फ़ंक्शन को विषम कहा जाता है. सम और विषम कार्य। समारोह की अवधि. समारोह की चरम सीमा

कार्य अध्ययन.

1) डी(वाई) - परिभाषा डोमेन: वेरिएबल एक्स के उन सभी मानों का सेट। जिसके लिए बीजीय व्यंजक f(x) और g(x) अर्थपूर्ण हैं।

यदि कोई फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया गया है, तो परिभाषा के क्षेत्र में स्वतंत्र चर के सभी मान शामिल होते हैं जिसके लिए सूत्र समझ में आता है।

2) फ़ंक्शन के गुण: सम/विषम, आवधिकता:

विषमऔर यहां तक ​​कीफ़ंक्शन वे कहलाते हैं जिनके ग्राफ़ तर्क के चिह्न में परिवर्तन के संबंध में सममित होते हैं।

पुराना फंक्शन- एक फ़ंक्शन जो स्वतंत्र चर का चिह्न बदलने पर मान को विपरीत में बदल देता है (निर्देशांक के केंद्र के सापेक्ष सममित)।

यहां तक ​​कि समारोह- एक फ़ंक्शन जो स्वतंत्र चर का चिह्न बदलने पर अपना मान नहीं बदलता है (कोर्डेट के बारे में सममित)।

न तो सम और न ही विषम कार्य (समारोह सामान्य रूप से देखें) - एक फ़ंक्शन जिसमें समरूपता नहीं है। इस श्रेणी में वे फ़ंक्शन शामिल हैं जो पिछली 2 श्रेणियों के अंतर्गत नहीं आते हैं।

वे फ़ंक्शन जो उपरोक्त किसी भी श्रेणी से संबंधित नहीं हैं, कहलाते हैं न तो सम और न ही विषम(या सामान्य कार्य)।

अजीब कार्य

विषम घात जहां एक मनमाना पूर्णांक है.

सम कार्य

यहां तक ​​कि घात भी एक मनमाना पूर्णांक है।

आवधिक कार्य- एक फ़ंक्शन जो कुछ नियमित तर्क अंतराल पर अपने मानों को दोहराता है, यानी तर्क में कुछ निश्चित गैर-शून्य संख्या जोड़ने पर यह अपना मान नहीं बदलता है ( अवधिफ़ंक्शन) परिभाषा के संपूर्ण क्षेत्र पर।

3) किसी फ़ंक्शन के शून्य (मूल) वे बिंदु हैं जहां यह शून्य हो जाता है।

अक्ष के साथ ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु ढूँढना ओए. ऐसा करने के लिए आपको मूल्य की गणना करने की आवश्यकता है एफ(0). अक्ष के साथ ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु भी ज्ञात कीजिए बैल, समीकरण की जड़ें क्यों खोजें एफ(एक्स) = 0 (या सुनिश्चित करें कि कोई जड़ें नहीं हैं)।

वे बिंदु जिन पर ग्राफ़ अक्ष को प्रतिच्छेद करता है, कहलाते हैं फ़ंक्शन शून्य. किसी फलन के शून्य ज्ञात करने के लिए आपको समीकरण को हल करना होगा, अर्थात् ज्ञात करना होगा "x" के वे अर्थ, जिस पर फ़ंक्शन शून्य हो जाता है।

4) संकेतों की स्थिरता का अंतराल, उनमें संकेत।

अंतराल जहां फ़ंक्शन f(x) चिह्न बनाए रखता है।

चिन्ह की स्थिरता का अंतराल अंतराल है जिसके हर बिंदु परफ़ंक्शन सकारात्मक या नकारात्मक है.

x-अक्ष के ऊपर.

धुरी के नीचे.

5) निरंतरता (असंततता के बिंदु, असंततता की प्रकृति, स्पर्शोन्मुख)।

सतत कार्य- "कूद" के बिना एक फ़ंक्शन, अर्थात, जिसमें तर्क में छोटे परिवर्तन से फ़ंक्शन के मूल्य में छोटे परिवर्तन होते हैं।

हटाने योग्य ब्रेक प्वाइंट

यदि फ़ंक्शन की सीमा मौजूद, लेकिन इस बिंदु पर फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है, या सीमा इस बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल नहीं खाती है:

,

तो बिंदु कहा जाता है हटाने योग्य ब्रेक पॉइंटकार्य (जटिल विश्लेषण में, एक हटाने योग्य एकवचन बिंदु)।

यदि हम हटाने योग्य असंततता के बिंदु पर फ़ंक्शन को "सही" करते हैं और डालते हैं , तो हमें एक फ़ंक्शन मिलता है जो किसी दिए गए बिंदु पर निरंतर होता है। किसी फ़ंक्शन पर इस ऑपरेशन को कहा जाता है फ़ंक्शन को निरंतर तक विस्तारित करनाया निरंतरता द्वारा फ़ंक्शन की पुनर्परिभाषा, जो बिंदु के नाम को बिंदु के रूप में उचित ठहराता है हटाने योग्यटूटना.

पहले और दूसरे प्रकार के असंततता बिंदु

यदि किसी फ़ंक्शन में किसी दिए गए बिंदु पर असंततता है (अर्थात, किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन की सीमा अनुपस्थित है या किसी दिए गए बिंदु पर फ़ंक्शन के मान से मेल नहीं खाती है), तो संख्यात्मक कार्यों के लिए दो संभावित विकल्प हैं संख्यात्मक कार्यों के अस्तित्व से जुड़ा हुआ एकतरफ़ा सीमा:

यदि दोनों एकतरफ़ा सीमाएँ मौजूद हों और परिमित हों, तो ऐसे बिंदु को कहा जाता है पहली तरह का असंततता बिंदु. हटाने योग्य असंततता बिंदु पहली तरह के असंततता बिंदु हैं;

यदि एकतरफा सीमाओं में से कम से कम एक का अस्तित्व नहीं है या कोई परिमित मान नहीं है, तो ऐसे बिंदु को कहा जाता है दूसरे प्रकार का असंततता बिंदु.

अनंतस्पर्शी - सीधा, जिसका गुण है कि वक्र पर एक बिंदु से इस तक की दूरी सीधाजैसे-जैसे बिंदु शाखा के साथ-साथ अनंत की ओर बढ़ता है, शून्य हो जाता है।

खड़ा

लंबवत अनंतस्पर्शी - सीमा रेखा .

एक नियम के रूप में, ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी का निर्धारण करते समय, वे एक सीमा नहीं, बल्कि दो एक तरफा (बाएं और दाएं) की तलाश करते हैं। यह यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि विभिन्न दिशाओं से ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी तक पहुंचने पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए:

क्षैतिज

समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा - सीधाप्रजाति, अस्तित्व के अधीन आप LIMIT

.

इच्छुक

परोक्ष अनंतस्पर्शी - सीधाप्रजाति, अस्तित्व के अधीन सीमा

ध्यान दें: एक फ़ंक्शन में दो से अधिक तिरछे (क्षैतिज) अनंतस्पर्शी नहीं हो सकते हैं।

ध्यान दें: यदि ऊपर उल्लिखित दो सीमाओं में से कम से कम एक मौजूद नहीं है (या इसके बराबर है), तो (या) पर तिरछा अनंतस्पर्शी मौजूद नहीं है।

यदि आइटम 2 में), तो, और सीमा क्षैतिज अनंतस्पर्शी सूत्र का उपयोग करके पाई जाती है, .

6) एकरसता के अंतराल ढूँढना।किसी फ़ंक्शन की एकरसता के अंतराल ज्ञात करें एफ(एक्स)(अर्थात बढ़ने और घटने का अंतराल)। यह व्युत्पन्न के चिह्न की जांच करके किया जाता है एफ(एक्स). ऐसा करने के लिए, व्युत्पन्न खोजें एफ(एक्स) और असमानता को हल करें एफ(एक्स)0. अंतराल पर जहां यह असमानता होती है, फ़ंक्शन एफ(एक्स)बढ़ती है। जहां विपरीत असमानता कायम है एफ(एक्स)0, फ़ंक्शन एफ(एक्स) गिरते हुए।

एक स्थानीय चरम ढूँढना.एकरसता के अंतराल को खोजने के बाद, हम तुरंत स्थानीय चरम बिंदुओं को निर्धारित कर सकते हैं जहां वृद्धि को कमी से बदल दिया जाता है, स्थानीय मैक्सिमा स्थित होते हैं, और जहां कमी को वृद्धि से बदल दिया जाता है, स्थानीय मिनिमा स्थित होते हैं। इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें। यदि किसी फ़ंक्शन में महत्वपूर्ण बिंदु हैं जो स्थानीय चरम बिंदु नहीं हैं, तो इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करना भी उपयोगी है।

किसी खंड पर फ़ंक्शन y = f(x) का सबसे बड़ा और सबसे छोटा मान ढूँढना(निरंतरता)

1. फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: एफ(एक्स). 2. वे बिंदु खोजें जिन पर व्युत्पन्न शून्य है: एफ(एक्स)=0एक्स 1, एक्स 2 ,... 3. अंकों की संबद्धता निर्धारित करें एक्स 1 ,एक्स 2 , … खंड [ ए; बी]: होने देना एक्स 1ए;बी, ए एक्स 2ए;बी .

यहां तक ​​की, यदि इसकी परिभाषा के क्षेत्र से सभी \(x\) के लिए निम्नलिखित सत्य है: \(f(-x)=f(x)\) ।

एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ \(y\) अक्ष के बारे में सममित है:

उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=x^2+\cos x\) सम है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).

\(\blacktriangright\) फ़ंक्शन को \(f(x)\) कहा जाता है विषम, यदि इसकी परिभाषा के क्षेत्र से सभी \(x\) के लिए निम्नलिखित सत्य है: \(f(-x)=-f(x)\) ।

एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल के बारे में सममित है:

उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=x^3+x\) अजीब है क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).

\(\blacktriangleright\) ऐसे फ़ंक्शन जो न तो सम हैं और न ही विषम, सामान्य रूप के फ़ंक्शन कहलाते हैं। ऐसे फ़ंक्शन को हमेशा एक सम और एक विषम फ़ंक्शन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(f(x)=x^2-x\) सम फ़ंक्शन \(f_1=x^2\) और विषम \(f_2=-x\) का योग है।

\(\ब्लैकट्राएंगलराइट\) कुछ गुण:

1) समान समता के दो कार्यों का गुणनफल और भागफल - यहां तक ​​कि समारोह.

2) विभिन्न समता वाले दो फलनों का गुणनफल और भागफल एक विषम फलन होता है।

3) सम फलनों का योग और अंतर एक सम फलन होता है।

4) विषम फलनों का योग और अंतर - विषम फलन।

5) यदि \(f(x)\) एक सम फलन है, तो समीकरण \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) का एक अद्वितीय मूल है यदि और केवल जब \( x =0\) .

6) यदि \(f(x)\) एक सम या विषम फलन है, और समीकरण \(f(x)=0\) का एक मूल \(x=b\) है, तो इस समीकरण में आवश्यक रूप से एक दूसरा होगा जड़ \(x =-b\) .

\(\blacktriangleright\) फ़ंक्शन \(f(x)\) को \(X\) पर आवर्त कहा जाता है यदि किसी संख्या \(T\ne 0\) के लिए निम्नलिखित है: \(f(x)=f( x+T) \) , जहां \(x, x+T\in X\) । सबसे छोटा \(T\) जिसके लिए यह समानता संतुष्ट होती है, फ़ंक्शन की मुख्य (मुख्य) अवधि कहलाती है।

एक आवधिक फ़ंक्शन में \(nT\) रूप की कोई भी संख्या होती है, जहां \(n\in \mathbb(Z)\) भी एक अवधि होगी।

उदाहरण: कोई भी त्रिकोणमितीय फलनआवधिक है;
फ़ंक्शन \(f(x)=\sin x\) और \(f(x)=\cos x\) के लिए मुख्य अवधि\(2\pi\) के बराबर है, फ़ंक्शन \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) और \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) में एक है मुख्य अवधि \ (\pi\) के बराबर है।

किसी आवधिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आप लंबाई \(T\) (मुख्य अवधि) के किसी भी खंड पर इसका ग्राफ़ बना सकते हैं; फिर संपूर्ण फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्मित भाग को पूर्णांक संख्या की अवधियों द्वारा दाएं और बाएं स्थानांतरित करके पूरा किया जाता है:

\(\blacktriangleright\) फ़ंक्शन \(f(x)\) का डोमेन \(D(f)\) एक सेट है जिसमें तर्क \(x\) के सभी मान शामिल हैं जिसके लिए फ़ंक्शन समझ में आता है (परिभाषित किया गया)।

उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=\sqrt x+1\) की परिभाषा का एक डोमेन है: \(x\in

कार्य 1 #6364

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

पैरामीटर \(a\) के किन मानों पर समीकरण बनता है

यह है एकमात्र निर्णय?

ध्यान दें कि चूँकि \(x^2\) और \(\cos x\) सम फलन हैं, यदि समीकरण का मूल \(x_0\) है, तो इसका एक मूल \(-x_0\) भी होगा।
वास्तव में, मान लीजिए कि \(x_0\) एक मूल है, अर्थात समानता \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)सही। आइए \(-x_0\) को प्रतिस्थापित करें : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).

इस प्रकार, यदि \(x_0\ne 0\) , तो समीकरण में पहले से ही कम से कम दो जड़ें होंगी। इसलिए, \(x_0=0\) . तब:

हमें पैरामीटर \(a\) के लिए दो मान प्राप्त हुए। ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि \(x=0\) बिल्कुल मूल समीकरण का मूल है। लेकिन हमने कभी इस तथ्य का इस्तेमाल नहीं किया कि वह अकेला है।' इसलिए, आपको पैरामीटर \(a\) के परिणामी मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा और जांचना होगा कि किस विशिष्ट \(a\) के लिए रूट \(x=0\) वास्तव में अद्वितीय होगा।

1) यदि \(a=0\) , तो समीकरण \(2x^2=0\) का रूप लेगा। जाहिर है, इस समीकरण का केवल एक मूल \(x=0\) है। इसलिए, मान \(a=0\) हमारे लिए उपयुक्त है।

2) यदि \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , तो समीकरण इस प्रकार बनेगा \ आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें \ क्योंकि \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), वह \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). नतीजतन, समीकरण (*) के दाईं ओर के मान खंड से संबंधित हैं \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).

चूँकि \(x^2\geqslant 0\) , तो समीकरण का बायां भाग (*) \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) से बड़ा या उसके बराबर है।

इस प्रकार, समानता (*) केवल तभी संतुष्ट हो सकती है जब समीकरण के दोनों पक्ष \(\mathrm(tg)^2\,1\) के बराबर हों। और इसका मतलब ये है \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]इसलिए, मान \(a=-\mathrm(tg)\,1\) हमारे लिए उपयुक्त है।

उत्तर:

\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)

कार्य 2 #3923

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

पैरामीटर \(a\) के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ \

उत्पत्ति के बारे में सममित.

यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल बिंदु के बारे में सममित है, तो ऐसा फ़ंक्शन विषम है, अर्थात, \(f(-x)=-f(x)\) परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी \(x\) के लिए मान्य है समारोह का. इस प्रकार, उन पैरामीटर मानों को ढूंढना आवश्यक है जिनके लिए \(f(-x)=-f(x).\)

\[\begin(allined) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ Mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \राइटएरो\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ पाप \dfrac(8\pi a-3x)4\दाएं) \quad \राइटएरो\\ \राइटएरो\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \दायां तीर \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \राइटएरो\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(संरेखित)\]

अंतिम समीकरण को \(f(x)\) के डोमेन से सभी \(x\) के लिए संतुष्ट किया जाना चाहिए, इसलिए, \(\sin(2\pi a)=0 \राइटएरो a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).

उत्तर:

\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)

कार्य 3 #3069

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

पैरामीटर \(a\) के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \ के 4 समाधान हैं, जहां \(f\) अवधि \(T=\dfrac(16)3\) के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन है संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित, और \(f(x)=ax^2\) के लिए \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)

(ग्राहकों से कार्य)

चूँकि \(f(x)\) एक सम फलन है, इसका ग्राफ कोटि अक्ष के बारे में सममित है, इसलिए, जब \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . इस प्रकार, जब \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), और यह लंबाई \(\dfrac(16)3\) , फ़ंक्शन \(f(x)=ax^2\) का एक खंड है।

1) मान लीजिए \(a>0\) . फिर फ़ंक्शन \(f(x)\) का ग्राफ़ इस तरह दिखेगा:


फिर, समीकरण के 4 समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि ग्राफ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) बिंदु \(A\) से होकर गुजरे:


इस तरह, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(संरेखित)\end(इकट्ठा)\दाएं। \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(संरेखित) \end( एकत्रित)\दाएं.\]चूँकि \(a>0\) , तो \(a=\dfrac(18)(23)\) उपयुक्त है।

2) मान लीजिए \(a<0\) . Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:


यह आवश्यक है कि ग्राफ \(g(x)\) बिंदु \(B\) से होकर गुजरे: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(संरेखित) \end(एकत्रित)\दाएं।\]से एक<0\) , то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\) .

3) वह स्थिति जब \(a=0\) उपयुक्त नहीं है, तब से \(f(x)=0\) सभी \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) के लिए और समीकरण में केवल 1 मूल होगा।

उत्तर:

\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)

कार्य 4 #3072

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

प्रत्येक समीकरण के लिए \(a\) के सभी मान ज्ञात कीजिए \

कम से कम एक जड़ है.

(ग्राहकों से कार्य)

आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें \ और दो फ़ंक्शन पर विचार करें: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) और \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
फ़ंक्शन \(g(x)\) सम है और इसका न्यूनतम बिंदु \(x=0\) (और \(g(0)=49\) ) है।
\(x>0\) के लिए फ़ंक्शन \(f(x)\) घट रहा है, और \(x<0\) – возрастающей, следовательно, \(x=0\) – точка максимума.
दरअसल, जब \(x>0\) दूसरा मॉड्यूल सकारात्मक रूप से खुलेगा (\(|x|=x\) ), इसलिए, भले ही पहला मॉड्यूल कैसे खुलेगा, \(f(x)\) बराबर होगा \( kx+A\) तक, जहां \(A\) \(a\) का व्यंजक है और \(k\) या तो \(-9\) या \(-3\) के बराबर है। जब \(x<0\) наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(3\) , либо \(9\) .
आइए अधिकतम बिंदु पर \(f\) का मान ज्ञात करें: \

समीकरण के लिए कम से कम एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु हो। इसलिए, आपको चाहिए: \ \\]

उत्तर:

\(एक\में \(-7\)\कप\)

कार्य 5 #3912

कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर

पैरामीटर \(a\) के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक समीकरण के लिए \

इसके छह अलग-अलग समाधान हैं।

आइए प्रतिस्थापन \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) करें। फिर समीकरण बनेगा \ हम धीरे-धीरे उन शर्तों को लिखेंगे जिनके तहत मूल समीकरण के छह समाधान होंगे।
ध्यान दें कि द्विघात समीकरण \((*)\) के अधिकतम दो समाधान हो सकते हैं। किसी भी घन समीकरण \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) के तीन से अधिक समाधान नहीं हो सकते। इसलिए, यदि समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान हैं (सकारात्मक!), क्योंकि \(t\) शून्य से बड़ा होना चाहिए) \(t_1\) और \(t_2\) , तो, इसका उलटा करके प्रतिस्थापन, हमें मिलता है: \[\left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(संरेखित)\end(एकत्रित)\दाएं।\]चूँकि किसी भी धनात्मक संख्या को कुछ हद तक \(\sqrt2\) के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), तो सेट का पहला समीकरण फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा \ जैसा कि हमने पहले ही कहा है, किसी भी घन समीकरण के तीन से अधिक समाधान नहीं होते हैं, इसलिए, सेट में प्रत्येक समीकरण के तीन से अधिक समाधान नहीं होंगे। इसका मतलब यह है कि पूरे सेट में छह से अधिक समाधान नहीं होंगे।
इसका मतलब यह है कि मूल समीकरण के छह समाधान होने के लिए, द्विघात समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान होने चाहिए, और प्रत्येक परिणामी घन समीकरण (सेट से) के तीन अलग-अलग समाधान होने चाहिए (और एक भी समाधान नहीं होना चाहिए) एक समीकरण को दूसरे के निर्णय से किसी भी समीकरण से मेल खाना चाहिए!)
जाहिर है, यदि द्विघात समीकरण \((*)\) का एक समाधान है, तो हमें मूल समीकरण के छह समाधान नहीं मिलेंगे।

इस प्रकार, समाधान योजना स्पष्ट हो जाती है। आइए उन शर्तों को बिंदुवार लिखें जिन्हें पूरा किया जाना चाहिए।

1) समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान होने के लिए, इसका विवेचक सकारात्मक होना चाहिए: \

2) यह भी आवश्यक है कि दोनों मूल धनात्मक हों (क्योंकि \(t>0\) )। यदि दो जड़ों का गुणनफल धनात्मक है और उनका योग धनात्मक है, तो जड़ें स्वयं धनात्मक होंगी। इसलिए, आपको चाहिए: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]

इस प्रकार, हमने पहले से ही खुद को दो अलग-अलग सकारात्मक मूल \(t_1\) और \(t_2\) प्रदान कर दिए हैं।

3) आइए इस समीकरण पर नजर डालें \ किस \(t\) के लिए इसके तीन अलग-अलग समाधान होंगे?
फ़ंक्शन \(f(x)=x^3-3x^2+4\) पर विचार करें।
गुणनखंडित किया जा सकता है: \ इसलिए, इसके शून्य हैं: \(x=-1;2\) .
यदि हम व्युत्पन्न \(f"(x)=3x^2-6x\) पाते हैं, तो हमें दो चरम बिंदु \(x_(max)=0, x_(min)=2\) मिलते हैं।
इसलिए, ग्राफ़ इस तरह दिखता है:


हम देखते हैं कि कोई भी क्षैतिज रेखा \(y=k\), जहां \(0 \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t\)तीन अलग-अलग समाधान थे, यह आवश्यक है कि \(0<\log_ {\sqrt2}t<4\) .
इस प्रकार, आपको चाहिए: \[\begin(मामले) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\] आइए तुरंत ध्यान दें कि यदि संख्याएं \(t_1\) और \(t_2\) भिन्न हैं, तो संख्याएं \(\log_(\sqrt2)t_1\) और \(\log_(\sqrt2)t_2\) होंगी भिन्न, जिसका अर्थ है समीकरण \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)और \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)अलग-अलग जड़ें होंगी.
सिस्टम \((**)\) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: \[\begin(मामले) 1

इस प्रकार, हमने निर्धारित किया है कि समीकरण \((*)\) की दोनों जड़ें अंतराल \((1;4)\) में होनी चाहिए। यह शर्त कैसे लिखें?
हम जड़ों को स्पष्ट रूप से नहीं लिखेंगे।
फ़ंक्शन \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) पर विचार करें। इसका ग्राफ़ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, जिसमें x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं (हमने इस स्थिति को पैराग्राफ 1 में लिखा है))। इसका ग्राफ़ कैसा दिखना चाहिए ताकि x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु अंतराल \((1;4)\) में हों? इसलिए:


सबसे पहले, बिंदु \(1\) और \(4\) पर फ़ंक्शन के मान \(g(1)\) और \(g(4)\) सकारात्मक होने चाहिए, और दूसरी बात, का शीर्ष परवलय \(t_0\ ) भी अंतराल \((1;4)\) में होना चाहिए। इसलिए, हम सिस्टम लिख सकते हैं: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4\(a\) का हमेशा कम से कम एक मूल \(x=0\) होता है। इसका मतलब यह है कि समस्या की शर्तों को पूरा करने के लिए समीकरण का होना आवश्यक है \

शून्य से अलग, चार अलग-अलग जड़ें थीं, जो \(x=0\) के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करती थीं।

ध्यान दें कि फ़ंक्शन \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) सम है, जिसका अर्थ है कि यदि \(x_0\) समीकरण का मूल है \( (*)\ ) , तो \(-x_0\) इसका मूल भी होगा। फिर यह आवश्यक है कि इस समीकरण की जड़ें आरोही क्रम में क्रमबद्ध संख्याएं हों: \(-2d, -d, d, 2d\) (तब \(d>0\))। तब ये पांच संख्याएं एक अंकगणितीय प्रगति बनाएंगी (अंतर \(d\) के साथ)।

इन जड़ों के लिए संख्याएँ \(-2d, -d, d, 2d\) होना आवश्यक है, यह आवश्यक है कि संख्याएँ \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) की जड़ें हों समीकरण \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार:

आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें \ और दो फ़ंक्शन पर विचार करें: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) और \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) .
फ़ंक्शन \(g(x)\) का अधिकतम बिंदु \(x=0\) (और) है \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). शून्य व्युत्पन्न: \(x=0\) . जब \(x<0\) имеем: \(g">0\) , \(x>0\) के लिए : \(g"<0\) .
\(x>0\) के लिए फ़ंक्शन \(f(x)\) बढ़ रहा है, और \(x<0\) – убывающей, следовательно, \(x=0\) – точка минимума.
दरअसल, जब \(x>0\) पहला मॉड्यूल सकारात्मक रूप से खुलेगा (\(|x|=x\)), इसलिए, भले ही दूसरा मॉड्यूल कैसे खुलेगा, \(f(x)\) बराबर होगा \( kx+A\) के लिए, जहां \(A\) \(a\) की अभिव्यक्ति है, और \(k\) या तो \(13-10=3\) या \(13+10) के बराबर है =23\). जब \(x<0\) наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\) , где \(k\) равно либо \(-3\) , либо \(-23\) .
आइए न्यूनतम बिंदु पर \(f\) का मान ज्ञात करें: \

समीकरण के लिए कम से कम एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु हो। इसलिए, आपको चाहिए: \ प्रणालियों के इस सेट को हल करने पर, हमें उत्तर मिलता है: \\]

उत्तर:

\(एक\में \(-2\)\कप\)

एक चर x पर एक चर y की निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फ़ंक्शन कहलाता है। पदनाम के लिए अंकन y=f(x) का उपयोग करें। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।

समता संपत्ति पर करीब से नज़र डालें।

एक फ़ंक्शन y=f(x) को कॉल किया जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:

2. फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान, बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, निम्नलिखित समानता फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संतुष्ट होनी चाहिए: f(x) = f(-x)।

एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ़

यदि आप एक सम फलन का ग्राफ़ बनाते हैं, तो यह ओए अक्ष के बारे में सममित होगा।

उदाहरण के लिए, फलन y=x^2 सम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

आइए एक मनमाना x=3 लें। f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. इसलिए f(x) = f(-x). इस प्रकार, दोनों स्थितियाँ पूरी होती हैं, जिसका अर्थ है कि फलन सम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^2 का ग्राफ़ है।

चित्र से पता चलता है कि ग्राफ़ ओए अक्ष के बारे में सममित है।

एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़

एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

1. किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित होना चाहिए दिए गए फ़ंक्शन का.

2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से निम्नलिखित समानता संतुष्ट होनी चाहिए: f(x) = -f(x)।

एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु O - निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x^3 विषम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।

आइए एक मनमाना x=2 लें। f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. इसलिए f(x) = -f(x). इस प्रकार, दोनों शर्तें पूरी होती हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन विषम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^3 का ग्राफ़ है।

चित्र स्पष्ट रूप से दर्शाता है कि विषम फ़ंक्शन y=x^3 मूल बिंदु के बारे में सममित है।

जिनसे आप किसी न किसी हद तक परिचित थे. वहां यह भी नोट किया गया कि फ़ंक्शन संपत्तियों का स्टॉक धीरे-धीरे फिर से भर दिया जाएगा। इस अनुभाग में दो नई संपत्तियों पर चर्चा की जाएगी।

परिभाषा 1.

फ़ंक्शन y = f(x), x є

परिभाषा 2.

फ़ंक्शन y = f(x), x є X, को विषम कहा जाता है यदि सेट

सिद्ध कीजिए कि y = x 4 एक सम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f(x) = x 4, f(-x) = (-x) 4. परंतु(-x) 4 = x 4. इसका मतलब यह है कि किसी भी x के लिए समानता f(-x) = f(x) कायम है, यानी। कार्य सम है.

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y - x 2, y = x 6, y - x 8 सम हैं।

सिद्ध कीजिए कि y = x 3 ~ एक विषम फलन है।

समाधान। हमारे पास है: f(x) = x 3, f(-x) = (-x) 3. लेकिन (-x) 3 = -x 3. इसका मतलब यह है कि किसी भी x के लिए समानता f (-x) = -f (x) कायम है, यानी। कार्य अजीब है.

इसी प्रकार, यह सिद्ध किया जा सकता है कि फलन y = x, y = x 5, y = x 7 विषम हैं।

आप और मैं पहले ही एक से अधिक बार देख चुके हैं कि गणित में नए शब्दों का मूल अक्सर "पृथ्वी" होता है, अर्थात। उन्हें किसी तरह समझाया जा सकता है. यह सम और विषम दोनों प्रकार के कार्यों का मामला है। देखें: y - x 3, y = x 5, y = x 7 विषम फलन हैं, जबकि y = x 2, y = x 4, y = x 6 सम फलन हैं। और सामान्य तौर पर, फॉर्म y = x" के किसी भी फ़ंक्शन के लिए (नीचे हम विशेष रूप से इन फ़ंक्शन का अध्ययन करेंगे), जहां n एक प्राकृतिक संख्या है, हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं: यदि n एक विषम संख्या है, तो फ़ंक्शन y = x" है विषम; यदि n एक सम संख्या है, तो फलन y = xn सम है।

ऐसे भी फलन हैं जो न तो सम हैं और न ही विषम। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y = 2x + 3 ऐसा है। वास्तव में, f(1) = 5, और f (-1) = 1. जैसा कि आप देख सकते हैं, इसलिए, यहां न तो पहचान f(-x) = f ( x), न ही पहचान f(-x) = -f(x).

तो, एक फ़ंक्शन सम, विषम या कुछ भी नहीं हो सकता है।

कोई दिया गया फलन सम है या विषम, इसका अध्ययन आमतौर पर समता का अध्ययन कहा जाता है।

परिभाषाएँ 1 और 2 बिंदु x और -x पर फ़ंक्शन के मानों को संदर्भित करती हैं। यह मानता है कि फ़ंक्शन को बिंदु x और बिंदु -x दोनों पर परिभाषित किया गया है। इसका मतलब यह है कि बिंदु -x, बिंदु x के साथ-साथ फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है। यदि किसी संख्यात्मक समुच्चय X में उसके प्रत्येक अवयव x के साथ विपरीत अवयव -x भी हो, तो मान लीजिए, (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) सममित सेट हैं, जबकि)