Klass: 8a Ämne: Algebra
Lektionens ämne: Multiplikation och division algebraiska bråk. Att höja en algebraisk bråkdel till en potens.
Mål: kom ihåg reglerna för att multiplicera och dividera bråk; förklara reglerna för multiplikation och division av algebraiska bråk; lära sig att utföra multiplikation och division av algebraiska bråk; att bilda förmågan att utföra handlingar med algebraiska bråk.
Lektionsform: lektion lära nytt material.
Undervisningsmetod: problematiskt, med ett oberoende sökande efter en lösning.
Utrustning: Dator, projektor.
Under lektionerna
Lektionen genomförs med hjälp av en datorpresentation.
jag. Lektionsorganisation.
jag. Uppdatering grundläggande kunskap för att förbereda sig för studiet av ett nytt ämne.
Oralt:
(Svaren visas med hjälp av en dator.)
1. Multiplicera:
2. Minska fraktion:
3. Multiplicera bråk:
Vad heter dessa nummer? (Ömsesidiga siffror)
Hitta den reciproka av ett tal
Vilka två tal kallas reciproka? (Två nummer kallas reciproka om deras produkt är 1.)
Hitta det ömsesidiga:
Dela bråk:
Vi uttalar reglerna för att multiplicera och dividera vanliga bråk. 
ΙΙΙ. Nytt ämne
Med hänvisning till affischen säger läraren: a, b, c, d- i det här fallet tal. Och om dessa är algebraiska uttryck, vad kallas sådana bråk? (Algebraiska bråk)
Reglerna för deras multiplikation och division förblir desamma.
Kör åtgärder:
De första och andra exemplen var för sig, följt av att eleverna skriver lösningen på tavlan. Läraren visar lösningen av det tredje exemplet på svarta tavlan.
ΙV. Förankring
1) Arbeta med problemboken: nr 5.4 (a, c), nr 5.7 (a, c), nr 5.12 (a, c)
2) Arbeta i par på kort:
(Beslut och svar reflekteras genom projektorn.)
V. Sammanfattning av lektionen
nr 5.16 (a, c) och 5.19 (a, c) - om det finns tid kvar
VI. Läxa
nr 5,8; nr 5,10; nr 5.13(a,b).
I den här artikeln fortsätter vi vår studie av de grundläggande operationerna som kan utföras med algebraiska bråk. Här kommer vi att överväga multiplikation och division: först härleder vi rätt regler, och illustrera dem sedan med problemlösningar.
Hur man dividerar och multiplicerar algebraiska bråk på rätt sätt
För att utföra multiplikationen av algebraiska bråk, eller för att dividera en bråkdel med en annan, måste vi använda samma regler som för vanliga bråk. Låt oss ta en titt på deras formuleringar.
När vi behöver multiplicera en vanlig bråkdelå andra sidan utför vi separat multiplikationen av täljare och separata nämnare, varefter vi skriver ner den slutliga bråkdelen och sätter motsvarande produkter på sina ställen. Ett exempel på en sådan beräkning:
2 3 4 7 = 2 4 3 7 = 8 21
Och när vi behöver dividera vanliga bråk, gör vi detta genom att multiplicera med divisorns reciproka, till exempel:
2 3: 7 11 = 2 3 11 7 = 22 7 = 1 1 21
Multiplikation och division av algebraiska bråk följer samma principer. Låt oss formulera regeln:
Definition 1
För att multiplicera två eller flera algebraiska bråk, måste du multiplicera täljarna och nämnarna separat. Resultatet blir ett bråk, vars täljare kommer att vara produkten av täljarna, och nämnaren kommer att vara produkten av nämnarna.
I bokstavlig form kan regeln skrivas som a b · c d = a · c b · d. Här a, b, c och d kommer att vara vissa polynom, och b och d kan inte vara null.
Definition 2
För att dividera en algebraisk bråkdel med en annan, måste du multiplicera den första bråkdelen med den andras reciproka.
Denna regel kan också skrivas som a b: c d = a b d c = a d b c . Bokstäverna a, b, c och d här beteckna polynom, varav a , b , c och d kan inte vara null.
Låt oss uppehålla oss separat vid vad en invers algebraisk bråkdel är. Det är ett bråktal som, när det multipliceras med originalet, ger en enhet som resultat. Det vill säga att sådana bråk kommer att likna ömsesidigt ömsesidiga tal. Annars kan vi säga att den inversa algebraiska bråkdelen består av samma värden som den ursprungliga, men täljaren och nämnaren är omvända. Så, i förhållande till bråket a b + 1 a 3, kommer bråket a 3 a b + 1 att vara inverst.
Lösa problem om multiplikation och division av algebraiska bråk
I det här stycket kommer vi att se hur man korrekt tillämpar ovanstående regler i praktiken. Låt oss börja med ett enkelt och illustrativt exempel.
Exempel 1
Skick: multiplicera bråket 1 x + y med 3 x y x 2 + 5, och dividera sedan en bråkdel med en annan.
Lösning
Låt oss göra multiplikationen först. Enligt regeln måste du separat multiplicera täljare och nämnare:
1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 1 3 x y (x + y) (x 2 + 5)
Vi har fått ett nytt polynom, som måste föras till standardformen. Vi avslutar beräkningarna:
1 3 x y (x + y) (x 2 + 5) = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y
Låt oss nu se hur man korrekt delar en bråkdel med en annan. Enligt regeln måste vi ersätta denna åtgärd genom att multiplicera med den reciproka x 2 + 5 3 x y:
1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = 1 x + y x 2 + 5 3 x y
Vi tar den resulterande fraktionen till standardformen:
1 x + y x 2 + 5 3 x y = 1 x 2 + 5 (x + y) 3 x y = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2
Svar: 1 x + y 3 x y x 2 + 5 = 3 x y x 3 + 5 x + x 2 y + 5 y; 1 x + y: 3 x y x 2 + 5 = x 2 + 5 3 x 2 y + 3 x y 2 .
Ganska ofta, i processen att dividera och multiplicera vanliga fraktioner, erhålls resultat som kan reduceras, till exempel 2 9 3 8 \u003d 6 72 \u003d 1 12. När vi utför dessa operationer på algebraiska bråk kan vi också få reducerbara resultat. För att göra detta är det användbart att först dekomponera täljaren och nämnaren för det ursprungliga polynomet i separata faktorer. Om det behövs, läs artikeln igen om hur du gör det på rätt sätt. Låt oss titta på ett exempel på ett problem där det kommer att vara nödvändigt att utföra reduktionen av fraktioner.
Exempel 2
Skick: multiplicera bråken x 2 + 2 x + 1 18 x 3 och 6 x x 2 - 1.
Lösning
Innan vi beräknar produkten delar vi upp täljaren för den första initiala fraktionen och nämnaren för den andra i separata faktorer. För att göra detta behöver vi formler för förkortad multiplikation. Vi beräknar:
x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1
Vi har en bråkdel som kan reduceras:
x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = x + 1 3 x 2 (x - 1)
Vi skrev om hur detta går till i en artikel om reduktion av algebraiska bråk.
Genom att multiplicera monomet och polynomet i nämnaren får vi resultatet vi behöver:
x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2
Här är en utskrift av hela lösningen utan förklaring:
x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 2 18 x 3 6 x (x - 1) (x + 1) = x + 1 2 6 x 18 x 3 x - 1 x + 1 = = x + 1 3 x 2 (x - 1) = x + 1 3 x 3 - 3 x 2
Svar: x 2 + 2 x + 1 18 x 3 6 x x 2 - 1 = x + 1 3 x 3 - 3 x 2 .
I vissa fall är det bekvämt att transformera de ursprungliga bråken innan du multiplicerar eller dividerar så att ytterligare beräkningar blir snabbare och enklare.
Exempel 3
Skick: dividera 2 1 7 x - 1 med 12 x 7 - x .
Lösning: Låt oss börja med att förenkla den algebraiska bråkdelen 2 1 7 · x - 1 för att bli av med bråkkoefficienten. För att göra detta multiplicerar vi båda delarna av fraktionen med sju (denna åtgärd är möjlig på grund av den algebraiska fraktionens huvudegenskap). Som ett resultat kommer vi att få följande:
2 1 7 x - 1 = 7 2 7 1 7 x - 1 = 14 x - 7
Vi ser att nämnaren för bråket 12 x 7 - x, med vilket vi måste dividera det första bråket, och nämnaren för det resulterande bråket är uttryck som är motsatta varandra. Genom att ändra tecknen på täljaren och nämnaren 12 x 7 - x får vi 12 x 7 - x \u003d - 12 x x - 7.
Efter alla transformationer kan vi äntligen gå direkt till divisionen av algebraiska bråk:
2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = 14 x - 7: - 12 x x - 7 = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = 14 x - 7 x - 7 - 12 x = = 14 - 12 x = 2 7 - 2 2 3 x = 7 - 6 x = - 7 6 x
Svar: 2 1 7 x - 1: 12 x 7 - x = - 7 6 x .
Hur man multiplicerar eller dividerar en algebraisk bråkdel med ett polynom
För att utföra en sådan åtgärd kan vi använda samma regler som vi gav ovan. Först måste du representera polynomet som en algebraisk bråkdel med en enhet i nämnaren. Denna åtgärd liknar transformationen naturligt nummer till en vanlig bråkdel. Till exempel kan man ersätta polynomet x 2 + x − 4 på x 2 + x − 4 1. De resulterande uttrycken kommer att vara identiskt lika.
Exempel 4
Skick: dividera den algebraiska bråkdelen med polynomet x + 4 5 x x y: x 2 - 16 .
Lösning
x + 4 5 x y: x 2 - 16 = x + 4 5 x y: x 2 - 16 1 = x + 4 5 x y 1 x 2 - 16 = = x + 4 5 x y 1 (x - 4) x + 4 = (x + 4) 1 5 x y (x - 4) (x + 4) = 1 5 x y x - 4 = = 1 5 x 2 y - 20 x y
Svar: x + 4 5 x y: x 2 - 16 = 1 5 x 2 y - 20 x y .
Om du märker ett fel i texten, markera det och tryck på Ctrl+Enter
Ämne: Multiplikation och division av algebraiska bråk
Utbildning är det som finns kvar när allt man lärt sig redan är glömt.
Laue
Mål:
Pedagogisk:
fixa ZUN på ämnet
genomföra primär strömkontroll av kunskap
arbeta på luckorna
Utvecklande:
bidra till utvecklingen av kommunikativ kompetens, d.v.s. förmågan att arbeta effektivt med andra.
främja utvecklingen av kooperativ kompetens, d.v.s. förmåga att arbeta i par.
bidra till utveckling av problemlösningskompetens, d.v.s. förmågan att förstå det oundvikliga av svårigheter under loppet av någon aktivitet.
Pedagogisk:
att ingjuta förmågan att adekvat utvärdera det arbete som utförs av en vän;
när man arbetar i par, att odla egenskaperna hos ömsesidig hjälp, stöd.
Metodisk:
skapande av förutsättningar för manifestation av individualitet, kognitiv aktivitet hos elever;
visa lektionens metodik med utformningen av resultaten lärandeaktiviteter och metoder för deras forskning på grundval av kompetensbaserad ansats.
Utrustning: tavla, färgad krita. Tabell "Multiplikation och division av algebraiska fraktioner"; kort för enskilt arbete, minneskort. Gratis minutuppgift.
Under lektionerna
Att organisera tid
Lektionsplanen är skriven på tavlan:
Munträning.
Enskilt arbete.
Problemlösning.
Pararbete.
Sammanfattning av lektionen.
Läxa.
Lärare: I gamla dagar i Ryssland trodde man att om en person var bevandrad i matematik, så betydde detta högsta graden inlärning. Och förmågan att se och höra korrekt är det första steget till visdom. Jag vill att alla elever i din klass idag ska visa hur kloka de är och hur välbevandrade människor är i algebra i årskurs 7.
Så, ämnet för lektionen är "Multiplikation och division av algebraiska bråk" I den förra lektionen började du studera detta ämne, och vi diskuterade varför vi studerar det. Låt oss komma ihåg var det kommer att vara praktiskt om några lektioner.
Studenter: För gemensamma handlingar med algebraiska bråk, för att lösa ekvationer, och därmed problem.
Lärare: Även i gamla dagar i Rus sa man att multiplikation är plåga och division är problem. Alla som snabbt och exakt kunde multiplicera och dividera ansågs vara en stor matematiker.
Vilka mål kommer du att sätta upp för dig själv?
Studenter: Fortsätt att studera ämnet, lär dig att snabbt och exakt multiplicera och dividera.
Lärare: För att uppnå våra mål, vi (öppnar planen skriven på tavlan, uttalar den)
1. Oral uppvärmning: (under denna tid löser 3 - 4 personer simulatorn för att reducera bråk i par) faktorisera genom att fylla i luckorna
1= (y-1) (...), 5a+5b=... (a+b), xy-x=x (...), 14-2x=...
minska andelen
Bråk, bråk, bråk beat skär dem inte skona.
hitta felet som gjordes när du multiplicerade och dividerade algebraiska bråk
Lärare: Var är felet? Varför görs felet? Vilken regel kände inte eleven till? Vad visste du? Hur gör man det rätt?
2. Arbeta i en anteckningsbok, № från läroboken 488 (1) Analys, lösning, verifiering.
Lärare: Och nu kommer du att få möjlighet att visa dina kunskaper när du gör provet, och för att inspirera dig till att arbeta kommer jag att läsa ramsan "Så att läraren skriver" 5 "i din dagbok, lyckas multiplicera täljaren med täljaren i ett ögonblick, och så att läraren är nöjd med dig, multiplicerar du den första nämnaren med den andra "
Självkontroll, ömsesidig kontroll. Enligt kriterierna (upplagt på tavlan) B-1 (321), B-2 (132) enligt rätt koder, bedömning i par. initialt resultat. Uppskattningar.
Arbeta med misstag i par "elev-lärare"
Om det inte finns några misstag i par gör de uppgiften på en ledig minut.
Förenkla uttrycket och hitta dess värde när
5. Sammanfattning av lektionen
Som avslutning på lektionen skulle jag vilja fråga dig vilken typ av arbete som orsakade dig svårigheter? Varför tror du? Vad lärde du dig nytt? Vem av er är nöjd med ert arbete i klassrummet? Tror du att de mål som sattes upp i början av lektionen har uppnåtts?
Lärare: Jag skulle vilja avsluta lektionen med orden från den franske ingenjör-fysikern Laue: "Utbildning är det som finns kvar när allt som lärts redan har glömts"
Jag hoppas att du inte kommer att glömma detta material, så att detta inte händer, måste du fylla i d / z nr 486,487,488 till och med.
Exempel.
Hitta produkten av algebraiska bråk och.
Lösning.
Innan vi utför multiplikationen av bråk, faktoriserar vi polynomet i täljaren för det första bråket och nämnaren för det andra. Motsvarande förkortade multiplikationsformler hjälper oss med detta: x 2 +2 x+1=(x+1) 2 och x 2 −1=(x−1) (x+1) . På det här sättet, .
Uppenbarligen kan den resulterande fraktionen reduceras 
(vi diskuterade denna process i artikeln om reduktion av algebraiska fraktioner).
Det återstår bara att skriva resultatet i form av en algebraisk bråkdel, för vilken du måste multiplicera monomet med polynomet i nämnaren: 
.
Vanligtvis skrivs lösningen utan förklaring som en sekvens av likheter: 
Svar:
.
Ibland med algebraiska bråk som behöver multipliceras eller divideras, bör vissa transformationer utföras för att göra implementeringen av dessa operationer enklare och snabbare.
Exempel.
Dividera en algebraisk bråkdel med en bråkdel.
Lösning.
Låt oss förenkla formen av en algebraisk bråkdel genom att bli av med bråkkoefficienten. För att göra detta multiplicerar vi dess täljare och nämnare med 7, vilket gör att vi kan göra huvudegenskapen för en algebraisk bråkdel, vi har 
.
Nu har det blivit klart att nämnaren för det resulterande bråket och nämnaren för bråket som vi behöver dividera med är motsatta uttryck. Ändra tecknen på täljaren och nämnaren för bråket , vi har 
.
I den här artikeln ska vi titta på grundläggande operationer med algebraiska bråk:
- bråkreduktion
- multiplikation av bråk
- division av bråk
Låt oss börja med förkortningar av algebraiska bråk.
Det verkar som, algoritm uppenbar.
Till minska algebraiska bråk, behöver
1. Faktorisera täljaren och nämnaren för ett bråk.
2. Minska samma multiplikatorer.
Men skolbarn gör ofta misstaget att "minska" inte faktorerna, utan villkoren. Till exempel finns det amatörer som "minskar" med i bråkdelar och får som ett resultat, vilket naturligtvis inte är sant.
Tänk på exempel:
1.
Minska fraktion: 
1. Vi faktorisera täljaren enligt formeln för kvadraten på summan och nämnaren enligt formeln för skillnaden mellan kvadrater
2. Dividera täljaren och nämnaren med
2.
Minska fraktion: 
1. Faktorisera täljaren. Eftersom täljaren innehåller fyra termer tillämpar vi grupperingen.
2. Faktorisera nämnaren. Detsamma gäller för gruppering.
3. Låt oss skriva ner bråket som vi fick och reducera samma faktorer:
Multiplikation av algebraiska bråk.
När vi multiplicerar algebraiska bråk, multiplicerar vi täljaren med täljaren, och vi multiplicerar nämnaren med nämnaren.
Viktig! Du behöver inte skynda dig att utföra multiplikation i täljaren och nämnaren för ett bråk. Efter att vi har skrivit produkten av täljarna av bråk i täljaren, och produkten av nämnare i nämnaren, måste vi faktorisera varje faktor och reducera bråket.
Tänk på exempel:
3. Förenkla uttrycket:
1. Låt oss skriva produkten av bråk: i täljaren produkten av täljarna, och i nämnaren produkten av nämnarna:
2. Vi faktoriserar varje parentes:
Nu måste vi minska samma multiplikatorer. Observera att uttrycken och endast skiljer sig i tecken: 
och som ett resultat av att dividera det första uttrycket med det andra får vi -1.
Så, 
Vi utför divisionen av algebraiska bråk enligt följande regel:
Det är För att dividera med en bråkdel måste du multiplicera med den "omvända".
Vi ser att divisionen av bråk reduceras till multiplikation, och multiplikation slutligen kokar ner till reduktion av fraktioner.
Tänk på ett exempel:
4. Förenkla uttrycket:
