Pirámide. Pirámide truncada

Pirámide se llama poliedro, una de cuyas caras es un polígono ( base ), y todas las demás caras son triángulos con un vértice común ( caras laterales ) (Figura 15). La piramide se llama correcto , si su base es un polígono regular y la parte superior de la pirámide se proyecta en el centro de la base (Fig. 16). Una pirámide triangular en la que todas las aristas son iguales se llama tetraedro .

costilla lateral se llama piramide al lado de la cara lateral que no pertenece a la base Altura pirámide es la distancia desde su parte superior hasta el plano de la base. Todas las costillas laterales pirámide correcta son iguales entre sí, todas las caras laterales son iguales triángulos isósceles. La altura de la cara lateral de una pirámide regular trazada desde el vértice se llama apotema . sección diagonal Se llama sección de una pirámide a un plano que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Superficie lateral Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas las caras laterales. superficie completa es la suma de las áreas de todas las caras laterales y la base.

teoremas

1. Si en una pirámide todos los bordes laterales están igualmente inclinados con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

2. Si en la pirámide todos los bordes laterales tienen la misma longitud, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo circunscrito cerca de la base.

3. Si en la pirámide todas las caras están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces la parte superior de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base.

Para calcular el volumen de una pirámide arbitraria, la fórmula es correcta:

donde V- volumen;

S principal- área de la base;

H es la altura de la pirámide.

Para una pirámide regular, las siguientes fórmulas son verdaderas:

donde pag- el perímetro de la base;

ha- apotema;

H- altura;

S lleno

lado S

S principal- área de la base;

V es el volumen de una pirámide regular.

pirámide truncada llamado la parte de la pirámide encerrada entre la base y el plano de corte paralelo a la base de la pirámide (Fig. 17). Pirámide truncada correcta Llamada parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y un plano cortante paralelo a la base de la pirámide.

Cimientos pirámide truncada - polígonos similares. Caras laterales - trapezoide. Altura Se llama pirámide truncada a la distancia entre sus bases. Diagonal Una pirámide truncada es un segmento que conecta sus vértices que no se encuentran en la misma cara. sección diagonal Se llama plano a la sección de una pirámide truncada que pasa por dos aristas laterales que no pertenecen a la misma cara.

Para una pirámide truncada, las fórmulas son válidas:

(4)

donde S 1 , S 2 - áreas de las bases superior e inferior;

S lleno es la superficie total;

lado S es el área de la superficie lateral;

H- altura;

V es el volumen de la pirámide truncada.

Para una pirámide truncada regular, la siguiente fórmula es verdadera:

donde pag 1 , pag 2 - perímetros de base;

ha- la apotema de una pirámide truncada regular.

Ejemplo 1 En una pirámide triangular regular, el ángulo diedro en la base es de 60º. Encuentre la tangente del ángulo de inclinación del borde lateral al plano de la base.

Decisión. Hagamos un dibujo (Fig. 18).

La piramide es correcta, quiere decir en la base triángulo equilátero y todas las caras laterales son triángulos isósceles iguales. El ángulo diedro en la base es el ángulo de inclinación de la cara lateral de la pirámide con respecto al plano de la base. El ángulo lineal será el ángulo un entre dos perpendiculares: i.e. La parte superior de la pirámide se proyecta en el centro del triángulo (el centro del círculo circunscrito y el círculo inscrito en el triángulo A B C). El ángulo de inclinación de la nervadura lateral (por ejemplo SB) es el ángulo entre la propia arista y su proyección sobre el plano base. para costilla SB este ángulo será el ángulo SBD. Para encontrar la tangente necesitas saber los catetos ASI QUE y transmisión exterior. Sea la longitud del segmento BD es 3 un. punto O segmento de línea BD se divide en partes: y De encontramos ASI QUE: De encontramos:

Responder:

Ejemplo 2 Calcula el volumen de una pirámide cuadrangular truncada regular si las diagonales de sus bases son cm y cm y la altura es de 4 cm.

Decisión. Para encontrar el volumen de una pirámide truncada, usamos la fórmula (4). Para encontrar las áreas de las bases, necesitas encontrar los lados de los cuadrados de la base, conociendo sus diagonales. Los lados de las bases miden 2 cm y 8 cm respectivamente, esto significa las áreas de las bases y Sustituyendo todos los datos en la fórmula, calculamos el volumen de la pirámide truncada:

Responder: 112 cm3.

Ejemplo 3 Halla el área de la cara lateral de una pirámide troncocónica triangular regular cuyos lados de las bases miden 10 cm y 4 cm, y la altura de la pirámide es de 2 cm.

Decisión. Hagamos un dibujo (Fig. 19).

La cara lateral de esta pirámide es un trapecio isósceles. Para calcular el área de un trapezoide, necesitas saber las bases y la altura. Las bases están dadas por condición, solo se desconoce la altura. Encuéntralo de donde PERO 1 mi perpendicular desde un punto PERO 1 en el plano de la base inferior, UN 1 D- perpendicular desde PERO 1 en C.A.. PERO 1 mi\u003d 2 cm, ya que esta es la altura de la pirámide. Para encontrar Delaware haremos un dibujo adicional, en el que representaremos una vista superior (Fig. 20). Punto O- proyección de los centros de las bases superior e inferior. ya que (ver Fig. 20) y Por otro lado DE ACUERDO es el radio de la circunferencia inscrita y OM es el radio de la circunferencia inscrita:

MK=ES.

De acuerdo con el teorema de Pitágoras de

Área de la cara lateral:

Responder:

Ejemplo 4 En la base de la pirámide se encuentra un trapezoide isósceles, cuyas bases un y b (un> b). Cada cara lateral forma un ángulo igual al plano de la base de la pirámide. j. Encuentra el área total de la superficie de la pirámide.

Decisión. Hagamos un dibujo (Fig. 21). Superficie total de la pirámide SABCD es igual a la suma de las areas y el area del trapezoide A B C D.

Usamos el enunciado de que si todas las caras de la pirámide están igualmente inclinadas con respecto al plano de la base, entonces el vértice se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base. Punto O- proyección de vértice S en la base de la pirámide. Triángulo CÉSPED es la proyección ortogonal del triángulo CDS al plano base. Según el teorema sobre el área de la proyección ortogonal de una figura plana, obtenemos:

Del mismo modo, significa Así, el problema se redujo a encontrar el área del trapezoide A B C D. dibujar un trapezoide A B C D por separado (Fig. 22). Punto O es el centro de una circunferencia inscrita en un trapezoide.

Dado que un círculo se puede inscribir en un trapezoide, entonces o Por el teorema de Pitágoras tenemos

En esta lección, consideraremos una pirámide truncada, nos familiarizaremos con la pirámide truncada correcta y estudiaremos sus propiedades.

Recordemos el concepto de pirámide n-gonal usando el ejemplo de una pirámide triangular. Se da el triángulo ABC. Fuera del plano del triángulo, se toma un punto P, conectado a los vértices del triángulo. La superficie poliédrica resultante se llama pirámide (Fig. 1).

Arroz. 1. Pirámide triangular

Cortemos la pirámide con un plano paralelo al plano de la base de la pirámide. La figura obtenida entre estos planos se denomina pirámide truncada (Fig. 2).

Arroz. 2. Pirámide truncada

Elementos principales:

base superior;

Base inferior ABC;

Cara lateral ;

Si PH es la altura de la pirámide original, entonces es la altura de la pirámide truncada.

Las propiedades de una pirámide truncada se derivan del método de su construcción, es decir, del paralelismo de los planos de las bases:

Todas las caras laterales de una pirámide truncada son trapezoides. Considere, por ejemplo, una cara. Tiene la propiedad de los planos paralelos (dado que los planos son paralelos, cortan la cara lateral de la pirámide ABP original a lo largo de líneas paralelas), al mismo tiempo que no son paralelos. Obviamente, el cuadrilátero es un trapezoide, como todas las caras laterales de una pirámide truncada.

La razón de las bases es la misma para todos los trapecios:

Tenemos varios pares de triángulos semejantes con el mismo coeficiente de similitud. Por ejemplo, los triángulos y RAB son similares debido al paralelismo de los planos y al coeficiente de similitud:

Al mismo tiempo, los triángulos y RCS son similares con coeficiente de similitud:

Obviamente, los coeficientes de similitud para los tres pares de triángulos similares son iguales, por lo que la razón de las bases es la misma para todos los trapecios.

Una pirámide troncocónica regular es una pirámide troncocónica que se obtiene cortando una pirámide regular con un plano paralelo a la base (Fig. 3).

Arroz. 3. Pirámide truncada correcta

Definición.

Una pirámide se llama correcta, en cuya base se encuentra n-ágono regular, y el vértice se proyecta al centro de este n-ágono (el centro del círculo inscrito y circunscrito).

EN este caso en la base de la pirámide se encuentra un cuadrado, y el vértice se proyecta hasta el punto de intersección de sus diagonales. La pirámide truncada cuadrangular regular resultante tiene ABCD - la base inferior, - la base superior. La altura de la pirámide original - RO, pirámide truncada - (Fig. 4).

Arroz. 4. Pirámide truncada cuadrangular regular

Definición.

La altura de una pirámide truncada es una perpendicular trazada desde cualquier punto de una base al plano de la segunda base.

La apotema de la pirámide original es RM (M es la mitad de AB), la apotema de la pirámide truncada es (Fig. 4).

Definición.

La apotema de una pirámide truncada es la altura de cualquier cara lateral.

Es claro que todas las aristas laterales de la pirámide truncada son iguales entre sí, es decir, las caras laterales son trapezoides isósceles iguales.

El área de la superficie lateral de una pirámide troncocónica regular es igual al producto de la mitad de la suma de los perímetros de las bases y la apotema.

Prueba (para una pirámide truncada cuadrangular regular - Fig. 4):

Entonces, tenemos que probar:

El área de la superficie lateral aquí consistirá en la suma de las áreas de las caras laterales - trapecios. Como los trapecios son iguales, tenemos:

El área de un trapezoide isósceles es el producto de la mitad de la suma de las bases y la altura, la apotema es la altura del trapezoide. Tenemos:

QED

Para una pirámide n-gonal:

Donde n es el número de caras laterales de la pirámide, a y b son las bases del trapezoide, es la apotema.

Lados de la base de una pirámide cuadrangular truncada regular son iguales a 3 cm y 9 cm, altura - 4 cm Encuentra el área de la superficie lateral.

Arroz. 5. Ilustración del problema 1

Decisión. Ilustremos la condición:

Dado: , ,

Dibuje una línea recta MN a través del punto O paralela a los dos lados de la base inferior, de manera similar dibuje una línea recta a través del punto (Fig. 6). Como los cuadrados y las construcciones son paralelos en las bases de la pirámide truncada, obtenemos un trapezoide igual a las caras laterales. Además, su lado lateral pasará por la mitad de las nervaduras superior e inferior de las caras laterales y será el epítome de una pirámide truncada.

Arroz. 6. Construcciones adicionales

Considere el trapezoide resultante (Fig. 6). En este trapezoide se conocen la base superior, la base inferior y la altura. Se requiere encontrar el lado lateral, que es la apotema de la pirámide truncada dada. Dibuja perpendicular a MN. Dejemos caer la perpendicular NQ desde el punto. Obtenemos que la base más grande se divide en segmentos de tres centímetros (). Considere un triángulo rectángulo, se conocen los catetos, este es un triángulo egipcio, por el teorema de Pitágoras determinamos la longitud de la hipotenusa: 5 cm.

Ahora están todos los elementos para determinar el área de la superficie lateral de la pirámide:

La pirámide está atravesada por un plano paralelo a la base. Utilizando el ejemplo de una pirámide triangular, demuestre que las aristas laterales y la altura de la pirámide están divididas por este plano en partes proporcionales.

Prueba. Ilustremos:

Arroz. 7. Ilustración del problema 2

Se da la pirámide RABC. RO es la altura de la pirámide. La pirámide se diseca por un plano, se obtiene además una pirámide truncada. Punto - el punto de intersección de la altura de la RO con el plano de la base de la pirámide truncada. Es necesario probar:

La clave de la solución es la propiedad de los planos paralelos. Dos planos paralelos corte cualquier tercer plano para que las líneas de intersección sean paralelas. De aquí: . El paralelismo de las líneas correspondientes implica la presencia de cuatro pares de triángulos semejantes:

De la semejanza de los triángulos se sigue la proporcionalidad de los lados correspondientes. Característica importante es que los coeficientes de semejanza de estos triángulos son los mismos:

QED

correcto Pirámide triangular RABC con la altura y el lado de la base es diseccionado por un plano que pasa por la mitad de la altura del PH paralelo a la base del ABC. Encuentre el área de la superficie lateral de la pirámide truncada resultante.

Decisión. Ilustremos:

Arroz. 8. Ilustración del problema 3

DIA es un triángulo regular, H es el centro de este triángulo (el centro de los círculos inscritos y circunscritos). RM es la apotema de la pirámide dada. - la apotema de la pirámide truncada. Según la propiedad de los planos paralelos (dos planos paralelos cortan cualquier tercer plano de manera que las rectas de intersección sean paralelas), tenemos varias parejas de triángulos semejantes con igual coeficiente de semejanza. En particular, nos interesa la relación:

Encontremos NM. Este es el radio de una circunferencia inscrita en la base, conocemos la fórmula correspondiente:

Ahora, del triángulo rectángulo РНМ, por el teorema de Pitágoras, encontramos РМ - la apotema de la pirámide original:

De la relación inicial:

Ahora conocemos todos los elementos para encontrar el área de la superficie lateral de una pirámide truncada:

Entonces, nos familiarizamos con los conceptos de una pirámide truncada y una pirámide truncada regular, dimos definiciones básicas, consideramos propiedades y probamos el teorema sobre el área de la superficie lateral. La próxima lección se centrará en la resolución de problemas.

Bibliografía

1. I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. Geometría. Grade 10-11: un libro de texto para estudiantes de instituciones educativas (básicas y niveles de perfil) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5ª ed., rev. y adicional - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 p.: il.
2. Sharygin I. F. Geometría. Grado 10-11: Libro de texto para educación general Instituciones educacionales/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 p.: il.
3. E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. Geometría. Grado 10: Libro de texto para instituciones de educación general con un estudio profundo y perfilado de matemáticas / E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6ª ed., estereotipo. - M.: Avutarda, 2008. - 233 p.: il.

1. Uztest.ru ().
2. fmclass.ru ().
3. Webmath.exponenta.ru().

Tarea

- Se trata de un poliedro, que está formado por la base de la pirámide y una sección paralela a ella. Podemos decir que una pirámide truncada es una pirámide con la parte superior recortada. Esta figura tiene muchas propiedades únicas:

• Las caras laterales de la pirámide son trapezoides;
• Aristas laterales de una pirámide truncada regular la misma longitud e inclinada a la base en el mismo ángulo;
• Las bases son polígonos semejantes;
• En una pirámide truncada regular, las caras son trapezoides isósceles idénticos, cuyo área es igual. También están inclinados a la base en un ángulo.

La fórmula del área de la superficie lateral de una pirámide truncada es la suma de las áreas de sus lados:

Como los lados de la pirámide truncada son trapezoides, tendrás que usar la fórmula para calcular los parámetros. área trapezoidal. Para una pirámide truncada regular, se puede aplicar otra fórmula para calcular el área. Como todos sus lados, caras y ángulos en la base son iguales, es posible aplicar los perímetros de la base y la apotema, y ​​también derivar el área a través del ángulo en la base.

Si, según las condiciones de una pirámide troncocónica regular, se dan la apotema (altura del lado) y las longitudes de los lados de la base, entonces el área se puede calcular mediante el semiproducto de la suma de los perímetros de las bases y la apotema:

Veamos un ejemplo de cálculo del área de la superficie lateral de una pirámide truncada.
Dada una pirámide pentagonal regular. Apotema yo\u003d 5 cm, la longitud de la cara en la base grande es un\u003d 6 cm, y la cara está en la base más pequeña b\u003d 4 cm Calcule el área de la pirámide truncada.

Primero, encontremos los perímetros de las bases. Como se nos da una pirámide pentagonal, entendemos que las bases son pentágonos. Entonces, en las bases se encuentra una figura con cinco lados idénticos. Encuentra el perímetro de la base más grande:

De la misma manera, encontramos el perímetro de la base más pequeña:

Ahora podemos calcular el área de una pirámide truncada regular. Sustituimos los datos en la fórmula:

Así, calculamos el área de una pirámide truncada regular a través de los perímetros y la apotema.

Otra forma de calcular el área de la superficie lateral de una pirámide regular es la fórmula a través de las esquinas en la base y el área de estas mismas bases.

Veamos un ejemplo de cálculo. Recuerda que esta fórmula se aplica solo a una pirámide truncada regular.

Sea dada una pirámide cuadrangular regular. La cara de la base inferior mide a = 6 cm y la cara de la superior b = 4 cm El ángulo diedro en la base es β = 60°. Encuentra el área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular.

Primero, calculemos el área de las bases. Como la pirámide es regular, todas las caras de las bases son iguales entre sí. Dado que la base es un cuadrilátero, entendemos que habrá que calcular área cuadrada. Es el producto del ancho por el largo, pero al cuadrado, estos valores son iguales. Encuentra el área de la base más grande:


Ahora usamos los valores encontrados para calcular el área de la superficie lateral.

Conociendo algunas fórmulas simples, calculamos fácilmente el área del trapezoide lateral de una pirámide truncada a través de varios valores.

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