LOGIK-SANNOLIKHETSMETODER FÖR TILLFÖRLITLIGHETSANALYS
Varje metod för tillförlitlighetsanalys kräver en beskrivning av systemets prestandaförhållanden. Sådana villkor kan formuleras utifrån:
Strukturdiagram över systemets funktion (tillförlitlighetsberäkningsschema);
Verbal beskrivning av systemets funktion;
Diagramscheman;
Funktioner av logikens algebra.
Den logiskt-probabilistiska metoden för reliabilitetsanalys gör det möjligt att formalisera definitionen och innebörden av gynnsamma hypoteser. Kärnan i denna metod är som följer.
Tillståndet för varje element kodas av noll och ett:
I funktionerna i logikens algebra representeras elementens tillstånd i följande form:
X i- elementet i gott skick, motsvarande kod 1;
Feltillståndet för elementet, motsvarande kod 0.
Med hjälp av funktionerna i logikens algebra skrivs villkoret för systemets funktionsduglighet genom funktionsdugligheten (tillståndet) för dess element. Den resulterande systemhälsofunktionen är en binär funktion av binära argument.
Den resulterande FAL transformeras på ett sådant sätt att den innehåller termer som motsvarar gynnsamma hypoteser för korrekt funktion av systemet.
I FAL istället för binära variabler x i och sannolikheterna ersätts för felfri drift p i och felsannolikhet q jag. Tecken på konjunktion och disjunktion ersätts av algebraisk multiplikation och addition.
Det resulterande uttrycket är sannolikheten för felfri drift av systemet Pc(t).
Betrakta den logiskt-probabilistiska metoden med exempel.
EXEMPEL 5.10. Blockschemat för systemet är den huvudsakliga (seriella) anslutningen av element (Fig. 5.14).
På blockschemat x jag, jag = 1, 2,..., P- skick i elementet i systemet, kodat 0 om elementet är i ett misslyckat tillstånd och 1 om det är funktionsdugligt. I det här fallet är systemet i drift om alla dess element är i drift. Då är FAL en konjunktion av logiska variabler, d.v.s. y \u003d x 1, x 2, ... .., x p, vilket är en perfekt disjunktivt normal form av systemet.
Genom att istället för logiska variabler ersätta sannolikheterna för goda tillstånd av element och ersätta konjunktionen med algebraisk multiplikation, får vi:
EXEMPEL 5.11. Blockschemat för systemet är ett duplicerat system med icke-ekvivalenta, permanent påslagna delsystem (Fig. 5.15).
På fig. 5.15 x 1 och x 2- tillstånd för systemelement. Låt oss göra en sanningstabell med två binära variabler (tabell 5.2).
I tabellen är 0 elementets feltillstånd, 1 är elementets goda tillstånd. I detta fall är systemet i drift om båda elementen (1,1) eller ett av dem ((0,1) eller (1,0)) är i drift. Sedan beskrivs systemets funktionella tillstånd av följande logiska algebrafunktion:
Denna funktion är en perfekt disjunktiv normalform. Genom att ersätta operationerna för disjunktion och konjunktion med de algebraiska operationerna för multiplikation och addition, och de logiska variablerna med motsvarande sannolikheter för elementens tillstånd, får vi sannolikheten för systemets felsäkra operation:
EXEMPEL 5.12. Blockschemat för systemet har den form som visas i fig. 5.16.
Låt oss göra en sanningstabell (tabell 53).
I detta exempel är systemet i drift om alla dess element är i drift eller om elementet är i drift x i och ett av elementen i det duplicerade paret (x 2, x 3). Baserat på sanningstabellen kommer SDNF att se ut så här:
Genom att ersätta motsvarande sannolikheter istället för binära variabler, och algebraisk multiplikation och addition istället för konjunktioner och disjunktioner, får vi sannolikheten för systemets felsäkra operation:
Funktionen hos logikens algebra kan representeras i en minimal form med hjälp av följande transformationer:
Absorptions- och limningsoperationerna är inte tillämpliga i algebra. I detta avseende är det omöjligt att minimera den erhållna FAL och sedan ersätta sannolikhetsvärdena istället för logiska variabler. Sannolikheterna för elementens tillstånd bör ersättas med SDNF och förenklas enligt algebras regler.
Nackdelen med den beskrivna metoden är behovet av att kompilera en sanningstabell, vilket kräver uppräkning av alla driftbara systemtillstånd.
5.3.2. Metod för kortaste vägar och minsta sektioner
Denna metod har diskuterats tidigare. i avsnitt 5.2.3. Låt oss säga det utifrån logikens algebra.
Funktionsfunktionen kan beskrivas med hjälp av de kortaste vägarna för systemets gångfunktion och de minsta delarna av dess fel.
Den kortaste vägen är den minsta sammansättningen av fungerande:stationer av element som bildar ett fungerande system.
Minsta sektion är minimikonjunktionen av de opererbara tillstånden för de element som bildar systemets inoperabla tillstånd.
EXEMPEL 5.13. Det är nödvändigt att bilda systemets funktionsfunktion, vars blockschema visas i fig. 5.17 med metoden med kortaste vägar och minsta sektioner.
Lösning. I det här fallet kommer de kortaste vägarna som bildar ett fungerande system att vara: x 1 x 2, x 3 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Då kan hälsofunktionen skrivas som följande logiska algebrafunktion:
I enlighet med denna FAL, blockschemat för systemet i fig. 5.17 kan representeras av blockschemat i fig. 5.18.
Minsta sektioner som bildar ett inoperabelt system kommer att vara: x 1 x 3, x 2 x 4, x 1 x 5 x 4, x 3 x 5 x 2. Då kan inoperabilitetsfunktionen skrivas som följande logiska algebrafunktion:
I enlighet med denna FAL kommer blockschemat för systemet att presenteras i den form som visas i fig. 5.19.
Man bör komma ihåg att blockschemana i fig. 5.18 och fig. 5.19 är inte tillförlitlighetsberäkningsscheman, och uttrycken för FAL för de opererbara och inoperabla tillstånden är inte uttryck för att bestämma sannolikheten för felfri drift och sannolikheten för fel:
De främsta fördelarna med FAL är att de tillåter en formellt, utan att sammanställa en sanningstabell, erhålla PDNF och CKNF (perfekt konjunktiv normalform), som gör det möjligt att erhålla sannolikheten för felfri drift (sannolikhet för misslyckande) av systemet genom att i FAL istället för logiska variabler ersätta motsvarande värden för sannolikheterna för felfritt arbete, och ersätta operationerna av konjunktion och disjunktion med de algebraiska operationerna för multiplikation och addition.
För att erhålla SDNF är det nödvändigt att multiplicera varje disjunktiv term i FAL med, där x i- det saknade argumentet, och utöka parenteserna. Svaret är SDNF. Låt oss överväga denna metod med ett exempel.
EXEMPEL 5.14. Det är nödvändigt att bestämma sannolikheten för felfri drift av systemet, vars blockschema visas i fig. 5.17. Sannolikheten för felfri drift av element är lika med p 1, p 2, p 3, s 4, r 5 .
Lösning. Låt oss använda den kortaste vägen. Den logiska algebrafunktionen som erhålls med den kortaste vägmetoden har formen:
Vi får systemets SDNF. För att göra detta multiplicerar vi de disjunktiva termerna med de som saknas:
Genom att expandera parenteserna och utföra transformationer enligt reglerna för logikens algebra får vi SDNF:
Ersätter i SDNF istället för x 1, x 2, x 3 , x 4, x 5 sannolikheter för drifttid p 1, p 2, p 3, s 4, s 5 och använda förhållanden q i = 1–p i, får vi följande uttryck för sannolikheten för felfri drift av systemet.
Från exemplet ovan kan man se att metoden med kortaste vägar befriade oss från definitionen av gynnsamma hypoteser. Samma resultat kan erhållas med metoden med minsta sektioner.
5.3.3. Skivningsalgoritm
Skärningsalgoritmen gör det möjligt att erhålla en FAL, i vilken man istället för logiska variabler, sannolikheten för felfri drift (sannolikhet för fel) av element, kan hitta sannolikheten för felfri drift av systemet. Det är inte nödvändigt att skaffa en CDNF för detta ändamål.
Skivningsalgoritmen är baserad på följande logiska algebrasats: den logiska algebrafunktionen y(x b x 2 ,...,x n) kan presenteras i följande form:
Låt oss visa tillämpbarheten av denna sats på tre exempel:
Genom att tillämpa den andra distributiva lagen i logikens algebra får vi:
EXEMPEL 5.15. Bestäm sannolikheten för felfri drift av systemet, vars blockschema visas i fig. 5.16 med hjälp av skivningsalgoritmen.
Lösning. Med den kortaste vägmetoden får vi följande FAL:
Låt oss tillämpa skärningsalgoritmen:
Genom att nu istället för logiska variabler ersätta sannolikheterna och ersätta operationerna för konjunktion och disjunktion med algebraisk multiplikation och addition, får vi:
EXEMPEL 5.16. Bestäm sannolikheten för felfri drift av systemet, vars blockschema visas i fig. 5.17. Använd skärningsalgoritmen.
Lösning. Den logiska algebrafunktionen som erhålls genom metoden med minimala sektioner har formen:
Vi implementerar skäralgoritmen med avseende på X 5:
Vi förenklar det resulterande uttrycket genom att använda reglerna för logikens algebra. Vi förenklar uttrycket i de första parenteserna med hjälp av parentesregeln:
Då ser FAL ut så här:
Detta uttryck motsvarar blockschemat i fig. 5,20.
Det resulterande schemat är också ett tillförlitlighetsberäkningsschema, om de logiska variablerna ersätts med sannolikheterna för felfri drift p 1, p 2, p 3, p 4, p 5, och variabeln är sannolikheten för misslyckande q 5 . Från fig. 5.20 kan man se att blockschemat för systemet är reducerat till en serieparallell krets. Sannolikheten för felfri drift beräknas med följande formel:
Formeln behöver inte förklaras, den skrivs direkt enligt blockschemat.
5.3.4. Ortogonaliseringsalgoritm
Ortogonaliseringsalgoritmen, liksom skärningsalgoritmen, tillåter formella procedurer att bilda en funktion av logikens algebra, genom att ersätta sannolikheter i stället för logiska variabler, och istället för disjunktioner och konjunktioner - algebraisk addition och multiplikation, för att erhålla sannolikheten för problem- fri drift av systemet. Algoritmen är baserad på omvandlingen av logiska algebrafunktioner till ortogonal disjunktiv normalform (ODNF), som är mycket kortare än SDNF. Innan vi beskriver metodiken formulerar vi ett antal definitioner och ger exempel.
Två konjunktioner kallad ortogonal, om deras produkt är identiskt noll. Disjunktiv normalform kallad ortogonal, om alla dess termer är parvis ortogonala. SDNF är ortogonal, men den längsta av alla ortogonala funktioner.
Ortogonal DNF kan erhållas med följande formler:
Dessa formler är lätta att bevisa med den andra distributiva lagen i logikens algebra och De Morgans teorem. Algoritmen för att erhålla en ortogonal disjunktiv normalform är följande y(x 1, x 2,..., x n) i ODNF:
Fungera y(x 1, x 2,..., x n) omvandlas till DNF med metoden med kortaste vägar eller minsta sektioner;
Den ortogonala disjunktiv-normala formen hittas med formlerna (5.10) och (5.11);
Funktionen minimeras genom att de ortogonala termerna för ODNF likställs med noll;
Booleska variabler ersätts av sannolikheterna för felfri drift (felsannolikheter) för elementen i systemet;
Den slutliga lösningen erhålls efter förenkling av uttrycket som erhölls i föregående steg.
Låt oss överväga tekniken med ett exempel.
EXEMPEL 5.17. Bestäm sannolikheten för felfri drift av systemet, vars blockschema visas i fig. 5.17. Använd ortogonaliseringsmetoden.
Lösning. I det här fallet beskrivs systemets funktion av följande logiska algebrafunktion (metod med minimala sektioner):
Beteckna K 1= x 1 x 2, K 2= x 3 x 4, K 3= x 1 x 5 x 4, K 4 \u003d x 3 x 5 x 2. Då kommer ODNF att skrivas i följande form:
Värderingar , jag= 1,2,3, baserat på formel (5.10) kommer att se ut så här:
Genom att ersätta dessa uttryck med (5.12) får vi:
Genom att ersätta de logiska variablerna i detta uttryck med motsvarande sannolikheter och utföra de algebraiska operationerna för addition och multiplikation, får vi sannolikheten för systemets felsäkra operation:
Svaret är detsamma som i exempel 5.14.
Exemplet visar att ortogonaliseringsalgoritmen är mer produktiv än de metoder som diskuterats tidigare. Mer detaljerat beskrivs de logiskt-probabilistiska metoderna för tillförlitlighetsanalys i. Den logiskt-probabilistiska metoden, som alla andra, har sina fördelar och nackdelar. Dess förtjänster har nämnts tidigare. Låt oss påpeka dess brister.
De initiala uppgifterna i den logiskt-probabilistiska metoden är sannolikheterna för felfri drift av elementen i systemets strukturdiagram. Men i många fall kan dessa uppgifter inte erhållas. Och inte för att elementens tillförlitlighet är okänd, utan för att elementets drifttid är en slumpmässig variabel. Detta sker vid redundans genom ersättning, förekomst av efterverkningar av fel, icke-samtidig drift av element, förekomst av återhämtning med olika servicediscipliner och i många andra fall.
Låt oss ge exempel som illustrerar dessa brister. Blockschemat för systemet har den form som visas i fig. 5.21, där följande beteckningar accepteras: x i- logiska variabler med värdena 0 och 1, motsvarande fel och korrekt funktion av elementet, x i = 1, 2, 3.
I detta fall är den logiska variabeln ds3 0 fram till tidpunkten τ för fel på huvudelementet och 1 under tiden (t-τ), var t- den tid under vilken sannolikheten för felfri drift av systemet bestäms. Tid τ är ett slumpmässigt värde, så värdet р(τ) okänd. I det här fallet är det omöjligt att kompilera en FAL, och ännu mer en SDNF. Ingen av de logiskt-probabilistiska metoder som vi har övervägt tillåter oss att hitta sannolikheten för systemets felsäker drift.
Här är ett annat typiskt exempel. Elsystemet består av en spänningsregulator R n och två parallella generatorer Gi och G2. Blockschemat för systemet visas i fig. 5.22.
Om en av generatorerna misslyckas, arbetar den återstående servicebara generatorn en gemensam belastning. Dess felfrekvens ökar. Om före ögonblicket τ av fel hos en av generatorerna, var intensiteten av dess fel lika med λ , sedan efter avslag λ1 > λ2. Sedan tiden τ är slumpmässigt alltså Р(τ) okänd. Här, liksom i fallet med redundans genom ersättning, är logiskt-probabilistiska metoder maktlösa. Dessa brister hos logiskt-probabilistiska metoder minskar således deras praktiska tillämpning vid beräkning av tillförlitligheten hos komplexa system.
5.4. Topologiska metoder för tillförlitlighetsanalys
Vi kommer att kalla topologiska metoder som låter dig bestämma tillförlitlighetsindikatorerna antingen genom tillståndsgrafen eller genom systemets strukturdiagram, utan att kompilera eller lösa ekvationer. Ett antal arbeten ägnas åt topologiska metoder, som beskriver olika sätt att implementera dem i praktiken. Det här avsnittet beskriver metoder för att bestämma tillförlitlighetsindikatorerna från tillståndsdiagrammet.
Topologiska metoder gör det möjligt att beräkna följande tillförlitlighetsindikatorer:
- P(t)- sannolikhet för icke-fel drift under, tid t;
- T1, - Genomsnittlig tid för drift utan fel.
- K g (t)- beredskapsfunktion (sannolikheten att systemet är i drift vid vilken som helst godtycklig tidpunkt t);
- K g= - beredskapsfaktor;
T- tid mellan fel i det återställda systemet.
Topologiska metoder har följande egenskaper:
Enkelhet av beräkningsalgoritmer;
Hög tydlighet i procedurer för att bestämma de kvantitativa egenskaperna för tillförlitlighet;
Möjlighet till ungefärliga uppskattningar;
Inga begränsningar för typen av blockdiagram (system, återvinningsbara och icke-återställbara, icke-redundanta och redundanta med någon typ av redundans och valfri mångfald).
Detta kapitel kommer att diskutera begränsningarna för topologiska metoder:
Fel- och återhämtningsfrekvensen för elementen i ett komplext system är konstanta värden”;
Tidsindikatorer för tillförlitlighet, såsom sannolikheten för felfri drift och tillgänglighetsfunktionen, bestäms i Laplace-transformer;
Svårigheter, i vissa fall oöverstigliga, i analysen av tillförlitligheten hos komplexa system som beskrivs av en multipelansluten tillståndsgraf.
Idén med topologiska metoder är följande.
Tillståndsgrafen är ett av sätten att beskriva systemets funktion. Den bestämmer typen av differentialekvationer och deras antal. Övergångarnas intensitet, som kännetecknar elementens tillförlitlighet och deras återvinningsbarhet, bestämmer koefficienterna för differentialekvationer. De initiala villkoren väljs genom att koda grafens noder.
Tillståndsgrafen innehåller all information om systemets tillförlitlighet. Och detta är anledningen till att tro att tillförlitlighetsindikatorer kan beräknas direkt från tillståndsgrafen.
5.4.1. Bestämma sannolikheterna för systemtillstånd
Sannolikhet att hitta det återvinningsbara systemet i ett tillstånd i vid en bestämd tidpunkt t i Laplace-transformen kan skrivas i följande form:
var ∆(s)- huvuddeterminanten för systemet av differentialekvationer skrivna i Laplace-transformationer; Δi(s)är en privat bestämningsfaktor för systemet.
Det framgår av uttryck (5.13) att Pi(s) kommer att bestämmas om graderna hittas från tillståndsgrafen sorts polynom av täljaren och nämnaren, samt koefficienterna Bij (j = 0,1,2,..., m) och A i(i = 0,1, 2,..., n-1).
Låt oss först överväga metoden för att bestämma Pi(s) tillståndsgrafen för endast sådana system, i tillståndsgrafen för vilka det inte finns några övergångar genom tillstånd. Dessa inkluderar alla icke-redundanta system, redundanta system med generell redundans med heltals- och bråkmultiplicitet, redundanta system av vilken struktur som helst med underhåll av defekta enheter i omvänd ordning mot deras mottagande för reparation. Denna klass av system inkluderar även några redundanta system med lika tillförlitliga enheter med olika discipliner för deras underhåll.
Systemets funktion beskrivs av differentialekvationer, vars antal är lika med antalet grafnoder. Detta innebär att den huvudsakliga bestämningsfaktorn för systemet ∆(s) i allmänhet kommer att vara ett polynom n e graden, var när antalet tillståndsgrafnoder. Det är lätt att visa att nämnarpolynomet inte innehåller en skärning. Faktiskt sedan sedan nämnaren för funktionen Pi(s) måste innehålla s som en faktor, annars den slutliga sannolikheten Pi (∞) kommer att vara lika med noll. Undantaget är när antalet reparationer är begränsat.
Grad av täljarpolynomet∆ i hittas från uttrycket:
m i \u003d n - 1 - l i,
var n- antal noder i tillståndsgrafen; l i- antalet övergångar från systemets initiala tillstånd, bestämt av de initiala villkoren för dess funktion, till tillståndet i längs den kortaste vägen.
Om det initiala tillståndet för systemet är tillståndet när alla enheter är i drift, då l i- ange nivånummer i, dvs. l iär lika med det minsta antalet misslyckade systemenheter i staten i. Alltså graden av sannolikhetstäljarens polynom P i (s) stanna i systemet i-th tillstånd beror på tillståndsnumret i och från de ursprungliga förhållandena. Sedan antalet övergångar l i kanske 0,1,2,..., n-1, sedan graden av polynometΔi(s) baserat på (5.14) kan också ta värdena m jag = 0,1,2,..., n-1.
LVM uppstod som ett resultat av forskning kring säkerhetsproblem i komplexa system. Det kan användas för att uppskatta sannolikheten för fel i ett komplext system.
LVM hänvisar till axiomatiska metoder för beslutsfattande under förhållanden av stokastisk osäkerhet. Det gör det möjligt att minska denna osäkerhet med sitt evidensbaserade tillvägagångssätt och experimentella resultat - alternativens probabilistiska egenskaper.
I manualen betraktas LVM som exempel på att lösa problemet med att välja det mest tillförlitliga informationssystemet.
Låt uppsättningen alternativ vara uppsättningen av riskindikatorer för informationssystem (IS). Det krävs att hitta ett sådant IS, vars risk är minimal.
Under systemrisk summan av riskerna med de resurser som den består av beaktas:
var R i- risk i-th resursen, n- mängden resurser. Varje resurs är associerad med en uppsättning farliga tillstånd (OS), vars implementering leder till att denna resurs misslyckas.
Informationsresurser, tjänster, fysiska eller hårdvaruresurser, programvara kan fungera som exempel på IP-resurser. Ett exempel på en informationsresurs är en IP-databas.
Under i:e resursrisk summan av risker förknippade med genomförandet av farliga tillstånd för en given resurs förstås:
var r i j– realiseringsrisk j-th farligt tillstånd i-th resursen, ; M i– antal farliga tillstånd i-th resursen.
Exempel på OS för resursen "DB" är brott mot sekretess för information, fullständig eller partiell förlust av information på grund av fel på lagringsmediet, kränkning av åtkomst.
Under risken för det j:te farliga tillståndet för den i:te resursen förstås som produkten av sannolikhet P ij och kostnaden för förluster C ij från realiseringen av detta farliga tillstånd för resursen:
.
Således kan uppgiften med systemriskbedömning delas in i följande steg:
1. Beskrivning av strukturen för systemresurserna;
2. beskrivning av uppsättningen farliga tillstånd för systemresurserna;
3. uppskattning av sannolikheter P ij genomförande av farliga tillstånd, inklusive identifiering av mått på påverkan av hot på genomförandet av farliga tillstånd;
4. uppskatta kostnaden för förluster C ij från förverkligandet av farliga tillstånd.
De viktigaste bestämmelserna i den logiskt-probabilistiska metoden
Den logiskt-probabilistiska metoden för att analysera säkerheten hos komplexa tekniska system föreslogs på 70-talet av 1900-talet
I. A. Ryabinin. Huvudidén med denna metod är att kombinera logiska och probabilistiska tillvägagångssätt för att bedöma tillförlitlighetsindikatorerna för komplexa tekniska, ekonomiska, sociala system och andra system.
I LVM används begreppen som grundläggande farligt systemtillstånd och fara – systemets förmåga att gå in i ett farligt tillstånd. Beskrivningen av systemets farliga tillstånd börjar med kompileringen farascenario (OS), som är byggt med hjälp av operationerna disjunction och conjunction over initierande förhållanden och evenemang .
Fel i ett eller flera element i systemet fungerar som initierande villkor och händelser. Varje element i systemet är associerat boolesk variabel x k() med två möjliga tillstånd (till exempel funktionsduglighet/misslyckande, beredskap/otillgänglighet, etc.) med givna probabilistiska parametrar för dessa tillstånd p k och qk =1-pk.
Scenariot är grunden för att kompilera en logisk funktion, eller en funktion av logikens algebra (FAL), som beskriver systemets farliga tillstånd.
Nästa steg är att omvandla den logiska algebrafunktionen till en probabilistisk funktion, som vidare används för att erhålla en kvantitativ uppskattning av sannolikheten för att ett farligt tillstånd ska inträffa.
Således tillhandahåller metoden å ena sidan en mekanism för att formalisera en uppsättning farliga tillstånd i systemet, och å andra sidan en teoretiskt underbyggd metod för den kvantitativa riskbedömningen av systemet.
För ett system som består av olika resurser används LVM för att erhålla kvantitativa uppskattningar av sannolikheterna för farliga tillstånd för varje typ av resurs. I sin tur betraktas varje resurs i LVM också som ett separat system.
Redogörelse för problemet med att uppskatta sannolikheterna för förverkligandet av farliga tillstånd för resursen
Given:
1. Resurs med nummer i, för vilka farliga tillstånd är markerade Sij, , var mär antalet möjliga tillstånd.
2. OS-struktur och sannolikheter för att initiera händelser (hot) x k, .
Krävs för att hitta:
Sannolikheter P ij genomförandet av farliga tillstånd Sij, .
Lösningsalgoritm
Steg 1: Skriva ett farligt tillstånd Sij.
Steg 2: Bygg den booleska algebrafunktionen (FAL) 
använder konjunktions- och disjunktionsoperationer baserade på ett farligt tillståndsscenario Sij.
Steg 3. Bygga en sannolikhetsfunktion (WF) 
baserat på funktionen hos logikens algebra.
Steg 4. Sannolikhetsberäkning P ij realisering av ett farligt tillstånd med hjälp av en probabilistisk funktion.
Teoretiska grunder för LVM
För närvarande kombineras matematisk logik och sannolikhetsteori utifrån den logiskt-sannolikhetsanalys. Samtidigt antas att sannolikhetsteorin gör det möjligt att kvantifiera tillförlitligheten eller säkerheten hos system vars struktur beskrivs med hjälp av matematisk logik.
Huvudproblemet i den praktiska tillämpningen av LVM är omvandlingen av godtyckliga FALs till formerna för övergång till fullständig substitution (TFS). För att göra denna transformation standard och matematiskt rigorös är det nödvändigt att vända sig till en speciell teoretisk apparat, vars grundläggande begrepp och satser kommer att ges nedan.
Vi kommer att anta att varje element i systemet är tilldelat boolesk variabel x k,() med två möjliga tillstånd (hälsa/misslyckande, redo/ej redo, etc.) med givna probabilistiska parametrar för dessa tillstånd p k och qk =1-pk :
Dessutom förutsätts att alla evenemang x kär oberoende i aggregatet och att de initiala parametrarna för lagarna för fördelningar av element inte ändras på det övervägda tidsintervallet för systemdriften.
Formens uttryck 
kallad elementär konjunktion
K rang r. Ett uttryck för formen , där är elementära konjunktioner av olika rang, kallas disjunktiv normalform
(DNF). Om funktionen skrivs i DNF, och rangen för varje elementär konjunktion är lika med n, då kallas en sådan DNF perfekt disjunktiv normalform
(SDNF).
Formens uttryck 
kallad elementär disjunktion
rang r.
De två elementära konjunktionerna kallas ortogonal , om deras produkt är lika med noll (exempel: och ).
DNF kallas ortogonal disjunktiv normalform (ODNF) om alla dess medlemmar är parvis ortogonala.
Upprepad DNF(BDNF) är en DNF där varje logisk variabel förekommer exakt en gång.
De Morgan styr tillåta logisk multiplikation att uttryckas genom negationen av den logiska summan av inversa påståenden och den logiska summan genom negationen av den logiska produkten av inversa påståenden. I framtiden kommer de att användas för att föra FAL till en speciell form:
och 
Probabilistisk funktion(WF) vi kommer att kalla sannolikheten för FAL:s sanning:
P(f(x 1, x 2, …, x h)=1 )
Funktioner i logikens algebra som tillåter en direkt övergång till en probabilistisk funktion genom att ersätta logiska variabler med sannolikheter, och logiska operationer med motsvarande aritmetiska operationer, kommer vi att kalla former av övergång till substitution (FPZ).
Former för övergång till full ersättning(FPZ) kallas FPZ, där ersättningen av alla logiska variabler utförs samtidigt.
boolesk skillnad funktioner 
genom argument x k kallad
där symbolen " " anger den logiska operationen "summa modulo två".
Fungera 
kallad monoton
, om för några uppsättningar ( a 1, …, a h) och ( b 1, …, b h), Så att , ( k=1,2,…,h) det finns ett samband f(a 1, …, a h) f(b 1, …, b h). Därefter överväger vi ett antal grundläggande satser.
Sats 1. Den partiella derivatan av sannolikheten för sanningen i en monoton FAL med sannolikheten för argumentets sanning x kär numeriskt lika med sannolikheten för den booleska skillnaden för denna funktion med avseende på argumentet x k:
Sats 2. Sannolikheten för sanningen för en godtycklig FAL, representerad i ODNF, är lika med summan av sannolikheterna för alla ortogonala medlemmar av denna FAL:
,
var Åh uär inte bara elementära konjunktioner av ODNF, utan också vilken FAL som helst, parvis ortogonal.
Sats 3. Disjunktionen av ortogonala icke-repetitiva former i konjunktionsnegationsbasen är en form av övergång till fullständig substitution.
För närvarande finns flera kända FFPPs - dessa är perfekt disjunktiv normalform (SDNF), ortogonal disjunktiv normalform (ODNF) och icke-repetitiva FALs (BFALs) i "konjunktion-negation"-basis.
Om FAL är representerat i FPPZ, utförs övergången till den probabilistiska funktionen enligt följande regler:
1. Varje logisk variabel i FFPP ersätts med sannolikheten att den är lika med en:
, ;
2. Negationen av en funktion ersätts av skillnaden mellan enhet och sannolikheten att denna funktion är lika med en;
3. Operationerna för logisk multiplikation och addition ersätts av operationerna för aritmetisk multiplikation och addition.
Att skriva ett farligt tillstånd
Att sammanställa ett scenario för ett farligt tillstånd för IS kan representeras som följande steg:
1. val av den sista händelsen - ett farligt tillstånd (misslyckande),
2. urval av mellanliggande händelser som leder till realiseringen av ett farligt tillstånd och erhålls som en kombination av två eller flera initierande händelser,
3. urval av initierande händelser-hot.
Ett händelse- eller felträd används för att representera det farliga tillståndet.
På fig. 5.2 visar ett exempel på ett farligt tillståndsscenario i form av ett händelseträd.
Ris. 5.2. Ett exempel på ett händelseträd för att beskriva ett farligt systemtillstånd
Bygga en boolesk algebrafunktion
Med hjälp av händelseträdet kompileras en logisk algebrafunktion som beskriver förutsättningarna för systemets övergång till ett farligt tillstånd.
För att beskriva förutsättningarna för övergången av systemet till ett farligt tillstånd, begreppet " kortaste vägen till farlig drift » (KPOF), vilket förstås som en kombination av den minsta uppsättningen av systemelement som tillsammans säkerställer övergången av systemet till ett farligt tillstånd:
,
var Kwlär uppsättningen av antalet variabler som motsvarar den givna vägen.
Villkor för övergången av systemet till ett farligt tillstånd kan representeras som en disjunktion av alla tillgängliga KPOF:
.
Exempel. Låt händelseträdet ha den form som visas i fig. 5.2.
Då är KPOF: , , , .
Villkoret för övergången av systemet till ett farligt tillstånd har formen:
Konstruktion av en sannolikhetsfunktion
I föregående skede mottogs FAL 
, som beskriver systemets farliga tillstånd som en disjunktion av alla KPOF. Nästa steg är omvandlingen av FAL till FPPP - SDNF, ODNF eller icke-repetitiv FAL i konjunktionsnegationsbasen (BFAL).
Konstruktionen av en probabilistisk funktion baserad på FPP utförs enligt reglerna som beskrivs ovan. Resultatet av detta steg är sannolikhetsfunktionen
Beräkning av uppskattningen av sannolikheten för förverkligandet av ett farligt tillstånd
Ersätter värden 
i WF som erhållits i föregående steg får vi en uppskattning av sannolikheten för realiseringen av ett farligt tillstånd P ij.
Exempel
Låt oss överväga ett exempel på att använda LVM för att bedöma risken för implementeringen av det farliga tillståndet "Brott mot konfidentialitet i IS-databasen (IS DB)".
Steg 1. Skripta ett farligt tillstånd för resursen (Fig. 5.3).
Ris. 5.3. Scenario OS "Brott mot konfidentialiteten för DB IS"
Steg 2 Bygga en logisk algebrafunktion. Enligt det beskrivna scenariot tar den logiska funktionen formen:
F=X 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X 6 X 7 X 8 X 9 X 10 X 11 X 12 X 13 X 14 X 15 X 12 X 13 X 14 X 15
Kärnan i logiskt-probabilistiska metoder ligger i användningen av logiska algebrafunktioner (FAL) för analytisk registrering av systemprestandaförhållanden och övergången från FAL till probabilistiska funktioner (WF), som objektivt uttrycker systemets tillförlitlighet. De där. med hjälp av den logiskt-probabilistiska metoden är det möjligt att beskriva IC-kretsar för beräkning av tillförlitlighet med hjälp av matematisk logikapparat, följt av användning av sannolikhetsteori för att bestämma tillförlitlighetsindikatorer.
Systemet kan bara vara i två tillstånd: i ett tillstånd av full funktionsduglighet ( på= 1) och i ett tillstånd av fullständigt misslyckande ( på= 0). Det antas att systemets verkan är deterministiskt beroende av verkan av dess element, d.v.s. påär en funktion X 1 , X 2 , … , x i , … , x n. Element kan också endast vara i två inkompatibla tillstånd: full hälsa ( x i= 1) och fullständigt misslyckande ( x i = 0).
En funktion av logikens algebra som relaterar tillståndet hos element till systemets tillstånd på (X 1 , X 2 ,…,xn) kallas hälsofunktion system F(y)= 1.
För att bedöma systemets drifttillstånd används två begrepp:
1) den kortaste vägen för framgångsrik operation (KPUF), som är en sådan sammansättning av dess element, vars komponenter inte kan tas bort utan att bryta mot systemets funktion. En sådan konjunktion skrivs som följande FAL:
var i– tillhör den uppsättning siffror som motsvarar det givna
l-mycket.
Med andra ord beskriver systemets KPUF ett av dess möjliga drifttillstånd, vilket bestäms av den minsta uppsättningen av driftbara element som är absolut nödvändiga för att utföra de funktioner som specificeras för systemet.
2) det minsta tvärsnittet för systemfel (MSF), som är en sådan förening av negationerna av dess element, där ingen av komponenterna kan tas bort utan att bryta mot systemets inoperabilitetsvillkor. En sådan konjunktion kan skrivas som följande FAL:
där betecknar den uppsättning siffror som motsvarar den givna sektionen.
Med andra ord beskriver systemets MCO ett av de möjliga sätten att störa systemets funktion genom att använda den minsta uppsättningen misslyckade element.
Varje redundant system har ett ändligt antal kortaste vägar ( l= 1, 2,…, m) och minsta tvärsnitt ( j = 1, 2,..., m).
Med hjälp av dessa begrepp kan vi skriva ner förutsättningarna för att systemet ska fungera.
1) i form av en disjunktion av alla tillgängliga kortaste vägar för framgångsrik drift.
;
2) i form av en konjunktion av negationer av alla MCO
;
Sålunda kan driftförhållandena för ett verkligt system representeras som driftförhållandena för något ekvivalent (i termer av tillförlitlighet) system, vars struktur är en parallellkoppling av de kortaste vägarna för framgångsrik drift, eller ett annat ekvivalent system, strukturen varav är en kombination av negationerna av minimisektionerna.
Till exempel, för brostrukturen för IC:n kommer systemets hälsofunktion som använder KPUF att skrivas enligt följande:
;
funktionsfunktionen för samma system genom MCO kan skrivas i följande form:
Med ett litet antal element (högst 20) kan en tabellform för beräkning av tillförlitlighet användas, som bygger på användningen av additionssatsen för sannolikheterna för gemensamma händelser.
Sannolikheten för felfri drift av systemet kan beräknas med formeln (genom en probabilistisk funktion av formuläret):
Logisk-probabilistiska metoder (metoder: skärning, tabellform, ortogonalisering) används ofta i diagnostiska procedurer när man konstruerar felträd och bestämmer de grundläggande (initiella) händelserna som gör att systemet misslyckas.
För tillförlitligheten hos ett datorsystem med en komplex redundansstruktur kan en statistisk modelleringsmetod användas.
Tanken med metoden är att generera booleska variabler x i med en given sannolikhet pi för förekomsten av en enhet, som ersätts i den logiska strukturella funktionen av det simulerade systemet i en godtycklig form, och sedan beräknas resultatet.
Aggregat X 1 , X 2 ,…, x n oberoende slumpmässiga händelser som bildar en komplett grupp kännetecknas av sannolikheterna för att var och en av händelserna ska inträffa sid(x i), och .
För att simulera denna uppsättning slumpmässiga händelser används en slumptalsgenerator, jämnt fördelad i intervallet
Menande pi väljs lika med sannolikheten för felfri drift i-te delsystemet. I detta fall upprepas beräkningsprocessen N 0 gånger med nya, oberoende slumpmässiga argumentvärden x i(detta räknar antalet N(t) enskilda värden för den logiska strukturella funktionen). Attityd N(t)/N 0 är en statistisk uppskattning av sannolikheten för drifttid
var N(t) - antalet felfria arbeten fram till tidpunkten t föremål, med deras ursprungliga nummer.
Generera slumpmässiga booleska variabler x i med en given sannolikhet för förekomst av en p i utförs på basis av slumpvariabler jämnt fördelade i intervallet, erhållna med hjälp av standardprogram som ingår i den matematiska programvaran för alla moderna datorer.
1. Nämn metod för att bedöma tillförlitligheten hos IS, där sannolikheten för felfri drift av systemet definieras som R n ≤R med ≤R in.
2. För att beräkna tillförlitligheten för vilka system används metoden för banor och sektioner?
3. Vilken metod kan användas för att utvärdera tillförlitligheten hos enheter av bryggtyp?
4. Vilka metoder för att fastställa tillförlitlighetsindikatorerna för återvinningsbara system är kända?
5. Strukturellt representera bryggkretsen som en uppsättning minimivägar och sektioner.
6. Definiera den minsta vägen och den minsta sektionen.
7. Spela in hälsofunktionen för grenad enhet?
8. Vad kallas en hälsofunktion?
9. Vad är den kortaste vägen till framgångsrik drift (KPUF). Skriv ner arbetsvillkoren i form av KPUF.
10. Var används den logiskt-probabilistiska metoden för tillförlitlighetsbedömning?
Litteratur: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Ämne: Beräkning av tillförlitligheten hos återvinningsbara system (metod för differentialekvationer)
1. Allmänna metoder för att beräkna tillförlitligheten hos återvinningsbara system.
2. Konstruktion av en graf över möjliga systemtillstånd för att bedöma tillförlitligheten hos återställda system.
3. Metod för differentialekvationssystem (SDE), Kolmogorovs regel för att kompilera SDE
4. Normalisering och initiala villkor för att lösa SDE.
Nyckelord
Återställningsbart system, kvantitativa egenskaper för tillförlitlighet, tillståndsgraf, drifttillstånd, system med differentialekvationer, Kolmogorovs regel, sannolikhet för felfri drift, återställningsfrekvens, felfrekvens, normaliseringsförhållanden, initiala förhållanden, tillförlitlighetsparametrar, icke-redundanta system.
Huvuduppgiften för att beräkna tillförlitligheten hos designad IS är konstruktionen av matematiska modeller som är lämpliga för de probabilistiska processerna för deras funktion. Dessa modeller gör det möjligt att bedöma graden av tillfredsställelse av tillförlitlighetskraven för designade eller drivna system.
Typen av matematisk modell avgör möjligheten att erhålla beräkningsformler. För att beräkna tillförlitligheten för återvinningsbara redundanta och icke-redundanta system används följande: metoden för integralekvationer, metoden för differentialekvationer, metoden för transienta intensiteter, metoden för att bedöma tillförlitligheten genom grafen över möjliga tillstånd, etc. .
Metod för integralekvationer. Metoden för integralekvationer är den mest generella; den kan användas för att beräkna tillförlitligheten hos alla (återställbara och icke-återställbara) system för alla fördelningar av FBG och återhämtningstid.
I det här fallet, för att bestämma systemets tillförlitlighetsindikatorer, sammanställs och löses integrerade och integrodifferentialekvationer som relaterar egenskaperna hos FBG-distributionen, och för återställda system, elementens återhämtningstid.
Under sammanställningen av integralekvationer pekas vanligtvis ut ett eller flera infinitesimala tidsintervall, för vilka komplexa händelser betraktas som manifesterar sig under en kombinerad verkan av flera faktorer.
I det allmänna fallet hittas lösningar med numeriska metoder med hjälp av en dator. Metoden med integralekvationer är inte allmänt använd på grund av svårigheten att lösa.
Metod för differentialekvationer. Metoden används för att bedöma återställningsbara objekts tillförlitlighet och baseras på antagandet om exponentiella fördelningar av tiden mellan fel (driftstid) och återhämtningstid. I detta fall felflödesparametern w =λ = 1/t cp. och återhämtningsintensitet µ = 1/ t in, var t cp.- betyder upptid, t inär den genomsnittliga återhämtningstiden.
För att tillämpa metoden är det nödvändigt att ha en matematisk modell för uppsättningen av möjliga tillstånd i systemet S={S 1 , S 2 ,..., S n), där den kan placeras under systemfel och återställningar. Då och då systemet S hoppar från ett tillstånd till ett annat under verkan av misslyckanden och återställanden av dess individuella element.
När man analyserar ett systems beteende i tid under slitage är det bekvämt att använda en tillståndsgraf. En tillståndsgraf är en riktad graf, där cirklar eller rektanglar representerar systemets möjliga tillstånd. Den innehåller så många hörn som det finns olika möjliga tillstånd för ett objekt eller system. Kanterna på grafen återspeglar möjliga övergångar från något tillstånd till alla andra med parametrar för fel och återhämtning (nära pilarna visas övergångarna).
Varje kombination av misslyckade och funktionsdugliga tillstånd av delsystem motsvarar ett tillstånd i systemet. Antal systemtillstånd n= 2k, var k– Antal delsystem (element).
Sambandet mellan sannolikheterna för att hitta systemet i alla dess möjliga tillstånd uttrycks av systemet med Kolmogorovs differentialekvationer (första ordningens ekvationer).
Strukturen för Kolmogorov-ekvationerna är byggd enligt följande regler: på vänster sida av varje ekvation skrivs derivatan av sannolikheten att hitta objektet i det aktuella tillståndet (grafens vertex), och den högra sidan innehåller lika många medlemmar eftersom det finns kanter på tillståndsgrafen associerade med denna vertex. Om kanten är riktad från en given vertex, har motsvarande term ett minustecken, om till en given vertex, ett plustecken. Varje term är lika med produkten av felintensitetsparametern (återhämtning) som är associerad med en given kant och sannolikheten för att vara i spetsen av grafen från vilken kanten kommer.
Kolmogorovs ekvationssystem inkluderar lika många ekvationer som det finns hörn i objektets tillståndsgraf.
Systemet med differentialekvationer kompletteras med normaliseringsvillkoret:
var Pj(t j-th stat;
när antalet möjliga tillstånd i systemet.
Lösningen av ekvationssystemet under specifika förhållanden ger värdet av de önskade sannolikheterna Pj(t).
Hela uppsättningen av möjliga tillstånd i systemet är uppdelad i två delar: en undergrupp av tillstånd n 1, där systemet är i drift, och en undergrupp av tillstånd n 2 där systemet inte fungerar.
System redo funktion:
Till G 
,
var Pj(t) är sannolikheten att hitta systemet i j fungerande skick;
n 1 är antalet tillstånd i vilka systemet är i drift.
När det är nödvändigt att beräkna systemtillgänglighetsfaktorn eller stilleståndsfaktorn (systemavbrott tillåts), beakta stationär drift vid t→∞. I det här fallet omvandlas alla derivator och systemet av differentialekvationer till ett system av algebraiska ekvationer, som lätt kan lösas.
Ett exempel på en tillståndsgraf för ett icke-redundant återvinningsbart system med n- elementen visas i fig. ett.
Ris. 1. Graf över tillstånden för det återställda systemet (skuggade tillstånd indikerar inoperabla tillstånd)
Överväg de möjliga tillstånden i vilka systemet kan vara. Följande tillstånd är möjliga här:
S 0 - alla element är operativa;
S 1 - det första elementet är inoperabelt, resten fungerar;
S 2 - det andra elementet är inoperabelt, resten fungerar;
S n – n Det e elementet är inoperabelt, resten fungerar.
Sannolikheten för att två inoperabla element uppträder samtidigt är försumbar. Symboler λ 1 , λ2 ,…, λ n felfrekvensen anges, µ 1 , µ 2 ,…, µ nåterhämtningsintensitet för motsvarande element;
Enligt tillståndsdiagrammet (fig. 1) utgör de ett system av differentialekvationer (ekvationen för tillståndet) S 0 utelämnas på grund av krånglighet):
Med normaliseringstillståndet: .
Inledande villkor:
I stationär drift (när t→∞) vi har:
Efter att ha löst det resulterande systemet med algebraiska ekvationer, med hänsyn till normaliseringsvillkoret, hittar vi tillförlitlighetsindikatorerna.
När man löser ett ekvationssystem kan man använda Laplace-transformen för tillståndssannolikheter eller numeriska metoder.
Kontrollera frågor och uppgifter
1. Vilka metoder för att fastställa tillförlitlighetsindikatorerna för återvinningsbara system är kända?
2. Hur bestäms tillstånden för IS-element och enheter?
3. Hur bestämmer man områdena för friska tillstånd i systemet?
4. Varför används metoden med differentialekvationer i stor utsträckning för att bedöma tillförlitligheten hos återställda system?
5. Vad är en nödvändig förutsättning för att lösa system med differentialekvationer?
6. Hur sammanställs differentialekvationer för att bestämma tillförlitlighetsparametrarna för IS?
7. Vilket villkor bör läggas till i systemet med differentialekvationer (SDE) för en effektivare lösning.
8. Skriv ner driftsförhållandena för systemet, bestående av tre element.
9. Hur många tillstånd har en enhet som består av fyra element?
10. Vilken regel används för att kompilera CDS?
Litteratur: 1, 2, 3, 5, 6, 8.
Ämne: Markov-modeller för bedömning av tillförlitligheten hos redundanta återvinningsbara informationssystem
1. Begreppet Markov-egendomen, definitionen av systemets tillstånd.
2. Metod och algoritm för att konstruera Markov-modellen.
3. Beräkningsformler för beräkning av fordonets tillförlitlighetsindikatorer
4. Övergångsintensitetsmatris för bedömning av tillförlitlighetsindikatorerna för redundanta återvinningsbara IC:er.
Nyckelord
Markov-modell, systemtillstånd, prestanda, övergångsintensitetsmatris, tillståndsgraf, återvinningsbart system, redundans, sekventiell krets, konstant reserv, system av differentialekvationer, Kolmogorovs regel, tillförlitlighetsberäkningsschema, ungefärlig metod, SDE-konstruktionsalgoritmer, normaliseringsförhållanden, initiala villkor , sannolikhet för felfri drift, felfrekvens.
Funktionen hos IS och deras komponenter kan representeras som en uppsättning övergångsprocesser från ett tillstånd till ett annat under påverkan av alla skäl.
Ur tillförlitligheten hos återställd IS kännetecknas deras tillstånd vid varje tidpunkt av vilket av elementen som är i drift och vilka som återställs.
Om varje möjlig uppsättning funktionsdugliga (obrukbara) element är associerade med en uppsättning objekttillstånd, kommer fel och återställningar av element att visas genom övergången av objektet från ett tillstånd till ett annat:
Låt, till exempel, objektet består av två element. Då kan det vara i ett av fyra tillstånd: n = 2k = 2 2 = 4.
S 1 - båda elementen är operativa;
S 2 - endast det första elementet är inoperativt;
S 3 - endast det andra elementet är inoperabelt;
S 4 - båda elementen fungerar inte.
Uppsättningen av möjliga objekt säger: S={S 1 , S 2 , S 3 , S 4 }.
Den kompletta uppsättningen av tillstånd i systemet som studeras kan vara diskreta eller kontinuerliga (fyll kontinuerligt ett eller flera intervall av den numeriska axeln).
I det följande kommer vi att överväga system med ett diskret tillståndsutrymme. Sekvensen av tillstånd i ett sådant system och processen för övergångar från ett tillstånd till ett annat kallas en kedja.
Beroende på den tid systemet tillbringar i varje tillstånd, särskiljs processer med kontinuerlig tid och processer med diskret tid. I processer med kontinuerlig tid utförs systemets övergång från ett tillstånd till ett annat när som helst. I det andra fallet är tiden som systemet spenderar i varje tillstånd fixerad så att övergångsmomenten placeras på tidsaxeln med jämna mellanrum.
För närvarande är kedjorna med Markov-fastigheten de mest studerade. Övergångssannolikheterna betecknas med symbolerna P ij(t), och processen P ijövergångar kallas en Markov-kedja eller Markov-kedja.
Markov-egendomen är förknippad med frånvaron av en efterverkan. Detta innebär att systemets beteende i framtiden endast beror på dess tillstånd vid en given tidpunkt, och inte beror på hur det kom till detta tillstånd.
Markov-processer gör det möjligt att beskriva sekvenser av fel-återställning i system som beskrivs med hjälp av en tillståndsgraf.
Den mest använda metoden för att beräkna tillförlitlighet är kontinuerliga Markov-kedjor baserade på ett system av differentialekvationer, som i matrisform kan skrivas som:
,
var P(t)= P 0 – initiala villkor;
,
och Λ är övergångsintensitetsmatrisen (koefficientmatrisen för tillståndssannolikheterna):
där λ I j– intensiteten av systemövergången från det i:te tillståndet till det j:te;
Pjär sannolikheten att systemet är i det j:te tillståndet.
Vid bedömning av tillförlitligheten hos komplexa redundanta och återvinningsbara system leder Markov-kedjemetoden till komplexa lösningar på grund av det stora antalet tillstånd. I fallet med delsystem av samma typ som arbetar under samma förhållanden, används aggregeringsmetoden för att minska antalet tillstånd. Stater med samma antal delsystem slås samman. Då minskar dimensionen på ekvationerna.
Sekvensen av metodiken för att bedöma tillförlitligheten hos redundanta återvinningsbara system med hjälp av Markov-kedjemetoden är som följer:
1. Anordningens sammansättning analyseras och ett strukturellt diagram över tillförlitlighet upprättas. Enligt schemat konstrueras en graf där alla möjliga tillstånd beaktas;
2. Alla hörn i grafen som ett resultat av analysen av blockdiagrammet är uppdelade i två delmängder: de hörn som motsvarar systemets drifttillstånd och de hörn som motsvarar systemets inoperativa tillstånd.
3. Med hjälp av tillståndsgrafen sammanställs ett system av differentialekvationer (Kolmogorovs regel används);
4. De initiala förutsättningarna för att lösa problemet väljs;
5. Sannolikheterna för att systemet är i ett fungerande tillstånd vid en godtycklig tidpunkt bestäms;
6. Sannolikheten för problemfri drift av systemet bestäms;
7. Vid behov bestäms andra indikatorer.
Kontrollera frågor och uppgifter
1. Vad menas med en Markov-kedja?
2. Ge en algoritm för att uppskatta tillförlitligheten av IS med hjälp av Markov-modeller.
3. Hur sammanställs differentialekvationer för att bestämma tillförlitlighetsparametrarna för IS?
4. Värdet av vilka tillförlitlighetsindikatorer kan erhållas med Markovmetoden?
5. Lista huvudstegen i att bygga en Markov-modell för tillförlitligheten hos ett komplext system.
6. Vad är ett nödvändigt villkor för att lösa differentialekvationssystem?
7. Hur bestäms tillstånden för elementen och enheterna i CS?
8. Definiera begreppet återvinningsbara system.
9. Vad är en Markov-kedja?
10. Vilka system utvärderas med Markovs tillförlitlighetsmodeller?
Litteratur: 1, 2, 3, 10, 11.
Ämne: Ungefärliga metoder för att beräkna tillförlitligheten hos IS-hårdvara
1. Grundläggande antaganden och begränsningar vid bedömning av tillförlitligheten av serieparallella strukturer.
2. Ungefärliga metoder för att beräkna tillförlitligheten hos återvinningsbara IC, med seriell och parallell inkludering av IC-delsystem.
3. Strukturella scheman för beräkning av tillförlitligheten hos IS.
Nyckelord
Tillförlitlighet, serieparallell struktur, ungefärliga metoder för beräkning av tillförlitlighet, strukturdiagram för tillförlitlighetsberäkning, felfrekvens, återhämtningsgrad, tillgänglighetsfaktor, återhämtningstid, datorsystem.
strömförsörjning med hjälp av ett felträd
Den logik-probabilistiska metoden som använder ett felträd är deduktiv (från allmänt till särskilt) och används i de fall där antalet olika systemfel är relativt litet. Användningen av ett felträd för att beskriva orsakerna till ett systemfel underlättar övergången från en allmän definition av fel till särskilda definitioner av fel och funktionssätt för dess element, som är förståeliga för specialistutvecklare av både själva systemet och elementen. . Övergången från ett felträd till en logisk felfunktion öppnar för möjligheter att analysera orsakerna till systemfel på formell basis. Den logiska felfunktionen låter dig få formler för analytisk beräkning av frekvensen och sannolikheten för systemfel baserat på den kända frekvensen och sannolikheten för elementfel. Användningen av analytiska uttryck vid beräkningen av tillförlitlighetsindikatorer ger anledning att tillämpa noggrannhetsteorins formler för att bedöma resultatets rot-medelkvadratfel.
Misslyckandet av driften av ett objekt som en komplex händelse är summan av felet i operationshändelsen och händelsen 
, bestående i uppkomsten av kritiska yttre påverkan. Feltillståndet för systemets funktion formuleras av specialister inom området specifika system baserat på systemets tekniska design och analysen av dess funktion i händelse av olika händelser med hjälp av uttalanden.
Påståenden kan vara slutgiltiga, mellanliggande, primära, enkla, komplexa. En enkel proposition hänvisar till en händelse eller ett tillstånd som i sig varken anses vara en logisk summa "ELLER" eller en logisk produkt "OCH" av andra händelser eller tillstånd. En komplex sats, som är en disjunktion av flera satser (enkla eller komplexa), indikeras av operatorn "ELLER", som kopplar satser på en lägre nivå med satser på en högre nivå (Fig. 3.15, a). En komplex sats, som är en konjunktion av flera satser (enkla eller komplexa), indikeras av "AND"-operatorn, som kopplar satser på en lägre nivå med satser på en högre nivå (Fig. 3.15, b).
Fig.3.15. Logiska representationselement
Påståenden är bekvämt kodade på ett sådant sätt att det kan bedömas av koden om den är enkel eller komplex, på vilken nivå från den sista den finns och vad den är (händelse, tillstånd, operationsfel, elementtyp).
I grafteorin är ett träd en sammankopplad graf som inte innehåller slutna konturer. Ett felträd är ett logiskt träd (Fig. 3.16), där bågarna representerar felhändelser på nivån för systemet, delsystemen eller elementen, och hörnen är logiska operationer som länkar samman de initiala och resulterande felhändelserna.
Ris. 3.16. Ett exempel på att bygga ett felträd
Konstruktionen av ett felträd börjar med formuleringen av det slutliga uttalandet om systemets fel. För att karakterisera systemets tillförlitlighet hänvisas slutsatsen till en händelse som under givna förhållanden leder till en felfunktion inom det betraktade tidsintervallet. Samma sak för beredskapsegenskaper.
Exempel 8. Låt oss bygga ett felträd för nätverksdiagrammet som visas i figur 3.17.
Fig.3.17. Nätverks diagram
Transformatorstationer PÅ och FRÅN drivs av en transformatorstation MEN. Sluthändelsen för felträdet är felet i hela systemet. Detta misslyckande definieras som den händelse som
1) antingen en transformatorstation PÅ eller transformatorstation FRÅN helt förlora mat;
2) ström för att försörja den totala belastningen av transformatorstationer PÅ och FRÅN måste sändas över en enda linje.
Baserat på definitionen av sluthändelsen och systemets kretsschema bygger vi ett felträd (ned från sluthändelsen) (Fig. 3.18). Syftet med felträdsanalys är att bestämma sannolikheten för en sluthändelse. Eftersom sluthändelsen är ett systemfel ger analysen sannolikheten R(F).
Analysmetoden bygger på att hitta och beräkna mängder minsta sektioner. tvärsnitt en sådan uppsättning element kallas, vars totala fel leder till fel i systemet. Minsta sektion är en sådan uppsättning element som inte ett enda element kan tas bort från, annars upphör det att vara en sektion.
När vi flyttar en nivå ner från vertex-händelsen (slut) passerar vi genom "OR"-noden, vilket indikerar att det finns tre sektioner: ( P}, {F}, {R} (R,F, R– felhändelser). Var och en av dessa sektioner kan delas upp ytterligare i fler sektioner, men det kan visa sig att sektionsfelet orsakas av flera händelser, beroende på vilken typ av logisk nod som påträffas längs rutten.
Fig.3.18. Systemfelträdet enligt schemat i fig. 3,17:
– Fel i delsystem som kan analyseras vidare.
Till exempel, (Q) förvandlas först till en sektion (3, T), sedan T uppdelad i sektioner ( X, Y), som ett resultat, istället för ett avsnitt (3, T) två visas: (3, X}, {3,På}.
Vid vart och ett av de efterföljande stegen identifieras uppsättningar av sektioner:
Minsta sektioner är de distingerade sektionerna (3,4,5), (2.3), (1.3), (1.2). Sektionen (1,2,3) är inte minimal, eftersom (1,2) också är en sektion. I det sista steget består uppsättningarna av sektioner uteslutande av element.
Metoden är baserad på logikens algebras matematiska apparat. Beräkningen av styrsystemets tillförlitlighet innebär att bestämma förhållandet mellan en komplex händelse (systemfel) och de händelser som den beror på (fel i systemelement). Följaktligen är tillförlitlighetsberäkningar baserade på att utföra operationer med händelser och påståenden, som accepteras som påståenden om funktion eller fel hos ett element (system). Varje element i systemet representeras av en logisk variabel som tar värdet 1 eller 0.
Händelser och uttalanden med hjälp av operationer av disjunktion, konjunktion och negation kombineras till logiska ekvationer som motsvarar villkoret för systemets funktionsduglighet. En logisk hälsofunktion sammanställs. Beräkningen baserad på direkt användning av logiska ekvationer kallas logisk-probabilistisk och utförs i sju steg:
1. Verbal formulering av villkoren för objektets funktionsduglighet. Beroendet av informationssystemets hälsa av tillståndet för dess individuella element beskrivs.
2. Rita upp en logisk funktion av hälsa. Det är en logisk ekvation som motsvarar tillståndet för styrsystemets funktion
som uttrycks i disjunktiv form, till exempel:
där x i är funktionsvillkoret i - elementet Fl; Xi = 1 är ett funktionstillstånd, Xi = 0 är ett inoperativt tillstånd.
3. Att föra den logiska funktionen av arbetsförmåga FL till en ortogonal icke-repetitiv form FL . En komplex logisk funktion av arbetsförmåga måste reduceras till en ortogonal icke-repetitiv form.
En funktion av formen (2.2) kallas ortogonal om alla dess medlemmar D i är parvis ortogonala (det vill säga deras produkt är lika med noll), och icke-upprepande om var och en av dess medlemmar Di består av bokstäver x i , med olika tal (det vill säga det finns inga upprepade argument ), till exempel: produkten av elementära konjunktioner x 1, x 2, x 4 och x 3, x 2 är noll, eftersom en av dem innehåller x 2, och den andra x 2, därför är de ortogonala; D 1 \u003d x 1 × x 2 × x 2, där x 2 och x 2 har samma nummer, så termen D 1 är inte icke-repetitiv.
– ortogonal icke-repetitiv form;
- ortogonal, men inte icke-repetitiv form.
Funktionen F l kan transformeras till en ortogonal icke-repetitiv form F lo med hjälp av lagar och regler för transformation av komplexa påståenden. Vid beräkning är de vanligaste reglerna:
1) x 1 × x 2 \u003d x 2 × x 1;
4. Aritmetisering F lo. Den aritmetiska funktionen Fa (2.3) bestäms från den funna ortogonala icke-repetitiva logiska funktionen av arbetskapaciteten F LO.
där A i är den aritmetiska formen av termerna Di i funktionen F lo.
Aritmetiseringen av termerna Di, i allmän form som innehåller operationerna disjunktion, konjunktion och negation, utförs genom att ersätta logiska operationer med aritmetiska enligt reglerna:
5. Bestämma sannolikheten för felfri drift av systemet.
Sannolikheten för felfri drift av systemet sätts som sannolikheten för sanningen av den logiska funktionen av hälsa, presenterad i en ortogonal icke-repetitiv form, och beräknas som summan av sannolikheterna för sanning för alla ortogonala medlemmar av denna funktion hos den logiska algebra. Alla händelser (påståenden) ersätts av deras sannolikheter (sannolikheter för felfri drift av motsvarande element).
