De rätta skrevs på tavlan. Problemlösningar

Quest källa: Beslut 3754. ANVÄNDNING 2016. Matematik, I. V. Yashchenko. 30 alternativ för typiska testobjekt.

Uppgift 19. På tavlan skrevs 20 naturliga tal (inte nödvändigtvis olika), som vart och ett inte överstiger 40. Istället för några av talen (eventuellt ett) skrev de tal på tavlan som är mindre än de ursprungliga etta efter ett. Siffrorna, som efter det visade sig vara lika med 0, raderades från tavlan.

a) Kan det vara så att det aritmetiska medelvärdet av siffrorna på tavlan ökade?

b) Det aritmetiska medelvärdet av de ursprungligen skrivna talen var lika med 27. Kan det aritmetiska medelvärdet av talen som finns kvar på tavlan vara lika med 34?

c) Det aritmetiska medelvärdet av de ursprungligen skrivna talen var 27. Hitta det största möjliga värdet av det aritmetiska medelvärdet av de tal som finns kvar på tavlan.

Lösning.

a) Ja, kanske, till exempel, om du tar 19 siffror lika med 10, och 20 är lika med 1, så efter att ha minskat 20-talet med 1, blir det lika med 0 och medelvärdet är inte längre 20 siffror, utan 19 , då har vi:

Inledande medelvärde:;

Medelvärde efter förändring: .

Som du kan se har det andra medelvärdet blivit större än det initiala.

b) Anta att för att uppfylla detta villkor måste du ta enheter, sedan ta nummer och ett nummer, totalt 20 nummer. Deras aritmetiska medelvärde kommer att vara

,

och efter radering enheter bör få

,

det vill säga vi har ett ekvationssystem:

Om vi ​​subtraherar den andra från den första ekvationen får vi:

För att uppfylla villkoret i detta stycke måste du alltså ta ett bråktal av siffror, vilket är omöjligt inom ramen för denna uppgift.

Svar: Nej.

v) För att få det maximala genomsnittet av siffrorna som finns kvar på tavlan måste du först skriva ner en uppsättning nummer som består av det största antalet ettor (som då kommer att raderas från tavlan), och resten av siffrorna måste vara maximal. Vi skriver detta villkor i formuläret

,

var är antalet enheter; - 20:e siffran (det är valt så att det ger ett genomsnitt på 27). Därför har vi:

Från det resulterande uttrycket kan det ses att det lägsta värdet vid vilket vi får det maximala värdet. Vi har alltså en talföljd, vars summa är

Inget att göra.

Uppgiften är ett skämt. Ira lånade 100 rubel av sin mamma, men förlorade dem. Sedan lånade jag 50 rubel av en vän. För 20 s. köpte pajer, och de återstående 30 rubel. återvände till mamma. Det visar sig att hon är skyldig sin mamma 70 rubel. plus 50 s. vän, bara 120 rubel, plus 20 rubel, som jag spenderade på pajer. Totalt 140 rubel, men totalt måste hon returnera 150 rubel. Fråga: var annars är 10 rubel?

Lösning. Ira förlorade och spenderade 100 + 20 = 120 rubel. Och jag måste returnera exakt dessa pengar: till mamma 100 - 30 = 70 rubel. och flickvän 50 s. Och alla andra beräkningar från den onde.

1.7. Multiplikation. Lagarna för multiplikation

1.8. distributionslag

V Avsnitt 1.7 introducerar konceptet med en produkt av två tal med exemplet med produkten av siffrorna 3 och 4. Observera att denna produkt är summan av tre termer, som var och en är lika med 4, det vill säga 3 ∙ 4 = 4 + 4 + 4. Detta är nödvändigt så att ytterligare under 3 ∙ a förstå summan a + a + a. För alla tal a anses likheten 1 ∙ a = a sann.

Denna inställning till definitionen av ett verk verkar obekväm, eftersom de i grundskolan säger att 3 ∙ 4 är 3 + 3 + 3 + 3 (ta 3 4 gånger). Men denna till synes olägenhet elimineras redan i den allra första lektionen, så snart det visas att multiplikationslagens förskjutningslag är giltig.

Rörelse- och kombinationslagarna för multiplikation förklaras när man beräknar antalet kvadrater och antalet kuber.

För alla tal a anses likheterna 0 ∙ a = 0, a ∙ 0 = 0. Dessutom är likheten 0 ∙ 0 = 0 sann.

V Punkt 1.8 förklarar fördelningslagen vid beräkning av antalet kvadrater, visar tillämpningen av fördelningslagen på öppna parenteser och tar ut den gemensamma faktorn ur parentes.

När man studerar alla tre lagarna bör skolbarn läras att skriva lagar med bokstäver som betecknar godtyckliga siffror och att memorera lagarnas formuleringar. Detta hjälper utvecklingen av tydligt matematiskt tal, ger

elevernas "talmallar" för muntliga svar.

Här och nedan bör eleverna dras till fördelarna i beräkningshastigheten som den som besitter de inlärda lagarna har. Läraren skapar alltså en intra-ämnesmotivation som kommer från ämnet (och inte utifrån) till lärande.

RT. Genom att använda uppgifterna 66–70 i den första lektionen kan du upprepa multiplikationstabellen, uppmärksamma eleverna på paren av faktorer som ger 10, 100, 1000, etc. i multiplikation. Uppgifterna 71–76 syftar till att öva på tillämpning av de studerade lagarna.

Beslut och kommentarer

90. a) Siffran 12 ökades först med 2 gånger, det erhållna resultatet ökades med 3 gånger. Vad är resultatet?

b) Vi tänkte på en siffra, ökade den 3 gånger, resultatet ökades 4 gånger. Hur många gånger ökade antalet som ett resultat?

Lösning. a) 12 ∙ 2 = 24, 24 ∙ 3 = 72, resultatet är 72.

Här är det lämpligt att fråga eleverna: hur många gånger har siffran 12 ökat på 2 gånger. Svaret kan erhållas med hjälp av kombinationslagen för multiplikation: (12 ∙ 2) ∙ 3 = 12 ∙ (2 ∙ 3) = 12 ∙ 6 - talet 12 ökade med 6 gånger på 2 gånger. Detta svar kommer att förbereda eleverna att lösa 90b-problemet på egen hand.

b) För det första kan problemet lösas för ett specifikt tänkt nummer, till exempel 2 eller 3. Det visar sig att i båda fallen har det tänkta antalet ökat 12 gånger. För att visa att svaret i detta problem egentligen inte beror på valet av det tänkta numret, betecknar vi det tänkta numret med bokstaven a. Sedan (a ∙ 3) ∙ 4 = a ∙ (3 ∙ 4) = a ∙ 12 - talet a i 2 gånger ökat med 12 gånger.

91. Vilka lagar används i följande beräkningar:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600?

a) Beräkna: 20 ∙ 50.

Lösning. Båda lagarna för multiplikation användes: förskjutning och kombination. Observera att ovanstående tillämpning av dessa lagar inte visas i detalj, till exempel så här:

20 ∙ 30 = (2 ∙ 10) ∙ (3 ∙ 10) = ((2 ∙ 10) ∙ 3) ∙ 10 = (2 ∙ (10 ∙3)) ∙ 10 = = 2 ∙ (3 ∙ 10) ∙ 10 = ((2 ∙ 3) ∙ 10) ∙ 10 = (2 ∙ 3) ∙ (10 ∙ 10) = 6 ∙ 100 = 600,

eftersom eleverna ännu inte har motivationen att vara noggranna när de konverterar numeriska uttryck. Men när du utför följande uppgifter kan du inte kräva en sådan ofullständig registrering av lösningar, som ges ovan. Lösningen kan skrivas kort: a) 20 ∙ 50 = 1000.

(27 + 73) = 356 100 + 644 100 = (356 + 644) 100 = 1000 100 =100 000.

Mellanstyrning. DM. C – 2.

1.9. Kolumnaddition och subtraktion av tal

1.10. Multiplikation av tal med en kolumn

Syftet med dessa punkter är att demonstrera för eleverna hur lagarna för addition och multiplikation, distributionslagen, används när man adderar, subtraherar och multiplicerar flersiffriga tal i en kolumn. Detta innebär inte att eleverna själva ska göra liknande motiveringar, men det skulle vara till hjälp för dem att lägga märke till att korrektheten i de kolumnära beräkningarna följer av riktigheten i lagarna för addition och multiplikation.

Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt riktigheten av att signera multiplikatorer under varandra, vars post slutar med nollor.

Från och med denna tidpunkt ingår beräkningar i en kolumn i femteklassares beräkningspraxis, men det är nödvändigt att uppmärksamma eleverna på att ibland kan beräkningar med flersiffriga tal vara lättare att utföra utan en kolumn om du märker par av tal som ger "runda" summor (uppgift 135); eller om du märker att den gemensamma faktorn kan tas ur parentesen (uppgift 144). Det är nödvändigt att på alla möjliga sätt utveckla och stödja skolbarns önskan att beräkna ekonomiskt, och för detta, som vi redan har noterat, måste de vara observanta

och besittning av den studerade teorin.

V i framtiden bör önskan att spara tid i beräkningar bli ett incitament för utvecklingen av observation, liksom för

bildandet av idén att kunskap om många teoretiska uppgifter kan förenkla lösningen av problemet.

RT. Användningen av uppgifter77, 78 i den första lektionen om addition och subtraktion i en kolumn kommer att intensifiera inlärningsprocessen, eftersom eleverna bara behöver skriva in svaren i de redan nedskrivna kolumnerna. Uppgift 79 förbereder dem för uppgift 80 och uppgifter 133 och 134 från läroboken. Uppgift 81 utförs i början av studiet av kolumnmultiplikation, medan det är nödvändigt att uppmärksamma eleverna på inspelningen av multiplikatorerna. Uppgift 82 ägnas åt att lösa pussel.

Beslut och kommentarer

133. Korrekt utförda exempel på addition och subtraktion skrevs på tavlan, sedan raderades några siffror och ersattes med bokstäver. Skriv om exemplen och ersätt bokstäver med siffror så att du får rätt inmatningar igen:

Härefter kan eleverna få svar genom att välja ett lämpligt antal och kontrollera svarets riktighet, men det blir bättre om tavlan ger exempel på resonemang: för att få 8, lägg till 5 till 3 (exempel "a") osv.

Svar. a) 725 + 173 = 898, b) 952 - 664 = 288, c) 502 + 879 = 1381;

d) 1456 - 568 = 888.

134. Rekonstruera exemplen och anta att samma bokstäver betyder samma siffror och olika bokstäver betyder olika siffror:

linjär sökalgoritm för svaret. Vid varje steg ger han en enda mening till bokstaven.

1) Summan av två fyrsiffriga tal är ett femsiffrigt tal. Därav, d

1, dvs.

1raka 2) Summan p + p är ett tal som slutar på en jämn siffra, dvs a - jämn

tal, men då (se platsen för hundratals av summan) a = 2, dvs.

1p2k2 3) Summan p + p är ett tal som slutar på 2, detta är endast möjligt i två

fall: p = 1 eller p = 6. Men siffran 1 finns redan (olika bokstäver motsvarar olika siffror), därför är p = 6, d.v.s.

162k2 4) Thenak = 5, y = 8, dvs.

Exempel "c" har återställts, och alla siffror hittades entydigt.

d) Denna uppgift är mer komplicerad, när den utförs, implementeras en förgreningsalgoritm för att hitta ett svar. I något steg ger det inte den enda betydelsen för bokstaven. Svårigheten ligger i att komma ihåg att slutföra resonemanget för varje gren av algoritmen.

1) Summan av två sexsiffriga tal är därför ett sjusiffrigt tal och =

2) Summan b + b slutar på en jämn siffra, d.v.s. e är ett jämnt tal, på tio + l-platsen är ett tal som slutar på en jämn siffra. För att få talet 1 på tiotalets plats för summan är det nödvändigt att det är ≥ 5 eller = 0 eller = 5.

3) Om l = 0, dvs.

toa = 5, dvs. e.

1sde01e Men sedan på tusende plats slutar summorna + m + 1 på ett udda tal, d.v.s.

Ett udda tal, men ovan fastställdes att e är ett jämnt tal. Den resulterande motsägelsen betyder att 0. Därför är η = 5.

4) Eftersom l = 5, dvs. e.

1sde51e i stället för hundra slutar summan a + a + 1 på 5. Detta är möjligt i två fall:

a = 2 eller a = 7. Men för a = 7 i stället för tusentals är talet udda, vilket är omöjligt, eftersom det fastställdes ovan att e är ett jämnt tal. Därför är a ≠ 7. Därför är a = 2.

5) Eftersom a = 2, dvs.

1sde51e och eftersom e är ett jämnt tal, kan det inte vara noll (om e = 0, då är b = 0 eller = 5,

vilket är omöjligt, eftersom det redan har fastställts att b ≥ 5, och siffran 5 redan existerar). Siffran 2 finns redan, därför ≠ 2. Därför återstår det att överväga tre möjliga fall: e = 4, e = 6,

e = 8.

6) Om e = 4, då är b = 7, då (se tusenplatsen) m = 2 eller m = 7, vilket är omöjligt, eftersom talen 2 och 7 redan finns där.

7) Om e = 6, då i stället för tiotusentals av summan d = 3 (eftersom talet 2 redan är

är), men då blir summan inte ett sjusiffrigt tal, vilket är omöjligt. Därför är e = 8.

8) Eftersom f = 8, då är b = 9, m = 4, q = 6, s = 3, d.v.s. e.

Exempel "d" har återställts, och alla siffror har hittats entydigt. Att visa lösningar på exemplen "c" och "d" på en tavla är lättare än att publicera

bok, eftersom i fallet med en linjär algoritm, med hjälp av en trasa och krita, kan du gradvis ersätta bokstäver med siffror och från detta exempel med bokstäver kan du få önskat exempel med siffror. Och i fallet med en grenalgoritm är det nödvändigt att lämna på styrelsen alla alternativ som inte helt övervägs. Schemat för algoritmen som implementeras vid lösning av uppgift d) kan avbildas enligt följande:

Naturligtvis kan eleverna bara hämta de nummer de behöver, men då är de inte säkra på att lösningen de har hittat är den enda.

135. a) Utför stegen: (5486 + 3578) + 1422.

Lösning. Här skulle jag vilja att, förutom möjligheten att tillämpa 2 gånger beräkningar i en kolumn, märkte en av eleverna att summan av de andra och tredje talen är "rund", så beräkningen kan enkelt utföras på en rad:

(5486 + 3578) + 1422 = 5486 + (3578 + 1422) = 5486 + 5000 = 10 486.

146. Produkten av fyra på varandra följande naturliga tal är lika med

3024. Hitta dessa nummer.

Lösning. Observera att bland de eftersökta fyra siffrorna finns det inget nummer 10 och nummer 5, eftersom om det fanns minst en av dessa faktorer, då skulle produkten sluta på noll. Det återstår att kontrollera: 1 ∙ 2 ∙ 3 ​​∙ 4 = 24, 6 ∙ 7 ∙ 8 ∙ 9 = 3024.

Svar. 6, 7, 8, 9.

1.11. Examen med naturlig exponent

Denna sats introducerar begreppet grad med naturlig exponent för fall n> 1 och n = 1. Eleverna måste behärska terminologin: grad, gradens bas (talet som vi höjer till en potens), exponent (visar graden till vilken vi höjer gradens bas), kvadrattal, kubtal och lär oss hur man beräknar grader.

RT. Det är tillrådligt att använda uppgifterna 83–86 i det inledande skedet av att studera materialet. När du studerar detta objekt kan du använda uppgifterna 87–90.

Lösningar och kommentarer

171. Bland de första fem naturliga talen finns två olika tal m

och n så att n m = m n. Hitta dessa siffror.

Lösning. Dessa siffror är 2 och 4. Ja, 24 = 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 = 16, 42 = 4 ∙ 4 = = 16,

dvs 24 = 42.

Svar. 2 och 4.

1.12. Hela divisionen

Denna sats introducerar begreppet hel division och motsvarande terminologi, förklarar varför ett naturligt tal eller noll inte kan delas med noll. Exempel på förenkling av indelning i vissa fall ges. Du bör vara uppmärksam på egenskapen hos kvoten, som ibland hjälper till att förenkla beräkningar (uppgift 186-187). När du till exempel delar ett tal med 5 kan du dela ut och

multiplicera divisorn med 2 och dividera den nya utdelningen med 10:

320: 5 = 640: 10 = 64.

Beviset för denna egenskap hos kvoten utfördes inte i läroboken. I lektionen räcker det att ge honom ett sådant exempel: "Låt oss bevisa att om 320: 5 = c, då (320 ∙ 2): (5 ∙ 2) = c, där c är ett naturligt tal".

För att göra detta multiplicerar vi c med 5 ∙ 2 och kontrollerar om resultatet är 320 ∙ 2. I det här fallet tar vi hänsyn till att eftersom 320: 5 = c, så är likheten c ∙ 5 = 320 sann.

c ∙ (5 ∙ 2) = (c ∙ 5) ∙ 2 = 320 ∙ 2.

Således är kvotens egenskap bevisad för kvoten 320: 5 och naturligt tal c.

Observera att om vi istället för 320 och 5 tar alla naturliga tal a och b så att likheten a: b = c är sann, och istället för 2 tar vi vilket naturligt tal d som helst, så får vi, med argument på liknande sätt, ett bevis på samma uttalande i allmän form:

a: b = (a ∙ c): (b ∙ c).

Vid denna tidpunkt väljs uppgifterna så att när du löser dem krävs inte uppdelning i en kolumn, vilket kommer att studeras i avsnitt 1.15.

RT. Det är tillrådligt att använda uppgifterna 91–93 i det inledande skedet av studien av division. De testar förståelsen av divisionsregeln (definitionen). Uppgifter 94–97 för beräkningar utan kolumn. Uppgift 98 för att hitta okända komponenter under multiplikation och division. Uppgifterna 99–107 för att testa förståelsen av komponenternas samband under multiplikation och division.

Beslut och kommentarer

188. Bevisa att om vart och ett av de naturliga talen a och b är delbart med ett naturligt tal c, så är likheten (a + b): c = a: c + b: c sann.

Lösning. Låt oss ge ett allmänt bevis. Eftersom vart och ett av de naturliga talen a och b är delbara med ett naturligt tal c, finns det naturliga tal a: c och b: c. Vi multiplicerar deras summa med c och transformerar den resulterande produkten med hjälp av distributionslagen och definitionen av kvoten (a: c är talet som, när det multipliceras med c, ger a, därför (a: c) ∙ c = a):

(a: c + b: c) ∙ c = (a: c) ∙ c + (b: c) ∙ c = a + b,

därför är likheten (a + b): c = a: c + b: c sann.

Om läraren tror att det allmänna beviset (i bokstäver) som eleverna ger i sin klass ännu inte är redo att uppfatta, är det bättre att citera det för ett specifikt fall, till exempel detta: (15+ 35): 5 = 15: 5 + 35: 5. Man bör dock inte utföra bevisningen med hjälp av beräkningar - se till att vänster och höger får samma svar (ett sådant "bevis" fungerar inte med bokstäver). Det är nödvändigt, om än på specifika siffror, att föra samma resonemang som i beviset i det allmänna fallet, detta kommer gradvis att lära eleverna att bevisa påståendena.

Mellanstyrning. DM. C – 3.

1.13. Lösa ordproblem med multiplikation och division

Vid det här laget fortsätter det tidigare påbörjade arbetet med att lära skolbarn att lösa problem med aritmetiska metoder. I utbildningstexten löses uppgifterna med förklaringar, men då och då är det nödvändigt att ge eleverna en instruktion: "Och den här uppgiften måste lösas med frågor." Särskild uppmärksamhet bör ägnas åt att vissa elever från grundskolan har förankrade missuppfattningar om valet av åtgärd för att lösa problemet. Om de stöter på frågan "hur mycket?" I problemtexten säger de att det är nödvändigt att subtrahera, etc. Därför måste uppgift 193 slutföras i klassrummet och se till att åtgärderna för att få svaret är rätt valda.

RT. Uppgift 108-117 kan användas i de första lektionerna i ämnet, lösa problem 108-112 med frågor och problem 113-117 med förklaringar. Lösningen av problem 118–137 innebär användning av alla studerade åtgärder.

Beslut och kommentarer

193. a) Varje vagn var lastad med 8 påsar potatis. Hur många vagnar lastade de 72 säckarna?

b) Några av de 40 påsarna var fyllda med strösocker. Det finns 10 tomma paket kvar. Hur många påsar hälldes strösocker i?

c) I syverkstaden finns 2 tygstycken, 60 m vardera. Hur många meter tyg finns kvar?

LÖSNINGAR PÅ PROBLEM

Allmänna anmärkningar om verifiering.

Kriterierna är skrivna utifrån lösningen "reducerad" på problemet.

Vid en ”annan” lösning ska andra kriterier tas fram i enlighet med de generella kraven för kriterierna.

1. Tanya gick för att köpa pennor och pennor. Efter att ha spenderat alla pengarna kunde hon köpa 6 pennor eller 12 pennor. Hon bestämde sig för att köpa båda lika med alla pengar. Hur många?

Svar: 4.

Lösning.

En penna är som två pennor, och en penna och penna är som tre pennor. Därför kan Tanya köpa 12:3 = 4 uppsättningar penna och penna.

Verifieringskriterier.

Baserat på ett specifikt sifferexempel: 1 poäng

2. Tvillingarna Anya, Manya och Tanya bakade tårtor till sin födelsedag. Om Anya och Manya hade bakat dubbelt så många kakor hade det totala antalet kakor ökat med 60 %. Hur många procent av kakorna bakade Tanya?

Lösning. Om Tanya dessutom bakat dubbelt så många kakor så hade alla kakor ökat med 100%. Ani och Manis andel är 60%, vilket betyder att andelen Tanya är 100% -60% = 40%.

Verifieringskriterier.

Inga rimliga framsteg, men det finns ett svar: 0 poäng

Ett specialfall beaktas: 1 poäng.

Det finns en åtgärd på 100% -60%, men ett antagande om Tanya görs inte: 2 poäng

3. Fyra naturliga tal skrevs på tavlan. Genom att lägga till dem på alla möjliga olika sätt på två, fick Petya följande sex summor: 17, 18, 20, 21, 23, 26. Bevisa att Petya gjorde ett misstag när han beräknade summorna.

Lösning. Summan av alla sex parvisa summor är 125. Vart och ett av talen som skrivits på tavlan ingår i denna summa tre gånger, vilket betyder att denna summa måste vara en multipel av 3, men 125 är inte delbart med 3.

Verifieringskriterier:

Hittade summan av alla parvisa summor lika med 125: 1 poäng.

Det anges att varje nummer används som en term tre gånger: 2 poäng.

Båda tidigare uttalandena görs: 3 poäng

Det märks att eftersom varje tal är en summa tre gånger, så bör summan vara delbar med 3, men slutsatsen att de kom till en motsägelse görs inte: 6 poäng.

Närvaron av alla detaljer i lösningen: 7 poäng.

Metod 2. Låt oss ordna de skrivna talen i icke-fallande ordning: a £ b £ c £ d. Sedan

a + b = 17, a + c = 18, b + d = 23, c + d = 26. 18 + 23 = a + b + c + d = 17 + 26. (eller 26–23 = c – b = 18–17) Vi fick en motsägelse, därför var det ett fel i beräkningarna.

Denna lösning presenteras för att visa det faktum att villkoret "naturliga tal" är överflödigt. Det är för att lära barn ett annat förhållningssätt till uppgiften (metoden för det extrema).

4. Petya har en 5 × 7 rektangel och en 1 × 1 kvadrat. Kan Petya skära den här rektangeln i 2 delar som inte är rektanglar, och sedan lägga till en 6 × 6 kvadrat från dessa två delar och denna 1 × 1 kvadrat? (Om möjligt ska det visas hur rektangeln skärs och hur kvadraten är gjord. Eller så ska det förklaras varför detta inte är möjligt.)

Svar. Kanske.

Flera rektangelsnitt och kvadratiska sammansättningar specificeras.

(Det finns också andra lösningar.)

Bild 1

Figur 2.

Figur 3

Figur 4.

Verifieringskriterier:

Om det finns skärning, men det finns bara en ritning, det vill säga det visas hur man monterar eller skär: 4 poäng.

5. Sex vänner: Andrey, Vitya, Borya, Sasha, Tolya och Gena, radade upp på rad i fallande ordning efter sin längd (ingen av dem har samma höjd). Sedan bytte Gena och Andrey plats, Borya och Vitya bytte också plats och slutligen bytte Sasha och Tolya plats. Det visade sig att nu är pojkarna i stigande ordning efter längd. Hitta den högsta bland pojkarna om det är känt att Borya är högre än Andrei och Gena, men lägre än Sasha.

Lösning... Eftersom killarna efter alla permutationer ställde upp i motsatt ordning var de längsta och minsta omvända (1). Detta par kan inte inkludera Andrey och Gena: de är båda lägre än Bori (2). Borya kan inte delta i detta par. Han är lägre än Sasha, men högre än Andrey, vilket betyder att han inte är den högsta och inte den lägsta (3). Det finns bara ett par kvar: Sasha och Tolya. Sasha är längre än Bory och kan inte vara den lägsta (4). Detta betyder att den högsta är Sasha, och den lägsta är Tolya.

Verifieringskriterier:

Endast rätt svar anges: 1 poäng.

Det finns det första påståendet (1): 2 poäng.

Det finns påståenden (1) och (2): 3 poäng.

Det finns påståenden (1) och (2) och (3): 6 poäng.

Alla påståenden finns där: 7 poäng.

6. Det finns 10 pjäser på en 1´20 remsa på 10 vänstra fält. En bricka kan flytta till en ledig cell intill höger eller hoppa över en bricka intill höger till nästa cell efter den, om denna cell är ledig. Vänsterrörelse är inte tillåten. Är det möjligt att ordna om alla brickor i rad utan mellanslag i omvänd ordning?

Lösning... Låt oss numrera brickorna med siffrorna 1,2,3, ..., 9,10.

Exempel permutationer. Rörelser består av två delar: rörelse udda (demontering) och rörelse jämn (montering).

Verifieringskriterier:

Alla permutationer anges: 7 poäng.

Start och slut anges, men det finns ellipser. 6 poäng.

Om det också är där, men det finns ett hoppa över drag - 5 poäng.

Kommentar. Rörelsen för varje pjäs visas av start- och slutpositionen, mellandrag är lätta att återställa. Det finns inget behov av att hitta fel med sådana pass.

1. I talet som skrevs på tavlan raderade Petya tre nummer och fick en multipel av 9. Vilket nummer står nu skrivet på tavlan? (Lista alla möjligheter och bevisa att det inte finns några andra.)

Ett tal är delbart med 9 endast om summan av dess siffror är delbart med 9. Summan av siffrorna i det skrivna talet är 30. Summan av tre siffror från 1 till 3 kan variera från 3 till 9. Därför, efter att ha slagit ut tre siffror kan summan av siffrorna i det nya numret vara från 23 till 27. Av dessa är endast 27 delbara med 9. Det betyder att tre siffror har streckas över, vars summa är 3, dvs. tre enheter. Numret kommer att finnas kvar på tavlan:.

Verifieringskriterier.

Svar presenterat: 1 poäng.

Det anges att delbarheten av summan av siffrorna med 9 behövs, så du måste stryka över tre siffror, vars summa är 3, vilket betyder att dessa är tre enheter: 4 poäng.

För en fullständig lösning måste det visas att ingen annan summa av tal, delbar med 9, kan erhållas.Om detta görs - 7 poäng. Om resonemanget visar att tre ettor är överstrukna, men siffran inte visas: minus 1 poäng.

2. Natasha och Inna köpte varsin låda med tepåsar. De är kända för att brygga två eller tre koppar te med en enda påse. Den här lådan räckte till Natasha för 53 koppar te och till Inna 76. Hur många påsar var det i lådan? Svaret måste underbyggas.

Lösning

Observera att lådan inte får innehålla mindre än 26 påsar: om det finns minst 25 av dem kommer Inna inte att kunna dricka mer = 75 koppar, men hon drack 76. Å andra sidan, i lådan
det fick inte vara fler än 26 påsar: om det finns minst 27 av dem så kunde Natasha inte dricka mindre = 54 koppar, men hon drack 53. Det var alltså 26 påsar i lådan: Inna bryggde 24 påsar tre gånger och 2 påsar två gånger, och Natasha bryggde 1 påse tre gånger och 25 påsar två gånger.

Verifieringskriterier.

Förutsatt endast svar 26 dospåsar: 0 poäng.

Det är absolut nödvändigt att du visar ett sätt att dricka 53 och 76 koppar te, annars kommer lösningen inte att vara komplett. Saknar varje exempel: minus 1 poäng.

3. Sju dvärgar i olika åldrar sitter bakom runt bord... Det är känt att varje dvärg kan tala sanning eller lögn. Var och en av dem sa att han är äldre än sina grannar. Vilket är det största antalet sanna påståenden som kan vara?

Kvalitet. Tänk på en senior gnome. Han kunde inte berätta sanningen. Dela de återstående 6 i tre intilliggande par. I varje par kunde bara en tomte berätta sanningen. Det betyder att inte mer än tre dvärgar berättade sanningen. Exempel: 7, 5, 6, 3, 4, 1, 2. (Dvärgar numreras efter tjänsteår.)

Verifieringskriterier.

Bedömningsproblem plus ett exempel.

Exempel: 2 poäng.

Betyg: 4 poäng.

Vid bedömning är det viktigt att närliggande tomtar inte både kan tala sanning, och om minst fyra talar sanning, så finns det grannar bland dem.

Sammanlagt 7 poäng.

Kommentar. Om tomtarna satt på rad, då kunde 4 tomtar berätta sanningen.

6, 7, 4, 5, 2, 3, 1.

4. Det är känt att . Hitta .

Lösning

Låt oss lägga till bråken på vänster sida:

Var betyder det ... Återigen, om vi lägger till bråken på vänster sida av den sista jämställdheten, får vi.

Äntligen har vi

5. Små barn åt godis. Var och en åt 11 färre godisar än alla andra tillsammans, men ändå mer än ett godis. Hur många godis åts totalt?

Lösning

Låt oss välja ett av barnen - till exempel Petya. Om du tar 11 av alla andra godisar blir det samma mängd som Petyas. Det betyder att två gånger antalet Petyas godis är lika med det totala antalet godis minus elva. Detsamma kan sägas om vilket som helst av barnen, vilket innebär att alla barn har lika stor andel godis - säg en hög.
Det är tydligt att alla åt ett helt antal högar mindre än de andra tillsammans. Därför delas 11 med pålens storlek. Det betyder (eftersom alla enligt tillståndet åt mer än 1 godis), det finns 11 godisar i högar, det vill säga alla åt en hög mindre än de andra tillsammans. Petya åt en hög, därför resten - två. Det betyder att det finns tre högar totalt och 33 choklad.
Samma lösning kan också skrivas algebraiskt.
Låt oss beteckna med S det totala antalet godis barnen åt. Om ett av barnen åt a godis, sedan åt alla andra efter villkor ett + 11 godisar, och därmed åt alla tillsammans S = a +(ett + 11)= 2ett + 11 godis. Detta resonemang gäller för alla barn, så alla barn åt samma mängd godis: a =(S– 11)/ 2 st.
Vi betecknar nu med N Antal barn. Då skrivs villkoret som a = a(N– 1)– 11, varifrån 11 = a(N– 2). Siffran 11 är enkel, så en av faktorerna är 1, och den andra 11. Men beroende på villkoret a> 1 alltså a = 11 , N– 2= 1 . Vari N = 3, och blev uppäten S = aN = 33 godis.

Svar: 33 godisar.

Enda svar: 0 poäng.

6. Punkterna K och D togs på sidorna AB och AC i triangeln ABC, respektive. Punkt E valdes så att K är mittpunkten av segmentet DE. Det visade sig att РEAK = РACB och AE = DC. Bevisa att BD är bisektrisen av vinkeln ABC.

Från punkt D släpper vi vinkelräta DL och DM till linjerna AB respektive BC. Från punkt E släpper vi den vinkelräta EN till linjen AB. Rättvinklade trianglar AEN och CDM är lika i hypotenusa och spetsig vinkel. Därav DM = EN. Dessutom är EN = DL (från likheten mellan rätvinkliga trianglar, om N och L är olika, eller som sammanfaller med segmenten EK och DK, om punkterna N, L och K sammanfaller).

Därför är DL = DM, och punkt D är lika långt från sidorna av vinkeln ABC och ligger därför på bisektrisen av denna vinkel.

Verifieringskriterier. Önska perpendikuler utelämnade: 1 poäng.

När likheten EN = DL bevisades, beaktades inte fallet av sammanfallande av perpendikulernas baser: minus 1 poäng.

1. Naturlig talkub När delbart med 2010. Följer det att talet i sig N delbart med 2010? Svar: det borde det.

Lösning... 2010 = 2 * 3 * 5 * 67. Siffrorna 2, 3, 5 och 67 är primtal.

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "bredd =" 19 höjd = 15 "höjd =" 15 ">. gif" bredd = "21" höjd = "21 src ="> delbart med 3 delbart med 3,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 "height =" 15 "> delbart med 5,

https://pandia.ru/text/77/496/images/image018_66.gif "width =" 19 "height =" 15 "> är delbart med 67.

Endast givet svar: 0 poäng.

2. Det finns burkar i olika storlekar: A, B, C och D. Det är känt att 11 burkar A och 7 burkar B rymmer samma mängd som 12 burkar C. C 6 burkar A och 5 burkar B rymmer samma mängd som 6 burkar burkar C och 1 burk D. 6 burkar D är helt fyllda med vatten. Kommer 3 burkar A och 8 burkar B att räcka för att hälla allt vatten från 6 burkar D?

Lösning. Låt https://pandia.ru/text/77/496/images/image021_51.gif "height =" 15 src = "> vara volymerna för burkar A, B, C respektive D.

För ett korrekt sammansatt ekvationssystem: 2 poäng.

3. Givet ett parallellogram KLMN akut spets K... På strålarna KL och ML markerade punkter A och B respektive, och AM = LM och BK = KL.

a) Bevisa det ETT = BN.

b) Bevisa att trianglar ABN och BKLär lika.

Lösning.

Från trianglarnas likhet AMN och BKN(på två sidor och vinkeln mellan dem) följer segmentens likhet ETT och BN.

Från lika vinklar AKB och AMB(vinklarna vid hörnen på liknande likbenta trianglar BKL och AML) följer att punkterna A, B, K, M ligga på samma cirkel, och sedan

då ligger också poängen på denna cirkel N... Därför vinklarna BNA och BKL i topparna N och K likbenta trianglar BNA och BKLär jämlika. Därför är trianglar lika.

Punkt a) bevisas: 3 poäng.

Punkt b) bevisas: 4 poäng.

4. Bevisa att om ekvationerna och https://pandia.ru/text/77/496/images/image028_31.gif "width =" 263 "height =" 24 "> inte har några rötter.

Lösning.

Låt oss ta en godtycklig sådan.

Då har den inga rötter, så för någon.

Ekvationen har därför inga rötter för någon. Därför för vem som helst.

https://pandia.ru/text/77/496/images/image034_29.gif "width =" 255 "height =" 22 src = ">

för vem som helst . Det vill säga ekvationen

Det är bevisat att för alla +4 poäng.

Om det inte finns någon motsvarande förklaring, så finns det inget motsvarande tillägg av poäng.

5. Vasya glömde den fyrsiffriga koden i förrådet (koden kan vara allt från 0000 till 9999). Han kommer bara ihåg att talet som anger koden är delbart med 3 och 7 och inte delbart med 5 och 9. Hur många alternativ måste han gå över för att vara säker på att gissa koden?

Svar: 254.

Lösning. 1 sätt.

Kod 0000 fungerar inte.

Bland talen från 1 till 9999 är exakt = 476 delbara med 21..gif "bredd =" 65 "höjd =" 39 ">. Men bland 158 tal som är delbara med 9 och bland 95 tal som är delbara med 5, finns det tillfälligheter. siffror som är delbara med 45. Det finns exakt sådana siffror av 476 siffror som är delbara med 21. Då finns det exakt + 31 = 254 siffror som uppfyller problemets villkor.

9 * 5 * 7 = 315, därför, bland siffrorna från 1 till 315, från 316 till 630, från 630 till 945, etc., finns det samma antal nummer som uppfyller problemets tillstånd. Det finns exakt 8 sådana siffror från 1 till 315 (detta är siffrorna 21, 42, 84, 147, 168, 231, 273, 294). Därför, från 1 till 315 * 31 = 9765 sådana siffror 31 * 8 = 248. Det återstår att överväga siffrorna från 9766 till 9999 och se till att exakt 6 nummer bland dem uppfyller problemets tillstånd (9786, 9807, 9849, 9912, 9933, 9996). Totalt 248 + 6 = 254 nummer.

Svar utan lösning: 0 poäng.

Den angivna formeln är + 31 = 254: + 3 poäng.

Varje beräkningsfel: - 1 poäng.

Svar utan lösning: 0 poäng.

Det anges att bland vart och ett av följande 315 nummer samma antal nummer som uppfyller problemets villkor: +3 poäng.

Det beräknas att exakt 8 från 1 till 315 uppfyller villkoret: +1 poäng.

Det beräknas att exakt 6 från 9766 till 9999 uppfyller problemets villkor: +1 poäng.

Formeln är som 248 + 6 = 254: +2 poäng.

Om någon har tålamod att skriva ner alla 254 siffrorna och inte misstar sig: 7 poäng.

6. Punkterna A och B tas på grafen för funktionen ... Av dessa är vinkelräta utelämnade på abskissaxeln, vinkelräta baser är HA och HB; С är ursprunget. Bevisa att arean av figuren avgränsad av räta linjer CA, CB och båge AB är lika med arean av figuren avgränsad av räta linjer AHA, BHB, abskissaxel och båge AB. 5. Punkterna A och B tas på grafen för funktionen. Av dessa är vinkelräta utelämnade på abskissaxeln, vinkelräta baser är HA och HB; С är ursprunget. Bevisa att arean av figuren avgränsad av räta linjer CA, CB och båge AB är lika med arean av figuren avgränsad av räta linjer AHA, BHB, abskissaxel och båge AB.

Lösning. Vi kan anta att abskissan för punkt A är mindre än abskissan för punkt B (se fig.) Betrakta punkten K för skärningspunkten mellan segmenten AHA och СB. Då är skillnaden mellan de betraktade områdena lika med skillnaden mellan områdena i triangeln СAK och fyrkanten HAKBHB, som i sin tur är lika med skillnaden mellan områdena i trianglarna СAHA och СBHB. Och eftersom СHA * AHA = СHB * BHB = 2010 (A och B är på grafen), är dessa områden lika med varandra.

Det visas att skillnaden mellan områdena som övervägs är https://pandia.ru/text/77/496/images/image044_20.gif "width =" 101 "height =" 23 src = ">: 4 poäng.

Det är bevisat att heller : +3 poäng.

1. ... Bevisa att ojämlikheten för alla naturliga tal

Lösning: Dividera båda sidor av ojämlikheten med ett positivt värde Få olikheten Om då graden är negativ och ojämlikheten är sann .. gif "width =" 61 "height =" 19 ">: 0 poäng.

Mottagen vy eller: 1 poäng

2. Kan summan av siffrorna för något naturligt k vara densamma för de följande två talen https://pandia.ru/text/77/496/images/image059_10.gif "width =" 76 "height =" 24 src = " >?

Svar: det kan det inte.

Lösning. Låt oss beteckna https://pandia.ru/text/77/496/images/image061_11.gif "width =" 171 "height =" 24 src = ">. Ett av tre på varandra följande tal är delbart med tre, därför ett av siffrorna är https : //pandia.ru/text/77/496/images/image064_9.gif "width =" 53 "height =" 21 src = "> delbart med tre, och det andra är inte. Därför är summan av siffrorna för endast en av dem delbar med tre. Därför är de olika.

3. Kvadratisk trinomial och positiva reella rötter x 1, x 2 och x 3, x 4, respektive x1 < x3 < x2 < x4 . Bevisa att en kvadratisk trinomial https://pandia.ru/text/77/496/images/image068_9.gif "width =" 85 "height =" 51 src = ">. Gif" width = "111" height = "21 ">.

En annan motivering för ojämlikheterna är möjlig - a<-c, b<d använda egenskaperna för en kvadratisk funktion.

En lösning ges, men när man övergår från ojämlikheter - a<-c och b<d till ojämlikheter a 2<c 2, 4b2 <4d2 inte styrkt att - a, b,-c, d positivt: 5 poäng.

4. 2010 nollor infogas mellan varannan siffra i 1331. Bevisa att det resulterande talet är delbart med 1331.

Lösning. Låt oss föreställa oss numret https://pandia.ru/text/77/496/images/image072_8.gif "width =" 386 "height =" 24 ">

https://pandia.ru/text/77/496/images/image074_8.gif "width =" 55 "height =" 35 src = "> delbart med 11 (delbart med 11), vilket betyder 100..0013 delbart med 113 = 1331.

Numret presenteras i formuläret https://pandia.ru/text/77/496/images/image076_8.gif "width =" 31 "height =" 24 ">.

Lösning.Låt vara OÄr cirkelns mittpunkt, eftersom D AB C är alltså likbent BO=OC... Tänk på D FBO och D ECO: Ð FBO=Ð ECO= a, Bf× CE=6, BO× OC=före Kristus 2/4 = 6, alltså Bf× CE=BO× OCÛ https://pandia.ru/text/77/496/images/image079_8.gif "bredd =" 103 höjd = 38 "höjd =" 38 ">. Sedan Ð BOF= b, l EOC= g, då РFOE = a. Från jämlikheterna BO= OC och följer det. Tänk på D FIENDE och D ECO: Ð FIENDE=Ð ECO= a, och https://pandia.ru/text/77/496/images/image047_16.gif "bredd =" 13 höjd = 15 "höjd =" 15 "> ojämlikhet är sant

Lösning: Dividera båda sidor av ojämlikheten med ett positivt värde Få olikheten Om då graden är negativ och ojämlikheten är sann .. gif "width =" 61 "height =" 19 ">: 0 poäng.

Mottagen vy eller: 1 poäng

Bevisat för endast ett av fallen eller: 3 poäng.

2. Lös ekvationen: https://pandia.ru/text/77/496/images/image082_8.gif "height =" 20 src = ">

Svar: Det finns inga lösningar.

Första lösningen: Sekvensen https://pandia.ru/text/77/496/images/image084_7.gif "width =" 31 "height =" 21 "> .. gif" width = "13" height = "15" > är inte lika med 0. Ekvationen har inga rötter.

Om det märks att detta är summan av en geometrisk progression: 1 poäng

Belopp hittades, men ingen slutsats gjordes: +1 poäng.

Byte gjord: 1 poäng.

Andra lösningen: Inte en lösning på ekvationen. Dela båda sidor av ekvationen med och få ekvationen.

Vi skriver om termerna i följande ordning

https://pandia.ru/text/77/496/images/image092_6.gif "width =" 75 "height =" 21 "> .. gif" width = "84" height = "24"> som har rötter , Observera att enligt Cauchy ojämlikhet och därför passar inte båda rötterna.