रेखांकन की सहायता से कार्यों की जाँच। फंक्शन रिसर्च ऑनलाइन का पूरा उदाहरण

फ़ंक्शन के संपूर्ण अध्ययन और इसके ग्राफ़ को प्लॉट करने के लिए, निम्नलिखित योजना का उपयोग करने की अनुशंसा की जाती है:

1) फ़ंक्शन का दायरा खोजें;

2) फ़ंक्शन के असंततता बिंदु और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख (यदि वे मौजूद हैं) का पता लगाएं;

3) अनंत पर फलन के व्यवहार की जांच करें, क्षैतिज और तिरछे स्पर्शोन्मुख का पता लगाएं;

4) समरूपता (विषमता) और आवधिकता (त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए) के लिए फ़ंक्शन की जांच करें;

5) फ़ंक्शन की एकरसता के एक्स्ट्रेमा और अंतराल का पता लगाएं;

6) उत्तलता और विभक्ति बिंदुओं के अंतराल निर्धारित करें;

7) यदि संभव हो तो समन्वय अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, और कुछ अतिरिक्त बिंदु जो ग्राफ को परिष्कृत करते हैं।

फ़ंक्शन का अध्ययन इसके ग्राफ के निर्माण के साथ-साथ किया जाता है।

उदाहरण 9फ़ंक्शन का अन्वेषण करें और एक ग्राफ बनाएं।

1. परिभाषा का क्षेत्र: ;

2. फलन बिन्दुओं पर टूटता है
,
;

हम ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

;
,
लंबवत स्पर्शोन्मुख।

3. हम तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शियों की उपस्थिति के लिए फलन की जाँच करते हैं।

सीधा
─ तिरछा स्पर्शोन्मुख, अगर
,
.

,
.

सीधा
क्षैतिज स्पर्शोन्मुख।

4. फलन सम है क्योंकि
. फलन की समता y-अक्ष के सापेक्ष ग्राफ की समरूपता को इंगित करती है।

5. फ़ंक्शन की एकरसता और एक्स्ट्रेमा के अंतराल का पता लगाएं।

आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजें, अर्थात्। ऐसे बिंदु जहां व्युत्पन्न 0 है या मौजूद नहीं है:
;
. हमारे पास तीन अंक हैं
;

. ये बिंदु संपूर्ण वास्तविक अक्ष को चार अंतरालों में विभाजित करते हैं। आइए संकेतों को परिभाषित करें उनमें से प्रत्येक पर।

अंतराल (-∞; -1) और (-1; 0) पर फ़ंक्शन बढ़ता है, अंतराल पर (0; 1) और (1; +∞) घटता है। एक बिंदु से गुजरते समय
व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में संकेत करते हैं, इसलिए, इस बिंदु पर, फ़ंक्शन का अधिकतम होता है
.

6. आइए उत्तल अंतराल, विभक्ति बिंदु खोजें।

आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां 0 है, या मौजूद नहीं है।

कोई वास्तविक जड़ें नहीं हैं।
,
,

अंक
तथा
वास्तविक अक्ष को तीन अंतरालों में विभाजित करें। आइए संकेत को परिभाषित करें हर अंतराल पर।

इस प्रकार, अंतरालों पर वक्र
तथा
उत्तल नीचे की ओर, अंतराल पर (-1;1) ऊपर की ओर उत्तल; कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि बिंदुओं पर कार्य होता है
तथा
निर्धारित नहीं है।

7. कुल्हाड़ियों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु खोजें।

धुरी के साथ
फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1), और अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है
ग्राफ प्रतिच्छेद नहीं करता है, क्योंकि इस फ़ंक्शन के अंश का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ़ चित्र 1 में दिखाया गया है।

चित्र 1 फ़ंक्शन का ग्राफ़

अर्थशास्त्र में व्युत्पन्न की अवधारणा का अनुप्रयोग। समारोह लोच

आर्थिक प्रक्रियाओं का अध्ययन करने और अन्य लागू समस्याओं को हल करने के लिए, अक्सर कार्य लोच की अवधारणा का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा।समारोह लोच
फ़ंक्शन के सापेक्ष वृद्धि के अनुपात की सीमा कहा जाता है चर के सापेक्ष वृद्धि के लिए पर
,। (सातवीं)

किसी फ़ंक्शन की लोच लगभग दर्शाती है कि फ़ंक्शन कितने प्रतिशत बदलेगा
स्वतंत्र चर बदलते समय 1% से।

किसी फ़ंक्शन की लोच का उपयोग मांग और खपत के विश्लेषण में किया जाता है। यदि मांग की लोच (निरपेक्ष मूल्य में)
, तो मांग को लोचदार माना जाता है यदि
तटस्थ अगर
कीमत (या आय) के संबंध में बेलोचदार।

उदाहरण 10किसी फ़ंक्शन की लोच की गणना करें
और के लिए लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए = 3.

समाधान: सूत्र (VII) के अनुसार फ़ंक्शन की लोच:

मान लीजिए x=3 तब
इसका अर्थ है कि यदि स्वतंत्र चर में 1% की वृद्धि होती है, तो आश्रित चर के मान में 1.42% की वृद्धि होगी।

उदाहरण 11मांग को कार्य करने दें कीमत के बारे में रूप है
, कहाँ पे ─ निरंतर गुणांक। x = 3 मांद की कीमत पर मांग फलन के लोच सूचकांक का मान ज्ञात कीजिए। इकाइयों

समाधान: सूत्र (VII) का उपयोग करके मांग फलन की लोच की गणना करें

यह मानते हुए
मौद्रिक इकाइयाँ, हमें मिलती हैं
. इसका मतलब है कि कीमत पर
मौद्रिक इकाई 1% की कीमत में वृद्धि से मांग में 6% की कमी आएगी, अर्थात। मांग लोचदार है।

आज हम आपको हमारे साथ एक फंक्शन ग्राफ को एक्सप्लोर करने और प्लॉट करने के लिए आमंत्रित करते हैं। इस लेख का सावधानीपूर्वक अध्ययन करने के बाद, इस प्रकार के कार्य को पूरा करने के लिए आपको अधिक समय तक पसीना नहीं बहाना पड़ेगा। किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का पता लगाना और उसका निर्माण करना आसान नहीं है, काम बड़ा है, जिसके लिए अधिकतम ध्यान और गणना की सटीकता की आवश्यकता होती है। सामग्री की धारणा को सुविधाजनक बनाने के लिए, हम धीरे-धीरे उसी कार्य का अध्ययन करेंगे, हमारे सभी कार्यों और गणनाओं की व्याख्या करेंगे। गणित की अद्भुत और आकर्षक दुनिया में आपका स्वागत है! जाओ!

कार्यक्षेत्र

किसी फ़ंक्शन को एक्सप्लोर करने और प्लॉट करने के लिए, आपको कुछ परिभाषाओं को जानना होगा। एक फलन गणित में बुनियादी (बुनियादी) अवधारणाओं में से एक है। यह परिवर्तनों के साथ कई चर (दो, तीन या अधिक) के बीच निर्भरता को दर्शाता है। फ़ंक्शन सेट की निर्भरता को भी दर्शाता है।

कल्पना कीजिए कि हमारे पास दो चर हैं: विशिष्ट श्रेणीपरिवर्तन। तो, y x का एक फलन है, बशर्ते कि दूसरे चर का प्रत्येक मान दूसरे के एक मान से मेल खाता हो। इस मामले में, चर y निर्भर है, और इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है। यह कहने की प्रथा है कि चर x और y में हैं इस निर्भरता की अधिक स्पष्टता के लिए, फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाया गया है। फंक्शन ग्राफ क्या है? यह बिंदुओं का एक सेट है कार्तिकये निर्देशांकजहाँ x का प्रत्येक मान y के एक मान से मेल खाता है। रेखांकन भिन्न हो सकते हैं - एक सीधी रेखा, अतिपरवलय, परवलय, साइनसॉइड और इसी तरह।

अन्वेषण के बिना फ़ंक्शन ग्राफ़ प्लॉट नहीं किया जा सकता है। आज हम सीखेंगे कि अनुसंधान कैसे किया जाता है और एक फ़ंक्शन ग्राफ कैसे तैयार किया जाता है। पढ़ाई के दौरान नोट्स बनाना बहुत जरूरी है। तो कार्य का सामना करना बहुत आसान होगा। सबसे सुविधाजनक अध्ययन योजना:

1. कार्यक्षेत्र।
2. निरंतरता।
3. बराबर या विषम।
4. आवधिकता।
5. स्पर्शोन्मुख।
6. शून्य।
7. निरंतरता।
8. आरोही और अवरोही।
9. चरम।
10. उत्तलता और उत्तलता।

आइए पहले बिंदु से शुरू करते हैं। आइए परिभाषा का डोमेन खोजें, अर्थात, हमारे कार्य किस अंतराल पर मौजूद हैं: y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)। हमारे मामले में, फ़ंक्शन x के किसी भी मान के लिए मौजूद है, अर्थात, परिभाषा का डोमेन R है। इसे xОR के रूप में लिखा जा सकता है।

निरंतरता

अब हम असंततता फलन का पता लगाने जा रहे हैं। गणित में, "निरंतरता" शब्द गति के नियमों के अध्ययन के परिणामस्वरूप प्रकट हुआ। अनंत क्या है? स्थान, समय, कुछ निर्भरताएं (एक उदाहरण गति समस्याओं में चर एस और टी की निर्भरता है), गर्म वस्तु का तापमान (पानी, फ्राइंग पैन, थर्मामीटर, और इसी तरह), एक सतत रेखा (अर्थात, एक जिसे शीट पेंसिल से निकाले बिना खींचा जा सकता है)।

एक ग्राफ निरंतर माना जाता है यदि वह किसी बिंदु पर नहीं टूटता है। सबसे ज्यादा अच्छे उदाहरणऐसा ग्राफ एक ज्या तरंग है, जिसे आप इस खंड में चित्र में देख सकते हैं। यदि कई शर्तें पूरी होती हैं तो फ़ंक्शन किसी बिंदु x0 पर निरंतर होता है:

• किसी दिए गए बिंदु पर एक फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है;
• एक बिंदु पर दाएं और बाएं सीमाएं बराबर होती हैं;
• सीमा बिंदु x0 पर फलन के मान के बराबर है।

यदि कम से कम एक शर्त पूरी नहीं होती है, तो फ़ंक्शन को ब्रेक कहा जाता है। और जिन बिंदुओं पर फंक्शन टूटता है उन्हें ब्रेक पॉइंट कहा जाता है। एक फ़ंक्शन का एक उदाहरण जो ग्राफिक रूप से प्रदर्शित होने पर "ब्रेक" करेगा: y=(x+4)/(x-3)। इसके अलावा, y बिंदु x = 3 पर मौजूद नहीं है (क्योंकि शून्य से विभाजित करना असंभव है)।

जिस फ़ंक्शन में हम अध्ययन कर रहे हैं (y \u003d 1/3 (x ^ 3-14x ^ 2 + 49x-36)) सब कुछ सरल हो गया, क्योंकि ग्राफ निरंतर रहेगा।

और भी अजीब

अब समता के लिए फलन की जाँच कीजिए। आइए एक छोटे से सिद्धांत से शुरू करते हैं। एक सम फलन एक ऐसा फलन है जो चर x (मानों की श्रेणी से) के किसी भी मान के लिए f (-x) = f (x) की शर्त को पूरा करता है। उदाहरण हैं:

• मॉड्यूल x (ग्राफ जैकडॉ जैसा दिखता है, ग्राफ के पहले और दूसरे क्वार्टर का द्विभाजक);
• x चुकता (परबोला);
• कोज्या x (कोज्या तरंग)।

ध्यान दें कि y-अक्ष के संबंध में देखे जाने पर ये सभी ग्राफ़ सममित होते हैं।

तब एक विषम फलन क्या कहलाता है? ये वे कार्य हैं जो शर्त को पूरा करते हैं: f (-x) \u003d - f (x) चर x के किसी भी मान के लिए। उदाहरण:

• अतिपरवलय;
• घन परवलय;
• साइनसॉइड;
• स्पर्शरेखा और इतने पर।

कृपया ध्यान दें कि ये फलन बिंदु (0:0), यानी मूल बिंदु के बारे में सममित हैं। लेख के इस भाग में जो कहा गया है, उसके आधार पर सम और पुराना फंक्शनसंपत्ति होनी चाहिए: x परिभाषा सेट से संबंधित है और -x भी।

आइए हम समता के लिए फलन की जाँच करें। हम देख सकते हैं कि वह किसी भी विवरण में फिट नहीं बैठती है। इसलिए, हमारा कार्य न तो सम है और न ही विषम।

स्पर्शोन्मुख

आइए एक परिभाषा के साथ शुरू करते हैं। एक स्पर्शोन्मुख एक वक्र है जो ग्राफ के जितना संभव हो उतना करीब है, अर्थात, किसी बिंदु से दूरी शून्य हो जाती है। स्पर्शोन्मुख तीन प्रकार के होते हैं:

• लंबवत, यानी y अक्ष के समानांतर;
• क्षैतिज, यानी x-अक्ष के समानांतर;
• तिरछा

पहले प्रकार के लिए, इन पंक्तियों को कुछ बिंदुओं पर देखा जाना चाहिए:

• अंतर;
• डोमेन के अंत।

हमारे मामले में, फलन निरंतर है, और परिभाषा का क्षेत्र R है। इसलिए, कोई ऊर्ध्वाधर अनंतस्पर्शी नहीं हैं।

किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है, जो निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करता है: यदि x अनंत या शून्य से अनंत की ओर जाता है, और सीमा एक निश्चित संख्या के बराबर है (उदाहरण के लिए, a)। पर ये मामला y=a क्षैतिज अनंतस्पर्शी है। हम जिस फलन का अध्ययन कर रहे हैं उसमें कोई क्षैतिज अनंतस्पर्शी नहीं है।

एक तिरछा स्पर्शोन्मुख केवल तभी मौजूद होता है जब दो शर्तें पूरी होती हैं:

• लिम (एफ (एक्स)) / एक्स = के;
• लिम f(x)-kx=b.

फिर इसे सूत्र द्वारा पाया जा सकता है: y=kx+b। फिर, हमारे मामले में कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं है।

फंक्शन जीरो

अगला कदम शून्य के लिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की जांच करना है। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि किसी फ़ंक्शन के शून्य को खोजने से जुड़ा कार्य न केवल किसी फ़ंक्शन के अध्ययन और प्लॉटिंग में होता है, बल्कि इस प्रकार भी होता है स्वतंत्र कार्य, और असमानताओं को हल करने के तरीके के रूप में। आपको ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य खोजने या गणितीय संकेतन का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है।

इन मानों को खोजने से आपको फ़ंक्शन को अधिक सटीक रूप से प्लॉट करने में मदद मिलेगी। अगर बोलना है सरल भाषा, तो फ़ंक्शन का शून्य चर x का मान है, जिस पर y=0. यदि आप ग्राफ़ पर किसी फ़ंक्शन के शून्य की तलाश कर रहे हैं, तो आपको उन बिंदुओं पर ध्यान देना चाहिए जहां ग्राफ़ x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेद करता है।

फ़ंक्शन के शून्य को खोजने के लिए, आपको निम्नलिखित समीकरण को हल करने की आवश्यकता है: y=1/3(x^3-14x^2+49x-36)=0. आवश्यक गणना करने के बाद, हमें निम्नलिखित उत्तर मिलते हैं:

संकेत स्थिरता

एक फ़ंक्शन (ग्राफिक्स) के अध्ययन और निर्माण में अगला चरण संकेत स्थिरता के अंतराल का पता लगाना है। इसका मतलब है कि हमें यह निर्धारित करना होगा कि फ़ंक्शन किस अंतराल पर लेता है सकारात्मक मूल्य, और कुछ पर - नकारात्मक। पिछले अनुभाग में पाए गए कार्यों के शून्य हमें ऐसा करने में मदद करेंगे। इसलिए, हमें एक सीधी रेखा (ग्राफ से अलग) खींचनी होगी और सही आदेशइस पर फ़ंक्शन के शून्य को सबसे छोटे से सबसे बड़े में वितरित करें। अब आपको यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि किस परिणामी अंतराल में "+" चिह्न है, और किसके पास "-" है।

हमारे मामले में, फ़ंक्शन अंतराल पर सकारात्मक मान लेता है:

• 1 से 4 तक;
• 9 से अनंत तक।

नकारात्मक अर्थ:

• माइनस इनफिनिटी से 1 तक;
• 4 से 9 तक।

यह तय करना काफी आसान है। फ़ंक्शन में अंतराल से किसी भी संख्या को प्रतिस्थापित करें और देखें कि उत्तर क्या है (शून्य या प्लस)।

फ़ंक्शन आरोही और घटाना

एक फ़ंक्शन का पता लगाने और बनाने के लिए, हमें यह जानना होगा कि ग्राफ़ कहाँ बढ़ेगा (Oy पर ऊपर जाएँ), और कहाँ गिरेगा (y-अक्ष के साथ नीचे रेंगना)।

फलन तभी बढ़ता है जब चर x का बड़ा मान से मेल खाता हो अधिक मूल्यवाई अर्थात्, x, x1 से बड़ा है, और f(x2), f(x1) से बड़ा है। और हम घटते फलन (अधिक x, कम y) में पूरी तरह से विपरीत घटना का निरीक्षण करते हैं। वृद्धि और कमी के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, आपको निम्नलिखित खोजने की आवश्यकता है:

• गुंजाइश (हमारे पास पहले से ही है);
• व्युत्पन्न (हमारे मामले में: 1/3(3x^2-28x+49);
• समीकरण 1/3(3x^2-28x+49)=0 हल करें।

गणना के बाद, हमें परिणाम मिलता है:

हम प्राप्त करते हैं: फ़ंक्शन अंतराल पर शून्य से अनंत तक 7/3 और 7 से अनंत तक बढ़ता है, और अंतराल पर 7/3 ​​से 7 तक घटता है।

चरम

जांचा गया फ़ंक्शन y=1/3(x^3-14x^2+49x-36) निरंतर है और चर x के किसी भी मान के लिए मौजूद है। चरम बिंदु इस फ़ंक्शन का अधिकतम और न्यूनतम दिखाता है। हमारे मामले में, कोई भी नहीं है जो निर्माण कार्य को बहुत सरल करता है। अन्यथा, वे व्युत्पन्न फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए भी पाए जाते हैं। खोजने के बाद उन्हें चार्ट पर अंकित करना न भूलें।

उत्तलता और अवतलता

हम फलन y(x) का अध्ययन जारी रखते हैं। अब हमें इसे उत्तलता और अवतलता के लिए जाँचने की आवश्यकता है। इन अवधारणाओं की परिभाषाओं को समझना काफी कठिन है, उदाहरणों के साथ हर चीज का विश्लेषण करना बेहतर है। परीक्षण के लिए: एक फ़ंक्शन उत्तल होता है यदि यह एक गैर-घटता हुआ कार्य है। सहमत हूँ, यह समझ से बाहर है!

हमें दूसरे क्रम के फलन का अवकलज ज्ञात करना है। हमें मिलता है: y=1/3(6x-28)। अब हम दायीं ओर को शून्य के बराबर करते हैं और समीकरण को हल करते हैं। उत्तर: x=14/3. हमने विभक्ति बिंदु पाया है, यानी वह स्थान जहां ग्राफ उत्तल से अवतल या इसके विपरीत में बदलता है। माइनस इनफिनिटी से 14/3 के अंतराल पर, फंक्शन उत्तल होता है, और 14/3 से प्लस इनफिनिटी तक, यह अवतल होता है। यह भी ध्यान रखना बहुत महत्वपूर्ण है कि चार्ट पर विभक्ति बिंदु चिकना और नरम होना चाहिए, नहीं तेज मोडउपस्थित नहीं होना चाहिए।

अतिरिक्त बिंदुओं की परिभाषा

हमारा काम फंक्शन ग्राफ को एक्सप्लोर करना और प्लॉट करना है। हमने अध्ययन पूरा कर लिया है, अब फ़ंक्शन को प्लॉट करना मुश्किल नहीं होगा। निर्देशांक तल पर वक्र या सीधी रेखा के अधिक सटीक और विस्तृत पुनरुत्पादन के लिए, आप कई सहायक बिंदु पा सकते हैं। उनकी गणना करना काफी आसान है। उदाहरण के लिए, हम x=3 लेते हैं, परिणामी समीकरण को हल करते हैं और y=4 पाते हैं। या x=5 और y=-5 इत्यादि। आप उतने अतिरिक्त अंक ले सकते हैं जितने की आपको निर्माण करने की आवश्यकता है। उनमें से कम से कम 3-5 पाए जाते हैं।

अंकन

हमें फ़ंक्शन की जांच करने की आवश्यकता है (x^3-14x^2+49x-36)*1/3=y. गणना के दौरान सभी आवश्यक अंक समन्वय विमान पर बनाए गए थे। बस इतना करना बाकी है कि एक ग्राफ बनाना है, यानी सभी बिंदुओं को एक दूसरे से जोड़ना है। बिंदुओं को जोड़ना सहज और सटीक है, यह कौशल की बात है - थोड़ा अभ्यास और आपका शेड्यूल एकदम सही होगा।

फलन के संपूर्ण अध्ययन और इसके ग्राफ को आलेखित करने के लिए, निम्नलिखित योजना की अनुशंसा की जाती है:
ए) परिभाषा के क्षेत्र का पता लगाएं, विराम बिंदु; असंततता बिंदुओं के पास फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच करें (इन बिंदुओं पर बाएं और दाएं फ़ंक्शन की सीमाएं पाएं)। ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख निर्दिष्ट करें।
बी) फ़ंक्शन की समता या विषमता निर्धारित करें और समरूपता की उपस्थिति के बारे में निष्कर्ष निकालें। यदि , तो फलन ओए अक्ष के संबंध में सम, सममित है; के लिए, फलन मूल के संबंध में विषम, सममित है; और अगर एक समारोह है सामान्य दृष्टि से.
सी) समन्वय अक्ष ओए और ओएक्स (यदि संभव हो) के साथ फ़ंक्शन के चौराहे के बिंदु खोजें, फ़ंक्शन के संकेत के अंतराल निर्धारित करें। किसी फ़ंक्शन के साइन कॉन्स्टेंसी अंतराल की सीमाएं उन बिंदुओं द्वारा निर्धारित की जाती हैं जिन पर फ़ंक्शन शून्य (फ़ंक्शन के शून्य) के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है और इस फ़ंक्शन की परिभाषा के डोमेन की सीमाओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। अंतराल में जहां फ़ंक्शन का ग्राफ OX अक्ष के ऊपर स्थित होता है, और जहां - इस अक्ष के नीचे।
डी) फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न खोजें, इसके शून्य और स्थिरता के अंतराल निर्धारित करें। अंतराल में जहां फ़ंक्शन बढ़ता है और जहां यह घटता है। एक्स्ट्रेमा की उपस्थिति के बारे में एक निष्कर्ष निकालें (ऐसे बिंदु जहां फ़ंक्शन और व्युत्पन्न मौजूद हैं और जब से गुजरते हुए यह संकेत बदलता है। यदि यह प्लस से माइनस में साइन बदलता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन में अधिकतम होता है, और यदि माइनस से से तक प्लस, फिर न्यूनतम)। चरम बिंदुओं पर फ़ंक्शन मान खोजें।
ई) दूसरा व्युत्पन्न, इसके शून्य और निरंतरता के अंतराल खोजें। अंतराल में जहां< 0 график функции выпуклый, а где – вогнутый. Сделать заключение о наличии точек перегиба и найти значения функции в этих точках.
ई) तिरछे (क्षैतिज) अनंतस्पर्शी खोजें जिनके समीकरणों का रूप है ; कहाँ पे
.
पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ में दो तिरछे स्पर्शोन्मुख होंगे, और x का प्रत्येक मान और b के दो मानों के अनुरूप हो सकता है।
जी) ग्राफ को परिष्कृत करने के लिए अतिरिक्त बिंदु खोजें (यदि आवश्यक हो) और एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण 1 फलन की जाँच कीजिए और उसका आलेख आलेखित कीजिए। समाधान: ए) परिभाषा का क्षेत्र; परिभाषा के क्षेत्र में फलन सतत है; - ब्रेकिंग पॉइंट, क्योंकि ; . फिर लंबवत स्पर्शोन्मुख है।
बी)
वे। y(x) एक सामान्य फलन है।
सी) हम ओए अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु पाते हैं: हम एक्स = 0 सेट करते हैं; तब y(0)=–1, यानी। फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु (0; -1) पर अक्ष को पार करता है। फ़ंक्शन के शून्य (ओएक्स अक्ष के साथ ग्राफ के चौराहे के बिंदु): हम मानते हैं y=0; फिर
.
विभेदक द्विघात समीकरण शून्य से कम, इसलिए कोई शून्य नहीं हैं। तब स्थिरता के अंतराल की सीमा बिंदु x = 1 है, जहां फ़ंक्शन मौजूद नहीं है।
प्रत्येक अंतराल में फ़ंक्शन का संकेत आंशिक मानों की विधि द्वारा निर्धारित किया जाता है:

आरेख से यह देखा जा सकता है कि अंतराल में फ़ंक्शन का ग्राफ OX अक्ष के नीचे और अंतराल में OX अक्ष के ऊपर स्थित होता है।
डी) हम महत्वपूर्ण बिंदुओं की उपस्थिति का पता लगाते हैं।
.
महत्वपूर्ण बिंदु (जहाँ या मौजूद नहीं है) समानता से पाए जाते हैं और .

हम पाते हैं: x1=1, x2=0, x3=2। आइए रचना करें सहायक तालिका

तालिका एक

(पहली पंक्ति में महत्वपूर्ण बिंदु और अंतराल होते हैं जिनमें इन बिंदुओं को ओएक्स अक्ष द्वारा विभाजित किया जाता है; दूसरी पंक्ति महत्वपूर्ण बिंदुओं पर व्युत्पन्न के मूल्यों और अंतराल पर संकेतों को इंगित करती है। संकेत विधि द्वारा निर्धारित किए जाते हैं आंशिक मूल्यों की। तीसरी पंक्ति महत्वपूर्ण बिंदुओं में फ़ंक्शन y(x) के मूल्यों को इंगित करती है और फ़ंक्शन के व्यवहार को दर्शाती है - संख्यात्मक अक्ष के संगत अंतराल पर बढ़ती या घटती है। इसके अतिरिक्त, न्यूनतम की उपस्थिति या अधिकतम दर्शाया गया है।
ई) फ़ंक्शन की उत्तलता और अवतलता के अंतराल का पता लगाएं।
; हम पैराग्राफ डी के अनुसार एक टेबल बनाते हैं); केवल दूसरी पंक्ति में हम संकेतों को लिखते हैं, और तीसरे में हम उभार के प्रकार को इंगित करते हैं। इसलिये ; तो महत्वपूर्ण बिंदु एक x = 1 है।
तालिका 2

बिंदु x=1 विभक्ति बिंदु है।
ई) तिरछे और क्षैतिज अनंतस्पर्शी खोजें

तब y=x एक तिरछी अनंतस्पर्शी है।
जी) प्राप्त आंकड़ों के अनुसार, हम फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाते हैं

उदाहरण2 फलन का पूरा अध्ययन करें और उसका ग्राफ तैयार करें। समाधान।

1). समारोह का दायरा।
जाहिर है, यह फ़ंक्शन अंक "" और "" को छोड़कर, पूरी संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है, क्योंकि इन बिंदुओं पर, हर शून्य के बराबर है और इसलिए, फ़ंक्शन मौजूद नहीं है, और रेखाएं और लंबवत स्पर्शोन्मुख हैं।

2). फ़ंक्शन का व्यवहार जब तर्क अनंत की ओर जाता है, असंततता बिंदुओं का अस्तित्व और तिरछे स्पर्शोन्मुख के लिए जाँच।
आइए पहले देखें कि बाईं ओर और दाईं ओर अनंत तक पहुंचने पर फ़ंक्शन कैसे व्यवहार करता है।

इस प्रकार, पर , फलन 1 की ओर प्रवृत्त होता है, अर्थात्। क्षैतिज स्पर्शोन्मुख है।
असंततता बिंदुओं के पड़ोस में, फ़ंक्शन का व्यवहार निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


वे। जब बाईं ओर असंततता बिंदुओं के पास पहुँचते हैं, तो फ़ंक्शन अनंत रूप से घटता है, जबकि दाईं ओर, यह असीम रूप से बढ़ता है।
हम समानता पर विचार करके एक तिरछी स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति का निर्धारण करते हैं:

कोई तिरछा स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

3). निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु।
यहां दो स्थितियों पर विचार करना आवश्यक है: ऑक्स अक्ष के साथ और ओए अक्ष के साथ चौराहे के बिंदु को खोजने के लिए। x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का चिह्न फलन का शून्य मान है, अर्थात्। आपको समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

इस समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए, इस फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं है।
ओए अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का संकेत मान x \u003d 0 है। इस मामले में
,
वे। - ओए अक्ष के साथ फ़ंक्शन ग्राफ़ का प्रतिच्छेदन बिंदु।

4).चरम बिंदुओं का निर्धारण और वृद्धि और कमी के अंतराल।
इस मुद्दे की जांच करने के लिए, हम पहले व्युत्पन्न को परिभाषित करते हैं:
.
हम पहले व्युत्पन्न के मूल्य को शून्य के बराबर करते हैं।
.
एक भिन्न शून्य होती है जब उसका अंश शून्य होता है, अर्थात। .
आइए हम फलन के बढ़ने और घटने के अंतरालों को निर्धारित करें।

इस प्रकार, फ़ंक्शन में एक चरम बिंदु होता है और दो बिंदुओं पर मौजूद नहीं होता है।
इस प्रकार, अंतराल पर फलन बढ़ता है और अंतराल पर घटता है और।

5). विभक्ति बिंदु और उत्तलता और अवतलता के क्षेत्र।
फ़ंक्शन के व्यवहार की यह विशेषता दूसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके निर्धारित की जाती है। आइए पहले हम विभक्ति बिंदुओं की उपस्थिति का निर्धारण करें। फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न है

के लिए और फलन अवतल है;

के लिए और फलन उत्तल है।

6). एक फ़ंक्शन ग्राफ प्लॉट करना।
बिंदुओं में पाए गए मानों का उपयोग करके, हम फ़ंक्शन का एक योजनाबद्ध ग्राफ़ बनाते हैं:

उदाहरण3 समारोह का अन्वेषण करें और इसे प्लॉट करें।

समाधान
दिया गया फलन सामान्य रूप का एक गैर-आवधिक फलन है। इसका ग्राफ मूल बिंदु से होकर गुजरता है, क्योंकि .
दिए गए फ़ंक्शन का डोमेन चर के सभी मान हैं, और को छोड़कर, जिस पर भिन्न का हर गायब हो जाता है।
इसलिए, बिंदु और फ़ंक्शन के विराम बिंदु हैं।
इसलिये ,

इसलिये ,
, तो बिंदु दूसरी तरह का एक असंततता बिंदु है।
सीधी रेखाएँ और फ़ंक्शन के ग्राफ़ के लंबवत स्पर्शोन्मुख हैं।
परोक्ष स्पर्शोन्मुख समीकरण , जहाँ , .
पर ,
.
इस प्रकार, फ़ंक्शन के लिए और ग्राफ़ में एक स्पर्शोन्मुख है।
आइए हम फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल और चरम बिंदुओं का पता लगाएं।
.
फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न at और इसलिए, पर और फ़ंक्शन बढ़ता है।
के लिए, इसलिए, के लिए, फ़ंक्शन घट रहा है।
के लिए मौजूद नहीं है।
, इसलिए, अत फ़ंक्शन का ग्राफ अवतल है।
पर , इसलिए, अत फ़ंक्शन का ग्राफ उत्तल है।

बिंदुओं से गुजरते समय, संकेत बदलता है। जब फ़ंक्शन परिभाषित नहीं होता है, इसलिए फ़ंक्शन के ग्राफ़ में एक विभक्ति बिंदु होता है।
आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं।

कार्यों के अध्ययन और उनके रेखांकन के निर्माण में संदर्भ बिंदु विशेषता बिंदु हैं - समन्वय अक्षों के साथ असंततता, चरम, विभक्ति, प्रतिच्छेदन के बिंदु। डिफरेंशियल कैलकुलस की मदद से, कोई स्थापित कर सकता है विशेषताएँकार्य परिवर्तन: वृद्धि और कमी, मैक्सिमा और मिनिमा, ग्राफ की उत्तलता और अवतलता की दिशा, स्पर्शोन्मुख की उपस्थिति।

स्पर्शोन्मुख और चरम बिंदुओं को खोजने के बाद फ़ंक्शन ग्राफ़ का एक स्केच (और चाहिए) स्केच किया जा सकता है, और अध्ययन के दौरान फ़ंक्शन के अध्ययन की सारांश तालिका को भरना सुविधाजनक है।

आमतौर पर, फ़ंक्शन अनुसंधान की निम्नलिखित योजना का उपयोग किया जाता है।

1.किसी फ़ंक्शन का डोमेन, निरंतरता अंतराल और विराम बिंदु खोजें.

2.सम या विषम के लिए फलन का परीक्षण कीजिए (अक्षीय या केंद्रीय समरूपताललित कलाएं।

3.स्पर्शोन्मुख (ऊर्ध्वाधर, क्षैतिज या तिरछा) खोजें।

4.फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल, उसके चरम बिंदुओं का पता लगाएं और उनकी जांच करें।

5.वक्र की उत्तलता और अवतलता के अंतराल, इसके विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

6.निर्देशांक अक्षों के साथ वक्र के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए, यदि वे मौजूद हैं।

7.अध्ययन की एक सारांश तालिका संकलित करें।

8.उपरोक्त बिंदुओं के अनुसार किए गए कार्य के अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएं।

उदाहरण।समारोह का अन्वेषण करें

और इसे प्लॉट करें।

7. आइए फ़ंक्शन के अध्ययन की एक सारांश तालिका बनाएं, जहां हम सभी विशिष्ट बिंदुओं और उनके बीच के अंतराल को दर्ज करेंगे। फ़ंक्शन की समता को देखते हुए, हमें निम्न तालिका मिलती है:

				चार्ट विशेषताएं
[-1, 0[			की बढ़ती	उत्तल
				(0; 1) - अधिकतम बिंदु
]0, 1[			कम हो जाती है	उत्तल
				विभक्ति बिंदु, अक्ष के साथ बनता है बैलअधिक कोण

में से एक महत्वपूर्ण कार्यअंतर कलन विकास है सामान्य उदाहरणकार्यों के व्यवहार का अध्ययन।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सकारात्मक या अंतराल (a, b) पर 0 के बराबर है, तो y \u003d f (x) बढ़ जाता है (f "(x) 0) यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) घट जाता है (f"( एक्स) 0)

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति केवल उसकी परिभाषा के डोमेन के उन बिंदुओं पर बदल सकती है, जिस पर पहले व्युत्पन्न का संकेत बदलता है। जिन बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या टूट जाता है, उन्हें महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है।

प्रमेय 1 (एक चरम के अस्तित्व के लिए पहली पर्याप्त शर्त)।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दें, जैसे कि फ़ंक्शन सेगमेंट पर निरंतर है, अंतराल पर अलग-अलग है (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , और इसका अवकलज इनमें से प्रत्येक अंतराल पर एक अचर चिह्न रखता है। फिर यदि x 0 -δ, x 0) और (x 0, x 0 + δ) पर व्युत्पत्ति के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है . इसके अलावा, यदि, बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न संकेत प्लस से माइनस में बदल जाता है (x 0 के बाईं ओर, f "(x)> 0 किया जाता है, तो x 0 अधिकतम बिंदु है; यदि व्युत्पन्न संकेत बदलता है माइनस से प्लस तक (x 0 के दाईं ओर f"(x) द्वारा निष्पादित किया जाता है<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम के लिए आवश्यक मानदंड)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) में वर्तमान x=x 0 पर एक चरम है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
एक अवकलनीय फलन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

एक चरम के लिए एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, यानी। ऐसे बिंदु जहां फलन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न के चिह्न की जाँच करें।
4) चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें, महत्वपूर्ण बिंदुओं के इस मान के लिए, इस फ़ंक्शन में स्थानापन्न करें। पर्याप्त चरम स्थितियों का उपयोग करते हुए, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. फलन की जाँच कीजिए y=x 3 -9x 2 +24x

समाधान।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)।
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न हर जगह परिभाषित किया गया है; इसलिए, दो पाए गए बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) अवकलज का चिह्न y "=3(x-2)(x-4) अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, अवकलज धन से ऋण में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरते समय - ऋण से धन की ओर।
4) बिंदु x=2 पर, फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु x=4 पर - न्यूनतम y मिनट =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f "(x 0) और f "" (x 0) बिंदु x 0 पर मौजूद हैं। फिर यदि f "" (x 0)> 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) सबसे छोटे (कम से कम) या सबसे बड़े (अधिकतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल (ए; बी) में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या सिरों पर हो सकता है खंड का।

खंड पर एक सतत फ़ंक्शन y=f(x) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f "(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर f "(x) = 0 या f" (x) - मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के मूल्य की गणना पैराग्राफ 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर करें और उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें: वे क्रमशः सबसे बड़े हैं ( सबसे बड़े के लिए) और सबसे छोटा (सबसे छोटे के लिए) अंतराल पर फ़ंक्शन मान।

उदाहरण 19. खंड पर एक सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास y "=3x 2 -6x-45 खंड पर है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां y"=0; हम पाते हैं:
3x2 -6x-45=0
एक्स 2 -2x-15=0
एक्स 1 \u003d -3; x2=5
3) बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
केवल बिंदु x=5 खंड के अंतर्गत आता है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में से सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटा संख्या 50 है। तो, अधिकतम = 225 पर, अधिकतम = 50 पर।

उत्तलता पर एक समारोह की जांच

आंकड़ा दो कार्यों के रेखांकन दिखाता है। उनमें से पहला एक उभार के साथ मुड़ा हुआ है, दूसरा - एक उभार के साथ।

फलन y=f(x) खंड पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में अवकलनीय है, इस खंड पर उत्तल ऊपर (नीचे) कहा जाता है, यदि axb के लिए इसका ग्राफ स्पर्शरेखा से अधिक (कम नहीं) है किसी भी बिंदु M 0 (x 0; f (x 0)) पर खींचा गया, जहाँ axb.

प्रमेय 4. मान लीजिए फलन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा अवकलज है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर संतुष्ट होती है, तो फलन खंड पर नीचे की ओर उत्तल होता है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (а;b) पर संतुष्ट होती है, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल होता है।

प्रमेय 5. यदि फलन y=f(x) का अंतराल (a;b) पर दूसरा अवकलज है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरते समय संकेत बदलता है, तो M(x 0 ;f(x 0)) है एक मोड़ बिंदु।

विभक्ति बिंदु खोजने के लिए नियम:

1) ऐसे बिंदु खोजें जहां f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाएँ और दाएँ चिह्न f""(x) की जाँच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर एक निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फलन ग्राफ़ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, f"(x)=0 x 1 =0, x 2 =1 के लिए। व्युत्पन्न, जब बिंदु x = 0 से गुजरता है, तो साइन को माइनस से प्लस में बदल देता है, और जब बिंदु x = 1 से गुजरता है, तो यह साइन नहीं बदलता है। इसका मतलब है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y min =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण पर (-∞;) हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल पर (;1) हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से उत्तलता से ऊपर की ओर संक्रमण) और x=1 भी एक विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से उत्तलता नीचे तक संक्रमण)। यदि x=, तो y=; यदि, तो x=1, y=13.

ग्राफ के स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में, तो x=a एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → या x → -∞ के रूप में है तो y=A क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
III. परोक्ष स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें। यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) परोक्ष अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फलन के लिए अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए

1)
2)
3)
4) तिरछी स्पर्शोन्मुख समीकरण का रूप है

फ़ंक्शन के अध्ययन की योजना और इसके ग्राफ का निर्माण

I. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
III. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ। संभावित चरम के बिंदु खोजें।
V. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक ड्राइंग का उपयोग करते हुए, पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करें। फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के क्षेत्रों का निर्धारण करें, ग्राफ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।
सातवीं। पैराग्राफ 1-6 में किए गए अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएँ।

उदाहरण 22: उपरोक्त योजना के अनुसार एक फलन आलेख आलेखित करें

समाधान।
I. फलन का प्रांत x=1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
द्वितीय. चूंकि समीकरण x 2 +1=0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होते हैं, लेकिन Oy अक्ष को बिंदु (0; -1) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
III. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। हम असंततता बिंदु x=1 के निकट फलन के व्यवहार की जांच करते हैं। चूँकि y → x → -∞ के लिए, y → +∞ x → 1+ के लिए, तो रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ में क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर, हमें संभावित चरम के दो बिंदु मिलते हैं:
एक्स 1 = 1-√2 और एक्स 2 = 1+√2

वी। महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूंकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. हम पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करते हैं। संभावित चरम बिंदुओं पर विचार किया जाना चाहिए: x 1 = 1-√2 और x 2 = 1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के क्षेत्र को अंतराल में विभाजित करें (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) और (1+√2;+∞)।

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिन्ह बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। पहले व्युत्पन्न के संकेतों का क्रम इस प्रकार लिखा जाएगा: +, -, +।
हम पाते हैं कि (-∞;1-√2) पर फलन बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर यह घटता है, और (1+√2;+∞) पर यह फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, इसके अलावा f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, इसके अलावा f(1+√2)=2+2√2। पर (-∞;1) ग्राफ ऊपर की ओर उत्तल है, और पर (1;+∞) - नीचे की ओर।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

आठवीं प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं