Неправилни интеграли от първи род.По същество това е един и същ определен интеграл, но в случаите, когато интегралите имат безкрайни горни или долни граници на интегриране, или и двете граници на интегриране са безкрайни.

Неправилни интеграли от втори род.По същество това е същият определен интеграл, но в случаите, когато интегралът е взет от неограничени функции, интеграндът в краен брой точки няма краен сегмент на интегриране, обръщайки се към безкрайност.

За сравнение.При въвеждането на понятието определен интеграл се приемаше, че функцията f(х) е непрекъснат на интервала [ а, b], а интеграционният сегмент е краен, т.е. ограничен е от числа, а не от безкрайност. Някои задачи водят до необходимостта от изоставяне на тези ограничения. Така се появяват неправилните интеграли.

Геометричен смисъл на неправилния интегралОказва се съвсем просто. В случай, когато графиката на функция г = f(х) е над оста вол, определеният интеграл изразява площта на криволинейния трапец, ограничен от крива г = f(х) , ос x и ординати х = а , х = b. На свой ред неправилният интеграл изразява площта на неограничен (безкраен) криволинеен трапец, затворен между линиите г = f(х) (на снимката по-долу - червено), х = аи абсцисната ос.

Неправилните интеграли се дефинират по подобен начин за други безкрайни интервали:

Площта на безкраен извит трапец може да бъде крайно число, в който случай неправилният интеграл се нарича конвергентен. Площта може да бъде и безкрайна и в този случай неправилният интеграл се нарича дивергент.

Използване на границата на интеграл вместо самия неправилен интеграл.За да оцените неправилния интеграл, трябва да използвате границата на определения интеграл. Ако тази граница съществува и е крайна (не е равна на безкрайност), тогава неправилният интеграл се нарича конвергентен, а в противен случай - дивергентен. Към какво клони една променлива под знака за граница зависи от това дали имаме работа с неправилен интеграл от първи вид или от втори род. Нека разберем за това сега.

Несобствени интеграли от първи род – с безкрайни граници и тяхната сходимост

Неправилни интеграли с безкрайна горна граница

И така, писането на неправилен интеграл се различава от обичайния определен интеграл по това, че горната граница на интегриране е безкрайна.

Определение. Неправилен интеграл с безкрайна горна граница на интегриране на непрекъсната функция f(х) в интервала от а преди ∞ се нарича границата на интеграла на тази функция с горна граница на интегриране b и долната граница на интеграция а при условие, че горната граница на интеграция нараства неограничено, т.е.

.

Ако тази граница съществува и е равна на някакво число, а не на безкрайност, тогава неправилен интеграл се нарича конвергентен, а за негова стойност се приема числото, на което е равна границата. В противен случай неправилен интеграл се нарича дивергенти не му се приписва никакво значение.

Пример 1. Изчисляване на неправилен интеграл(ако се сближава).

Решение. Въз основа на дефиницията на неправилния интеграл намираме

Тъй като границата съществува и е равна на 1, тогава това неправилен интеграл се събираи е равно на 1.

В следващия пример интегралната функция е почти същата като в пример 1, само степента x не е две, а буквата алфа и задачата е да се изследва неправилният интеграл за сходимост. Тоест остава да се отговори на въпроса: при какви стойности на алфа този неправилен интеграл се сближава и при какви стойности се отклонява?

Пример 2. Изследване на неправилния интеграл за сходимост(долната граница на интегриране е по-голяма от нула).

Решение. Нека първо приемем, че , тогава

В получения израз се придвижваме до границата при:

Лесно се вижда, че границата от дясната страна съществува и е равна на нула, когато, т.е., и не съществува, когато, т.е.

В първия случай, когато . Ако , тогава и не съществува.

Заключението от нашето изследване е следното: това неправилен интеграл се събирапри и се разминавапри .

Прилагане на формулата на Нютон-Лайбниц към типа неправилен интеграл, който се изучава , можете да извлечете следната формула, която е много подобна на нея:

.

Това е обобщена формула на Нютон-Лайбниц.

Пример 3. Изчисляване на неправилен интеграл(ако се сближава).

Границата на този интеграл съществува:

Вторият интеграл, съставляващ сумата, изразяваща първоначалния интеграл:

Съществува и границата на този интеграл:

.

Намираме сумата от два интеграла, която също е стойността на първоначалния неправилен интеграл с две безкрайни граници:

Несобствени интеграли от втори род - от неограничени функции и тяхната сходимост

Нека функцията f(х) даден на отсечката от а преди b и е неограничен за него. Да предположим, че функцията отива в безкрайност в точката b , докато във всички останали точки на отсечката е непрекъсната.

Определение. Неправилен интеграл на функция f(х) на отсечката от а преди b се нарича границата на интеграла на тази функция с горна граница на интегриране ° С , ако при стремеж ° С Да се b функцията нараства неограничено, а в точката х = b функция не е дефинирана, т.е.

.

Ако тази граница съществува, тогава неправилният интеграл от втори род се нарича конвергентен, в противен случай се нарича дивергент.

Използвайки формулата на Нютон-Лайбниц, извеждаме.

Неправилни интеграли

Lk5.6 (4h)

Концепцията е въведена при предположението, че:

1) интервалът на интегриране е краен (сегмент [ а;b]),

2) функция f(х) е ограничено до [ а;b].

Такъв определен интеграл се нарича собствен(думата „собствен“ е пропусната). Ако някое от тези условия не е изпълнено, тогава се извиква определен интеграл не твоя собствена. Има неправилни интеграли от първи и втори род.

1. Дефиниция на неправилен интеграл от първи род

Нека обобщим концепцията за определен интеграл към безкраен интервал. Позволявам f(х) е дефинирана на интервала [ а;+¥) и е интегрируем във всяка от крайните си части, т.е. В този случай има интеграл. Ясно е, че има функция, дефинирана на [ а;+¥). Нека помислим. Това ограничение може да съществува или да не съществува, но независимо от това се нарича неправилен интеграл от първи роди е обозначена.

Определение.Ако съществува и е краен, тогава се нарича неправилният интеграл конвергентен, а стойността на тази граница е стойността на неправилния интеграл. . Ако не съществува или е равно на ¥, тогава се извиква неправилният интеграл разнопосочни.

Определено по подобен начин,

Пример 1.Изследвайте сходимостта на интеграла , .

D е непрекъснат на [ а;+¥) .

Ако , тогава и Þ интегралът се събира.

Ако , тогава интегралът се разминава.

Така, се събира в и ;

се разминава при .D

2. Свойства на несобствен интеграл от първи род

Тъй като неправилният интеграл се определя като граница на интеграла на Риман, тогава всички свойства, които се запазват по време на преминаването към границата, се прехвърлят към неправилния интеграл, т.е. свойства 1-8 са изпълнени. Теоремата за средната стойност няма смисъл.

3. Формула на Нютон–Лайбниц

Нека функцията fе непрекъснат на [ а;+¥), Е- е противопроизводно и съществува. Тогава е валидна формулата на Нютон-Лайбниц:

Наистина,

Пример 2.Д. д

Геометричен смисъл на неправилен интеграл от първи род

Нека функцията fе неотрицателна и непрекъсната на [ а;+¥) и неправилният интеграл се събира. равна на площта на извит трапец с основа [ а;b], и е равно на лицето с основата [ а;+¥).

4. Неправилни интеграли на неотрицателни функции

Теорема 1.Позволявам f(х)³0 на [ а;+¥) и интегрируем на [ а;b] "b>а. За сходимостта на неправилен интеграл е необходимо и достатъчно множеството от интеграли да бъде ограничено отгоре и .

Доказателство.

Помислете за функцията, а£ b. защото f(х)³0, тогава Ене намалява Наистина, " b 1 , b 2: а£ b 1 <b 2 поради това, че , е изпълнено

По дефиниция неправилен интеграл се сближава тогава и само ако има краен . защото Е(b) не намалява, тогава тази граница съществува тогава и само ако функцията Е(b) е ограничен отгоре, т.е. $ М>0: "b>а. При което

Дивергенцията на неправилния интеграл означава, че , т.е.

Теорема 2.Нека функциите fИ жнеотрицателен на [ а;+¥) и интегрируем на [ а;b] "b>а. нека [ а;+¥) готово

1) от сходимостта на интеграла (2) следва сходимостта на интеграла (3);

2) от дивергенцията на интеграла (3) следва дивергенцията на интеграла (2).

Доказателство.

От (1) " b>а.

1) Нека интеграл (2) се събира. По теорема 1 множеството е ограничено ограничено ограничено. По теорема 1 тя се сближава.

2) Оставете ги да се разпръснат. Нека докажем, че интеграл (2) се разминава. От обратното. Нека приемем, че интеграл (2) се сближава, но тогава, съгласно първата част на теоремата, интеграл (3) се сближава - противоречие с условието.

Теорема 3.Нека функциите fИ жнеотрицателен на [ а;+¥) и интегрируем на [ а;b] "b>а. Ако съществува (0£ к£¥), тогава

1) от сходимостта на интеграла при к<¥ следует сходимость интеграла ,

2) от дивергенцията на интеграла при к>0 следва дивергенцията на интеграла.

Доказателство.

1) Нека к<¥ и сходится.

Тъй като се сближава, сближава, това означава, че се сближава. Тогава, по силата на (4), се сближава. От тук се събира.

2) Нека к>0 и се разминава. В случая – крайно число. Ако приемем обратното - че интегралът се събира, то от доказаното в точка 1) ще установим, че и той се събира, а това противоречи на условието. Следователно направеното предположение е неправилно и противоречиво. се сближава абсолютно, тогава по дефиниция се сближава. Така че пасва. Но става.

ПредметНЕПРАВИЛНИ ИНТЕГРАЛИ

В темата “Определен интеграл” беше разгледано понятието определен интеграл за случай на краен интервал.
и ограничена функция
(виж теорема 1 от §3). Сега нека обобщим тази концепция за случаите на безкраен интервал и неограничена функция. Необходимостта от подобно обобщение се демонстрира например от следните ситуации.

1. Ако, използвайки формулата за дължина на дъгата, се опитайте да изчислите дължината на четвърт кръг
,
, тогава стигаме до интеграла на неограничената функция:

, Където
.

2. Нека тялото има маса
се движи по инерция в среда със съпротивителна сила
, Където
- скорост на тялото. Използвайки втория закон на Нютон (
, Където
ускорение), получаваме уравнението:
, Където
. Не е трудно да се покаже, че решението на това (диференциално!) уравнение е функцията
Ако трябва да изчислим пътя, изминат от тялото, преди да спре напълно, т.е. до момента, в който
, тогава достигаме до интеграла за безкраен интервал:

§1. Неправилни интеграли от 1-ви род

I Определение

Нека функцията
определени и непрекъснати на интервала
. Тогава за всеки
той е интегрируем на интервала
, тоест има интеграл
.

Определение 1 . Крайната или безкрайната граница на този интеграл при
се нарича неправилен интеграл от 1-ви род на функцията
по протежение на интервала
и се обозначава със символа
. Освен това, ако определената граница е крайна, тогава неправилният интеграл се нарича конвергентен, в противен случай (
или не съществува) – дивергентни.

И така, по дефиниция

Примери

2.
.

3.
- не съществува.

Неправилният интеграл от пример 1 се събира, в примери 2 и 3 интегралите се разминават.

II Формула на Нютон–Лайбниц за несобствен интеграл от първи род

Позволявам
- някаква антипроизводна за функцията
(съществува на
, защото
- непрекъснато). Тогава

От тук става ясно, че конвергенцията на неправилния интеграл (1) е еквивалентна на съществуването на краен предел
. Ако тази граница е определена
, тогава можем да напишем формулата на Нютон-Лайбниц за интеграл (1):

, Където
.

Примери .

5.
.

6. По-сложен пример:
. Първо, нека намерим антипроизводното:

Сега можем да намерим интеграла , предвид това

:

III Имоти

Нека представим редица свойства на неправилния интеграл (1), които следват от общите свойства на границите и определения интеграл:

IV Други определения

Определение 2 . Ако
непрекъснато включено
, Че

.

Определение 3 . Ако
непрекъснато включено
, тогава приемаме по дефиниция

(– произволно),

Освен това, неправилният интеграл от лявата страна се събира, ако само двата интеграла от дясната страна се събират.

За тези интеграли, както и за интеграла (1), могат да се напишат съответните формули на Нютон–Лайбниц.

Пример 7 .

§2. Тестове за сходимост на неправилен интеграл от 1-ви род

Най-често е невъзможно да се изчисли неправилен интеграл по дефиниция, така че те използват приблизителното равенство

(за големи ).

Тази връзка обаче има смисъл само за конвергентни интеграли. Необходимо е да има методи за изясняване на поведението на интеграла, заобикаляйки дефиницията.

аз Интеграли на положителни функции

Позволявам
На
. Тогава определеният интеграл
като функция на горната граница е нарастваща функция (това следва от общите свойства на определения интеграл).

Теорема 1 . Неправилен интеграл от първия вид на неотрицателна функция се събира тогава и само ако функцията
остава ограничено с увеличаване .

Тази теорема е следствие от общите свойства на монотонните функции. Теоремата няма почти никакъв практически смисъл, но позволява да се получи т.нар признаци на конвергенция.

Теорема 2 (1-ви знак за сравнение). Нека функциите
И
непрекъснато за
и удовлетворяват неравенството
. Тогава:

1) ако интегралът
тогава се сближава
конвергира;

2) ако интегралът
се разминава, тогава
се разминава.

Доказателство . Да обозначим:
И
. защото
, Че

. Нека интегралът
се сближава, тогава (по теорема 1) функцията
- ограничено. Но след това
е ограничен и следователно интегралът
също се сближава. Втората част на теоремата се доказва по подобен начин.

Този критерий не е приложим, ако интегралът се отклонява от
или конвергенция на интеграла на
. Този недостатък липсва във втората функция за сравнение.

Теорема 3 (2-ри знак за сравнение). Нека функциите
И
непрекъснато и неотрицателно на
. Тогава ако
при
, тогава неправилните интеграли
И
се сближават или разминават едновременно.

Доказателство . От условията на теоремата получаваме следната верига от еквивалентни твърдения:

, ,

.

нека например
. Тогава:

Нека приложим теорема 2 и свойство 1) от §1 и да получим твърдението на теорема 3.

Стандартната функция, с която се сравнява тази, е степенна функция
,
. Каним учениците сами да докажат, че интегралът

се сближава при
и се разминава при
.

Примери . 1.
.

Нека разгледаме интегралната функция на интервала
:

,
.

Интеграл
се сближава, защото
. Въз основа на втория критерий за сравнение интегралът също се сближава
, а поради свойство 2) от §1 първоначалният интеграл също се събира.

2.
.

защото
, тогава съществува
такъв, че когато

. За такива променливи стойности:

Известно е, че логаритмичната функция расте по-бавно от степенната, т.е.

,

което означава, че започвайки от определена стойност на променливата, тази дроб е по-малка от 1. Следователно

.

Интеграл се сближава като референция. По силата на първия критерий за сравнение той се сближава и
. Прилагайки втория критерий, получаваме, че интегралът
се сближава. И отново свойство 2) от §1 доказва сходимостта на първоначалния интеграл.

Лекция 24. НЕПРАВИЛНИ ИНТЕГРАЛИ

план:

1. Концепцията за неправилен интеграл
2. Неправилни интеграли от първи род.
3. Неправилни интеграли от втори род.

1. Концепцията за неправилен интеграл

Нека разгледаме намирането на двата вида неправилни интеграли.

Нека функцията е дадена y=f(x), непрекъснато на интервала [ а;+∞). Ако има крайна граница, тогава тя се нарича неправилен интеграл от първи род и обозначават .

се сближава се разминава .

Геометричен смисъл на неправилен интеграл от първи род е както следва: ако се сближава (при условие, че f(x)≥0), тогава представлява площта на „безкрайно дълъг“ извит трапец (фиг. 24.1).

По подобен начин се въвежда концепцията за неправилен интеграл с безкрайна долна граница на интегриране за непрекъсната линия на интервала ( -∞ ;b] функции: = .

Неправилен интеграл с две безкрайни граници на интегриране се определя от формулата: = + , където с– произволно число.

Нека разгледаме примери за намиране на неправилни интеграли от първи род.

Пример 24.1.

Решение. За да намерим неправилен интеграл с безкрайна горна граница на непрекъсната функция, използваме формулата: = . Тогава = . Първо, нека изчислим интеграла на e x:

= = = =∞. Открихме, че неправилният интеграл се разминава.

Отговор: се разминава.

Пример 24.2.Изчислете неправилния интеграл или установете неговата дивергенция: .

Решение. Интегрантът е непрекъснат на интервала ( -∞ ;- 1]. За да намерим неправилен интеграл от първи род с безкрайна долна граница, използваме формулата: = . Тогава = . Нека изчислим интеграла, съдържащ се под граничния знак: = . Нека се отървем от знака минус, като разменим границите на интеграция:

1. Открихме, че разглежданият неправилен интеграл се събира.

Отговор: =1.

1. Неправилни интеграли от втори род.

Нека функцията е дадена y=f(x), непрекъснато на интервала [ a;b). Позволявам b– точка на прекъсване от втори род. Ако има крайна граница, тогава тя се нарича неправилен интеграл от втори род и обозначават .

Така по дефиниция = .

Ако намерената граница е равна на крайно число, тогава се казва, че неправилният интеграл е такъв се сближава . Ако определената граница не съществува или е безкрайна, тогава се казва, че интегралът е се разминава .

Геометричен смисъл на несобствен интеграл от втори род, Където b– точка на прекъсване от втори род, f(x)≥0, е както следва: ако тя се сближава, тогава тя представлява областта на "безкрайно висок" извит трапец (фиг. 24.2).

По подобен начин се въвежда концепцията за неправилен интеграл от втори род за непрекъсната линия на интервала ( a;b]функции при условие, че А– точка на прекъсване от втори род: = .

Пример 24.3.Изчислете неправилния интеграл от втори род: .

Решение. Интегрантът е непрекъснат в интервала (0;1] и x= 0 - точка на прекъсване от втори вид (). За да изчислим неправилния интеграл, използваме формулата: = . Разбираме това

= = = = = = ∞. Виждаме, че неправилният интеграл от втори род се разминава.

Отговор: се разминава.

Контролни въпроси:

1. Какво се нарича неправилен интеграл?
2. Кои интеграли се наричат ​​несобствени интеграли от първи род?
3. Какво е геометричното значение на неправилен интеграл от първи род?
4. Кои несобствени интеграли се наричат ​​конвергентни и кои дивергентни?
5. Кои интеграли се наричат ​​несобствени интеграли от втори род?
6. Какво е геометричното значение на неправилен интеграл от втори род?

БИБЛИОГРАФИЯ:

1. Абдрахманова И.В. Елементи на висшата математика: учебник. ръководство – М.: Център за интензивни образователни технологии, 2003. – 186 с.

2. Алгебра и началото на анализа (част 1, част 2): Учебник за средни учебни заведения / изд. Г.Н.Яковлева. – М.: Наука, 1981.

3. Александрова Н.В. Математически термини. Справочник.- М.: Висш. училище, 1978. - 190 с.

4. Валуце И.И., Дилигул Г.Д. Математика за технически училища, базирани на средни училища: учеб. надбавка. – М.: Наука, 1989. – 576 с.

5. Григориев В.П., Дубински Ю.А. Елементи на висшата математика: Учебник. за студенти институции за професионално образование. - М.: Издателски център "Академия", 2004. - 320 с.

6. Лисичкин В.Т., Соловейчик И.Л. Математика: учебник. ръководство за технически училища. – М.: Висше. училище, 1991. – 480 с.

7. Луканкин Г.Л., Мартинов Н.Н., Шадрин Г.А., Яковлев Г.Н. Висша математика: учебник. наръчник за студенти педагог. институции. – М.: Образование, 1988. – 431 с.

8. Написано D.T. Конспекти от лекции по висша математика: Част 1. – М.: Ирис-прес, 2006.- 288 с.

9. Филимонова Е.В. Математика: учебник. надбавка за колежи. – Ростов н/д: Феникс, 2003. – 384 с.

10. Шипачев В.С. Висша математика: учебник за ВУЗ. – М.: Висше училище, 2003. – 479 с.

11. Шипачев В.С. Курс по висша математика: висше образование. – М.: ПРОЮЛ М. А. Захаров, 2002. – 600 с.

12. Енциклопедия за деца. T.11. Математика / гл. изд. М.В.Аксенова. - М.: Аванта+, 2000.- 688 с.

Ако подинтегралната функция има прекъсване от втори род на (крайния) интервал на интегриране, говорим за неправилен интеграл от втори род.

10.2.1 Определение и основни свойства

Нека обозначим интервала на интегриране с $\left[ a, \, b \right ]$; и двете числа се приемат за крайни по-долу. Ако има само 1 прекъсване, то може да се намира или в точка $a$, или в точка $b$, или вътре в интервала $(a,\,b)$. Нека първо разгледаме случая, когато в точка $a$ има прекъсване от втори род, а в други точки функцията под интегранд е непрекъсната. Така че обсъждаме интеграла

\begin(equation) I=\int _a^b f(x)\,dx, (22) \label(intr2) \end(equation)

и $f(x) \rightarrow \infty $, когато $x \rightarrow a+0$. Както и преди, първото нещо, което трябва да направите, е да придадете значение на този израз. За да направите това, помислете за интеграла

\[ I(\epsilon)=\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Определение. Нека има крайна граница

\[ A=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)I(\epsilon)=\lim _(\epsilon \rightarrow +0)\int _(a+\epsilon)^b f(x)\,dx. \]

Тогава се казва, че неправилният интеграл от втори вид (22) се сближава и му се приписва стойността $A$; самата функция $f(x)$ се казва, че е интегрируема в интервала $\left[ a, \ , b\вдясно]$.

Разгледайте интеграла

\[ I=\int ^1_0\frac(dx)(\sqrt(x)). \]

Функцията интегранд $1/\sqrt(x)$ при $x \rightarrow +0$ има безкраен лимит, така че в точката $x=0$ тя има прекъсване от втори вид. Да сложим

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))\,. \]

В този случай антипроизводното е известно,

\[ I(\epsilon)=\int ^1_(\epsilon )\frac(dx)(\sqrt(x))=2\sqrt(x)|^1_(\epsilon )=2(1-\sqrt( \epsilon ))\rightarrow 2\]

при $\epsilon \rightarrow +0$. Така първоначалният интеграл е сходящ неправилен интеграл от втори род и е равен на 2.

Нека разгледаме варианта, когато на горната граница на интервала на интегриране има прекъсване от втори род във функцията на интегранта. Този случай може да бъде сведен до предишния чрез промяна на променлива $x=-t$ и след това пренареждане на границите на интегриране.

Нека разгледаме варианта, когато подинтегралната функция има прекъсване от втори род вътре в интервала на интегриране, в точка $c \in (a,\,b)$. В този случай оригиналният интеграл

\begin(equation) I=\int _a^bf(x)\,dx (23) \label(intr3) \end(equation)

представени като сума

\[ I=I_1+I_2, \quad I_1=\int _a^cf(x)\,dx +\int _c^df(x)\,dx. \]

Определение. Ако и двата интеграла $I_1, \, I_2$ се събират, тогава неправилният интеграл (23) се нарича конвергентен и му се приписва стойност, равна на сумата от интегралите $I_1, \, I_2$, функцията $f(x)$ се нарича интегрируем в интервала $\left [a, \, b\right]$. Ако поне един от интегралите $I_1,\, I_2$ е дивергентен, несобственият интеграл (23) се нарича дивергентен.

Сходящите несобствени интеграли от 2-ри род имат всички стандартни свойства на обикновените определени интеграли.

1. Ако $f(x)$, $g(x)$ са интегрируеми на интервала $\left[ a, \,b \right ]$, тогава тяхната сума $f(x)+g(x)$ е също интегрируем в този интервал, и \[ \int _a^(b)\left(f(x)+g(x)\right)dx=\int _a^(b)f(x)dx+\int _a^( b)g (x)dx. \] 2. Ако $f(x)$ е интегрируем в интервала $\left[ a, \, b \right ]$, тогава за всяка константа $C$ функцията $C\cdot f(x)$ също е интегрируем на този интервал и \[ \int _a^(b)C\cdot f(x)dx=C \cdot \int _a^(b)f(x)dx. \] 3. Ако $f(x)$ е интегрируем в интервала $\left[ a, \, b \right ]$ и в този интервал $f(x)>0$, тогава \[ \int _a^ (b) f(x)dx\,>\,0. \] 4. Ако $f(x)$ е интегрируемо в интервала $\left[ a, \, b \right ]$, тогава за всяко $c\in (a, \,b)$ интегралите \[ \ int _a^ (c) f(x)dx, \quad \int _c^(b) f(x)dx \] също се събират и \[ \int _a^(b)f(x)dx=\int _a ^(c ) f(x)dx+\int _c^(b) f(x)dx \] (адитивност на интеграла върху интервала).

Разгледайте интеграла

\begin(equation) I=\int _0^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. (24) \label(mod2) \end(уравнение)

Ако $k>0$, интегралът клони към $\infty$ като $x \rightarrow +0$, така че интегралът е неправилен от втори вид. Нека представим функцията

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx. \]

В този случай антипроизводното е известно, т.н

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x^k)\,dx\,=\frac(x^(1-k))(1-k )|_(\epsilon)^1= \frac(1)(1-k)-\frac(\epsilon ^(1-k))(1-k). \]

за $k \neq 1$,

\[ I(\epsilon)=\int _(\epsilon)^(1)\frac(1)(x)\,dx\,=lnx|_(\epsilon)^1= -ln \epsilon. \]

за $k = 1$. Като се има предвид поведението при $\epsilon \rightarrow +0$, стигаме до заключението, че интеграл (20) се събира при $k

10.2.2 Тестове за сходимост на несобствени интеграли от 2-ри род

Теорема (първият знак за сравнение). Нека $f(x)$, $g(x)$ са непрекъснати за $x\in (a,\,b)$ и $0 1. Ако интегралът \[ \int _a^(b)g(x) dx \] се сближава, тогава интегралът \[ \int _a^(b)f(x)dx се сближава. \] 2. Ако интегралът \[ \int _a^(b)f(x)dx \] се разминава, тогава интегралът \[ \int _a^(b)g(x)dx се разминава. \]

Теорема (втори критерий за сравнение). Нека $f(x)$, $g(x)$ са непрекъснати и положителни за $x\in (a,\,b)$ и нека има крайна граница

\[ \theta = \lim_(x \rightarrow a+0) \frac(f(x))(g(x)), \quad \theta \neq 0, \, +\infty. \]

След това интегралите

\[ \int _a^(b)f(x)dx, \quad \int _a^(b)g(x)dx \]

се сближават или разминават едновременно.

Разгледайте интеграла

\[ I=\int _0^(1)\frac(1)(x+\sin x)\,dx. \]

Интеграндът е положителна функция в интервала на интегриране, интеграндът клони към $\infty$ като $x \rightarrow +0$, така че нашият интеграл е неправилен интеграл от втори род. Освен това, за $x \rightarrow +0$ имаме: ако $g(x)=1/x$, тогава

\[ \lim _(x \дясна стрелка +0)\frac(f(x))(g(x))=\lim _(x \дясна стрелка +0)\frac(x)(x+\sin x)=\ frac(1)(2) \neq 0,\, \infty \, . \]

Прилагайки втория критерий за сравнение, стигаме до извода, че нашият интеграл се сближава или разминава едновременно с интеграла

\[ \int _0^(+1)\frac(1)(x)\,dx . \]

Както беше показано в предишния пример, този интеграл се разминава ($k=1$). Следователно първоначалният интеграл също се разминава.

Изчислете неправилния интеграл или установете неговата конвергенция (дивергенция).

1. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(x^3-5x^2)\,. \] 2. \[ \int _(3)^(7)\frac(x\,dx)((x-5)^2)\,. \] 3. \[ \int _(0)^(1)\frac(x\,dx)(\sqrt(1-x^2))\,. \] 4. \[ \int _(0)^(1)\frac(x^3\,dx)(1-x^5)\,. \] 5. \[ \int _(-3)^(2)\frac(dx)((x+3)^2)\,. \] 6. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^2\,dx)((x-1)\sqrt(x-1))\,. \] 7. \[ \int _(0)^(1)\frac(dx)(\sqrt(x+x^2))\,. \] 8. \[ \int _(0)^(1/4)\frac(dx)(\sqrt(x-x^2))\,. \] 9. \[ \int _(1)^(2)\frac(dx)(xlnx)\,. \] 10. \[ \int _(1)^(2)\frac(x^3\,dx)(\sqrt(4-x^2))\,. \] 11. \[ \int _(0)^(\pi /4)\frac(dx)(\sin ^4x)\,. \]