Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.
Insamling och användning av personlig information
Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.
Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.
Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.
Vilken personlig information vi samlar in:
- När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, adress E-post etc.
Hur vi använder din personliga information:
- Samlas av oss personlig information tillåter oss att kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
- Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
- Vi kan också använda personlig information för interna ändamål såsom revision, dataanalys och olika studier för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och för att ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
- Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.
Utlämnande till tredje part
Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.
Undantag:
- Om det behövs - i enlighet med lagen, rättsordning, i rättstvister, och/eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga myndigheter på Ryska federationens territorium - lämna ut din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
- I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.
Skydd av personlig information
Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.
Upprätthålla din integritet på företagsnivå
För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.
Mycket tid ägnas åt talcirkeln i årskurs 10. Detta beror på betydelsen av detta matematiska objekt för hela matematikkursen.
Rätt val av läromedel är av stor betydelse för en god assimilering av materialet. Videohandledningar är bland de mest effektiva av dessa verktyg. PÅ senare tid de når toppen av popularitet. Därför släpade författaren inte efter nuet och utvecklade en sådan underbar manual för att hjälpa matematiklärare - en videolektion om ämnet "Nummercirkel på koordinatplanet".
Den här lektionen är 15:22 minuter lång. Detta är praktiskt taget den maximala tid som en lärare kan lägga på en oberoende förklaring av materialet om ämnet. Eftersom det tar så mycket tid att förklara nytt material är det nödvändigt att välja de mest effektiva uppgifterna och övningarna för konsolidering, samt lyfta fram ytterligare en lektion där eleverna ska lösa uppgifter om detta ämne.
Lektionen börjar med bilden av en numerisk cirkel i ett koordinatsystem. Författaren bygger denna cirkel och förklarar sina handlingar. Sedan namnger författaren skärningspunkterna för den numeriska cirkeln med koordinataxlarna. Följande förklarar vilka koordinater cirkelns punkter kommer att ha i olika håll.
Efter det minns författaren hur cirkelekvationen ser ut. Och lyssnarnas uppmärksamhet presenteras för två layouter med bilden av några punkter på cirkeln. På grund av detta visar författaren i nästa steg hur koordinaterna för cirkeln pekar motsvara vissa siffror markerade på mallarna. Detta resulterar i en värdetabell för variablerna x och y i cirkelekvationen.
Vidare föreslås det att överväga ett exempel där det är nödvändigt att bestämma koordinaterna för cirkelns punkter. Innan man börjar lösa exemplet införs en anmärkning som hjälper till att lösa. Och så dyker en komplett, tydligt strukturerad och illustrerad lösning upp på skärmen. Det finns också tabeller som gör det lättare att förstå kärnan i exemplet.
Sedan övervägs ytterligare sex exempel, som är mindre tidskrävande än det första, men inte mindre viktiga och reflekterar huvudtanken lektion. Här presenteras lösningarna i till fullo, med en detaljerad berättelse och med visuella inslag. Lösningen innehåller nämligen ritningar som illustrerar lösningens förlopp, och en matematisk notation som bildar elevernas matematiska läskunnighet.
Läraren kan begränsa sig till de exempel som tas upp i lektionen, men det kanske inte räcker för en kvalitativ assimilering av materialet. Därför är det helt enkelt extremt viktigt att välja uppgifter att konsolidera.
Lektionen kan vara användbar inte bara för lärare, vars tid ständigt är begränsad, utan också för elever. Speciellt för dem som får en familjeutbildning eller ägnar sig åt egenutbildning. Materialet kan användas av de elever som missade lektionen om detta ämne.
TEXTTOLKNING:
Ämnet för vår lektion är "NUMERISK CIRKEL PÅ KOORDINATPLANET"
Vi är redan bekanta med det kartesiska rektangulära koordinatsystemet xOy (x o y). I detta koordinatsystem placerar vi nummercirkel så att cirkelns mittpunkt är i linje med origo och dess radie tas som skalsegment.
Startpunkten A för den numeriska cirkeln är i linje med punkten med koordinaterna (1; 0), B - med punkten (0; 1), C - med (-1; 0) (minus ett, noll) och D - med (0; - 1)(noll, minus ett).
(se bild 1)
Eftersom varje punkt i den numeriska cirkeln har sina egna koordinater i xOy-systemet (x om y), så är för punkterna i den första fjärdedelen ikx större än noll och y är större än noll;
Andra kvartalet ich mindre än noll och y är större än noll,
för punkter i tredje kvartalet är uh mindre än noll och y är mindre än noll,
och för fjärde kvartalet är uh större än noll och y är mindre än noll
För varje punkt E (x; y) (med koordinaterna x, y) i den numeriska cirkeln, är olikheterna -1≤ x≤ 1, -1≤y≤1 (x är större än eller lika med minus ett, men mindre än eller lika med ett; y är större än eller är lika med minus ett, men mindre än eller lika med ett).
Kom ihåg att ekvationen för en cirkel med radien R centrerad vid origo är x 2 + y 2 = R 2 (x i kvadrat plus y i kvadrat är lika med er i kvadrat). Och för enhetscirkeln R \u003d 1, så får vi x 2 + y 2 \u003d 1
(x i kvadrat plus y i kvadrat är lika med ett).
Låt oss hitta koordinaterna för punkterna i den numeriska cirkeln, som presenteras på två layouter (se fig. 2, 3)
Låt punkt E, som motsvarar
(pi gånger fyra) - mitten av den första fjärdedelen som visas i figuren. Från punkten E släpper vi den vinkelräta EK till linjen OA och betraktar triangeln OEK. Vinkel AOE =45 0, eftersom bågen AE är hälften av bågen AB. Därför är triangeln OEK en likbent rätvinklig, där OK = EK. Därför är abskissan och ordinatan för punkten E lika, dvs. x är lika med y. För att hitta koordinaterna för punkt E löser vi ekvationssystemet: (x är lika med y - systemets första ekvation och x kvadrat plus y kvadrat är lika med ett - systemets andra ekvation) I den andra ekvationen systemets ekvation, istället för x, vi ersätter y, vi får 2y 2 \u003d 1 (två y kvadrat är lika med en), varav y \u003d (y = en dividerad med roten av två är lika med roten av två dividerat med två) (ordinatan är positiv) Detta betyder att punkten E i det rektangulära koordinatsystemet har koordinater (,) (roten ur två dividerat med två, roten ur två dividerat med två).
Om vi argumenterar på samma sätt hittar vi koordinaterna för punkterna som motsvarar andra nummer i den första layouten och get: motsvarar en punkt med koordinater (- ,) (minus roten av två dividerat med två, roten av två delat med två); för - (-,-) (minus roten av två dividerat med två, minus roten av två dividerat med två); för (sju pi gånger fyra) (,) (roten av två delat med två, minus kvadratroten av två delat med två).
Låt punkt D motsvara (fig. 5). Låt oss släppa vinkelrät från DP(de pe) till OA och betrakta triangeln ODP. Hypotenusan för denna triangel OD är lika med radien för enhetscirkeln, det vill säga en, och vinkeln DOP är lika med trettio grader, eftersom bågen AD \u003d digi AB (en de är lika med en tredjedel av en be) ), och bågen AB är nittio grader. Därför är DP \u003d (de pe är lika med en sekund O de är lika med en sekund) Eftersom benet mitt emot vinkeln på trettio grader är lika med halva hypotenusan, det vill säga y \u003d (y är lika med en sekund ). Genom att tillämpa Pythagoras sats får vi OR 2 \u003d OD 2 - DP 2 (o pe kvadrat är lika med o de square minus de pe square), men OR \u003d x (o pe är lika med x). Så x 2 \u003d OD 2 - DP 2 \u003d
så x 2 \u003d (x i kvadrat är lika med tre fjärdedelar) och x \u003d (x är lika med roten av tre och två).
X är positivt, eftersom är under första kvartalet. Vi fick att punkt D i ett rektangulärt koordinatsystem har koordinater (,) roten av tre dividerat med två, en sekund.
Genom att argumentera på ett liknande sätt hittar vi koordinaterna för punkterna som motsvarar andra nummer i den andra layouten och skriver alla data som erhålls i tabellerna:
Tänk på exempel.
EXEMPEL 1. Hitta koordinaterna för punkterna i den numeriska cirkeln: a) C 1 ();
b) C2(); c) C3 (41n); d) C4 (-26n). (tse ett motsvarar trettiofem pi gånger fyra, tse två motsvarar minus fyrtionio pi till tre, tse tre motsvarar fyrtioen pi, tse fyra motsvarar minus tjugosex pi).
Lösning. Låt oss använda påståendet som erhölls tidigare: om punkten D i den numeriska cirkeln motsvarar talet t, så motsvarar den också valfritt tal av formen t + 2πk(te plus två toppar), där ka är vilket heltal som helst, dvs. kϵZ (ka tillhör zet).
a) Vi får = ∙ π = (8 +) ∙π = + 2π ∙ 4. (trettiofem pi gånger fyra är trettiofem gånger fyra, multiplicerat med pi är lika med summan av åtta och tre fjärdedelar, multiplicerat med pi är lika med tre pi gånger fyra plus produkten av två pi gånger fyra. Det betyder att talet trettiofem pi gånger fyra motsvarar samma punkt på den numeriska cirkeln som talet tre pi gånger fyra. Med tabell 1 får vi С 1 () = С 1 (-;) .
b) På liknande sätt, koordinaterna С 2: = ∙ π = - (16 + ∙π = + 2π ∙ (- 8). Därav talet
motsvarar samma punkt i talcirkeln som talet. Och talet motsvarar på talcirkeln samma punkt som numret
(visa den andra layouten och tabell 2). För en punkt har vi x = , y =.
c) 41π \u003d 40π + π \u003d π + 2π ∙ 20. Därför motsvarar talet 41π samma punkt i den numeriska cirkeln som talet π - detta är en punkt med koordinater (-1; 0).
d) - 26π \u003d 0 + 2π ∙ (- 13), det vill säga talet - 26π motsvarar samma punkt i den numeriska cirkeln som talet noll, detta är punkten med koordinater (1; 0).
EXEMPEL 2. Hitta punkter på talcirkeln med ordinatan y \u003d
Lösning. Linjen y = skär talcirkeln i två punkter. En punkt motsvarar ett nummer, den andra punkten motsvarar ett nummer,
Därför erhålls alla poäng genom att addera ett helt varv 2πk där k visar hur mycket hela varv gör en poäng, dvs. vi får
och för valfritt tal alla tal på formen + 2πk. Ofta säger de i sådana fall att de har fått två serier av värden: + 2πk, + 2πk.
EXEMPEL 3. Hitta punkter på talcirkeln med abskissan x = och skriv ner vilka tal t de motsvarar.
Lösning. Hetero X= skär talcirkeln i två punkter. En punkt motsvarar ett nummer (se andra layouten),
och därav valfritt tal av formen + 2πk. Och den andra punkten motsvarar ett tal, och därmed ett valfritt tal av formen + 2πk. Dessa två serier av värden kan täckas i en post: ± + 2πk (plus minus två pi med tre plus två pi).
EXEMPEL 4. Hitta punkter med en ordinata på en talcirkel på> och skriv ner vilka siffror de motsvarar.
Linjen y \u003d skär talcirkeln i två punkter M och P. Och olikheten y\u003e motsvarar punkterna för den öppna bågen MP, detta betyder bågar utan ändar (det vill säga utan och), när man rör sig runt cirkeln moturs, med början från punkten M och slutar vid punkten P. Därför är kärnan i den analytiska representationen av bågen MP olikheten< t < (тэ больше, чем пи на три, но меньше двух пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид + 2πk < t < + 2πk(тэ больше, чем пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EXEMPEL 5. Hitta punkter med ordinata på en talcirkel på < и записать, каким числам t они соответствуют.
Linjen y \u003d skär talcirkeln i två punkter M och P. Och olikheten y< соответствуют точки открытой дуги РМ при движении по окружности против часовой стрелки, начиная с точки Р, а заканчивая в точке М. Значит, ядром аналитической записи дуги РМ является неравенство < t < (тэ больше, чем минус четыре пи на три, но меньше пи на три) , а сама аналитическая запись дуги имеет вид
2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус четыре пи на три плюс два пи ка, но меньше пи на три плюс два пи ка).
EXEMPEL 6. Hitta punkter med en abskissa på en talcirkel X> och skriv ner vilka siffror de motsvarar.
Den räta linjen x = skär den numeriska cirkeln i två punkter M och P. Olikheten x > motsvarar punkterna i den öppna bågen PM när man rör sig längs cirkeln moturs med början i punkten P, vilket motsvarar, och slutet kl. punkten M, som motsvarar. Därför är kärnan i den analytiska notationen för bågen PM ojämlikheten< t <
(te är större än minus två pi gånger tre, men mindre än två pi gånger tre), och den analytiska notationen för själva bågen har formen + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем минус два пи на три плюс два пи ка, но меньше двух пи на три плюс два пи ка).
EXEMPEL 7. Hitta punkter med en abskissa på en talcirkel X < и записать, каким числам t они соответствуют.
Linjen x = skär talcirkeln i två punkter M och P. Olikhet x< соответствуют точки открытой дуги МР при движении по окружности против часовой стрелки с началом в точке М, которая соответствует, и концом в точке Р, которая соответствует. Значит, ядром аналитической записи дуги МР является неравенство < t <
(te är mer än två pi gånger tre, men mindre än fyra pi gånger tre), och den analytiska notationen för själva bågen har formen + 2πk< t < + 2πk (тэ больше, чем два пи на три плюс два пи ка, но меньше четырех пи на три плюс два пи ка).
Definition 1 . Numerisk axel ( tallinje, koordinatlinje) Ox kallas en rät linje på vilken punkten O är vald referenspunkt (koordinaternas ursprung)(fig.1), riktning
O → x
listad som positiv riktning och ett segment markeras, vars längd tas som längdenhet.
Definition 2 . Segmentet, vars längd tas som en längdenhet, kallas skala.
Varje punkt på den numeriska axeln har en koordinat , vilket är ett reellt tal. Koordinaten för punkten O är lika med noll. Koordinaten för en godtycklig punkt A som ligger på strålen Ox är lika med längden på segmentet OA . Koordinaten för en godtycklig punkt A på den numeriska axeln, som inte ligger på strålen Ox , är negativ, och i absolut värde är den lika med längden på segmentet OA .
Definition 3 . Rektangulärt kartesiskt koordinatsystem Oxy på planet ring de två ömsesidigt vinkelrät numeriska axlar Ox och Oy med samma skala och gemensamt ursprung vid punkten O dessutom så att rotationen från strålen Ox genom en vinkel på 90° till strålen Oy utförs i riktningen moturs(Fig. 2).
Anmärkning . Det rektangulära kartesiska koordinatsystemet Oxy som visas i figur 2 kallas rätt koordinatsystem, Till skillnad från vänster koordinatsystem, där vridningen av strålen Ox i en vinkel av 90° mot strålen Oy utförs i medurs riktning. I den här guiden har vi överväg bara rätt koordinatsystem utan att nämna det särskilt.
Om vi introducerar något system med rektangulära kartesiska koordinater Oxy på planet, kommer varje punkt på planet att förvärva två koordinater – abskissa och ordinera, som beräknas enligt följande. Låt A vara en godtycklig punkt i planet. Låt oss släppa vinkelräta från punkt A AA 1 och AA 2 till linjerna Ox respektive Oy (Fig. 3).
Definition 4 . Abskissan för punkt A är punktens koordinat A 1 på den numeriska axeln Ox, ordinatan för punkt A är punktens koordinat A 2 på den numeriska axeln Oy .
Beteckning . Koordinater (abskissa och ordinata) för en punkt A i det rektangulära kartesiska koordinatsystemet Oxy (fig. 4) betecknas vanligtvis A(x;y) eller A = (x; y).
Anmärkning . Punkt O, kallad ursprung, har koordinater O(0 ; 0) .
Definition 5 . I det rektangulära kartesiska koordinatsystemet Oxy kallas Ox numeriska axel abskissaxeln, och Oy numeriska axel kallas ordinataaxeln (fig. 5).
Definition 6 . Varje rektangulärt kartesiskt koordinatsystem delar upp planet i fyra fjärdedelar (kvadranter), vars numrering visas i figur 5.
Definition 7 . Ett plan på vilket ett rektangulärt kartesiskt koordinatsystem anges kallas koordinatplan.
Anmärkning . Abskissaxeln ges på koordinatplanet av ekvationen y= 0 , y-axeln ges på koordinatplanet av ekvationen x = 0.
Uttalande 1 . Avstånd mellan två punkter koordinatplan
A 1 (x 1 ;y 1) och A 2 (x 2 ;y 2)
beräknad enligt formeln
Bevis . Tänk på figur 6.
| |A 1 A 2 | 2 = = (x 2 -x 1) 2 + (y 2 -y 1) 2 . | (1) |
Följaktligen,
Q.E.D.
Ekvation för en cirkel på koordinatplanet
Betrakta på koordinatplanet Oxy (fig. 7) en cirkel med radien R centrerad vid punkten A 0 (x 0 ;y 0) .
Datum: Lektion1
ämne: Talcirkel på koordinatlinjen
Mål: introducera konceptet med en numerisk cirkelmodell i kartesiska och kurvlinjära koordinatsystem; att bilda förmågan att hitta de kartesiska koordinaterna för punkterna i den numeriska cirkeln och utföra den motsatta åtgärden: känna till de kartesiska koordinaterna för punkten, bestämma dess numeriska värde på den numeriska cirkeln.
Under lektionerna
I. Organisatoriskt ögonblick.
II. Förklaring av nytt material.
1. Efter att ha placerat talcirkeln i det kartesiska koordinatsystemet analyserar vi i detalj egenskaperna för punkterna i talcirkeln som ligger i olika koordinatkvarter.
För punkt M nummercirkel använd notation M(t), om vi talar om den krökta koordinaten för punkten M, eller inträde M (X;på) när det gäller de kartesiska koordinaterna för en punkt.
2. Hitta kartesiska koordinater för "bra" punkter i den numeriska cirkeln. Det handlar om att gå från skrivandet M(t) till M (X;på).
3. Hitta tecknen på koordinaterna för de "dåliga" punkterna i den numeriska cirkeln. Om t.ex. M(2) = M (X;på), då X 0; på 0. (Skolbarn lär sig att bestämma tecknen på trigonometriska funktioner genom fjärdedelar av en numerisk cirkel.)
1. nr 5.1 (a; b), nr 5.2 (a; b), nr 5.3 (a; b).
Denna grupp av uppgifter syftar till att utveckla förmågan att hitta de kartesiska koordinaterna för "bra" punkter på talcirkeln.
Lösning:
№ 5.1 (a).
2. Nr 5.4 (a; b), nr 5.5 (a; b).
Denna grupp av uppgifter syftar till att utveckla förmågan att hitta de kurvlinjära koordinaterna för en punkt genom dess kartesiska koordinater.
Lösning:
№ 5.5 (b).
3. Nr 5.10 (a; b).
Denna övning syftar till att utveckla förmågan att hitta de kartesiska koordinaterna för "dåliga" punkter.
V. Resultatet av lektionen.
Frågor till studenter:
- Vad är en modell - en talcirkel på koordinatplanet?
- Hur, genom att känna till de kurvlinjära koordinaterna för en punkt på en numerisk cirkel, hitta dess kartesiska koordinater och vice versa?
Läxa: nr. 5.1 (c; d) - 5.5 (c; d), nr. 5.10 (c; d).
Datum: Lektion2
ÄMNE: Lösa problem på modellen "numerisk cirkel på koordinatplanet"
Mål: fortsätta bildandet av förmågan att flytta från de krökta koordinaterna för en punkt på en numerisk cirkel till kartesiska koordinater; att bilda förmågan att hitta punkter på en numerisk cirkel vars koordinater uppfyller en given ekvation eller olikhet.
Under lektionerna
I. Organisatoriskt ögonblick.
II. muntligt arbete.
1. Namnge de kurvlinjära och kartesiska koordinaterna för punkter på talcirkeln.
2. Jämför en båge på en cirkel och dess analytiska notation.
III. Förklaring av nytt material.
2. Hitta punkter på en numerisk cirkel vars koordinater uppfyller en given ekvation.
Betrakta exempel 2 och 3 från sid. 41–42 i läroboken.
Vikten av detta "spel" är uppenbar: eleverna förbereder sig för att lösa de enklaste trigonometriska ekvationerna av formen För att förstå sakens väsen bör man först och främst lära eleverna att lösa dessa ekvationer med hjälp av en numerisk cirkel, utan att gå över till färdiga formler.
När vi överväger ett exempel på att hitta en punkt med en abskissa, uppmärksammar vi eleverna på möjligheten att kombinera två serier av svar till en formel:
3. Hitta punkter på den numeriska cirkeln vars koordinater uppfyller en given olikhet.
Betrakta exempel 4–7 från sid. 43–44 i läroboken. Genom att lösa sådana problem förbereder vi eleverna att lösa trigonometriska ojämlikheter i formen
Efter att ha gått igenom exemplen kan eleverna självständigt formulera algoritm lösningar av ojämlikheter av den angivna typen:
1) från den analytiska modellen passerar vi till den geometriska modellen - en båge HERR nummercirkel;
2) komponera kärnan i den analytiska posten HERR; för bågen vi får
3) gör en allmän notering:
IV. Bildande av färdigheter och förmågor.
1:a gruppen. Att hitta en punkt på en talcirkel med en koordinat som uppfyller en given ekvation.
Nr 5.6 (a; b) - Nr 5.9 (a; b).
I processen med att arbeta med dessa övningar arbetar vi ut steg-för-steg-utförandet: inspelning av kärnan i en punkt, analytisk inspelning.
2:a gruppen. Att hitta punkter på en talcirkel med en koordinat som uppfyller en given olikhet.
nr 5.11 (a; b) - 5.14 (a; b).
Den huvudsakliga färdigheten som skolbarn måste förvärva när de utför dessa övningar är sammanställningen av kärnan i den analytiska registreringen av bågen.
V. Självständigt arbete.
Alternativ 1
1. Markera en punkt på talcirkeln som motsvarar ett givet tal, och hitta dess kartesiska koordinater:
2. Hitta punkter med en given abskissa på talcirkeln och skriv ner vilka tal t de matchar.
3. Markera punkter på talcirkeln med en ordinata som uppfyller olikheten och skriv ner, med hjälp av en dubbel olikhet, vilka tal t de matchar.
Alternativ 2
1. Markera en punkt på talcirkeln som motsvarar ett givet tal, och hitta dess kartesiska koordinater:
2. Hitta punkterna med den givna ordinatan på talcirkeln på= 0,5 och skriv ner vilka tal t de matchar.
3. Markera punkter på talcirkeln med en abskissa som uppfyller ojämlikheten och skriv ner med dubbel olikhet, vilka tal t de matchar.
VI. Lektionsresultat.
Frågor till studenter:
- Hur hittar man en punkt på en cirkel vars abskissa uppfyller en given ekvation?
Hur hittar man en punkt på en cirkel vars ordinata uppfyller en given ekvation?
- Namnge algoritmen för att lösa ojämlikheter med hjälp av en talcirkel.
Läxa: Nr. 5.6 (c; d) - Nr. 5.9 (c; d),
Nr. 5.11 (c; d) - Nr. 5.14 (c; d).
Om du placerar en enhetsnummercirkel på koordinatplanet kan du hitta koordinater för dess punkter. Den numeriska cirkeln är placerad så att dess centrum sammanfaller med planets origo, dvs punkten O (0; 0).
Vanligtvis, på en enhetsnummercirkel, markeras punkter som motsvarar origo på cirkeln
- fjärdedelar - 0 eller 2π, π/2, π, (2π)/3,
- mellankvarter - π/4, (3π)/4, (5π)/4, (7π)/4,
- tredje kvartalet - π/6, π/3, (2π)/3, (5π)/6, (7π)/6, (4π)/3, (5π)/3, (11π)/6.
På koordinatplanet, med ovanstående arrangemang av enhetscirkeln på det, kan man hitta koordinaterna som motsvarar dessa punkter i cirkeln.
Det är mycket lätt att hitta koordinaterna för ändarna av kvarteren. Vid punkt 0 i cirkeln är x-koordinaten 1, och y är 0. Vi kan skriva A (0) = A (1; 0).
Slutet av första kvartalet kommer att ligga på den positiva y-axeln. Därför är B (π/2) = B (0; 1).
Slutet av andra kvartalet är på den negativa abskissan: C (π) = C (-1; 0).
Slutet av tredje kvartalet: D ((2π)/3) = D (0; -1).
Men hur hittar man koordinaterna för mittpunkterna i kvartalen? För att göra detta, bygg en rätvinklig triangel. Dess hypotenusa är ett segment från cirkelns mittpunkt (eller origo) till mittpunkten av kvartscirkeln. Detta är cirkelns radie. Eftersom cirkeln är enhet är hypotenusan lika med 1. Därefter dras en vinkelrät från en punkt på cirkeln till valfri axel. Låt det vara till x-axeln. Det visar sig en rätvinklig triangel, vars längder på benen är x- och y-koordinaterna för cirkelns punkt.
En kvartscirkel är 90º. Och en halv fjärdedel är 45º. Eftersom hypotenusan dras till mitten av kvarten, är vinkeln mellan hypotenusan och benet som kommer ut ur origo 45º. Men summan av vinklarna för en triangel är 180º. Därför förblir vinkeln mellan hypotenusan och det andra benet också 45º. Det visar sig vara en likbent rätvinklig triangel.
Från Pythagoras sats får vi ekvationen x 2 + y 2 = 1 2 . Eftersom x = y och 1 2 = 1 förenklas ekvationen till x 2 + x 2 = 1. Löser vi det får vi x = √1 = 1/√2 = √2/2.
Koordinaterna för punkten M 1 (π/4) = M 1 (√2/2; √2/2).
I koordinaterna för punkterna för mittpunkterna i andra kvartal kommer bara tecknen att ändras, och värdemodulerna kommer att förbli desamma, eftersom den rätvinkliga triangeln bara kommer att vända. Vi får:
M2 ((3π)/4) = M2 (-√2/2; √2/2)
M3 ((5π)/4) = M3 (-√2/2; -√2/2)
M4 ((7π)/4) = M4 (√2/2; -√2/2)
Vid bestämning av koordinaterna för de tredje delarna av cirkelns fjärdedelar byggs också en rätvinklig triangel. Om vi tar punkten π/6 och ritar en vinkelrät mot x-axeln, så blir vinkeln mellan hypotenusan och benet som ligger på x-axeln 30º. Det är känt att benet som ligger mitt emot en vinkel på 30º är lika med halva hypotenusan. Så vi har hittat y-koordinaten, den är lika med ½.
Genom att känna till längden på hypotenusan och ett av benen, genom Pythagoras sats finner vi det andra benet:
x 2 + (½) 2 = 1 2
x 2 \u003d 1 - ¼ \u003d ¾
x = √3/2
Således Ti (π/6) = Ti (√3/2; ½).
För punkten för den andra tredjedelen av första kvartalet (π / 3) är det bättre att rita en vinkelrät mot axeln till y-axeln. Då blir vinkeln vid utgången också 30º. Här kommer x-koordinaten redan att vara lika med ½ respektive y √3/2: T 2 (π/3) = T 2 (½; √3/2).
För andra tredje kvartalspoäng kommer tecknen och ordningen på koordinatvärdena att ändras. Alla punkter som är närmare x-axeln kommer att ha ett modulovärde för x-koordinaten lika med √3/2. De punkter som är närmare y-axeln kommer att ha ett modulo y-värde lika med √3/2.
T 3 ((2π)/3) = T 3 (-½; √3/2)
T 4 ((5π)/6) = T 4 (-√3/2; ½)
T 5 ((7π)/6) = T 5 (-√3/2; -½)
T 6 ((4π)/3) = T 6 (-½; -√3/2)
T 7 ((5π)/3) = T 7 (½; -√3/2)
T 8 ((11π)/6) = T 8 (√3/2; -½)
