Mokytojai mano, kad kiekvienas mokinys turėtų mokėti atlikti skaičiavimus ir žinoti trigonometrines formules, tačiau ne kiekvienas mokytojas paaiškina, kas yra sinusas ir kosinusas. Kokia jų reikšmė, kur jie naudojami? Kodėl mes kalbame apie trikampius, o vadovėlyje rodomas apskritimas? Pabandykime sujungti visus faktus.
Mokyklinis dalykas
Trigonometrijos studijos dažniausiai pradedamos 7-8 klasėse vidurinė mokykla. Šiuo metu mokiniams paaiškinama, kas yra sinusas ir kosinusas, ir prašoma išspręsti geometrines užduotis naudojant šias funkcijas. Vėliau atsiranda sudėtingesnių formulių ir išraiškų, kurias reikia transformuoti algebriškai (dvigubo ir pusės kampo formulės, galios funkcijos), darbas atliekamas su trigonometriniu apskritimu.
Tačiau mokytojai ne visada gali aiškiai paaiškinti vartojamų sąvokų reikšmę ir formulių pritaikomumą. Todėl studentas dažnai nemato prasmės šiame dalyke, o įsiminta informacija greitai pasimiršta. Tačiau kai gimnazistui paaiškinsite, pavyzdžiui, funkcijos ryšį su svyruojančiu judesiu, loginis ryšys išliks atmintyje daugelį metų, o juokeliai apie dalyko nenaudingumą taps praeitimi.
Naudojimas
Įdomumo dėlei pažvelkime į įvairias fizikos šakas. Ar norite nustatyti sviedinio nuotolią? O gal skaičiuojate trinties jėgą tarp objekto ir tam tikro paviršiaus? Siūbuoti švytuoklę, stebėti pro stiklą sklindančius spindulius, skaičiuoti indukciją? Trigonometrinės sąvokos atsiranda beveik bet kurioje formulėje. Taigi, kas yra sinusas ir kosinusas?
Apibrėžimai
Kampo sinusas – tai priešingos kraštinės santykis su hipotenuze, kosinusas – gretimos kraštinės ir tos pačios hipotenuzės santykis. Čia visiškai nieko sudėtingo. Galbūt mokinius dažniausiai supainioja trigonometrijos lentelėje matomos reikšmės, nes tai apima kvadratines šaknis. Taip, iš jų gauti po kablelio skaičių nėra labai patogu, bet kas sakė, kad visi skaičiai matematikoje turi būti lygūs?
Tiesą sakant, trigonometrijos uždavinių knygose galite rasti juokingą užuominą: dauguma atsakymų čia yra lygūs ir, blogiausiu atveju, turi dviejų ar trijų šaknį. Išvada paprasta: jei jūsų atsakymas yra „daugiaaukštė“ trupmena, dar kartą patikrinkite, ar sprendime nėra klaidų skaičiavimuose ar samprotavimuose. Ir greičiausiai juos rasite.
Ką prisiminti
Kaip ir bet kuris mokslas, trigonometrija turi duomenų, kuriuos reikia išmokti.
Pirma, turėtumėte prisiminti skaitines reikšmes sinusams, stačiojo trikampio kosinusai 0 ir 90, taip pat 30, 45 ir 60 laipsnių. Šie rodikliai aptinkami devyniose iš dešimties mokyklos problemų. Žiūrėdami į šias vertybes vadovėlyje, prarasite daug laiko, o per įskaitą ar egzaminą iš viso nebus kur į jas žiūrėti.
Reikia atsiminti, kad abiejų funkcijų reikšmė negali viršyti vienos. Jei kur nors savo skaičiavimuose gaunate vertę, esančią už 0–1 diapazono, sustokite ir bandykite dar kartą išspręsti problemą.
Sinuso ir kosinuso kvadratų suma lygi vienetui. Jei jau radote vieną iš reikšmių, naudokite šią formulę, kad rastumėte likusią.
Teoremos
Pagrindinėje trigonometrijoje yra dvi pagrindinės teoremos: sinusai ir kosinusai.
Pirmasis teigia, kad kiekvienos trikampio kraštinės ir priešingo kampo sinuso santykis yra vienodas. Antrasis yra tai, kad bet kurios kraštinės kvadratą galima gauti sudėjus dviejų likusių kraštinių kvadratus ir atėmus jų dvigubą sandaugą, padaugintą iš kampo, esančio tarp jų, kosinuso.
Taigi, jei kosinuso teoremą pakeisime 90 laipsnių kampo reikšmę, gausime... Pitagoro teoremą. Dabar, jei jums reikia apskaičiuoti figūros, kuri nėra stačiakampis, plotą, jums nebereikia jaudintis - dvi aptartos teoremos žymiai supaprastins problemos sprendimą.
Tikslai ir siekiai
Mokytis trigonometrijos taps daug lengviau, kai suvoksite vieną paprastą faktą: visi jūsų atliekami veiksmai yra skirti tik vienam tikslui pasiekti. Bet kokius trikampio parametrus galite rasti, jei žinote apie jį minimalią informaciją - tai gali būti vieno kampo reikšmė ir dviejų kraštinių ilgis arba, pavyzdžiui, trys kraštinės.
Norint nustatyti bet kurio kampo sinusą, kosinusą, tangentą, pakanka šių duomenų, o jų pagalba galite lengvai apskaičiuoti figūros plotą. Beveik visada atsakymui reikalinga viena iš minėtų reikšmių, ir jas galima rasti naudojant tas pačias formules.
Mokymosi trigonometrijos neatitikimai
Vienas iš klaidinančių klausimų, kurių studentai nori vengti, yra skirtingų trigonometrijos sąvokų sąsajų atradimas. Atrodytų, kad trikampiai naudojami kampų sinusams ir kosinusams tirti, tačiau kažkodėl simboliai dažnai randami figūroje su apskritimu. Be to, yra visiškai nesuprantamas į bangas panašus grafikas, vadinamas sinusine banga, kuris išoriškai nepanašus nei į apskritimą, nei su trikampiais.
Be to, kampai matuojami arba laipsniais, arba radianais, o skaičius Pi, parašytas tiesiog kaip 3,14 (be vienetų), kažkodėl pasirodo formulėse, atitinkančiose 180 laipsnių. Kaip visa tai susiję?
Vienetai
Kodėl Pi yra būtent 3.14? Ar prisimeni, ką tai reiškia? Tai yra spindulių, telpančių pusės apskritimo lanke, skaičius. Jei apskritimo skersmuo yra 2 centimetrai, apskritimas bus 3,14 * 2 arba 6,28.
Antras punktas: galbūt pastebėjote žodžių „radianas“ ir „spindulys“ panašumą. Faktas yra tas, kad vienas radianas yra skaitiniu požiūriu lygus kampui, paimtam nuo apskritimo centro iki vieno spindulio ilgio lanko.
Dabar sujungsime įgytas žinias ir suprasime, kodėl trigonometrijoje koordinačių ašies viršuje parašyta „Pi per pusę“, o kairėje – „Pi“. Tai kampinė vertė, matuojama radianais, nes puslankis yra 180 laipsnių arba 3,14 radiano. O kur laipsniai, ten sinusai ir kosinusai. Iš jo lengva nubrėžti trikampį norimą tašką, padėdami segmentus link centro ir ant koordinačių ašies.
Pažvelkime į ateitį
Trigonometrija, mokoma mokykloje, nagrinėja tiesią koordinačių sistemą, kur, kad ir kaip keistai tai skambėtų, tiesi linija yra tiesi.
Tačiau yra ir sudėtingesnių darbo su erdve būdų: trikampio kampų suma čia bus didesnė nei 180 laipsnių, o tiesi linija mūsų požiūriu atrodys kaip tikras lankas.
Nuo žodžių pereikime prie veiksmų! Paimk obuolį. Padarykite tris pjūvius peiliu, kad žiūrint iš viršaus gautumėte trikampį. Išimkite gautą obuolio gabalėlį ir pažiūrėkite į "šonkaulius", kur baigiasi žievelė. Jie visai netiesi. Jūsų rankose esantys vaisiai gali būti vadinami apvaliais, bet dabar įsivaizduokite, kokios sudėtingos turi būti formulės, pagal kurias galite rasti nupjauto gabalo plotą. Tačiau kai kurie specialistai tokias problemas sprendžia kasdien.
Trigonometrinės funkcijos gyvenime
Ar pastebėjote, kad trumpiausias lėktuvo maršrutas iš taško A į tašką B mūsų planetos paviršiuje turi ryškią lanko formą? Priežastis paprasta: Žemė yra sferinė, o tai reiškia, kad naudojant trikampius negalite daug apskaičiuoti - turite naudoti sudėtingesnes formules.
Jokiuose su erdve susijusiuose klausimuose neapsieisite be smailiojo kampo sinuso/kosinuso. Įdomu tai, kad čia yra daug veiksnių: trigonometrinės funkcijos būtini apskaičiuojant planetų judėjimą apskritimais, elipsėmis ir įvairiomis trajektorijomis, didesnėmis nei sudėtingos formos; raketų, palydovų, šaudyklių paleidimo, tyrimų transporto priemonių atjungimo procesas; stebėjimas tolimos žvaigždės ir galaktikų, kurių žmonės negalės pasiekti artimiausioje ateityje, tyrimas.
Apskritai trigonometriją išmanančio žmogaus veiklos laukas labai platus ir, matyt, laikui bėgant tik plėsis.
Išvada
Šiandien sužinojome ar bent pakartojome, kas yra sinusas ir kosinusas. Tai yra sąvokos, kurių nereikia bijoti – tiesiog norėkite jų ir suprasite jų reikšmę. Atminkite, kad trigonometrija nėra tikslas, o tik įrankis, kuriuo galima patenkinti realius žmogaus poreikius: statyti namus, užtikrinti eismo saugumą, net tyrinėti visatos platybes.
Iš tiesų, pats mokslas gali atrodyti nuobodus, bet kai tik jame rasite būdą, kaip pasiekti savo tikslus ir save realizuoti, mokymosi procesas taps įdomus, padidės asmeninė motyvacija.
Kaip namų darbai Pabandykite rasti būdų, kaip pritaikyti trigonometrines funkcijas jums asmeniškai įdomioje veiklos srityje. Įsivaizduokite, pasitelkite fantaziją ir tuomet tikriausiai pastebėsite, kad naujos žinios jums pravers ateityje. Be to, matematika yra naudinga bendras vystymasis mąstymas.
Priešingos pusės ir hipotenuzės santykis vadinamas ūmaus kampo sinusas taisyklingas trikampis.
\sin \alpha = \frac(a)(c)
Stačiojo trikampio smailiojo kampo kosinusas
Gretimos kojos ir hipotenuzės santykis vadinamas smailiojo kampo kosinusas taisyklingas trikampis.
\cos \alpha = \frac(b)(c)
Stačiojo trikampio smailiojo kampo liestinė
Priešingos pusės ir gretimos pusės santykis vadinamas smailiojo kampo liestinė taisyklingas trikampis.
tg \alpha = \frac(a)(b)
Stačiojo trikampio smailiojo kampo kotangentė
Gretimos pusės ir priešingos pusės santykis vadinamas smailiojo kampo kotangentas taisyklingas trikampis.
ctg \alpha = \frac(b)(a)
Savavališko kampo sinusas
Vadinamos vienetinio apskritimo taško, kurį atitinka kampas \alpha, ordinatės savavališko kampo sinusas sukimasis \alpha .
\sin \alpha=y
Savavališko kampo kosinusas
Vadinamas apskritimo vienetinio taško, kurį atitinka kampas \alpha, abscisė savavališko kampo kosinusas sukimasis \alpha .
\cos \alpha=x
Savavališko kampo liestinė
Savavališko sukimosi kampo \alpha sinuso ir jo kosinuso santykis vadinamas savavališko kampo liestinė sukimasis \alpha .
įdegis \alpha = y_(A)
tg \alpha = \frac(\sin \alpha)(\cos \alpha)
Savavališko kampo kotangentė
Savavališko sukimosi kampo \alpha kosinuso ir jo sinuso santykis vadinamas savavališko kampo kotangentas sukimasis \alpha .
ctg\alpha =x_(A)
ctg \alpha = \frac(\cos \alpha)(\sin \alpha)
Savavališko kampo radimo pavyzdys
Jei \alpha yra tam tikras kampas AOM, kur M yra vienetinio apskritimo taškas, tada
\sin \alpha=y_(M) , \cos \alpha=x_(M) , tg \alpha=\frac(y_(M))(x_(M)), ctg \alpha=\frac(x_(M))(y_(M)).
Pavyzdžiui, jei \angle AOM = -\frac(\pi)(4), tada: taško M ordinatė lygi -\frac(\sqrt(2))(2), abscisė yra lygi \frac(\sqrt(2))(2) ir dėl to
\sin \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-\frac(\sqrt(2))(2);
\cos \left (\frac(\pi)(4) \right)=\frac(\sqrt(2))(2);
tg;
ctg \left (-\frac(\pi)(4) \right)=-1.
Kotangentų liestinių kosinusų sinusų verčių lentelė
Pagrindinių dažnai pasitaikančių kampų reikšmės pateiktos lentelėje:
| 0^(\circ) (0) | 30^(\circ)\left(\frac(\pi)(6)\right) | 45^(\circ)\left(\frac(\pi)(4)\right) | 60^(\circ)\left(\frac(\pi)(3)\right) | 90^(\circ)\left(\frac(\pi)(2)\right) | 180^(\circ)\left(\pi\right) | 270^(\circ)\left(\frac(3\pi)(2)\right) | 360 ^(\circ)\left(2\pi\right) | |
| \sin\alpha | 0 | \frac12 | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac(\sqrt 3)(2) | 1 | 0 | −1 | 0 |
| \cos\alpha | 1 | \frac(\sqrt 3)(2) | \frac(\sqrt 2)(2) | \frac12 | 0 | −1 | 0 | 1 |
| tg\alpha | 0 | \frac(\sqrt 3)(3) | 1 | \sqrt3 | — | 0 | — | 0 |
| ctg\alpha | — | \sqrt3 | 1 | \frac(\sqrt 3)(3) | 0 | — | 0 | — |
Pateikiami ryšiai tarp pagrindinių trigonometrinių funkcijų – sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. trigonometrines formules. O kadangi sąsajų tarp trigonometrinių funkcijų yra gana daug, tai paaiškina trigonometrinių formulių gausą. Vienos formulės jungia to paties kampo trigonometrines funkcijas, kitos – kelių kampų funkcijas, kitos – leidžia sumažinti laipsnį, ketvirtos – visas funkcijas išreikšti per pusės kampo liestinę ir pan.
Šiame straipsnyje paeiliui išvardinsime visas pagrindines trigonometrines formules, kurių pakanka daugeliui trigonometrijos problemų išspręsti. Kad būtų lengviau įsiminti ir naudoti, sugrupuosime juos pagal paskirtį ir surašysime į lenteles.
Puslapio naršymas.
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės
Pagrindinės trigonometrinės tapatybės apibrėžti ryšį tarp vieno kampo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento. Jie išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento apibrėžimo, taip pat vieneto apskritimo sąvokos. Jie leidžia išreikšti vieną trigonometrinę funkciją bet kuria kita.
Išsamų šių trigonometrinių formulių aprašymą, jų išvedimą ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.
Sumažinimo formulės
Sumažinimo formulės išplaukia iš sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento savybių, tai yra, jos atspindi trigonometrinių funkcijų periodiškumo savybę, simetrijos savybę, taip pat poslinkio tam tikru kampu savybę. Šios trigonometrinės formulės leidžia pereiti nuo darbo su savavališkais kampais prie darbo su kampais nuo nulio iki 90 laipsnių.
Straipsnyje galima išnagrinėti šių formulių pagrindimą, jų įsiminimo mnemoninę taisyklę ir jų taikymo pavyzdžius.
Sudėjimo formulės
Trigonometrinės sudėties formulės parodykite, kaip dviejų kampų sumos arba skirtumo trigonometrinės funkcijos išreiškiamos tų kampų trigonometrinėmis funkcijomis. Šios formulės yra pagrindas išvesti šias trigonometrines formules.
Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampu
Formulės dvigubai, trigubai ir kt. kampas (jos dar vadinamos kelių kampų formulėmis) parodo, kaip trigonometrinės funkcijos veikia dvigubai, trigubai ir kt. kampai () išreiškiami vieno kampo trigonometrinėmis funkcijomis. Jų išvedimas pagrįstas sudėjimo formulėmis.
Išsamesnė informacija surinkta straipsnių formulėse, skirtose dvigubai, trigubai ir kt. kampu
Pusės kampo formulės
Pusės kampo formulės parodykite, kaip trigonometrinės pusės kampo funkcijos išreiškiamos viso kampo kosinusu. Šios trigonometrinės formulės kyla iš dvigubo kampo formulių.
Jų išvadas ir taikymo pavyzdžius rasite straipsnyje.
Laipsnio mažinimo formulės
Trigonometrinės laipsnių mažinimo formulės yra skirti palengvinti perėjimą nuo natūralūs laipsniai trigonometrinės funkcijos sinusams ir kosinusams iki pirmojo laipsnio, bet keli kampai. Kitaip tariant, jie leidžia sumažinti trigonometrinių funkcijų galias iki pirmosios.
Trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės
Pagrindinis tikslas trigonometrinių funkcijų sumos ir skirtumo formulės yra eiti į funkcijų sandaugą, o tai labai naudinga supaprastinant trigonometrines išraiškas. Šios formulės taip pat plačiai naudojamos sprendžiant trigonometrines lygtis, nes leidžia apskaičiuoti sinusų ir kosinusų sumą ir skirtumą.
Sinusų, kosinusų ir sinusų sandauga pagal kosinusą formulės
Perėjimas nuo trigonometrinių funkcijų sandaugos prie sumos arba skirtumo atliekamas naudojant sinusų, kosinusų ir sinusų sandaugos formules.
Autorių teisės priklauso protingiems studentams
Visos teisės saugomos.
Saugoma autorių teisių įstatymo. Jokia www.svetainės dalis, įskaitant vidinę medžiagą ir išvaizdą, negali būti atgaminta jokia forma arba naudojama be išankstinio raštiško autorių teisių savininko leidimo.
Sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento sąvokos yra pagrindinės matematikos šakos trigonometrijos kategorijos ir yra neatsiejamai susijusios su kampo apibrėžimu. Norint įvaldyti šį matematikos mokslą, reikia įsiminti ir suprasti formules bei teoremas, taip pat išlavintas erdvinis mąstymas. Štai kodėl trigonometriniai skaičiavimai dažnai sukelia sunkumų moksleiviams ir studentams. Norėdami juos įveikti, turėtumėte geriau susipažinti su trigonometrinėmis funkcijomis ir formulėmis.
Trigonometrijos sąvokos
Norėdami suprasti pagrindines trigonometrijos sąvokas, pirmiausia turite suprasti, kas yra stačiakampis trikampis ir kampas apskritime, ir kodėl visi pagrindiniai trigonometriniai skaičiavimai yra su jais susiję. Trikampis, kurio vienas iš kampų yra 90 laipsnių, yra stačiakampis. Istoriškai šią figūrą dažnai naudojo architektūros, navigacijos, meno ir astronomijos žmonės. Atitinkamai, tyrinėdami ir analizuodami šios figūros savybes, žmonės priėjo apskaičiuoti atitinkamus jo parametrų santykius.
Pagrindinės kategorijos, susijusios su stačiakampiais trikampiais, yra hipotenuzė ir kojos. Hipotenuzė – priešinga trikampio kraštinė stačiu kampu. Atitinkamai, kojos yra likusios dvi pusės. Bet kurio trikampio kampų suma visada yra 180 laipsnių.
Sferinė trigonometrija yra trigonometrijos dalis, kuri nėra mokoma mokykloje, tačiau mokslininkai ją naudoja taikomuosiuose moksluose, tokiuose kaip astronomija ir geodezija. Sferinės trigonometrijos trikampio ypatumas yra tas, kad jo kampų suma visada yra didesnė nei 180 laipsnių.
Trikampio kampai
Stačiakampiame trikampyje kampo sinusas yra kojos, esančios priešingos norimam kampui, santykis su trikampio hipotenuze. Atitinkamai, kosinusas yra gretimos kojos ir hipotenuzės santykis. Abi šios vertės visada yra mažesnės nei viena, nes hipotenuzė visada yra ilgesnė už koją.
Kampo liestinė yra reikšmė, lygi priešingos ir gretimos norimo kampo pusės santykiui arba sinuso ir kosinuso santykiui. Savo ruožtu kotangentas yra norimo kampo gretimos kraštinės ir priešingos pusės santykis. Kampo kotangentą taip pat galima gauti padalijus vieną iš liestinės vertės.
Vieneto ratas
Vienetinis apskritimas geometrijoje yra apskritimas, kurio spindulys lygus vienetui. Toks apskritimas konstruojamas Dekarto koordinačių sistemoje, kai apskritimo centras sutampa su pradžios tašku, o spindulio vektoriaus pradinė padėtis nustatoma išilgai teigiamos X ašies krypties (abscisių ašies). Kiekvienas apskritimo taškas turi dvi koordinates: XX ir YY, tai yra abscisės ir ordinatės koordinates. Pasirinkę bet kurį apskritimo tašką XX plokštumoje ir numetę nuo jo statmeną į abscisių ašį, gauname stačią trikampį, kurį sudaro pasirinkto taško spindulys (žymimas raide C), statmenas nubrėžtas į X ašį. (susikirtimo taškas žymimas raide G), o atkarpa – abscisių ašį tarp pradžios (taškas žymimas raide A) ir susikirtimo taško G. Gautas trikampis ACG yra stačiakampis, įbrėžtas į apskritimą, kur AG yra hipotenuzė, o AC ir GC yra kojos. Kampas tarp apskritimo spindulio AC ir abscisių ašies atkarpos, pažymėtos AG, apibrėžiamas kaip α (alfa). Taigi, cos α = AG/AC. Atsižvelgiant į tai, kad AC yra vienetinio apskritimo spindulys ir jis lygus vienetui, paaiškėja, kad cos α=AG. Taip pat sin α=CG.
Be to, žinodami šiuos duomenis, galite nustatyti apskritimo taško C koordinatę, nes cos α = AG ir sin α = CG, o tai reiškia, kad taškas C turi nurodytos koordinatės(cos α;sin α). Žinodami, kad liestinė lygi sinuso ir kosinuso santykiui, galime nustatyti, kad tan α = y/x, o cot α = x/y. Žiūrint į kampus neigiama sistema koordinates, galite apskaičiuoti, kad kai kurių kampų sinuso ir kosinuso reikšmės gali būti neigiamos.
Skaičiavimai ir pagrindinės formulės
Trigonometrinės funkcijos reikšmės
Atsižvelgdami į trigonometrinių funkcijų per vienetinį apskritimą esmę, galime išvesti šių funkcijų reikšmes kai kuriems kampams. Vertės pateiktos žemiau esančioje lentelėje.
Paprasčiausios trigonometrinės tapatybės
Lygtys, kuriose po trigonometrinės funkcijos ženklu yra nežinoma reikšmė, vadinamos trigonometrinėmis. Tapatybės su reikšme sin x = α, k – bet koks sveikasis skaičius:
- sin x = 0, x = πk.
- 2. sin x = 1, x = π/2 + 2πk.
- sin x = -1, x = -π/2 + 2πk.
- sin x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
- sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.
Tapatybės su reikšme cos x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:
- cos x = 0, x = π/2 + πk.
- cos x = 1, x = 2πk.
- cos x = -1, x = π + 2πk.
- cos x = a, |a| > 1, sprendimų nėra.
- cos x = a, |a| ≦ 1, x = ±arccos α + 2πk.
Tapatybės su reikšme tg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:
- tan x = 0, x = π/2 + πk.
- tan x = a, x = arctan α + πk.
Tapatybės su reikšme ctg x = a, kur k yra bet koks sveikasis skaičius:
- vaikiška lovelė x = 0, x = π/2 + πk.
- ctg x = a, x = arcctg α + πk.
Sumažinimo formulės
Ši kategorija pastovios formulėsžymi metodus, kuriais galite pereiti nuo formos trigonometrinių funkcijų prie argumento funkcijų, tai yra sumažinti bet kokios reikšmės kampo sinusą, kosinusą, liestinę ir kotangentą iki atitinkamų intervalo kampo rodiklių nuo 0 iki 90 laipsnių, kad būtų patogiau skaičiuoti.
Kampo sinuso funkcijų mažinimo formulės atrodo taip:
- sin(900 - α) = α;
- sin(900 + α) = cos α;
- sin(1800 - α) = sin α;
- sin(1800 + α) = -sin α;
- sin(2700 - α) = -cos α;
- sin(2700 + α) = -cos α;
- sin(3600 - α) = -sin α;
- sin(3600 + α) = sin α.
Kampo kosinusui:
- cos(900 - α) = sin α;
- cos(900 + α) = -sin α;
- cos(1800 - α) = -cos α;
- cos(1800 + α) = -cos α;
- cos(2700 - α) = -sin α;
- cos(2700 + α) = sin α;
- cos(3600 - α) = cos α;
- cos(3600 + α) = cos α.
Aukščiau pateiktas formules galima naudoti laikantis dviejų taisyklių. Pirma, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip vertė (π/2 ± a) arba (3π/2 ± a), funkcijos reikšmė pasikeičia:
- iš nuodėmės į cos;
- iš cos į nuodėmę;
- nuo tg iki ctg;
- nuo ctg iki tg.
Funkcijos reikšmė lieka nepakitusi, jei kampas gali būti pavaizduotas kaip (π ± a) arba (2π ± a).
Antra, sumažintos funkcijos ženklas nesikeičia: jei iš pradžių buvo teigiamas, toks ir lieka. Tas pats su neigiamomis funkcijomis.
Sudėjimo formulės
Šios formulės išreiškia dviejų sukimosi kampų sumos ir skirtumo sinuso, kosinuso, liestinės ir kotangento reikšmes per savo trigonometrines funkcijas. Paprastai kampai žymimi α ir β.
Formulės atrodo taip:
- sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
- cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
- tan(α ± β) = (tg α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
- ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).
Šios formulės galioja bet kokiems kampams α ir β.
Dvigubo ir trigubo kampo formulės
Dvigubo ir trigubo kampo trigonometrinės formulės yra formulės, kurios atitinkamai susieja kampų 2α ir 3α funkcijas su kampo α trigonometrinėmis funkcijomis. Išvesta iš papildymo formulių:
- sin2α = 2sinα*cosα.
- cos2α = 1 - 2sin^2 α.
- tan2α = 2tgα / (1 - tan^2 α).
- sin3α = 3sinα – 4sin^3α.
- cos3α = 4cos^3 α - 3cosα.
- tg3α = (3tgα – tg^3α) / (1-tg^2α).
Perėjimas nuo sumos prie produkto
Atsižvelgiant į tai, kad 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), supaprastinus šią formulę, gauname tapatybę sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Panašiai sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα — cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tanα + tanβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).
Perėjimas nuo produkto prie sumos
Šios formulės išplaukia iš sumos perėjimo į sandaugą tapatybių:
- sinα * sinβ = 1/2*;
- cosα * cosβ = 1/2*;
- sinα * cosβ = 1/2*.
Laipsnio mažinimo formulės
Šiose tapatybėse sinuso ir kosinuso kvadratinės ir kubinės galios gali būti išreikštos kelių kampų pirmojo laipsnio sinusu ir kosinusu:
- sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
- cos^2 α = (1 + cos2α)/2;
- sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
- cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
- sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
- cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.
Universalus pakaitalas
Universalaus trigonometrinio pakeitimo formulės išreiškia trigonometrines funkcijas pusės kampo liestinės atžvilgiu.
- sin x = (2tgx/2) * (1 + tan^2 x/2), kai x = π + 2πn;
- cos x = (1 - tan^2 x/2) / (1 + tan^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- tg x = (2tgx/2) / (1 – tg^2 x/2), kur x = π + 2πn;
- vaikiška lovelė x = (1 – tg^2 x/2) / (2tgx/2), kai x = π + 2πn.
Ypatingi atvejai
Toliau pateikiami ypatingi paprasčiausių trigonometrinių lygčių atvejai (k yra bet koks sveikasis skaičius).
Sinuso koeficientai:
| Sin x reikšmė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/2 + 2πk |
| -1 | -π/2 + 2πk |
| 1/2 | π/6 + 2πk arba 5π/6 + 2πk |
| -1/2 | -π/6 + 2πk arba -5π/6 + 2πk |
| √2/2 | π/4 + 2πk arba 3π/4 + 2πk |
| -√2/2 | -π/4 + 2πk arba -3π/4 + 2πk |
| √3/2 | π/3 + 2πk arba 2π/3 + 2πk |
| -√3/2 | -π/3 + 2πk arba -2π/3 + 2πk |
Kosinuso koeficientai:
| cos x vertė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | π/2 + 2πk |
| 1 | 2πk |
| -1 | 2 + 2πk |
| 1/2 | ±π/3 + 2πk |
| -1/2 | ±2π/3 + 2πk |
| √2/2 | ±π/4 + 2πk |
| -√2/2 | ±3π/4 + 2πk |
| √3/2 | ±π/6 + 2πk |
| -√3/2 | ±5π/6 + 2πk |
Tangento koeficientai:
| tg x reikšmė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3/3 | π/6 + πk |
| -√3/3 | -π/6 + πk |
| √3 | π/3 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
Kotangento koeficientai:
| ctg x vertė | x reikšmė |
|---|---|
| 0 | π/2 + πk |
| 1 | π/4 + πk |
| -1 | -π/4 + πk |
| √3 | π/6 + πk |
| -√3 | -π/3 + πk |
| √3/3 | π/3 + πk |
| -√3/3 | -π/3 + πk |
Teoremos
Sinusų teorema
Yra dvi teoremos versijos – paprasta ir išplėstinė. Paprastoji sinuso teorema: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. Šiuo atveju a, b, c yra trikampio kraštinės, o α, β, γ yra atitinkamai priešingi kampai.
Išplėstinė sinuso teorema savavališkam trikampiui: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. Šioje tapatybėje R žymi apskritimo, į kurį įrašytas nurodytas trikampis, spindulį.
Kosinuso teorema
Tapatybė rodoma taip: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Formulėje a, b, c yra trikampio kraštinės, o α yra kampas, priešingas kraštinei a.
Tangento teorema
Formulė išreiškia ryšį tarp dviejų kampų liestinių ir priešingų kraštinių ilgio. Kraštinės pažymėtos a, b, c, o atitinkami priešingi kampai yra α, β, γ. Liestinės teoremos formulė: (a - b) / (a+b) = tan((α - β)/2) / tan((α + β)/2).
Kotangentės teorema
Sujungia į trikampį įbrėžto apskritimo spindulį su jo kraštinių ilgiu. Jei a, b, c yra trikampio kraštinės, o atitinkamai A, B, C yra prieš juos esantys kampai, r yra įbrėžto apskritimo spindulys, o p yra trikampio pusperimetras, tapatybės galioja:
- lovelė A/2 = (p-a)/r;
- lovelė B/2 = (p-b)/r;
- vaikiška lovelė C/2 = (p-c)/r.
Taikymas
Trigonometrija yra ne tik teorinis mokslas, susijęs su matematinėmis formulėmis. Jo savybes, teoremas ir taisykles praktiškai naudoja įvairios pramonės šakos. žmogaus veikla— astronomija, oro ir jūrų navigacija, muzikos teorija, geodezija, chemija, akustika, optika, elektronika, architektūra, ekonomika, mechanikos inžinerija, matavimo darbai, Kompiuterinė grafika, kartografija, okeanografija ir daugelis kitų.
Sinusas, kosinusas, liestinė ir kotangentas – tai pagrindinės trigonometrijos sąvokos, kurių pagalba galima matematiškai išreikšti trikampio kampų ir kraštinių ilgių ryšius, per tapatybes, teoremas ir taisykles rasti reikiamus dydžius.
Neatsiejama vieningo valstybinio egzamino dalis yra trigonometrinės lygtys.
Deja, nėra bendro vieningo metodo, kuriuo būtų galima išspręsti bet kokią lygtį, apimančią trigonometrines funkcijas. Sėkmę čia gali užtikrinti tik geras formulių išmanymas ir gebėjimas įžvelgti tam tikras naudingas kombinacijas, kurias galima išvystyti tik praktikuojant.
Bendrasis tikslas paprastai yra transformuoti trigonometrinę išraišką, įtrauktą į lygtį, kad šaknis būtų galima rasti iš vadinamųjų paprasčiausių lygčių:
| сos px = a; | sin gx = b; | tan kx = c; | ctg tx = d. |
Norėdami tai padaryti, turite mokėti naudoti trigonometrines formules. Naudinga žinoti ir vadinti juos „vardais“:
1. Dvigubo argumento, trigubo argumento formulės:
сos 2x = cos 2 x – sin 2 x = 1 – 2 sin 2 x = 2 cos 2 x – 1;
sin 2x = 2 sin x cos x;
tg 2x = 2 tg x/1 – tg x;
ctg 2x = (ctg 2 x – 1)/2 ctg x;
sin 3x = 3 sin x – 4 sin 3 x;
cos 3x = 4 cos 3 x – 3 cos x;
tg 3x = (2 tg x – tg 3 x)/(1 – 3 tg 2 x);
ctg 3x = (3 ctg x – 3 ctg x)/(3 ctg 2 x – 1);
2. Pusinio argumento arba laipsnio sumažinimo formulės:
sin 2 x/2 = (1 – cos x)/2; cos 2 x/2 = (1 + cos x)/2;
tg 2 x = (1 – cos x)/(1 + cos x);
vaikiška lovelė 2 x = (1 + cos x)/(1 – cos x);
3. Pagalbinio argumento įvedimas:
Panagrinėkime lygties a sin x + b cos x = c pavyzdį, būtent kampą x nustatę iš sąlygų sin y = b/v(a 2 + b 2), cos y = a/v(a 2 + b 2), nagrinėjamą lygtį galime redukuoti iki paprasčiausios nuodėmės (x + y) = c/v(a 2 + b 2), kurios sprendinius galima nesunkiai išrašyti; taip nustatant pradinės lygties sprendinius.
4. Sudėjimo ir atimties formulės:
sin (a + b) = sin a cos b + cos a sin b;
sin (a – b) = sin a cos b – cos a sin b;
cos (a + b) = cos a cos b – sin a sin b;
cos (a – b) = cos a cos b + sin a sin b;
tg (a + b) = (tg a + tg b)/(1 – tg a tg b);
tg (a – b) = (tg a – tg b)/(1 + tg a tg b);
5. Universalus trigonometrinis pakeitimas:
sin a = 2 tan (a/2)/(1 + ( tg 2 (a/2));
cos a = (1 – tan 2 (a/2))/(1 + ( tg 2 (a/2));
tg a = 2 tg a/2/(1 – tg 2 (a/2));
6. Keletas svarbių santykių:
sin x + sin 2x + sin 3x +…+ sin mx = (cos (x/2) -cos (2m + 1)x)/(2 sin (x/2));
cos x + cos 2x + cos 3x +…+ cos mx = (sin (2m+ 1)x/2 – sin (x/2))/(2 sin (x/2));
7. Trigonometrinių funkcijų sumos pavertimo sandauga formulės:
sin a + sin b = 2 sin(a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin(a + b)/2 sin (b – a)/2;
tan a + tan b = sin (a + b)/(cos a cos b);
tan a – tan b = sin (a – b)/(cos a cos b).
Taip pat ir redukcijos formulės.
Sprendimo procese reikia ypač atidžiai stebėti lygčių lygiavertiškumą, kad būtų išvengta šaknų praradimo (pavyzdžiui, mažinant kairę ir dešinę lygties puses bendru koeficientu) arba papildomų šaknų įgijimo ( pvz., kai abi lygties puses padalytos kvadratu). Be to, būtina kontroliuoti, ar priimančiosios šaknys priklauso nagrinėjamos lygties ODZ.
Visais būtinais atvejais (t.y. kai buvo leidžiamos nelygios transformacijos) būtina patikrinti. Sprendžiant lygtis, būtina mokinius išmokyti jas redukuoti iki tam tikrų tipų, dažniausiai pradedant lengvomis lygtimis.
Susipažinkime su lygčių sprendimo būdais:
1. Redukcija į formą ax 2 + bx + c = 0
2. Lygčių vienarūšiškumas.
3. Faktorizavimas.
4. Redukcija iki formos a 2 + b 2 + c 2 = 0
5. Kintamųjų keitimas.
6. Lygties redukavimas į lygtį su vienu kintamuoju.
7. Kairiosios ir dešiniosios dalių įvertinimas.
8. Žvilgsnio metodas.
9. Pagalbinio kampo įvedimas.
10. „Skaldyk ir valdyk“ metodas.
Pažiūrėkime į pavyzdžius:
1. Išspręskite lygtį: sin x + cos 2 x = 1/4.
Sprendimas: Išspręskite redukuodami iki kvadratinės lygties. Išreikškime cos 2 x per sin 2 x
sin x + 1 – sin 2 x = 1/4
4 nuodėmė 2 x – 4 nuodėmė x – 3 = 0
sin x = -1/2, sin x = 3/2 (netenkina sąlygos x€[-1;1]),
tie. x = (-1) k+1 arcsin 1/2 + k, k€z,
Atsakymas: (-1) k+1 /6 + k, k€z.
2. Išspręskite lygtį: 2 tg x cos x +1 = 2 cos x + tan x,
išspręsti faktoringo būdu
2 tg x cos x – 2 cos x + 1 – tg x = 0, kur x /2 + k, k €z,
2 cos x (tg x – 1) – (tg x – 1) = 0
(2 cos x – 1) (tg x – 1) = 0
2 cos x – 1 = 0 arba tg x – 1 = 0
cos x = 1/2, tgx = 1,
y., x = ± /3 + 2k, k€z, x = /4 + m, m€z.
Atsakymas: ± /3 + 2k, k€z, /4 + m, m€z.
3. Išspręskite lygtį: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0.
Sprendimas: sin 2 x – 3 sin x cos x + 2 cos 2 x = 0 homogeninė 2 laipsnio lygtis. Kadangi cos x = 0 nėra šios lygties šaknis, kairę ir dešinę puses padalijame iš cos 2 x. Dėl to gauname kvadratinę tan x lygtį
tg 2 x – 3 tg x + 2 = 0,
tg x = 1 ir tg x = 2,
iš kur x = /4 + m, m€z,
x = arctan 2 + k, k€z.
Atsakymas: /4 + m, m€z, arctan 2 + k, k€z.
4. Išspręskite lygtį: cos (10x + 12) + 42 sin (5x + 6) = 4.
Sprendimas: naujo kintamojo įvedimo metodas
Tegul 5x + 6 = y, tada cos 2y + 4 2 sin y = 4
1 – 2 nuodėmė 2 m + 4 2 sin y – 4 = 0
sin y = t, kur t€[-1;1]
2t 2-4 2t + 3 = 0
t = 2/2 ir t = 3 2/2 (netenkina sąlygos t€[-1;1])
nuodėmė (5x + 6) = 2/2,
5x + 6 = (-1) k /4 + k, k€z,
x = (-1) k /20 – 6/5 + k/5, k€z.
Atsakymas: (-1) k?/20 – 6/5 + ?k/5, k€z.
5. Išspręskite lygtį: (sin x – cos y) 2 + 40x 2 = 0
Sprendimas: Naudojame a 2 + b 2 + c 2 = 0, tiesa, jei a = 0, b = 0, c = 0. Lygybė galima, jei sin x – cos y = 0, o iš čia 40x = 0:
x = 0, o sin 0 – cos y = 0, todėl x = 0, o cos y = 0, taigi: x = 0, ir y = /2 + k, k€z, taip pat galima rašyti ( 0; / 2 + k) k€z.
Atsakymas: (0; /2 + k) k€z.
6. Išspręskite lygtį: sin 2 x + cos 4 x – 2 sin x + 1 = 0
Sprendimas: pertvarkykite lygtį ir pritaikykite „skaldyk ir valdyk“ metodą
(sin 2 x – 2 sin x +1) + cos 4 x = 0;
(sin x – 1) 2 + cos 4 x = 0; tai įmanoma, jei
(sin x – 1) 2 = 0, o cos 4 x = 0, taigi:
sin x – 1 = 0 ir cos x = 0,
sin x = 1, o cos x = 0, todėl
x = /2 + k, k€z
Atsakymas: /2 + k, k€z.
7. Išspręskite lygtį: sin 5x + sin x = 2 + cos 2 x.
Sprendimas: Taikome kairiosios ir dešiniosios pusės bei cos ir sin funkcijų ribos įvertinimo metodą.
- 1 nuodėmė 5x 1 ir -1 nuodėmė x 1
0 + 2 2 + cos 2 x 1 + 2
2 2 + cos 2 x 3
sin 5x + sin x 2 ir 2 + cos 2 x 2
2 sin 5x + nuodėmė x 2, t.y.
nuodėmė 5x + nuodėmė x 2,
kairė pusė yra 2, o dešinė pusė yra 2,
lygybė įmanoma, jei jie abu yra lygūs 2.
cos 2 x = 0, o sin 5x + sin x = 2, todėl
x = /2 + k, k€z (būtinai patikrinkite).
Atsakymas: /2 + k, k€z.
8. Išspręskite lygtį: cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 0.
Sprendimas: Išspręskite faktorizavimo metodu. Kairėje pusėje esančius terminus sugrupuojame į poras.
(IN tokiu atveju bet koks grupavimo būdas veda į tikslą.) Naudojame formulę cos a+cos b=2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2.
2 cos 3/2х cos x/2 + 2 cos 7/2х cos x/2 = 0,
cos x/2 (cos 3/2x + cos 7/2x) = 0,
2 cos 5/2x cos x/2 cos x = 0,
Atsiranda trys atvejai:
Atsakymas: + 2k, /5 + 2/5k, /2 + k, k€z.
Atkreipkime dėmesį, kad antrasis atvejis apima pirmąjį. (Jei antruoju atveju imsime k = 4 + 5, gausime + 2n). Todėl pasakyti, kuris teisingesnis, neįmanoma, bet bet kokiu atveju atsakymas atrodys „kultūringesnis ir gražesnis“: x 1 = /5 + 2/5k, x 2 = /2 + k, k€z. (Vėlgi, tipinė situacija, vedanti į įvairias atsakymo įrašymo formas). Pirmasis atsakymas taip pat teisingas.
Nagrinėjama lygtis iliustruoja labai tipišką sprendimo schemą – lygtį suskirstant į porą ir naudojant formules:
sin a + sin b = 2 sin (a + b)/2 cos (a – b)/2;
sin a – sin b = 2 cos (a + b)/2 sin (a – b)/2;
cos a + cos b = 2 cos (a + b)/2 cos (a – b)/2;
cos a – cos b = -2 sin (a + b)/2 sin (b – a)/2.
Šaknų parinkimo, nereikalingų šaknų išsijojimo sprendžiant trigonometrines lygtis problema yra labai specifinė ir dažniausiai pasirodo sudėtingesnė nei algebrinių lygčių atveju. Pateiksime iliustruojančių lygčių sprendinius tipiniai atvejai papildomų (svetimų) šaknų atsiradimas ir „kovos“ su jomis būdai.
Papildomos šaknys gali atsirasti dėl to, kad sprendimo proceso metu buvo išplėsta lygčių apibrėžimo sritis. Pateikime pavyzdžių.
9. Išspręskite lygtį: (sin 4x – sin 2x – cos 3x + 2sin x -1)/(2sin 2x – 3) = 0.
Sprendimas: Prilyginkime skaitiklį nuliui (šiuo atveju lygties apibrėžimo sritis išplečiama - pridedamos x reikšmės, paverčiant vardiklį į nulį) ir pabandykime jį koeficientuoti. Mes turime:
2 cos 3x sin x – cos 3x + 2sin x – 1 = 0,
(cos 3x + 1) (2 sin x – 1) = 0.
Gauname dvi lygtis:
cos 3x + 1 = 0, x = /3 + 2/3k.
Pažiūrėkime, kuris k mums tinka. Pirmiausia atkreipiame dėmesį, kad kairioji mūsų lygties pusė yra periodinė funkcija su periodu 2. Todėl pakanka rasti lygties sprendimą, tenkinantį sąlygą 0 x< 2 (один раз “обойти” круг), затем к найденным значениям прибавить 2k.
Nelygybė 0 x< 2 удовлетворяют три числа: /3, 5/3.
Pirmasis netinka, nes nuodėmė 2/3 = 3/2, vardiklis eina į nulį.
Pirmo atvejo atsakymas: x 1 = + 2k, x 2 = 5/3 + 2k (galite x 2 = – /3 + 2k), k€z.
Raskime šios lygties sprendimą, tenkinantį sąlygą 0 x< 2. Их два: /6, 5/6. Подходит второе значение.
Atsakymas: + 2k, 5/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
10. Raskite lygčių šaknis: v(cos 2x + sin 3x) = v2 cos x.
Šios lygties sprendimas suskirstytas į du etapus:
1) lygties, gautos iš duotosios lygties, sprendimas padalijus abi jos dalis kvadratu;
2) parinkimas tų šaknų, kurios tenkina sąlygą cos x 0. Šiuo atveju (kaip ir algebrinių lygčių atveju) nereikia jaudintis dėl sąlygos cos 2x + sin 3x 0. Visos k reikšmės, atitinkančios kvadratinę lygtį, tenkina šią sąlygą.
Pirmasis žingsnis veda mus į lygtį sin 3x = 1, iš kurios x 1 = /6 + 2/3k.
Dabar reikia nustatyti, prie kokio k cos (/6 + 2/3k) 0. Tam pakanka atsižvelgti į k reikšmes 0, 1, 2, t.y. kaip įprasta, „apvažiuokite ratą vieną kartą“, nes toliau kosinuso reikšmės skirsis nuo tų, kurios jau buvo laikomos 2 kartotiniu.
Atsakymas: /6 + 2k, 3/2/3 + 2k, 5/6 + 2k, k€z.
11. Išspręskite lygtį: sin 8 x – cos 5 x = 1.
Šios lygties sprendimas grindžiamas tokiu paprastu svarstymu: jei 0< a < 1 то a t убывает с ростом t.
Tai reiškia sin 8 x sin 2 x, – cos 5 x cos 2 x;
Sudėjus šias nelygybes po termino, gauname:
sin 8 x – cos 5 x sin 2 x + cos 2 x = 1.
Todėl kairioji šios lygties pusė yra lygi vienetui tada ir tik tada, kai tenkinamos dvi lygybės:
sin 8 x = sin 2 x, cos 5 x = cos 2 x,
tie. sin x gali turėti reikšmes -1, 0
Atsakymas: /2 + k, + 2k, k€z.
Norėdami užbaigti paveikslėlį, apsvarstykite kitą pavyzdį.
12. Išspręskite lygtį: 4 cos 2 x – 4 cos 2 3x cos x + cos 2 3x = 0.
Sprendimas: Kairiąją šios lygties pusę laikysime kvadratiniu trinaliu cos x atžvilgiu.
Tegu D yra šio trinalio diskriminantas:
1/4 D = 4 (cos 4 3x – cos 2 3x).
Iš nelygybės D 0 išplaukia cos 2 3x 0 arba cos 2 3x 1.
Tai reiškia, kad atsiranda dvi galimybės: cos 3x = 0 ir cos 3x = ± 1.
Jei cos 3x = 0, tai iš lygties išplaukia, kad cos x = 0, iš kur x = /2 + k.
Šios x reikšmės atitinka lygtį.
Jei cos 3x = 1, tai iš lygties cos x = 1/2 randame x = ± /3 + 2k. Šios vertės taip pat atitinka lygtį.
Atsakymas: /2 + k, /3 + 2k, k€z.
13. Išspręskite lygtį: sin 4 x + cos 4 x = 7/2 sin x cos x.
Sprendimas: Transformuokite išraišką sin 4 x + cos 4 x, paryškindami tobulą kvadratą: sin 4 x + cos 4 x = sin 4 x + 2 sin 2 x cos 2 x + cos 4 x – 2 sin 2 x cos 2 x = ( sin 2 x + cos 2 x) 2 – 2 sin 2 x cos 2 x, iš kur sin 4 x + cos 4 x = 1 – 1/2 sin 2 2x. Naudodamiesi gauta formule, rašome lygtį į formą
1-1/2 nuodėmės 2 2x = 7/4 nuodėmės 2x.
reiškia nuodėmę 2х = t, -1 t 1,
mes gauname kvadratinė lygtis 2 t 2 + 7 t - 4 = 0,
išspręsdami, randame t 1 = 1/2, t 2 = – 4
lygtis sin 2x = 1/2
2x = (- 1) k /6 + k, k€z, x = (- 1) k //12 + k /2, k€z.
