrá la misma pendiente que el gráfico de la función en un punto determinado. Para dibujar una tangente en un punto dado, muévase hacia la derecha/izquierda en el eje X (en nuestro ejemplo, 22 valores a la derecha) y luego hacia arriba en el eje Y. Marque el punto y luego conéctelo al punto que has dado. En nuestro ejemplo, conecta los puntos con las coordenadas (4,2) y (26,3).
