Մանրամասն տեսություն օրինակներով (2019 թ.): Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը: Թվաբանական առաջընթաց. միջին մակարդակ

Այսպիսով, եկեք նստենք և սկսենք գրել որոշ թվեր: Օրինակ:
Կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք (մեր դեպքում դրանք): Ինչքան էլ թվեր գրենք, միշտ կարող ենք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը, և այսպես մինչև վերջինը, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է.

Թվային հաջորդականություն
Օրինակ, մեր հաջորդականության համար.

Նշանակված համարը հատուկ է միայն մեկ հաջորդական համարին: Այսինքն՝ հաջորդականության մեջ չկան երեք երկրորդ թվեր։ Երկրորդ թիվը (ինչպես --րդ թիվը) միշտ նույնն է։
Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.

Մեր դեպքում.

Ենթադրենք, մենք ունենք թվային հաջորդականություն, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:
Օրինակ:

և այլն:
Նման թվային հաջորդականությունը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիա։
«Պրոգրեսիա» տերմինը ներմուծվել է հռոմեացի հեղինակ Բոեթիուսի կողմից դեռ 6-րդ դարում և ավելի լայն իմաստով հասկացվել է որպես անվերջ թվային հաջորդականություն։ «Թվաբանություն» անվանումը փոխանցվել է շարունակական համամասնությունների տեսությունից, որով զբաղվում էին հին հույները։

Սա թվային հաջորդականություն է, որի յուրաքանչյուր անդամ հավասար է նախորդին՝ ավելացված նույն թվով։ Այս թիվը կոչվում է թվաբանական պրոգրեսիայի տարբերություն և նշվում։

Փորձեք որոշել, թե որ թվային հաջորդականություններն են թվաբանական առաջընթաց, որոնք՝ ոչ.

ա)
բ)
գ)
դ)

Հասկացա? Համեմատեք մեր պատասխանները.
Էթվաբանական պրոգրեսիա - բ, գ.
Չէթվաբանական պրոգրեսիա - ա, դ.

Վերադառնանք տրված առաջընթացին () և փորձենք գտնել դրա րդ անդամի արժեքը։ Գոյություն ունի երկուայն գտնելու միջոց:

1. Մեթոդ

Մենք կարող ենք ավելացնել առաջընթացի համարի նախորդ արժեքին, մինչև հասնենք պրոգրեսիայի երրորդ անդամին: Լավ է, որ մենք շատ բան չունենք ամփոփելու՝ ընդամենը երեք արժեք.

Այսպիսով, նկարագրված թվաբանական առաջընթացի --րդ անդամը հավասար է.

2. Մեթոդ

Ի՞նչ կլիներ, եթե մեզ անհրաժեշտ լիներ գտնել առաջընթացի եռամսյակի արժեքը: Գումարը մեզ մեկ ժամից ավելի կխներ, և փաստ չէ, որ թվերը գումարելիս սխալներ թույլ չէինք տա։
Իհարկե, մաթեմատիկոսները գտել են մի ձև, որով պետք չէ թվաբանական առաջընթացի տարբերությունը ավելացնել նախորդ արժեքին։ Ուշադիր նայեք գծված նկարին... Անշուշտ, դուք արդեն նկատել եք որոշակի օրինաչափություն, այն է՝

Օրինակ՝ տեսնենք, թե ինչն է կազմում այս թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամի արժեքը.


Այլ կերպ ասած:

Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս կերպ թվաբանական առաջընթացի անդամի արժեքը:

Հաշվարկվե՞լ է: Համեմատեք ձեր գրառումները պատասխանի հետ.

Ուշադրություն դարձրեք, որ դուք ստացել եք ճիշտ նույն թիվը, ինչ նախորդ մեթոդում, երբ մենք հաջորդաբար ավելացնում էինք թվաբանական առաջընթացի անդամները նախորդ արժեքին:
Փորձենք «ապանձնավորել» այս բանաձևը՝ այն բերում ենք ընդհանուր ձևի և ստանում.

Թվաբանական առաջընթացի հավասարում.

Թվաբանական առաջընթացները կա՛մ ավելանում են, կա՛մ նվազում:

Աճող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքն ավելի մեծ է, քան նախորդը:
Օրինակ:

Նվազող- առաջընթացներ, որոնցում տերմինների յուրաքանչյուր հաջորդ արժեքը նախորդից փոքր է:
Օրինակ:

Ստացված բանաձևը օգտագործվում է թվաբանական պրոգրեսիայի ինչպես աճող, այնպես էլ նվազող տերմինների հաշվարկման ժամանակ:
Եկեք ստուգենք այն գործնականում:
Մեզ տրվում է թվաբանական առաջընթաց, որը բաղկացած է հետևյալ թվերից.

Այդ ժամանակվանից:

Այսպիսով, մենք համոզվեցինք, որ բանաձևը գործում է ինչպես նվազման, այնպես էլ թվաբանական առաջընթացի մեծացման մեջ։
Փորձեք ինքնուրույն գտնել այս թվաբանական առաջընթացի -րդ և -րդ անդամները:

Եկեք համեմատենք արդյունքները.

Թվաբանական առաջընթացի հատկություն

Եկեք բարդացնենք առաջադրանքը. մենք ստանում ենք թվաբանական առաջընթացի հատկությունը:
Ենթադրենք մեզ տրված է հետևյալ պայմանը.
- թվաբանական առաջընթաց, գտեք արժեքը:
Հեշտ է, ասում ես, և սկսիր հաշվել արդեն իմացած բանաձևով.

Թող, a, ապա.

Բացարձակապես ճիշտ. Ստացվում է, որ մենք նախ գտնում ենք, հետո ավելացնում ենք առաջին թվին ու ստանում այն, ինչ փնտրում ենք։ Եթե ​​պրոգրեսիան ներկայացված է փոքր արժեքներով, ապա դրանում բարդ բան չկա, բայց ի՞նչ, եթե պայմանում մեզ թվեր տրվեն: Համաձայնեք՝ հաշվարկներում սխալվելու հավանականություն կա։
Հիմա մտածեք՝ հնարավո՞ր է այս խնդիրը մեկ քայլով լուծել՝ օգտագործելով որևէ բանաձև։ Իհարկե, այո, և մենք կփորձենք դա դուրս բերել հիմա։

Նշենք թվաբանական պրոգրեսիայի ցանկալի տերմինը, քանի որ մենք գիտենք այն գտնելու բանաձևը. սա նույն բանաձևն է, որը մենք սկզբում ստացանք.
, ապա՝

• Առաջընթացի նախորդ անդամն է.
• Առաջընթացի հաջորդ ժամկետն է.

Ամփոփենք առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամները.

Ստացվում է, որ առաջընթացի նախորդ և հաջորդ անդամների գումարը երկու անգամ մեծ է նրանց միջև գտնվող պրոգրեսիայի անդամի արժեքից։ Այլ կերպ ասած՝ հայտնի նախորդ և հաջորդական արժեքներով պրոգրեսիոն անդամի արժեքը գտնելու համար անհրաժեշտ է դրանք ավելացնել և բաժանել։

Ճիշտ է, մենք ստացել ենք նույն թիվը: Եկեք շտկենք նյութը: Ինքներդ հաշվարկեք առաջընթացի արժեքը, քանի որ դա ամենևին էլ դժվար չէ։

Լավ արեցիր։ Դուք գիտեք գրեթե ամեն ինչ առաջընթացի մասին: Մնում է պարզել միայն մեկ բանաձև, որը, ըստ լեգենդի, բոլոր ժամանակների մեծագույն մաթեմատիկոսներից մեկը՝ «մաթեմատիկոսների արքան»՝ Կառլ Գաուսը, հեշտությամբ եզրակացրեց իր համար…

Երբ Կարլ Գաուսը 9 տարեկան էր, ուսուցիչը, զբաղված լինելով այլ դասարանների աշակերտների աշխատանքը ստուգելով, դասի ժամանակ տվեց հետևյալ առաջադրանքը. « Ինչպիսի՞ն էր ուսուցչի զարմանքը, երբ իր աշակերտներից մեկը (դա Կառլ Գաուսն էր) մեկ րոպե անց ճիշտ պատասխան տվեց առաջադրանքին, մինչդեռ համարձակի դասընկերներից շատերը երկար հաշվարկներից հետո սխալ արդյունք ստացան ...

Երիտասարդ Կարլ Գաուսը նկատեց մի օրինաչափություն, որը դուք հեշտությամբ կարող եք նկատել:
Ենթադրենք, ունենք թվաբանական պրոգրեսիա՝ բաղկացած -ti անդամներից. Պետք է գտնել թվաբանական պրոգրեսիայի տրված անդամների գումարը։ Իհարկե, մենք կարող ենք ձեռքով գումարել բոլոր արժեքները, բայց ի՞նչ, եթե մեզ անհրաժեշտ լինի գտնել առաջադրանքի մեջ դրա տերմինների գումարը, ինչպես փնտրում էր Գաուսը:

Եկեք պատկերենք մեզ տրված առաջընթացը։ Ուշադիր նայեք ընդգծված թվերին և փորձեք դրանցով կատարել տարբեր մաթեմատիկական գործողություններ:


Փորձե՞լ եք: Ի՞նչ նկատեցիք։ Ճիշտ! Նրանց գումարները հավասար են

Հիմա պատասխանեք՝ մեզ տրված պրոգրեսիայում քանի՞ այդպիսի զույգ կլինի։ Իհարկե, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն.
Ելնելով այն փաստից, որ թվաբանական պրոգրեսիայի երկու անդամների գումարը հավասար է, և նմանատիպ հավասար զույգերը, մենք ստանում ենք, որ ընդհանուր գումարը հավասար է.
.
Այսպիսով, ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի բանաձևը կլինի.

Որոշ խնդիրների դեպքում մենք չգիտենք երրորդ տերմինը, բայց գիտենք առաջընթացի տարբերությունը: Փորձեք գումարի բանաձևում փոխարինել րդ անդամի բանաձևը:
Ի՞նչ ստացաք:

Լավ արեցիր։ Հիմա վերադառնանք Կարլ Գաուսին տրված խնդրին. ինքներդ հաշվարկեք, թե ինչ է -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը, իսկ -րդ-ից սկսվող թվերի գումարը։

Որքա՞ն եք ստացել:
Գաուսը պարզեց, որ տերմինների գումարը հավասար է, և անդամների գումարը։ Այդպե՞ս եք որոշել։

Իրականում, թվաբանական պրոգրեսիայի անդամների գումարի բանաձևը ապացուցվել է հին հույն գիտնական Դիոֆանտոսի կողմից դեռևս 3-րդ դարում, և այս ընթացքում սրամիտ մարդիկ օգտագործել են թվաբանական առաջընթացի հատկությունները հզոր և հիմնական:
Օրինակ, պատկերացրեք Հին Եգիպտոսը և այն ժամանակվա ամենամեծ շինհրապարակը` բուրգի կառուցումը... Նկարը ցույց է տալիս դրա մի կողմը:

Որտեղ է այստեղ առաջընթացը, դուք ասում եք: Ուշադիր նայեք և բուրգի պատի յուրաքանչյուր շարքում ավազի բլոկների քանակով օրինակ գտեք:


Ինչու՞ ոչ թվաբանական առաջընթաց: Հաշվեք, թե քանի բլոկ է անհրաժեշտ մեկ պատի կառուցման համար, եթե հիմքում տեղադրված են բլոկային աղյուսներ: Հուսով եմ, որ մատը մոնիտորի վրայով շարժելով չեք հաշվի, հիշու՞մ եք վերջին բանաձևը և այն ամենը, ինչ մենք ասացինք թվաբանական առաջընթացի մասին:

Այս դեպքում առաջընթացն այսպիսի տեսք ունի.
Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
Թվաբանական առաջընթացի անդամների թիվը:
Եկեք փոխարինենք մեր տվյալները վերջին բանաձևերով (մենք հաշվում ենք բլոկների քանակը 2 եղանակով):

Մեթոդ 1.

Մեթոդ 2.

Եվ հիմա կարող եք նաև հաշվարկել մոնիտորի վրա՝ համեմատեք ստացված արժեքները մեր բուրգում գտնվող բլոկների քանակի հետ։ Համաձայնվե՞լ է։ Լավ արեցիք, դուք յուրացրել եք թվաբանական առաջընթացի րդ անդամների գումարը:
Իհարկե, դուք չեք կարող բուրգ կառուցել հիմքի բլոկներից, բայց դրանից: Փորձեք հաշվել, թե քանի ավազի աղյուս է անհրաժեշտ այս պայմանով պատ կառուցելու համար։
Դուք հասցրե՞լ եք:
Ճիշտ պատասխանը բլոկներն են.

Մշակել

Առաջադրանքներ.

1. Մաշան ամառային մարզավիճակ է ձեռք բերում։ Ամեն օր նա ավելացնում է squats-ի քանակը: Քանի՞ անգամ է Մաշան կնճռոտվելու շաբաթների ընթացքում, եթե նա առաջին մարզման ժամանակ նվնվացներ:
2. Որքա՞ն է պարունակվող բոլոր կենտ թվերի գումարը:
3. Գերանները պահելու ժամանակ փայտահատները դրանք դնում են այնպես, որ յուրաքանչյուր վերին շերտը պարունակում է մեկ գերան պակաս, քան նախորդը: Քանի գերան կա մեկ որմնադրությանը, եթե որմնադրության հիմքը գերաններ են։

Պատասխանները:

1. Սահմանենք թվաբանական առաջընթացի պարամետրերը։ Այս դեպքում
   (շաբաթներ = օրեր):

   Պատասխան.Երկու շաբաթվա ընթացքում Մաշան պետք է օրական մեկ անգամ կծկվի:

2. Առաջին կենտ թիվը, վերջին թիվը.
   Թվաբանական առաջընթացի տարբերություն.
   Կենտ թվերի թիվը կիսով չափ, այնուամենայնիվ, ստուգեք այս փաստը՝ օգտագործելով թվաբանական առաջընթացի -րդ անդամը գտնելու բանաձևը.

   Թվերը պարունակում են կենտ թվեր:
   Մենք հասանելի տվյալները փոխարինում ենք բանաձևով.

   Պատասխան.Ներառված բոլոր կենտ թվերի գումարը հավասար է.

3. Հիշեք բուրգերի խնդիրը: Մեր դեպքում, a, քանի որ յուրաքանչյուր վերին շերտը կրճատվում է մեկ գերանով, կան միայն մի փունջ շերտեր, այսինքն.
   Տվյալները փոխարինեք բանաձևով.

   Պատասխան.Որմնադրությանը մեջ կան գերաններ։

Ամփոփելով

1. - թվային հաջորդականություն, որում հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասարը: Աճում ու նվազում է։
2. Բանաձևի որոնումԹվաբանական պրոգրեսիայի երրորդ անդամը գրվում է բանաձևով, որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:
3. Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը- - որտեղ - առաջընթացի թվերի թիվը:
4. Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարըկարելի է գտնել երկու եղանակով.
   
   , որտեղ է արժեքների թիվը:

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՄԻՋԻՆ ՄԱՐԴԱԿ

Թվային հաջորդականություն

Եկեք նստենք և սկսենք թվեր գրել։ Օրինակ:

Դուք կարող եք գրել ցանկացած թվեր, և կարող են լինել այնքան, որքան ցանկանում եք: Բայց դուք միշտ կարող եք ասել, թե դրանցից որն է առաջինը, որը երկրորդը և այլն, այսինքն՝ կարող ենք համարակալել։ Սա թվերի հաջորդականության օրինակ է։

Թվային հաջորդականությունթվերի հավաքածու է, որոնցից յուրաքանչյուրին կարելի է եզակի համար հատկացնել։

Այլ կերպ ասած, յուրաքանչյուր թիվ կարող է կապված լինել որոշակի բնական թվի հետ, այն էլ միայն մեկի հետ։ Եվ մենք այս համարը չենք վերագրի այս հավաքածուից որևէ այլ համարի:

Թիվ ունեցող թիվը կոչվում է հաջորդականության --րդ անդամ։

Մենք սովորաբար ամբողջ հաջորդականությունը անվանում ենք ինչ-որ տառ (օրինակ՝), և այս հաջորդականության յուրաքանչյուր անդամ՝ նույն տառը՝ այս անդամի թվին հավասար ինդեքսով.

Շատ հարմար է, եթե հաջորդականության --րդ անդամը կարելի է տալ ինչ-որ բանաձևով։ Օրինակ, բանաձեւը

սահմանում է հաջորդականությունը.

Իսկ բանաձևը հետևյալ հաջորդականությունն է.

Օրինակ՝ թվաբանական առաջընթացը հաջորդականություն է (այստեղ առաջին անդամը հավասար է, իսկ տարբերությունը)։ Կամ (, տարբերություն):

n-րդ տերմինի բանաձևը

Մենք կոչում ենք կրկնվող բանաձև, որի դեպքում --րդ տերմինը պարզելու համար անհրաժեշտ է իմանալ նախորդ կամ մի քանի նախորդները.

Նման բանաձևով, օրինակ, առաջընթացի տերմինը գտնելու համար պետք է հաշվենք նախորդ ինը: Օրինակ, թող. Ապա.

Դե, հիմա պարզ է, թե որն է բանաձեւը:

Յուրաքանչյուր տողում մենք ավելացնում ենք՝ բազմապատկելով ինչ-որ թվով: Ինչի համար? Շատ պարզ. սա ներկա անդամի թիվն է՝ հանած.

Հիմա շատ ավելի հարմարավետ, չէ՞: Մենք ստուգում ենք.

Ինքներդ որոշեք.

Թվաբանական առաջընթացում գտե՛ք n-րդ անդամի բանաձևը և գտե՛ք հարյուրերորդ անդամը:

Լուծում:

Առաջին անդամը հավասար է: Իսկ ո՞րն է տարբերությունը։ Եվ ահա թե ինչ.

(ի վերջո, դա կոչվում է տարբերություն, քանի որ այն հավասար է պրոգրեսիայի հաջորդական անդամների տարբերությանը):

Այսպիսով, բանաձևը հետևյալն է.

Այնուհետև հարյուրերորդ անդամը հետևյալն է.

Որքա՞ն է բոլոր բնական թվերի գումարը սկսած մինչև:

Ըստ լեգենդի՝ մեծ մաթեմատիկոս Կարլ Գաուսը, լինելով 9-ամյա տղա, մի քանի րոպեում հաշվարկել է այս գումարը։ Նա նկատեց, որ առաջին և վերջին թվերի գումարը հավասար է, երկրորդի և նախավերջինի գումարը նույնն է, երրորդի և վերջից 3-րդի գումարը նույնն է և այլն։ Քանի՞ այդպիսի զույգ կա: Ճիշտ է, բոլոր թվերի ուղիղ կեսը, այսինքն. Այսպիսով,

Ցանկացած թվաբանական առաջընթացի առաջին անդամների գումարի ընդհանուր բանաձևը կլինի.

Օրինակ:
Գտե՛ք բոլոր երկնիշ բազմապատիկների գումարը:

Լուծում:

Առաջին նման թիվը սա է. Յուրաքանչյուր հաջորդը ստացվում է նախորդին մի թիվ ավելացնելով: Այսպիսով, մեզ հետաքրքրող թվերը կազմում են թվաբանական առաջընթաց առաջին անդամի և տարբերության հետ:

Այս առաջընթացի տերմինի բանաձևը հետևյալն է.

Քանի՞ անդամ կա առաջընթացում, եթե դրանք բոլորը պետք է լինեն երկնիշ:

Շատ հեշտ: .

Առաջընթացի վերջին ժամկետը հավասար է լինելու։ Այնուհետև գումարը.

Պատասխան.

Հիմա որոշեք ինքներդ.

1. Ամեն օր մարզիկը վազում է 1 մ-ով ավելի, քան նախորդ օրը։ Քանի՞ կիլոմետր նա կվազի շաբաթների ընթացքում, եթե առաջին օրը վազի կմ մ:
2. Հեծանվորդն ամեն օր ավելի շատ մղոն է քշում, քան նախորդը: Առաջին օրը նա անցել է կմ. Քանի՞ օր պետք է նա քշի մեկ կիլոմետր անցնելու համար: Քանի՞ կիլոմետր կանցնի նա ճանապարհորդության վերջին օրը:
3. Խանութում սառնարանի գինը ամեն տարի նույն չափով նվազում է։ Որոշեք, թե ամեն տարի որքանով է նվազել սառնարանի գինը, եթե ռուբլով վաճառքի հանվել, վեց տարի հետո այն վաճառվել է ռուբլով։

Պատասխանները:

1. Այստեղ ամենակարևորը թվաբանական պրոգրեսիան ճանաչելն ու դրա պարամետրերը որոշելն է։ Այս դեպքում (շաբաթներ = օրեր): Դուք պետք է որոշեք այս առաջընթացի առաջին անդամների գումարը.
   .
   Պատասխան.
2. Այստեղ տրված է., անհրաժեշտ է գտնել.
   Ակնհայտ է, որ դուք պետք է օգտագործեք նույն գումարի բանաձևը, ինչպես նախորդ խնդիրում.
   .
   Փոխարինեք արժեքները.

   Արմատն ակնհայտորեն չի տեղավորվում, ուստի պատասխանը.
   Հաշվենք վերջին օրվա ընթացքում անցած ճանապարհը՝ օգտագործելով -րդ անդամի բանաձևը.
   (կմ):
   Պատասխան.

3. Տրված է. Գտեք.
   Ավելի հեշտ չի դառնում.
   (ռուբ.):
   Պատասխան.

ԹՎԱԲԱՆԱԿԱՆ ԱՌԱՋԱԴՐՈՒԹՅՈՒՆ. ՀԱՄԱՌՈՏ ՀԻՄՆԱԿԱՆ ՄԱՍԻՆ

Սա թվային հաջորդականություն է, որտեղ հարակից թվերի տարբերությունը նույնն է և հավասար:

Թվաբանական առաջընթացը աճում է () և նվազում ():

Օրինակ:

Թվաբանական պրոգրեսիայի n-րդ անդամը գտնելու բանաձևը

գրվում է որպես բանաձև, որտեղ գտնվում է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների հատկությունը

Այն հեշտացնում է առաջընթացի անդամ գտնելը, եթե հայտնի են նրա հարևան անդամները. որտեղ է առաջընթացի թվերի թիվը:

Թվաբանական առաջընթացի անդամների գումարը

Գումարը գտնելու երկու եղանակ կա.

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Որտեղ է արժեքների թիվը:

Դե թեման վերջացավ։ Եթե ​​դուք կարդում եք այս տողերը, ուրեմն շատ լավն եք:

Քանի որ մարդկանց միայն 5%-ն է կարողանում ինքնուրույն ինչ-որ բանի տիրապետել։ Իսկ եթե կարդացել եք մինչև վերջ, ուրեմն դուք 5%-ի մեջ եք։

Հիմա ամենակարեւորը.

Դուք պարզել եք այս թեմայի տեսությունը: Եվ, կրկնում եմ, դա ... պարզապես սուպեր է: Դուք արդեն ավելի լավն եք, քան ձեր հասակակիցների ճնշող մեծամասնությունը:

Խնդիրն այն է, որ սա կարող է բավարար չլինել…

Ինչի համար?

Քննությունը հաջող հանձնելու, բյուջեով ինստիտուտ ընդունվելու և ԱՄԵՆ ԿԱՐԵՎՈՐԸ՝ ցմահ։

Ես ձեզ ոչ մի բանում չեմ համոզի, միայն մի բան կասեմ...

Լավ կրթություն ստացած մարդիկ շատ ավելի շատ են վաստակում, քան չստացածները։ Սա վիճակագրություն է։

Բայց սա չէ գլխավորը։

Գլխավորն այն է, որ նրանք ԱՎԵԼԻ ԵՐՋԱՆԱԼ են (նման ուսումնասիրություններ կան)։ Միգուցե այն պատճառով, որ շատ ավելի շատ հնարավորություններ են բացվում նրանց առջև, և կյանքը դառնում է ավելի պայծառ: չգիտեմ...

Բայց մտածեք ինքներդ...

Ի՞նչ է անհրաժեշտ քննությանը մյուսներից ավելի լավը լինելու և, ի վերջո, ավելի երջանիկ լինելու համար:

ԼՑՐԵՔ ՁԵՌՔ՝ ԱՅՍ ԹԵՄԱՅԻ ՀԱՄԱՐ ԽՆԴԻՐՆԵՐ ԼՈՒԾԵԼՈՎ։

Քննության ժամանակ ձեզ տեսություն չեն հարցնի:

Ձեզ անհրաժեշտ կլինի ժամանակին լուծել խնդիրները.

Եվ, եթե դուք չեք լուծել դրանք (ՇԱՏ!), դուք հաստատ ինչ-որ տեղ հիմար սխալ կգործեք կամ պարզապես ժամանակին չեք անի:

Դա նման է սպորտի. պետք է բազմիցս կրկնել՝ հաստատ հաղթելու համար:

Գտեք հավաքածու ցանկացած վայրում, որտեղ ցանկանում եք անպայման լուծումներով, մանրամասն վերլուծությամբև որոշի՛ր, որոշի՛ր, որոշի՛ր։

Դուք կարող եք օգտագործել մեր առաջադրանքները (անհրաժեշտ չէ), և մենք, իհարկե, խորհուրդ ենք տալիս դրանք:

Մեր առաջադրանքների օգնությամբ ձեռք բերելու համար դուք պետք է օգնեք երկարացնել YouClever դասագրքի կյանքը, որը ներկայումս կարդում եք:

Ինչպե՞ս: Երկու տարբերակ կա.

1. Բացեք այս հոդվածի բոլոր թաքնված առաջադրանքների հասանելիությունը.
2. Բացեք մուտքը դեպի բոլոր թաքնված առաջադրանքները ձեռնարկի բոլոր 99 հոդվածներում. Գնել դասագիրք - 899 ռուբլի

Այո, մենք դասագրքում ունենք 99 նման հոդված, և բոլոր առաջադրանքների և դրանցում բոլոր թաքնված տեքստերի հասանելիությունը կարող է անմիջապես բացվել:

Բոլոր թաքնված առաջադրանքների մուտքն ապահովված է կայքի ողջ կյանքի ընթացքում:

Եզրափակելով...

Եթե ​​ձեզ դուր չեն գալիս մեր առաջադրանքները, գտեք ուրիշներին: Պարզապես մի կանգ առեք տեսության վրա:

«Հասկացվածը» և «Ես գիտեմ, թե ինչպես լուծել» բոլորովին տարբեր հմտություններ են: Ձեզ երկուսն էլ պետք են:

Գտեք խնդիրներ և լուծեք:

Միջնակարգ դպրոցում հանրահաշիվ ուսումնասիրելիս (9-րդ դասարան) կարևոր թեմաներից է թվային հաջորդականությունների ուսումնասիրությունը, որոնք ներառում են առաջընթացներ՝ երկրաչափական և թվաբանական: Այս հոդվածում մենք կքննարկենք թվաբանական առաջընթացը և լուծումներով օրինակներ:

Ի՞նչ է թվաբանական առաջընթացը:

Սա հասկանալու համար անհրաժեշտ է տալ դիտարկվող առաջընթացի սահմանումը, ինչպես նաև տալ հիմնական բանաձևերը, որոնք հետագայում կկիրառվեն խնդիրների լուծման ժամանակ։

Հայտնի է, որ որոշ հանրահաշվական պրոգրեսիաներում 1-ին անդամը հավասար է 6-ի, իսկ 7-րդ անդամը հավասար է 18-ի։ Անհրաժեշտ է գտնել տարբերությունը և վերականգնել այս հաջորդականությունը 7-րդ անդամին։

Անհայտ տերմինը որոշելու համար օգտագործենք բանաձևը՝ a n = (n - 1) * d + a 1 : Մենք պայմանից հայտնի տվյալները փոխարինում ենք դրա մեջ, այսինքն՝ a 1 և a 7 թվերը, ունենք՝ 18 \u003d 6 + 6 * d. Այս արտահայտությունից դուք հեշտությամբ կարող եք հաշվարկել տարբերությունը. d = (18 - 6) / 6 = 2: Այսպիսով, խնդրի առաջին մասի պատասխանը տրվեց:

Հերթականությունը 7-րդ անդամին վերականգնելու համար պետք է օգտագործել հանրահաշվական պրոգրեսիայի սահմանումը, այսինքն՝ a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d և այլն: Արդյունքում մենք վերականգնում ենք ամբողջ հաջորդականությունը՝ a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16 և 7 = 18:

Օրինակ #3. առաջընթաց կատարելը

Եկեք էլ ավելի բարդացնենք խնդրի վիճակը։ Այժմ դուք պետք է պատասխանեք այն հարցին, թե ինչպես գտնել թվաբանական առաջընթաց: Կարող ենք բերել հետևյալ օրինակը. տրված է երկու թիվ, օրինակ՝ 4 և 5։ Անհրաժեշտ է հանրահաշվական առաջընթաց կատարել, որպեսզի դրանց միջև տեղավորվեն ևս երեք անդամ։

Նախքան այս խնդրի լուծումը սկսելը, պետք է հասկանալ, թե ապագա առաջընթացում ինչ տեղ են գրավելու տվյալ թվերը։ Քանի որ նրանց միջև կլինեն ևս երեք տերմիններ, այնուհետև 1 \u003d -4 և 5 \u003d 5: Սա հաստատելով ՝ մենք անցնում ենք մի առաջադրանքի, որը նման է նախորդին: Կրկին, n-րդ անդամի համար մենք օգտագործում ենք բանաձևը, ստանում ենք՝ a 5 \u003d a 1 + 4 * d. Սկսած՝ d \u003d (a 5 - a 1) / 4 \u003d (5 - (-4)) / 4 \u003d 2.25: Այստեղ տարբերությունը ոչ թե ամբողջ թիվ է, այլ ռացիոնալ թիվ, ուստի հանրահաշվական առաջընթացի բանաձևերը մնում են նույնը։

Հիմա եկեք ավելացնենք գտնված տարբերությունը 1-ին և վերականգնենք առաջընթացի բացակայող անդամները: Մենք ստանում ենք՝ a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 \u003d 2,75 + 2,25 \u որը համընկավ խնդրի վիճակի հետ։

Օրինակ #4. Առաջընթացի առաջին անդամը

Մենք շարունակում ենք տալ թվաբանական առաջընթացի օրինակներ՝ լուծումով։ Նախորդ բոլոր խնդիրներում հայտնի էր հանրահաշվական պրոգրեսիայի առաջին թիվը։ Այժմ դիտարկենք այլ տեսակի խնդիր. թող տրվի երկու թիվ, որտեղ 15 = 50 և 43 = 37: Պետք է պարզել, թե որ թվից է սկսվում այս հաջորդականությունը:

Մինչ այժմ օգտագործված բանաձևերը ենթադրում են 1-ի և դ-ի իմացություն: Խնդրի պայմաններում այս թվերի մասին ոչինչ հայտնի չէ։ Այնուամենայնիվ, եկեք դուրս գրենք յուրաքանչյուր տերմինի այն արտահայտությունները, որոնց մասին մենք տեղեկություն ունենք. a 15 = a 1 + 14 * d և a 43 = a 1 + 42 * d: Ստացանք երկու հավասարումներ, որոնցում կան 2 անհայտ մեծություններ (a 1 և d): Սա նշանակում է, որ խնդիրը կրճատվում է գծային հավասարումների համակարգի լուծման վրա:

Նշված համակարգը ամենահեշտ է լուծել, եթե յուրաքանչյուր հավասարման մեջ արտահայտեք 1, այնուհետև համեմատեք ստացված արտահայտությունները: Առաջին հավասարումը. a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; երկրորդ հավասարումը. a 1 \u003d a 43 - 42 * d \u003d 37 - 42 * d. Հավասարեցնելով այս արտահայտությունները՝ ստանում ենք՝ 50 - 14 * d \u003d 37 - 42 * d, որտեղից d \u003d (37 - 50) / (42 - 14) \u003d - 0,464 (տրված է ընդամենը 3 տասնորդական տեղ):

Իմանալով d-ն, դուք կարող եք օգտագործել վերը նշված 2 արտահայտություններից որևէ մեկը 1-ի համար: Օրինակ, նախ՝ a 1 \u003d 50 - 14 * d \u003d 50 - 14 * (- 0,464) \u003d 56,496:

Եթե ​​արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ կան, կարող եք ստուգել այն, օրինակ՝ որոշել պրոգրեսիայի 43-րդ անդամը, որը նշված է պայմանում։ Մենք ստանում ենք՝ a 43 \u003d a 1 + 42 * d \u003d 56,496 + 42 * (- 0,464) \u003d 37,008: Փոքր սխալը պայմանավորված է նրանով, որ հաշվարկներում օգտագործվել է կլորացում մինչև հազարերորդական:

Օրինակ # 5. Գումար

Այժմ դիտարկենք թվաբանական առաջընթացի գումարի լուծումներով մի քանի օրինակ:

Թող տրվի հետևյալ ձևի թվային առաջընթացը՝ 1, 2, 3, 4, ...,: Ինչպե՞ս հաշվարկել այս թվերից 100-ի գումարը:

Համակարգչային տեխնոլոգիաների զարգացման շնորհիվ այս խնդիրը կարելի է լուծել, այսինքն՝ հաջորդաբար գումարել բոլոր թվերը, ինչը համակարգիչը կանի հենց որ մարդը սեղմի Enter ստեղնը։ Այնուամենայնիվ, խնդիրը կարող է լուծվել մտովի, եթե ուշադրություն դարձնեք, որ թվերի ներկայացված շարքը հանրահաշվական պրոգրեսիա է, և դրա տարբերությունը 1 է: Կիրառելով գումարի բանաձևը, մենք ստանում ենք S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050:

Հետաքրքիր է նշել, որ այս խնդիրը կոչվում է «գաուսյան», քանի որ 18-րդ դարի սկզբին հայտնի գերմանացին, դեռ ընդամենը 10 տարեկանում, կարողացավ մի քանի վայրկյանում լուծել այն իր մտքում։ Տղան չգիտեր հանրահաշվական առաջընթացի գումարի բանաձևը, բայց նա նկատեց, որ եթե գումարում եք թվերի զույգեր, որոնք գտնվում են հաջորդականության եզրերին, դուք միշտ ստանում եք նույն արդյունքը, այսինքն՝ 1 + 100 = 2 + 99։ = 3 + 98 = ..., և քանի որ այդ գումարները կլինեն ուղիղ 50 (100 / 2), ապա ճիշտ պատասխան ստանալու համար բավական է 50-ը բազմապատկել 101-ով:

Օրինակ #6. n-ից մինչև m տերմինների գումարը

Թվաբանական պրոգրեսիայի գումարի մեկ այլ տիպիկ օրինակ հետևյալն է՝ տրված թվերի շարքը՝ 3, 7, 11, 15, ..., դուք պետք է գտեք, թե որքան կլինի դրա 8-ից 14 անդամների գումարը:

Խնդիրը լուծվում է երկու ճանապարհով. Դրանցից առաջինը ներառում է 8-ից 14-ը անհայտ տերմիններ գտնելը, այնուհետև հաջորդաբար ամփոփելը: Քանի որ տերմինները քիչ են, այս մեթոդը բավականաչափ աշխատատար չէ: Այնուամենայնիվ, առաջարկվում է լուծել այս խնդիրը երկրորդ մեթոդով, որն ավելի ունիվերսալ է։

Գաղափարն այն է, որ ստանալ բանաձև m և n տերմինների միջև հանրահաշվական առաջընթացի գումարի համար, որտեղ n > m ամբողջ թվեր են: Երկու դեպքում էլ գումարի համար գրում ենք երկու արտահայտություն.

1. S m \u003d m * (a m + a 1) / 2.
2. S n \u003d n * (a n + a 1) / 2.

Քանի որ n > m, ակնհայտ է, որ 2 գումարը ներառում է առաջինը: Վերջին եզրակացությունը նշանակում է, որ եթե վերցնենք այս գումարների տարբերությունը, և դրան ավելացնենք a m տերմինը (տարբերությունը վերցնելու դեպքում այն ​​հանվում է S n գումարից), ապա ստանում ենք խնդրի անհրաժեշտ պատասխանը։ Մենք ունենք՝ S mn \u003d S n - S m + a m \u003d n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m \u003d a 1 * (n - m) / 2 + a n * n / 2 + a m * (1- m / 2): Այս արտահայտության մեջ անհրաժեշտ է փոխարինել a-ի և a-ի բանաձևերը: Այնուհետև մենք ստանում ենք՝ S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d * (3 * m - m 2 - 2) / 2:

Ստացված բանաձևը որոշ չափով դժվար է, սակայն S mn գումարը կախված է միայն n, m, a 1 և d-ից: Մեր դեպքում a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8: Փոխարինելով այս թվերը, մենք ստանում ենք S mn = 301:

Ինչպես երևում է վերը նշված լուծումներից, բոլոր խնդիրները հիմնված են n-րդ անդամի արտահայտության և առաջին անդամների բազմության գումարի բանաձևի իմացության վրա: Նախքան այս խնդիրներից որևէ մեկի լուծումը սկսելը, խորհուրդ է տրվում ուշադիր կարդալ պայմանը, հստակ հասկանալ, թե ինչ եք ուզում գտնել և միայն դրանից հետո շարունակել լուծումը:

Մեկ այլ խորհուրդ՝ ձգտել պարզության, այսինքն՝ եթե կարող ես հարցին պատասխանել առանց բարդ մաթեմատիկական հաշվարկների, ապա պետք է դա անել, քանի որ այս դեպքում սխալվելու հավանականությունը փոքր է։ Օրինակ, թիվ 6 լուծումով թվաբանական առաջընթացի օրինակում կարելի էր կանգ առնել S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m բանաձևի վրա, և. ընդհանուր առաջադրանքը բաժանեք առանձին ենթաառաջադրանքների (այս դեպքում նախ գտե՛ք a n և a m տերմինները):

Ստացված արդյունքի վերաբերյալ կասկածներ ունենալու դեպքում խորհուրդ է տրվում ստուգել այն, ինչպես արվել է բերված որոշ օրինակներում։ Ինչպես գտնել թվաբանական պրոգրեսիա, պարզվեց: Երբ դուք դա պարզեք, դա այնքան էլ դժվար չէ:

Անսահման թվաբանական առաջընթաց ա 1 , ա 2 , ..., ա n, ... կազմված է տարբեր բնական թվերից։

ա) Թվերի մեջ կա՞ առաջընթաց ա 1 , ա 2 , ..., աԱրդյո՞ք ճիշտ երեք թվեր բաժանվում են 36-ի:

բ) Կա՞ այնպիսի առաջընթաց, որում թվերի մեջ ա 1 , ա 2 , ..., աԱրդյո՞ք 30-ը 9 թվեր են բաժանվում 36-ի:

գ) Ինչի համար է ամենամեծ բնականը nթվերի թվում կարող է պարզվել ա 1 , ա 2 , ..., ա 2n 36-ի ավելի շատ բազմապատիկ, քան թվերի մեջ ա 2n + 1 , ա 2n + 2 , ..., ա 5n ?

Լուծում.

ա) Հարմար օրինակ է 18-ի առաջին անդամով և 18-ի տարբերությամբ առաջընթացը: Նրա առաջին յոթ անդամներից (18, 36, 54, 72, 90, 108, 126) ճիշտ երեքը բաժանվում են 36-ի:

բ) Նշել ըստ դթվաբանական առաջընթացի տարբերություն ա 1 , ա 2 , ..., ա n, .... Պայմանից բխում է, որ դ- բնական թիվ. Թող մև n- ամբողջ թվեր, մ > n, gcd ( դ, 36) նշանակում է թվերի ամենամեծ ընդհանուր բաժանարարը դեւ 36. Ունենք

Հետեւաբար, տարբերությունը ա մ − ա nբաժանվում է 36-ի, եթե և միայն եթե տարբերությունը մ − nբաժանվում է միջինի վրա, եթե թվաբանական առաջընթացի անդամներից է ա 1 , ա 2 , ..., ա n, ... 36-ի բազմապատիկ են, ապա սրանք անդամներ են որտեղ ձևի թվերով ք- առաջին անդամի թիվը, a-ի բազմապատիկ էջանցնում է բոլոր ոչ բացասական ամբողջ թվերի միջով: Հետևաբար, ցանկացած կ ա 1 , ա 2 , ..., ա n, ... ճիշտ մեկը կբաժանվի 36-ի. Եթե ուրեմն և թվերի մեջ ա 1 , ա 2 , ..., ա 30-ը կլինի 36-ի առնվազն 10 բազմապատիկ։ Եթե ուրեմն և թվերի մեջ ա 1 , ա 2 , ..., ա 30-ը կլինի ոչ ավելի, քան 36-ի 8 բազմապատիկ: Հետևաբար, չկա այնպիսի առաջընթաց, որում թվերի մեջ ա 1 , ա 2 , ..., ա 30 ուղիղ 9 թվեր բաժանվում են 36-ի։

գ) Նշել [ x] թվի ամբողջական մասը xամենամեծ ամբողջ թիվն է, որը չի գերազանցում x. Ինչպես ապացուցված է բ) կետում ցանկացածի մեջ կառաջընթացի հաջորդական անդամները ա 1 , ա 2 , ..., ա n, ... ճիշտ մեկը կբաժանվի 36-ի, որտեղ դթվաբանական պրոգրեսիայի տարբերությունն է։

Այսպիսով, թվերի շարքում ա 1 , ա 2 , ..., ա 2n 36-ի բազմապատիկները կլինեն ոչ ավելի, քան թվեր: Նմանապես, թվերի շարքում ա 2n + 1 , ա 2n + 2 , ..., ա 5n 36-ի բազմապատիկները կլինեն առնվազն թվեր: Անհավասարությունը բավարարվում է, եթե և միայն եթե Թող այս հավասարությունը բավարարվի: Այնուհետև և թվերի միջև տարբերությունը 1-ից փոքր է կչի գերազանցում 36-ը, հետևաբար, հետևում է, որ դիտարկենք առաջընթաց առաջին անդամով 27 և տարբերությամբ 1: Այնուհետև թվերի միջև ա 1 , ա 2 , ..., ա 46-ը ճիշտ երկուսը բաժանվում է 36-ի ( ա 10 = 36 և ա 46 = 72): Թվերի շարքում ա 47 , ա 48 , ..., ա 115-ը ուղիղ մեկ բաժանվում է 36-ի ( ա 82 = 108): Այս օրինակը ցույց է տալիս, որ nկարող է լինել 23.

Պատասխան՝ ա) Այո, օրինակ՝ պրոգրեսիա 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, ...; բ) ոչ; գ) 23.