Как да намерите височината на трапеца, ако е известна. Как да намерите площта на трапец

И . Сега можете да започнете да обмисляте как да намерите площта на трапец. Тази задачав ежедневието се среща много рядко, но понякога е необходимо, например, да се намери площта на стая под формата на трапец, които все по-често се използват при изграждането на модерни апартаменти или в проекти за обновяване на дизайна .

Трапецът е геометрична фигура, образувана от четири пресичащи се отсечки, два от които са успоредни един на друг и се наричат ​​основи на трапеца. Другите два сегмента се наричат ​​страни на трапеца. В допълнение, още едно определение ще бъде полезно в това, което следва. Това е средната линия на трапеца, която е отсечка, свързваща средните точки на страните и височината на трапеца, която е равна на разстоянието между основите.
Подобно на триъгълници, трапецът има частични изгледи под формата на равнобедрен (равнобедрен) трапец, в който дължината на страните е еднаква и правоъгълен трапец, при което една от страните образува прав ъгъл с основите.

Трапециите имат някои интересни свойства:

1. Средната линия на трапеца е равна на полусумата от основите и е успоредна на тях.
   
2. В равнобедрените трапеци страните и ъглите, които образуват с основите, са равни.
   
3. Средните точки на диагоналите на трапеца и пресечната точка на диагоналите му са на една и съща права линия.
   
4. Ако сумата от страните на трапеца е равна на сумата от основите, тогава в него може да се впише кръг
   
5. Ако сборът от ъглите, образувани от страните на трапец в някоя от неговите основи, е 90, тогава дължината на отсечката, свързваща средните точки на основите, е равна на тяхната полуразлика.
   
6. Равнобедрен трапец може да бъде описан с окръжност. И обратно. Ако трапецът се вписва в кръг, тогава той е равнобедрен.
   
7. Сегментът, преминаващ през средните точки на основите на равнобедрен трапец, ще бъде перпендикулярен на неговите основи и представлява оста на симетрия.
   

Как да намерите площта на трапец.

Площта на трапеца ще бъде равна на полусумата от неговите основи, умножена по височината. Под формата на формула това се записва под формата на израз:

където S е площта на трапеца, a, b е дължината на всяка от основите на трапеца, h е височината на трапеца.

Можете да разберете и запомните тази формула, както следва. Както следва от фигурата по-долу, трапец, използващ средната линия, може да се трансформира в правоъгълник, чиято дължина ще бъде равна на полусумата от основите.

Можете също да разложите всеки трапец на по-прости форми: правоъгълник и един или два триъгълника и ако ви е по-лесно, тогава намерете площта на трапеца като сбор от площите на съставните му фигури.

Има още един проста формулаза изчисляване на неговата площ. Според него площта на трапеца е равна на произведението на неговата средна линия от височината на трапеца и се записва като: S = m * h, където S е площта, m е дължината на средната линия, h е височината на трапеца. Тази формула е по-подходяща за математически задачи, отколкото за ежедневни задачи, тъй като в реални условиябез да знаете дължината на средната линия предварителни изчисления... И ще знаете само дължините на основите и страните.

В този случай площта на трапеца може да се намери по формулата:

S = ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2/2 (b-a)) 2

където S е площта, a, b са основите, c, d са страните на трапеца.

Има още няколко начина за намиране на площта на трапец. Но те са също толкова неудобни, колкото и последната формула, което означава, че няма смисъл да се спираме на тях. Затова ви препоръчваме да използвате първата формула от статията и искаме винаги да получаваме точни резултати.

трапецсе нарича четириъгълник, за който само двестраните са успоредни една на друга.

Те се наричат ​​основи на фигурата, останалите се наричат ​​страни. Паралелограмът се счита за частен случай на фигура. Има и извит трапец, който включва функционална графика. Формулите за площта на трапеца включват почти всички негови елементи и най-доброто решениесе избира в зависимост от посочените стойности.
Основните роли в трапеца са възложени на височината и средната линия. средна линияЛинията, свързваща средните точки на страните. Височинатрапецът се държи под прав ъгъл от горния ъгъл към основата.
Площта на трапеца през височината е равна на произведението на полусумата от дължините на основите, умножена по височината:

Ако според условията средната линия е известна, тогава тази формула е значително опростена, тъй като е равна на полусумата от дължините на основите:

Ако според условията са дадени дължините на всички страни, тогава можем да разгледаме пример за изчисляване на площта на трапец чрез тези данни:

Да предположим, че е даден трапец с основи a = 3 cm, b = 7 cm и странични страни c = 5 cm, d = 4 cm. Намираме площта на фигурата:

Площ на равнобедрен трапец

Равнобедрен или, както още се нарича, равнобедрен трапец се счита за отделен случай.
Намирането на площта на равнобедрен (равнобедрен) трапец също е специален случай. Формулата се извежда различни начини- през диагоналите, през ъглите, съседни на основата и радиуса на вписаната окръжност.
Ако според условията е посочена дължината на диагоналите и е известен ъгълът между тях, можете да използвате следната формула:

Не забравяйте, че диагоналите на равнобедрен трапец са равни!

Тоест, като знаете една от техните основи, страната и ъгъла, можете лесно да изчислите площта.

Извита трапецовидна област

Отделен случай е извит трапец... Тя се намира на координатната ос и е ограничена до графиката на непрекъсната положителна функция.

Основата му е разположена по оста X и е ограничена от две точки:
Интегралите ви помагат да изчислите площта на извит трапец.
Формулата е написана така:

Помислете за пример за изчисляване на площта на извит трапец. Формулата изисква определени знанияза работа с определени интеграли. Първо, нека разгледаме стойността на определен интеграл:

Тук F (a) е стойността на антипроизводната функция f (x) в точка a, F (b) е стойността на същата функция f (x) в точка b.

Сега нека решим проблема. Фигурата показва извит трапец, ограничен от функция. Функция
Трябва да намерим площта на избраната фигура, която е криволинеен трапец, ограничен отгоре с графика, вдясно с права линия x = (- 8), отляво с права линия x = (- 10) и оста OX отдолу.
Ще изчислим площта на тази фигура по формулата:

От условията на задачата ни се дава функция. Използвайки го, ще намерим стойностите на антипроизводната във всяка от нашите точки:


Сега
Отговор:площта на даден извит трапец е 4.

Няма нищо трудно при изчисляването на тази стойност. Важно е само максималното внимание при изчисленията.

Зона на трапец. Поздравления! В тази публикация ще разгледаме посочената формула. Защо е точно същата и как да я разберем. Ако има разбиране, тогава не е нужно да го учите. Ако просто искате да видите тази формула и какво е спешно, тогава можете незабавно да превъртите надолу по страницата))

Сега подробно и по ред.

Трапецът е четириъгълник, двете страни на този четириъгълник са успоредни, другите две не са. Тези, които не са успоредни, са основите на трапеца. Другите две се наричат ​​страни.

Ако страните са равни, тогава трапецът се нарича равнобедрен. Ако една от страничните страни е перпендикулярна на основите, тогава такъв трапец се нарича правоъгълен.

V класическа форматрапецът е изобразен по следния начин - по-голямата основа е отдолу, съответно по-малката е отгоре. Но никой не забранява да я изобразява и обратно. Ето скиците:

Следващата важна концепция.

Средната линия на трапеца е отсечката, която свързва средните точки на страните. Средната линия е успоредна на основите на трапеца и е равна на тяхната полусума.

Сега нека се задълбочим. Защо е така?

Помислете за трапец с основи а и би със средната линия л, и ще извършим някои допълнителни конструкции: начертайте прави линии през основите и перпендикуляри през краищата на средната линия, докато се пресичат с основите:

* Буквените обозначения на върховете и други точки не се въвеждат умишлено, за да се избегнат ненужни обозначения.

Вижте, триъгълници 1 и 2 са равни във втория знак за равенство на триъгълниците, триъгълници 3 и 4 са еднакви. Равенството на триъгълниците предполага равенство на елементите, а именно краката (те са обозначени съответно в синьо и червено).

Сега внимание! Ако мислено "отрежем" синия и червения сегмент от долната основа, тогава ще имаме сегмент (това е страната на правоъгълника), равен на средната линия. Освен това, ако "залепим" отрязаната синя и червена линия към горната основа на трапеца, тогава ще получим и сегмент (това е и страната на правоъгълника), равен на средната линия на трапеца.

Схванах го? Оказва се, че сумата от основите ще бъде равна на двете средни линии на трапеца:

Вижте друго обяснение

Нека направим следното - изградим права линия, минаваща през долната основа на трапеца и права линия, която ще минава през точки A и B:

Получаваме триъгълници 1 и 2, те са равни на страната и ъглите, съседни на нея (вторият знак за равенство на триъгълниците). Това означава, че полученият сегмент (в скицата е посочен в синьо) е равен на горната основа на трапеца.

Сега помислете за триъгълника:

* Средната линия на този трапец и средната линия на триъгълника съвпадат.

Известно е, че триъгълникът е равен на половината от неговата успоредна основа, тоест:

Добре, оправих се. Сега за площта на трапеца.

Формула за площ на трапец:

Казват: площта на трапец е равна на произведението на полусумата от неговите основи и височина.

Тоест, оказва се, че е равно на произведението на средната линия и височината:

Вероятно вече сте забелязали, че това е очевидно. Геометрично това може да се изрази по следния начин: ако мислено отрежем триъгълници 2 и 4 от трапеца и ги поставим съответно върху триъгълници 1 и 3:

След това получаваме правоъгълник с площ, равна на площта на нашия трапец. Площта на този правоъгълник ще бъде равна на произведението на средната линия и височината, тоест можем да напишем:

Но смисълът тук не е в записа, разбира се, а в разбирането.

Изтеглете (прегледайте) материал за статията в * pdf формат

Това е всичко. Успех на вас!

С уважение, Александър.

Има много начини да намерите площта на трапец. Обикновено учителят по математика притежава няколко техники за изчисляването му, нека се спрем на тях по-подробно:
1) където AD и BC са основи, а BH е височината на трапеца. Доказателство: начертайте диагонал BD и изразете площите на триъгълниците ABD и CDB по отношение на полупродукта на техните основи по височина:

, където DP е външната височина в

Нека съберем тези равенства член по член и като вземем предвид, че височините BH и DP са равни, получаваме:

Да извадим от скоби

Q.E.D.

Следствие от формулата за площта на трапец:
Тъй като полусумата от основите е равна на MN - средната линия на трапеца, тогава

2) Прилагане на общата формула за площта на четириъгълник.
Площта на четириъгълник е половината от произведението на диагоналите, умножено по синуса на ъгъла между тях
За да го докажете, достатъчно е да разделите трапеца на 4 триъгълника, да изразите площта на всеки по отношение на „половината на произведението на диагоналите по синуса на ъгъла между тях“ (като ъгъл добавете получените изрази , извадете ги извън скобата и разложете тази скоба във фактори, използвайки метода на групиране, получете нейното равенство на израза.

3) Метод на диагонално изместване
Това е името ми. В училищните учебници учител по математика няма да намери такова заглавие. Описанието на рецепцията можете да намерите само в доп учебни помагалакато пример за решаване на проблем. Имайте предвид, че повечето от интересните и полезни фактиуроци по планиметрия по математика, отворени за студенти в хода на изпълнение практическа работа... Това е изключително неоптимално, защото ученикът трябва да ги раздели на отделни теореми и да ги нарече „големи имена“. Едно от тях е "диагоналното изместване". За какво въпросният?Начертайте през връх B права линия, успоредна на AC, докато се пресече с долната основа в точка E. В този случай четириъгълникът EBCA ще бъде паралелограм (по дефиниция) и следователно BC = EA и EB = AC. Първото равенство е важно за нас сега. Ние имаме:

Имайте предвид, че триъгълникът BED, чиято площ е равна на площта на трапеца, има още няколко забележителни свойства:
1) Площта му е равна на площта на трапеца
2) Неговите равнобедрени се появяват едновременно с равнобедрените на самия трапец
3) Неговият горен ъгъл при връх B равно на ъгъламежду диагоналите на трапеца (който много често се използва при проблеми)
4) Неговата медиана BK е равна на разстоянието QS между средните точки на основите на трапеца. Наскоро се натъкнах на използването на това свойство, когато подготвях студент за механико-математическия факултет на Московския държавен университет, използвайки учебника на Ткачук, версия от 1973 г. (проблемът е даден в долната част на страницата).

Специални техники за учител по математика.

Понякога предлагам проблеми за много сложен начин за намиране на квадрата на трапец. Отнасям го към специални техники, защото на практика преподавателят ги използва изключително рядко. Ако имате нужда от подготовка за изпита по математика само в част Б, не е нужно да четете за тях. За останалото ще ви разкажа допълнително. Оказва се, че площта на трапеца е два пъти повече площтриъгълник с върхове в краищата на едната страна и средата на другата, тоест триъгълника ABS на фигурата:
Доказателство: начертайте височините SM и SN в триъгълници BCS и ADS и изразете сумата от площите на тези триъгълници:

Тъй като точка S е средата на CD, тогава (докажете го сами) .Нека намерим сумата от площите на триъгълниците:

Тъй като тази сума се оказа равна на половината от площта на трапеца, тогава - втората му половина. Ch.t.d.

В полето със специалните техники на преподавателя бих включил формата за изчисляване на площта на равнобедрен трапец по неговите страни: където p е полупериметърът на трапеца. Няма да давам доказателство. В противен случай вашият учител по математика ще остане без работа :). Елате в клас!

Задачи за площта на трапеца:

Бележка на учителя по математика: Списъкът по-долу не е методично ръководство по темата, а е само малък изборинтересни задачи за горните техники.

1) Долната основа на равнобедрен трапец е 13, а горната е 5. Намерете площта на трапеца, ако диагоналът му е перпендикулярен на страничната страна.
2) Намерете площта на трапеца, ако основите му са 2 см и 5 см, а страните са 2 см и 3 см.
3) В равнобедрен трапец по-голямата основа е 11, страната е 5, а диагоналът е Намерете площта на трапеца.
4) Диагоналът на равнобедрен трапец е 5, а средната линия е 4. Намерете площта.
5) В равнобедрен трапец основите са 12 и 20, а диагоналите са взаимно перпендикулярни. Изчислете площта на трапец
6) Диагоналът на равнобедрен трапец образува ъгъл с долната му основа. Намерете площта на трапец, ако височината му е 6 cm.
7) Площта на трапеца е 20, а едната му страна е 4 см. Намерете разстоянието до него от средата на противоположната страна.
8) Диагоналът на равнобедрен трапец го разделя на триъгълници с площи 6 и 14. Намерете височината, ако страната е 4.
9) В трапец диагоналите са 3 и 5, а отсечката, свързваща средните точки на основите, е 2. Намерете площта на трапеца (Mehmat MGU, 1970).

Избрах не най-трудните задачи (не се страхувайте от mechmat!) С очакването на възможността за тях независимо решение... Решете за здравето! Ако имате нужда от подготовка за изпита по математика, тогава без участие в този процес могат да възникнат формули за площта на трапец сериозни проблемидори при проблем B6 и още повече при C4. Не стартирайте темата и в случай на затруднения помолете за помощ. Учител по математика винаги се радва да ви помогне.

Колпаков A.N.
Учител по математика в Москва, подготовка за изпита в Строгино.

Трапецът е изпъкнал четириъгълник, в който две противоположни страни са успоредни, а другите две не са успоредни. Ако всички противоположни страни на четириъгълника са успоредни по двойки, тогава това е успоредник.

Ще имаш нужда

• - всички страни на трапеца (AB, BC, CD, DA).

Инструкции

• Непаралелни страни трапецсе наричат ​​странични страни, а успоредните се наричат ​​основи. Линията между основите, перпендикулярна на тях - височина трапец... Ако страните трапецса равни, тогава се нарича равнобедрен. Нека първо разгледаме решението за трапецкойто не е равнобедрен.
• Начертайте отсечка BE от точка B до долната основа AD успоредно на страната трапец CD. Тъй като BE и CD са успоредни и начертани между успоредни основи трапец BC и DA, тогава BCDE е успоредник, а противоположните му страни BE и CD са равни. BE = CD.
• Помислете за триъгълник ABE. Изчислете страната на AE. AE = AD-ED. Основи трапец BC и AD са известни, а в паралелограма BCDE противоположните страни ED и BC са равни. ED = BC, така че AE = AD-BC.
• Сега намерете площта на триъгълник ABE по формулата на Херон, като изчислите полупериметъра. S = корен (p * (p-AB) * (p-BE) * (p-AE)). В тази формула p е полупериметърът на триъгълник ABE. p = 1/2 * (AB + BE + AE). За да изчислите площта, знаете всички необходими данни: AB, BE = CD, AE = AD-BC.
• След това запишете площта на триъгълника ABE по различен начин - тя е равна на половината от произведението на височината на триъгълника BH и страната AE, към която е начертан. S = 1/2 * BH * AE.
• Изразете от тази формула височинататриъгълник, който е и височината трапец... BH = 2 * S / AE. Изчислете го.

Ако трапецът е равнобедрен, решението може да се направи по различен начин. Помислете за триъгълник ABH. Той е правоъгълен, тъй като един от ъглите, BHA, е прав.

• Прекарайте пръст от горния C височината CF.
• Разгледайте фигурата на HBCF. HBCF е правоъгълник, защото две от страните му са височини, а другите две са основи трапец, тоест ъглите са прави, а противоположните страни са успоредни. Това означава, че BC = HF.
• Вижте правоъгълните триъгълници ABH и FCD. Ъглите при височините BHA и CFD са прави, а ъглите при страничните страни BAH и CDF са равни, тъй като трапецът ABCD е равнобедрен, което означава, че триъгълниците са сходни. Тъй като височините BH и CF са равни или страните на равнобедреното трапец AB и CD са равни, тогава подобни триъгълници също са равни. Това означава, че техните страни AH и FD също са равни.
• Намерете AH. AH + FD = AD-HF. Тъй като от паралелограма HF = BC и от триъгълниците AH = FD, тогава AH = (AD-BC) * 1/2.
• След това от правоъгълния триъгълник ABH, според питагоровата теорема, изчислете височината BH. Квадратът на хипотенузата AB е равен на сбора от квадратите на катетите AH и BH. BH = корен (AB * AB-AH * AH).