Hipótesis: Creemos que la perfección de la forma de la pirámide se debe a las leyes matemáticas inherentes a su forma.
Objetivo: habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, para explicar la perfección de su forma.
Tareas:
1. Dé una definición matemática de pirámide.
2. Estudiar la pirámide como cuerpo geométrico.
3. Comprender qué conocimientos matemáticos depositaron los egipcios en sus pirámides.
Preguntas privadas:
1. ¿Qué es una pirámide como cuerpo geométrico?
2. ¿Cómo se puede explicar matemáticamente la forma única de la pirámide?
3. ¿Qué explica las maravillas geométricas de la pirámide?
4. ¿Qué explica la perfección de la forma de la pirámide?
Definición de pirámide.
PIRÁMIDE (del griego pyramis, género n. Pyramidos): un poliedro, cuya base es un polígono y las caras restantes son triángulos con un vértice común (figura). Según el número de esquinas de la base, las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc.
PIRÁMIDE - una estructura monumental que tiene la forma geométrica de una pirámide (a veces también escalonada o en forma de torre). Las tumbas gigantes de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo se llaman pirámides. e., así como antiguos pedestales de templos americanos (en México, Guatemala, Honduras, Perú) asociados con cultos cosmológicos.
Es posible que la palabra griega "pirámide" provenga de la expresión egipcia per-em-us, es decir, de un término que significaba la altura de la pirámide. El destacado egiptólogo ruso V. Struve creía que el griego “puram…j” proviene del antiguo egipcio “p"-mr”.
De la historia. Habiendo estudiado el material del libro de texto "Geometría" de los autores de Atanasyan. Butuzova y otros, aprendimos que: Un poliedro compuesto por n-góno A1A2A3... An yn triángulos RA1A2, RA2A3,..., RAnA1 se llama pirámide. El polígono A1A2A3...An es la base de la pirámide, y los triángulos RA1A2, RA2A3,..., PAnA1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, los segmentos RA1, RA2,.. ., RAn son los bordes laterales.
Sin embargo, tal definición de pirámide no siempre existió. Por ejemplo, el antiguo matemático griego, autor de tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides, define una pirámide como una figura sólida delimitada por planos que convergen de un plano a un punto.
Pero esta definición ya ha sido criticada en la antigüedad. Entonces Heron propuso la siguiente definición de pirámide: "Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono".
Nuestro grupo, comparando estas definiciones, llegó a la conclusión de que no tienen una formulación clara del concepto de "fundamento".
Estudiamos estas definiciones y encontramos la definición de Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra “Elementos de geometría” define la pirámide de la siguiente manera: “La pirámide es una figura corporal, formado por triangulos, convergiendo en un punto y terminando en diferentes lados de una base plana.
Nos parece que la última definición da una idea clara de la pirámide, ya que en ella en cuestión que la base sea plana. Otra definición de pirámide apareció en un libro de texto del siglo XIX: "una pirámide es un ángulo sólido intersecado por un plano".
Pirámide como cuerpo geométrico.
Eso. Una pirámide es un poliedro, una de cuyas caras (base) es un polígono, las caras restantes (lados) son triángulos que tienen un vértice común (la cima de la pirámide).
La perpendicular trazada desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama alturah pirámides.
Además de una pirámide arbitraria, hay pirámide derecha, en cuya base hay un polígono regular y pirámide truncada.
En la figura - la pirámide PABCD, ABCD - su base, PO - altura.
Superficie completa Se llama pirámide a la suma de las áreas de todas sus caras.
Sfull = Sside + Sbase, Dónde Lado es la suma de las áreas de las caras laterales.
volumen piramidal se encuentra según la fórmula:
V=1/3Sbase h, donde Sosn. - área de la base h- altura.
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Apotema ST: la altura de la cara lateral de una pirámide regular.
El área de la cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. =1/2P h, donde P es el perímetro de la base, h- la altura de la cara lateral (la apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es atravesada por el plano A'B'C'D' paralelo a la base, entonces:
1) los bordes laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales;
2) en la sección se obtiene un polígono A'B'C'D', similar a la base;
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Una pirámide triangular regular se llama tetraedro .
Pirámide truncada se obtiene cortando a la pirámide su parte superior por un plano paralelo a la base (figura ABCDD'C'B'A').
Las bases de la pirámide truncada son polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapezoides.
Altura pirámide truncada: la distancia entre las bases.
Volumen truncado La pirámide se encuentra mediante la fórmula:
V=1/3 h(S + https://pandia.ru/text/78/390/images/image019_2.png" align="left" width="91" height="96"> El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Sside.= ½(P+P') h, donde P y P’ son los perímetros de las bases, h- la altura de la cara lateral (la apotema de un regular truncada por las fiestas
Secciones de la pirámide.
Las secciones de la pirámide por planos que pasan por su cima son triángulos.
La sección que pasa por dos aristas laterales no adyacentes de la pirámide se llama sección diagonal.
Si la sección pasa por un punto en el borde lateral y el lado de la base, entonces este lado será su huella en el plano de la base de la pirámide.
Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide, y una traza dada de la sección en el plano de la base, entonces la construcción debe realizarse de la siguiente manera:
encontrar el punto de intersección del plano de la cara dada y la traza de la sección de la pirámide y designarlo;
Construya una línea recta que pase por Punto dado y el punto de intersección resultante;
· Repita estos pasos para las siguientes caras.
, que corresponde a la relación de los catetos de un triángulo rectángulo 4:3. Esta proporción de catetos corresponde al conocido triángulo rectángulo de lados 3:4:5, llamado triángulo "perfecto", "sagrado" o "egipcio". Según los historiadores, al triángulo "egipcio" se le dio un significado mágico. Plutarco escribió que los egipcios comparaban la naturaleza del universo con un triángulo "sagrado"; compararon simbólicamente el cateto vertical con el marido, la base con la esposa y la hipotenusa con lo que nace de ambos.
Para un triángulo 3:4:5, la igualdad es verdadera: 32 + 42 = 52, que expresa el teorema de Pitágoras. ¿No es este teorema el que los sacerdotes egipcios quisieron perpetuar erigiendo una pirámide sobre la base del triángulo 3:4:5? Difícil encontrar más buen ejemplo para ilustrar el teorema de Pitágoras, que los egipcios conocían mucho antes de que Pitágoras lo descubriera.
Así, los ingeniosos creadores de las pirámides egipcias buscaron impresionar a los descendientes lejanos con la profundidad de sus conocimientos, y lo lograron eligiendo como "idea geométrica principal" para la pirámide de Keops: el triángulo rectángulo "dorado", y para la pirámide de Kefrén: el triángulo "sagrado" o "egipcio".
Muy a menudo, en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de las pirámides con las proporciones de la Sección Áurea.
La siguiente definición de Sección Áurea se da en el Diccionario Enciclopédico de Matemáticas: esta es una división armónica, división en proporción extrema y promedio: división del segmento AB en dos partes de tal manera que la mayor parte de su AC sea el promedio proporcional entre todo el segmento AB y su parte más pequeña CB.
Hallazgo algebraico de la sección áurea de un segmento AB = un se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a - x), de donde x es aproximadamente igual a 0,62a. La razón x se puede expresar como fracciones 2/3, 3/5, 5/8, 8/13, 13/21…= 0,618, donde 2, 3, 5, 8, 13, 21 son números de Fibonacci.
La construcción geométrica de la sección áurea del segmento AB se lleva a cabo de la siguiente manera: en el punto B se restablece la perpendicular a AB, se coloca sobre él el segmento BE \u003d 1/2 AB, A y E están conectados, DE \u003d 1/2 AB, A y E están conectados, DE \ u003d Se pospone BE y, finalmente, AC = AD, entonces se cumple la igualdad AB: CB = 2: 3.
La proporción áurea se utiliza a menudo en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos Se encuentran la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también proporcionan ejemplos de la proporción áurea; por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros tienen una proporción ancho-largo cercana a 0,618. Considerando la disposición de las hojas en un tallo común de plantas, se puede notar que entre cada dos pares de hojas, el tercero se ubica en el lugar de la Proporción Áurea (diapositivas). Cada uno de nosotros "lleva" la proporción áurea "en nuestras manos" con nosotros: esta es la proporción de las falanges de los dedos.
Gracias al descubrimiento de varios papiros matemáticos, los egiptólogos han aprendido algo sobre los sistemas de cálculo y medidas del antiguo Egipto. Las tareas contenidas en ellos fueron resueltas por escribas. Uno de los más famosos es el Papiro Matemático de Rhind. Al estudiar estos enigmas, los egiptólogos aprendieron cómo los antiguos egipcios afrontaban varias cantidades que surgía en el cálculo de medidas de peso, longitud y volumen, en el que se solía utilizar fracciones, así como el tratamiento de los ángulos.
Los antiguos egipcios utilizaban un método para calcular ángulos basado en la relación entre la altura y la base de un triángulo rectángulo. Expresaban cualquier ángulo en el lenguaje del gradiente. El gradiente de la pendiente se expresó como una proporción de un número entero, llamado "seked". En Matemáticas en la época de los faraones, Richard Pillins explica: “El seked de una pirámide regular es la inclinación de cualquiera de las cuatro caras triangulares respecto al plano de la base, medida por un enésimo número de unidades horizontales por unidad vertical de elevación. . Por tanto, esta unidad de medida es equivalente a nuestra cotangente moderna del ángulo de inclinación. Por lo tanto, la palabra egipcia "seked" está relacionada con nuestra palabra moderna"degradado"".
La clave numérica de las pirámides radica en la relación entre su altura y su base. En términos prácticos, esta es la forma más sencilla de realizar las plantillas necesarias para comprobar constantemente el ángulo de inclinación correcto durante toda la construcción de la pirámide.
Los egiptólogos estarían felices de convencernos de que cada faraón deseaba expresar su individualidad, de ahí las diferencias en los ángulos de inclinación de cada pirámide. Pero podría haber otra razón. Quizás todos querían encarnar diferentes asociaciones simbólicas ocultas en diferentes proporciones. Sin embargo, el ángulo de la pirámide de Kefrén (basado en el triángulo (3:4:5) aparece en los tres problemas presentados por las pirámides en el Papiro Matemático de Rhind). De modo que esta actitud era bien conocida por los antiguos egipcios.
Para ser justos con los egiptólogos que afirman que los antiguos egipcios no conocían el triángulo 3:4:5, digamos que nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa 5. Pero problemas de matematicas Los problemas relacionados con las pirámides siempre se resuelven basándose en el ángulo buscado: la relación entre la altura y la base. Como nunca se mencionó la longitud de la hipotenusa, se concluyó que los egipcios nunca calcularon la longitud del tercer lado.
Sin duda, los antiguos egipcios conocían las proporciones altura-base utilizadas en las pirámides de Giza. Es posible que estas proporciones para cada pirámide se hayan elegido arbitrariamente. Sin embargo, esto contradice la importancia otorgada al simbolismo numérico en todos los tipos de egipcio. Artes visuales. Es muy probable que tales relaciones fueran de gran importancia, ya que expresaban ideas religiosas específicas. En otras palabras, todo el complejo de Giza estaba sujeto a un diseño coherente, diseñado para reflejar algún tipo de tema divino. Esto explicaría por qué los diseñadores eligieron diferentes ángulos para las tres pirámides.
En El secreto de Orión, Bauval y Gilbert presentaron pruebas convincentes de la conexión de las pirámides de Giza con la constelación de Orión, en particular con las estrellas del cinturón de Orión. La misma constelación está presente en el mito de Isis y Osiris, y allí Por eso se puede considerar cada pirámide como una imagen de una de las tres deidades principales: Osiris, Isis y Horus.
MILAGROS "GEOMÉTRICOS".
Entre las grandiosas pirámides de Egipto, un lugar especial lo ocupa Gran Pirámide del Faraón Keops (Khufu). Antes de pasar al análisis de la forma y tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaban los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: "codo" (466 mm), igual a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).
Analicemos el tamaño de la pirámide de Keops (Fig.2), siguiendo el razonamiento dado en el maravilloso libro del científico ucraniano Nikolai Vasyutinskiy " proporción áurea"(1990).
La mayoría de los investigadores coinciden en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo, novia es igual a l\u003d 233,16 m Este valor corresponde casi exactamente a 500 "codos". Se cumplirá plenamente con 500 "codos" si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.
Altura de la pirámide ( h) los investigadores estiman de manera diferente entre 146,6 y 148,2 m, y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las proporciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es el motivo de las diferencias en la estimación de la altura de la pirámide? El caso es que, en rigor, la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy tiene un tamaño de aproximadamente 10 ´ 10 m, hace un siglo era de 6 ´ 6 m, es obvio que la cima de la pirámide fue desmantelada y no corresponde a la original.
Al evaluar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta tales factor fisico como un "borrador" de diseño. Detrás largo tiempo bajo la influencia de una presión colosal (hasta 500 toneladas por 1 m2 superficie inferior) la altura de la pirámide ha disminuido en comparación con la altura original.
¿Cuál era la altura original de la pirámide? Esta altura se puede recrear si encuentra la "idea geométrica" básica de la pirámide.
Figura 2.
En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a a= 51°51". Este valor todavía es reconocido por la mayoría de los investigadores hoy en día. El valor indicado del ángulo corresponde a la tangente (tg a) igual a 1,27306. Este valor corresponde a la relación entre la altura de la pirámide. C.A. a la mitad de su base CB(Fig.2), es decir C.A. / CB = h / (l / 2) = 2h / l.
¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa!.png" width="25" height="24">= 1.272 Comparando este valor con el valor tg a= 1,27306, vemos que estos valores están muy próximos entre sí. Si tomamos el ángulo a\u003d 51 ° 50", es decir, reducirlo solo en un minuto de arco, entonces el valor a será igual a 1,272, es decir, coincidirá con el valor de . Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus mediciones y aclaró que el valor del ángulo a=51°50".
Estas mediciones llevaron a los investigadores a la siguiente hipótesis muy interesante: el triángulo ASV de la pirámide de Keops se basó en la relación AC / CB = = 1,272!
Consideremos ahora un triángulo rectángulo. A B C, en el que la proporción de piernas C.A. / CB= (Figura 2). Si ahora las longitudes de los lados del rectángulo A B C denotamos por X, y, z, y también tener en cuenta que la relación y/X= , entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular mediante la fórmula:
si acepta X = 1, y= https://pandia.ru/text/78/390/images/image027_1.png" ancho="143" alto="27">
figura 3 Triángulo rectángulo "dorado".
Un triángulo rectángulo cuyos lados están relacionados como t:triángulo rectángulo dorado.
Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" de la pirámide de Keops es el triángulo rectángulo "dorado", entonces desde aquí es fácil calcular la altura "de diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:
H \u003d (L / 2) ´ \u003d 148,28 m.
Deduzcamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "áurea". En particular, encontramos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud de la pierna. CB por unidad, es decir: CB= 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide novia= 2, y el área de la base E F G H será igual a SEFGH = 4.
Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops. Dakota del Sur. porque la altura AB triángulo AEF es igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a Dakota del Sur = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4 t, ¡y la relación entre el área externa total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea! Eso es lo que es - El principal secreto geométrico de la pirámide de Keops.!
El grupo de "maravillas geométricas" de la pirámide de Keops incluye las propiedades reales y artificiales de la relación entre las distintas dimensiones de la pirámide.
Como regla general, se obtienen en busca de alguna "constante", en particular, el número "pi" (número de Ludolf), igual a 3,14159...; bases de logaritmos naturales "e" (número de Napier) igual a 2,71828...; el número "F", el número de la "sección áurea", igual, por ejemplo, a 0,618...etc.
Puede nombrar, por ejemplo: 1) Propiedad de Heródoto: (Altura) 2 = 0,5 st. principal x Apotema; 2) Propiedad de V. Precio: Alto: 0,5 st. osn \u003d Raíz cuadrada de "Ф"; 3) Propiedad de M. Eist: Perímetro de la base: 2 Altura = "Pi"; en una interpretación diferente: 2 cucharadas. principal : Altura = "Pi"; 4) Propiedad de G. Reber: Radio del círculo inscrito: 0,5 st. principal = "F"; 5) Propiedad de K. Kleppish: (St. main.) 2: 2 (st. main. x Apothem) = (st. main. W. Apothem) = 2 (st. main. x Apothem) : (( 2 st. principal X Apotema) + (st. principal) 2). Etc. Puedes encontrar muchas propiedades de este tipo, especialmente si conectas dos pirámides adyacentes. Por ejemplo, como "Propiedades de A. Arefiev" se puede mencionar que la diferencia entre los volúmenes de la pirámide de Keops y la pirámide de Khafre es igual al doble del volumen de la pirámide de Mykerin...
Muchos posiciones interesantes, en particular, sobre la construcción de pirámides según la "sección áurea" se describen en los libros de D. Hambidge "Dynamic Symmetry in Architecture" y M. Geek "Aesthetics of Proportion in Nature and Art". Recuerde que la "sección áurea" es la división del segmento en tal proporción, cuando la parte A es tantas veces mayor que la parte B, cuántas veces A es menor que todo el segmento A + B. La proporción A / B es igual al número "Ф" == 1.618... El uso de la "sección áurea" está indicado no sólo en pirámides individuales, sino en todo el complejo piramidal de Giza.
Lo más curioso, sin embargo, es que una misma pirámide de Keops simplemente "no puede" contener tantas propiedades maravillosas. Tomando una determinada propiedad una por una, puedes "ajustarla", pero de repente no encajan, no coinciden, se contradicen entre sí. Por lo tanto, si, por ejemplo, al verificar todas las propiedades, inicialmente se toma el mismo lado de la base de la pirámide (233 m), entonces las alturas de las pirámides con diferentes propiedades también serán diferentes. En otras palabras, existe una determinada "familia" de pirámides, aparentemente similares a las de Keops, pero correspondientes a diferentes propiedades. Tenga en cuenta que no hay nada particularmente milagroso en las propiedades "geométricas": muchas cosas surgen de forma puramente automática, de las propiedades de la figura misma. Un "milagro" debería considerarse sólo algo obviamente imposible para los antiguos egipcios. Esto incluye, en particular, los milagros "cósmicos", en los que las medidas de la pirámide de Keops o del complejo piramidal de Giza se comparan con algunas medidas astronómicas y se indican números "pares": un millón de veces, mil millones de veces menos, etc. . Consideremos algunas relaciones "cósmicas".
Una de las afirmaciones es la siguiente: "si dividimos el lado de la base de la pirámide por la longitud exacta del año, obtenemos exactamente una 10 millonésima parte del eje de la Tierra". Calcula: dividimos 233 entre 365, obtenemos 0,638. El radio de la Tierra es 6378 km.
Otra afirmación es en realidad la contraria a la anterior. F. Noetling señaló que si se utiliza el "codo egipcio" inventado por él, el lado de la pirámide corresponderá a "la duración más precisa". año solar, expresado a la milmillonésima de día más cercana" - 365.540.903.777.
Declaración de P. Smith: "La altura de la pirámide es exactamente una milmillonésima parte de la distancia de la Tierra al Sol". Aunque normalmente se toma la altura de 146,6 m, Smith la tomó como 148,2 m. Según las mediciones de radar modernas, el semieje mayor de la órbita terrestre es 149,597,870 + 1,6 km. Ésta es la distancia media de la Tierra al Sol, pero en el perihelio es 5.000.000 de kilómetros menos que en el afelio.
Última declaración curiosa:
"¿Cómo explicar que las masas de las pirámides de Keops, Khafre y Menkaure estén relacionadas entre sí, como las masas de los planetas Tierra, Venus, Marte?" Calculemos. Las masas de las tres pirámides están relacionadas como: Kefrén - 0,835; Keops: 1.000; Mikerin - 0,0915. Las proporciones de las masas de los tres planetas: Venus - 0,815; Terreno: 1.000; Marte - 0,108.
Entonces, a pesar del escepticismo, observemos la conocida armonía en la construcción de las afirmaciones: 1) la altura de la pirámide, como línea que "va al espacio", corresponde a la distancia de la Tierra al Sol; 2) el lado de la base de la pirámide más cercano "al sustrato", es decir, a la Tierra, es responsable del radio terrestre y de la circulación terrestre; 3) los volúmenes de la pirámide (léase - masas) corresponden a la relación de las masas de los planetas más cercanos a la Tierra. Un "cifrado" similar se puede rastrear, por ejemplo, en el lenguaje de las abejas, analizado por Karl von Frisch. Sin embargo, por el momento nos abstenemos de comentar esto.
FORMA DE LAS PIRÁMIDES
La famosa forma tetraédrica de las pirámides no apareció de inmediato. Los escitas hicieron entierros en forma de colinas de tierra: montículos. Los egipcios construyeron "colinas" de piedra: pirámides. Por primera vez esto sucedió después de la unificación del Alto y el Bajo Egipto, en el siglo XXVIII a.C., cuando antes del fundador III dinastía El faraón Zoser (Zoser) tenía la tarea de fortalecer la unidad del país.
Y aquí, según los historiadores, papel importante en el fortalecimiento Gobierno central Jugó un "nuevo concepto de deificación" del rey. Aunque los entierros reales se distinguían por un mayor esplendor, en principio no se diferenciaban de las tumbas de los nobles de la corte, eran las mismas estructuras: mastabas. Sobre la cámara con el sarcófago que contiene la momia, un montículo rectangular de Pequeñas piedras, donde luego se construyó un pequeño edificio hecho de grandes bloques de piedra: "mastaba" (en árabe, "banco"). En el lugar de la mastaba de su predecesor, Sanakht, el faraón Zoser erigió la primera pirámide. Era escalonado y era una etapa de transición visible de una forma arquitectónica a otra, de una mastaba a una pirámide.
De esta manera, el faraón fue "criado" por el sabio y arquitecto Imhotep, quien más tarde fue considerado un mago e identificado por los griegos con el dios Asclepio. Era como si se erigieran seis mastabas seguidas. Además, la primera pirámide ocupaba un área de 1125 x 115 metros, con una altura estimada de 66 metros (según las medidas egipcias - 1000 "palmas"). Al principio, el arquitecto planeó construir una mastaba, pero no alargada, sino de planta cuadrada. Posteriormente se amplió, pero como la ampliación se hizo más baja, se formaron dos escalones.
Esta situación no satisfizo al arquitecto, y en la plataforma superior de una enorme mastaba plana, Imhotep colocó tres más, disminuyendo gradualmente hacia la cima. La tumba estaba debajo de la pirámide.
Se conocen varias pirámides escalonadas más, pero luego los constructores pasaron a construir pirámides tetraédricas más familiares. ¿Por qué, sin embargo, no triangular o, digamos, octogonal? Una respuesta indirecta la da el hecho de que casi todas las pirámides están perfectamente orientadas hacia los cuatro puntos cardinales y, por tanto, tienen cuatro lados. Además, la pirámide era una "casa", el caparazón de una cámara funeraria cuadrangular.
Pero ¿qué provocó el ángulo de inclinación de las caras? En el libro "El principio de proporciones" se dedica un capítulo completo a esto: "¿Qué podría determinar los ángulos de las pirámides?". En particular, se indica que "la imagen hacia la que gravitan las grandes pirámides del Reino Antiguo es un triángulo con un ángulo recto en su cima.
En el espacio es un semioctaedro: una pirámide en la que las aristas y los lados de la base son iguales, las caras son triángulos equiláteros. Ciertas consideraciones sobre este tema se dan en los libros de Hambidge, Geek y otros.
¿Cuál es la ventaja del ángulo del semioctaedro? Según las descripciones de arqueólogos e historiadores, algunas pirámides colapsaron por su propio peso. Lo que se necesitaba era un "ángulo de durabilidad", un ángulo que fuera el más fiable desde el punto de vista energético. De manera puramente empírica, este ángulo se puede tomar desde el ángulo del vértice de un montón de arena seca que se desmorona. Pero para obtener datos precisos, es necesario utilizar el modelo. Tomando cuatro bolas firmemente fijadas, debes colocarles la quinta y medir los ángulos de inclinación. Sin embargo, aquí puedes cometer un error, por lo que un cálculo teórico ayuda: debes conectar los centros de las bolas con líneas (mentalmente). En la base, obtienes un cuadrado con un lado igual al doble del radio. El cuadrado será simplemente la base de la pirámide, cuya longitud de las aristas también será igual al doble del radio.
Así, un empaquetado denso de bolas del tipo 1:4 nos dará un semioctaedro regular.
Sin embargo, ¿por qué muchas pirámides, que gravitan hacia una forma similar, no la conservan? Probablemente las pirámides estén envejeciendo. Al contrario del famoso dicho:
"Todo en el mundo tiene miedo al tiempo, y el tiempo tiene miedo a las pirámides", los edificios de las pirámides deben envejecer, pueden y deben tener lugar no sólo los procesos de erosión externa, sino también los procesos de "contracción" interna. , desde donde las pirámides pueden volverse más bajas. La contracción también es posible porque, como descubrieron los trabajos de D. Davidovits, los antiguos egipcios utilizaban la tecnología de fabricar bloques a partir de virutas de cal, es decir, de "hormigón". Son estos procesos los que podrían explicar el motivo de la destrucción de la pirámide de Medum, situada a 50 km al sur de El Cairo. Tiene 4600 años, las dimensiones de la base son 146 x 146 m, la altura es 118 m. "¿Por qué está tan mutilado?", pregunta V. Zamarovsky. "Las referencias habituales a los efectos destructivos del tiempo y al "uso de la piedra para otras construcciones" no encajan aquí.
Al fin y al cabo, la mayoría de sus bloques y losas de revestimiento se conservan hasta el día de hoy, en las ruinas a sus pies ". Como veremos, una serie de disposiciones hacen pensar incluso que la famosa pirámide de Keops también" se ha reducido ". En cualquier caso, en todas las imágenes antiguas las pirámides están apuntadas...
La forma de las pirámides también podría generarse por imitación: algunos patrones naturales, "perfección milagrosa", digamos, algunos cristales en forma de octaedro.
Estos cristales podrían ser cristales de diamante y de oro. De rasgo un gran número de signos "que se cruzan" para conceptos como Faraón, Sol, Oro, Diamante. En todas partes: noble, brillante (brillante), grandioso, impecable, etc. Las similitudes no son accidentales.
El culto solar, como saben, era una parte importante de la religión. antiguo Egipto. "No importa cómo traduzcamos el nombre de la mayor de las pirámides", se señala en uno de los manuales modernos, "Sky Khufu" o "Sky Khufu", significaba que el rey es el sol. Si Keops, en el esplendor de su poder, se imaginaba a sí mismo como un segundo sol, entonces su hijo Jedef-Ra se convirtió en el primero de los reyes egipcios que comenzó a llamarse a sí mismo "el hijo de Ra", es decir, el hijo del Sol. El sol era simbolizado por casi todos los pueblos como el "metal solar", el oro. "El gran disco de oro brillante": así llamaban los egipcios a nuestra luz del día. Los egipcios conocían muy bien el oro, conocían sus formas nativas, donde los cristales de oro pueden aparecer en forma de octaedros.
Como "muestra de formas" también es interesante aquí la "piedra del sol", un diamante. El nombre del diamante proviene precisamente del mundo árabe, "almas", el más duro, el más duro, el indestructible. Los antiguos egipcios conocían bastante bien el diamante y sus propiedades. Según algunos autores, incluso utilizaban tubos de bronce con cortadores de diamante para perforar.
Actualmente, el principal proveedor de diamantes es Sudáfrica, pero África occidental también es rica en diamantes. El territorio de la República de Mali incluso se llama allí "Tierra del Diamante". Mientras tanto, es en el territorio de Malí donde viven los Dogon, en quienes los partidarios de la hipótesis de la paleovisita depositan muchas esperanzas (ver más abajo). Los diamantes no pudieron ser el motivo de los contactos de los antiguos egipcios con esta región. Sin embargo, de una forma u otra, es posible que fue precisamente copiando los octaedros de diamantes y cristales de oro que los antiguos egipcios deificaron a los faraones, “indestructibles” como el diamante y “brillantes” como el oro, los hijos del Sol, comparables sólo con las más maravillosas creaciones de la naturaleza.
Conclusión:
Habiendo estudiado la pirámide como cuerpo geométrico, familiarizándonos con sus elementos y propiedades, estábamos convencidos de la validez de la opinión sobre la belleza de la forma de la pirámide.
Como resultado de nuestra investigación, llegamos a la conclusión de que los egipcios, habiendo recopilado el conocimiento matemático más valioso, lo plasmaron en una pirámide. Por tanto, la pirámide es verdaderamente la creación más perfecta de la naturaleza y el hombre.
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Historia de las matemáticas en la escuela, M: "Ilustración", 1982
Geometría grado 10-11, M: "Ilustración", 2000
Peter Tompkins "Secretos" gran piramide Keops", M: "Tsentropoligraf", 2005
recursos de Internet
http://veka-i-mig. *****/
http://tambov. *****/vjpusk/vjp025/rabot/33/index2.htm
http://www. *****/enc/54373.html
Instrucción
En el caso de que la base pirámides se encuentra un cuadrado, se conoce la longitud de su diagonal, así como la longitud del borde de este pirámides, Eso altura este pirámides se puede expresar a partir del teorema de Pitágoras, porque el triángulo que está formado por la arista pirámides, y la mitad de la diagonal en la base es un triángulo rectángulo.
El teorema de Pitágoras establece que el cuadrado de la hipotenusa en un rectángulo es igual en magnitud a la suma de los cuadrados de sus catetos (a² = b² + c²). borde pirámides- la hipotenusa, uno de los catetos es la mitad de la diagonal del cuadrado. Luego, la longitud del cateto desconocido (altura) se encuentra mediante las fórmulas:
b² = a² - c²;
c² = a² - b².
Para que ambas situaciones sean lo más claras y comprensibles posible, puedes considerar una pareja.
Ejemplo 1: Área base pirámides 46 cm², su volumen es de 120 cm³. Según estos datos, la altura pirámides ubicado así:
altura = 3*120/46 = 7,83 cm
Respuesta: la altura de un dado pirámides será de aproximadamente 7,83 cm
Ejemplo 2: pirámides, en cuya base se encuentra un polígono, un cuadrado, su diagonal es de 14 cm, la longitud del borde es de 15 cm. Según estos datos, para encontrar altura pirámides, necesitas usar la siguiente fórmula(que, como consecuencia del teorema de Pitágoras):
h² = 15² - 14²
h² = 225 - 196 = 29
h = √29cm
Respuesta: la altura de un dado pirámides mide √29 cm o aproximadamente 5,4 cm
nota
Si en la base de la pirámide hay un cuadrado u otro polígono regular, entonces esta pirámide se puede llamar regular. Una pirámide de este tipo tiene varias propiedades:
sus nervaduras laterales son iguales;
los bordes de ella triángulos isósceles, que son iguales entre sí;
cerca de tal pirámide, se puede describir una esfera, así como inscribirla.
Fuentes:
- Pirámide correcta
Una pirámide es una figura, en cuya base se encuentra un polígono, mientras que sus caras son triángulos con un vértice común a todas. En problemas típicos, a menudo es necesario construir y determinar la longitud de una perpendicular trazada desde un vértice. pirámides al plano de su base. La longitud de este segmento se llama altura. pirámides.
Necesitará
- - gobernante
- - lápiz
- - brújulas
Instrucción
Para realizarlo, construya una pirámide de acuerdo con la condición del problema. Por ejemplo, para construir un tetraedro regular, debes dibujar una figura de manera que las 6 aristas sean iguales entre sí. Si necesitas construir altura cuadrangular, entonces solo 4 aristas de la base deben ser iguales. Luego, los bordes de las caras laterales se pueden construir de manera desigual a los bordes del polígono. Nombra la pirámide, designando todos los vértices con letras latinas. Por ejemplo, para pirámides con un triángulo en la base, puedes elegir A, B, C (para la base), S (para la parte superior). Si en la condición se especifican tamaños específicos de aristas, al construir una figura, se debe proceder a partir de estos valores.
Para empezar, seleccione condicionalmente con la ayuda de un compás, tocando desde el interior todos los bordes del polígono. Si es una pirámide, entonces el punto (llámelo, por ejemplo, H) en la base pirámides, en el que cae la altura, debe corresponder al centro del círculo inscrito en la base correcta pirámides. El centro corresponderá a un punto equidistante de cualquier otro punto de la circunferencia. Si conectamos el vértice pirámides S con el centro del círculo H, entonces el segmento SH será la altura pirámides. Al mismo tiempo, recuerda que un círculo puede estar inscrito en un cuadrilátero cuyas sumas de lados opuestos sean iguales. Esto se aplica al cuadrado y al rombo. En este caso, el punto H estará en el cuadrilátero. Para cualquier triángulo, es posible inscribir y describir un círculo.
Para construir altura pirámides, usa un compás para dibujar un círculo y luego usa una regla para conectar su centro H con el vértice S. SH es la altura deseada. si en la base pirámides SABC es una figura no válida, entonces la altura conectará el vértice pirámides con el centro del círculo en el que está inscrito el polígono de la base. Todos los vértices del polígono se encuentran en dicho círculo. En este caso, este segmento será perpendicular al plano de la base. pirámides. Puedes describir un círculo alrededor de un cuadrilátero si la suma de los ángulos opuestos es 180o. Entonces el centro de dicho círculo estará en la intersección de las diagonales de las correspondientes.
¿Cómo se puede construir una pirámide? En la superficie R Construyamos algún polígono, por ejemplo, el pentágono ABCDE. Fuera de plano R tome el punto S. Conectando el punto S con segmentos a todos los puntos del polígono, obtenemos la pirámide SABCDE (fig.).
El punto S se llama cumbre, y el polígono ABCDE - base esta pirámide. Así, una pirámide con cima S y base ABCDE es la unión de todos los segmentos donde M ∈ ABCDE.
Los triángulos SAB, SBC, SCD, SDE, SEA se llaman caras laterales pirámides, lados comunes caras laterales SA, SB, SC, SD, SE - costillas laterales.
Las pirámides se llaman triangular, cuadrangular, n-gonal dependiendo del número de lados de la base. En la fig. Se dan imágenes de pirámides triangulares, cuadrangulares y hexagonales.
El plano que pasa por la cima de la pirámide y la diagonal de la base se llama diagonal, y la sección transversal resultante - diagonal. En la fig. 186 una de las secciones diagonales de la pirámide hexagonal está sombreada.
El segmento de la perpendicular trazada desde la cima de la pirámide hasta el plano de su base se llama altura de la pirámide (los extremos de este segmento son la cima de la pirámide y la base de la perpendicular).
La pirámide se llama correcto si la base de la pirámide es un polígono regular y la cima de la pirámide se proyecta hacia su centro.
Todas las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles congruentes. En una pirámide regular, todas las aristas laterales son congruentes.
La altura de la cara lateral de una pirámide regular, trazada desde su cima, se llama apotema pirámides. Todas las apotemas de una pirámide regular son congruentes.
Si designamos el lado de la base como A, y apotema a través de h, entonces el área de una cara lateral de la pirámide es 1/2 ah.
La suma de las áreas de todas las caras laterales de la pirámide se llama superficie lateral pirámides y se denota por el lado S.
Porque superficie lateral una pirámide regular consta de norte caras congruentes, entonces
lado S = 1/2 ahn=P h / 2 ,
donde P es el perímetro de la base de la pirámide. Por eso,
lado S =P h / 2
es decir. el área de la superficie lateral de una pirámide regular es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la apotema.
La superficie total de la pirámide se calcula mediante la fórmula
S = S ocn. + lado S. .
El volumen de la pirámide es igual a un tercio del producto del área de su base S ocn. a la altura H:
V = 1/3 S ocn. NORTE.
La derivación de ésta y algunas otras fórmulas se dará en un capítulo posterior.
Ahora construyamos una pirámide de otra manera. Sea un ángulo poliédrico, por ejemplo, de cinco lados, con vértice S (fig.).
dibujar un avión R de modo que interseca todos los bordes de un ángulo poliédrico dado en diferentes puntos A, B, C, D, E (Fig.). Entonces la pirámide SABCDE se puede considerar como la intersección de un ángulo poliédrico y un semiespacio con un límite R, que contiene el vértice S.
Evidentemente, el número de todas las caras de la pirámide puede ser arbitrario, pero al menos cuatro. Cuando un plano corta un ángulo triédrico, se obtiene una pirámide triangular, que tiene cuatro caras. Cualquier pirámide triangular a veces se llama tetraedro, que significa cuadrilátero.
pirámide truncada Se puede obtener si la pirámide es atravesada por un plano paralelo al plano de la base.
En la fig. Se da la imagen de una pirámide truncada cuadrangular.
Las pirámides truncadas también se llaman triangular, cuadrangular, n-gonal dependiendo del número de lados de la base. De la construcción de una pirámide truncada se desprende que tiene dos bases: una superior y otra inferior. Las bases de una pirámide truncada son dos polígonos cuyos lados son paralelos por pares. Las caras laterales de una pirámide truncada son trapecios.
Altura Una pirámide truncada es un segmento de una perpendicular trazada desde cualquier punto de la base superior hasta el plano de la inferior.
Pirámide truncada correcta Se llama parte de una pirámide regular, encerrada entre la base y un plano de sección paralelo a la base. La altura de la cara lateral de una pirámide truncada regular (trapezoide) se llama apotema.
Se puede demostrar que una pirámide truncada regular tiene aristas laterales congruentes, todas las caras laterales son congruentes y todas las apotemas son congruentes.
Si está en la forma correcta truncada norte- pirámide de carbón a través A Y bn denotar las longitudes de los lados de las bases superior e inferior, y a través de h- la longitud de la apotema, entonces el área de cada cara lateral de la pirámide es
1 / 2 (A + bn) h
La suma de las áreas de todas las caras laterales de la pirámide se llama área de su superficie lateral y se denota por el lado S. . Obviamente, para un truncado regular norte- pirámide de carbón
lado S = norte 1 / 2 (A + bn) h.
Porque Pensilvania= P y nótese bien\u003d P 1 - los perímetros de las bases de la pirámide truncada, luego
lado S \u003d 1 / 2 (P + P 1) h,
es decir, el área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular es igual a la mitad del producto de la suma de los perímetros de sus bases y la apotema.
Sección paralela a la base de la pirámide.
Teorema. Si la pirámide es atravesada por un plano paralelo a la base, entonces:1) las nervaduras laterales y la altura se dividirán en partes proporcionales;
2) en la sección obtienes un polígono similar a la base;
3) las áreas de la sección y la base se relacionan como los cuadrados de sus distancias desde la cima.
Basta demostrar el teorema de una pirámide triangular.
Dado que los planos paralelos son intersecados por el tercer plano a lo largo de líneas paralelas, entonces (AB) || (A 1 B 1), (BC) ||(B 1 C 1), (AC) || (A 1 C 1) (Fig.).
Las rectas paralelas cortan los lados del ángulo en partes proporcionales y, por lo tanto,
$$ \frac(\left|(SA)\right|)(\left|(SA_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1)\right| )=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
Por lo tanto, ΔSAB ~ ΔSA 1 B 1 y
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\derecha|) $$
∆SBC ~ ∆SB 1 C 1 y
$$ \frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_(1)C_1)\right|)=\frac(\left|(SB)\right|)(\left|(SB_1 )\right|)=\frac(\left|(SC)\right|)(\left|(SC_1)\right|) $$
De este modo,
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(BC)\right|)(\left|(B_ (1)C_1)\right|)=\frac(\left|(AC)\right|)(\left|(A_(1)C_1)\right|) $$
Los ángulos correspondientes de los triángulos ABC y A 1 B 1 C 1 son congruentes, como ángulos con lados paralelos e igualmente dirigidos. Es por eso
∆ABC ~ ∆A 1 B 1 C 1
Las áreas de triángulos semejantes están relacionadas como los cuadrados de los lados correspondientes:
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(AB)\right|^2)(\left|(A_(1)B_1)\right|^2 ) $$
$$ \frac(\left|(AB)\right|)(\left|(A_(1)B_1)\right|)=\frac(\left|(SH)\right|)(\left|(SH_1 )\derecha|) $$
Por eso,
$$ \frac(S_(ABC))(S_(A_1 B_1 C_1))=\frac(\left|(SH)\right|^2)(\left|(SH_1)\right|^2) $$
Teorema. Si dos pirámides de igual altura se cortan a la misma distancia de la cima por planos paralelos a las bases, entonces las áreas de las secciones son proporcionales a las áreas de las bases.
Sean (Fig.84) B y B 1 las áreas de las bases de dos pirámides, H es la altura de cada una de ellas, b Y b 1 - áreas de sección transversal por planos paralelos a las bases y alejados de las cimas a la misma distancia h.
Según el teorema anterior tendremos:
$$ \frac(b)(B)=\frac(h^2)(H^2)\: y \: \frac(b_1)(B_1)=\frac(h^2)(H^2) $ ps
dónde
$$ \frac(b)(B)=\frac(b_1)(B_1)\: o \: \frac(b)(b_1)=\frac(B)(B_1) $$
Consecuencia. Si B \u003d B 1, entonces y b = b 1, es decir Si dos pirámides de igual altura tienen bases iguales, entonces las secciones equidistantes de la cima también son iguales.
Otros materialesEl texto de la obra se coloca sin imágenes ni fórmulas.
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Introducción
Cuando nos encontramos con la palabra "pirámide", entonces la memoria asociativa nos lleva a Egipto. Si hablamos de los primeros monumentos de la arquitectura, se puede argumentar que su número es de al menos varios cientos. Un escritor árabe del siglo XIII dijo: "Todo en el mundo le teme al tiempo, y el tiempo le teme a las pirámides". Las pirámides son el único milagro de las siete maravillas del mundo que ha sobrevivido hasta nuestros días, hasta la época. tecnologia computacional. Sin embargo, los investigadores aún no han podido encontrar pistas de todos sus misterios. Cuanto más aprendemos sobre las pirámides, más preguntas tenemos. Las pirámides son de interés para historiadores, físicos, biólogos, médicos, filósofos, etc. Son de gran interés y fomentan un estudio más profundo de sus propiedades, tanto desde el punto de vista matemático como de otro tipo (histórico, geográfico, etc.).
Es por eso meta Nuestro estudio fue el estudio de las propiedades de la pirámide desde diferentes puntos de vista. Como objetivos intermedios hemos identificado: consideración de las propiedades de la pirámide desde el punto de vista matemático, el estudio de hipótesis sobre la existencia de secretos y misterios de la pirámide, así como las posibilidades de su aplicación.
objeto El estudio de este artículo es una pirámide.
Artículo Investigación: características y propiedades de la pirámide.
Tareas investigación:
Estudiar literatura científico - popular sobre el tema de investigación.
Consideremos la pirámide como un cuerpo geométrico.
Determinar las propiedades y características de la pirámide.
Encuentre material que confirme el uso de propiedades piramidales en Varias áreas ciencia y Tecnología.
Métodos investigación: análisis, síntesis, analogía, modelado mental.
Resultado esperado del trabajo. Debe estructurarse información sobre la pirámide, sus propiedades y aplicaciones.
Etapas de preparación del proyecto.:
Determinar la temática del proyecto, metas y objetivos.
Estudiar y recoger material.
Elaboración de un plan de proyecto.
Formulación del resultado esperado de la actividad del proyecto, incluida la asimilación de material nuevo, la formación de conocimientos, destrezas y habilidades en la actividad temática.
Formulación de resultados de investigación.
Reflexión
Pirámide como cuerpo geométrico.
Considere los orígenes de la palabra y el término " pirámide". Inmediatamente vale la pena señalar que la "pirámide" o " pirámide"(Inglés), " pirámide"(francés, español y lenguas eslavas), pirámide(Alemán) es un término occidental con orígenes en la antigua Grecia. En griego antiguo πύραμίς ("PAG irami"y muchos otros. h. Πύραμίδες « pirámides"") tiene varios significados. Los antiguos griegos llamaban pirámide» un pastel de trigo que recordaba la forma de las estructuras egipcias. Más tarde, la palabra pasó a significar "una estructura monumental con un área cuadrada en la base y con lados inclinados que se unen en la parte superior". Diccionario etimológico indica que el griego "pyramis" proviene del egipcio " pimar". La primera interpretación escrita de la palabra. "pirámide" encontrado en Europa en 1555 y significa: "uno de los tipos de edificios antiguos de los reyes". Después del descubrimiento de las pirámides en México y con el desarrollo de la ciencia en el siglo XVIII, la pirámide se convirtió no solo en un antiguo monumento arquitectónico, sino también en una figura geométrica regular con cuatro lados simétricos (1716). El comienzo de la geometría de la pirámide se estableció en el antiguo Egipto y Babilonia, sin embargo desarrollo activo recibido en Antigua Grecia. El primero en establecer a qué equivale el volumen de la pirámide fue Demócrito, y Eudoxo de Cnido lo demostró.
La primera definición pertenece al matemático griego antiguo, autor de tratados teóricos sobre matemáticas que nos han llegado, Euclides. En el volumen XII de sus "Inicios", define la pirámide como una figura corporal, delimitada por planos que desde un plano (base) convergen en un punto (cima). Pero esta definición ya ha sido criticada en la antigüedad. Entonces Heron propuso la siguiente definición de pirámide: "Es una figura delimitada por triángulos que convergen en un punto y cuya base es un polígono".
Hay una definición matemático francés Adrien Marie Legendre, quien en 1794 en su obra "Elementos de geometría" define la pirámide de la siguiente manera: "La pirámide es una figura corporal formada por triángulos que convergen en un punto y terminan en diferentes lados de una base plana".
Los diccionarios modernos interpretan el término "pirámide" de la siguiente manera:
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Un poliedro cuya base es un polígono y las demás caras son triángulos que tienen un vértice común |
Diccionario explicativo de la lengua rusa, ed. D. N. Ushakova |
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Un cuerpo delimitado por triángulos iguales, compuesto de vértices en un punto y formando un cuadrado con sus bases. |
Diccionario Explicativo de V.I.Dal |
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Un poliedro cuya base es un polígono y el resto de caras son triángulos con un vértice común |
Diccionario explicativo, ed. S. I. Ozhegova y N. Yu. Shvedova |
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Un poliedro cuya base es un polígono y cuyas caras laterales son triángulos que tienen un vértice común. |
T. F. Efremov. Nuevo diccionario explicativo y derivativo de la lengua rusa. |
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Un poliedro, una de cuyas caras es un polígono y las otras caras son triángulos que tienen un vértice común. |
Diccionario palabras extranjeras |
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Un cuerpo geométrico cuya base es un polígono y cuyos lados son tantos triángulos como la base tiene lados cuyos vértices convergen en un punto. |
Diccionario de palabras extranjeras de la lengua rusa. |
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Un poliedro, una de las caras del cual es una especie de polígono plano, y todas las demás caras son triángulos, cuyas bases son los lados de la base del triángulo y los vértices convergen en un punto. |
F. Brockhaus, I.A. Efrón. diccionario enciclopédico |
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Un poliedro cuya base es un polígono y las caras restantes son triángulos que tienen un vértice común |
Moderno Diccionario |
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Un poliedro, una de cuyas caras es un polígono y las otras caras son triángulos con un vértice común |
Diccionario enciclopédico matemático |
Analizando las definiciones de pirámide, podemos concluir que todas las fuentes tienen formulaciones similares:
Una pirámide es un poliedro cuya base es un polígono, y el resto de caras son triángulos que tienen un vértice común. Según el número de esquinas de la base, las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc.
El polígono A 1 A 2 A 3 ... An es la base de la pirámide, y los triángulos RA 1 A 2, RA 2 A 3, ..., PAnA 1 son las caras laterales de la pirámide, P es la cima de la pirámide, los segmentos RA 1, RA 2, ..., PAn - nervaduras laterales.
La perpendicular trazada desde la cima de la pirámide al plano de la base se llama h pirámides.
Además de una pirámide arbitraria, existe una pirámide regular, en cuya base hay un polígono regular y una pirámide truncada.
área La superficie total de una pirámide es la suma de las áreas de todas sus caras. Sfull = S lado + S principal, donde S lado es la suma de las áreas de las caras laterales.
Volumen La pirámide se encuentra mediante la fórmula: V=1/3S main.h, donde S main. - área de la base, h - altura.
A propiedades piramidales relatar:
Cuando todos los bordes laterales son del mismo tamaño, entonces es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, mientras que la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo; las nervaduras laterales forman los mismos ángulos con el plano base; Además, lo contrario también es cierto, es decir. cuando las costillas laterales se forman con el plano base ángulos iguales, o cuando se puede describir un círculo cerca de la base de la pirámide y la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro de este círculo, lo que significa que todos los bordes laterales de la pirámide tienen el mismo tamaño.
Cuando las caras laterales tienen un ángulo de inclinación con respecto al plano de la base del mismo valor, entonces es fácil describir un círculo cerca de la base de la pirámide, mientras que la cima de la pirámide se proyectará hacia el centro de este círculo. ; las alturas de las caras laterales son de igual longitud; el área de la superficie lateral es igual a la mitad del producto del perímetro de la base por la altura de la cara lateral.
La pirámide se llama correcto, si su base es un polígono regular y el vértice se proyecta hacia el centro de la base. Las caras laterales de una pirámide regular son triángulos isósceles iguales (Fig. 2a). eje Una pirámide regular se llama línea recta que contiene su altura. Apotema - la altura de la cara lateral de una pirámide regular, extraída desde su cima.
Cuadrado La cara lateral de una pirámide regular se expresa de la siguiente manera: Slado. \u003d 1 / 2P h, donde P es el perímetro de la base, h es la altura de la cara lateral (la apotema de una pirámide regular). Si la pirámide es atravesada por un plano A'B'C'D' paralelo a la base, entonces los bordes laterales y la altura se dividen por este plano en partes proporcionales; en sección se obtiene un polígono A'B'C'D', similar a la base; las áreas de la sección y la base están relacionadas como los cuadrados de sus distancias desde la parte superior.
Pirámide truncada Se obtiene cortando de la pirámide su parte superior por un plano paralelo a la base (Fig. 2b). Las bases de la pirámide truncada son polígonos semejantes ABCD y A`B`C`D`, las caras laterales son trapecios. La altura de una pirámide truncada es la distancia entre las bases. El volumen de una pirámide truncada se encuentra mediante la fórmula: V=1/3 h (S + + S'), donde S y S' son las áreas de las bases ABCD y A'B'C'D', h es la altura.
Las bases de una pirámide n-gonal truncada regular son n-gonos regulares. El área de la superficie lateral de una pirámide truncada regular se expresa de la siguiente manera: Slado. \u003d ½ (P + P ') h, donde P y P' son los perímetros de las bases, h es la altura de la cara lateral (la apotema de una pirámide truncada regular)
Las secciones de la pirámide por planos que pasan por su cima son triángulos. Una sección que pasa por dos aristas laterales no vecinas de una pirámide se llama sección diagonal. Si la sección pasa por un punto en el borde lateral y el lado de la base, entonces este lado será su huella en el plano de la base de la pirámide. Una sección que pasa por un punto que se encuentra en la cara de la pirámide y una traza dada de la sección en el plano de la base, entonces la construcción se debe realizar de la siguiente manera: encontrar el punto de intersección del plano de la cara dada y la trazar la sección de la pirámide y designarla; construir una línea recta que pase por un punto dado y el punto de intersección resultante; Repita estos pasos para las siguientes caras.
Pirámide rectangular - es una pirámide en la que uno de los bordes laterales es perpendicular a la base. En este caso, este borde será la altura de la pirámide (Fig. 2c).
Pirámide triangular regular es una pirámide cuya base es triángulo rectángulo, y la parte superior se proyecta hacia el centro de la base. Un caso especial de pirámide triangular regular es tetraedro. (Figura 2a)
Considere los teoremas que conectan la pirámide con otras. cuerpos geométricos.
Esfera
Se puede describir una esfera cerca de una pirámide cuando en la base de ésta hay un polígono alrededor del cual se puede describir un círculo (condición necesaria y suficiente). El centro de la esfera será el punto de intersección de los planos que pasan por los puntos medios de las aristas de la pirámide perpendiculares a ellos. De este teorema se deduce que una esfera se puede describir tanto con respecto a cualquier pirámide triangular como a cualquier pirámide regular; Una esfera puede inscribirse en una pirámide cuando los planos bisectores de los ángulos diédricos internos de la pirámide se cruzan en un punto (condición necesaria y suficiente). Este punto será el centro de la esfera.
Cono
Un cono se dice inscrito en una pirámide si sus vértices coinciden y su base está inscrita en la base de la pirámide. Además, es posible inscribir un cono en una pirámide sólo cuando las apotemas de la pirámide son iguales entre sí (condición necesaria y suficiente); Un cono se dice inscrito cerca de la pirámide cuando sus vértices coinciden y su base está inscrita cerca de la base de la pirámide. Además, es posible describir un cono cerca de la pirámide sólo cuando todos los bordes laterales de la pirámide son iguales (condición necesaria y suficiente); Las alturas de dichos conos y pirámides son iguales entre sí.
Cilindro
Un cilindro se dice inscrito en una pirámide si una de sus bases coincide con un círculo inscrito en la sección de la pirámide por un plano paralelo a la base, y la otra base pertenece a la base de la pirámide. Un cilindro se llama inscrito cerca de una pirámide si la cima de la pirámide pertenece a una de sus bases y su otra base está inscrita cerca de la base de la pirámide. Además, es posible describir un cilindro cerca de la pirámide sólo cuando hay un polígono inscrito en la base de la pirámide (condición necesaria y suficiente).
Muy a menudo en sus investigaciones, los científicos utilizan las propiedades de la pirámide. con las proporciones de la proporción áurea. Consideraremos cómo se utilizaron las proporciones de la sección áurea al construir las pirámides en el siguiente párrafo, y aquí nos detendremos en la definición de la sección áurea.
El diccionario enciclopédico matemático da la siguiente definición sección dorada- esta es la división del segmento AB en dos partes de tal manera que la mayor parte de su AC sea el promedio proporcional entre todo el segmento AB y su parte más pequeña CB.
El hallazgo algebraico de la sección áurea del segmento AB = a se reduce a resolver la ecuación a: x = x: (a-x), de donde x es aproximadamente igual a 0,62a. La razón x se puede expresar como fracciones n/n+1= 0,618, donde n es el número de Fibonacci numerado n.
La proporción áurea se utiliza a menudo en obras de arte, arquitectura y se encuentra en la naturaleza. Ejemplos vívidos son la escultura de Apolo Belvedere, el Partenón. Durante la construcción del Partenón, se utilizó la relación entre la altura del edificio y su longitud y esta relación es 0,618. Los objetos que nos rodean también proporcionan ejemplos de la proporción áurea; por ejemplo, las encuadernaciones de muchos libros también tienen una proporción ancho-largo cercana a 0,618.
Así, después de estudiar la literatura científica popular sobre el problema de investigación, llegamos a la conclusión de que una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono, y el resto de las caras son triángulos con un vértice común. Examinamos los elementos y propiedades de la pirámide, sus tipos y su correlación con las proporciones de la Sección Áurea.
2. Características de la pirámide
Entonces, en el Gran Diccionario Enciclopédico está escrito que una pirámide es una estructura monumental que tiene la forma geométrica de una pirámide (a veces escalonada o en forma de torre). Las tumbas de los antiguos faraones egipcios del tercer y segundo milenio antes de Cristo se llamaban pirámides. e., así como los pedestales de templos de América Central y del Sur, asociados a cultos cosmológicos. Entre las grandiosas pirámides de Egipto, un lugar especial lo ocupa la Gran Pirámide del faraón Keops. Antes de pasar al análisis de la forma y tamaño de la pirámide de Keops, conviene recordar qué sistema de medidas utilizaban los egipcios. Los egipcios tenían tres unidades de longitud: "codo" (466 mm), igual a siete "palmas" (66,5 mm), que, a su vez, equivalía a cuatro "dedos" (16,6 mm).
La mayoría de los investigadores coinciden en que la longitud del lado de la base de la pirámide, por ejemplo GF, es L = 233,16 m, valor que corresponde casi exactamente a 500 "codos". Se cumplirá plenamente con 500 "codos" si la longitud del "codo" se considera igual a 0,4663 m.
Los investigadores estiman la altura de la pirámide (H) de diferentes maneras entre 146,6 y 148,2 m, y dependiendo de la altura aceptada de la pirámide, todas las proporciones de sus elementos geométricos cambian. ¿Cuál es el motivo de las diferencias en la estimación de la altura de la pirámide? El caso es que la pirámide de Keops está truncada. Su plataforma superior hoy tiene un tamaño de aproximadamente 10x10 my hace un siglo era de 6x6 m, es obvio que la cima de la pirámide fue desmantelada y no corresponde a la original. Al estimar la altura de la pirámide, es necesario tener en cuenta un factor físico como el asentamiento de la estructura. Durante mucho tiempo, bajo la influencia de una presión colosal (que alcanzó las 500 toneladas por 1 m 2 de superficie inferior), la altura de la pirámide disminuyó en comparación con su altura original. La altura original de la pirámide se puede recrear si encuentras la idea geométrica básica.
En 1837, el coronel inglés G. Wise midió el ángulo de inclinación de las caras de la pirámide: resultó ser igual a a = 51 ° 51 ". Este valor aún hoy es reconocido por la mayoría de los investigadores. El valor indicado de la El ángulo corresponde a la tangente (tg a), igual a 1,27306, este valor corresponde a la relación entre la altura de la pirámide AC y la mitad de su base CB, es decir, AC/CB = H / (L/2) = 2H. / l.
¡Y aquí los investigadores se llevaron una gran sorpresa! El caso es que si sacamos la raíz cuadrada de la proporción áurea, obtenemos el siguiente resultado = 1,272. Comparando este valor con el valor tg a = 1,27306, vemos que estos valores están muy cerca uno del otro. Si tomamos el ángulo a = 51 ° 50 ", es decir, lo reducimos solo en un minuto de arco, entonces el valor de a será igual a 1,272, es decir, coincidirá con el valor. Cabe señalar que en 1840 G. Wise repitió sus mediciones y aclaró que el valor del ángulo a = 51 ° 50 ".
Estas mediciones llevaron a los investigadores a la siguiente interesante hipótesis: el triángulo ASV de la pirámide de Keops se basó en la relación AC/CB = 1,272.
Consideremos ahora un triángulo rectángulo ABC, en el que la razón de los catetos AC/CB = . Si ahora denotamos las longitudes de los lados del rectángulo ABC como x, y, z, y también tenemos en cuenta que la relación y / x \u003d, entonces, de acuerdo con el teorema de Pitágoras, la longitud z se puede calcular mediante la fórmula:
Si aceptamos x = 1, y = , entonces:
Un triángulo rectángulo cuyos lados están relacionados como t::1 se llama triángulo rectángulo "áureo".
Entonces, si tomamos como base la hipótesis de que la principal "idea geométrica" de la pirámide de Keops es el triángulo rectángulo "dorado", entonces desde aquí es fácil calcular la altura "de diseño" de la pirámide de Keops. Es igual a:
H \u003d (l / 2) / \u003d 148,28 m.
Deduzcamos ahora algunas otras relaciones para la pirámide de Keops, que se derivan de la hipótesis "áurea". En particular, encontramos la relación entre el área exterior de la pirámide y el área de su base. Para hacer esto, tomamos la longitud del cateto CB como una unidad, es decir: CB = 1. Pero entonces la longitud del lado de la base de la pirámide es GF = 2, y el área de la base EFGH será igual a SEFGH = 4.
Calculemos ahora el área de la cara lateral de la pirámide de Keops S D . Dado que la altura AB del triángulo AEF es igual a t, entonces el área de la cara lateral será igual a S D = t. Entonces el área total de las cuatro caras laterales de la pirámide será igual a 4t, y la relación entre el área externa total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea. Este es el principal secreto geométrico de la pirámide de Keops.
Y además, durante la construcción de las pirámides de Egipto, se descubrió que el cuadrado construido a la altura de la pirámide, exactamente igual al área cada uno de los triángulos laterales. Así lo confirman las últimas mediciones.
Sabemos que la relación entre la circunferencia de un círculo y su diámetro es un valor constante bien conocido por los matemáticos modernos y los escolares; este es el número "Pi" = 3,1416 ... Pero si sumamos los cuatro lados de la base del Pirámide de Keops, obtenemos 931,22 m, dividiendo este número por el doble de la altura de la pirámide (2x148,208), obtenemos 3,1416 ..., es decir, el número "Pi". Por lo tanto, la pirámide de Keops es un monumento único, que es la encarnación material del número "Pi", que juega un papel importante en las matemáticas.
Así, la presencia en el tamaño de la pirámide de la sección áurea - la relación entre el lado duplicado de la pirámide y su altura - es un número muy cercano en valor al número π. Esto, por supuesto, también es una característica. Aunque muchos autores creen que esta coincidencia es accidental, ya que la fracción 14/11 es "una buena aproximación para raíz cuadrada de la razón de la sección áurea, y de la razón de las áreas de un cuadrado y un círculo inscritos en él.
Sin embargo, es un error hablar aquí sólo de las pirámides de Egipto. No sólo existen pirámides egipcias, existe toda una red de pirámides en la Tierra. Los principales monumentos (las pirámides de Egipto y México, la Isla de Pascua y el complejo de Stonehenge en Inglaterra) a primera vista se encuentran dispersos al azar por nuestro planeta. Pero si el estudio incluye el complejo de pirámides tibetanas, entonces aparece un estricto sistema matemático de su ubicación en la superficie de la Tierra. En el contexto de la cordillera del Himalaya, se distingue claramente una formación piramidal: el monte Kailash. La ubicación de la ciudad de Kailash, las pirámides de Egipto y México es muy interesante, es decir, si conectas la ciudad de Kailash con las pirámides de México, la línea que las conecta va a la Isla de Pascua. Si conectas la ciudad de Kailash con las pirámides de Egipto, la línea de su conexión vuelve a ir a la Isla de Pascua. exactamente una cuarta parte el mundo. Si conectamos las pirámides mexicanas y las egipcias, entonces veremos dos triangulo igual. Si encuentras su área, entonces su suma es igual a un cuarto del área del globo.
Se reveló una conexión indiscutible entre el complejo de pirámides tibetanas con otras estructuras antigüedad: las pirámides de Egipto y México, los colosos de la Isla de Pascua y el complejo de Stonehenge en Inglaterra. La altura de la pirámide principal del Tíbet, el monte Kailash, es 6714 metros. Distancia de Kailash a Polo Norte es igual 6714 kilómetros, la distancia de Kailash a Stonehenge es 6714 kilómetros. Si dejamos de lado en el globo desde el Polo Norte estos 6714 kilómetros, luego llegaremos a la llamada Torre del Diablo, que parece una pirámide trunca. Y finalmente exactamente 6714 kilómetros desde Stonehenge hasta el Triángulo de las Bermudas.
Como resultado de estos estudios, se puede concluir que existe un sistema geográfico piramidal en la Tierra.
Así, las características son la relación entre el área externa total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea; la presencia en el tamaño de la pirámide de la sección áurea (la relación entre el lado duplicado de la pirámide y su altura) es un número muy cercano en valor al número π, es decir la pirámide de Keops es un monumento único en su tipo, que es la encarnación material del número "Pi"; la existencia de un sistema piramidal-geográfico.
3. Otras propiedades y usos de la pirámide.
Considere la aplicación práctica de esta figura geométrica. Por ejemplo, holograma. Primero, veamos qué es la holografía. Holografía - un conjunto de tecnologías para registrar, reproducir y remodelar con precisión los campos de ondas de la óptica radiación electromagnética, un método fotográfico especial en el que, con la ayuda de un láser, se graban imágenes de objetos tridimensionales y luego se restauran al máximo parecido a los reales. Un holograma es un producto de la holografía, una imagen tridimensional creada por un láser que reproduce la imagen de un objeto tridimensional. Usando una pirámide tetraédrica truncada regular, puede recrear una imagen: un holograma. Se crean un archivo fotográfico y una pirámide tetraédrica truncada regular a partir de un material translúcido. Se hace una pequeña sangría desde el píxel inferior y el píxel central en relación con el eje y. Este punto será el punto medio del lado del cuadrado formado por la sección. La foto se multiplica y sus copias se ubican de la misma manera con respecto a los otros tres lados. Sobre el cuadrado se coloca una pirámide con una sección hacia abajo de manera que coincida con el cuadrado. Monitor genera onda de luz, cada una de las cuatro fotografías idénticas, al estar en el plano que es la proyección de la cara de la pirámide, cae sobre la cara misma. Como resultado, en cada una de las cuatro caras tenemos las mismas imágenes, y como el material del que está hecha la pirámide tiene la propiedad de transparencia, las ondas parecen refractarse y encontrarse en el centro. Como resultado, obtenemos el mismo patrón de interferencia. onda estacionaria, cuyo eje central, o cuyo eje de rotación es la altura de una pirámide truncada regular. Este método también funciona con la imagen de vídeo, ya que el principio de funcionamiento permanece sin cambios.
Considerando casos particulares, se puede ver que la pirámide se usa ampliamente en la vida cotidiana, incluso en familiar. La forma piramidal se encuentra a menudo, principalmente en la naturaleza: plantas, cristales, la molécula de metano tiene la forma de una pirámide triangular regular: un tetraedro, la celda unitaria de un cristal de diamante es también un tetraedro, en cuyo centro y cuatro vértices se encuentran átomos de carbono. Las pirámides se encuentran en casa, juguetes para niños. Los botones y los teclados de ordenador suelen parecerse a una pirámide truncada cuadrangular. Pueden verse como elementos de construcción o como estructuras arquitectónicas, como estructuras de tejados translúcidas.
Considere algunos ejemplos más del uso del término "pirámide".
Pirámides ecológicas- estos son modelos gráficos (generalmente en forma de triángulos) que reflejan el número de individuos (pirámide de números), la cantidad de su biomasa (pirámide de biomasa) o la energía contenida en ellos (pirámide de energía) en cada uno nivel trópico e indicando una disminución en todos los indicadores con un aumento en el nivel trófico
Pirámide de información. Refleja la jerarquía de diferentes tipos de información. El suministro de información se construye de acuerdo con el siguiente esquema piramidal: en la parte superior están los principales indicadores mediante los cuales se puede seguir sin ambigüedades el ritmo del movimiento de la empresa hacia el objetivo elegido. Si algo anda mal, puede ir al nivel medio de la pirámide: datos generalizados. Aclaran el panorama para cada indicador individualmente o en relación entre sí. A partir de estos datos, puede determinar la posible ubicación de la falla o problema. Para más información completa necesitas dirigirte a la base de la pirámide. Descripción detallada estados de todos los procesos en forma numérica. Estos datos ayudan a identificar la causa del problema para poder corregirlo y evitarlo en el futuro.
Taxonomía de la flora. La taxonomía de Bloom propone una clasificación de tareas en forma de pirámide, fijadas por los educadores a los estudiantes y, en consecuencia, objetivos de aprendizaje. ella divide metas educativas en tres áreas: cognitiva, afectiva y psicomotora. Dentro de cada esfera individual, para pasar a un nivel superior, es necesaria la experiencia de niveles anteriores, distinguidos en esta esfera.
Pirámide financiera- evento especifico desarrollo economico. El nombre "pirámide" ilustra claramente la situación en la que las personas "en la base" de la pirámide dan dinero a la pequeña cima. Al mismo tiempo, cada nuevo participante paga para aumentar las posibilidades de su ascenso a la cima de la pirámide.
Pirámide de necesidades Maslow refleja uno de los más populares y teorías famosas motivación - teoría de la jerarquía necesidades. Las necesidades de Maslow distribuido en orden ascendente, explicando tal construcción por el hecho de que una persona no puede experimentar necesidades nivel alto mientras necesito cosas más primitivas. A medida que se satisfacen las necesidades inferiores, las necesidades de un nivel superior se vuelven cada vez más urgentes, pero esto no significa en absoluto que el lugar de la necesidad anterior sea ocupado por una nueva sólo cuando la primera esté completamente satisfecha.
Otro ejemplo del uso del término "pirámide" es pirámide alimenticia - representación esquemática de los principios alimentación saludable desarrollado por nutricionistas. Los alimentos de la base de la pirámide deben consumirse con la mayor frecuencia posible, mientras que los alimentos de la cima de la pirámide deben evitarse o consumirse en cantidades limitadas.
Así, todo lo anterior muestra la variedad de usos de la pirámide en nuestras vidas. Quizás la pirámide tenga mucho más. meta elevada, y está destinado a algo más que las formas prácticas de utilizarlo que ahora están abiertas.
Conclusión
Constantemente nos encontramos con pirámides en nuestra vida: son pirámides y juguetes del antiguo Egipto con los que juegan los niños; objetos de arquitectura y diseño, cristales naturales; Virus que sólo pueden verse con un microscopio electrónico. A lo largo de los muchos milenios de su existencia, las pirámides se han convertido en una especie de símbolo que personifica el deseo del hombre de alcanzar la cima del conocimiento.
Durante el estudio, determinamos que las pirámides son un fenómeno bastante común en todo el mundo.
Estudiamos literatura de divulgación científica sobre el tema de investigación, examinamos varias interpretaciones del término "pirámide", determinamos que en el sentido geométrico una pirámide es un poliedro, cuya base es un polígono, y el resto de las caras son triángulos con una vértice común. Estudiamos los tipos de pirámides (regulares, truncadas, rectangulares), elementos (apotema, caras laterales, aristas laterales, cima, altura, base, sección diagonal) y las propiedades de las pirámides geométricas con aristas laterales iguales y cuando las caras laterales están inclinadas. al plano base en un ángulo. Consideró los teoremas que conectan la pirámide con otros cuerpos geométricos (esfera, cono, cilindro).
Las características de la pirámide son:
la relación entre el área externa total de la pirámide y el área de la base será igual a la proporción áurea;
la presencia en el tamaño de la pirámide de la sección áurea (la relación entre el doble lado de la pirámide y su altura) es un número muy cercano en valor al número π, es decir la pirámide de Keops es un monumento único en su tipo, que es la encarnación material del número "Pi";
la existencia de un sistema piramidal-geográfico.
Estudiamos la aplicación moderna de esta figura geométrica. Examinamos cómo se conectan la pirámide y el holograma, llamamos la atención sobre el hecho de que la forma piramidal se encuentra con mayor frecuencia en la naturaleza (plantas, cristales, moléculas de metano, la estructura de la red de diamantes, etc.). A lo largo del estudio, encontramos material que confirma el uso de las propiedades de la pirámide en diversos campos de la ciencia y la tecnología, en la vida cotidiana de las personas, en el análisis de la información, en la economía y en muchas otras áreas. Y llegaron a la conclusión de que tal vez las pirámides tengan un propósito mucho más elevado y estén destinadas a algo más que los usos prácticos que ahora están abiertos para ellas.
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