mes nuspręsime paprasta užduotis surasdami kvadrato, kurio plotas yra 9 cm 2, kraštinę. Jei manytume, kad kvadrato pusė A cm, tada sudarome lygtį pagal uždavinio sąlygas:
A X A = 9
A 2 = 9
A 2 -9 =0
(A-3) (A+3) = 0
A=3 arba A=-3
Kvadrato kraštinės ilgis negali būti neigiamas skaičius, todėl reikiama kvadrato kraštinė yra 3 cm.
Spręsdami lygtį radome skaičius 3 ir -3, kurių kvadratai lygūs 9. Kiekvienas iš šių skaičių vadinamas kvadratine šaknimi iš skaičiaus 9. Šių šaknų neneigiamas, tai yra skaičius 3, vadinama aritmetine skaičiaus šaknimi.
Gana logiška sutikti su tuo, kad šaknį galima rasti nuo skaičių iki trečiosios laipsnio (kubo šaknies), ketvirtosios laipsnio ir pan. Ir iš esmės šaknis yra atvirkštinis eksponencijos veiksmas.
Šaknisn laipsnis nuo numerio α yra toks skaičius b, Kur b n = α .
Čia n- paprastai vadinamas natūralusis skaičius šaknies indeksas(arba šaknies laipsnis); kaip taisyklė, jis yra didesnis arba lygus 2, nes atvejis n = 1 kuklus.
Pažymėtas raidėje kaip simbolis (šaknies ženklas) dešinėje pusėje vadinamas radikalus. Skaičius α
- radikali išraiška. Mūsų pavyzdyje su vakarėliu sprendimas galėtų atrodyti taip: 
nes (±
3) 2 = 9
.
Sulaukėme teigiamų ir neigiama prasmėšaknis Ši funkcija apsunkina skaičiavimus. Siekiant nedviprasmiškumo, koncepcija buvo pristatyta aritmetinė šaknis, kurio reikšmė visada yra su pliuso ženklu, tai yra tik teigiama.
Šaknis paskambino aritmetika, jei jis išgaunamas iš teigiamo skaičiaus ir pats yra teigiamas skaičius.
Pavyzdžiui,
Yra tik viena tam tikro laipsnio aritmetinė šaknis iš nurodyto skaičiaus.
Skaičiavimo operacija paprastai vadinama šaknų ištraukimas n laipsnis“ iš tarpo α . Iš esmės mes atliekame operaciją atvirkščiai didinimui į laipsnį, būtent, surandame galios pagrindą b pagal žinomą rodiklį n ir pakėlimo į valdžią rezultatas
α = mlrd.
Antrojo ir trečiojo laipsnių šaknys praktikoje vartojamos dažniau nei kitos, todėl joms buvo suteikti specialūs pavadinimai.
Kvadratinė šaknis: Šiuo atveju įprasta nerašyti laipsnio 2, o terminas „šaknis“ nenurodant laipsnio dažniausiai reiškia kvadratinę šaknį. Geometriškai aiškinama, yra kvadrato, kurio plotas lygus, kraštinės ilgis α .
Kubo šaknis: geometriškai interpretuojama, kubo, kurio tūris yra lygus, briaunos ilgis α .
Aritmetinių šaknų savybės.
1) Skaičiuojant sandaugos aritmetinė šaknis, būtina jį išskirti iš kiekvieno faktoriaus atskirai
Pavyzdžiui,
2) Skaičiavimui trupmenos šaknis, būtina jį išskirti iš šios trupmenos skaitiklio ir vardiklio
Pavyzdžiui,
3) Skaičiuojant laipsnio šaknis, reikia padalyti rodiklį iš šaknies
Pavyzdžiui,
Pirmieji skaičiavimai, susiję su kvadratinės šaknies ištraukimu, buvo rasti senovės Babilono ir Kinijos, Indijos, Graikijos matematikų darbuose (apie pasiekimus Senovės Egiptasšaltiniuose šiuo klausimu informacijos nėra).
Senovės Babilono (II tūkstantmečio pr. Kr.) matematikai naudojo specialų metodą kvadratinei šaknims išgauti skaitmeninis metodas. Pradinis kvadratinės šaknies apytikslis apskaičiavimas buvo rastas remiantis natūraliuoju skaičiumi, esančiu arčiausiai šaknies (mažesne kryptimi) n. Radikalios išraiškos pateikimas tokia forma: α=n 2 +r, mes gauname: x 0 =n+r/2n, tada buvo pritaikytas kartotinis patikslinimo procesas:
Šio metodo iteracijos susilieja labai greitai. Dėl ,
Pavyzdžiui, α=5; n = 2; r = 1; x 0 = 9/4 = 2,25 ir gauname aproksimacijų seką:
Galutinėje vertėje visi skaitmenys yra teisingi, išskyrus paskutinį.
Graikai suformulavo kubo padvigubinimo problemą, kuri susivedė į konstravimą kubo šaknis naudojant kompasą ir liniuotę. Bet kurio sveikojo skaičiaus laipsnio apskaičiavimo taisykles ištyrė Indijos ir arabų valstybių matematikai. Tada jie buvo plačiai išplėtoti viduramžių Europoje.
Šiandien kvadratinių ir kubo šaknų skaičiavimo patogumui plačiai naudojami skaičiuotuvai.
Neneigiamo skaičiaus n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis yra neneigiamas skaičius n-asis laipsnis kuris yra lygus:
Šaknies laipsnis yra natūralusis skaičius, didesnis nei 1.
3. 
4. 
Ypatingi atvejai:
1. Jei šaknies rodiklis yra nelyginis sveikasis skaičius(), tada radikali išraiška gali būti neigiama.
Nelyginio rodiklio atveju lygtis bet kuriai realiajai vertei ir sveikajam skaičiui VISADA turi vieną šaknį:
Nelyginio laipsnio šaknis galioja ši tapatybė:
,
2. Jei šaknies rodiklis yra lyginis sveikasis skaičius (), tada radikalioji išraiška negali būti neigiama.
Lyginio eksponento atveju lygtis. Tai turi
adresu viena šaknis
ir, jei ir
Lyginio laipsnio šaknis galioja tokia tapatybė:
Lyginio laipsnio šaknims galioja šios lygybės::
Maitinimo funkcija, jo savybės ir grafikas.
Galios funkcija ir jos savybės.
Galios funkcija su natūraliu rodikliu. Funkcija y = x n, kur n yra natūralusis skaičius, vadinama laipsnio funkcija su natūraliuoju rodikliu. Jei n = 1, gauname funkciją y = x, jos savybes:
Tiesioginis proporcingumas. Tiesioginis proporcingumas yra funkcija, apibrėžta formule y = kx n, kur skaičius k vadinamas proporcingumo koeficientu.
Išvardinkime funkcijos y = kx savybes.
Funkcijos sritis yra visų realiųjų skaičių aibė.
y = kx – ne lygi funkcija(f(- x) = k (- x)= - kx = -k(x)).
3) Jei k > 0, funkcija didėja, o k< 0 убывает на всей числовой прямой.
Grafikas (tiesė) parodytas II.1 paveiksle.
Ryžiai. II.1.
Kai n=2 gauname funkciją y = x 2, jos savybės:
Funkcija y -x 2. Išvardinkime funkcijos y = x 2 savybes.
y = x 2 – lyginė funkcija (f(- x) = (- x) 2 = x 2 = f (x)).
Funkcija per intervalą mažėja.
Tiesą sakant, jei , tada - x 1 > - x 2 > 0, todėl
(-x 1) 2 > (- x 2) 2, t.y., tai reiškia, kad funkcija mažėja.
Funkcijos y=x2 grafikas yra parabolė. Šis grafikas parodytas II.2 paveiksle.
Ryžiai. II.2.
Kai n = 3, gauname funkciją y = x 3, jos savybės:
Funkcijos apibrėžimo sritis yra visa skaičių eilutė.
y = x 3 - nelyginė funkcija(f (- x) = (- x) 2 = - x 3 = - f (x)).
3) Funkcija y = x 3 didėja visoje skaičių tiesėje. Funkcijos y = x 3 grafikas parodytas paveiksle. Ji vadinama kubine parabole.
Grafikas (kubinė parabolė) parodyta II.3 paveiksle.
Ryžiai. II.3.
Tegul n yra lyginis natūralusis skaičius, didesnis už du:
n = 4, 6, 8,... . Šiuo atveju funkcija y = x n turi tokias pačias savybes kaip ir funkcija y = x 2. Tokios funkcijos grafikas primena parabolę y = x 2, tik grafiko šakos ties |n| >1 kuo statesnis jie kyla aukštyn, tuo didesnis n, o kuo labiau „prispaustas“ prie x ašies, tuo didesnis n.
Tegul n yra savavališkas nelyginis skaičius, didesnis už tris: n = = 5, 7, 9, ... . Šiuo atveju funkcija y = x n turi tokias pačias savybes kaip ir funkcija y = x 3. Tokios funkcijos grafikas primena kubinę parabolę (stačiau eina aukštyn ir žemyn tik grafiko šakos, tuo didesnis n. Taip pat atkreipkite dėmesį, kad intervale (0; 1) juda laipsnio funkcijos y = x n grafikas. nutolsta nuo x ašies lėčiau, kai x didėja, tuo labiau nei n.
Galios funkcija su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu. Apsvarstykite funkciją y = x - n, kur n yra natūralusis skaičius. Kai n = 1, gauname y = x - n arba y = šios funkcijos savybės:
Grafikas (hiperbolė) parodytas II.4 paveiksle.
Šaknies laipsnis n iš tikrojo skaičiaus a, Kur n- natūralusis skaičius, toks tikrasis skaičius vadinamas x, n kurio laipsnis lygus a.
Šaknies laipsnis n nuo numerio a yra pažymėtas simboliu. Pagal šį apibrėžimą.
Šaknies radimas n– laipsnis iš tarpo a vadinamas šaknų ekstrahavimu. Skaičius A vadinamas radikaliuoju skaičiumi (išraiška), n- šaknies indikatorius. Dėl keistų n yra šaknis n bet kurio realaus skaičiaus laipsnis a. Kai net n yra šaknis n-oji galia tik neneigiamiems skaičiams a. Norėdami išaiškinti šaknį n– laipsnis iš tarpo a, pristatoma aritmetinės šaknies sąvoka n– laipsnis iš tarpo a.
N laipsnio aritmetinės šaknies samprata
Jeigu n- natūralusis skaičius, didesnis 1 , tada yra ir tik vienas neneigiamas skaičius X, kad lygybė būtų patenkinta. Šis skaičius X vadinama aritmetine šaknimi n neneigiamo skaičiaus laipsnis A ir yra paskirtas. Skaičius A vadinamas radikaliuoju skaičiumi, n- šaknies indikatorius.
Taigi, pagal apibrėžimą, žymėjimas , kur , reiškia, pirma, tą ir, antra, tą, t.y. .
Laipsnio su racionaliuoju rodikliu samprata
Laipsnis su natūraliuoju rodikliu: tegul A yra tikrasis skaičius ir n- natūralusis skaičius, didesnis nei vienas, n- skaičiaus laipsnis A skambinti į darbą n veiksniai, kurių kiekvienas yra lygus A, t.y. . Skaičius A- laipsnio pagrindas, n- eksponentas. Laipsnis su nuliniu rodikliu: pagal apibrėžimą, jei , tada . Nulinė skaičiaus galia 0 neturi prasmės. Laipsnis su neigiamu sveikojo skaičiaus rodikliu: pagal apibrėžimą daroma prielaida, jei ir n yra natūralusis skaičius, tada . Laipsnis su trupmeniniu rodikliu: pagal apibrėžimą daroma prielaida, jei ir n- natūralusis skaičius, m yra sveikas skaičius, tada .
Operacijos su šaknimis.
Visose toliau pateiktose formulėse simbolis reiškia aritmetinę šaknį (radikalioji išraiška yra teigiama).
1. Kelių veiksnių sandaugos šaknis yra lygi šių veiksnių šaknų sandaugai:
2. Požiūrio šaknis lygus santykiui dividendo ir daliklio šaknys:
3. Keliant šaknį į laipsnį, iki šios laipsnio pakanka pakelti radikalųjį skaičių: 
4. Jei padidinsite šaknies laipsnį n kartų ir tuo pačiu padidinsite radikalų skaičių iki n laipsnio, tada šaknies reikšmė nepasikeis: 
5. Jei sumažinsite šaknies laipsnį n kartų ir vienu metu ištrauksite n-ąją radikalinio skaičiaus šaknį, tada šaknies reikšmė nepasikeis:
Laipsnio sampratos išplėtimas. Iki šiol laipsnius nagrinėjome tik su natūraliaisiais rodikliais; bet operacijos su laipsniais ir šaknimis taip pat gali sukelti neigiamus, nulinius ir trupmeninius rodiklius. Visi šie rodikliai reikalauja papildomo apibrėžimo.
Laipsnis su neigiamu rodikliu. Tam tikro skaičiaus, turinčio neigiamą (sveikąjį) rodiklį, laipsnis apibrėžiamas kaip skaičius, padalytas iš to paties skaičiaus, kurio rodiklis lygus absoliučioji vertė neigiamas rodiklis:
Dabar formulė a m: a n = a m - n gali būti naudojama ne tik kai m didesnis už n, bet ir kai m mažesnis už n.
PAVYZDYS a 4: a 7 = a 4 - 7 = a -3.
Jei norime, kad formulė a m: a n = a m - n galiotų m = n, mums reikia nulinio laipsnio apibrėžimo.
Laipsnis su nuliniu indeksu. Bet kurio nulinio skaičiaus, kurio rodiklis nulis, laipsnis yra 1.
PAVYZDŽIAI. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Laipsnis su trupmeniniu rodikliu. Norėdami padidinti realųjį skaičių a iki laipsnio m / n, turite išgauti šio skaičiaus a m-osios laipsnio n-ąją šaknį:
Apie posakius, kurie neturi prasmės. Yra keletas tokių posakių.
1 atvejis.
Kur a ≠ 0 neegzistuoja.
Tiesą sakant, jei darysime prielaidą, kad x yra tam tikras skaičius, tai pagal dalybos operacijos apibrėžimą turime: a = 0 x, t.y. a = 0, o tai prieštarauja sąlygai: a ≠ 0
2 atvejis.
Bet koks skaičius.
Tiesą sakant, jei darysime prielaidą, kad ši išraiška yra lygi tam tikram skaičiui x, tai pagal padalijimo operacijos apibrėžimą turime: 0 = 0 · x. Tačiau ši lygybė galioja bet kuriam skaičiui x, ką reikėjo įrodyti.
tikrai,
Sprendimas. Panagrinėkime tris pagrindinius atvejus:
1) x = 0 – ši reikšmė netenkina šios lygties
2) jei x > 0 gauname: x / x = 1, t.y. 1 = 1, o tai reiškia, kad x yra bet koks skaičius; bet atsižvelgiant į tai, kad mūsų atveju x > 0, atsakymas yra x > 0;
3) ties x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,
šiuo atveju sprendimo nėra. Taigi x > 0.
Mums svarbu išlaikyti jūsų privatumą. Dėl šios priežasties sukūrėme Privatumo politiką, kurioje aprašoma, kaip naudojame ir saugome jūsų informaciją. Peržiūrėkite mūsų privatumo praktiką ir praneškite mums, jei turite klausimų.
Asmeninės informacijos rinkimas ir naudojimas
Asmeninė informacija reiškia duomenis, kurie gali būti naudojami konkretaus asmens tapatybei nustatyti arba susisiekti su juo.
Jūsų gali būti paprašyta pateikti savo asmeninę informaciją bet kuriuo metu, kai susisiekiate su mumis.
Toliau pateikiami keli pavyzdžiai, kokios rūšies asmeninės informacijos galime rinkti ir kaip galime tokią informaciją naudoti.
Kokią asmeninę informaciją renkame:
- Kai pateikiate paraišką svetainėje, galime rinkti įvairią informaciją, įskaitant jūsų vardą, telefono numerį, adresą El. paštas ir tt
Kaip naudojame jūsų asmeninę informaciją:
- Mūsų surinkta Asmeninė informacija leidžia mums susisiekti su jumis ir informuoti apie unikalių pasiūlymų, akcijos ir kiti renginiai bei būsimi renginiai.
- Retkarčiais galime naudoti jūsų asmeninę informaciją svarbiems pranešimams ir pranešimams siųsti.
- Mes taip pat galime naudoti asmeninę informaciją vidiniais tikslais, tokiais kaip auditas, duomenų analizė ir įvairūs tyrimai siekdami pagerinti mūsų teikiamas paslaugas ir teikti rekomendacijas dėl mūsų paslaugų.
- Jei dalyvaujate prizų traukime, konkurse ar panašioje akcijoje, mes galime naudoti jūsų pateiktą informaciją tokioms programoms administruoti.
Informacijos atskleidimas trečiosioms šalims
Mes neatskleidžiame iš jūsų gautos informacijos trečiosioms šalims.
Išimtys:
- Jei reikia, pagal įstatymą, teisminė procedūra, V teismo procesas, ir (arba) remiantis viešais prašymais arba prašymais iš vyriausybines agentūras Rusijos Federacijos teritorijoje – atskleiskite savo asmeninę informaciją. Taip pat galime atskleisti informaciją apie jus, jei nuspręsime, kad toks atskleidimas yra būtinas arba tinkamas saugumo, teisėsaugos ar kitais visuomenei svarbiais tikslais.
- Reorganizavimo, susijungimo ar pardavimo atveju surinktą asmeninę informaciją galime perduoti atitinkamai trečiajai šaliai.
Asmeninės informacijos apsauga
Mes imamės atsargumo priemonių, įskaitant administracines, technines ir fizines, siekdami apsaugoti jūsų asmeninę informaciją nuo praradimo, vagystės ir netinkamo naudojimo, taip pat nuo neteisėtos prieigos, atskleidimo, pakeitimo ir sunaikinimo.
Jūsų privatumo gerbimas įmonės lygiu
Siekdami užtikrinti, kad jūsų asmeninė informacija būtų saugi, savo darbuotojams pranešame apie privatumo ir saugumo standartus ir griežtai vykdome privatumo praktiką.
Šiame straipsnyje mes supažindinsime skaičiaus šaknies samprata. Toliau eisime nuosekliai: pradėsime nuo kvadratinės šaknies, nuo jos pereisime prie kubinės šaknies aprašymo, po kurio apibendrinsime šaknies sąvoką, apibrėždami n-ąją šaknį. Kartu supažindinsime su apibrėžimais, žymėjimais, pateiksime šaknų pavyzdžius ir pateiksime reikiamus paaiškinimus bei komentarus.
Kvadratinė šaknis, aritmetinė kvadratinė šaknis
Norėdami suprasti skaičiaus šaknies apibrėžimą, o ypač kvadratinę šaknį, turite turėti . Šiuo metu dažnai susidursime su antrąja skaičiaus laipsniu – skaičiaus kvadratu.
Pradėkime nuo kvadratinių šaknų apibrėžimai.
Apibrėžimas
Kvadratinė šaknis iš a yra skaičius, kurio kvadratas lygus a.
Norint atvežti kvadratinių šaknų pavyzdžiai, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 5, –0,3, 0,3, 0, ir padėkite juos kvadratu, gausime atitinkamai skaičius 25, 0,09, 0,09 ir 0 (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0,3) 2 =0,3·0,3=0,09 ir 0 2 =0,0=0). Tada pagal aukščiau pateiktą apibrėžimą skaičius 5 yra kvadratinė šaknis iš skaičiaus 25, skaičiai –0,3 ir 0,3 yra kvadratinės šaknys iš 0,09, o 0 yra kvadratinė šaknis iš nulio.
Reikia pažymėti, kad jokiam skaičiui a nėra a, kurio kvadratas būtų lygus a. Būtent bet kuriam neigiamam skaičiui a nėra tikrojo skaičiaus b, kurio kvadratas būtų lygus a. Tiesą sakant, lygybė a=b 2 neįmanoma bet kuriam neigiamam a, nes b 2 yra neneigiamas bet kurio b skaičius. Taigi, realiųjų skaičių aibėje nėra neigiamo skaičiaus kvadratinės šaknies. Kitaip tariant, realiųjų skaičių aibėje neigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis nėra apibrėžta ir neturi reikšmės.
Tai veda prie logiško klausimo: „Ar yra bet kurio neneigiamo a kvadratinė šaknis“? Atsakymas yra taip. Šį faktą galima pateisinti konstruktyviu metodu, naudojamu kvadratinės šaknies vertei rasti.
Tada iškyla kitas logiškas klausimas: „Koks yra duoto neneigiamo skaičiaus a visų kvadratinių šaknų skaičius - vienas, du, trys ar net daugiau“? Štai atsakymas: jei a yra nulis, tai vienintelė nulio kvadratinė šaknis yra nulis; jei a yra teigiamas skaičius, tada skaičiaus a kvadratinių šaknų skaičius yra du, o šaknys yra . Pagrįskime tai.
Pradėkime nuo atvejo a=0 . Pirma, parodykime, kad nulis iš tikrųjų yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tai išplaukia iš akivaizdžios lygybės 0 2 =0·0=0 ir kvadratinės šaknies apibrėžimo.
Dabar įrodykime, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio. Naudokime priešingą metodą. Tarkime, kad yra koks nors nulinis skaičius b, kuris yra kvadratinė šaknis iš nulio. Tada turi būti įvykdyta sąlyga b 2 =0, o tai neįmanoma, nes bet kokiam nuliui b reiškinio b 2 reikšmė yra teigiama. Priėjome prieštaravimą. Tai įrodo, kad 0 yra vienintelė kvadratinė šaknis iš nulio.
Pereikime prie atvejų, kai a yra teigiamas skaičius. Aukščiau sakėme, kad visada yra bet kurio neneigiamo skaičiaus kvadratinė šaknis, tegul kvadratinė šaknis iš a yra skaičius b. Tarkime, kad yra skaičius c, kuris taip pat yra a kvadratinė šaknis. Tada pagal kvadratinės šaknies apibrėžimą lygybės b 2 =a ir c 2 =a yra teisingos, iš to išplaukia, kad b 2 −c 2 =a−a=0, bet kadangi b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , tada (b−c)·(b+c)=0 . Gauta lygybė galioja operacijų su realiaisiais skaičiais savybės galima tik tada, kai b−c=0 arba b+c=0 . Taigi skaičiai b ir c yra lygūs arba priešingi.
Jei darysime prielaidą, kad yra skaičius d, kuris yra dar viena kvadratinė šaknis iš skaičiaus a, tai samprotaujant panašiai kaip jau pateiktos, įrodoma, kad d yra lygus skaičiui b arba skaičiui c. Taigi teigiamo skaičiaus kvadratinių šaknų skaičius yra du, o kvadratinės šaknys yra priešingi skaičiai.
Kad būtų patogiau dirbti su kvadratinėmis šaknimis, neigiama šaknis „atskiriama“ nuo teigiamos. Šiuo tikslu jis įvedamas aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimas.
Apibrėžimas
Aritmetinė kvadratinė šaknis iš neneigiamo skaičiaus a yra neneigiamas skaičius, kurio kvadratas lygus a.
A aritmetinės kvadratinės šaknies žymėjimas yra . Ženklas vadinamas aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu. Jis taip pat vadinamas radikaliu ženklu. Todėl kartais galite išgirsti ir „root“, ir „radical“, o tai reiškia tą patį objektą.
Skaičius po aritmetiniu kvadratinės šaknies ženklu vadinamas radikalus skaičius, o išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška, o terminas „radikalus skaičius“ dažnai pakeičiamas „radikaliąja išraiška“. Pavyzdžiui, žymėjime skaičius 151 yra radikalus skaičius, o užraše išraiška a yra radikali išraiška.
Skaitant žodis „aritmetika“ dažnai praleidžiamas, pavyzdžiui, įrašas skaitomas kaip „kvadratinė šaknis iš septynių taškų dvidešimt devyni“. Žodis „aritmetika“ vartojamas tik tada, kai norima tai pabrėžti mes kalbame apie konkrečiai apie teigiamą skaičiaus kvadratinę šaknį.
Atsižvelgiant į įvestą žymėjimą, iš aritmetinės kvadratinės šaknies apibrėžimo matyti, kad bet kuriam neneigiamam skaičiui a .
Teigiamojo skaičiaus a kvadratinės šaknys rašomos naudojant aritmetinį kvadratinės šaknies ženklą kaip ir . Pavyzdžiui, 13 kvadratinės šaknys yra ir . Aritmetinė nulio kvadratinė šaknis yra lygi nuliui, tai yra, . Neigiamų skaičių a žymėjimui reikšmės neteiksime tol, kol neištirsime kompleksiniai skaičiai. Pavyzdžiui, posakiai ir yra beprasmiai.
Remiantis kvadratinės šaknies apibrėžimu, įrodytos kvadratinių šaknų savybės, kurios dažnai naudojamos praktikoje.
Baigdami šį punktą pažymime, kad skaičiaus a kvadratinės šaknys yra x 2 =a formos sprendiniai kintamojo x atžvilgiu.
Skaičiaus kubinė šaknis
Kubo šaknies apibrėžimas skaičius a pateikiamas panašiai kaip kvadratinės šaknies apibrėžimas. Tik jis remiasi ne kvadrato, o skaičiaus kubo koncepcija.
Apibrėžimas
Kubo šaknis a yra skaičius, kurio kubas yra lygus a.
Duokim kubo šaknų pavyzdžiai. Norėdami tai padaryti, paimkite kelis skaičius, pavyzdžiui, 7, 0, -2/3, ir supjaustykite juos kubu: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, 
. Tada, remiantis kubo šaknies apibrėžimu, galime pasakyti, kad skaičius 7 yra 343 kubinė šaknis, 0 yra nulio kubinė šaknis, o −2/3 yra −8/27 kubinė šaknis.
Galima parodyti, kad skaičiaus kubinė šaknis, skirtingai nei kvadratinė šaknis, visada egzistuoja ne tik neneigiamam a, bet ir bet kuriam realiajam skaičiui a. Norėdami tai padaryti, galite naudoti tą patį metodą, kurį minėjome studijuodami kvadratines šaknis.
Be to, tam tikro skaičiaus a yra tik viena kubo šaknis. Įrodykime paskutinį teiginį. Norėdami tai padaryti, apsvarstykite tris atvejus atskirai: a yra teigiamas skaičius, a = 0 ir a yra neigiamas skaičius.
Nesunku parodyti, kad jei a yra teigiamas, a kubinė šaknis negali būti nei neigiamas skaičius, nei nulis. Iš tiesų, tegul b yra a kubinė šaknis, tada pagal apibrėžimą galime parašyti lygybę b 3 =a. Akivaizdu, kad ši lygybė negali būti teisinga neigiamam b ir b=0, nes šiais atvejais b 3 =b·b·b bus atitinkamai neigiamas skaičius arba nulis. Taigi teigiamo skaičiaus a kubinė šaknis yra teigiamas skaičius.
Tarkime, kad be skaičiaus b yra dar viena skaičiaus a kubinė šaknis, pažymėkime ją c. Tada c 3 =a. Todėl b 3 −c 3 =a−a=0, bet b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(tai yra sutrumpinta daugybos formulė kubelių skirtumas), iš kur (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. Gauta lygybė galima tik tada, kai b−c=0 arba b 2 +b·c+c 2 =0. Iš pirmosios lygybės turime b=c, o antroji lygybė neturi sprendinių, nes jos kairioji pusė yra teigiamas skaičius bet kokiems teigiamiems skaičiams b ir c kaip trijų teigiamų narių b 2, b·c ir c 2 suma. Tai įrodo teigiamo skaičiaus a kubinės šaknies unikalumą.
Kai a=0, skaičiaus a kubinė šaknis yra tik skaičius nulis. Iš tiesų, jei darysime prielaidą, kad yra skaičius b, kuris yra ne nulinė nulio kubinė šaknis, tada turi galioti lygybė b 3 =0, o tai įmanoma tik tada, kai b=0.
Neigiamajam a galima pateikti argumentus, panašius į teigiamo a atveju. Pirma, parodome, kad neigiamo skaičiaus kubinė šaknis negali būti lygi nei teigiamam skaičiui, nei nuliui. Antra, darome prielaidą, kad yra antroji neigiamo skaičiaus kubinė šaknis, ir parodome, kad ji būtinai sutaps su pirmuoju.
Taigi, visada yra bet kurio tikrojo skaičiaus a kubinė šaknis ir unikalus.
Duokim aritmetinės kubo šaknies apibrėžimas.
Apibrėžimas
Neneigiamo skaičiaus aritmetinė kubo šaknis a yra neneigiamas skaičius, kurio kubas yra lygus a.
Neneigiamo skaičiaus a aritmetinė kubo šaknis žymima kaip , ženklas vadinamas aritmetinio kubo šaknies ženklu, skaičius 3 šioje žymėjime vadinamas šaknies indeksas. Skaičius po šaknies ženklu yra radikalus skaičius, išraiška po šaknies ženklu yra radikali išraiška.
Nors aritmetinė kubo šaknis apibrėžiama tik neneigiamiems skaičiams a, patogu naudoti ir užrašus, kuriuose po aritmetinės kubo šaknies ženklu yra neigiami skaičiai. Juos suprasime taip: , kur a yra teigiamas skaičius. Pavyzdžiui, 
.
Apie kubinių šaknų savybes kalbėsime bendrame straipsnyje šaknų savybės.
Kubo šaknies reikšmės apskaičiavimas vadinamas kubo šaknies ištraukimu, šis veiksmas aptariamas straipsnyje šaknų ištraukimas: metodai, pavyzdžiai, sprendimai.
Apibendrinant šį teiginį, tarkime, kad skaičiaus a kubinė šaknis yra x 3 =a formos sprendinys.
n-oji šaknis, n laipsnio aritmetinė šaknis
Apibendrinkime skaičiaus šaknies sąvoką – pristatome n-osios šaknies apibrėžimas už n.
Apibrėžimas
n-oji a šaknis yra skaičius, kurio n-oji laipsnis yra lygus a.
Nuo šis apibrėžimas aišku, kad skaičiaus a pirmojo laipsnio šaknis yra pats skaičius a, nes tirdami laipsnį su natūraliuoju laipsniu ėmėme 1 =a.
Aukščiau apžvelgėme specialius n-osios šaknies atvejus, kai n=2 ir n=3 – kvadratinė ir kubinė šaknis. Tai reiškia, kad kvadratinė šaknis yra antrojo laipsnio šaknis, o kubo šaknis yra trečiojo laipsnio šaknis. Norint ištirti n-ojo laipsnio šaknis, kai n=4, 5, 6, ..., patogu jas suskirstyti į dvi grupes: pirmoji grupė - lyginių laipsnių šaknis (tai yra, kai n = 4, 6, 8 , ...), antroji grupė – šaknys nelyginiais laipsniais (tai yra, kai n=5, 7, 9, ...). Taip yra dėl to, kad lygių galių šaknys yra panašios kvadratinė šaknis, o nelyginių galių šaknys – kubinės. Susitvarkykime su jais po vieną.
Pradėkime nuo šaknų, kurių galios yra lyginiai skaičiai 4, 6, 8, ... Kaip minėjome, jie panašūs į skaičiaus a kvadratinę šaknį. Tai yra, bet kurio lyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja tik neneigiamam a. Be to, jei a=0, tai a šaknis yra unikali ir lygi nuliui, o jei a>0, tai yra dvi skaičiaus a lyginio laipsnio šaknys ir jos yra priešingi skaičiai.
Pagrįskime paskutinį teiginį. Tegul b yra lyginė skaičiaus a šaknis (žymime 2·m, kur m yra koks nors natūralusis skaičius). Tarkime, kad yra skaičius c – kita 2·m laipsnio šaknis nuo skaičiaus a. Tada b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Bet mes žinome formą b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), tada (b–c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Iš šios lygybės išplaukia, kad b−c=0, arba b+c=0, arba b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Pirmosios dvi lygybės reiškia, kad skaičiai b ir c yra lygūs arba b ir c yra priešingi. Ir paskutinė lygybė galioja tik b=c=0, nes jos kairėje pusėje yra išraiška, kuri yra neneigiama bet kuriam b ir c kaip neneigiamų skaičių suma.
Kalbant apie nelyginio n laipsnio n-ojo laipsnio šaknis, jos yra panašios į kubo šaknį. Tai yra, bet kurio nelyginio skaičiaus a laipsnio šaknis egzistuoja bet kuriam realiajam skaičiui a, o tam tikram skaičiui a ji yra unikali.
Skaičiaus a 2·m+1 nelyginio laipsnio šaknies unikalumas įrodomas pagal analogiją su a kubinės šaknies unikalumo įrodymu. Tik čia vietoj lygybės a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) naudojama b 2 m+1 −c 2 m+1 = formos lygybė (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m). Išraiška paskutiniame skliaustelyje gali būti perrašyta kaip b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Pavyzdžiui, su m=2 turime b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b–c)·(b 4 +c 4 +b · c · (b 2 +c 2 +b · c)). Kai a ir b yra teigiami arba abu neigiami, jų sandauga yra teigiamas skaičius, tada pati išraiška b 2 +c 2 +b·c skliausteliuose aukštas laipsnis lizdas, yra teigiamas kaip teigiamų skaičių suma. Dabar, nuosekliai pereinant prie ankstesnių įdėjimo laipsnių skliausteliuose esančių išraiškų, esame įsitikinę, kad jos taip pat yra teigiamos kaip teigiamų skaičių suma. Dėl to gauname lygybę b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b–c)·(b 2·m +b 2·m–1 ·c+b 2·m–2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 galima tik tada, kai b−c=0, tai yra, kai skaičius b lygus skaičiui c.
Atėjo laikas suprasti n-ųjų šaknų žymėjimą. Šiuo tikslu ji yra suteikta n-ojo laipsnio aritmetinės šaknies apibrėžimas.
Apibrėžimas
Neneigiamo skaičiaus n-ojo laipsnio aritmetinė šaknis a yra neneigiamas skaičius, kurio n-asis laipsnis yra lygus a.
