किसी फ़ंक्शन को सम (विषम) कहा जाता है यदि किसी और समानता के लिए 
.
किसी सम फलन का ग्राफ़ अक्ष के प्रति सममित होता है 
.
एक विषम फलन का ग्राफ मूल बिन्दु के प्रति सममित होता है।
उदाहरण 6.2.जाँच करें कि कोई फलन सम है या विषम
1)
;
2)
;
3)
.
समाधान.
1) फ़ंक्शन को तब परिभाषित किया जाता है 
. हम ढूंढ लेंगे 
.
वे। 
. मतलब, यह फ़ंक्शनसम है।
2) फ़ंक्शन को तब परिभाषित किया जाता है 
वे। 
. इस प्रकार, यह फ़ंक्शन अजीब है।
3) फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, यानी। के लिए
,
. इसलिए फलन न तो सम है और न ही विषम है। आइए इसे सामान्य रूप का एक फ़ंक्शन कहें।
3. एकरसता के लिए फलन का अध्ययन।
समारोह 
एक निश्चित अंतराल पर बढ़ना (घटना) कहलाता है यदि इस अंतराल में प्रत्येक उच्च मूल्यतर्क फ़ंक्शन के बड़े (छोटे) मान से मेल खाता है।
एक निश्चित अंतराल पर बढ़ने (घटने) वाले कार्यों को मोनोटोनिक कहा जाता है।
यदि फ़ंक्शन 
अंतराल पर अवकलनीय 
और इसका एक सकारात्मक (नकारात्मक) व्युत्पन्न है 
, फिर फ़ंक्शन 
इस अंतराल पर बढ़ता (घटता) है।
उदाहरण 6.3. कार्यों की एकरसता के अंतराल ज्ञात कीजिए
1)
;
3)
.
समाधान.
1) यह फ़ंक्शन संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित है। आइए व्युत्पन्न खोजें।
यदि व्युत्पन्न शून्य के बराबर है 
और 
. परिभाषा का क्षेत्र संख्या अक्ष है, जो बिंदुओं द्वारा विभाजित है 
,
अंतरालों पर। आइए हम प्रत्येक अंतराल में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें।
अंतराल में 
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इस अंतराल पर फलन घटता है।
अंतराल में 
व्युत्पन्न सकारात्मक है, इसलिए, इस अंतराल पर फ़ंक्शन बढ़ता है।
2) इस फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है यदि 
या
.
हम प्रत्येक अंतराल में द्विघात त्रिपद का चिह्न निर्धारित करते हैं।
इस प्रकार, फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र
आइए व्युत्पन्न खोजें 
,
, अगर 
, अर्थात। 
, लेकिन 
. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें 
.
अंतराल में 
व्युत्पन्न ऋणात्मक है, इसलिए अंतराल पर फलन घटता जाता है 
. अंतराल में 
व्युत्पन्न सकारात्मक है, फलन अंतराल पर बढ़ता है 
.
4. चरम सीमा पर कार्य का अध्ययन।
डॉट 
फ़ंक्शन का अधिकतम (न्यूनतम) बिंदु कहा जाता है 
, यदि बिंदु का कोई ऐसा पड़ोस है 
वह हर किसी के लिए है 
इस पड़ोस से असमानता कायम है 
.
किसी फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को चरम बिंदु कहा जाता है।
यदि फ़ंक्शन 
बिंदु पर 
एक चरम है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या अस्तित्व में नहीं है (एक चरम के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त)।
वे बिंदु जिन पर व्युत्पन्न शून्य है या अस्तित्व में नहीं है, क्रांतिक कहलाते हैं।
5. चरम के अस्तित्व के लिए पर्याप्त परिस्थितियाँ।
नियम 1. यदि संक्रमण के दौरान (बाएं से दाएं) महत्वपूर्ण बिंदु के माध्यम से 
यौगिक 
चिह्न को "+" से "-" में बदलता है, फिर बिंदु पर 
समारोह 
अधिकतम है; यदि "-" से "+" तक, तो न्यूनतम; अगर 
संकेत नहीं बदलता है, तो कोई चरम सीमा नहीं है।
नियम 2. चलो बिंदु पर 
किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न 
शून्य के बराबर 
, और दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है और शून्य से अलग है। अगर 
, वह 
– अधिकतम बिंदु, यदि 
, वह 
– फ़ंक्शन का न्यूनतम बिंदु.
उदाहरण 6.4 . अधिकतम और न्यूनतम कार्यों का अन्वेषण करें:
1)
;
2)
;
3)
;
4)
.
समाधान।
1) फलन अंतराल पर परिभाषित और सतत है 
.
आइए व्युत्पन्न खोजें 
और समीकरण को हल करें 
, अर्थात। 
।यहाँ से 
- महत्वपूर्ण बिंदु।
आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न निर्धारित करें, 
.
बिंदुओं से गुजरते समय 
और 
इसलिए, नियम 1 के अनुसार, व्युत्पन्न का चिह्न "-" से "+" में बदल जाता है 
– न्यूनतम अंक.
किसी बिंदु से गुजरते समय 
व्युत्पन्न चिह्न "+" से "-" में बदल जाता है, इसलिए 
– अधिकतम बिंदु.
,
.
2) अंतराल में फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है 
. आइए व्युत्पन्न खोजें 
.
समीकरण हल करने के बाद 
, हम ढूंढ लेंगे 
और 
- महत्वपूर्ण बिंदु। यदि हर 
, अर्थात। 
, तो व्युत्पन्न मौजूद नहीं है। इसलिए, 
– तीसरा महत्वपूर्ण बिंदु. आइए हम अंतरालों में अवकलज का चिह्न ज्ञात करें।
इसलिए, फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है 
, अंकों में अधिकतम 
और 
.
3) एक फ़ंक्शन परिभाषित और निरंतर है यदि 
, अर्थात। पर 
.
आइए व्युत्पन्न खोजें 
.
आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें: 
बिंदुओं के पड़ोस 
परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित नहीं हैं, इसलिए वे एक्स्ट्रेमा नहीं हैं। तो, आइए महत्वपूर्ण बिंदुओं की जाँच करें 
और 
.
4) फलन अंतराल पर परिभाषित एवं सतत होता है 
. आइए नियम 2 का उपयोग करें। व्युत्पन्न ज्ञात करें 
.
आइए महत्वपूर्ण बिंदु खोजें:
आइए दूसरा व्युत्पन्न खोजें 
और बिंदुओं पर इसका चिन्ह निर्धारित करें 
बिंदुओं पर 
फ़ंक्शन में न्यूनतम है.
बिंदुओं पर 
फ़ंक्शन में अधिकतम है.
एक चर x पर एक चर y की निर्भरता, जिसमें x का प्रत्येक मान y के एकल मान से मेल खाता है, एक फ़ंक्शन कहलाता है। पदनाम के लिए अंकन y=f(x) का उपयोग करें। प्रत्येक फ़ंक्शन में कई बुनियादी गुण होते हैं, जैसे एकरसता, समता, आवधिकता और अन्य।
समता संपत्ति पर करीब से नज़र डालें।
एक फ़ंक्शन y=f(x) को कॉल किया जाता है, भले ही वह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता हो:
2. फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित बिंदु x पर फ़ंक्शन का मान, बिंदु -x पर फ़ंक्शन के मान के बराबर होना चाहिए। अर्थात्, किसी भी बिंदु x के लिए, निम्नलिखित समानता फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संतुष्ट होनी चाहिए: f(x) = f(-x)।
एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ़
यदि आप एक सम फलन का ग्राफ़ बनाते हैं, तो यह ओए अक्ष के बारे में सममित होगा।
उदाहरण के लिए, फलन y=x^2 सम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।
आइए एक मनमाना x=3 लें। f(x)=3^2=9.
f(-x)=(-3)^2=9. इसलिए f(x) = f(-x). इस प्रकार, दोनों स्थितियाँ पूरी होती हैं, जिसका अर्थ है कि फलन सम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^2 का ग्राफ़ है।
चित्र से पता चलता है कि ग्राफ़ ओए अक्ष के बारे में सममित है।
एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़
एक फ़ंक्शन y=f(x) को विषम कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:
1. किसी दिए गए फ़ंक्शन की परिभाषा का क्षेत्र बिंदु O के संबंध में सममित होना चाहिए। अर्थात, यदि कोई बिंदु a फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित है, तो संबंधित बिंदु -a भी परिभाषा के क्षेत्र से संबंधित होना चाहिए दिए गए फ़ंक्शन का.
2. किसी भी बिंदु x के लिए, फ़ंक्शन की परिभाषा के क्षेत्र से निम्नलिखित समानता संतुष्ट होनी चाहिए: f(x) = -f(x)।
एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ बिंदु O - निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में सममित है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन y=x^3 विषम है। चलो पता करते हैं। परिभाषा का क्षेत्र संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष है, जिसका अर्थ है कि यह बिंदु O के बारे में सममित है।
आइए एक मनमाना x=2 लें। f(x)=2^3=8.
f(-x)=(-2)^3=-8. इसलिए f(x) = -f(x). इस प्रकार, दोनों शर्तें पूरी होती हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन विषम है। नीचे फ़ंक्शन y=x^3 का ग्राफ़ है।
यह आंकड़ा स्पष्ट रूप से दर्शाता है यहां तक कि समारोह y=x^3 मूल बिन्दु के प्रति सममित है।
यहां तक की, यदि इसकी परिभाषा के क्षेत्र से सभी \(x\) के लिए निम्नलिखित सत्य है: \(f(-x)=f(x)\) ।
एक सम फ़ंक्शन का ग्राफ \(y\) अक्ष के बारे में सममित है:
उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=x^2+\cos x\) सम है, क्योंकि \(f(-x)=(-x)^2+\cos((-x))=x^2+\cos x=f(x)\).
\(\blacktriangright\) फ़ंक्शन को \(f(x)\) कहा जाता है विषम, यदि इसकी परिभाषा के क्षेत्र से सभी \(x\) के लिए निम्नलिखित सत्य है: \(f(-x)=-f(x)\) ।
एक विषम फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल के बारे में सममित है:
उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=x^3+x\) अजीब है क्योंकि \(f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-(x^3+x)=-f(x)\).
\(\blacktriangleright\) ऐसे फ़ंक्शन जो न तो सम हैं और न ही विषम, फ़ंक्शन कहलाते हैं सामान्य रूप से देखें. ऐसे फ़ंक्शन को हमेशा एक सम और एक विषम फ़ंक्शन के योग के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है।
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन \(f(x)=x^2-x\) सम फ़ंक्शन \(f_1=x^2\) और विषम \(f_2=-x\) का योग है।
\(\ब्लैकट्राएंगलराइट\) कुछ गुण:
1) समान समता के दो फलनों का गुणनफल और भागफल एक सम फलन होता है।
2) विभिन्न समानताओं के दो कार्यों का गुणनफल और भागफल - पुराना फंक्शन.
3) सम फलनों का योग और अंतर एक सम फलन होता है।
4) विषम फलनों का योग और अंतर - विषम फलन।
5) यदि \(f(x)\) एक सम फलन है, तो समीकरण \(f(x)=c \ (c\in \mathbb(R)\) ) का एक अद्वितीय मूल है यदि और केवल जब \( x =0\) .
6) यदि \(f(x)\) एक सम या विषम फलन है, और समीकरण \(f(x)=0\) का एक मूल \(x=b\) है, तो इस समीकरण में आवश्यक रूप से एक दूसरा होगा जड़ \(x =-b\) .
\(\blacktriangleright\) फ़ंक्शन \(f(x)\) को \(X\) पर आवर्त कहा जाता है यदि किसी संख्या \(T\ne 0\) के लिए निम्नलिखित है: \(f(x)=f( x+T) \) , जहां \(x, x+T\in X\) । सबसे छोटा \(T\) जिसके लिए यह समानता संतुष्ट होती है, फ़ंक्शन की मुख्य (मुख्य) अवधि कहलाती है।
एक आवधिक फ़ंक्शन में \(nT\) रूप की कोई भी संख्या होती है, जहां \(n\in \mathbb(Z)\) भी एक अवधि होगी।
उदाहरण: कोई भी त्रिकोणमितीय फलनआवधिक है;
फ़ंक्शन \(f(x)=\sin x\) और \(f(x)=\cos x\) के लिए मुख्य अवधि\(2\pi\) के बराबर है, फ़ंक्शन \(f(x)=\mathrm(tg)\,x\) और \(f(x)=\mathrm(ctg)\,x\) में एक है मुख्य अवधि \ (\pi\) के बराबर है।
किसी आवधिक फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाने के लिए, आप लंबाई \(T\) (मुख्य अवधि) के किसी भी खंड पर इसका ग्राफ़ बना सकते हैं; फिर संपूर्ण फ़ंक्शन का ग्राफ़ निर्मित भाग को पूर्णांक संख्या की अवधियों द्वारा दाएं और बाएं स्थानांतरित करके पूरा किया जाता है:
\(\blacktriangleright\) फ़ंक्शन \(f(x)\) का डोमेन \(D(f)\) एक सेट है जिसमें तर्क \(x\) के सभी मान शामिल हैं जिसके लिए फ़ंक्शन समझ में आता है (परिभाषित किया गया)।
उदाहरण: फ़ंक्शन \(f(x)=\sqrt x+1\) की परिभाषा का एक डोमेन है: \(x\in
कार्य 1 #6364
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर \(a\) के किन मानों पर समीकरण बनता है
यह है एकमात्र निर्णय?
ध्यान दें कि चूँकि \(x^2\) और \(\cos x\) सम फलन हैं, यदि समीकरण का मूल \(x_0\) है, तो इसका एक मूल \(-x_0\) भी होगा।
वास्तव में, मान लीजिए कि \(x_0\) एक मूल है, अर्थात समानता \(2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a^2=0\)सही। आइए \(-x_0\) को प्रतिस्थापित करें : \(2 (-x_0)^2+a\mathrm(tg)\,(\cos(-x_0))+a^2=2x_0^2+a\mathrm(tg)\,(\cos x_0)+a ^2=0\).
इस प्रकार, यदि \(x_0\ne 0\) , तो समीकरण में पहले से ही कम से कम दो जड़ें होंगी। इसलिए, \(x_0=0\) . तब:
हमें पैरामीटर \(a\) के लिए दो मान प्राप्त हुए। ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि \(x=0\) बिल्कुल मूल समीकरण का मूल है। लेकिन हमने कभी इस तथ्य का इस्तेमाल नहीं किया कि वह अकेला है।' इसलिए, आपको पैरामीटर \(a\) के परिणामी मानों को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना होगा और जांचना होगा कि किस विशिष्ट \(a\) के लिए रूट \(x=0\) वास्तव में अद्वितीय होगा।
1) यदि \(a=0\) , तो समीकरण \(2x^2=0\) का रूप लेगा। जाहिर है, इस समीकरण का केवल एक मूल \(x=0\) है। इसलिए, मान \(a=0\) हमारे लिए उपयुक्त है।
2) यदि \(a=-\mathrm(tg)\,1\) , तो समीकरण इस प्रकार बनेगा \ आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें \ क्योंकि \(-1\leqslant \cos x\leqslant 1\), वह \(-\mathrm(tg)\,1\leqslant \mathrm(tg)\,(\cos x)\leqslant \mathrm(tg)\,1\). नतीजतन, समीकरण (*) के दाईं ओर के मान खंड से संबंधित हैं \([-\mathrm(tg)^2\,1; \mathrm(tg)^2\,1]\).
चूँकि \(x^2\geqslant 0\) , तो समीकरण का बायां भाग (*) \(0+ \mathrm(tg)^2\,1\) से बड़ा या उसके बराबर है।
इस प्रकार, समानता (*) केवल तभी संतुष्ट हो सकती है जब समीकरण के दोनों पक्ष \(\mathrm(tg)^2\,1\) के बराबर हों। और इसका मतलब ये है \[\begin(cases) 2x^2+\mathrm(tg)^2\,1=\mathrm(tg)^2\,1 \\ \mathrm(tg)\,1\cdot \mathrm(tg)\ ,(\cos x)=\mathrm(tg)^2\,1 \end(cases) \quad\Leftrightarrow\quad \begin(cases) x=0\\ \mathrm(tg)\,(\cos x) =\mathrm(tg)\,1 \end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad x=0\]इसलिए, मान \(a=-\mathrm(tg)\,1\) हमारे लिए उपयुक्त है।
उत्तर:
\(a\in \(-\mathrm(tg)\,1;0\)\)
कार्य 2 #3923
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर \(a\) के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए फ़ंक्शन का ग्राफ़ \
उत्पत्ति के बारे में सममित.
यदि किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ मूल बिंदु के बारे में सममित है, तो ऐसा फ़ंक्शन विषम है, अर्थात, \(f(-x)=-f(x)\) परिभाषा के क्षेत्र से किसी भी \(x\) के लिए मान्य है समारोह का. इस प्रकार, उन पैरामीटर मानों को ढूंढना आवश्यक है जिनके लिए \(f(-x)=-f(x).\)
\[\begin(allined) &3\mathrm(tg)\,\left(-\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\ Mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\sin \dfrac(8\pi a-3x)4\right)\quad \राइटएरो\quad -3\mathrm(tg)\ ,\dfrac(ax)5+2\sin \dfrac(8\pi a+3x)4= -\left(3\mathrm(tg)\,\left(\dfrac(ax)5\right)+2\ पाप \dfrac(8\pi a-3x)4\दाएं) \quad \राइटएरो\\ \राइटएरो\quad &\sin \dfrac(8\pi a+3x)4+\sin \dfrac(8\pi a- 3x)4=0 \quad \दायां तीर \quad2\sin \dfrac12\left(\dfrac(8\pi a+3x)4+\dfrac(8\pi a-3x)4\right)\cdot \cos \dfrac12 \left(\dfrac(8\pi a+3x)4-\dfrac(8\pi a-3x)4\right)=0 \quad \राइटएरो\quad \sin (2\pi a)\cdot \cos \ frac34 x=0 \end(संरेखित)\]
अंतिम समीकरण को \(f(x)\) के डोमेन से सभी \(x\) के लिए संतुष्ट किया जाना चाहिए, इसलिए, \(\sin(2\pi a)=0 \राइटएरो a=\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\).
उत्तर:
\(\dfrac n2, n\in\mathbb(Z)\)
कार्य 3 #3069
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर \(a\) के सभी मान खोजें, जिनमें से प्रत्येक के लिए समीकरण \ के 4 समाधान हैं, जहां \(f\) अवधि \(T=\dfrac(16)3\) के साथ एक सम आवधिक फ़ंक्शन है संपूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित, और \(f(x)=ax^2\) के लिए \(0\leqslant x\leqslant \dfrac83.\)
(ग्राहकों से कार्य)
चूँकि \(f(x)\) एक सम फलन है, इसका ग्राफ कोटि अक्ष के बारे में सममित है, इसलिए, जब \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant 0\)\(f(x)=ax^2\) . इस प्रकार, जब \(-\dfrac83\leqslant x\leqslant \dfrac83\), और यह लंबाई \(\dfrac(16)3\) , फ़ंक्शन \(f(x)=ax^2\) का एक खंड है।
1) मान लीजिए \(a>0\) . फिर फ़ंक्शन \(f(x)\) का ग्राफ़ इस तरह दिखेगा: 
फिर, समीकरण के 4 समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि ग्राफ \(g(x)=|a+2|\cdot \sqrtx\) बिंदु \(A\) से होकर गुजरे: 
इस तरह, \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt8 \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &9(a+2)=32a\\ &9(a +2)=-32a\end(संरेखित)\end(इकट्ठा)\दाएं। \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &a=\dfrac(18)(23)\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(संरेखित) \end( एकत्रित)\दाएं.\]चूँकि \(a>0\) , तो \(a=\dfrac(18)(23)\) उपयुक्त है।
2) मान लीजिए \(a<0\)
. Тогда картинка окажется симметричной относительно начала координат:
यह आवश्यक है कि ग्राफ \(g(x)\) बिंदु \(B\) से होकर गुजरे: \[\dfrac(64)9a=|a+2|\cdot \sqrt(-8) \quad\Leftrightarrow\quad \left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &a=\dfrac(18)(23) )\\ &a=-\dfrac(18)(41) \end(संरेखित) \end(एकत्रित)\दाएं।\]से एक<0\)
, то подходит \(a=-\dfrac{18}{41}\)
.
3) वह स्थिति जब \(a=0\) उपयुक्त नहीं है, तब से \(f(x)=0\) सभी \(x\) , \(g(x)=2\sqrtx\) के लिए और समीकरण में केवल 1 मूल होगा।
उत्तर:
\(a\in \left\(-\dfrac(18)(41);\dfrac(18)(23)\right\)\)
कार्य 4 #3072
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
प्रत्येक समीकरण के लिए \(a\) के सभी मान ज्ञात कीजिए \
कम से कम एक जड़ है.
(ग्राहकों से कार्य)
आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें \
और दो फ़ंक्शन पर विचार करें: \(g(x)=7\sqrt(2x^2+49)\) और \(f(x)=3|x-7a|-6|x|-a^2+7a\ ) .
फ़ंक्शन \(g(x)\) सम है और इसका न्यूनतम बिंदु \(x=0\) (और \(g(0)=49\) ) है।
\(x>0\) के लिए फ़ंक्शन \(f(x)\) घट रहा है, और \(x<0\)
– возрастающей, следовательно, \(x=0\)
– точка максимума.
दरअसल, जब \(x>0\) दूसरा मॉड्यूल सकारात्मक रूप से खुलेगा (\(|x|=x\) ), इसलिए, भले ही पहला मॉड्यूल कैसे खुलेगा, \(f(x)\) बराबर होगा \( kx+A\) तक, जहां \(A\) \(a\) का व्यंजक है और \(k\) या तो \(-9\) या \(-3\) के बराबर है। जब \(x<0\)
наоборот: второй модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(3\)
, либо \(9\)
.
आइए अधिकतम बिंदु पर \(f\) का मान ज्ञात करें: \ 
समीकरण के लिए कम से कम एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु हो। इसलिए, आपको चाहिए: \ \\]
उत्तर:
\(एक\में \(-7\)\कप\)
कार्य 5 #3912
कार्य स्तर: एकीकृत राज्य परीक्षा के बराबर
पैरामीटर \(a\) के सभी मान ज्ञात करें, जिनमें से प्रत्येक समीकरण के लिए \
इसके छह अलग-अलग समाधान हैं।
आइए प्रतिस्थापन \((\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t\) , \(t>0\) करें। फिर समीकरण बनेगा \
हम धीरे-धीरे उन शर्तों को लिखेंगे जिनके तहत मूल समीकरण के छह समाधान होंगे।
ध्यान दें कि द्विघात समीकरण \((*)\) के अधिकतम दो समाधान हो सकते हैं। किसी भी घन समीकरण \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\) के तीन से अधिक समाधान नहीं हो सकते। इसलिए, यदि समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान हैं (सकारात्मक!), क्योंकि \(t\) शून्य से बड़ा होना चाहिए) \(t_1\) और \(t_2\) , तो, इसका उलटा करके प्रतिस्थापन, हमें मिलता है: \[\left[\begin(इकट्ठा)\begin(संरेखित) &(\sqrt2)^(x^3-3x^2+4)=t_1\\ &(\sqrt2)^(x^3-3x^2 +4)=t_2\end(संरेखित)\end(एकत्रित)\दाएं।\]चूँकि किसी भी धनात्मक संख्या को कुछ हद तक \(\sqrt2\) के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, \(t_1=(\sqrt2)^(\log_(\sqrt2) t_1)\), तो सेट का पहला समीकरण फॉर्म में फिर से लिखा जाएगा \
जैसा कि हमने पहले ही कहा है, किसी भी घन समीकरण के तीन से अधिक समाधान नहीं होते हैं, इसलिए, सेट में प्रत्येक समीकरण के तीन से अधिक समाधान नहीं होंगे। इसका मतलब यह है कि पूरे सेट में छह से अधिक समाधान नहीं होंगे।
इसका मतलब यह है कि मूल समीकरण के छह समाधान होने के लिए, द्विघात समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान होने चाहिए, और प्रत्येक परिणामी घन समीकरण (सेट से) के तीन अलग-अलग समाधान होने चाहिए (और एक भी समाधान नहीं होना चाहिए) एक समीकरण को दूसरे के निर्णय से किसी भी समीकरण से मेल खाना चाहिए!)
जाहिर है, यदि द्विघात समीकरण \((*)\) का एक समाधान है, तो हमें मूल समीकरण के छह समाधान नहीं मिलेंगे।
इस प्रकार, समाधान योजना स्पष्ट हो जाती है। आइए उन शर्तों को बिंदुवार लिखें जिन्हें पूरा किया जाना चाहिए।
1) समीकरण \((*)\) के दो अलग-अलग समाधान होने के लिए, इसका विवेचक सकारात्मक होना चाहिए: \
2) यह भी आवश्यक है कि दोनों मूल धनात्मक हों (क्योंकि \(t>0\) )। यदि दो जड़ों का गुणनफल धनात्मक है और उनका योग धनात्मक है, तो जड़ें स्वयं धनात्मक होंगी। इसलिए, आपको चाहिए: \[\begin(cases) 12-a>0\\-(a-10)>0\end(cases)\quad\Leftrightarrow\quad a<10\]
इस प्रकार, हमने पहले से ही खुद को दो अलग-अलग सकारात्मक मूल \(t_1\) और \(t_2\) प्रदान कर दिए हैं।
3)
आइए इस समीकरण पर नजर डालें \
किस \(t\) के लिए इसके तीन अलग-अलग समाधान होंगे? इस प्रकार, हमने निर्धारित किया है कि समीकरण \((*)\) की दोनों जड़ें अंतराल \((1;4)\) में होनी चाहिए। यह शर्त कैसे लिखें? शून्य से अलग, चार अलग-अलग जड़ें थीं, जो \(x=0\) के साथ मिलकर एक अंकगणितीय प्रगति का प्रतिनिधित्व करती थीं। ध्यान दें कि फ़ंक्शन \(y=25x^4+25(a-1)x^2-4(a-7)\) सम है, जिसका अर्थ है कि यदि \(x_0\) समीकरण का मूल है \( (*)\ ) , तो \(-x_0\) इसका मूल भी होगा। फिर यह आवश्यक है कि इस समीकरण की जड़ें आरोही क्रम में क्रमबद्ध संख्याएं हों: \(-2d, -d, d, 2d\) (तब \(d>0\))। तब ये पांच संख्याएं एक अंकगणितीय प्रगति बनाएंगी (अंतर \(d\) के साथ)। इन जड़ों के लिए संख्याएँ \(-2d, -d, d, 2d\) होना आवश्यक है, यह आवश्यक है कि संख्याएँ \(d^(\,2), 4d^(\,2)\) की जड़ें हों समीकरण \(25t^2 +25(a-1)t-4(a-7)=0\) . फिर, विएटा के प्रमेय के अनुसार: आइए समीकरण को फॉर्म में फिर से लिखें \
और दो फ़ंक्शन पर विचार करें: \(g(x)=20a-a^2-2^(x^2+2)\) और \(f(x)=13|x|-2|5x+12a|\) . समीकरण के लिए कम से कम एक समाधान होने के लिए, यह आवश्यक है कि फ़ंक्शन \(f\) और \(g\) के ग्राफ़ में कम से कम एक प्रतिच्छेदन बिंदु हो। इसलिए, आपको चाहिए: \
प्रणालियों के इस सेट को हल करने पर, हमें उत्तर मिलता है: \\]
उत्तर: \(एक\में \(-2\)\कप\) सम और विषम कार्यों के ग्राफ़ में निम्नलिखित विशेषताएं हैं: यदि कोई फलन सम है, तो उसका ग्राफ कोटि के प्रति सममित होता है। यदि कोई फ़ंक्शन विषम है, तो उसका ग्राफ मूल बिंदु के बारे में सममित है। समाधान।फ़ंक्शन पर विचार करें: \(f\left(x \right)=\left|x \right|\) और \(x \) के बजाय विपरीत \(-x \) रखें। सरल परिवर्तनों के परिणामस्वरूप हमें मिलता है: $$f\left(-x \right)=\left|-x \right|=\left|x \right|=f\left(x \right)$$ अन्य में शब्द, यदि तर्क को विपरीत चिह्न से बदल दें, तो फ़ंक्शन नहीं बदलेगा। इसका मतलब यह है कि यह फ़ंक्शन सम है, और इसका ग्राफ कोटि अक्ष (ऊर्ध्वाधर अक्ष) के संबंध में सममित होगा। इस फ़ंक्शन का ग्राफ़ बाईं ओर के चित्र में दिखाया गया है। इसका मतलब यह है कि ग्राफ़ बनाते समय, आप केवल आधा भाग खींच सकते हैं, और दूसरा भाग (ऊर्ध्वाधर अक्ष के बाईं ओर, सममित रूप से दाएँ भाग में खींच सकते हैं)। किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाना शुरू करने से पहले उसकी समरूपता का निर्धारण करके, आप फ़ंक्शन के निर्माण या अध्ययन की प्रक्रिया को बहुत सरल बना सकते हैं। यदि सामान्य जाँच करना कठिन है, तो आप इसे सरलता से कर सकते हैं: समीकरण में विभिन्न चिह्नों के समान मानों को प्रतिस्थापित करें। उदाहरण के लिए -5 और 5. यदि फ़ंक्शन मान समान हो जाते हैं, तो हम आशा कर सकते हैं कि फ़ंक्शन सम होगा। गणितीय दृष्टि से यह दृष्टिकोण पूर्णतः सही नहीं है, परन्तु व्यावहारिक दृष्टि से यह सुविधाजनक है। परिणाम की विश्वसनीयता बढ़ाने के लिए, आप ऐसे विपरीत मानों के कई जोड़े प्रतिस्थापित कर सकते हैं। समाधान।आइए पिछले उदाहरण की तरह ही जाँच करें: $$f\left(-x \right)=x\left|-x \right|=-x\left|x \right|=-f\left(x \right ) $$ इसका मतलब है कि मूल फ़ंक्शन विषम है (फ़ंक्शन का चिह्न विपरीत में बदल गया है)। निष्कर्ष: फ़ंक्शन मूल के बारे में सममित है। आप केवल एक आधा बना सकते हैं, और दूसरा सममित रूप से खींच सकते हैं। इस प्रकार की समरूपता खींचना अधिक कठिन है। इसका मतलब है कि आप चार्ट को शीट के दूसरी तरफ से देख रहे हैं, यहां तक कि उल्टा भी। या आप यह कर सकते हैं: खींचा हुआ भाग लें और इसे मूल के चारों ओर 180 डिग्री वामावर्त घुमाएँ। समाधान।आइए पिछले दो उदाहरणों की तरह ही चिह्न परिवर्तन के लिए भी वही जाँच करें। $$f\left(-x \right)=\left(-x \right)^3+\left(-x \right)^2=-x^2+x^2$$ परिणामस्वरूप, हमें मिलता है वह: $$f\left(-x \right)\not=f\left(x \right),f\left(-x \right)\not=-f\left(x \right)$$ और यह इसका मतलब है कि फलन न तो सम है और न ही विषम है। निष्कर्ष: फ़ंक्शन मूल या समन्वय प्रणाली के केंद्र के संबंध में सममित नहीं है। ऐसा इसलिए हुआ क्योंकि यह दो कार्यों का योग है: सम और विषम। यदि आप दो अलग-अलग कार्यों को घटाते हैं तो वही स्थिति होगी। लेकिन गुणा या भाग करने पर अलग परिणाम आएगा। उदाहरण के लिए, एक सम और एक विषम फलन का गुणनफल एक विषम फलन उत्पन्न करता है। या दो विषम संख्याओं का भागफल एक सम फलन की ओर ले जाता है।
फ़ंक्शन \(f(x)=x^3-3x^2+4\) पर विचार करें।
गुणनखंडित किया जा सकता है: \
इसलिए, इसके शून्य हैं: \(x=-1;2\) .
यदि हम व्युत्पन्न \(f"(x)=3x^2-6x\) पाते हैं, तो हमें दो चरम बिंदु \(x_(max)=0, x_(min)=2\) मिलते हैं।
इसलिए, ग्राफ़ इस तरह दिखता है: 
हम देखते हैं कि कोई भी क्षैतिज रेखा \(y=k\), जहां \(0
इस प्रकार, आपको चाहिए: \[\begin(मामले) 0<\log_{\sqrt2}t_1<4\\ 0<\log_{\sqrt2}t_2<4\end{cases}\qquad (**)\]
आइए तुरंत ध्यान दें कि यदि संख्याएं \(t_1\) और \(t_2\) भिन्न हैं, तो संख्याएं \(\log_(\sqrt2)t_1\) और \(\log_(\sqrt2)t_2\) होंगी भिन्न, जिसका अर्थ है समीकरण \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_1\)और \(x^3-3x^2+4=\log_(\sqrt2) t_2\)अलग-अलग जड़ें होंगी.
सिस्टम \((**)\) को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है: \[\begin(मामले) 1
हम जड़ों को स्पष्ट रूप से नहीं लिखेंगे।
फ़ंक्शन \(g(t)=t^2+(a-10)t+12-a\) पर विचार करें। इसका ग्राफ़ ऊपर की ओर शाखाओं वाला एक परवलय है, जिसमें x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन के दो बिंदु हैं (हमने इस स्थिति को पैराग्राफ 1 में लिखा है))। इसका ग्राफ़ कैसा दिखना चाहिए ताकि x-अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु अंतराल \((1;4)\) में हों? इसलिए: 
सबसे पहले, बिंदु \(1\) और \(4\) पर फ़ंक्शन के मान \(g(1)\) और \(g(4)\) सकारात्मक होने चाहिए, और दूसरी बात, का शीर्ष परवलय \(t_0\ ) भी अंतराल \((1;4)\) में होना चाहिए। इसलिए, हम सिस्टम लिख सकते हैं: \[\begin(cases) 1+a-10+12-a>0\\ 4^2+(a-10)\cdot 4+12-a>0\\ 1<\dfrac{-(a-10)}2<4\end{cases}\quad\Leftrightarrow\quad 4
फ़ंक्शन \(g(x)\) का अधिकतम बिंदु \(x=0\) (और) है \(g_(\text(top))=g(0)=-a^2+20a-4\)):
\(g"(x)=-2^(x^2+2)\cdot \ln 2\cdot 2x\). शून्य व्युत्पन्न: \(x=0\) . जब \(x<0\)
имеем: \(g">0\) , \(x>0\) के लिए : \(g"<0\)
.
\(x>0\) के लिए फ़ंक्शन \(f(x)\) बढ़ रहा है, और \(x<0\)
– убывающей, следовательно, \(x=0\)
– точка минимума.
दरअसल, जब \(x>0\) पहला मॉड्यूल सकारात्मक रूप से खुलेगा (\(|x|=x\)), इसलिए, भले ही दूसरा मॉड्यूल कैसे खुलेगा, \(f(x)\) बराबर होगा \( kx+A\) के लिए, जहां \(A\) \(a\) की अभिव्यक्ति है, और \(k\) या तो \(13-10=3\) या \(13+10) के बराबर है =23\). जब \(x<0\)
наоборот: первый модуль раскроется отрицательно и \(f(x)=kx+A\)
, где \(k\)
равно либо \(-3\)
, либо \(-23\)
.
आइए न्यूनतम बिंदु पर \(f\) का मान ज्ञात करें: \
उदाहरण।फ़ंक्शन \(y=x\left|x \right|\) का एक ग्राफ बनाएं।
उदाहरण।फ़ंक्शन \(y=x^3+x^2\) का एक ग्राफ़ बनाएं।
